es un trabajo bien detallado con algunas caracteristicas propias...
2. MATRICES 3. CONCEPTO DE MATRIZ
- Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza
aunque, en general, suelen ser nmeros ordenados en filas y
columnas.
- Se llamamatrizde orden "m n" a un conjunto rectangular de
elementos a ij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de
una matriz tambin se denominadimensinotamao , siendo m y n nmeros
naturales.
4.
- Las matrices se utilizan en el clculo numrico, en la resolucin
de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales
y de las derivadas parciales. Adems de su utilidad para el estudio
de sistemas de ecuaciones lineales, las matrices aparecen de forma
natural en geometra, estadstica, economa, informtica, fsica,
etc...
- La utilizacin de matrices constituye actualmente una parte
esencial donde los lenguajes de programacin, ya que la mayora de
los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas
en filas y columnas : hojas de clculo, bases de datos,...
5.
- Las matrices se denotan con letras maysculas: A, B, C, ... y
los elementos de las mismas con letras minsculas y subndices que
indican el lugar ocupado: a, b, c, ... Un elemento genrico que
ocupe la fila i y la columna j se escribe a ij. Si el elemento
genrico aparece entre parntesis tambin representa a toda la matriz
: A = (a ij )
6.
- Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas
hablamos de lneas. El nmero total de elementos de una matriz Amn es
mn En matemticas, tanto lasListascomo lasTablasreciben el nombre
genrico de matrices.
7.
- Unalista numricaes un conjunto de nmeros dispuestos uno a
continuacin del otro.
-
- Dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq son iguales, s y
solo si, tienen en los mismo lugares elementos iguales, es decir
:
- ALGUNOS TIPOS DE MATRICES
-
- Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que segn su
forma, sus elementos, ... reciben nombres diferentes :
8. 9. 10. 11. 12.
- Para establecer las reglas que rigen el clculo con matrices se
desarrolla un lgebra semejante al lgebra ordinaria, pero en lugar
de operar con nmeros lo hacemos con matrices.
13.
-
- La suma de dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq de la
misma dimensin (equidimensionales) : m = p y n = q es otra matriz C
= A+B = (c ij )mn = (a ij +b ij )
14.
- Es una ley de composicin interna con las siguientes PROPIEDADES
:
- Asociativa: A+(B+C) = (A+B)+C Conmutativa: A+B = B+A Elem.
neutro: ( matriz cero 0 mn) , 0+A = A+0 = A Elem. simtrico: (
matriz opuesta -A ) , A + (-A) = (-A) + A = 0
- Al conjunto de las matrices de dimensin mn cuyos elementos son
nmeros reales lo vamos a representar por M mn y como hemos visto,
por cumplir las propiedades anteriores, ( M, + ) es un grupo
abeliano.
15.
- PRODUCTO DE UN NMERO REAL POR UNA MATRIZ
-
- Para multiplicar un escalar por una matriz se multiplica el
escalar por todos los elementos de la matriz, obtenindose otra
matriz del mismo orden.
16.
- Es una ley de composicin externa con las siguientes PROPIEDADES
:
17.
-
- Dadas dos matrices A = (a ij )mn y B = (b ij )pq donde n = p,
es decir, el nmero de columnas de la primera matriz A es igual al
nmero de filas de la matriz B , se define el producto AB de la
siguiente forma :
-
- El elemento a que ocupa el lugar (i, j) en la matriz producto
se obtiene sumando los productos de cada elemento de la fila i de
la matriz A por el correspondiente de la columna j de la matriz
B.
-
- Se llama matriz inversa de una matriz cuadrada An y la
representamos por A -1 , a la matriz que verifica la siguiente
propiedad : A -1 A = AA -1= I
-
- Decimos que una matriz cuadrada es "regular" si su determinante
es distinto de cero, y es "singular" si su determinante es igual a
cero.
18.
- Slo existe matriz inversa de una matriz cuadrada si sta es
regular.
- La matriz inversa de una matriz cuadrada, si existe, es
nica.
