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DISTRIBUCIÓN GAMMA
LUIS ALEJANDRO PINEDA PULIDO
“Sirve de modelo para numerosos experimentos en donde interviene el tiempo como sucede en la llegadas de aviones a un aeropuerto y en general a los problemas de teoría de colas”1
Ejemplo: Problemas de tráfico en líneas telefónicas, ERLANG, 1900.
Problemas de Teoría de la confiabilidad Ejemplo Tiempo de falla de un sistema de componentes, cada uno
falla con frecuencia .
1.Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias
¿PARA QUE SIRVE?
“– El tiempo ( ó espacio) requerido para observar ? ocurrencias del evento A en el intervalo t ( ó región del espacio ), sucesos del tipo Poisson.– Flujos máximos, MARKOVIC, 1965.– Resistencia de componentes del concreto reforzado, TICHY VARLIETK, 1965.– Altura de la precipitación mensual, WHITCOMB, 1940.– Ingresos familiares.– Edad del hombre al contraer matrimonio por primera vez.– Tiempo total para completar una operación, sí ésta se lleva a cabo en subestaciones a una frecuencia”2.
2.http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10)
¿PARA QUE SIRVE?
“ALGUNAS VARIABLES ALEATORIAS SON NO NEGATIVAS SIEMPRE Y TIENEN
DISTRIBUCIONES SESGADAS A LA DERECHA, ES DECIR, LA MAYOR PARTE DEL ÁREA BAJO
LA GRAFICA DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD SE ENCUENTRA CERCA DEL ORIGEN Y LOS VALORES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD
DISMINUYEN GRADUALMENTE CUANDO X AUMENTA ” 4.
4.BLANCO CASTAÑEDA LILIANA, Probabilidad, ,Unibiblos,2004 Bogotá Colombia , pág. 144-145
CARACTERISTICAS
Una variable aleatoria x tiene una distribución Gamma si su densidad de probabilidad esta dada por:
DEFINICIÓN
0k0,,x0 )(
)( 1
kxexk
xF
Esta distribución continua depende de dos parámetros
parámetro que varia la forma de la distribución
k parámetro que varia la escala de la distribución
Parámetros en R
A continuación veremos una breve explicación de la función gamma que interviene en la definición de la distribución gamma
DEFINICIÓN
LEONARD EULER
“EN LA ACADEMIA DE PETERSBURGO ENTRE 1730 Y 1731 EULER CALCULA MIEMBROS
DE SERIES, MEDIANTE INTEGRALES
DETERMINADAS QUE MAS TARDE SERÁN
LLAMADAS FUNCIÓN BETA Y FUNCIÓN
GAMMA” 3.
3.HOFMAN JOSEPH EHRENFRIED, Historia de la Matematica,limusa,2002, México DF, pág. 280
Función Gamma o Función factorial o Integral Euleriana de
Segunda especieEs una función que extiende el concepto
de factorial a los números complejos.
Si k es un numero entero positivo entonces)!1()(
DEFINICIÓN
0
1 0 x0 )( kdxex xk
Demostración vamos a integrar por partes
y sucesivamente () = ( -1)( -2)( -3)...(1), pero (1) = 1 por integración directa.
( +1) = () (5)=4 (4) =4.3 (3)=4.3.2 (2)=4.3.2 (1)=4.3.2.1
0
2 )1()1()1()( dxex x
DEFINICIÓN
x-2
-x1
-e v )1(
edv
dxxdu
dxxu
Distribución exponencial caso particular cuando =1 y sabiendo que (1)=1
ALGUNOS CASOS PARTICULARES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
kx
kx
kx
kx
keXF
exk
XF
exk
XF
exk
XF
)(
1)(
)1()(
)()(
0
111
1
AGNER KRARUP ERLANG
NACIDO EN 1878 Y FALLECIDO EN 1929
MATEMATICO, ESTADISTICO E
INGENIERO DANES QUIEN INVENTO LOS
CAMPOS DE INGENIERIA DE
TRAFICO Y TEORIA DE COLAS
Distribución Erlang Fue desarrollada para examinar el número de las
llamadas telefónicas que se pudieron hacer al mismo tiempo a los operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo sobre el teléfono (Ingeniería de trafico) se ha ampliado para considerar tiempos de espera dentro de sistemas que hacen cola en general. La distribución ahora se utiliza en el campo de procesos estocásticos.
Se aplica en modelos de sistemas de servicio masivo, Ejemplo: En situaciones donde el servicio tiene que
realizar dos operaciones c/u con tiempo de servicio exponencial.
http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)
ALGUNAS VARIACIONES DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
MEDIA Y VARIANZA DE LA DISTRIBUCIÓN GAMMA
= E[X] = , 2 = V[X] = 2
PROPIEDADES
El tiempo en horas que semanalmente requiere una máquina
para mantenimiento es una variable aleatoria con distribución
Gamma con parámetros =3, =2
a)Encuentre la probabilidad que en alguna semana el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
EJEMPLO
22
2133
1
16
1
)3(2
1
)(
1)(
x
x
x
ex
ex
exXF
SoluciónSea X duración del mantenimiento en horas (variable aleatoria)Su densidad de probabilidad es:
EJEMPLO
Probabilidad de que el tiempo de mantenimiento sea mayor a 8 horas
El área Resaltada corresponde a P(x>8)
2381.016
11)8(1
8
0
22 dxexxPx
EJEMPLO
EN R
EN R
EN EXCELSintaxisDISTR.GAMMA( x, alfa,beta,acumulativo)X es el valor al que se desea evaluar la distribución.Alfa es un parámetro de forma la distribución.Beta es un parámetro de la escala distribución.Acumulado es un valor lógico que determina la forma de la función. Si acumulado es VERDADERO, DISTR.GAMMA devuelve la función de distribución acumulada, si es FALSE, devuelve la función de densidad de probabilidad.
EN EXCEL
EJEMPLO 2.Si el costo de mantenimiento en dólares es
Siendo X el tiempo de mantenimiento, encuentre el costo promedio de mantenimientoSolución:Nos solicitan el costo promedio ósea la esperanza de la función de costo
2230 xxC
623.][
][2][30
]230[][2
2
xE
xExE
xxECE
EJEMPLO
dolares 276)48(2)6(30][
)2
(48
16
1
16
1
)(][
0
24
0
222
0
22
cE
xydosustituyen
dxex
dxexx
dxXFxxE
x
x
Estadística descriptiva e Inferencial, Antonio Vargas Sabadias
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/sedes/manizales/4030011/lecciones/cap3/cap_3_pag_13.html(12/11/10 17:56)
http://www.worldlingo.com/ma/enwiki/es/Erlang_distribution(19/11/10 20:34pm)
http://office.microsoft.com/en-us/excel-help/gammadist-HP005209101.aspx?CTT=1(18/11/10 18:53)
BIBLIOGRAFIA
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