Matematicas aplicadas a la administracion y a la economia

Matemticas aplicadasa la Administracin y a la Economa

QUINTA EDICIN

ARYA I LARDNER I IBARRA

MATEMTICAS APLICADASa la administracin y a la economa

Jagdish C. AryaRobin W. LardnerDepartament of Mathematics, Simon Fraser University

Con la colaboracin de

Vctor Hugo Ibarra Mercado

Universidad Anhuac-Mxico Norte

TRADUCCIN Y REVISIN TCNICA:

Vctor Hugo Ibarra Mercado

Universidad Anhuac-Mxico Norte

Quinta edicin

832Formato: 20 3 25.5 cm

Mxico, 2009

ISBN: 978-607-442-302-0

rea: Universitarios

ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN W.

Matemticas aplicadas a la administraciny a la economa. Quinta edicin

Adaptation of the authorized translation from the English language edition, entitled Mathematical analysis for business, economics,and the life and social sciences, Fourth Edition, by Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, published by Pearson Education, Inc., publis-hing as Prentice Hall, Copyright 1993. All rights reserved. ISBN 0-13-564287-6

Adaptacin de la traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls titulada Mathematical analysis for business, economics, andthe life and social sciences, cuarta edicin, por Jagdish C. Arya y Robin W. Lardner, publicada por Pearson Education, Inc., publi-cada como Prentice Hall, Copyright 1993. Todos los derechos reservados.

Esta edicin en espaol es la nica autorizada.

Edicin en espaolEditor: Rubn Fuerte Rivera

e-mail: [email protected] de desarrollo: Felipe Hernndez CarrascoSupervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo

Edicin en ingls:Editor-in-chief: Tim Bozik Design director: Florence Dara Silverman Senior editor: Steve Conmy Interior design: Patricia McGowanExecutive editor: Priscilla McGeehon Prepress buyer: Paula Massenaro Senior managing editor: Jeanne Hoeting Manufacturing buyer: Lori Bulwin Production editor: Nicholas Romanelli

QUINTA EDICIN VERSIN IMPRESA, 2009QUINTA EDICIN E-BOOK, 2009

D.R. 2009 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V.Atlacomulco 500-5o. pisoCol. Industrial Atoto53519 Naucalpan de Jurez, Estado de Mxico

Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031.

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El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de susrepresentantes.

ISBN VERSIN IMPRESA 978-607-442-302-0ISBN E-BOOK 978-607-442-305-1

PRIMERA IMPRESINImpreso en Mxico. Printed in Mexico.1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 12 11 10 09

www.pearsoneducacion.net ISBN 978-607-442-302-0

A

Niki y Shanti

PREFACIO xi

PARTE UNOLGEBRA

1 LGEBRA 11-1 Los nmeros reales 2

1-2 Fracciones 10

1-3 Exponentes 18

1-4 Exponentes fraccionarios 23

1-5 Operaciones algebraicas 29

1-6 Factorizacin 38

1-7 Fracciones algebraicas 46

Repaso del captulo 1 55

Problemas de repaso del captulo 1 56

CASO DE ESTUDIO 58

2 ECUACIONES DE UNA VARIABLE 592-1 Ecuaciones lineales 60

2-2 Aplicaciones de ecuaciones lineales 68

2-3 Ecuaciones cuadrticas 73

2-4 Aplicaciones de ecuaciones cuadrticas 81



CASO DE ESTUDIO 90

v

Contenido

3 DESIGUALDADES 913-1 Conjuntos e intervalos 92

3-2 Desigualdades lineales de una variable 98

3-3 Desigualdades cuadrticas de una variable 105

3-4 Valores absolutos 111



CASO DE ESTUDIO 120

4 LNEAS RECTAS 1214-1 Coordenadas cartesianas 122

4-2 Lneas rectas y ecuaciones lineales 130

4-3 Aplicaciones de ecuaciones lineales 140

4-4 Sistemas de ecuaciones 148

4-5 Aplicaciones a administracin y economa 158



CASO DE ESTUDIO 171

5 FUNCIONES Y SUS GRFICAS 1725-1 Funciones 173

5-2 Funciones cuadrticas y parbolas 187

5-3 Ms funciones elementales y sus grficas 193

5-4 Operaciones de funciones 204

5-5 Relaciones implcitas y funciones inversas 209



CASO DE ESTUDIO 218

6 LOGARITMOS Y EXPONENCIALES 2196-1 Inters compuesto y temas relacionados 220

6-2 Funciones exponenciales 231

6-3 Logaritmos 237

6-4 Aplicaciones y propiedades adicionales de los logaritmos 248



CASO DE ESTUDIO 264

vi CONTENIDO

PARTE DOSMATEMTICAS FINITAS

7 PROGRESIONES Y MATEMTICAS FINANCIERAS 2657-1 Progresiones aritmticas e inters simple 266

7-2 Progresiones geomtricas e inters compuesto 273

7-3 Matemticas financieras 280

7-4 Ecuaciones en diferencias 290

7-5 Notacin de sumatoria (seccin opcional) 305



CASO DE ESTUDIO 315

8 LGEBRA DE MATRICES 3168-1 Matrices 317

8-2 Multiplicacin de matrices 323

8-3 Solucin de sistemas lineales

por reduccin de renglones 334

8-4 Sistemas singulares 343



CASO DE ESTUDIO 352

9 INVERSAS Y DETERMINANTES 3549-1 La inversa de una matriz 355

9-2 Anlisis insumo-producto 362

9-3 Cadenas de Markov (opcional) 369

9-4 Determinantes 380

9-5 Inversas por determinantes 388



CASO DE ESTUDIO 398

10 PROGRAMACIN LINEAL 39910-1 Desigualdades lineales 400

10-2 Optimizacin lineal (enfoque geomtrico) 407

10-3 Tabla smplex 418

10-4 Mtodo smplex 427

CONTENIDO vii


CASO DE ESTUDIO 439

PARTE TRESCLCULO

11 LA DERIVADA 44111-1 Incrementos y tasas 442

11-2 Lmites 450

11-3 La derivada 460

11-4 Derivadas de funciones elevadas a una potencia 466

11-5 Anlisis marginal 473

11-6 Continuidad y diferenciabilidad (seccin opcional) 482



CASO DE ESTUDIO 494

12 CLCULO DE DERIVADAS 49612-1 Derivadas de productos y cocientes 497

12-2 La regla de la cadena 503

12-3 Derivadas de funciones exponenciales y logartmicas 511

12-4 Derivadas de orden superior 520


Problemas del captulo 525

CASO DE ESTUDIO 527

13 OPTIMIZACIN Y BOSQUEJO DE CURVAS 52913-1 La primera derivada y la grfica de la funcin 530

13-2 Mximos y mnimos 535

13-3 La segunda derivada y la concavidad 543

13-4 Bosquejo de curvas polinomiales 552

13-5 Aplicaciones de mximos y mnimos 557

13-6 Mximos y mnimos absolutos 571

13-7 Asntotas 576



CASO DE ESTUDIO 591

14 MS SOBRE DERIVADAS 59314-1 Diferenciales 594

14-2 Diferenciacin implcita 600

14-3 Diferenciacin logartmica y elasticidad 607

viii CONTENIDO



CASO DE ESTUDIO 618

15 INTEGRACIN 62015-1 Antiderivadas 621

15-2 Mtodo de sustitucin 629

15-3 Tablas de integrales 636

15-4 Integracin por partes 640



CASO DE ESTUDIO 648

16 LA INTEGRAL DEFINIDA 65016-1 reas bajo curvas 651

16-2 Ms sobre reas 660

16-3 Aplicaciones en la administracin y la economa 669

16-4 Valor promedio de una funcin 680

16-5 Integracin numrica (seccin opcional) 683

16-6 Ecuaciones diferenciales: una introduccin 689

16-7 Ecuaciones diferenciales separables 698

16-8 Aplicaciones a probabilidad (seccin opcional) 704



CASO DE ESTUDIO 717

17 FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 71917-1 Funciones y dominios 720

17-2 Derivadas parciales 730

17-3 Aplicaciones para anlisis en la administracin 737

17-4 Optimizacin 745

17-5 Multiplicadores de Lagrange (seccin opcional) 751

17-6 Mtodo de mnimos cuadrados 759



CASO DE ESTUDIO 771

Apndices 773

Soluciones a problemas con nmero impar 791

ndice 807

CONTENIDO ix

En esta versin se conserv y reforz la orientacin de las aplicaciones a la admi-

nistracin y la economa, sin descuidar aplicaciones generales a otras reas, tales co-

mo ciencias sociales, biolgicas y fsicas, a fin de que la obra pueda seguir siendo

til a una amplia gama de estudiantes.

Las aplicaciones referidas a estas reas se han integrado por completo en el de-

sarrollo de la obra; a veces una aplicacin particular se utiliza para motivar ciertos con-

ceptos matemticos; en otros casos, determinado resultado matemtico se aplica, ya

sea de inmediato o en una seccin subsecuente, a un problema concreto, digamos, de

anlisis empresarial. Por lo general, las aplicaciones se ofrecen en estrecha cercana

con el tratamiento del concepto matemtico especfico en cuestin. No obstante, cabe

aclarar que las matemticas de esta obra se presentan inicialmente en un estilo lim-

pio, es decir, fuera del contexto de cualquier aplicacin particular. Slo despus de es-

tablecer cada resultado en un nivel puramente algebraico, se aplica ste a un problema

prctico.

Aunque se conservaron las caractersticas principales del libro, que han hecho

de esta obra una de las preferidas por muchos profesores y alumnos, los cambios

ms importantes realizados son los siguientes.

Se revisaron y actualizaron las lecturas de inicio de captulo. En ellas se

presentan casos prcticos probados en el saln de clases.

Para que la obra tuviera una mayor unidad, ahora en todos los captulos se

presenta un caso prctico como lectura inicial. Una vez que se estudia el

material del mismo, la solucin del caso se presenta al trmino del captu-

lo, y se concluye con algunas preguntas que tienen la finalidad de estimu-

lar el intercambio de ideas entre profesores y alumnos, as como conducir

a un anlisis ms profundo del tema, o bien, sirven de introduccin para el

material que se estudiar en los siguientes captulos.

PREFACIO A LA NUEVA EDICIN xi

Prefacioa la nueva edicin

Prcticamente todos los ejercicios de la seccin Problemas de repaso del

captulo se actualizaron y, al igual que con los ejercicios de cada seccin, la

solucin de los problemas con nmero impar se incluye al final del texto.

En varios ejercicios de la seccin Problemas de repaso del captulo se pre-

sentan conceptos nuevos, cuyo estudio ampla lo expuesto en el texto. Se

recomienda resolver estos problemas con la finalidad de ampliar la teora

expuesta; sin embargo, si se omite la resolucin de stos, se puede conti-

nuar con los siguientes temas sin mayor dificultad.

Con base en los excelentes comentarios y observaciones de muchos usua-

rios de esta obra, se hizo una revisin cuidadosa de todo el libro, con la

finalidad de enmendar las erratas de la versin anterior.

Como antes, el libro est orientado a la enseanza de las aplicaciones y a la

utilizacin de las matemticas ms que a las matemticas puras. No se hace hinca-

pi en las demostraciones de los teoremas ni se da a stas un lugar predominante en

el desarrollo del texto. Por lo regular, despus de enunciar un teorema, procedemos

a ilustrarlo y a analizar su importancia con varios ejemplos, y luego se da la demos-

tracin. Las demostraciones ms difciles se han omitido por completo.

Este relativo desinters por los pormenores matemticos da a los estudiantes

el tiempo necesario para mejorar sus habilidades en el uso de diversas tcnicas. Se-

gn nuestra experiencia, los estudiantes que aprenden a dominar las tcnicas por lo

comn desarrollan una intuicin razonablemente clara del proceso, y la carencia de

un completo rigor matemtico no constituye una grave deficiencia.

Distribucin del contenido

El libro se divide en tres partes. La Parte Uno presenta el lgebra previa al clculo;

la Parte Dos, las matemticas finitas; y la Parte Tres, el clculo propiamente dicho.

Las partes Dos y Tres son casi totalmente independientes entres s y pueden estu-

diarse en orden distinto.

El lgebra previa al clculo abarca los primeros seis captulos del libro. En los

primeros tres de ellos presentamos un repaso bastante detallado del lgebra de nivel

intermedio y de la solucin de ecuaciones y desigualdades en una variable. El resto

de la primera parte consta de un captulo sobre funciones, y otro sobre exponencia-

les y logaritmos.

La parte del libro dedicada a las matemticas finitas se compone por s mis-

ma en dos partes casi independientes: el captulo 7, sobre matemticas financieras;

y los captulos 8, 9 y 10 sobre matrices, determinantes y programacin lineal. El ca-

ptulo 10, dedicado a la programacin lineal, exige conocer un poco lo tratado en el

captulo 8, pero no requiere lo referente al captulo 9.

Los captulos 11 al 14 tratan el clculo diferencial en una variable. Los prime-

ros dos temas de estos dos captulos explican las antiderivadas y se ofrece una opcin

sobre cmo enfocar la integracin. Despus de exponer el mtodo de sustitucin, de

inmediato se presentan las tablas de integrales, de modo que el profesor que desee

pasar rpidamente a las aplicaciones pueda hacerlo.

