Notas sobre derivadas

NOTAS SOBRE DERIVADAS

Elaborado por: Camilo Andrés Ortiz Daza

Derivadas de Funciones Trascendentales de la forma 𝒚 = 𝒂𝒙.

Hasta el momento se ha visto que

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⟹ 𝑓´(𝑥) = 𝑒𝑥 Ec.1.

El problema radica entonces en encontrar las derivadas de funciones tales como

2𝑥, 3𝑥,8𝑥,10𝑥, entre otras. Así que, con el ánimo de calcular las derivadas de todas

ellas, debemos considerar en representar dichas funciones en forma generalizada,

así que debe seguir la misma estructura matemática de cada una de las funciones

antes mencionadas o de nada nos servirá la estrategia.

Por esta razón, llamaremos de forma generalizada a esta clase de funciones

trascendentales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, con el fin de que encontrar una regla que

permita calcular sus derivadas. En ese orden de ideas:

¿Cuál será la derivada de las funciones 2𝑥, 3𝑥, 8𝑥 y 10𝑥?

Para responder a la pregunta iniciaremos con nuestra forma generalizada que se

escribe como sigue:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 Ec.2.

Recuerde que

𝑎 = 𝑒ln 𝑎 Ec.3.

Reemplazando Ec. 3 en Ec.2 obtenemos

𝑓(𝑥) = (𝑒ln 𝑎)𝑥

Aplicando propiedades de los exponentes

𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑎

Derivando

𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 ln 𝑎(ln 𝑎)

Finalmente, simplificando

𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥(ln 𝑎) Ec.4.

Gracias a esta última ecuación podremos responder fácilmente a la pregunta inicial,

puesto que si 𝑎 = 1,2,3, … … … 𝑛 entonces

𝐷𝑥[1𝑥] = 0

𝐷𝑥[2𝑥] = 2𝑥(ln 2)

𝐷𝑥[3𝑥] = 3𝑥(ln 3)

𝐷𝑥[4𝑥] = 4𝑥(ln 4)

………………….

𝐷𝑥[8𝑥] = 8𝑥(ln 8)

𝐷𝑥[10𝑥] = 10𝑥(ln 10)

Entre otras1. Con esto concluimos en que Ec.4 puede ser aplicable a cualquier

función exponencial permitiendo encontrar sus derivadas de forma rápida y eficaz.

Derivadas de Orden Superior

Antes de empezar el lector debe recordar la forma de representar derivadas de

orden distinto a la unidad, vamos a indicar como representar desde la primera

derivada hasta la enésima derivada:

𝑑𝑓

𝑑𝑥= 𝑓′ representa en términos generales la primera derivada.

𝑑2𝑓

𝑑𝑥2= 𝑓′′ representa la segunda derivada.

𝑑3𝑓

𝑑𝑥3 = 𝑓′′′ representa la tercera derivada.

𝑑4𝑓

𝑑𝑥4= 𝑓(4) representa la cuarta derivada.

𝑑5𝑓

𝑑𝑥5 = 𝑓(5) representa la quinta derivada.

……………………………………………………………….

𝑑𝑘𝑓

𝑑𝑥𝑘= 𝑓(𝑘) representa la k-ésima derivada.

1 Hacer los arreglos algebraicos posibles de ser necesario y conveniente.

𝑑𝑛𝑓

𝑑𝑥𝑛 = 𝑓(𝑛) representa la enésima derivada.

Estos símbolos expresan en orden de la derivada según corresponda. El orden en

derivadas se refiere a la cantidad de veces que derivo la función, a continuación

mostraremos un ejemplo:

1) Encontrar la tercera derivada de la función 𝑥5

Solución:

Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥5, al derivar la primera vez, la derivada se escribe como

𝑓′(𝑥) = 5𝑥4

Derivando otra vez

𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3

Nuevamente al derivar

𝑓′′′(𝑥) = 60𝑥2

Este proceso da como resultado la tercera derivada de la función antes

indicada.

2) Encontrar la derivada enésima de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛

Solución:

𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1

𝑓′′(𝑥) = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)𝑥𝑛−2

𝑓′′′(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑥𝑛−3

𝑓(4)(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)𝑥𝑛−4

.

.

.

𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4) ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1

Este resultado corresponde 𝑛! = ∏ 𝑘𝑛𝑘=1 , que significa una sucesión de

productos enésima. De tal madera que la enésima derivada de esta función

se escribe como

𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑛!

3) Encontrar la derivada k-ésima de 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛

Solución:

De acuerdo con el ejercicio anterior

𝑓(𝑛)(𝑥) = 𝑛!

Análogamente

𝑓(𝑘)(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑥𝑛−𝑘

Ahora

𝑛! = (𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1))((𝑛 − 𝑘) ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1)

El segundo factor corresponde a (𝑛 − 𝑘)!, despejando

𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1) =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!

