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Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 1/44JJ J N I II 1/44
Tema 1Dinámica del sólido rígido
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 2/44JJ J N I II 2/44
Preliminares
ei · ej = e ′i · e ′j = δijCij ≡ ei · e ′j: matriz de paso de S ′ a S.
Fila i: componentes de ei respecto a S ′:ei = Cije
′j
Columna i: componentes de e ′i respecto a S:e ′i = Cjiej
Ejemplo: Rotación en torno al eje Z
C =
cos θ sen θ 0− sen θ cos θ 0
0 0 1
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 3/44JJ J N I II 3/44
Propiedades de C
Ortogonalidad
δij = ei · ej = CikCjl e′k · e ′l︸ ︷︷ ︸δkl
= CikCtkj −→ CC t = C tC = I3
Velocidad angular
d
dt(CC t) = 0 =
˙CC t + C
˙C t =
˙CC t + (
˙CC t)t = 0
La matriz Ω ≡ ˙CC t es antisimétrica. Podemos escribir
Ω =
0 ω3 −ω2
−ω3 0 ω1
ω2 −ω1 0
[11]=⇒ Ωjk = εijkωi
~ω: velocidad angular de S respecto a S ′.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 4/44JJ J N I II 4/44
Ejemplo: Rotación en torno al eje Z
˙C = θ
− sen θ cos θ 0− cos θ − sen θ 0
0 0 0
=⇒
Ω =
0 θ 0
−θ 0 00 0 0
La velocidad angular de S respecto a S ′ es ~ω = θ e3.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 5/44JJ J N I II 5/44
Teorema de Coriolis
Gaspard CORIOLIS, 1792–1843
La velocidad de un punto en ~r respecto a S ′ es(d~r
dt
)S ′
= x ′i e′i
donde e ′i = Ckiek = C tikek y x ′i = ~r · e ′i = Cji~r · ej = Cjixj =⇒ x ′i =
Cjixj + Cjixj.(d~r
dt
)S ′
= CjiCtik︸ ︷︷ ︸
δjk
xjek + CjiCtik︸ ︷︷ ︸
Ωjk
xjek = xjej + εijkωixjek[12]
=⇒
(d~rdt
)S ′
=(d~rdt
)S
+ ~ω × ~r
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 6/44JJ J N I II 6/44
DefiniciónSólido rígido: Sistema de partículas donde las distancias entre ellas no cam-bian en el tiempo. (|ri − rj| = cte ,∀ i, j).
Máximo número de grados de libertad: 6
3 puntos fijan la posición del sólido rígido.9 coordenadas para r1, r2 y r3.3 ligaduras: |r1 − r2|, |r2 − r3|, |r1 − r3| ctes.
9− 3 = 6
Punto fijoSus coordenadas no cambian en el tiempo respecto a algún sistema dereferencia inercial (e.g. punto de sujección de un péndulo).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 7/44JJ J N I II 7/44
Teorema de Euler
Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido que tiene un puntofijo O, siempre se puede pasar de la una a la otra mediante una rotaciónalrededor de un eje que pasa por O.
Leonhard EULER, 1707–1783
Teorema de Chasles
Dadas dos posiciones arbitrarias de un sólido rígido, siempre se puede pasarde la una a la otra aplicando una traslación seguida de un giro de infinitasformas posibles. Entre ellas, hay una en la que el eje de rotación es paraleloa la recta de traslación.
Michel CHASLES, 1793–1880
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 8/44JJ J N I II 8/44
Cinemática general
Teorema de Coriolis
~vI =d~rIdt
=d~rOIO
dt+d~r
dt= ~V0 + ~v + ~ω × ~r
Gaspard CORIOLIS, 1792–1843
Para un sistema no inercial solidario con el sólido rígido (~v = 0) tenemos
~vI = ~V0 + ~ω × ~r
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 9/44JJ J N I II 9/44
Movimiento en presencia de un punto fijo
Tomando como origen O el punto fijo: ~V0 = 0 y ~a0 = 0. El eje instantáneode rotación es la recta que pasa por O y es paralela a ~ω. Para eso puntos~vI = 0 en ese instante pues ~ω y ~r son paralelos.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 10/44JJ J N I II 10/44
Movimiento general
a) O se traslada con velocidad ~V0 y el sólido gira en torno a un eje quepasa por O con velocidad angular ~ω.