Por otro lado, si el profesor desea dedicar ms tiempo a las tcnicas de inte-

gracin, puede posponer la seccin sobre las tablas y tratar primero la seccin final

del captulo 15. El segundo de estos captulos estudia la integral definida y sus apli-

caciones al clculo de reas, anlisis gerencial y ecuaciones diferenciales.

El captulo final constituye una introduccin al clculo diferencial de funcio-

nes de variables.

xii PREFACIO A LA NUEVA EDICIN

Seleccionando captulos y/o secciones de captulos en forma apropiada, el li-

bro puede adaptarse a una gran variedad de cursos. Por ejemplo, puede impartirse

adecuadamente con cursos de lgebra superior, lgebra y matemticas finitas, lge-

bra y clculo o matemticas finitas y clculo, si se seleccionan los captulos perti-

nentes. El siguiente diagrama ilustra la estructura del libro en cuanto a requisitos

previos de conocimientos.

PREFACIO A LA NUEVA EDICIN xiii

1, 2 Y 3REPASO

DE LGEBRA

4LNEAS RECTAS

5 Y 6FUNCIONES Y

GRFICAS,LOGARITMOS YEXPONENCIALES

8 7MATRICES PROGRESIONES

Y MATEMTICASFINANCIERAS

9 10DETERMINANTES PROGRAMACIN

LINEAL

11-14CLCULO

DIFERENCIAL

15-16 17CLCULO FUNCIONES DE INTEGRAL VARIAS VARIABLES

LGEBRA UNIVERSITARIA

Por ltimo, queremos manifestar nuestro agradecimiento al incontable nmero

de personas que nos han hecho invaluables comentarios sobre las versiones anterio-

res del texto. Los cambios realizados en esta nueva edicin estn significativamente

influidos por esta informacin. Consideramos de gran valor las aportaciones de nues-

tros usuarios, por lo cual, reiteramos la invitacin para que nos hagan llegar sus comen-

tarios o sugerencias a la direccin de correo electrnico [email protected]

1

CAP TULO1lgebra

1-1 LOS NMEROS REALES1-2 FRACCIONES1-3 EXPONENTES1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS1-6 FACTORIZACIN1-7 FRACCIONES ALGEBRAICAS

REPASO DEL CAPTULO

Este captulo revisa las tcnicas fundamentales de lgebra. Est dirigido a los estudiantes que,por una u otra razones, lo necesiten para refrescar sus habilidades algebraicas bsicas.

T E M A R I O

Objetivo del captulo

lgebra y algunos clculos mentalesUna compaera nos sorprendi cuando, en una clase, nece-sitbamos calcular el rea de un cuadrado de 75 cm por ladoy ella de inmediato respondi que el rea era de 5625 cm2.El profesor intrigado le pregunt que cmo haba hecho laoperacin tan rpido; a lo que ella contest diciendo queal 7 le sum 1, cuyo resultado es 8, multiplic ste (el 8)por 7 obteniendo 56 y coloc el nmero 25 despus del56. As obtuvo la respuesta. Nuestra compaera agregque este mtodo lo haba aprendido de su pap, quien lecoment que slo serva para nmeros que terminaran en5. El profesor se qued pensativo probando con variosnmeros y, despus de un rato, nos explic lo siguiente:

Este caso, realizar una operacin con rapidez, sepuede explicar con el apoyo del lgebra. Veamos di-jo, para representar un nmero que termine en 5, indica-mos con d el nmero de decenas y as formamos el nme-ro:

10d 1 5

Al elevar este nmero al cuadrado recuerden la forma deelevar un binomio al cuadrado, obtenemos:

(10d 1 5)2 5 100d 1 100d 1 25Si factorizamos los primeros dos trminos del lado dere-cho, cuyo factor comn es 100d, tenemos:

(10d 1 5)2 5 100d(d 1 1) 1 25

Con esto podemos entender la regla para elevar con rapi-dez al cuadrado un nmero que termine en 5. Para ilustrarel uso de esta regla, apliqumosla al ejemplo siguiente:

Elevemos (35)2.a) Nos fijamos en el nmero de decenas, en este caso,

tres.b) ste lo multiplicamos por el dgito que es uno

mayor a l; cuatro.c) Formamos el nmero que inicia con el resultado

anterior, 12, y termina con 25; es decir, 1225.

El profesor termin comentando sobre la utilidaddel lgebra y de todo lo que nos puede ayudar en nuestravida profesional.

Con ayuda de esta regla, realice las siguientes ope-raciones:

1. 252 2. 652 3. 952

4. 1152 5. 7.52 6. 1052

Empezaremos dando un breve esbozo de la estructura de los nmeros reales. Losnmeros 1, 2, 3, etc., se denominan nmeros naturales. Si sumamos o multiplica-mos dos nmeros naturales cualesquiera, el resultado siempre es un nmero natural.Por ejemplo, 8 1 5 5 13 y 8 3 5 5 40; la suma 13 y el producto 40 son nmerosnaturales. En cambio, si restamos o dividimos dos nmeros naturales, el resultadono siempre es un nmero natural. Por ejemplo, 8 2 5 5 3 y 8 4 2 5 4 son nme-ros naturales; pero 5 2 8 y 2 4 7 no son nmeros naturales. As, dentro del sistemade nmeros naturales, siempre podemos sumar y multiplicar, pero no siempre pode-mos restar o dividir.

Con la finalidad de superar la limitacin de la sustraccin, extendemos el sis-tema de los nmeros naturales al sistema de los nmeros enteros. Los enteros in-cluyen los nmeros naturales, los negativos de cada nmero natural y el nmero ce-ro (0). De este modo, podemos representar el sistema de los enteros mediante

. . . , 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, . . .

Es claro que los nmeros naturales tambin son enteros. Si sumamos, multiplicamoso restamos dos enteros cualesquiera, el resultado tambin es un entero. Por ejemplo,23 1 8 5 5, (23)(5) 5 215 y 3 2 8 5 25 son enteros. Pero an no podemosdividir un entero entre otro y obtener un entero como resultado. Por ejemplo, vemosque: 8 4 (22) 5 24 es un entero, pero 28 4 3 no lo es. Por tanto, dentro del sis-tema de los enteros, podemos sumar, multiplicar y restar pero no siempre podemosdividir.

Para superar la limitacin de la divisin, extendemos el sistema de los enterosal sistema de los nmeros racionales. Este sistema consiste de todas las fraccionesa/b, donde a y b son enteros con b 0.

Un nmero es racional si podemos expresarlo como la razn de dos enteros condenominador distinto de cero. As }83}, 2}

57}, }

03} y 6 5 }

61} son ejemplos de nmeros racio-

nales. Podemos sumar, multiplicar, restar y dividir cualesquiera dos nmerosracionales (exceptuando la divisin entre cero)* y el resultado siempre es un nme-ro racional. De esta manera las cuatro operaciones fundamentales de la aritmtica:adicin, multiplicacin, sustraccin y divisin son posibles dentro del sistema de losnmeros racionales.

Cuando un nmero racional se expresa como un decimal, los decimales termi-nan o presentan un patrn que se repite indefinidamente. Por ejemplo, }14} 5 0.25 y}98

30} 5 1.1625 corresponden a decimales que terminan, mientras que }

16} 5 0.1666. . .

y }47} 5 0.5714285714285. . . corresponden a decimales con patrones que se repiten.Tambin existen algunos nmeros de uso comn que no son racionales (es de-

cir, que no pueden expresarse como la razn de dos enteros). Por ejemplo, 2w, 3wy p no son nmeros racionales. Tales nmeros se denominan nmeros irraciona-les. La diferencia esencial entre los nmeros racionales y los irracionales se advier-te en sus expresiones decimales. Cuando un nmero irracional se presenta por me-

2 CAPTULO 1 LGEBRA

1-1 LOS NMEROS REALES

*Vase el pargrafo final de esta seccin.

dio de decimales, los decimales continan indefinidamente sin presentar ningn pa-trn repetitivo. Por ejemplo, con diez cifras decimales 2w 5 1.4142135623. . . y p5 3.1415926535. . . No importa con cuntos decimales expresemos estos nmeros,nunca presentarn un patrn repetitivo, en contraste con los patrones que ocurren enel caso de los nmeros racionales.

El trmino nmero real se utiliza para indicar un nmero que es racional oirracional. El sistema de los nmeros reales consta de todas las posibles expresionesdecimales. Aquellos decimales que terminan o se repiten corresponden a los nme-ros racionales, mientras que los restantes corresponden a los nmeros irracionales. 1

Geomtricamente, los nmeros reales se pueden representar por los puntos so-bre una lnea recta denominada recta numrica. Con la finalidad de hacer esto, se-leccionemos un punto arbitrario O sobre la lnea que represente al nmero cero. Losnmeros positivos se representan entonces por los puntos a la derecha de O y los ne-gativos por los puntos a la izquierda de O. Si A1 es un punto a la derecha de O talque OA1 tiene longitud unitaria, entonces A1 representa al nmero 1. Los enteros 2,3, . . . , n, . . . estn representados por los puntos A2, A3, . . . , An, . . . , estn a la de-recha de O y son tales que

OA2 5 2OA1, OA3 5 3OA1, . . . , OAn 5 nOA1, . . .

De manera similar, si B1, B2, . . . , Bn, . . . , son los puntos a la izquierda de O talesque las distancias OB1, OB2, OB3, . . . , son iguales a las distancias OA1, OA2, . . . ,OA

n, . . . , respectivamente, entonces los puntos B1, B2, B3, . . . , Bn, . . . , representan

a los nmeros negativos 21, 22, 23, . . . , 2n, . . . En esta forma, todos los enterospueden representarse mediante puntos sobre la recta numrica. (Vase la figura 1).

SECCIN 1-1 LOS NMEROS REALES 3

Los nmeros racionales pueden representarse por puntos sobre la recta num-rica que estn situados un nmero apropiado de unidades fraccionarias a partir deO. Por ejemplo, el nmero }92} est representado por el punto situado cuatro unidadesy media a la derecha de O y 2}73} est representado por el punto que est situado dosunidades y un tercio a la izquierda de O. De manera similar, todo nmero racionalpuede representarse por un punto sobre la lnea.

Se deduce que todo nmero irracional tambin puede representarse por unpunto sobre la recta numrica. En consecuencia, todos los nmeros reales, tantos losracionales como los irracionales, pueden representarse por tales puntos. Ms an,cada punto sobre la recta numrica corresponde a uno y slo un nmero real. Debi-do a esto, es bastante comn el uso de la palabra punto con el significado de nme-ro real.

Bn B3 B2 A1 A2 A3 AnB1 O

1 2 3O2n n23 22 21

FIGURA 1

1. Qu tipo de nmero escada uno de los siguientes?:

a) }2

2

3}

b) (22w)2

c) }p

2}

Respuesta a) racional, real; b) natural, entero, racional, real;c) irracional, real.

Propiedades de los nmeros reales

Cuando dos nmeros reales se suman, el resultado siempre es un nmero real; demanera similar, cuando dos nmeros reales se multiplican, tambin el resultado esun nmero real. Estas dos operaciones de adicin y multiplicacin son fundamenta-les en el sistema de los nmeros reales y poseen ciertas propiedades que en breveenunciaremos. Estas propiedades por s mismas parecen ser ms bien elementales,quizs aun obvias, pero son vitales para entender las diversas manipulaciones al-gebraicas que efectuaremos despus.

PROPIEDADES CONMUTATIVAS Si a y b son dos nmeros reales cualesquie-ra, entonces,

a 1 b 5 b 1 a y ab 5 ba

Por ejemplo, 3 1 7 5 7 1 3, 3 1 (27) 5 (27) 1 3, 3 ? 7 5 7 ? 3 y (3)(27) 5(27)(3). Estas propiedades establecen que no importa el orden en el cual dos nme-ros son sumados o multiplicados (obtenemos el mismo resultado con cualquier or-den que sigamos). Se conocen como propiedades conmutativas de la adicin y dela multiplicacin, respectivamente.

PROPIEDADES ASOCIATIVAS Si a, b y c son tres nmeros reales cualesquiera,entonces,

(a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c) y (ab)c 5 a(bc)

Por ejemplo, (2 1 3) 1 7 5 2 1 (3 1 7) 5 12 y (2 ? 3) ? 7 5 2 ? (3 ? 7) 5 42. Estaspropiedades se conocen como propiedades asociativas de la adicin y de la mul-tiplicacin, respectivamente. Establecen que, si tres nmeros se suman (o se multi-plican) a la vez, no importa cules dos de ellos se sumen (o se multipliquen) en pri-mer trmino. Obtenemos la misma respuesta en ambos casos.

En virtud de estas propiedades, es innecesario escribir los parntesis en las ex-presiones anteriores. Podemos escribir a 1 b 1 c para indicar la suma de a, b y c yabc para su producto sin ninguna ambigedad.

