01 presentación winfred assibey - geoestadistica spanish

MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS PARA LA EVALUACIÓN DE RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN DE RECURSOS

MINERALESMINERALES

MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS MÉTODOS GEOESTADÍSTICOS BÁSICOS PARA LA EVALUACIÓN DE RECURSOS PARA LA EVALUACIÓN DE RECURSOS

MINERALESMINERALES

Capacitación-Cerro Corona

Agosto 2006Agosto 2006

2222

CONTENIDOCONTENIDO

• Introducción• Motivación• Antecedentes históricos y tendencias actuales• Cambio de Soporte y Post-Procesamiento• Alcance• Estudios de Caso• Discusiones

3333

ANTECEDENTES HISTÓRICOSANTECEDENTES HISTÓRICOS

• Resumen del nacimiento de la Geoestadística, fortalezas y limitaciones, éxitos y fracasos, y razones de los mismos

La Geoestadística Minera en los últimos Cincuenta Años

4444


• Distribución Log-normal de Valores de Muestras tomadas en Minas de Oro Sudafricanas – Sichel, finales de la década de los 40

• La observación realizada por Danie Krige en las Minas de Oro Sudafricanas en 1951 constituye el fundamento de la geoestadística:

“Se puede prever que los valores de oro a nivel de toda una mina estarán sujetos a una mayor variación relativa que los valores de oro a nivel de sólo una parte de la mina” [en otras palabras, es más probable que las muestras tengan valores similares si son tomadas en puntos cercanos que si son tomadas en puntos más distantes]

La Geoestadística Minera en los Últimos Cincuenta Años

5555


• Contribución al Marco Teórico – Matheron, década de los 60

• Matheron acuñó el término “Kriging” en reconocimiento al trabajo pionero de Krige

• Avances significativos a nivel teórico, década de los 70• Disminución General en el Ritmo de Avance – proceso de

maduración, década de los 80, y una vez más se reconoce a la geología como elemento vital en el modelamiento de depósitos

• Se cometieron errores desastrosos tales como: uso de datos inapropiados (GIGO), desestimación de la geología, escasa comprensión y aplicaciones ineficientes

La Geoestadística Minera en los Últimos Cincuenta Años

6666

TENDENCIAS ACTUALESTENDENCIAS ACTUALES

• Métodos de estimación actualmente utilizados• Modelos de eficiencia• Modelos de Cambio de Soporte• Técnicas de Post-Procesamiento• Modelamiento de Incertidumbres y Riesgos:

Estimación y Simulación • Avance hacia el Futuro

Perspectiva Internacional y Mejores Prácticas

7777


• Kriging simple y ordinario – método de regresión multivariada original empleado por Krige

• Kriging Log-normal • Kriging universal• Kriging disyuntivo • Pruebas iterativas de kriging de indicadores

(kriging de probabilidades-PK, kriging de indicadores múltiples-MIK, etc.)

Métodos de estimación – Depende de la naturaleza del depósito y el objetivo del

modelamiento

8888


• Subvaloración y sobrevaloración sistemáticas de estimados de bloques en diferentes categorías de leyes.

SESGOS CONDICIONALES

9999

EXPLICACIÓN DE SESGOS EXPLICACIÓN DE SESGOS CONDICIONALESCONDICIONALES

3

4

4

5

5

6

6

3 4 4 5 5 6 6

ESTIMADOS DE BLOQUES

VA

LO

RE

S R

EA

LE

S.

Y=X

SOBREESTIMACIÓNSUBESTIMACIÓN

Y sobre X

10101010


• Definición y explicación de Eficiencia• Falta de Eficiencia y decisiones económicamente

costosas de minado selectivo

Modelos de Eficiencia

11111111

MODELO DE EFICIENCIAMODELO DE EFICIENCIA

CORRELACIÓN ENTRE EFICIENCIAS Y PENDIENTES

% E

FIC

IEN

CIA

VALORES REALES/ESTIMADOS PENDIENTE DE REGRESIÓN

12121212

INTRODUCCIÓN

ESTADÍSTICA CLÁSICA Y ESPACIAL

• Dos Enfoques Estadísticos Principales de la Evaluación de Recursos Minerales

• Estadística Clásica y Espacial

• Estadística Clásica: Asume que las muestras son aleatorias o que no están correlacionadas

Ignora las posiciones relativas de las muestras (E.G., WITS y T de Sichel)

Muy pocas situaciones

• Estadística Espacial: Toma en cuenta la correlación entre las muestras

Es más probable que las muestras de un tajo sean similares si éstas se toman en puntos cercanos que si se toman en puntos distantes

La Teoría de Geoestadística está basada en la estadística espacial. Cubre una rama de la estadística aplicada orientada a la descripción matemática y el análisis de observaciones espaciales (incluyendo observaciones geológicas)

13131313

ESTIMACIÓN

• Se define como la predicción del valor de una característica en una ubicación donde dicho valor se

desconoce, en base a los valores de las características medidas en ubicaciones conocidas.

• Error de Estimación: Discrepancia entre el valor estimado y el Valor Real. Depende de:

La variabilidad de los valores a estimar

La eficiencia del método de estimación

La cantidad de información disponible

• Ejemplo de Modelo Geológico (6)

INTRODUCCIÓN

14141414

ETAPAS DE ESTIMACIÓN (8)

CRITERIOS PARA LA EVALUACIÓN DE MODELOS

• En promedio, los modelos, conceptos, supuestos y estimados deben ser correctos

• Los errores individuales locales deben ser mínimos

INTRODUCCIÓN

15151515

MUESTREO Y MINADO: Medición de Variabilidad en diferentes Escalas (10)

• El ensayo o medición realizada a una muestra es un promedio medido sobre el volumen de la muestra, por ej. un testigo de perforación o una muestra de guijarros.