~vI = ~V0︸︷︷︸Traslación
+ ~ω × ~r︸ ︷︷ ︸Rotación
~V0 ∦ ~ω
b) El sólido rígido gira en torno a un eje móvil y además se traslada pa-ralelamente a ese eje (eje instantáneo de rotación). Esto se denominamovimiento helicoidal instantáneo.
~vI = λ~ω + ~ω × ~r ′
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 11/44JJ J N I II 11/44
DemostraciónPuntos del sólido con velocidad ~vI paralela a ~ω
~vI = λ~ω = ~V0 + ~ω × ~r =⇒ ~r =1
ω2~ω × ~V0 + µ ~ω (µ arbitrario)
Para comprobarlo sustituimos la solución en la ecuación
λ~ω = ~V0 +1
ω2~ω ×
(~ω × ~V0
)+ µ ~ω × ~ω︸ ︷︷ ︸
=0
[13b]=⇒ λ =
1
ω2~ω · ~V0
Recta paralela a ~ω que pasa por el punto P , con ~rP ≡ ~ω × ~V0/ω2
~r = ~rP + µ ~ω
Los puntos que están sobre esta recta tienen velocidad ~vI = λ~ω. La veloci-dad de cualquier punto del sólido rígido es
~vI = ~V0 + ~ω × (~r − ~rP ) + ~ω × ~rP[13b]= λ~ω + ~ω × ~r ′ con ~r ′ ≡ ~r − ~rP .
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 12/44JJ J N I II 12/44
a) ~vI = ~V0 + ~ω × ~r b) ~vI = λ~ω + ~ω × ~r ′
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 13/44JJ J N I II 13/44
Momento lineal del sólido rígido
dm = ρ(~r) d3~r
~P =
∫~vI dm =
∫(~V0 + ~ω × ~r) dm
= m~V0 + m~ω ×
∫
~r dm∫dm
= m(~V0 + ~ω × ~rc) = m~Vc
~P = m~Vc
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 14/44JJ J N I II 14/44
Momento angular del sólido rígido
Momento angular respecto a O:
d~L = ~r × ~vI dm =[~r × ~VO + ~r × (~ω × ~r)
]dm =⇒
~L = m
∫
~r dm∫dm
×~VO+
∫~r×(~ω×~r) dm = m~rc×~VO+
∫~r×(~ω×~r) dm
Si O coincide con un punto fijo: ~VO = 0
Si O coincide con el centro de masas: ~rc = 0
~L =
∫~r × (~ω × ~r) dm
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 15/44JJ J N I II 15/44
Movimiento plano de un sólido rígido
1. Todos los puntos del sólido rígido se mueven en planos paralelos a unode referencia: ~ω = ωk.
2. La distribución de masa es simétrica (zcm = 0):ρ(x, y, z) = ρ(x, y,−z).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 16/44JJ J N I II 16/44
Componentes de ~L en el movimiento plano
Lx = −ω∫xzρ(~r)d3~r = −ω
∫x dx
∫dy
∫zρ(x, y, z)︸ ︷︷ ︸Impar × Par
dz = 0
Ly = −ω∫yzρ(~r)d3~r = −ω
∫dx
∫y dy
∫zρ(x, y, z)︸ ︷︷ ︸Impar × Par
dz = 0
Lz = ω
∫ (x2 + y2
)ρ(~r)d3~r︸ ︷︷ ︸
I,momento de inercia
= Iω
~L = I~ω
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 17/44JJ J N I II 17/44
Eje y centro instantáneo de rotación
Movimiento plano, existe un eje —móvil en general— respecto al cual elcampo de velocidades es ~vI = ~ω × ~r ′ en cada instante.
~LCIR = I~ω
Demostración
Como queremos ver si ~vI = 0 para el CIR, entonces ~V0 = −~ω × ~rP
~V0 = −ωk ×(xE ı + yE + zE k
)=⇒
xE = −V0y/ωyE = +V0x/ω
Cualquier otro punto del sólido en movimiento plano:
~vI = ~V0 + ~ω × ~rP︸ ︷︷ ︸=0
+~ω × (~r − ~rP )︸ ︷︷ ︸≡~r ′
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 18/44JJ J N I II 18/44
Ejemplo: Rueda que se mueve sin deslizar sobre un plano horizontal.
