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Problema resuelto de la XXII olimpiada Thales para alumnos y alumas de 2º de ESO
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XXIII Olimpiada Thales
NÚMEROS AMIGOS:
Solución Menú
El número romano Zipi = CCXX, tiene un gran amigo que, obviamente, se llama Zape. Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi).¿Podrías averiguar qué número es Zape y cómo se expresa en números romanos?Comprueba también que Zipi es el gran amigo de Zape porque es la suma de todos sus divisores (excepto Zape).
Solución:
MenúEnunciado
Sigamos con las pistas del enunciado…
Empecemos averiguando el número Zipi.
Zipi = 220
El número romano Zipi = CCXX tiene un gran amigo que…
Recuerda que C=100 y X=10 en
números romanos con lo que…
Vayamos por partes…
Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los
divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)….
Así es que para saber qué número es Zape,
¡tendremos que calcular todos los divisores de 220!
Solución:
MenúEnunciado
Vamos a empezar factorizando a Zipi:
Para calcular todos sus divisores, basta ir cogiendo sus factores de todas
las formas posibles… ¡Fíjate!
220
110 255 511 11
1
220 = 22 x 5 x 11
2
Solución:
MenúEnunciado
220 = 22 x 5 x 11
Un solo factor
Factores que
cogemos
11X5X2X
Divisor11522
Solución:
MenúEnunciado
220 = 22 x 5 x 11
Dos factores
Un solo factor
Factores que
cogemos5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX
11X5X2X
Divisor11522
Solución:
MenúEnunciado
220 = 22 x 5 x 11
2x5x11=110XXX
22x11=44XXX
22x5=20XXX
5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX
11X5X2X
Divisor11522
Dos factores
Un solo factor
Factores que
cogemos
Tres factores
Solución:
MenúEnunciado
220 = 22 x 5 x 11
220XXXX
2x5x11=110XXX
22x11=44XXX
22x5=20XXX
5x11=55XX2x11=22XX2x5 =10XX2x2 = 4XX
11X5X2X
Divisor11522
Dos factores
Un solo factor
Factores que
cogemos
Tres factores
¡Y los cuatro!
Solución:
MenúEnunciado
220XXXX110XXX44XXX20XXX55XX22XX10XX4XX
11X5X2X
Divisor11522
Volvamos de nuevo a nuestra pista:
Zape es el gran amigo de Zipi porque es la suma de todos los
divisores de Zipi (sin contar al propio Zipi)….
Así que para encontrar a Zape, basta sumar todos los divisores de Zipi
quitando a Zipi=220.
1+2+5+11+4+10+22+55+20+44+110
Zape = 284
¡Y que no se nos olvide el 1!
Solución:
MenúEnunciado
Ahora sólo nos queda expresar Zape en números romanos…
Zape = 284 Zape = CCLXXXIV
Recuerda que L=50, V=5 y I=1, así que tenemos que:
Comprobemos ahora que Zape es también la suma de todos los divisores
de Zipi:
284 = 1 x 22 x 71
284
142 271 71
1
2
284XXX
142XX
4XX
71X
2X
Divisor7122
1+2+71+4+142=220Quitando a Zape y añadiendo el 1…
¡¡¡JUSTO ZIPI!!!
Solución:
MenúEnunciado
ESO SÍ QUE ES SER BUENOS AMIGOS
¿NO CREES?
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