PROPIEDADES DISTRIBUTIVAS Si a, b y c son nmeros reales cualesquiera,entonces,

a(b 1 c) 5 ab 1 ac y (b 1 c)a 5 ba 1 ca

Por ejemplo, 2(3 1 7) 5 2(3) 1 2(7) 5 6 1 14 5 20. Esto es sin duda cierto por-que 2(3 1 7) 5 2 ? 10 5 20. Por otra parte, (22)[3 1 (27)] 5 (22)(3) 1(22)(27) 5 26 1 14 5 8. Podemos evaluar la expresin dada directamente, obtenien-do la misma respuesta: (22)[3 1 (27)] 5 (22)(24) 5 8.

4 CAPTULO 1 LGEBRA

La segunda forma de la propiedad distributiva en realidad se sigue de la primera,dado que, por la propiedad conmutativa

(b 1 c)a 5 a(b 1 c) y tambin ba 1 ca 5 ab 1 ac

Puesto que los segundos miembros son iguales uno a otro en virtud de la primera pro-piedad distributiva, los lados de la izquierda deben ser iguales.

Las propiedades distributivas son particularmente importantes en los clculos al-gebraicos. Como veremos, stas sustentan muchas operaciones incluidas en la simplifi-cacin de expresiones y, si se leen hacia atrs, esto es, de derecha a izquierda, formanla base para los mtodos de factorizacin. 2

Los ejemplos siguientes ilustran algunos usos elementales de estas propiedades delos nmeros reales al simplificar las expresiones algebraicas.

EJEMPLO 1

a) x(y 1 2) 5 xy 1 x(2) (propiedad distributiva)

5 xy 1 2x (propiedad conmutativa)

b) 2x 1 3x 5 (2 1 3)x (propiedad distributiva)

5 5x

c) 2(3x) 5 (2 ? 3)x (propiedad asociativa)

5 6x

d ) (2x)(3x) 5 [(2x) ? 3]x (propiedad asociativa)

5 [3 ? (2x)]x (propiedad conmutativa)

5 [(3 ? 2)x]x (propiedad asociativa)

5 (6x)x

5 6(x ? x) (propiedad asociativa)

5 6x2

donde x2 denota x ? x.Esta respuesta final pudo obtenerse agrupando los trminos semejantes en el

producto original: los nmeros 2 y 3 multiplicados dan 6 y las dos x multiplicadasdan x2. La parte siguiente ilustra este procedimiento.

e) [5(3ab)] (2a) 5 (5 ? 3 ? 2)(a ? a)b 5 30a2b

Esta respuesta puede justificarse mediante una sucesin de pasos que empleanlas leyes asociativa y conmutativa, como en la parte d ).

f ) 2x 1 (3y 1 x) 5 2x 1 (x 1 3y) (propiedad conmutativa)

5 (2x 1 x) 1 3y (propiedad asociativa)

5 (2x 1 1x) 1 3y

5 (2 1 1)x 1 3y (propiedad distributiva)

5 3x 1 3y


2. Cules propiedades de losnmeros reales son utilizadas en cadauna de las siguientes igualdades?a) 2 1 3 ? 4 5 2 1 4 ? 3b) 2 1 3 ? 4 5 3 ? 4 1 2c) 2 1 (3 1 4) 5 (3 1 4) 1 2d ) 2 1 (3 1 4) 5 4 1 (2 1 3)e) 3x 1 3x 5 (3 1 3)xf ) 3x 1 xy 5 x(3 1 y)

Respuesta a) conmutativa;b) conmutativa;c) conmutativa;d) ambas, conmutativa y asociativa;e) distributiva;f ) ambas, distributiva y conmutativa.

g) 2x(4y 1 3x) 5 (2x)(4y) 1 (2x)(3x) (propiedad distributi-va)

5 (2 ? 4)(x ? y) 1 (2 ? 3)(x ? x) [propiedades asocia-tiva y conmutativacomo en la parte a)]

5 8xy 1 6x2

La propiedad distributiva puede usarse en el caso en que ms de dos cantida-des se sumen dentro de los parntesis. Esto es,

a(b 1 c 1 d) 5 ab 1 ac 1 ad

etctera.

EJEMPLO 2

4(x 1 3y 1 4z) 5 4x 1 4(3y) 1 4(4z) (propiedad distributiva)5 4x 1 (4 ? 3)y 1 (4 ? 4)z (propiedad asociativa)5 4x 1 12y 1 16z

ELEMENTOS IDENTIDAD Si a es un nmero real cualquiera, entonces,

a 1 0 5 a y a ? 1 5 a

Es decir, si 0 se suma a a, el resultado an es a y si a se multiplica por 1, el resul-tado de nuevo es a. Por esta razn, los nmeros 0 y 1 a menudo se conocen comoelementos identidad para la adicin y la multiplicacin, respectivamente, porqueno alteran nmero alguno bajo sus respectivas operaciones.

INVERSOS Si a es un nmero real arbitrario, entonces existe un nico nmeroreal denominado el negativo de a (denotado por 2a) tal que

a 1 (2a) 5 0

Si a no es cero, entonces tambin existe un nico nmero real denominado el rec-proco de a (denotado por a21) tal que

a ? a21 5 1

Observe la similitud entre las dos definiciones: cuando 2a se suma a a, el resulta-do es el elemento identidad para la adicin y cuando a21 se multiplica por a, el re-sultado es el elemento identidad para la multiplicacin. A menudo nos referiremosa 2a como el inverso aditivo de a y a a21 como el inverso multiplicativo de a.(Algunas veces a21 se denomina simplemente inverso de a).

6 CAPTULO 1 LGEBRA

EJEMPLO 3

a) El inverso aditivo de 3 es 23 dado que 3 1 (23) 5 0. El inverso aditivode 23 es 3 puesto que (23) 1 3 5 0. Como el inverso aditivo de 23 se denota por2(23), se sigue que 2(23) 5 3. En realidad, un resultado correspondiente vale pa-ra cualquier nmero real a:

2(2a) 5 a

b) El inverso multiplicativo de 3 es 321 dado que 3 ? 321 5 1. El inverso mul-tiplicativo de 321 sera denotado por (321)21 y estara definido por el requerimientode que 321 ? (321)21 5 1. Pero dado que 321 ? 3 5 1, se sigue que (321)21 es iguala 3.

De nuevo este resultado puede generalizarse para cualquier nmero real a dis-tinto de cero:

(a21)21 5 a

(El inverso del inverso de a es igual a a).

Una vez que hemos definido los inversos aditivo y multiplicativo de a, po-demos definir lo que entenderemos por las operaciones de sustraccin y divisin.Definimos a 2 b como el nmero a 1 (2b), es decir, a ms el negativo de b. Demanera similar, definimos a 4 b como el nmero ab21, es decir, a multiplicado porel recproco de b. La expresin a 4 b est definida slo cuando b 0. Tambin seindica por la fraccin a/b y tenemos que

Definicin de }a

b}: }

a

b} 5 ab21 (1)

Haciendo a 5 1 en la ecuacin (1), resulta que

}1b

} 5 1 ? b21 5 b21

De aqu, la fraccin 1/b significa lo mismo que el inverso multiplicativo b21. Porejemplo, 321 5 }13}. Por tanto, se sigue de la ecuacin (1) que

}a

b} 5 a1}1b}2

dado que b21 5 1/b. 3


3. Cules propiedades de losnmeros reales se utilizan en cadauna de las igualdades siguientes?a) x 1 3x 5 1x 1 3x 5

(1 1 3) x 5 4xb) (2 1 1) 1 (21) 5 2 1

[1 1 (21)] 5 2 1 0 5 2c) 3 ? }13} 5 1

Respuesta a) propiedad del ele-mento idntico multiplicativo y propiedad distributiva;b) propiedad asociativa, inversoaditivo y neutro aditivo;c) idntico multiplicativo y defini-cin de }1a}

EJEMPLO 4

a) 5 71}13}221

(Ecuacin (1), con a 5 7 y b 5 }13})

5 7(321)21 5 7(3) 5 21

Este resultado se extiende a cualesquiera pares de nmeros reales a y b (b 0):

}1a

/b} 5 ab

b) Para cualquier nmero real, (21)b 5 2b. Esto se debe a que

b 1 (21)b 5 1 ? b 1 (21)b

5 [1 1 (21)]b (propiedad distributiva)

5 0 ? b 5 0

Por tanto, (21)b debe ser el inverso aditivo de b, es decir 2b.

c) a(2b) 5 a[(21)/b] [por la parte b)]

5 (21)(ab) (usando las propiedades asociativa y conmutativa)

52(ab)

Por ejemplo, 3(27) 5 2(3 ? 7) 5 221

d ) 3(x 2 2y) 5 3[x 1 (22y)] (definicin de sustraccin)

5 3x 1 3(22y) (propiedad distributiva)

5 3x 2 [3(2y)] [de la parte c)]

5 3x 2 [(3 ? 2)y] (propiedad asociativa)

5 3x 2 6y

En general, la propiedad distributiva se extiende a expresiones con signos negativos.Por ejemplo,

a(b 2 c) 5 ab 2 ac

De esa manera podemos resolver este ejemplo en forma directa.

3(x 2 2y) 5 3x 2 3(2y) 5 3x 2 6y

Observe que cuando una expresin dentro de parntesis debe multiplicarsepor una cantidad negativa, todo trmino dentro del parntesis cambia de signo.

2(a 1 b) 5 (21)(a 1 b) 5 (21)a 1 (21)b 5 2a 2 b

EJEMPLO 5

22(x 2 3y) 5 (22)x 2 (22)(3y)

5 22x 1 6y

Note que tanto x como 23y que estn dentro de los parntesis cambian de signo,quedando como 22x y 16y, respectivamente.

7}

( }13})

8 CAPTULO 1 LGEBRA

1. Establezca si cada una de las siguientes igualdades es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una que sea co-rrecta.

a) 3x 1 4x 5 7x b) (3x)(4x) 5 7x

c) 2(5 2 4y) 5 10 2 4y

d) 2(x 1 y) 5 2x 1 y

e) 5x 2 (2 2 3x) 5 2x 2 2

f) 5 2 2x 5 3x

g) 23(x 2 2y) 5 23x 2 6y

h) (2a)(2b)(2c) 4 (2d) 5 2(abc 4 d)

i) a 4 (b 4 c) 5 (ac) 4 b

j) a 2 (b 2 c) 5 (a 1 c) 2 b

k) (2x)(2y) 5 2xy

l) }2

2

a

b} 5 }

a

b}

m) }0x

} 5 0 para todos los nmeros reales x

(2-60) Simplifique las siguientes expresiones.

2. 5 2 (23) 3. 27 2 (23)

4. 5(23) 5. (23)(27)

6. 8 4 (22) 7. (29) 4 (23)

8. 2(2 2 6) 9. 2(24 2 3)

10. (3)(22)(24) 11. (25)(23)(22)

12. 3(1 2 4) 13. 2(22 2 3)

14. 22(24 2 2) 15. 24(3 2 6)

16. 26 2 2(23 2 2) 17. 3(x 1 2y)

18. 4(2x 1 z) 19. 2(2x 2 y)

20. 3(4z 2 2x) 21. 2(x 2 6)

22. 2(2x 2 3) 23. 3(x 2 4)

24. 2(2x 2 3) 25. 22(2x 2 2)

26. 24(x 2 6) 27. 2x(y 2 6)

28. 2x(2y 2 6) 29. 2(x 2 y) 1 4x

30. 3y 1 4(x 1 2y) 31. 22z 2 3(x 2 2z)

32. 24x 2 2(3z 2 2x) 33. (x 1 y) 1 4(x 2 y)

34. 3(y 2 2x) 2 2(2x 2 2y) 35. 5(7x 2 2y) 2 4(3y 2 2x)

36. 4(8z 2 2t) 2 3(2t 2 4z) 37. x(2y)(2z)

38. (2x)(2y)(2z) 39. (22)(2x)(x 1 3)

40. (2x)(2y)(2 2 3z) 41. 2(2a)(3 2 a)

42. (237 p)(2q)(q 2 p) 43. x(22)(2x 2 4)

44. (22x)(23)(2y 2 4) 45. 2x(x 2 2) 1 2(x 2 1)

46. 22(23x)(22y 1 1) 2 (2y)(4 2 5x)

47. 2x 1 5 2 2(x 1 2) 48. 3x 2 t2 2(x 2 t)

49. 2(x 2 y) 2 x 50. 4x(x 1 y) 2 x2

51. 4[2(x 1 1) 2 3] 52. x[3(x 2 2) 2 2x 1 1]

53. x[23(24 1 5) 1 3]

54. 4[x(2 2 5) 2 2(1 2 2x)] 55. x21 (x 1 2)

56. x21 (2x 2 1) 57. (22x)21 (3x 2 1)

58. (23x)21 (6 1 2x) 59. (xy)21 (x 1 y)

60. (2xy)21 (2x 2 3y)


Observacin sobre la divisin entre cero. La afirmacin a/b 5 c es ciertasi y slo si la proposicin inversa a 5 b ? c es vlida. Consideremos una fraccin enla cual el denominador b es cero, tal como }30}. sta no puede ser igual a ningn n-mero real c porque la afirmacin inversa 3 5 0 ? c no puede ser vlida para ningnreal c. Por tanto }30} no est bien definido. Asimismo, }

00} no es un nmero real bien de-

finido porque la proposicin inversa 0 5 0 ? c es vlida para cada nmero real c.As, concluimos que cualquier fraccin con denominador cero no es un nmero realbien definido o, en forma equivalente, que la divisin entre cero es una operacinque carece de sentido. Por ejemplo, x/x 5 1 es cierto slo si x 0. 4

4. Estn definidas las expre-siones siguientes?

a) }b 1 (3

a

b 2 4b)}

b) }b 1 (3b

a

2 4b)}

Respuesta a) no;b) s, siempre y cuando a 0

EJERCICIOS 1-1

En la seccin 1-1, vimos que la fraccin a/b est definida como el producto de a yel inverso de b:

}a

b} 5 ab21 (b 0)

En particular,

}1b

} 5 b21

Con base en la definicin anterior es posible deducir todas las propiedades que seusan al manejar fracciones. En esta seccin nos detendremos un poco a examinar es-te tipo de operaciones.*

Multiplicacin de fracciones

El producto de dos fracciones se obtiene multiplicando en primer trmino los dosnumeradores y luego los dos denominadores.