- Entre matrices NO existe la operacin de divisin, la matriz
inversa realiza funciones anlogas .
19. TABLA DE VERDAD 20. TABLA DE VERDAD
- es una tabla que despliega el valor de verdad de una proposicin
compuesta, para cada combinacin de valores de verdad que se pueda
asignar a sus componentes.
- Fue desarrollada por Charles Sanders Peirce por los aos 1880,
pero el formato ms popular es el que introdujo Ludwig Wittgenstein
en suTractitos logico-philosophicus , publicado en 1921.
21. Definicin y algoritmo fundamental
- Considrese dosproposiciones AyB . Cada una puede tomar uno de
dosvalores de verdad : o 1 (verdadero), o 0 (falso). Por lo tanto,
los valores de verdad deAy deBpueden combinarse de cuatro maneras
distintas: o ambas son verdaderas; oAes verdadera yBfalsa, oAes
falsa yBverdadera, o ambas son falsas. Esto puede expresarse con
una tabla simple:
1 2 3 4 5 A B C B/C A/(B/C) V V V V V V V F V V V F V V V V F F
F F F V V V F F V F V F F F V V F F F F F F 22.
- Considrese adems a " " como unaoperacinoconjuncin lgicaque
realiza unafuncin de verdadal tomar los valores de verdad deAy deB
, y devolver un nico valor de verdad. Entonces, existen 16
funciones distintas posibles, y es fcil construir una tabla que
muestre qu devuelve cada funcin frente a las distintas
combinaciones de valores de verdad deAy deB .
23. Contradiccin
- Se entiende por proposicin contradictoria, o contradiccin,
aquella proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de
verdad su valor siempre es F. Dicho de otra forma, su valor F no
depende de los valores de verdad de las proposiciones que la
forman, sino de laformaen que estn establecidas lasrelacionesde
unas con otras. Sea el caso: [(A/B)/(A/B)]/C
1 2 3 4 5 6 7 8 A B C A/B A/B (A/B) (A/B)/(A/B) [(A/B)/(A/B)]/C
V V V V V F F F V V F V V F F F V F V F V F F F V F F F V F F F F V
V F V F F F F V F F V F F F F F V F F V F F F F F F F V F F 24.
Tautologas
- Se entiende por proposicin tautolgica, o tautologa, aquella
proposicin que en todos los casos posibles de su tabla de verdad su
valor siempre es V. Dicho de otra forma, su valor V no depende de
los valores de verdad de las proposiciones que la forman, sino de
laformaen que estn establecidas lasrelaciones sintcticasde unas con
otras. Sea el caso: [(A->B)/(B->C)] ->(A->C)
- Siguiendo la mecnica algortmica de la tabla anterior
construiremos su tabla de verdad:
A B C A->B B->C (A->B)/(B->C) (A->C)
[(A->B)/(B->C)] ->(A->C) V V V V V V V V V V F V F F F
V V F V F V F V V V F F F V F F V F V V V V V V V F V F V F F V V F
F V V V V V V F F F V V V V V 25. Tablas de verdad, proposiciones
lgicas y argumentos deductivos
- En realidad toda la lgica est contenida en las tablas de
verdad, en ellas se nos manifest todo lo que implican las
relaciones sintcticas entre las diversas proposiciones.
- No obstante la sencillez del algoritmo, aparecen dos
dificultades.
- La gran cantidad de operaciones que hay que hacer para una
proposicin con ms de 4 variables.
- Esta dificultad ha sido magnficamente superada por la rapidez
de los ordenadores, y no presenta dificultad alguna.
- Que nicamente ser aplicable a unesquema de inferencia ,
oargumentocuando la proposicin condicionada, como conclusin, sea
previamente conocida, al menos como hiptesis, hasta comprobar que
su tabla de verdad manifiesta una tautologa.
26. LGICA MATEMTICA 27. Desarrollo.
- La lgica matemtica es ladisciplinaque trata de mtodos de
razonamiento. En un nivel elemental, la lgica proporciona reglas y
tcnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El
razonamiento lgico se emplea en matemticas para demostrar teoremas;
en ciencias de la computacin para verificar si son o no correctos
losprogramas ; en las ciencias fsica y naturales, para sacar
conclusiones deexperimentos ; y en las ciencias sociales y en la
vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas.
Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgico para
realizar cualquier actividad.
28. Proposiciones y operaciones lgicas.
- Una proposicin o enunciado es una oracin que puede ser falsa o
verdadera pero no ambas a la vez. La proposicin es un elemento
fundamental de la lgica matemtica.
- A continuacin se tienen algunos ejemplos de proposiciones
vlidas y no vlidas, y se explica el porqu algunos enunciados no son
proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra
minscula, dos puntos y la proposicin propiamente dicha.
Ejemplo.
29.
- s: El Morelia ser campen en la presente
- w: Lava el coche por favor.
30. Conectivos lgicos y proposiciones compuestas.
- Existen conectores u operadores lgicas que permiten formar
proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los
operadores o conectores bsicos son:
- Operador and (y) : Se utiliza para conectar dos proposiciones
que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado
verdadero. Si smbolo es: {, un punto (.), un parntesis}. Se le
conoce como la multiplicacin lgica
31.
- Sea el siguiente enunciado El coche enciende cuando tiene
gasolina en el tanque y tiene corriente la batera
- q: Tiene gasolina el tanque.
- r: Tiene corriente la batera.
32. Proposiciones condicionales.
- Una proposicin condicional, es aquella que est formada por dos
proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la
siguiente manera:
- p q Se lee Si p entonces q
- Ejemplo. El candidato del PRI dice Si salgo electo presidente
de la Repblica recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo
ao. Una declaracin como esta se conoce como condicional. Su tabla
de verdad es la siguiente:
- p: Sali electo Presidente de la Repblica.
- q: Recibirn un 50% de aumento en su sueldo el prximo ao.
33. Proposicin bicondicional.
- Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la
proposicin bicondicinal de la siguiente manera:
- p q Se lee p si solo si q
- Esto significa que p es verdadera si y solo si q es tambin
verdadera. O bien p es falsa si y solo si q tambin lo es. Ejemplo;
el enunciado siguiente es una proposicin bicondicional
- Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez
- q: Tiene promedio de diez.
34. Equivalencia lgica.
- Se dice que dos proposiciones son lgicamente equivalentes, o
simplementeequivalentes . Si coinciden sus resultados para los
mismovaloresde verdad. Se indican como p q.
- Considero que un buen ejemplo es el que se estableci para
ilustrar la tautologa en donde se puede observar que las columnas
de (pq) y (qp) para los mismo valores de verdad, por lo tanto se
puede establecer que (pq) (qp)
35. Reglas de inferencia
- Los argumentos basados en tautologas representan mtodos de
razonamiento universalmente correctos. Su validez depende solamente
de la forma de las proposiciones que intervienen y no de los
valores de verdad de las variables que contienen. A esos argumentos
se les llamareglas de inferencia.Las reglas de inferencia permiten
relacionar dos o ms tautologas o hiptesis en una demostracin.
36. Bibliografa.LibroAutorEditorialEstructuras de Matemticas
DiscretasBernard Kolman, Robert C. Bisby, Sharon RossPrentice
HallElements of Discrete MathematicsC.L.LiuMc graw HillMatemticas
Discreta y CombinatoriaRalph P. GrimaldiAddiso WesleyMatemticas
Discretas con aplicacin a las ciencias de la computacinJean Paul
Tremblay, Ram ManoharCECSAMatemticas DiscretasKenneth A. Ross,
Charles R.B. WrightPrentice HallMatemtica Discreta y LgicaWinfried
Karl, Jean Paul TremblayPrentice HallMatemticas DiscretasRichard
JohnsonbaughGpo. Editorial Iberoamerica