• A medida que el volumen cambia, las características de los valores medidos cambian también (Ver ejemplos (10))

• El Promedio de las leyes es el mismo para las distintas longitudes

• Sin embargo, la variabilidad de las leyes medidas se reduce – éste es un concepto general conocido como “relación Volumen-Varianza”.

A medida que el volumen sobre el cual se toma la muestra aumenta, la varianza o variabilidad de los valores de la muestra se reduce.

El minado (selección) se realizó en base a un volumen de bloque específico o paneles y no a volúmenes de testigos de perforación.

Los Tonelajes y Leyes pronosticadas en base a testigos de perforación no se pueden lograr en base a bloques de minado.

Se aplica a bloques de minado o Unidades de Minado Selectivo inapropiados

INTRODUCCIÓN

16161616

CONSECUENCIAS PRÁCTICAS DEL EFECTO DE ESCALA

• Ejemplos para Trabajar (En Clase)

INTRODUCCIÓN

17171717

CORTES Y CAMBIO DE SOPORTECORTES Y CAMBIO DE SOPORTE

0.90 0.95 1.00 0.90

0.90 1.00 1.05 1.10

1.05 1.35 1.25 1.20

1.15 1.20 1.30 1.30

Bloque Grande dividido en bloques SMU (Unidad de Minado Selectivo) de 16 5m x 5m

Ley media sobre ley de corte- Proporción sobre ley de corte-Ley -de corte Bloques pequeños Bloque grande Bloques pequeños Bloque grande 0.90 1.10 1.10 100% 100% 1.00 1.16 1.10 75% 100% 1.15 1.25 0.00 44% 0%

18181818

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

DEFINICIONES

• POBLACIÓN: Grupo de objetos con características específicas

• MUESTRA: Número de objetos seleccionados de la población de acuerdo con ciertas reglas específicas. Las características de la ‘muestra” se miden y estudian para hacer una inferencia.

• SOPORTE: En geoestadística, una muestra es asociada a su soporte; se refiere al tamaño, volumen, forma y orientación de la muestra.

INTRODUCCIÓN

19191919

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

ZONAS HOMOGENEAS GEOLÓGICAS

Todo análisis geoestadístico requiere que las poblaciones en estudio sean razonablemente homogéneas, es decir, que los datos no cubran a una mezcla de poblaciones con características significativamente distintas

Los tipos de mineralización/minerales (por ej. supergénicos, hipogénicos, etc., y también sub-dominios) proporcionan una base útil y fundamental en este aspecto.

Siempre recordar el prefijo ‘GEO’ en GEOestadística.

NOTACIÓN (13)

INTRODUCCIÓN

20202020

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (16)

• DISTRIBUCIÓN DE DATOS MEDIANTE HISTOGRAMAS O FREQUENCIAS

Una distribución de frecuencias describe cómo las unidades de una población están distribuidas en el rango de sus posibles valores

Ejemplos Trabajados en base a Datos

• Frecuencia Relativa

• Frecuencias Acumuladas y Acumuladas Inversas

INTRODUCCIÓN

21212121

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (18,19)

• HISTOGRAMA DE LEYES DE DIFERENTES TAMAÑOS DE MUESTRA

Nótese la pequeña proporción de ensayos con resultados de alta ley y una proporción más pequeña de ensayos con resultados de baja ley para longitudes de testigos de 2m

INTRODUCCIÓN

22222222


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN

• Distribuciones Simétricas y Asimétricas o Histogramas• MEDIA: la medida comúnmente utilizada es la media aritmética

• MODA: La moda de un conjunto de números es el valor que aparece con mayor frecuencia, es decir, es el valor que más se repite; picos de histogramas

Ejemplo 1. La moda del conjunto 2,5,7,9,9,9 10 es 9

Ejemplo 2. El conjunto 3,5,8,10 no tiene moda

Ejemplo 3. El conjunto 3, 4,4, 5, 5 ,7 tiene dos modas, 4 y 5-bimodal

Así, pueden existir varias modas. Esto podría representar una mezcla de poblaciones (zonas no homogéneas) (Ver Fig.13). A la distribución que sólo tiene una moda se le denomina unimodal.

INTRODUCCIÓN

23232323


MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL O POSICIÓN

• MEDIANA: Es el valor central o la media aritmética de los dos valores centrales. Divide los datos en dos mitades iguales.

• Ejemplo 1

La mediana de 3,4,4,6,7,8,8,8,10 es 7

• Ejemplo 2

La mediana de 5,5,7,9,11,12,15,18 es ½(9+11) = 10

RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA (FIG 14)

INTRODUCCIÓN

24242424

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (23,24)

RELACIÓN ENTRE MEDIA, MEDIANA Y MODA PARA SOPORTES O LONGITUDES DIFERENTES (Tabla 4)

• La Media será siempre la misma, cualquiera sea la longitud o volumen de la muestra

• La moda y la mediana cambian.

INTRODUCCIÓN

25252525


MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN

• El grado en el cual los datos numéricos están dispersos con respecto a un valor promedio.

- Los histogramas ubicados o centrados en los mismos valores medios pueden diferir (Fig. 18). La variación, magnitud o dispersión proporcionan su identidad.

- La dispersión o variación puede darse con respecto a la media, mediana o moda.

- La medida de dispersión más común: Rango, desviación media, rango intercuartílico, varianza y desviación estándar

- Rango = máximo - mínimo

Ejemplo: 2,3,5,12 : (12-2=10)

- Desviación Media o Desviación Absoluta Media (28)

- Rango Intercuartílico = el 75vo valor más grande – el 25vo valor más grande

- Rango Semi-intercuartílico e= ½ del rango intercuartílico

INTRODUCCIÓN

26262626

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA (28 & 29)

MEDIDAS DE DISPERSIÓN O VARIACIÓN

• VARIANZA = La desviación promedio elevada al cuadrado con respecto a la

media.= suma de (valor muestral - media)**2 número de muestras – 1

Es la medida de dispersión o magnitud de valores más usada

Ejemplo (28)

• DESVIACIÓN ESTÁNDAR = Raíz cuadrada de la varianza.