1}ab}2 1}dc}2 5 }badc}

EJEMPLO 1

a) 1}23}2 1}59}2 5 }23 ??59} 5 }1207}

b) 1}23x}2 1}4y}2 5 }(32x

?

)y

4} 5 }

83x

y}

c) 3x1}54y}2 5 1}31x}2 1}54y}2 5 5 }152yx} 5

Divisin de fracciones

Con el propsito de dividir una fraccin entre otra, la segunda fraccin se invierte ydespus se multiplica por la primera. En otras palabras,

1}ab}2 4 1}dc}2 5 1}ab}2 1}dc}2 5 }abdc}

(3x) ? 4}1 ? (5y)

10 CAPTULO 1 LGEBRA

1-2 FRACCIONES

5. Evale a) }23

} ? }73

}

b) }2x

} ? }75

}

Respuesta a) }194}; b) }1

70x}

*Las demostraciones de las propiedades que aparecen en recuadros se dan como una serie de teoremas alfinal de esta seccin.

EJEMPLO 2

a) 1}35}2 4 1}79}2 5 1}35}2 1}97}2 5 }2375}

b) 1}32x}2 4 1}4y}2 5 1}32x}2 1}4y}2 5 }38xy}

c) 5y 4 1}56x}2 5 1}51y}2 1}56x}2 5 }256xy}

d ) 1}23x}2 4 (2y) 5 1}23x}2 4 1}21y}2 5 1}23x}2 1}21y}2 5 }43xy}

e) 1}ab}221

5 1 4 1}ab}2 5 1 ? }ba} 5 }ba}

(Es decir, el recproco de cualquier fraccin se obtiene intercambiando el numera-dor y el denominador de la fraccin). 6

En vista de este ltimo resultado, podemos reescribir la regla anterior para ladivisin: para dividir entre una fraccin, debe multiplicar por su recproco.

Cancelacin de factores comunes

El numerador y el denominador de cualquier fraccin pueden multiplicarse o divi-dirse por un nmero real cualquiera distinto de cero, sin alterar el valor de la frac-cin.

}a

b} 5 }

a

b

c

c} (c 0)

EJEMPLO 3

(a) }a

b} 5 }

22a

b}

(b) }35

} 5 }160} 5 }1

95} 5 }

2

2

1220

} 5 ? ? ?

(c) }56x} 5 }

1102x

x

2} (con tal que x 0)

Esta propiedad de las fracciones puede usarse con la finalidad de reducir unafraccin a su mnima expresin, lo que significa dividir el numerador y el denomi-nador entre todos los factores comunes. (Esto se llama tambin simplificacin de lafraccin).

SECCIN 1-2 FRACCIONES 11

6. Evale

a) }23

} 4 }32

}; b) }2x

} 4 }75

}

Respuesta a) }49

}; b) }154x}

EJEMPLO 4

a) }78

04} 5 }

22? 2

? 5? 3

? 7? 7

} 5 5 5

Observe que tanto el numerador como el denominador se escriben primero en tr-minos de sus factores primos y, luego, el numerador y el denominador se dividenentre aquellos factores que son comunes a ambos nmeros, como el 2 y el 7. (Esteproceso algunas veces se denomina cancelacin).

b) }68

x

x

2

y

y2} 5 5 5 }

34x

y}

(xy 0)

En este ejemplo, el numerador y el denominador fueron divididos entre 2xy en lasimplificacin.

c) }24

x

y

((x

x

1

1

11))

} 5 }2x

y} (x 1 1 0)

Aqu el factor comn 2(x 1 1) fue cancelado del numerador y del denominador. 7

Adicin y sustraccin de fracciones

Cuando dos fracciones tienen un comn denominador, pueden sumarse simplemen-te sumando sus numeradores.

}a

c} 1 }

b

c} 5 }

a 1

c

b}

Una regla similar se aplica a la sustraccin:

}a

c} 2 }

b

c} 5 }

a 2

c

b}

EJEMPLO 5

a) }152} 1 }

1112} 5 }

5 112

11} 5 }

1162} 5 }

43

}

b) }23x} 2 }2

5x} 5 }

322

x

5} 5 }

2

2x2} 5 2}

1x

}

(Note la cancelacin de factores comunes al llegar a las respuestas finales).

Cuando dos fracciones con denominadores distintos deben sumarse o restar-se, las fracciones deben en primer lugar reescribirse con el mismo denominador.

2@ ? 3 ? x@ ? x ? y@}}2@ ? 2 ? 2 ? x@ ? y ? y@

2 ? 3 ? x ? x ? y}}2 ? 2 ? 2 ? x ? y ? y

5}6

5}2 ? 3

2@ ? 5 ? 7@}}2@ ? 2 ? 3 ? 7@

12 CAPTULO 1 LGEBRA

7. Evale

a) }23

} ? }145}; b) }2

x} 4 }

38x

y}

Respuesta a) }52

}; b) }43y}

EJEMPLO 6 Simplifique:

a) }56

} 1 }12

} b) }56

} 2 }34

}

Solucin

a) Podemos escribir }12

} 5 5 }36

}. Entonces ambas fracciones tienen el

mismo denominador, de modo que podemos sumarlas.

}56

} 1 }12

} 5 }56

} 1 }36

} 5 }5 1

63

} 5 }86

} 5 }43

}

b) En la parte a), multiplicamos el numerador y el denominador de }12} por 3para obtener un denominador igual al de la otra fraccin. En esta parte, ambas frac-ciones deben modificarse para que tengan un factor comn. Escribimos

}56

} 5 }1102} y }

34

} 5 }192}

Por tanto,

}56

} 2 }34

} 5 }1102} 2 }1

92} 5 }

1012

29

} 5 }112}

En general, cuando sumamos o restamos fracciones con denominadores dife-rentes, primero reemplazamos cada fraccin por una equivalente que tenga un de-nominador comn. Con el propsito de mantener los nmeros tan pequeos comosea posible, elegimos el ms pequeo de tales denominadores comunes, denomina-do el mnimo comn denominador (m.c.d.). An obtendramos la respuestacorrecta utilizando un denominador comn ms grande, pero es preferible usar elmnimo denominador posible. Por ejemplo, en la parte b) del ejemplo 6, pudimosemplear 24 como un denominador comn:

}56

} 2 }34

} 5 }2204} 2 }

1284} 5 }

2022

418

} 5 }224} 5 }1

12}

La respuesta final es la misma, pero habramos tenido que trabajar con nmeros msgrandes.

Para calcular el m.c.d. de dos o ms fracciones, los denominadores deben es-cribirse en trminos de sus factores primos. El m.c.d. se forma entonces tomando to-dos los factores primos que aparezcan en cualquiera de los denominadores. Cadauno de tales denominadores debe incluirse tantas veces como ocurra en cualquiera delos denominadores. Por ejemplo, el m.c.d. de }56} y }

34}, se encuentra escribiendo los

denominadores en la forma 6 5 2 ? 3 y 4 5 2 ? 2. Los factores primos que ocurrenson 2 y 3, pero 2 aparece dos veces en un denominador. De modo que el m.c.d. es2 ? 2 ? 3 5 12.

Como un segundo ejemplo, consideremos el m.c.d. de 5/12x y 7/10x2y. Es-cribimos

12x 5 2 ? 2 ? 3 ? x y 10x2y 5 2 ? 5 ? x ? x ? y

Tomando cada factor el mayor nmero de veces que aparezca, tenemos que

m.c.d. 5 2 ? 2 ? 3 ? 5 ? x ? x ? y 5 60x2y 8

1 ? 3}2 ? 3


8. En cada caso, cul es mni-mo comn denominador?

a) }23

} y }56

}; b) }21xy} y }

8x

y}

Respuesta a) 6; b) 8xy

EJEMPLO 7 Simplifique:

a) }6x

} 1 }34y} b) }9

1x} 2 }

16

} c) }a

c} 1 }

b

d}

d) e) 3x 4 1}31x2} 2 }43xy}2Solucin

a) El m.c.d. es 12

}6x

} 5 }122x} y }

34y} 5 }

3(132y)} 5 }1

92y}

Por tanto,

}6x

} 1 }34y} 5 }1

22x} 1 }1

92y} 5 }

2x11

29y

}

b) El m.c.d. en este caso es 18x, de modo que

}91x} 5 }1

28x} y }

16

} 5 }138x

x}

Entonces,

}91x} 2 }

16

} 5 }128x} 2 }1

38x

x} 5 }

212

8x3x

}

c) El m.c.d. es cd

}a

c} 1 }

b

d} 5 }

a

cd

d} 1 }

b

cd

c} 5 }

ad

c

1

d

bc} 9

d ) Aqu tenemos una fraccin cuyo denominador a su vez incluye una frac-cin. Primero simplificamos el denominador:

5b 2 }b

3} 5 }

15b32 b} 5 }

143b

}

Entonces la expresin dada es

}14

4b

a

y3} 5 4a1}143b}221 5 4a1}134b}2 5 }67ab}

e) Primero simplificamos la expresin que se encuentra entre parntesis. Elmnimo comn denominador es 12x2y.

}31x2} 2 }4

3xy} 5 }12

4x

y2y

} 2 }129x

x2y

} 5 }4y

122

x2y

9x}

4a}

5b 2 }b

3}

14 CAPTULO 1 LGEBRA

9. Evale y simplifique

a) }23

} 1 }54

}; b) }2x

y} 2 }8

7y

x}

Respuesta a) }21

32}; b) 2 }

38x

y}

Por tanto la expresin dada es igual a

3x 4 1}4y122x2y9x}2 5 }31x} ? }4y122x2y

9x} 5 }4y

362

x3y

9x}

(en donde x3 5 x ? x2 5 x ? x ? x).

Demostraciones de los teoremas

Concluimos esta seccin demostrando las propiedades bsicas de las fracciones quehemos utilizado en los ejemplos anteriores.

TEOREMA 1

1}1b}2 1}1d}2 5 }b1d}

DEMOSTRACIN Por definicin, 1}1b}2 5 b21 y 1}1d}2 5 d21, de modo que

1}1b}2 1}1d}2 5 b21 d21Como,

(b21 d21) (bd) 5 (b21 b) ? (d21 d) (usando las propiedades asociativa yconmutativa)

5 1 ? 1 5 1

Por tanto, b21 d21 debe ser el inverso multiplicativo de db, es decir,

b21 d21 5 }b

1d}

como se requera.Observacin Este resultado puede reescribirse en la forma (bd)21 5 b21 d21.

TEOREMA 2

1}ab}2 1}dc}2 5 }badc}DEMOSTRACIN

}a

b} 5 ab21 5 a1}1b}2

y tambin

}d

c} 5 c1}1d}2


Por tanto, usando las propiedades conmutativa y asociativa, podemos escribir

1}ab}2 1}dc}2 5 a1}1b}2 ? c1}1d}2 5 ac ? 1}1b} ? }1d}25 ac1}b1d}2 (por el teorema 1)5 }

b

a

d

c}

como se peda.

TEOREMA 3

1}ab}221 5 }ba}DEMOSTRACIN Por definicin, a/b 5 ab21. Por tanto, por el teorema 1,

1}ab}221 5 (ab21)21 5 a21(b21)21.Pero (b21)21 5 b, de modo que

1}ab}221 5 a21b 5 ba21 5 }ba}como se requera.

TEOREMA 4

1}ab}2 4 1}dc}2 5 1}ab}2 ? 1}dc}2DEMOSTRACIN Por definicin, x 4 y 5 xy21. Por tanto, tenemos las igualda-des:

1}ab}2 4 1}dc}2 5 1}ab}2 ? 1}dc}221 5 1}ab}2 ? 1}dc}2 (por el teorema 3)TEOREMA 5

}a

b} 5 }

a

b

c

c} (c 0)

DEMOSTRACIN Para cualquier c 0, la fraccin c/c 5 1, puesto que, por de-finicin c/c 5 cc21. Por tanto, por el teorema 2,

}a

b

c

c} 5 1}ab}2 ? 1}cc}2 5 }ab} ? 1 5 }ab}

como se peda.