La condición de rodar sin deslizar implica que V0x = ωR y V0y = 0, donde lavelocidad angular se escribe como ~ω = ωk, por lo que xE = 0 e yE = R. Eleje instantáneo de rotación es la línea negra de la fotografía, perpendicularal plano de movimiento.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 19/44JJ J N I II 19/44
Movimiento general de un sólido rígido
Usando ~r × (~ω × ~r) [A13b]= r2~ω − (~r · ~ω)~r y ωi =
∑3j=1 ωjδij
Li =3∑j=1
[∫ (r2δij − xixj
)dm
]ωj i = 1, 2, 3 .
Se define el tensor de inercia I , cuyas componentes se expresan como
Iij ≡∫ (
r2δij − xixj)dm =⇒ ~L = I · ~ω con I =
∫ (r2I3 − ~r ~r
)dm
siendo I3 el tensor unidad. Como el producto diádico ~r ~r es un tensor desegundo orden [A8], entonces I también lo es. Además el tensor de inerciaes simétrico.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 20/44JJ J N I II 20/44
En general, el momento angular y lavelocidad angular NO son paralelos.
Momentos y productos de inercia
I11 =
∫(y2 + z2) dm I22 =
∫(x2 + z2) dm I33 =
∫(x2 + y2) dm
I12 = I21 = −∫xy dm I13 = I31 = −
∫xz dm I23 = I32 = −
∫yz dm
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 21/44JJ J N I II 21/44
Energía cinética del sólido rígido
Energía cinética de dm: (1/2)(~VO + ~ω × ~r
)2
dm. Por tanto,
T =1
2mV 2
0 + m~VO · (~ω × ~rc) +1
2
∫(~ω × ~r)2
dm
Si O coincide con un punto fijo: T =1
2
∫(~ω × ~r)2
dm
Si O coincide con cm: T =1
2mV 2
c +1
2
∫(~ω × ~r)2
dm
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 22/44JJ J N I II 22/44
Movimiento plano
Como (~ω × ~r)2 = ω2 (x2 + y2):
Si O coincide con un punto fijo: T =1
2IOω
2
Si O coincide con el centro de masas: T =1
2mV 2
c +1
2Icω
2
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 23/44JJ J N I II 23/44
Ejemplo
xc = b− L
2cosϕ yc =
L
2senϕ
Utilizando el centro de masas
Sabiendo que Ic = (1/12)mL2 resulta
T =1
2m(x2c + y2
c
)+
1
2Ic ϕ
2 =1
6mL2ϕ2
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 24/44JJ J N I II 24/44
Utilizando el centro instantáneo de rotación
Como xE = −yc/ϕ = −(L/2) cosϕe yE = xc/ϕ = (L/2) senϕ⇒
~rE =L
2(− cosϕ ı + senϕ )
~rc =
(b− L
2cosϕ ı
)+L
2senϕ
~RE = ~rE + ~rc = (b− L cosϕ) ı + L senϕ
T = (1/2) IE ϕ2 con IE = Ic + m
(L
2
)2
=1
3mL2︸ ︷︷ ︸
Steiner
⇒ T =1
6mL2ϕ2
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 25/44JJ J N I II 25/44
Movimiento general
(~ω × ~r)2 = (~ω × ~r)k(~ω × ~r)k[A12]= εijkωixjεklmωlxm
εijkεklm[A11]= δilδjm − δimδjl ⇒ (~ω × ~r)2 = ω2r2 − ωiωjxixj
ω2 = ωiωjδij ⇒ (~ω × ~r)2 = ωi(r2δij − xixj
)ωj
1
2
∫(~ω × ~r)2
dm =1
2ωiIijωj =
1
2~ωt · I · ~ω
Si O coincide con un punto fijo: T =1
2~ωt · I · ~ω
Si O coincide con el centro de masas: T =1
2mV 2
c +1
2~ωt · I · ~ω
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 26/44JJ J N I II 26/44
Momento de inercia respecto a un eje arbitrario
nt · I · n =∑ij
niIijnj
=
∫ (r2∑ij
δijninj −∑i
xini∑j
xjnj
)dm
=
∫ [r2 − (n · ~r)2
]dm ≡ In
In = nt · I · n
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 27/44JJ J N I II 27/44
Eje principales de inercia
Transformación de semejanza
I ′[A6]= C t · I · C t
C t = C−1
=⇒ I ′ = C−1 · I · C
Tras la transformación I = diag(I1, I2, I3), donde Ik son los momentosprincipales de inercia y los nuevos ejes son los ejes principales deinercia. En dichos ejes, la contribución de la rotación a la energía cinéticadel sólido rígido es
TR =1
2
∑k
Ikω2k
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 28/44JJ J N I II 28/44
Algunos teoremas útiles
Todo plano de simetría es perpendicular a un eje principal de inercia.
Todo eje de simetría es eje principal de inercia.
Ejemplo: cilindro homogéneo
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 29/44JJ J N I II 29/44
Teorema de los ejes perpendiculares
Cuando un sólido rígido presenta un espesor despreciable en alguna direcciónespacial, entonces I3 = I1 + I2, siendo el eje Z perpendicular al plano quecontiene a dicho sólido.
Ejemplo: Placa rectangular de masa m y demensiones a× b.
I1 =1
12mb2
I2 =1
12ma2
I3 =1
12m(a2 + b2
)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 30/44JJ J N I II 30/44
Teorema de los ejes paralelos
Sean dos sistemas de referencia, uno deellos con origen en el centro de masas deun sólido rígido, con los ejes paralelos dosa dos:
Iij = Icij + m(a2δij − aiaj)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 31/44JJ J N I II 31/44
Demostración:
Basta sustituir la relación ~r ′ = ~r − ~a en la definición
Iij =
∫ (~r ′ · ~r ′δij − x′ix′j
)dm =
∫ (r2δij − xixj
)dm + m
(a2δij − aiaj
)+ 2~a
∫~r dm︸ ︷︷ ︸= 0
+2aj
∫xi dm︸ ︷︷ ︸= 0
+2ai
∫xj dm︸ ︷︷ ︸= 0
Teorema de Steiner
Considerando los elementos diagonales:
Iii = Icii + m(a2 − a2i )
siendo a2 − a2i el cuadrado de la distancia entre los ejes Xi y X ′i
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 32/44JJ J N I II 32/44
Elipsoide de inercia
∑ij
Iijxixj = 1Ejes propios−→
∑i
Iix2i = 1
Propiedades
a) El momento de inercia del sólido rígido respecto aun cierto eje es el inverso del módulo del vector deposición de la intersección de elipsoide con dichoeje.
Demostración
n =~r
r⇒ In =
∑ij
niIijnj =∑ij
Iijxir
xjr
=1
r2
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 33/44JJ J N I II 33/44
b) Si ~ω es paralela a ~r, entonces la normal al elip-soide de inercia en el punto de intersección conel eje de giro es paralela a ~L.
Demostración
Sea f (x1, x2, x3) ≡∑
ij Iijxixj. La ecuación del elip-soide de inercia es f (x1, x2, x3) = 1. Las componen-tes del vector normal al elipsoide son
∂f
∂xi=∑j
Iijxj~r ‖ ~ω∝∑j
Iijωj = Li
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 34/44JJ J N I II 34/44
Ecuaciones del movimiento
Movimiento plano
L =1
2m(x2c + y2
c
)+
1
2Ic φ
2 − U(xc, yc, φ)
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 35/44JJ J N I II 35/44
Ecuaciones del movimiento
mxc +∂U
∂xc= Q′x
myc +∂U
∂yc= Q′y
Icφ +∂U
∂φ= Q′φ ⇒M = L = Q′φ −
∂U
∂φQ′ → Fuerzas no conservativas
Energía potencial gravitatoria
Ug =
∫gh(xc, yc, φ)dm = mg
∫h(xc, yc, φ)dm∫
dm= mghc
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 36/44JJ J N I II 36/44
Movimiento general
~F =d~P
dt
~M =d~Lcdt
~Lc = Ic · ~ω
Las ecuaciones del movimiento son igualmente válidas si el origen del sistemade referencia no inercial coincide con un punto fijo, pues se cumple que~LO = IO · ~ω.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 37/44JJ J N I II 37/44
Ecuaciones de Euler
Como ωi = d∗ωi/dt y ~L =∑
i Iiωiei =⇒ ~M = d∗~Ldt
+~ω×~L =∑
i Iiωiei+
~ω × ~L obtenemos:
M1 = I1ω1 + (I3 − I2)ω2ω3
M2 = I2ω2 + (I1 − I3)ω1ω3
M3 = I3ω3 + (I2 − I1)ω1ω2
Casos útiles
a) Si ~M = 0 las ecuaciones son integrables.