INTRODUCCIÓN

27272727

EJEMPLOS TRABAJADOS

1. Calcule la media, moda, mediana, varianza y desviación estándar del conjunto: 2 2 5 7 9

INTRODUCCIÓN

28282828

PROPIEDADES DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR Y LA DISTRIBUCIÓN NORMAL

HISTOGRAMAS MODELO

• Curva de frecuencia suave para histogramas (Fig. 19, pág. 32)

• Distribución Normal (33): mayormente así denominada (Usada para la transformación Normal o Gausiana)

• En la Distribución Normal (34):

El 68.45% de todos los valores están comprendidos entre (media-s) y (media + s)

(es decir, una desviación estándar en cualquier lado de la media)

El 95% de todos los valores están comprendidos entre (media-2s) y (media+2s)

(es decir, dos desviaciones estándar en cualquier lado de la media)

El 99% de todos los valores están comprendidos entre (media-3s) y (media+3s)

(es decir, tres desviaciones estándar en cualquier lado de la media)

• Las distribuciones geológicas son desviadas y no son directamente normales, aunque aquellas que han sido transformadas logarítmicamente pueden ser normales; a tales distribuciones se les denomina log-normales. Para las distribuciones log-normales, la desviación log-estándar tiene propiedades similares a las antes mencionadas (68%, 95% 99%)

INTRODUCCIÓN

29292929

EJEMPLOS TRABAJADOS (David : Clase)

Tablas de Distribución Normal (Determinadas por la media y la varianza/Desviación Estándar)

- Distribución Normal Estándar

Todas las distribuciones normales se pueden transformar a distribuciones estándar:

Valor Normal Estándar = (valor muestral – media de la muestra)

desviación estándar

Se puede usar la función NORMDIST de Excel para hacer el cálculo

Se proporcionan Tablas Compiladas en la forma estándar

INTRODUCCIÓN

30303030

EJEMPLOS TRABAJADOS (David : Clase)

Pregunta: Supongamos que descubrimos un importante yacimiento de oro de 100 mt, con un promedio de 5.4 gramos/tonelada (g/t) y una distribución normal de leyes. La desviación estándar de muestras de testigos de perforación es 0.7. El mineral debe ser extraído en tres categorías: por debajo de 4.6 g/t, debe ser apilado para el descanso navideño; por encima de 4.6 g/t y por debajo de 6 g/t, va a la Planta I; por encima de 6 g/t es transportado a una planta diferente (Planta II). Estime el tonelaje de cada categoría (Usando la Tabla de Distribución Normal Estándar).

- Ahora la selección de bloques de minado se realizará en bloques o paneles de ‘Unidades de Minado Selectivo (SMU) mucho más grandes’, teniendo una desviación estándar más pequeña de 0.4. Estime los nuevos tonelajes extraídos en esta Grande Unidad de Minado Selectivo (Definir SMU). Comparar el impacto del cambio de SMU con el primer ejemplo.

INTRODUCCIÓN

31313131

DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL

• El histograma logarítmico (leyes) es normal.

• Ventaja: Mejor manejo de datos sesgados y uso de las propiedades de la distribución normal.

• T de Sichel.

• CLD y LNGIG.

• Detalles y Ejemplos (fotocopia-WITS). (CORTE NATURAL DE INFORMACIÓN 1).

INTRODUCCIÓN

32323232

AGRUPACIÓN DE DATOS

• Muestreo por conglomerados o agrupación de taladros - representan ‘sesgo humano’ (por ej., se hacen más perforaciones para confirmar las áreas con mineral de alta ley).

• Crea sesgo en estadística e histogramas.

INTRODUCCIÓN

33333333

DESAGRUPACIÓN DE DATOS

• Geozonas separadas para poblaciones mixtas

• Población única

• Uso de mallas sobre los datos

OPCIONES

• Seleccionar sólo un dato por celda

• Ponderar inversamente las muestras en los bloques respectivos

• Promediar los datos dentro de las celdas

• Probar varias celdas y orígenes

• Ejemplo y Discusión

INTRODUCCIÓN

34343434

DOS VARIABLES (35)

• Media condicional y varianza condicional

• Covarianza y correlación (38-42)

INTRODUCCIÓN

35353535

REGRESIÓN (43)

• Análisis de Regresión (Lineal, multi-lineal, etc.)

• Coeficiente de covarianza y correlación

(CORTE NATURAL DE INFORMACIÓN)

INTRODUCCIÓN

36363636

FUENTES DE ERROR (48-53)

• Errores de estimación debido a la variabilidad de las leyes

• Las fuentes de error debido a variabilidad son:

• Continuidad

• Zona de influencia

• Variación estructural y a pequeña escala

• Grado de homogeneidad

• Modo de Formación

CRITERIOS DE ESTIMACIÓN

37373737

EJEMPLO SIMPLE DE VARIOGRAMA-ESTRUCTURA ESPACIAL (63)

•Valores de ley en un tajo (g/t)

1) 1 7 3 6 2 9 4 8 52) 1 3 5 7 9 8 6 4 2

Para ambos: Media = 5g/t Varianza = 6.7

Pero la naturaleza de la variabilidad es muy diferente

1) Es muy errática2) Cambia; es gradual y sistemática

Promedio de (diferencia)**2 entre pares sucesivos

1) 22.0 baja correlación2) 3.6 alta correlación = Valores de Variograma

VARIOGRAMA

38383838

DEFINICIÓN (64)

• El variograma para un espaciamiento de muestra d es la mitad de la diferencia promedio al cuadrado entre

todos los pares de muestras separados por una distancia d

Ejemplo-1-D Manual (65)

