16/09/07 FEC

MATEMATICA II

FLORINELDA ESCOBAR CONDORI

LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

IDEA INTUITIVA

Considérese la función con dominio en R.

¿ A qué valor se aproxima la función, cuando x se aproxima al valor 2?

1)( 2 xxf

REPRESENTACION GRAFICA DE 1)( 2 xxf

COMPORTAMIENTO DE LA FUNCION f PARA VALORES CERCANOS A 2 PERO NO IGUAL A 2

Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2, f(x) toma, cada vez, valores más próximos a 3. Es decir, cuanto mayor es la proximidad de x a 2, mayor es la proximidad de )(xf a 3.

Esto se expresa diciendo que, cuando x tiende a 2, el límite de la función 1)( 2 xxf es 3, y se escribe

2

31

2

3)( 2

x

xLímó

x

xfLím

que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a 2, es igual a 3.

2.960

1.99

2.999

1.99992.99

62.611.250

1.999

1.91.51x

5.25

2.5

6.56253.413.0403.004

2.752.12.012.001x

GENERALIZACION DEL CONCEPTO DE LIMITE

Sea f una función definida para los valores reales en los alrededores de un número a, aunque no necesariamente en a mismo, como se expresa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando ax entonces Lxf )( lo que se escribe como

ax

LxfLím

)(

OBSERVACIONES IMPORTANTES

Recordar que al calcular ax

xfLím

)(no importa que la función

f esté o no definida en a; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de a.

CASOS- Consideraremos la representación gráfica de una función f cualquiera para la que .

Observe que aunque Laf )( . Para valores de x próximos a a se tiene

que Lxf )( , por lo que puede escribirse en la forma siguiente ax

LxfLím

)(

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función f.

En este caso, cuando x tiende a a por la derecha, que se escribe ax , la función tiende a R, pero cuando x tiende a a por la izquierda, (denotado ax ) los valores de )(xf tienden a T.

Así, la función f no tiende a un mismo valor cuando ax , por lo que se dice que

no existe ax

xfLím

)(.

Consideremos ahora la función definida por cx

xf

1

)( con 0c , cuya

representación gráfica es la siguiente:

Observe que cuando cx , entonces )(xf tiende a tomar valores positivos cada

vez mayores, (es decir, )(xf ), y que cuando cx , )(xf toma valores negativos cada vez menores, ( )(xf ). Así, )(xf no tiende a ningún número

real fijo y se dice que cx

xfLím

)(no existe

DEFINICION DE LIMITE DE UNA FUNCION

La función f tiene el límite L cuando x tiende a a, lo cual se escribe

ax

LxfLím

)(

si los valores )(xf se puede acercar tanto como se quiera al número L al considerar x suficientemente cercana (pero no igual ) a a.

TEOREMAST1: Si m y b son dos constantes cualesquiera

ax

bmabmxLím

)(

T2: Si c es una constante, entonces para cualquier número a, ax

ccLím

T3: ax

axLím

T4: axax

xfcLímxcfLím

)()(

T5: nn

axax

xfLímxfLím

)()(

T6:

axaxax

xLímgxfLímxgxfLím

)()()()(

T7:

ax

xgLím

ax

xfLím

ax

xgxfLím

)()()()(

T8:

ax

xgLímax

xfLím

axxg

xfLím

)(

)(

)(

)(

T9: ax

xfLím

ax

xfLím

)()(

EJERCICIOS

Ejercicios Evalué los siguientes límites indicando la propiedad o propiedades que se aplican en cada paso: