Aplicaciones ecuaciones =d

ECUACIONES DIFERENCIALES

DE VARIABLES SEPARABLES

Un objeto que pesa 30 kg se deja caer desde una altura de 40 m, con una velocidad inicial de 3 m/seg. Supongamos que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad del cuerpo. Se sabe que la velocidad límite debe ser 40 m/seg. Encontrar: a) la expresión de la velocidad del objeto en un tiempo t, b) la expresión para la posición del cuerpo en un tiempo t y c) la

velocidad después de 8 segundos.

a) La fuerza neta F sobre un cuerpo es F = mg - kv, donde m es la masadel objeto, g es la fuerza de la gravedad y kv es la fuerza debida a laresistencia del aire (k es una constante de proporcionalidad).

Además, por la segunda ley de Newton, tenemos :

En este problema:

w = 30 kg y como w = mg, entonces mg = 30 kg

v. límite = 40 m/seg, donde v, ; entonces

Sustituyendo estos valores en la ecuación

ecuación lineal, cuya solución es

Con condición inicial: para t = O, v = 8,

b) Para encontrar la posición del cuerpo tomamos o entonces

ecuación de variables separables

con solución:

Para t = O , x = O Y C2 = -148

c) Para t = 8

ECUACIONES DIFERENCIALES

LINEALES

Un circuito RL tiene una fem de 5 voltios, una ínductancía de 1 henrio,una 1'esíst"encía de 80 ohmios y no tiene corriente inicial. Determinar lacorriente en el circuito para cualquier tiempo t.

El circuito más sencillo RL consta de:Una resistencia R, en ohmiosUna inductancia L, en henriosUna fuerza electromotriz, fem E, en voltios

La cantidad de corriente 1, en amperios, queda expresada por la ecuación:

Entonces, para E = 5, L = 1 Y R = 80, la ecuación del circuito es:

, ecuación lineal, cuya solución es:

Para t = O, 1 = O; entonces:

La corriente en cualquier tiempo t es:

ECUACIONES DIFERENCIALES

BERNOULLI

EL PAR DE AMIGOS

Consideremos inmóvil la corriente del río y Liborio llevará su velocidad más la del río.

Derivando:

ECUACIONES DIFERENCIALES

HOMOGÉNEAS

Régimen transitorio en corriente alterna.

Al cerrar la llave L la fuente aplica una tensión v variable en el tiempo de forma sinusoidal.Aplicando la ley de las mallas de Kirchoff tenemos:

Derivando

reordenado la expresión anterior y dividiendo por L miembro a miembro:

ecuación diferencial de 2º orden, con coeficiente constantes y no homogénea.Para resolver esta ecuación diferencia y estudiar el régimen transitorio respectivo, emplearemos uno de los métodos de resolución explicados en los apartados anteriores, por ejemplo, el método de los coeficientes indeterminados

Determinación de la función complementaria yh

Resolvemos

Esto ya lo sabemos hacer, de manera que obtendremos una de las siguientes soluciones

Determinación de la solución particular yp :

Partes variables

por lo tanto

http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_diferencial_ordinaria_de_primer_orden#Ecuaciones_de_variables_separables

Referencias

LibroECUACIONES DIFERENCIALESISABEL CARMONA JOVER