También 2-D y 3-D (67, 69)

NOTA: ‘Variograma’ y Semivariograma se utilizan indistintamente

VARIOGRAMA

39393939

PROPIEDADES DEL VARIOGRAMA (70)

• Zona de Influencia

- En general, el variograma aumenta con la distancia

- En promedio, la diferencia entre los valores aumenta con la distancia

- La tasa de aumento del variograma refleja la tasa a la cual la influencia o correlación de valores disminuye con la distancia

- La tasa de aumento puede variar (anisotropía) o no (isotropía) — Ver Fig. 46

• Continuidad (71)

Es reflejada por la tasa de crecimiento del variograma sobre distancias pequeñas. Cuando el grado de continuidad es alto, existe muy poca diferencia entre las muestras tomadas en puntos cercanos, y los valores del variograma para distancias pequeñas serán bajos.

- Mientras más bruscos sean los cambios en los valores muestrales, más altos serán los valores del variograma.

Ver Fig. 47 (desde a hasta d)

VARIOGRAMA

40404040

PROPIEDADES DEL VARIOGRAMA (70)

• Estructuras de Transición (72, Fig. 48)

- Rango : Coloca un valor máximo en la zona de influencia

- Meseta : El variograma fluctúa alrededor de un valor constante=meseta (varianza)

• Anisotropías (73)

- El grado de continuidad cambia con la dirección (Fig. 49)

- Anisotropías geométricas y zonales

- Homogeneidad geológica y variogramas (Fig. 53)

VARIOGRAMA

41414141

TIPOS DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES

• Tradicional: Uso de leyes brutas en la fórmula del variograma

• Variogramas logarítmicos: transformación logarítmica (logaritmo(leyes)) antes del cálculo del variograma.

• De Indicadores: Transformación de indicadores antes del cálculo.

• Relativo: Divide el variograma para las distancias respectivas entre el cuadrado de la media de los datos usados para calcular el variograma.

• Relativo de parejas

por cada par de muestras

dividir entre (la mitad de (muestras de cabeza + muestras de relave)**2

• Variograma de puntajes normales: Transforme los datos a distribución normal estándar antes del cálculo del variograma

• Covarianza: Mapea la parte de correlación del variograma (la correlación disminuye con la distancia)

• Correlograma: Divida entre (desviación estándar de muestras de cabeza)*desviación estándar de muestras de relave)

VARIOGRAMA

42424242

MODELADO DE VARIOGRAMAS EXPERIMENTALES

• Típicos: Modelo de Variograma Esférico (Fig. 54, pp82 : Fig. 57, pp84)

• Lineal, gausiano

• Estructuras Anidadas

VARIOGRAMA

43434343

INTERPRETACIÓN Y MODELADO DE VARIOGRAMAS: PROBLEMAS Y SUGERENCIAS

• INGREDIENTE MÁS IMPORTANTE

• Conocimiento geológico; Controles sobre mineralización

- Estructural – estructuras transversales, etc.

- Dirección, buzamiento

• Variogramas a lo largo del taladro: información densa, asistencia para estimados de pepita

• Espaciamiento de Paso - Distancia incremental para el cálculo de variogramas

• Por lo menos distancia de paso (lag)=espaciamiento de muestreo

• Espaciamiento desigual de muestras – Uso de compósitos relativos a la escala de minado o múltiplos (87)--- también los datos disponibles después de compositar o regularizar

• Datos no alineados: uso de Ángulo de Tolerancia (Fig. 59-pp88)

• Alta anisotropía esperada (uso de ángulo de menor tolerancia, datos limitados-mayor tolerancia

• Visualización del número de parejas usadas por paso, modelo para meseta=varianza de datos

• Variogramas erráticos: Cortes Superiores, transformación logarítmica, transformación Gausiana, etc.

• Variograma cruzado (91)

• EJEMPLOS ( en Datamine - Prácticas)

VARIOGRAMA

44444444

VARIOGRAMAS: DIFERENTES TAMAÑOS DE SOPORTE O BLOQUE (85)

• El variograma representa características espaciales medidas para un soporte o volumen específico.

• Cada tamaño de soporte, por ej. muestras de guijarros individuales en una sección de minado, es decir, partículas de cms de tamaño, y promedios de 50x50m en la misma sección, producirá variogramas distintos.

• Por lo general:

- El efecto de pepita disminuye con el aumento del TAMAÑO DE SOPORTE O BLOQUE

- La varianza de los valores se reduce a medida que su volumen o tamaño aumenta

- El rango de influencia tiende a aumentar el tamaño de soporte


VARIOGRAMA

45454545

CÁLCULOS NUMÉRICOS DE VARIOGRAMAS DENTRO DE VOLÚMENES (DISCRETIZACIÓN):

• Ejemplos

• Relación de Krige (94)


VARIOGRAMA

46464646

GENERALIDADES

• Principios de estimación

• Varios métodos de estimación

• Fortalezas y debilidades de las diferentes técnicas

TÉCNICAS DE ESTIMACIÓN

47474747

PRINCIPIOS DE ESTIMACIÓN

• Controles e ingresos geológicos fundamentales (‘GEO’ en GEOestadística)

• Proporcionar estimados precisos e insesgados: globales y locales. Estimados para estudios de factibilidad

confiables y para diversos requerimientos de planificación minera (a corto, mediano y largo plazo)

• Impacto directo sobre $$$$


48484848

CALIDAD DE LA ESTIMACIÓN

• Ejemplos de elipse de error (Estimación buena y deficiente: sesgos condicionales)

• IMPACTO DE ESTIMACIONES IMPRECISAS

• Decisiones erradas sobre factibilidad de uso intensivo de capital

• Asignación errónea de material mineral y de desecho

• Pérdidas operativas

• Posibilidad de reconciliación deficiente


49494949

EJEMPLOS

• Vecino más próximo

• Poligonales

• Inverso de la distancia (varias potencias)

• Kriging (varias pruebas iterativas)


50505050

VECINO MÁS PRÓXIMO (NN)

• Valor muestral asignado al punto de estimación

• Ejemplo

+ 4g/t + ? + 10g/t

A B C

A a B = 5m, B a C =15m

Estimado del vecino más próximo para el punto B = 4g/t

Ventaja: rápido, no requiere ponderación matemática

Desventaja: imperfecto, ignora la variabilidad espacial de las leyes y el efecto de escala (volumen-varianza)


51515151

MÉTODOS POLIGONALES

• Valor de la muestra dentro de los respectivos polígonos asignados como estimados

• Los polígonos pueden tener cualquier forma: cuadrangular, triangular, seccional, etc.

Ejemplo

Ventajas y desventajas: Ver Vecino más Próximo (Consecuencias de aplicar cortes a las muestras en lugar de SMU’s)


52525252

MÉTODOS DE PONDERACIÓN

• Suma de las leyes de las muestras ponderadas

Estimado= ( peso1 * valor muestral1 + peso2 * valor muestral2 + … peson * valor muestraln )

• Ejemplos

• Media aritmética: Asigna el mismo peso a todas las muestras


53535353

MÉTODOS DE PONDERACIÓN DE LA DISTANCIA• MÉTODOS DE INVERSO DE LA DISTANCIA (ID)

• Intuitivamente, las muestras más cercanas están más correlacionadas al punto de estimación

• Asigna altos pesos a las muestras cercanas

• Estimado de ID= Suma de leyes de las muestras ponderadas

• Ejemplos: Estimado del Inverso de la Distancia al Cuadrado (IDS): pondera cada muestra en función inversa a la distancia2 y divide el resultado entre la suma de las distancias inversas2

• + 1.1

+ 0.5 B

A +? +1.5

C D

AC= 8m, BC= 7m, CD= 12m

IDS = 0.5/(82) + 1.1/(72) + 1.5/(122)

((1/82) + (1/72) + 1/122))

=


54545454

MÉTODOS DE PONDERACIÓN DE LA DISTANCIA

MÉTODOS DE INVERSO DE LA DISTANCIA (ID)

Ventaja

• Rápido

• Fácil de usar

Desventaja

• Los supuestos no son siempre verificados. Por qué ID al cuadrado y no al cubo, etc.

• No se toma en cuenta el agrupamiento, los parámetros de variograma y la escala

• Puede hacer una sobrepredicción para cuerpos mineralizados con alto efecto de pepita/sesgados positivamente.


55555555

PONDERACIÓN DE LA DISTANCIA-ESTIMACIÓN ÓPTIMA (184)

• KRIGING

Estimado= ( peso1 * valor muestral1 + peso2 * valor muestral2 + …

peson * valor muestraln )

• Los pesos (basados en el variograma) se computan para proporcionar

• un estimado insesgado

• produciendo una varianza de estimación mínima (error)

• ( CORTE ANTES DE LA DERIVACIÓN)


56565656

PONDERACIÓN DE LA DISTANCIA-ESTIMACIÓN ÓPTIMA (184)

• GENERALIDADES SOBRE LA DERIVACIÓN DE KRIGING (184-194)

• EJEMPLOS

• DISCRETIZACIÓN

• IMPACTO DE LOS CAMBIOS SOBRE LOS PARÁMETROS DEL VARIOGRAMA (Pepita, etc.)

• DIFERENTES PRUEBAS ITERATIVAS (OK,SK,Lognormal, IK,MIK, etc.)

• ESTIMACIÓN Vs SIMULACIÓN

• (CORTE)


57575757

• SESGOS CONDICIONALES

• EFICIENCIA DEL KRIGING

• PESOS DEL KRIGING

• CORRELACIÓN ENTRE VALORES REALES VS VALORES ESTIMADOS

• PESO DE LA MEDIA

PRUEBAS DE CALIDAD DEL KRIGING

58585858

• SESGOS CONDICIONALES


59595959

La eliminación de estos sesgos es fundamental para la valoración del mineral y todos los procedimientos geoestadísticos.

David: ‘Estimación Geoestadística de Reservas de Minerales (1977)’:

La insesgadez condicional es ‘el

- tema clave del trabajo preparado por Krige en 1951,

- uno de los temas clave del trabajo que preparó en 1976,

Y luego ‘apareció como una revelación para mucha gente’.

Posteriormente, recalcó además que ‘existe un efecto de suavización inevitable’ en el proceso de kriging por bloques.

SESGOS CONDICIONALES

60606060

¿POR QUÉ SON IMPORTANTES?

La figura que aparece abajo muestra cómo estos sesgos dan lugar a una mala clasificación de los bloques de mineral, lo que conlleva a un nivel de utilidad muy inferior al que se podría lograr. Línea de tendencia = línea de regresión, y pendiente (es decir, desvío con respecto a la pendiente de 45 grados) = medida de sesgo.