16 CAPTULO 1 LGEBRA

1. Establezca si cada una de las igualdades siguientes es vlidao no. Reemplace cada proposicin falsa por una verdadera.

a) }3x

} 1 }4x

} 5 }7x

}

b) }3x

} 1 }4x

} 5 }7x

}

c) }a

b} 1 }

d

c} 5 }

b

a

1

1

d

c}

d) }a

b} ? 1}dc} ? }ef}2 5 }abcdef}

e) 1}ab} 4 }dc}2 4 }ef} 5 }ba

c

d

e

f}

f) }a

b} 4 1}dc} 4 }ef}2 5 }b

a

c

d

e

f}

g) }1a

} 1 }1b

} 5 }a 1

1b

}

h) 5 }1 11

y}

i) }67

} ? }89

} 5

j) 5 }12

}1 1 2 1 3 1 4 1 5}}}2 1 4 1 6 1 8 1 10

6 ? 9 1 7 ? 8}}

7 ? 9

x@}x@ 1 y

(2-58) Evale cada una de las siguientes expresiones. Escribalas respuestas en los trminos ms simples.

2. }29

} ? }65

} 3. 1}83}2 1}145}24. }

34

} ? }85

} ? }49

} 5. }25

} ? }36

} ? }170}

6. 1}235x}2 1}295x}2 7. 1}1145xy}2 1}2254y}28. 7x2 1}261yx}2 9. 12}23

x

y}2 (25xy)

10. 1}1181}2 4 1}383}2 11. 1}134}2 4 1}165}212. }

49

} 4 1}23} ? 82 13. 1}1225} ? }

175}2 4 }270}

14. 1}170x}2 4 1}251x}2 15. (2x) 4 1}35xy}216. 4 4 1}98x}2 17. 1}83x}2 4 1}145x}218. 1}32x0

2} ? 4y2 4 1}62x5y}2 19. 1}52x} ? }34y}2 4 1}x1

2

2y}2

20. 8xy 4 1}23x} ? }25xy}2 21. 6x2 4 1}4yx} ? }32y2

}2


TEOREMA 6

}a

c} 1 }

b

c} 5 }

a 1

c

b} (c 0)

DEMOSTRACIN Por definicin,

}a

c} 5 ac21 y }

b

c} 5 bc21

Por tanto,

}a

c} 1 }

b

c} 5 ac21 1 bc21 5 (a 1 b)c21 (por la propiedad distributiva)

5 }a 1

c

b}

como se requera.

EJERCICIOS 1-2

22. 1}98t} 4 }31st}2 ? }4s} 23. 1}43xy} 4 }xy}2 ? }29xy}

24. 1}2x} 4 }2z}2 4 }4z} 25. 1}23xt} 4 }4xt}2 4 }23t}

26. }2z

} 4 1}2z} 4 }4z}2 27. }23xt} 4 1}4xt} 4 }23t}228. }

16

} 2 }12

} 29. }110} 1 }1

15}

30. }45x} 2 }1

x

0} 31. }

1x

} 1 }21x}

32. }2x

} 1 }3x

} 33. }2y

x} 1 }3

1x}

34. }6a

b} 2 }2

a

b} 35. }6

a

b} 1 }

29

a

b}

36. }67x} 1 }4

3x2} 37. }1

30y

x2} 2 }6

1x}

38. }p

x2} 1 }p

y

q} 39. }

x

y} 1 }

y

z} 1 }

x

z}

40. }x

y} 2 }

y

x} 41. }3

x

y

2} 14y

42. }16

} 1 1}2x} 1 }2x}2 43. }16} 2 1}2x} 2 }2x}2

44. }3a

b} 2 21}ab} 2 }2ba}2 45. 1}2x} 1 }2x}2 4 1}6x}2

46. 1}9xy} 1 }61xy}2 4 1}31xy}2 47. 1}14} 2 }25}2 4 1}12} 2 }15}248. 1}23} 1 }112}2 ? 1}170} 1 }14}2

49. 50.

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 1}ab} 1 }23ab}2 4 31}38x}2 4 1}9x}2 1 }14}458. 1}x6

y}2 4 31}23}2 4 1}6x}2 2 }34x}4

1}52pq}2 1}p3}2 1 }8pq2}

}}

4p 1 }1p

2}

1}23ab}2 1}45b}2 1 a}}

2b 1 }1b

5}

}21x} 2 }

31x}

}

}41y} 2 }

51y}

7x 2 }23x}

}

15y 2 }3y

}

22 }34}}

3 1 }18}

}13} 2 }

14}

}

}15} 2 }

16}

}85} 1 }

23}

}

2 1 }47}

}12} 2 }

13}

}

}14} 1 }

15}

18 CAPTULO 1 LGEBRA

Si m es un entero positivo, entonces am (lase a a la potencia m o la m-sima po-tencia de a) se define como el producto de m factores a multiplicados a la vez. Porlo que

am 5 a ? a ? a ? ? ? ? ? a

En este producto, el factor a aparece m veces. Por ejemplo,

24 5 2 ? 2 ? 2 ? 2 5 16 (cuatro factores de 2)35 5 3 ? 3 ? 3 ? 3 ? 3 5 243 (cinco factores de 3)

En la expresin am, m se llama la potencia o exponente y a la base. As en 24 (lacuarta potencia de 2), 2 es la base y 4 es la potencia o exponente; en 35, 3 es la ba-se y 5 el exponente. Esta definicin de am cuando el exponente es un entero positi-vo es vlida para todos los valores reales de a.

Observe el patrn en la tabla 1, en la cual se dan varias potencias de 5 en or-den decreciente. Tratemos de completar la tabla. Notemos que cada vez que el ex-ponente disminuye en 1, el nmero de la derecha se divide entre 5.

1-3 EXPONENTES

Esto sugiere que la tabla se completara continuando la divisin entre 5 con cada re-duccin del exponente. De esta manera, llegamos a las igualdades siguientes:

TABLA 1

51 5 5 50 5 1 521 5 }15} 5 }5

11}

522 5 }215} 5 }5

12} 523 5 }1

125} 5 }5

13} 524 5 }6

125} 5 }5

14}

Este patrn en forma natural nos conduce a la definicin siguiente de am en el casode que el exponente m sea cero o un nmero negativo.

DEFINICIN Si a 0, entonces a0 5 1 y si m es un entero positivo cualquiera(de modo que 2m es un entero negativo),

a2m 5 }a1m}

Por ejemplo, 40 51, 1}37}20

5 1, (25)0 5 1, etc. Asimismo,

324 5 }31

4} 5 }

811} y (2)25 5 }

(212)5} 5 }

2

132} 5 2 }

312} 10

De estas definiciones, es posible establecer una serie de propiedades denomi-nadas las leyes de los exponentes, las cuales se enuncian a continuacin.

Propiedad 1

am ? an 5 am1n

Esto es, cuando dos potencias de una base comn se multiplican, el resulta-do es igual a la base elevada a la suma de los dos exponentes. Este resultado valepara cualquier nmero real a, excepto en el caso de que m o n sea negativo, reque-rimos que a 0.

EJEMPLO 1

a) 52 ? 53 5 5213 5 55

Podemos verificar que esto sea correcto desarrollando las dos potencias del producto.

52 ? 53 5 (5 ? 5) ? (5 ? 5 ? 5) 5 5 ? 5 ? 5 ? 5 ? 5 5 55

SECCIN 1-3 EXPONENTES 19

10. Evale

a) (2}15})0; b) (2}12})

23

Respuesta a) 1; b) 23 5 28

54 62553 12552 2551 550 ?521 ?522 ?523 ?524 ?

b) x5 ? x23 5 x51(23) 5 x2

De nuevo, podemos verificar este resultado desarrollando las dos potencias.

x5 ? x23 5 (x ? x ? x ? x ? x) 1}x ? 1x ? x}2 5 x ? x 5 x2 11

Propiedad 2

}aa

m

n} 5 am2n (a 0)

Esto es, cuando una potencia se divide entre otra con la misma base, el resultadoes igual a la base elevada a un exponente que es la diferencia del exponente que es-

t en el numerador y el exponente del denominador.

EJEMPLO 2

a) }55

7

3} 5 5723 5 54

b) }442

3

2} 5 432(22) 5 4312 5 45

c) }3322} 5 }

332

1

2} 5 32221 5 323

d ) }x2

x

?

2

x3

24

} 5 }xx

2

2

2

3

4} 5 x2242(23) 5 x1 5 x 12

Propiedad 3

(am)n 5 amn (a 0 si m o n es negativo o cero)

Es decir, una potencia elevada a una potencia es igual a la base elevada al produc-to de los dos exponentes.

EJEMPLO 3

a) (33)2 5 33 ? 2 5 36

Podemos comprobar que esto es correcto, dado que

(33)2 5 33 ? 33 5 3313 5 36

b) (422)24 5 4(22)(24) 5 48

c) x5(x22)21 5 x5 ? x(22)(21) 5 x5 ? x2 5 x512 5 x7

d ) }((x

x2

2

2

))

2

2

2

2} 5 }

x

x(2

(2

2

)(

)

2

(2

2

2

)

)} 5 }

x

x

2

4

4} 5 x2424 5 x28

e) }x

12p} 5 (x2p)21 5 x(2p)(21) 5 xp 13

20 CAPTULO 1 LGEBRA

11. Simplifiquea) 43 425; b) x4 x26 x2

Respuesta a) }116}; b) 1

12. Simplifiquea) 33 4 322; b) x4 4 (x26 ? x2)

Respuesta a) 35 5 243; b) x8

13. Simplifiquea) 33 ? (32)22; b) (x4)4 4 (x23)23

Respuesta a) 321 5 }13}; b) x7

En una expresin, tal como 3c5, la base es c, no 3c. Si necesitamos que la basesea 3c, debemos encerrarla entre parntesis y escribir (3c)5. Por ejemplo 3 ? 23 5 3 ?8 5 24, no es lo mismo que (3 ? 2)3 5 63 5 216. Para el caso de que la base es unproducto, tenemos la propiedad siguiente.

Propiedad 4

(ab)m 5 ambm (ab 0 si m # 0)

Esto es, el producto de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al pro-ducto de las m-simas potencias de los dos nmeros. 14

EJEMPLO 4

a) 64 5 (2 ? 3)4 5 24 ? 34

b) (x2y)4 5 (x2)4y4 5 x8y4

c) (3a2b23)2 5 32(a2)2(b23)2 5 9a4b26

d) 5 5 }x

x

2

2

2

8

y

y

2

2

6

4} 5 ? 5 x222(28)y262(4) 5 x6y22

Propiedad 5

1}ab}2m

5 }a

b

m

m} (b 0 y a 0 si m # 0)

Es decir, el cociente de dos nmeros elevados a la m-sima potencia es igual al co-ciente de las m-simas potencias de tales nmeros.

EJEMPLO 5

a) 1}32}24

5 }32

4

4} b) 1}xy}2

55 }

x

y

5

5} 5 x5y25

c) x31}xy2}222

5 x3}(xy2

2

)22

2} 5 x3}

y

x

2

2

2

4} 5 x32(24)y22 5 x7y22 15

EJEMPLO 6 Simplifique las expresiones siguientes, eliminando parntesis y ex-ponentes negativos.

a) }(x

a2

x)7

5} b) }

((x

x2

2

z

2

3

))

2

3} c) x4(2x 2 3x22)

d) (x21 1 y21)21 e) }x2

(

1

xy

1

)2y1

21}

Solucin

a) }(x

a2

x)7

5

} 5 }a

x

5

2

x7

5} 5 a5x52(27) 5 a5x12

y26}y24

x22}x28

x22(y3)22}(x2)24y24

(xy3)22}(x2y)24

SECCIN 1-3 EXPONENTES 21

14. Evalea) 2 ? 23 y (2 ? 2)3

b) 3 ? 222 y (3 ? 2)22

Respuesta a) 16 y 64; b) }34

} y }316}

15. Simplifiquea) 33 ? (3x)22

b) 1}x24}22 4 (4x22)22

Respuesta a) }x

32}; b) 4x4

22 CAPTULO 1 LGEBRA

b) 5 5 5

Note que si deseamos evitar exponentes negativos, ambos factores deben dejarse enel denominador.

c) x4(2x 2 3x22) 5 x4(2x) 2 x4(3x22)

5 2x411 2 3x422

5 2x52 3x2

d ) Primero debemos simplificar la expresin dentro de los parntesis. Eldenominador comn es xy.

x21 1 y21 5 1 5 1 5

Ahora recordando que el recproco de una fraccin se obtiene intercambian-do el numerador y el denominador. De modo que

(x21 1 y21)21 5 1 221

5

e) 5 5 1 5 1 5 y 1 x

Solucin alterna

5 (x21 1 y21) ? xy

5 x21 ? xy 1 y21 ? xy (propiedad distributiva)

5 1 ? y 1 1 ? x 5 y 1 x 16

x21 1 y21}}

(xy)21

1}x21

1}y21

y21}x21y21

x21}x21y21

x21 1 y21}}

x21y21x21 1 y21}}

(xy)21

xy}y 1 x

y 1 x}

xy

y 1 x}

xy

x}xy

y}xy

1}y

1}x

1}x10z9

x24}x6z9

x(22)(2)}(x2)3(z3)3

(x22)2}(x2z3)3

16. Sera incorrecto porcompleto en el ejemplo 6d ) si hubisemos escrito(x21 1 y21)21 5 (x21)21 1(y21)21 5 x 1 y. Puede ver porqu esto es incorrecto? Pruebedando dos valores para x y y, talescomo 2 y 4.