b) Si conocemos ~ω podemos determinar ~M (reacciones, etc).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 38/44JJ J N I II 38/44
Ejemplo
Un sólido rígido no sometido a momentos externos cuyos tres momentosprincipales de inercia son distintos sólo puede girar con velocidad angularconstante en torno a un eje principal de inercia.
ωi = 0 y Mi = 0 =⇒ ω1ω2 = ω1ω3 = ω2ω3 = 0
Por tanto, sólo una componente de ~ω puede ser no nula.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 39/44JJ J N I II 39/44
Trompo simétrico sin momentos aplicados
Por definición I1 = I2 ≡ A y I3 ≡ C.
0 = Aω1 + (C − A)ω2ω3
0 = Aω2 + (A− C)ω1ω3
0 = Cω3 =⇒ ω3 = cte
Sea la constante Ω ≡ C−AAω3. Entonces
ω1 + Ωω2 = 0ω2 − Ωω1 = 0
=⇒
ω1(t) = ω⊥ cos(Ωt + δ)ω2(t) = ω⊥ sen(Ωt + δ)
La proyección de ~ω sobre el plano XY describe un movimiento circularuniforme con velocidad angular Ω. Como ω2
1 + ω22 = ω2
⊥ es constante,entonces ω =
√ω2
1 + ω22 + ω2
3 = cte.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 40/44JJ J N I II 40/44
Momento angular: L3 = Cω3 y ~L⊥ = A~ω⊥. Eje Z, ~L y ~ω coplanarios.
Cono sólido descrito por ~ω en su rotación en torno a Z. El ángulo desemiabertura es tanα = ω⊥/ω3.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 41/44JJ J N I II 41/44
Sistema de referencia inercial
~L = cte, por lo que el eje Z y ~ω se mueven rígidamente, rotando en tornoal momento angular.
Cono espacial descrito por ~ω en su rotación en torno a ~L. El ángulo desemiabertura es |α− β| con tan β = Aω⊥/(Cω3).
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 42/44JJ J N I II 42/44
Ángulos de Euler
Rotación en el plano X ′1 −X ′2
Rφ =
cosφ senφ 0− senφ cosφ 0
0 0 1
φ es el ángulo de precesión.
Rotación en el plano X ′′2 −X ′′3
Rθ =
1 0 00 cos θ sen θ0 − sen θ cos θ
θ recibe el nombre de ángulo de nutación.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 43/44JJ J N I II 43/44
Rotación en el plano X ′′′1 −X ′′′2
RΨ =
cos Ψ sen Ψ 0− sen Ψ cos Ψ 0
0 0 1
Ψ recibe el nombre de ángulo de espín.
Cambio de ejes
RΨRθRφ =
c φ cΨ− s φ c θ sΨ s φ cΨ + c φ c θ sΨ s θ sΨ−c φ sΨ− s φ c θ cΨ −s φ sΨ + c φ c θ cΨ s θ cΨ
s φ s θ −c φ s θ c θ
donde s ≡ sen y c ≡ cos.
Curso 2006-2007
Universidad ComplutenseJJ J N I II 44/44JJ J N I II 44/44
Componentes de la velocidad angular
ωφ = φ (precesión) dirigida a lo largo de X ′3.
ωθ = θ (nutación) dirigida a lo largo de la línea de nodos.
ωΨ = Ψ (espín) dirigida a lo largo de X3.
y en el sistema de referencia no inercial
ω1 = φ sen θ sen Ψ + θ cos Ψ
ω2 = φ sen θ cos Ψ− θ sen Ψ
ω3 = φ cos θ + Ψ
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