SESGOS CONDICIONALES (continuación)

ESTIMADOS DE BÚSQUEDA LIMITADA vs. VALORES REALES

SECTORES: ESTIMADOS Y VALORES REALES, AMBOS NO ENTREGABLES=A; AMBOS ENTREGABLES=C

ESTIMADOS NO ENTREGABLES, VALORES REALES ENTREGABLES=B; ESTIMADOS ENTREGABLES, VALORES REALES NO ENTREGABLES=D

ESTIMADOS CATEGORIZADOS INCORRECTAMENTE=B Y D (XHATCHED)

‘Val

ores

rea

les’

cor

resp

ond

ien

tes

Estimados de búsqueda con 1 a 8 puntos

Tendencia promedio

61616161

SESGOS CONDICIONALES (cotd)

ESTIMADOS KRIGEADOS ADECUADOS VS ‘VALORES REALES’

SEGMENTOS: ESTIMADOS Y VALORES REALES: AMBOS NO ENTREGABLES =A, AMBOS ENTREGABLES =C

ESTIMADOS NO ENTREGABLES, VALORES REALES ENTREGABLES=C

ESTIMADOS ENTREGABLES, VALORES REALES NO ENTREGABLES=D

ESTIMADOS CATEGORIZADOS INCORRECTAMENTE: SEGMENTOS B&D (XHATCHED)

Val

ores

rea

les

corr

esp

ond

ien

tes

Estimados krigeados con búsqueda adecuada

Tendencia promedio

62626262

1. Datos insuficientes. En 1950, sólo se usaban datos periféricos para cada bloque. Hoy en día, con la geoestadística, la rutina de búsqueda de datos a menudo sigue siendo inadecuada, aún cuando la base de datos completa está instalada en la computadora.

2. No se realiza ningún análisis previo para determinar la rutina de búsqueda mínima requerida para eliminar los sesgos.

3. No se llevan a cabo estudios de seguimiento para registrar la presencia de estos sesgos y la necesidad de eliminarlos.

¿QUÉ CONTRIBUYE A LOS SESGOS CONDICIONALES?

63636363

Sesgado Positivamente: Estimados de Bloques versus Promedios de Taladros

EJEMPLOS PRÁCTICOS DE SESGO CONDICIONALP

RO

ME

DIO

S D

E T

AL

AD

RO

S—

AI%

Estimados de Bloque a Largo Plazo – AI%

TENDENCIA DE REGRESIÓN

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EFICIENCIA DE BLOQUE Y PENDIENTE DE REGRESIÓN

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1. Definición de Eficiencia:

La eficiencia se puede medir de la siguiente manera:

Eficiencia = (BV-KV)/BV expresada como un porcentaje.

Donde: BV = Varianza de Bloques (es decir, la varianza de los valores reales del bloque – (Calculada a partir de la discretización del variograma)

y KV = Varianza de Kriging (es decir, la varianza de error de los estimados de bloque respectivos)

Para valoraciones perfectas: KV = 0, la varianza de dispersión (DV) de los estimados (calculada a partir del modelo krigeado observado) = BV; entonces:

Eficiencia = (BV-0)/BV = 100%.

Cuando sólo un estimado global de todos los bloques es posible, todos los bloques se valorarán en base a la media global, es decir:

DV = 0, KV = BV, y Eficiencia = (BV-BV)/BV = 0%.

Usualmente, los bloques se valoran de manera imperfecta. Sin sesgos condicionales:

DV = BV – KV, y Eficiencia = (BV-KV)/BV = DV/BV.

EFICIENCIA DE ESTIMADO DE BLOQUE Y PENDIENTE DE REGRESIÓN

66666666

Sin embargo, cuando hay presencia de sesgos condicionales, esta relación no se cumple y entonces:

DV > (BV-KV) debido a la insuficiente suavización, y

Eficiencia < DV/BV = (BV-KV)/BV

La eficiencia puede incluso ser negativa si KV>BV. Dicha situación es absurda y las valoraciones de los bloques no tendrán utilidad; sin embargo, el autor ha encontrado en la práctica varios casos en que la información a la que se tuvo acceso por bloque fue insuficiente.

EFICIENCIA DE ESTIMADO DE BLOQUES Y PENDIENTE DE REGRESIÓN

67676767

EFICIENCIA VERSUS PENDIENTE DE REGRESIÓN

CORRELACIÓN ENTRE EFICIENCIAS Y PENDIENTES

% E

FIC

IEN

CIA

VALORES REALES/ESTIMADOS PENDIENTE DE REGRESIÓN

68686868

Razón Principal = Rutina de búsqueda de datos limitada – es decir, número de datos empleados.

El nivel requerido de datos depende de:

El tamaño y forma de los bloques de mineral

Patrón de datos y posición relativos al bloque.

Patrón espacial de datos (variograma).

Variabilidad local (Pepita)

Rango

Forma

Anisotropías (Dirección para variaciones en la intensidad de las continuidades). {Nótese que el ID al cuadrado no puede incorporar todos estos elementos}

POR QUÉ OCURREN SESGOS CONDICIONALES

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¿Por qué los estimados krigeados son suavizados?

SUAVIZACIÓN

EFECTO DE SUAVIZACIÓN DE KRIGING

Val

ores

rea

les

de

blo

qu

e

ESTIMADOS DE BLOQUE

ESTIMADOS

Estimados sujetos a regresión

VALORES

REALES

70707070

IMPLICANCIAS:

Los recursos indicados e inferidos deben ser valorizados en bloques grandes para asegurar que no se produzcan sesgos condicionales. Son muy suaves y conllevan a la sobrevaloración o subvaloración de los tonelajes y leyes de corte, respectivamente, y deben ser ‘post-procesadas’.

El efecto de suavización también se puede reducir y la calidad de las estimaciones de los bloques de recursos indicados adyacentes o cercanos a las áreas minadas se pueden mejorar mediante:

La regularización de los datos del área minada en bloques de datos y el uso de sus leyes medias junto con cualquier dato limitado del área donde se encuentra el recurso, mediante co-kriging, para valorar estos bloques de recursos.

SUAVIZACIÓN (continuación)

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• EN EL KRIGING ORDINARIO

- LA SUMA DE LOS PESOS ES 1.0 (INSESGADEZ GLOBAL)

- UNA ALTA PROPORCIÓN DE PESO CERO O NEGATIVO PUEDE INDICAR LA NECESIDAD DE REDUCIR LA

BÚSQUEDA

- LOS PESOS PERIFÉRICOS ALTOS RELATIVOS AL PESO TOTAL PODRÍAN INDICAR LA NECESIDAD DE INCREMENTAR LA BÚSQUEDA

- CON MUESTRAS DE BAJO EFECTO DE PEPITA DENTRO DE LOS BLOQUES, OBTIENE UN MAYOR PESO Y SUCEDE LO CONTRARIO CON MUESTRAS DE ALTO EFECTO DE PEPITA.