(1-61) Simplifique las expresiones siguientes. No use parntesisni exponentes negativos en la respuesta final.

1. (25)2 2. (34)3

3. (a3)7 4. (x4)5

5. (2x2)5 6. (2x5)2

7. y2 ? y5 8. x7 ? x4

9. a3 ? a25 10. b22 ? b6

11. (3x)2x27 12. (4x)22x4

13. (2x)2(2x21)3 14. }x

2

3

} (4x21)2

15. (x2yz)3(xy)4 16. (3yz2)2(y3z)3

17. (x22y)22 18. (ab23)21

19. (xy2z3)21(xyz)3 20. (x2pq2)2(xp2)21

21. }(24

4

2

)2} 22. }

(33

3

5

)2}

23. 1}13}222

4 324 24. 1}15}23

4 522

25. }x

x2

5

2} 26. }

y

y

2

2

3

7}

27. }(xx

2

4

)3} 28. }

(z

z

2

2)

8

4}

29. }((a

a

2

4)

2

2

)63

} 30. }((b

b

2

3

7

))3

2}

31. }((2

2

x

x

)

3

2

)23

} 32. }((2

2

y

y

2

2

1

))2

2

2

3}

EJERCICIOS 1-3

33. }(x(x

2y

y

))

2

2

3

} 34. }(aa

b2

2

2b

2)2

2

1

1}

35. }(2

x

23

x

y

y)3} 36.

37. }(22

33x

x

)2

2} 38. }

((2

2x2

2

x

y2

)y

2

3)

1

2}

39. }(2

(a

a

2

3b

1b

)32)2

} 40. }(2

(x3

2

x

3

2

y

y

4

2

)32)2

}

41. x2(x4 2 2x) 42. x3(x21 2 x)

43. 2x(x5 13x21) 44. 3x2(x4 1 2x23)

45. x4(2x2 2 x 2 3x22) 46. 2x23(x5 2 3x4 1 x)

47. (221 1 x21)21 48. [(2x)21 1 (2y)21]21

49. (xy)21(x21 1 y21)21 50. (a22 1 b22)21

51. 1}7x}2 1}134x}2 1 1}23x}22

52. x231}56x}221

2 12}21x}22

53. }130y

x3} 1 }

152xy} 54. }

125x23} 2 }

152x22}

55. }2x

122} 1 }

3x122} 56. }

4y124} 2 }

3y124}

57. 1}x43y}2 4 1}4x} 4 }y63}2 58. }x4

2

x

3} 2 }

6x

x5}

59. y2512xy 4 }3xy2}2 60. 1}2x} 1 x212 4 1}x22} 1 }

5x1

22}2

61. x21 4 (x 1 x21)21

(2ab2c)21}}

a22bc21

SECCIN 1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS 23

Hemos definido am cuando m es cualquier entero, ahora extenderemos la definicinal caso en que m es un nmero racional arbitrario. Nos gustara hacer esta extensinen tal forma que las propiedades 1 a 5 de la seccin 1-3 continen siendo vlidas,aun en el caso de que m y n no sean enteros.

En primer trmino, consideraremos la definicin de a1/ n cuando n es un ente-ro distinto de cero. Para que la propiedad 3 contine vigente cuando m 5 1/n, de-be ser vlido que

(a1/ n)n 5 a(1/ n)n 5 a1 5 a

De este modo, si hacemos b 5 a1/n, es necesario que bn 5 a.

EJEMPLO 1

a) 81/3 5 2 ya que 23 5 8

b) (2243)1/5 5 23 ya que (23)5 5 2243

En el caso de que n sea un entero par, surgen dos dificultades con esta defini-cin de a1/n. Por ejemplo, sea n 5 2 y a 5 4. Entonces, b 5 41/ 2 si b2 5 4. Pero haydos nmeros cuyo cuadrado es igual a 4, es decir, b 5 2 y b 5 22. De modo quenecesitamos decidir qu entenderemos cuando escribamos b 5 41/ 2. En realidad,definiremos 41/ 2 como 12.

En segundo lugar, suponga que a es negativo. En tal caso, b 5 a1/ 2 si b2 5 a.Sin embargo, el cuadrado de cualquier nmero negativo (positivo, negativo o cero)nunca es negativo. Por ejemplo, 42 5 16 y (23)2 5 9, y ambos son positivos. Enconsecuencia b2 nunca es negativo para cualquier nmero real b, de modo que cuan-do a , 0, a1/ 2 no existe en los nmeros reales. As, (21)1/ 2 o (2}43})

1/ 2 carecen desentido como nmeros reales. Adoptaremos la siguiente definicin.

1-4 EXPONENTES FRACCIONARIOS

DEFINICIN Si n es un entero positivo par (tal como 2, 4 o 6) y si a es un nme-ro real no negativo, entonces se dice que b es la n-sima raz principal de a si bn 5a y b $ 0. As, la n-sima raz de a es el nmero no negativo el cual, al elevarse ala n-sima potencia, da el nmero a. Denotamos la n-sima raz principal por b 5a1/n.

Si n es un entero positivo impar (tal como 1, 3 o 5) y si a es un nmero realcualquiera, entonces b es la n-sima raz de a si bn 5 a, expresada una vez ms co-mo a1/n. Es decir,

b 5 a1/n si bn 5 a; b $ 0 si n es par.

Las races impares estn definidas para todos los nmeros reales a, pero las racespares slo estn definidas cuando a no es negativo.

EJEMPLO 2

a) 321/5 5 2 porque 25 5 32

b) (2216)1/3 5 26 ya que (26)3 5 2216

c) 161/4 5 2 porque 24 5 16 y 2 . 0

d) (729)1/6 5 3 ya que 36 5 729 y 3 > 0

e) 11/n 5 1 para todo entero positivo n, porque 1n 5 1

f ) (21)1/n 5 21 para todo entero positivo impar n, debido a que (21)n 5 21cuando n es impar.

g) (281)1/4 no existe, porque los nmeros negativos slo tienen races n-si-mas cuando n es impar.

El smbolo n aw tambin se utiliza en vez de a1/n. El smbolo se denominasigno radical y n aw a menudo se llama radical. Cuando n 5 2, a1/2 se denota sim-plemente por aw ms bien que por 2 aw: se llama la raz cuadrada de a. Tambin,3 aw 5 a1/3 es la tercera raz de a, por lo regular se le llama raz cbica, 4 aw 5 a1/4es la raz cuarta de a, etc. Los resultados en el ejemplo 2 pueden volverse a formu-lar utilizando esta notacin:

a) 5

3w2w 5 2; b) 3

2w2w1w6w 5 26; c) 4

1w6w 5 2

d ) 6

7w2w9w 5 3; e) n

1w 5 1 para n un entero positivo

f ) n

2w1w 5 21 para n un entero positivo impar

g) 4

2w8w1w no existe 17

Ahora estamos en posicin de definir am/n para un exponente racional m/n.

24 CAPTULO 1 LGEBRA

17. Evale lo siguiente,si existen: a) (227)1/3

b) (64)1/6 c) 5 2w3w2w

d ) (2}116})

1/4 e) 6 2w7w2w9w

f ) 101 2w1w

Respuesta a) 3; b) 2; c) 2; d)y e) no existen; f ) 1

DEFINICIN Sea n un enero positivo, m un entero distinto de cero y a un nme-ro real. Entonces,

am/n 5 (a1/n)m

Es decir, la (m/n)-sima potencia de a es la m-sima potencia de la raz n-sima de a.Observacin Si n es par, a no debe ser negativo. Si m es negativo, a no de-

be ser cero.

EJEMPLO 3

a) 93/2 5 (91/2)3 5 33 5 27

b) 421/2 5 (41/2)21 5 221 5 }12}

c) 1623/4 5 (161/4)23 5 223 5 }18}

De la parte b) del ejemplo 3, podemos generalizar el resultado siguiente:

a21/n 5

Esto se sigue dado que

a21/n 5 (a1/n)21 5 }a

11/n}

TEOREMA Si am/n existe, entonces,

am/n 5 (am)1/n

Es decir, la (m/n)-sima potencia de a es igual a la raz n-sima de la m-sima po-tencia de a.

Este teorema, el cual no probaremos, ofrece un mtodo alternativo de calcu-lar cualquier potencia fraccionaria.

EJEMPLO 4

a) 163/4 5 (161/4)3 5 23 5 8, o 163/4 5 (163)1/4 5 (4096)1/4 5 8

b) 363/2 5 (361/2)3 5 63 5 216, o 363/2 5 (363)1/2 5 (46,656)1/2 5 216

Observacin Si m/n no est en su mnima expresin, entonces (am)1/n puedeexistir mientras que am/n no. Por ejemplo, sea m 5 2, n 5 4 y a 5 29. Entonces,

(am)1/n 5 [(29)2]1/4 5 811/4 5 3

pero am/n 5 (29)2/4 5 [(29)1/4]2 no existe.Segn los ejemplos 3 y 4, es claro que cuando evaluamos am/n, es ms fcil extraer

la raz n-sima primero y despus elevar a la m-sima potencia; de esa manera

1}n aw


trabajamos con nmeros ms pequeos. En otras palabras, en la prctica calculamosam/n usando la definicin (a1/n) en vez de (am)1/n.

Con estas definiciones, es posible demostrar que las leyes de los exponentes,que se establecieron en la seccin 1-3, tambin son vlidas para exponentes fraccio-narios. Las volvemos a escribir y las ilustramos con algunos ejemplos. Reenuncie-mos estas leyes, ya que son muy importantes.

1. am ? an 5 am1n 2. }a

a

m

n} 5 am2n 3. (am)n 5 amn

4. (ab)m 5 ambm 5. 1}ab}2m

5 }a

b

m

m}

Al utilizar estas leyes, debemos recordar que tienen algunas restricciones: en cual-quier potencia, si el exponente es negativo, la base no debe ser cero; y si el expo-nente contiene una raz par, la base no debe ser negativa.

EJEMPLO 5

a) 53 ? 57/2 5 5317/2 5 513/2

b) 422 ? 47/3 5 42217/3 5 41/3

c) }(44

7

)

/

3

2

/2} 5 47/223/2 5 42 5 16

d ) }99

1

2

/

2

2} 5 91/22(22) 5 95/2 5 (91/2)5 5 35 5 243

e) }x

x

9

4

/4

} 5 x9/424 5 x27/4

f ) (53)7/6 5 53(7/6) 5 57/2

g) (324/3)26/5 5 3(24/3)(26/5) 5 38/5

h) a2m 5 (am)21 5 }a

1m} para cualquier nmero racional m

i ) (36)1/2 5 (4 ? 9)1/2 5 41/2 ? 91/2 5 2 ? 3 5 6

j ) (x2y)1/2 5 (x2)1/2y1/2 5 x2(1/2)y1/2 5 xy1/2

k) (3a2/5b24)21/2 5 321/2(a2/5)21/2(b24)21/2 5 321/2a21/5b2

l ) 4 awbw 5 (ab)1/4 5 a1/4b1/4 5 4

aw 4

bw

m) x/wyw 5 1}xy}21/2

5 }x

y

1

1

/

/

2

2} 5

}14}

n) 1}287}222/3

5 }287

2

2

2

2

/

/

3

3} 5 }

((287

1

1

/

/

3

3

))

2

2

2

2} 5 }

23

2

2

2

2} 5 ]] 5 1}14}2 1}91}2 5 }94} 18}19}

xw}yw

26 CAPTULO 1 REPASO DE LGEBRA

18. Simplifique a) 31/3 ? 32/3

b) 31/3 ? (32/3)22; c) (x1/2)3 ? xwd) (x1/3)1/2 4 x7/6

e) (8x)2/5 ? 1}4x}23/5

Respuesta a) 3; b) 321; c) x2

d) x21; e) x

EJEMPLO 6 Encuentre m tal que 5 3m.

Solucin Expresamos ambos lados como potencia de 3.

5 }93

1

3

/3} 5 }

(33

2)3

1/3} 5 }

33

2

3

/3} 5 3(2/3)23 5 327/3

Por tanto, m 5 2 }7

3}

EJEMPLO 7 Evale: a) 11 }26245}21/2

; b) 1}647x3

}222/3Solucin

a) 11 }26245}21/2

5 1}228295}21/2

5 1}11752

2}21/2

5 31}1175}2241/2 (por la ley 5)

5 1}1175}22 ? (1/2)

(por la ley 3)

5 1}1175}21

5 1 }125}

b) 1}6247x3

}222/3 5 1}433x

3

3}222/3 5 31}43x}2

3422/3 (por la ley 5)5 1}43x}2

225 }

(4x1/3)2} (por la ley 3)

5 }16x

12/9} 5 }

169x2}

EJEMPLO 8 Simplifique la siguiente expresin:

Solucin En expresiones tales como sta, por lo general conviene escribir todaslas bases en trminos de sus factores primos.

