MÉTODOS DE CRAMER

Definición

Para un sistema de ecuaciones . El valor de cada

incógnita es una fracción cuyo denominador (diferente de

cero) es el determinante formado con los coeficientes de las

incógnitas (determinante del sistema) y cuyo numerador es

el determinante que se obtiene sustituyendo en el

determinante del sistema la columna de los coeficientes de

la incógnita que se quiere hallar por la columna de los

términos independientes (matriz de los términos

independientes) de las ecuaciones dadas.

n n

Procedimiento

Sea el sistema de ecuaciones : n n

11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n

n n

n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

Del sistema se tiene

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

0

n

n

n n n nn

a a a a

a a a aA

a a a a

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

n

n

n n n nn

a a a a

a a a aA

a a a a

Matriz de los coeficientes

Determinante del sistema

Matriz de los términosindependientes

1

2

n

b

bB

b

El valor de las variables es:

1 12 13 1

1 22 23 2

2 31

n

n

n n n nn

b a a a

b a a a

b a a ax

A

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3, , n n n ni

a a a b

a a a b

a a a bx

A

11 1 13 1

21 2 23 2

1 32,

n

n

n n n nn

a b a a

a b a a

a b a ax

A

Observaciones

Para utilizar el método de Cramer, necesariamente el número de ecuaciones tiene que ser igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) tiene que ser distinto de cero. En caso de que el determinante sea igual a cero es porque una de las ecuaciones es combinación lineal de otra y, por lo tanto no se puede utilizar el método de Cramer

Un sistema de Cramer tiene única sola solución.

Para sistemas de ecuaciones superiores a , el calculo de las variables se alarga.

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AplicacionesEn sistemas de ecuaciones, en

donde el numero de incógnitas es igual al numero de ecuaciones.

Se aplica en sistemas de ecuaciones no muy grandes.