Variables Separables

El modelo malthusiano de crecimiento de una población p(t) supone que la tasa de crecimiento es proporcional a la población presente. Sabiendo que la población de EEUU en 1790 era de 3.93 millones y en 1800 de 5.31 millones, usando un modelo se puede conocer la población en función del tiempo. Este modelo toma la tasa de mortalidad como nula, que obviamente es errónea. Para

una población de tamaño “p”, existen p ( p−1)2 interacciones de este

tipo. Prueba que con esta hipótesis, el PVI que rige el modelo tiene la siguiente forma:

dpdt

=ap−b p2 , p (0 )=p0

Esta ecuación se conoce como ecuación logística, calcula la población en función del tiempo. En este caso usaremos los datos de que en 1790 se tenia una población de 3.93 millones, en 1840 de 17.07 millones y en 1890 de 62.95 millones, determina la solución usando el modelo logístico.

Se desarrollaría de la sig. Forma:

dpdt

=ap−b p2

Vemos que estas variables se pueden separar e integrar de la siguiente forma:

∫ dp

ap−b p2=∫dt

El método que se esta usando es de variables separables, el resultado de esto sería:

∫ Ap

+∫ Ba−bp

=t+c

En este caso necesitamos los valores de “a” y “b” para poder realizar la integración por fracciones parciales.

Mientras quedaría:

Aln│ p│+Bln│a−bp│=t+c

Para poder obtener la solución particular se debe sustituir “p” como se indica al principio de la ecuación.

Otra aplicación puede ser a la biología, en este caso al crecimiento biológico:

Sea el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial sería fundamentada como:

dydt

= y

Con solución: y=ce

Donde “c” es una constante arbitraria. De esto vemos que el crecimiento ocurre si > 0 mientras que el encogimiento ocurre su < 0.

Ahora supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (se puede referir a otras cosas) tenemos entonces que:

dydx

=f ( y ) y= y0 parat=0

Donde y0representa la altura de algún tiempo especificado t = 0 y donde f es una función aún desconocida. La función dada sería:

f ( y ) y= y− y2

Con variables separables tendríamos:

dy

y− y2=dt Esto es: ln [ y

1− y ]=t+c

Ecuación diferencial lineal

Si R=106ΩL=1H y E=1V , con i (0 )=0 ;halle la corriente “i” en cualquier instante “t”.

Ldidt

+Ri=E (t ) didt

+ RLi= 1LE(t ) Este esta acomodado para

resolverse por una ecuación lineal con el modelo:

y '+P (t ) y=f (t ) con P ( t )= RL

De tal manera que el factor integrante sería:

μ ( x )=e∫ (RL

)dtμ ( x )=e

(RL)t se obtiene:

i'e(RL )t

+ RLie

( RL )t= iL e (RL ) t

E (t)

¿(e¿¿ (RL ) t i) '=1L e(RL )tE (t)¿

¿e( RL )t

=1L∫ e(

RL )tE (t )dt+c

Por lo tanto i= e−( RL )t

L∫ e(

RL )tdt+c e

−(RL )t

PeroE (t )=1 i= e−( RL )t

L ( LR e(RL )t)+ce−(RL )t

i=1R

+ce−(RL )t

Esta viene siendo la solución general.

Usando las condiciones iniciales (i (0 )=0)

Sustituyendo tenemos:

0=1R

+c e−( RL )t (0) c=−1

R

Por tanto: i= 1R

−1Re

−(RL )t

Ahora R=106 y L=1

i(t)= 1106

− 1106e−(1061 )t

i(t)=10−6−10−6 e−106 t

i(t)=10−6(1−e−106 t)