5

5 (por las leyes 3 y 5)

5 (combinando trminos con

bases iguales)

5 5 124p ? 33p ? 53p}}24p ? 33p ? 53p

(22p ? 22p)(3p ? 32p) ? 53p}}}

(2p ? 23p)(33p) ? 53p

22p ? 33p/3 ? 53p ? 22p ? 32p}}}23?(p/3) ? 32?(3p/2) ? 23p ? 53p

(22)p ? (33)p/3 ? (53)p ? (2 ?3)2p}}}

(23)p/3 ? (32)3p/2 ? (2 ? 5)3p4p ? 27p/3 ? 125p ? 62p}}}

8p/3 ? 93p/2 ? 103p

4p ? 27p/3 ? 125p ? 62p}}}

8p/3 ? 93p/2 ? 103p

3 9w}27

3 9w}27


(1-6) Encuentre m tal que las proposiciones siguientes sean ver-daderas.

1. 83 2w 5 2m 2. }3

82w

} 5 2m

3. !3 }28} 5 2m 4. 33w ? 3 3w 5 3m

5. w2ww 5 4m 6. 4 3www2www 5 2m(7-26) Evale las expresiones siguientes.

7. 8w1w 8. 3

2w7w

9. !1 }196} 10. !3 3 }38}11.

52w3w2w 12.

32w0w.1w2w5w

13. (2w3w)2w 14. !(2}25})215. (81)23/4 16. (}2

87})

24/3

17. (0.16)21/2 18. (20.16)3/4

19. 0.12522/3 20. 0.00163/4

21. (923 ? 163/2)1/6 22. 93/4 ? 321/2

23. 164/5 ? 822/5 24. 251/3(}15})24/3

25. (27)22/3 4 (16)1/4 26. 2(}316})

1/8 4 (6)25/4

(27-56) Simplifique las expresiones siguientes.

27. (16x4)3/4 28. 1}2674x3}22/3

29. (32x5y210)1/5 30. !3 }287ab3

3}31.

4x3w/2w ?w 1w6wx1w/2w 32. (x1/3 ? x22/5)3

33. (x1/2 ? x21/3)2 34. (16x24)21/2 4 (8x6)1/3


EJEMPLO 9 Simplifique (2w7w 1 7w5w)/2 1w2w.

Solucin Observemos que los tres radicales en esta expresin pueden simplificar-se factorizando un cuadrado perfecto en cada uno de los nmeros.

2w7w 5 9w ?w 3w 5 9w ? 3w 5 33w7w5w 5 2w5w ?w 3w 5 2w5w ? 3w 5 53w1w2w 5 4w ?w 3w 5 4w ? 3w 5 23w

Por tanto,

5 5 5 }84

} 5 2.

EJEMPLO 10 Simplifique: a) xw(x3w 1 3 x2w); b) }xw3

1

xw2x

}

Solucin Exprese los radicales en trminos de exponentes fraccionarios y luegoutilice las propiedades distributivas y las leyes de los exponentes.

a) xw(x3w 1 3 x2w) 5 x1/2(x3/2 1 x2/3)5 x1/2 ? x3/2 1 x1/2 ? x2/3

5 x2 1 x7/6

b) }xw

31

xw2x

} 5 }x1/2

x11

/3

2x}

5 (x1/2 1 2x)x21/3

5 x1/2 ? x21/3 1 2x1 ? x21/3

5 x1/6 1 2x2/3 19

83w}43w

33w 1 53w}}

2(23w)2w7w 1 7w5w}}

21w2w

19. Simplifique a) 3

4w ? 3

1w6wb)

33w 4 (

39w)2

c) 4

x3w ? wxwwd) xw(x3w 1 3xw)

Respuesta a) 4; b) 321; c) xd) x2 1 3x

EJERCICIOS 1-4

35. }x

x2

3

1

/7

/7

y

y

2

1

/

/

5

5} 36. }

a

a

4

2

/

/

9

9

b

b

2

2

3

1

/

/

4

2}

37. 1}pp22

3

1

/

/

5

5

q

q2

2

2

/

/

5

5}2

10

38.

39. }2y

x3

5

/

/

4

2} 4 }

3x

y

2

2

/

/

3

5} 40. (22x2y)1/5(421xy22)22/5

41. 34w5w 1 2w0w 42. 22w4w 2 5w4w

43. 21w8w 2 3w2w 44.

45. 6w3w 2 1w7w5w 1 41w1w2w

46. 1w1w2w 2 6w3w 1

47. 2 22w0w 1 48. 23

2w1w6w 2 3

2w5w4w

49. a2/3 ? a23/4 ? (a2)21/6 ? }(a1

1/12)5}

50}1w2w5w

20}5w

224}2w8w

82w 248w

(x2y)21/3(xy)1/4}}

(xy22)1/12

50. a2/3 ? b25/7 ? 1}ab}27/8

? }a

b

1

2

1

3

/

/

2

5

4

6}

51. 52.

53. 1}xxa

b}2

c

? 1 2a

? 1}xxc

a}2

b

54. 1}xxa

2

1

b

b

}21}xxb

2

1

c

c

}21 255. 56.

57. Establezca si las proposiciones siguientes son verdaderas ofalsas.

a) 5w 5 2w 1 3w b) 8w 5 2w 1 2w

c) 2w1w 5 7w ? 3w d) (2w3w)2w 5 3

e) 2w9w 5 23 f ) aw2w 5 a para todo real a

g) aw2w1w bw2w 5 a 1 b si a . 0 y b . 0

h) am ? an 5 amn i) }a

a

m

n} 5 am/n

j) 3 w3 aww 5 a1/6 k) aw2w 5 a si a . 0

28m ? 35m ? 103m}}85m/3 ? 49m ? 252m

(27)2n/3 ? (8)2n/6}}

(18)2n/2

xc1a}

x2ax b}xc

(xa1b)2(ya1b)2}}

(xy)2a2b23m ? 32m ? 5m ? 6m}}

8m ? 93m/2 ? 10m

SECCIN 1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS 29

Cantidades del tipo 2x2 2 3x 1 7, 5y3 2 y2 1 6y 1 2 y 2x 2 3/y 1 4 se denomi-nan expresiones algebraicas. Los bloques de construccin de una expresin alge-braica se llaman trminos. Por ejemplo, la expresin 2x2 2 3x 1 7 tiene tres trmi-nos, 2x2, 23x y 7. La expresin x2y/3 2 y/x tiene dos trminos, x2y/3 y y/x.

En el trmino 2x2, el factor 2 se denomina el coeficiente numrico (o simple-mente el coeficiente). El factor x2 se denomina la parte literal del trmino. En eltrmino 23x, el coeficiente es 23 y la parte literal x. En el trmino x2y/3, el coefi-ciente es }13} y la parte literal es x

2y. El trmino 7 no tiene parte literal y se llama tr-mino constante. El coeficiente es 7.

Una expresin algebraica que contiene un solo trmino se denomina mono-mio. Una expresin que contiene exactamente dos trminos se llama binomio y laque contiene precisamente tres trminos se denomina trinomio. Los siguientes sonunos cuantos ejemplos de expresiones de estos tipos.

Monomios: 2x3, 25y2, 7/ t, 3, 2xy/z

Binomios: 2x 1 3, 3x2 2 5/y, 6x2y 2 5zt

Trinomios: 5x2 1 7x 2 1, 2x3 1 4x 2 3/x, 6y2 2 5x 1 t

En general una expresin que contiene ms de un trmino se denomina multinomio.

1-5 OPERACIONES ALGEBRAICAS

Adicin y sustraccin de expresiones

Cuando 4 manzanas se suman a 3 manzanas obtenemos 7 manzanas. En la mismaforma, 4x 1 3x 5 7x. Esto es una simple consecuencia de la propiedad distributiva,dado que

4x 1 3x 5 (4 1 3)x 5 7x

Si usted compara con la seccin 1-1 ver que aqu utilizamos la ley distributiva ha-cia atrs, esto es, de derecha a izquierda. De una manera similar, podemos sumarcualesquiera dos expresiones cuyas partes literales sean iguales. Simplemente su-mamos los dos coeficientes numricos.

EJEMPLO 1

a) 2x 1 9x 5 (2 1 9)x 5 11x

b) 4ab 1 3ab 5 (4 1 3)ab 5 7ab

c) }2y

x} 1 }

2x

y} 5 2 ? }

x

y} 1 }

12

} ? }x

y} 5 12 1 }12}2 }xy} 5 }52} ? }xy} 5 }52xy}

Dos o ms trminos de una expresin algebraica se dice que son semejantessi tienen las mismas partes literales. Por ejemplo, 2x2y y 5yx2 son semejantes dado quesus partes literales, x2y y yx2, son iguales. De manera similar, los tres trminos3x2yz3, 27x2z3y y z3x2y/2 son trminos semejantes. En general, dos trminos seme-jantes slo pueden diferir en sus coeficientes numricos o en el orden en que apare-cen las variables.

Dos o ms trminos semejantes pueden sumarse o restarse usando la propie-dad distributiva, como se ilustr en el ejemplo 1. A continuacin ejemplos adicio-nales.

EJEMPLO 2

a) 2x3 2 7x3 5 (2 2 7)x3 5 25x3

b) 5x2y 2 3x2y 1 2yx2 5 (5 23 1 2)x2y 5 4x2y

Los trminos que no son semejantes no pueden combinarse de la manera que acabade verse. As, los trminos en la expresin 2x2 1 5xy no pueden combinarse para darun trmino individual.

Cuando sumamos dos o ms expresiones algebraicas, reagrupamos los trmi-nos de tal manera que dos expresiones que sean semejantes aparezcan juntas. 20

EJEMPLO 3 Sume 5x2y3 2 7xy2 1 3x 2 1 y 6 22x 1 4xy2 1 3y3x2

Solucin La suma requerida es

5x2y3 2 7xy2 1 3x 2 1 1 (6 2 2x 1 4xy2 1 3y3x2)

5 5x2y3 2 7xy2 1 3x 2 1 1 6 2 2x 1 4xy2 1 3x2y3

30 CAPTULO 1 LGEBRA

20. Simplifique las expresionessiguientes:a) 2ab2 2 4ab2ab) x3 1 2x 2 (2x3 2 2x)

Respuesta a) 22ab2; b) x3 1 4x

Reagrupando los trminos, de tal manera que los trminos semejantes estn agrupa-dos juntos, obtenemos la suma en la forma siguiente:

5x2y3 1 3x2y3 2 7xy2 1 4xy2 1 3x 2 2x 2 1 1 6

5 (5 1 3)x2y3 1 (27 1 4)xy2 1 (3 2 2)x 1 (21 1 6)

5 8x2y3 1 (23)xy2 1 1x 1 5

5 8x2y3 12 3xy2 1 x 1 5

EJEMPLO 4 Reste 3x2 2 5xy 17y2 a 7x2 2 2xy 1 4y2 1 6

Solucin En este caso, buscamos

7x2 2 2xy 1 4y2 1 6 2 (3x2 2 5xy 1 7y2)

Despus de suprimir los parntesis, cada trmino dentro de los parntesis cambia designo. En consecuencia, la expresin anterior es equivalente a la siguiente:

7x2 2 2xy 1 4y2 1 6 2 3x2 1 5xy 2 7y2dddd

5 7x2 2 3x2 2 2xy 1 5xy 1 4y2 2 7y2 1 6

5 (7 2 3)x2 1 (22 1 5)xy 1 (4 2 7)y2 1 6

5 4x2 1 3xy 1 (23)y2 1 6

5 4x2 1 3xy 2 3y2 1 6

Multiplicacin de expresiones

La expresin a(x 1 y) denota el producto de a y x 1 y. Para simplificar esta expre-sin suprimiendo los parntesis, multiplicamos cada trmino dentro del parntesispor el nmero que est afuera, en este caso a:

a(x 1 y) 5 ax 1 ay

Esto es simplemente por la propiedad distributiva. De manera similar, este mtodofunciona siempre que una expresin algebraica se multiplique por cualquier mono-mio.

EJEMPLO 5

a) 22(x 2 3y 1 7t2) 5 (22)x 2 (22)(3y) 1 (22)(7t2)

5 22x 1 6y 2 14t2

b) x2y(x2 1 3x 2 5y3) 5 x2y ? x2 1 x2y ? 3x 2 x2y ? 5y3

5 x4y 1 3x3y 2 5x2y4 21

Cuando multiplicamos dos expresiones algebraicas a la vez, la propiedad dis-tributiva puede usarse ms de una vez con la finalidad de suprimir los parntesis.Consideremos el producto (x 1 2)(y 1 3). Podemos emplear la propiedad distribu-tivas para quitar los primeros parntesis.