De esta manera

𝑓(𝑘)(𝑥) =𝑛!

(𝑛 − 𝑘)!𝑥𝑛−𝑘

4) Encontrar la k-ésima derivada de 𝑝 = 𝑓 ∙ 𝑔

Solución:

𝑝′ = 𝑓′ ∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′

𝑝′′ = 𝑓′′ ∙ 𝑔 + 2𝑓′ ∙ 𝑔′ + 𝑓 ∙ 𝑔′′

𝑝′′′ = 𝑓′′′ ∙ 𝑔 + 3𝑓′′ ∙ 𝑔′ + 3𝑓′ ∙ 𝑔′′ + 𝑓 ∙ 𝑔′′′

⋮

En general

𝑝(𝑛) = (𝑛

0) 𝑓(𝑛) ∙ 𝑔 + (

𝑛

1) 𝑓𝑛−1 ∙ 𝑔′ + ⋯ + (

𝑛

𝑛) 𝑓 ∙ 𝑔(𝑛)

El binomial puede ser escrito como sigue:

(𝑛

𝑘) =

𝑛!

𝑘! (𝑛 − 𝑘)!

Utilizando el binomio de Newton y usando convenientemente las siguientes

identidades 𝑓(0) = 𝑓, 𝑔(0) = 𝑔, 𝑓(1) = 𝑓′, 𝑔(1) = 𝑔′, 𝑓(2) = 𝑓′′, 𝑔(2) =

𝑔′′ ⋯ 𝑓(𝑛) = 𝑓(𝑛), 𝑔(𝑛) = 𝑔(𝑛), entonces

𝑝(𝑘) = ∑ (𝑛

𝑘) 𝑓(𝑛−𝑘) ∙ 𝑔(𝑘)

𝑛

𝑘=0

Donde (𝑛 − 𝑘) y (𝑘) representan el orden de las derivadas las funciones

respectivamente.

Ejercicios

¿Cuál es la derivada de la función 23𝑥? Sugerencia. Use la forma generalizada 𝑦 =

𝑎𝑥

a. 2𝑥(23𝑥) ∙ ln[2] ∙ ln[3]

b. 3𝑥(2𝑥) ∙ ln[2] ∙ ln[3]

c. 3𝑥(23𝑥) ∙ ln[2] ∙ ln[3]

d. (23𝑥) ∙ ln[2] ∙ ln[3]

e. 2𝑥(8𝑥) ∙ ln[2]

f. 3𝑥 ∙ ln[2] ∙ ln[3]

g. 3𝑥(23𝑥) ∙ ln[2] ∙ ln[3]

Repuesta “g”

Calcular la décima derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥5000

a) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073481456549436528438162585690000x4990

b) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073481456849436528438162585600000x4990

c) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073481456549436528438162585600000x4900

d) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073481456549536528438162585600000x4990

e) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073482456549436528438162585600000x4990

f) 𝑓(10)(𝑥) = 9678073481456549436528438162585600000x4990

g) 𝑓(10)(𝑥) = 9778073481456549436528438162585600000x4990

Respuesta “f”

¿Cuál es la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = (𝑥3 − 1)2?

a) 𝑓′′′(𝑥) = 12(10𝑥3 − 1)

b) 𝑓′′′(𝑥) = 120𝑥

c) 𝑓′′′(𝑥) = 12(10𝑥3 + 1)

d) 𝑓′′′(𝑥) = 12

e) 𝑓′′′(𝑥) = 10

f) 𝑓′′′(𝑥) = −12

g) 𝑓′′′(𝑥) = 0

Respuesta “a”

Encontrar la quinta derivada de 𝑓(𝑥) =(𝑥2+1)

5

(1−𝑥2)7

a) 960𝑥

(𝑥2−1)12(7𝑥14 + 294𝑥12 + 3153𝑥10 + 12760𝑥8 + 22185𝑥6 + 16350𝑥4 +

4159𝑥2 + 228)

b) 960𝑥

(𝑥2−1)12(7𝑥14 + 294𝑥12 + 3153𝑥10 + 12760𝑥8 + 22185𝑥6 + 16350𝑥4 +

4159𝑥2 + 228)

c) 960𝑥

(𝑥2−1)12(7𝑥14 + 294𝑥12 + 3153𝑥10 + 12760𝑥8 + 22185𝑥6 + 16350𝑥4 +

4159𝑥2 + 228)

d) 960𝑥

(𝑥2−1)12(7𝑥14 + 294𝑥12 + 3153𝑥10 + 12760𝑥8 + 22185𝑥6 + 16350𝑥4 +

4159𝑥2 + 228)

Respuesta “d”