Mecánica De Sólidos Y Principio Del Trabajo Virtual

Mecánica ComputacionalMecánica Computacional

UNIVERSIDAD DE IBAGUÉUNIVERSIDAD DE IBAGUÉ

ESPECIALIZACIÓN EN ESPECIALIZACIÓN EN MECANICA DE MATERIALESMECANICA DE MATERIALES

Prof.: MSc. I.M. Carlos H. Galeano U.Prof.: MSc. I.M. Carlos H. Galeano U.

Campo de desplazamiento y cargaCampo de desplazamiento y cargaPara un punto con coordenadas:

perteneciente al cuerpo de la figura, se pueden definir unas componentes de desplazamiento, denominadas:

Así como unas componentes de carga puntual, superficial y/o volumétrica (o fuerza de campo):

Campo de esfuerzos y deformacionesCampo de esfuerzos y deformacionesDada la condición de deformabilidad del cuerpo, se genera en este (producto de las cargas y las restricciones cinemáticas) un campo de tensorial de deformaciones y esfuerzos.

x

y

Tensor de deformaciónTensor de deformación

Tensor de esfuerzoTensor de esfuerzo

Condiciones de compatibilidad Condiciones de compatibilidad cinemáticacinemática

Las expresiones de compatibilidad cinemática permiten obtener una relación entre el campo de desplazamientos y el campo de deformaciones presente en el cuerpo.

Matriz de operadores diferencialesMatriz de operadores diferenciales

Ley de Hooke generalizadaLey de Hooke generalizadaLa Ley de Hooke generalizada permite obtener el campo de esfuerzos, a partir del campo de deformaciones presentes en el cuerpo.

Ley de Hooke generalizadaLey de Hooke generalizadaExpresando las anteriores ecuaciones de forma matricial:

Matriz de elasticidadMatriz de elasticidad

Como se observa, solo se necesitan dos propiedades del material para tener totalmente definida la matriz de elasticidad. Lo anterior solo es válido en el caso de materiales isotrópicos.

Ley de Hooke generalizadaLey de Hooke generalizadaOrdenando la anterior ecuación de forma que la salida sea el vector de esfuerzos:

Esta es la expresión más general para la Ley de Hooke en materiales isotrópicos, se pueden deducir expresiones particulares para el caso bidimensional.

Ley de Hooke para esfuerzo planoLey de Hooke para esfuerzo planoPara el caso de esfuerzo plano, el vector de esfuerzo se reduce a las tres componentes presentes en uno de los planos del cubo de esfuerzo, por ejemplo para el caso del plano xy:

Ley de Hooke para esfuerzo planoLey de Hooke para esfuerzo plano

Entonces la expresión tridimensional se reduce a:

Que ejemplos de cuerpos cargados generan estados tensionales planos?

Ley de Hooke para deformación Ley de Hooke para deformación planaplana

Para casos en los que las componentes de deformación se encuentren contenidas en uno de los planos de la fibra (por ejemplo en el plano xy), la ley de Hooke generalizada también puede ser expresada de una forma más simple.

Sección transversal de una presa de gran longitud

Sección transversal de una tubería de gran longitud

Principio de Hamilton: minimización Principio de Hamilton: minimización del potencial de energíadel potencial de energía

El movimiento de los cuerpos sometidos a ciertas consideraciones de carga y restricción al desplazamiento, esta definido por aquella condición que logre extremar (minimizar) el valor de la acción I.

donde Π es denominado Langrangiano, el cual es una expresión energética definida como la diferencia entre la energía potencial, el trabajo desarrollado sobre el cuerpo y la energía cinética:

Para el caso de los problemas estáticos de cuerpos deformables, este Lagrangiano no tiene términos de energía cinética y además no cambia en el tiempo, por lo que el principio de Hamilton se reduce a la minimización del potencial de energía.

Principio de Hamilton: minimización Principio de Hamilton: minimización del potencial de energíadel potencial de energía

Para el caso de mecánica de cuerpos deformables en equilibrio estático, el Lagrangiano o potencial de energía se define como:

Energía potencial de deformaciónEnergía potencial de deformación

Trabajo desarrollado por las Trabajo desarrollado por las

diferentes cargas sobre el cuerpodiferentes cargas sobre el cuerpo