(x 1 2)(y 1 3) 5 x(y 1 3) 1 2(y 1 3)


21. Simplifique las expresio-nes siguientes eliminando los pa-rntesis:a) 3(x 2) 1 x(x 3)b) x3 2x 2x(x2 1)

Respuesta a) x2 6; b) x3

Para ver esto, slo haga y 1 3 5 b. Entonces,

(x 1 2)(y 1 3) 5 (x 1 2)b 5 x ? b 1 2 ? b 5 x(y 1 3) 1 2(y 1 3)

En general, las propiedades distributivas de la seccin 1-1 funcionan con a, b, creemplazadas por cualesquiera expresiones (como se hace con las otras propiedadesde los nmeros reales). Ahora usamos de nuevo esta propiedad para suprimir los pa-rntesis restantes.

x(y 1 3) 5 xy 1 x ? 3 5 xy 1 3x

y asimismo

2(y 1 3) 5 2y 1 2 ? 3 5 2y 1 6

Por tanto, (x 1 2)(y 1 3) 5 xy 1 3x 1 2y 1 6En la figura 2 los cuatro trminos (productos) de la derecha pueden obtener-

se multiplicando cada uno de los trminos de los primeros parntesis sucesivamen-te por cada uno de los trminos de los segundos parntesis. Cada trmino de los pri-meros parntesis est unido por un arco a cada trmino de los segundos parntesisy el producto correspondiente tambin aparece. Los cuatro productos dan entoncesel desarrollo completo de la expresin. 22


22. Utilice la propiedad distri-butiva (o mtodo de los arcos) paraeliminar los parntesis:a) (x 1 2)(x 1 3)b) (x2 1 2)(x2 2)

Respuesta a) x2 1 5x 1 6b) x4 4

Tambin pudo hacer lo que se pide con el mtodo PIES de multiplicacin dedos expresiones binomiales. (PIES se establece por Primeros, Internos, Externos,Segundos). Eso es equivalente al mtodo de los arcos descrito aqu. Sin embargo,el mtodo de arcos es mucho mejor ya que puede utilizarlo para multiplicar cuales-quiera dos multinomios.

EJEMPLO 6 Desarrolle el producto (3x 2 4)(6x2 2 5x 1 2). (Esto significa su-primir los parntesis).

Solucin Usamos la propiedad distributiva:

(3x 2 4)(6x2 2 5x 1 2) 5 3x(6x2 2 5x 1 2) 2 4(6x2 2 5x 1 2)

5 (3x)(6x2) 2 (3x)(5x) 1 (3x)(2)

1 (24)(6x2) 2 (24)(5x) 1 (24)(2)

5 18x3 2 15x2 1 6x 2 24x2 1 20x 2 8

5 18x3 2 15x2 2 24x2 1 6x 1 20x 2 8

(agrupando trminos semejantes)

5 18x3 2 (15 1 24)x2 1 (6 1 20)x 2 8

5 18x3 2 39x2 1 26x 2 8

2y 1 2?32y

xy 3x

2?3

(x 1 2) (y 1 3)

xy 1 3x

FIGURA 2

De forma alterna, podemos obtener la respuesta dibujando arcos que conecten cadatrmino en el primer parntesis con cada trmino dentro del segundo. En este caso,existen seis de tales arcos, dando lugar a seis productos en la expansin en el ladoderecho. (Vase la figura 3).

EJEMPLO 7 Simplifique 3{5x[2 2 3x] 1 7[3 2 2(x 2 4)]}

Solucin Con el propsito de simplificar una expresin en la cual intervienenms de un conjunto de parntesis, siempre empezamos con los parntesis que estn msadentro.

3{5x[2 2 3x] 1 7[3 2 2(x 2 4)]} 5 3{5x[2 2 3x] 1 7[3 2 2x 1 8]}

5 3{10x 2 15x2 1 21 2 14x 1 56}

5 3{215x2 1 10x 2 14x 1 21 1 56}

5 3{215x2 2 4x 1 77}

5 245x2 2 12x 1 231

Existen ciertos tipos de productos especiales que aparecen con tanta frecuen-cia que pueden manejarse como frmulas estndar. Inicialmente, consideremos elproducto (x 1 a)(a 1 b).

(x 1 a)(x 1 b) 5 x(x 1 b) 1 a(x 1 b)

5 x2 1 bx 1 ax 1 ab

5 x2 1 (b 1 a)x 1 ab

Por tanto,

(x 1 a)(x 1 b) 5 x2 1 (a 1 b)x 1 ab. (1)

EJEMPLO 8

a) Tomando a 5 2 y b 5 7 en la ecuacin (1), tenemos que

(x 1 2)(x 1 7) 5 x2 1 (2 1 7)x 1 2 ? 7 5 x2 1 9x 1 14

b) (x 1 3)(x 2 2) 5 (x 1 3)(x 1 (22))

5 x2 1 [3 1 (22)]x 1 3(22) 5 x2 1 x 2 6


(3x 2 4) (6x2 2 5x 1 2)

6x

224x2 20x 28

215x2

18x3 18x3 2 15x2 1 6x

2 24x2 1 20x 2 8

FIGURA 3

En la ecuacin (1), si reemplazamos a b por a, obtenemos

(x 1 a)(x 1 a) 5 x2 1 (a 1 a)x 1 a ? a

o bien,

(x 1 a )2 5 x2 1 2ax 1 a2 (2)

Este resultado da el desarrollo del cuadrado de un binomio. El cuadrado de la sumade dos trminos es igual a la suma de los cuadrados de los dos trminos ms el do-

ble de su producto.

EJEMPLO 9

a) (2x 1 7)2 5 (2x)2 1 2(2x)(7) 1 72 5 4x2 1 28x 1 49

b) 13x 1 }4y}22

5 (3x)2 1 2(3x)1}4y}2 1 1}4y}22

5 9x2 1 }24y

x} 1 }

1y

62}

Si reemplazamos a a por 2a en la frmula (2), obtenemos otra frmula.

(x 2 a)2 5 x2 2 2ax 1 a2 (3)

Esto expresa el cuadrado de la diferencia de dos trminos como la suma de los cua-drados de los dos trminos menos el doble de su producto.

Por ltimo, si reemplazamos a b por 2a en la ecuacin (1), obtenemos

(x 1 a)(x 2 a) 5 x2 1 (a 2 a)x 1 a(2 a) 5 x2 1 0x 2 a2

En consecuencia, tenemos que

(x 1 a)(x 2 a) 5 x2 2 a2 (4)

Este resultado establece que el producto de la suma y la diferencia de dos trminoses la diferencia de los cuadrados de los dos trminos.

EJEMPLO 10

a) (2x 1 3)(2x 2 3) 5 (2x)2 2 32 5 4x2 2 9

b) (3w 1 2w)(3w 2 2w) 5 (3w)2 2 (2w)2 5 3 2 2 5 1

c) (3x 2 4y)(3x 1 4y) 5 (3x)2 2 (4y)2 5 9x2 2 16y2 23

Divisin de expresiones

En el teorema 6 de la seccin 1-2 vimos que la ley distributiva se extiende a la divi-sin y tenemos las siguientes expresiones generales.

}a 1

c

b} 5 }

a

c} 1 }

b

c}

34 CAPTULO 1 LGEBRA

23. Utilice las frmulas estndar (1) a (4) para eliminar losparntesis:a) (x 1 2)(x 2 3)b) (x2 1 y)(x2 2 y)c) (x 1 x21)2

Respuesta a) x2 2 x 2 6b) x4 2 y2; c) x2 1 2 1 x22

Esta propiedad es til cuando dividimos una expresin algebraica entre un mono-mio, dado que nos permite dividir cada trmino por separado entre el monomio.

EJEMPLO 11

a) }2x2

21

x

4x} 5 }

22x

x

2

} 1 }42x

x} 5 x 1 2

Observe que dividimos cada trmino entre el factor comn 2x.

b) 5 }2x

x2

3

} 2 }5x

x2

2y} 1 }

7x

x2} 1 }

x

32}

5 2x 2 5y 1 }7x

} 1 }x

32}

c) 5 }235t

t3} 1 1 2

5 }25

3t2} 1 4t 1 5 2 }

2t}

En una fraccin, el nmero o expresin algebraica del numerador a menudose denomina el dividendo (lo cual significa que es la cantidad que est siendo divi-dida) y el nmero o expresin por la que es dividido se llama divisor. En la parte b)del ejemplo 11, 2x3 2 5x2y 1 7x 1 3 es el dividendo y x2 es el divisor, mientrasque en la parte c), 25t3 1 12t2 1 15t 2 6 es el dividendo y 3t el divisor.

Cuando queremos dividir una expresin algebraica entre un divisor que con-tiene ms de un trmino, con frecuencia usamos un procedimiento denominado di-visin larga. Describiremos este procedimiento para expresiones que slo contie-nen potencias enteras no negativas de una sola variable. (Tales expresiones se cono-cen por polinomios).

EJEMPLO 12 Divida 23 2 11x2 1 2x3 entre 2x 2 3

Solucin Aqu 23 2 11x2 1 2x3 es el dividendo y 2x 2 3 es el divisor. Antes deque empecemos la divisin, los trminos en el dividendo y en el divisor deben arre-glarse en orden decreciente de las potencias de x y llenar con coeficientes cero laspotencias faltantes. En consecuencia, el dividendo debe escribirse como 2x3 211x2 1 0x 1 23.

x2 2 4x 2 6 CocienteDivisor 2x 2 3q2wx3w 2w 1w1wx2w 1w 0wxw1w 2w3w Dividendo

Residuo

2x3 2 3x2]]]]]]]]]]]]]]]]]

2 8x2 1 0x 1 232 8x2 1 12x

]]]]]]]]]]]]]]]]]]2 12x 1 232 12x 1 18

]]]]]]]]]]]]]]]]]]5

6}3t

15t}3t

12t2}

3t25t3 1 12t2 1 15t 2 6}}}

3t

2x3 2 5x2y 1 7x 1 3}}}

x2


Los detalles de la divisin larga se acaban de mostrar y se explican de la manera si-guiente: en primer lugar, dividimos 2x3 (el primer trmino en el dividendo) entre 2x(el primer trmino en el divisor), obteniendo 2x3/2x 5 x2. Esto da el primer trmi-no del cociente. Multiplicamos el divisor, 2x 2 3, por el primer trmino del cocien-te, x2, para obtener 2x3 2 3x2. Restamos esto al dividendo, obtenemos la diferencia28x2 1 0x 1 23. Para obtener el siguiente trmino del cociente, dividimos el pri-mer trmino de esta diferencia, 28x2, entre 2x, el primer trmino del divisor. Estoda 28x2/2x 5 24x, el cual se convierte en el segundo trmino del cociente. Multi-plicamos otra vez el divisor por este segundo trmino, 24x, con lo que obtenemos28x2 1 12x; restamos esto a 28x2 1 0x 1 23, los cuales nos dan la siguiente dife-rencia, 212x 1 23. Continuamos este procedimiento hasta que obtengamos unadiferencia cuya mxima potencia sea menor que la correspondiente al divisor.Llamamos a este ltima diferencia el residuo. La respuesta puede escribirse en laforma

}2x3 2

2x11

2

x2

31 23

}5 x2 2 4x 2 6 1 }2x

52 3} 24

En general, tenemos

5 Cociente 1

Observacin Esta forma de escribir el resultado de la divisin larga es lamisma que usamos en aritmtica. Por ejemplo, consideremos la fraccin 627/23, enla cual el dividendo es 627 y el divisor es 23. Por divisin larga ordinaria encontra-mos que el cociente es 27 y el residuo es 6.

Divisor Divisor

Cociente

Residuo

Por tanto, escribimos

}62237

} 5 27 1 }263}

Ahora, en vez de dividir 627 entre 23, intente dividir 6x2 1 2x 1 7 entre 2x 13. Cuando x 5 10 estas cantidades son lo mismo. Debe encontrar un cociente de 2x1 7 y un residuo de 6. La divisin algebraica larga es un reflejo de la divisin arit-mtica.

Si multiplicamos ambos lados de este clculo por 23, obtenemos el resultado

627 5 (27 23) 1 6

161}

6

46}167

27}

23q6w2w7w

Residuo}}

DivisorDividendo}}

Divisor

36 CAPTULO 1 LGEBRA

24. Por medio del uso de la divisin larga, simplifique (3x2 1 11x 1 4) 4 (x 1 3)

Respuesta Cociente 5 3x 1 2residuo 5 22

(1-56) En los ejercicios siguientes, efecte la operacin indica-da y simplifique.

1. (5a 1 7b 2 3) 1 (3b 2 2a 1 9)

2. (3x2 2 5x 1 7) 1 (2 2 1 6x 2 7x2 1 x3)

3. (2aw 1 5bw) 1 (3aw 2 2bw)

4. (4xy 1 5x2y 2 6x3) 1 (3y3 2 6xy2 1 7xy 1 x3 2 2x2y)

5. (7t2 1 6t 2 1) 2 (3t 2 5t2 1 4 2 t3)

6. (x2 1 3xy 1 4y2) 2 (2x2 2 xy 1 3y2 2 5)

7. (2xw 1 2wyw) 2 (xw 2 22wyw)

8. (5xyw 2 3) 2 (2 2 4xyw)

9. 4(2x 1 3y) 1 2(5y 1 3x)

10. 2(x 2 4y) 1 3(2x 1 3y)

11. 2(x 2 7y) 2 2(2y 2 5x)

12. 3(x2 2 2xy 1 y2) 2 (2xy 2 x2 1 2y2)

13

Business

Matematicas aplicadas a la administracion y a la economia