PESOS DE KRIGING

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• COEFICIENTE DE CORRELACIÓN DE VALORES REALES VERSUS VALORES ESTIMADOS (R)

- ESTO SE PUEDE CALCULAR EN BASE AL VARIOGRAMA

- PARA ESTIMADOS DE KRIGING DIFERENTES, MIENTRAS MAYOR SEA LA CORRELACIÓN, MEJOR


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•PESO DE LA MEDIA

- COMO UNA PRUEBA PARA LA BÚSQUEDA ADECUADA CON LA TÉCNICA DE KRIGING, SE PUEDE CALCULAR EL KRIGING SIMPLE CORRESPONDIENTE (KRIGING CON MEDIA CONOCIDA). EL PESO ASIGNADO A LA MEDIA SE PUEDE ANALIZAR. POR LO GENERAL, CUANDO SE

ASIGNA A LA MEDIA UN PESO MAYOR AL 10-15%, UNA MAYOR VECINDAD DE BÚSQUEDA

REDUCIRÁ EL SESGO CONDICIONAL PARA EL ESTIMADO DE KRIGING ORDINARIO.


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1. Use las unidades de datos y tamaño de bloques correctos.

2. Establezca todos los modelos y parámetros geoestadísticos necesarios. Verifique si existen tendencias obvias en la ley, ancho, gravedad específica (SG), ingresos geológicos, etc. y subdivida los datos en sub-áreas/Dominios lógicos, o tome en cuenta la tendencia de manera adecuada.

3. Tenga cuidado con los ‘cortes superiores’.

4. Determine la rutina de búsqueda requerida para eliminar los Sesgos Condicionales. Use los bloques de datos regularizados cuando sea apropiado.

5. Cuando sea posible, verifique para cada sub-área los promedios generales de las leyes de los bloques versus los promedios de los datos usados después de que estos últimos hayan sido desagrupados. Ello permitirá determinar si existe algún sesgo global obvio (esto no siempre es posible cuando hay extrapolación directa); Revise el modelo de Bloque versus los datos (secciones, etc.)

6. A medida que los bloques sean extraídos, realice estudios de seguimiento para validar sus estimados.

CONSEJOS BÁSICOS

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RELACIÓN VOLUMEN-VARIANZA-Relación de Krige (94):

: TRABAJO DE APCOM

Sea:

s2(v/D) = varianza de leyes de bloques pequeños v (por ej. SMU = 5x5x2.5m) dentro de un Depósito (D)

s2(v/V) = varianza de leyes de bloques v dentro de un bloque grande V (por ej. 20x20x2.5m)

s2(V/D) = varianza de leyes de bloque grande V dentro de un Depósito (D)

La relación entre estas tres varianzas es:

s2(v/D) = s2(v/V) + s2(V/D)

A esto se le denomina la relación de Krige.

• Las varianzas geoestadísticas se pueden calcular por medio de variogramas y la relación de Krige. Se requieren para pasar de una

escala a otra (Detalles del ejemplo de APCOM contenido en el Estudio de Caso).

TAMAÑO DE BLOQUE-ESCALA

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CARACTERÍSTICAS DE TAMAÑO DE BLOQUE Y LEY (198):

TRABAJO DE APCOM

• Curvas de ley/tonelaje para diferentes tamaños de bloque (8.1.1)

• Las características de las leyes estimadas y verdaderas (8.1.2)

LEYES ESTIMADAS Y VERDADERAS

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LA VARIANZA DE LEYES VERDADERAS DE BLOQUES (200-210)

TRABAJO DE APCOM

Sea:

s2(v/V) = varianza de las ‘leyes verdaderas’ de los bloques v (por ej. 5x5x3) dentro de un bloque o banco grande (V)

S*2(v/V) = varianza de las ‘leyes estimadas’ del bloque v(5x5x3) dentro del bloque o banco grande V

s2k = varianza de kriging promedio de los bloques v

Se cumple la siguiente relación:

s2(v/V) = S*2(v/V) + s2k

Esto sirve de base para el post-procesamiento a fin de obtener curvas de ley/tonelaje realistas (no suavizadas), especialmente para estimaciones de recursos basadas en datos limitados derivados de perforación diamantina (DD)/circulación de reservas (RC).


TAMAÑO DE BLOQUE-ESCALA

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DATOS DE CONTROL DE RECURSOS/LEYES DERIVADOS DE DD/RC/BH – CONTROL DE LEYES/ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS A LARGO PLAZO

INGRESOS GEOLÓGICOS

• Individuales estratigrafías/mineral Tipo de zona perímetros/mallas de alambre

• Zonas/dominios homogéneos

• Estructura, etc.

• Geología: Impacto significativo sobre cualquier técnica de estimación

ESTUDIO DE CASO

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ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS

• VERIFICACIÓN DE DATOS (GIGO) – Muestreo/Ensayos de Aseguramiento de la Calidad/Control de Calidad (QA/QC)

• TAMBIÉN RECUPERACIÓN DE TESTIGOS Y GRAVEDAD ESPECÍFICA

• ANÁLISIS ESTADÍSTICOS PARA LOS DOMINIOS DE ROCAS RESPECTIVOS

• Alternativa de compósitos para el tamaño a compositar – TAMBIÉN DEBE ESTAR RELACIONADO CON LAS ALTURAS DE LOS BANCOS

• Verificaciones para asegurar la confiabilidad de los resultados de los compósitos – media y varianza de datos pre/post-compósitos

• Comparación RC/DD/BH (principalmente en el ancho total o compositados por la geología)

• Verificación del grosor promedio de las líneas o alambres versus los resultados reales de la perforación de taladros.

