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Introduccion a las Matematicas Tropicales
Cesar Rendon Mayorga
Universidad Pedagogica NacionalDepartamento de Matematicas
2 de Diciembre de 2013
Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 1 / 23
Resumen
Se pretenden mostrar los elementos basicos correspondientes a lasMatematicas Tropicales, haciendo un recorrido breve por su algebra,arıtmetica y geometrıa particular. Ası mismo, de manera transversal, sepretenden observar las relaciones variantes e invariantes con lasmatematicas ((usuales)).
Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 2 / 23
Contenidos
Introduccion
Algebra Tropical
Aritmetica Tropical
Ecuaciones tropicales y graficas (Geometrıa Analıtica Tropical)
Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 3 / 23
Introduccion
Las denominadas Matematicas Tropicales esencialmente se constituyencomo el estudio de variedades algebraicas definidas sobre el semianilloT = < ∪ {∞}, denominado comunmente Semianillo tropical.
Figura: Imre Simon
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Aritmetica Tropical
El primer y mas grande cambio que se hara sobre las matematicas usuales,sera el de redefinir las operaciones de adicion y multiplicacion.
Operaciones tropicales
x ⊕ y = min{x , y}x ⊗ y = x + y
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Aritmetica Tropical
Propiedades de (T ,⊗,⊕)
x ⊕ y = y ⊕ x
x ⊕ (y ⊕ z) = (x ⊕ y)⊕ z
x ⊗ y = y ⊗ x
x ⊗ (y ⊗ z) = (x ⊗ y)⊗ z
x ⊗ (y ⊕ z) = (x ⊗ y)⊕ (x ⊗ z)
x ⊕ E = x
x ⊗ E ′ = x
x ⊗ y = E ′
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Aritmetica Tropical
Potenciacion
xn = x ⊗ x ⊗ x ...⊗ x︸ ︷︷ ︸n veces
Gracias a esta definicion de potenciacion se puede mostrar la siguientepropiedad:
Propiedad
(x ⊕ y)2 = x2 ⊕ y2
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Aritmetica Tropical
Tambien es cierto que
(x ⊕ y)3 = x3 ⊕ y3
En general podemos dar la siguiente afirmacion:
Theorem
Para cualquier entero positivo n, vale la igualdad: (x ⊕ y)n = xn ⊕ yn
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Polinomios tropicales
Se define el polinomio P de la siguiente manera:
P := an ⊗ xn ⊕ ...⊕ a1 ⊗ x ⊕ a0; ai ∈ T
Se debe notar que hay polinomios distintos que inducen a la mismafuncion. Ejemplo:
x2 ⊕ 1⊗ x ⊕ 2 ˆ x2 ⊕ 2
El grado de un polinomio tropical P (deg(P)) es el maximo grado entresus monomios.
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Polinomios tropicales
Theorem (Igualdad de polinomios)
Sean P,Q dos polinomios tropicales tales que P(x) = Q(x) para cadax ∈ T entonces deg(P) = deg(Q)
La demostracion procede de manera usual, por induccion. Se supone quem = n y se debe mostrar que (∀k = 0...n) entonces ak = bk
Comprobamos para el caso k = 0: ¿a0 = b0?
P(0) = Q(0)
a0 = b0
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Polinomios tropicales
Suponemos que ak−1 = bk−1
Basta con igualar los polinomios, aplicar la HI, factorizar el termino xk yhacer lımx→0
Se concluye finalmente que ak = bk
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Ecuaciones y Curvas Tropicales
Sea el polinomioP := a⊗ x ⊕ b (1)
Es de notar que el polinomio no tiene solucion si b 6= 0, lo que genera lasiguiente definicion:
Ceros de un polinomio
Para un polinomio P := a⊗ x ⊕ b se define a (b − a) como el cero de P.
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Ecuaciones y curvas tropicales
Ejemplo: P := 2⊗ x ⊕ 3
Figura: Polinomio 1
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Ecuaciones y curvas tropicales
Ejemplo: 3⊗ x4 ⊕ 2⊗ x2 ⊕−1⊗ x ⊕ 1
min{4x + 3, 2x + 2, x − 1, 2}
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Ecuaciones y curvas tropicales
Figura: Polinomio 2
Que es equivalente a P := 3⊗ x4 ⊕−1⊗ x ⊕ 1
Las singularidades son: x = −43 y x = 2
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Ecuaciones y curvas tropicales
1.
1⊗ x2 ⊕ 2⊗ x ⊕ 5
= 1 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{1 + 2x , 2 + x , 5}
2.
0⊗ x2 ⊕ 2⊗ x ⊕ 5
= 0 + 2x ⊕ 2 + x ⊕ 5
= min{2x , 2 + x , 5}
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Ecuaciones y curvas tropicales
Graficar:
x ⊕ 5
2⊗ x ⊕ 1
(x ⊕ 5)⊗ (2⊗ x ⊕ 1)
¿Que significa el producto entre polinomios tropicales?
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Rectas Tropicales en T 2
Rectas Tropicales
Una recta tropical es el lugar de los puntos (x , y) ∈ T 2 donde el mınimoa⊗ x ⊕ b ⊗ y ⊕ c es asumido por lo menos dos veces, y por lo menos unoentre a, b es distinto de 0
Ejemplo: 1⊗ x ⊕ 2⊗ y ⊕ 2
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Rectas Tropicales en T 2
Figura: Recta 1Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 19 / 23
Rectas Tropicales en T 2
Para que el mınimo se alcance al menos dos veces, hay 3 casos:
a + x = b + y ≤ c → y = x + a− b y x ≤ c − a
a + x = c ≤ b + y → x = c − a y y ≥ c − b
b + y = c ≤ a + x → y = c − b y x ≥ c − a
Interseccion de rectas
Dos rectas tropicales se pueden encontrar en infinitos puntos sin ser iguales
Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 20 / 23
Rectas Tropicales en T 2
R1 : 1⊗ x ⊕ 2⊗ y ⊕ 2 R2 : 2⊗ x ⊕ 3⊗ y ⊕ 4
Figura: Interseccion de rectas
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Conicas Tropicales
Figura: Conicas
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Referencias
Speyer, D. Sturmfels, B. Tropical Mathematics. (2004). Universityof California. Berkeley
Vainsencher, I. Geometria das amebas. (2007)
Ellis, A. Tropical Algebra. (2004)
Mostovoy, J. Las Matematicas tropicales. (2008). CINVESTAV
Laface, A. Introduccion a la Geometrıa Tropical. (2010)
Barros, V. Curvas Algebricas e Geometria Tropical. (2007).Universidade Federal do Rio de Janeiro. Rio de Janeiro
Cesar Rendon Mayorga (UPN) Geometrıa Tropical 2 de Diciembre de 2013 23 / 23
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