ESTUDIO DE CASO

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ESTIMADOS DE GEOESTADÍSTICA

• ANÁLISIS ESTADÍSTICOS PARA LOS DOMINIOS DE ROCASRESPECTIVOS

• Histograma y gráficos de frecuencia acumulada (verificaciones de distribución, por ej. verificaciones de log-normalidad – también ayudan a elegir la metodología de post-procesamiento)

• Verificación de posibles ‘valores atípicos’ (outliers) (COMPUTA LA PROPORCIÓN DE METAL PERDIDO Y HACE UN ANÁLISIS)

• Desagrupación (también requerida como una de las herramientas para verificar los resultados krigeados)

• Análisis de Tendencias y verificación en dominios geológicos (se pueden requerir sub-dominios si se presentan tendencias significativas)

ESTUDIO DE CASO

81818181

ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS DERIVADOS DE DD

• VARIOGRAMA para Dominios/Zonas de Mineralización

• Uso de datos de compósitos de BH, RC y DD.

• Computación: parámetros de variograma experimental 3-D, tolerancia en la distancia de paso (lag)

• Expectativas/comprensión geológica y direcciones de variogramas 3-D

• Interpretación y modelamiento de variogramas experimentales direccionales 3-D para su uso en el kriging.

ESTUDIO DE CASO

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ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS DERIVADOS DE DD/RC

• ELECCIÓN DE LA METODOLOGÍA DE ESTIMACIÓN

• CONSIDERACIONES:

• Disponibilidad de datos

• Tamaño de bloque (Padre y SMU’s)

• Varianza de kriging, eficiencia de kriging, empleo de datos de compósitos de RC y DD

• Suavización de bloques padres y post-procesamiento

• Kriging simple (requiere medias locales, eficiente con información limitada) o kriging ordinario

• El kriging ordinario y el kriging simple dan resultados similares cuando se dispone de suficiente información (por ej., con control de

leyes de RC)

ESTUDIO DE CASO

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MODELO DE BLOQUE VACÍO

• Proporcional y Centroide

• Ventajas y Desventajas

ESTUDIO DE CASO

84848484


BLOQUE ORIGINAL – SE RELACIONA CON LA MALLA DE PERFORACIÓN

- Depende del variograma, etc., pero, en el caso de métodos indirectos, la regla general es: el tamaño de bloque no debe ser menor a la mitad del espaciamiento de datos (se debe probar)

• Estrategias de búsqueda: uso de parámetros y criterios de eficiencia de variogramas

• Número mínimo de muestras usado para el kriging ordinario y el kriging simple: Contribuye significativamente a la calidad de las estimaciones de kriging ordinario (produce sesgos condicionales de los estimados de kriging ordinario – ¡¡¡¡¡ A MENUDO IGNORADO !!!!!

ESTUDIO DE CASO

85858585

RECURSOS – ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS A LARGO PLAZO DERIVADOS DE DD/RC

ESTIMADOS KRIGEADOS DE BLOQUES ORIGINALES

• Validación

• Verificaciones globales con medias desagrupadas

• Planes y secciones de datos krigeados y datos de DD o RC

• Sesgos condicionales

• Curvas de Suavización y Ley / Tonelaje: no en kriging con eficiencia, sino suavizando estimaciones padre

krigeadas.

• Consecuencias de usar curvas de tonelaje/ley krigeados y suavizados originales (ver también Ejemplo de Dowd)

ESTUDIO DE CASO

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RECURSOS – ESTIMADOS GEOESTADÍSTICOS A LARGO PLAZO DERIVADOS DE DD / RC

ESTIMACIÓN DE TONELAJE/LEY – POST-PROCESAMIENTO PARA ELIMINAR LA SUAVIZACIÓN INDEBIDA

• Computa parámetros para corrección de información

• Relevancia del tamaño de SMU (por ej. 10x10x10m?) para el minado

• Computar las curvas de tonelaje/ley para SMU’s en base a bloques krigeados del panel original, por ej. 20x20x2.5 (Ver relaciones previas y el trabajo de APCOM)

• Enviables de salida para Whittle: Conceptos de enviable

• Parámetros de gravedad específica, arcilla/azufre y disolución

• Modelos de roca combinados para corridas de Whittle

ESTUDIO DE CASOS

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• Cuestiones de estimación y planificación a mediano/corto plazo.

• Consideraciones importantes para un eficiente modelo krigeado de control de leyes RC/BH

• Relevancia para Reconciliación de Producción de RC/BH

ESTUDIO DE CASO

88888888


DISCUSIÓN GENERAL

SOFTWARE DESARROLLADO

•Datamine

•Statistica

•Isatis

ESTUDIO DE CASO

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GENERALIDADES

• Kriging Disyuntivo

• Condicionamiento Uniforme

• Técnicas de Indicadores (IK, MIK etc. –)

Pueden manejar mineralizaciones mixtas de alta y baja ley, especialmente con controles geológicos difíciles, Corrección de Probabilidades (corrección de orden) problemas, y numerosas demandas de cálculo de variogramas.

• Otra transformación (por ejemplo, transformada logarítmicamente)

Puede manejar distribuciones desviadas, pero presenta problemas de transformación inversa (back-transformation)

• Simulaciones: Secuencial Gausiana, Bandas Rotantes (Turning Bands), Secuencial Indicadora, Recocido, etc.: No son herramientas de

evaluación, sino que han de usarse para realizar un análisis de incertidumbres/riesgos del cuerpo mineralizado.

¿Cuándo?

Ventajas

Desventajas

GEOESTADÍSTICA NO LINEAL

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FIN

Business

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