Potencial Eléctrico, Ley de Gauss, Campo Eléctrico

Clase 6a 10/Febrero/2015

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 1

El modelo de gota liquida del núcleo sugiere que oscilaciones de alta energía deciertos núcleos pueden dividir el núcleo en dos fragmentos distintos más unoscuantos neutrones. Los fragmentos adquieren energía cinética de su mutuarepulsión de Coulomb. Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) .Calcule la energía potencial eléctrica (en electrón volts) de dos fragmentosesféricos de un núcleo de uranio que tiene las siguientes cargas y radios 38𝑒 𝑦5.50 × 10−15𝑚 ;54𝑒 𝑦 6.20 × 10−15𝑚 . Suponga que la carga esta distribuida demanera uniforme por todo el volumen de cada fragmento esférico y que sussuperficies están inicialmente en contacto en reposo. (Los electrones que rodean elnúcleo pueden ignorarse).

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solucion

Datos

𝑅 = 6.20 × 10−15𝑚, 𝑟 = 5.50 × 10−15𝑚, 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = ?

54𝑒− 38𝑒−

𝑅 𝑟

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solucion

Sabemos que

𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =𝑘𝑒∙𝑄1∙𝑄2

𝑅+𝑟⇒ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =

𝑘𝑒 54𝑒− 38𝑒−

𝑅+𝑟

⇒ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 =8.99×109 54 38 −1.6×10−19

2

11.70×10−15

1 𝐽𝑢𝑙𝑖𝑜 = 6.2415 × 1018 𝑒𝑉

∴ 𝑈𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 = 253𝑀 𝑒𝑉

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 2

En un dia seco de invierno usted arrastra sus zapatos con suela de cuero sobreuna alfombra y recibe una descarga cuando extiende la punta de su dedo haciauna manija metálica. En un cuarto oscuro ve una chispa quizá de 5 mm de largo.Realice estimaciones de orden de magnitud de a) su potencial eléctrico y b) lacarga sobre su cuerpo antes de que usted toque la manija. Explique susrazonamientos.

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Datos

𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 5 × 10−3𝑚

Inciso a

Sabemos que: 𝐸𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑠𝑒𝑐𝑜 = 3 × 106𝑉

𝑚(𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎𝑑𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒)

Luego:

𝑑𝑉

𝑑𝑟= −𝐸𝑟 ⟹

𝑑𝑉

𝑑𝑟𝑑𝑟 = − 3 × 106𝑑𝑟 ⟹𝑉 = −3 × 106 ∙ 𝑟

⇒ 𝑉 = −3 × 106 5 × 10−3 = −15𝑘𝑉

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Inciso b

Sabemos que:

𝑉 =𝑘𝑒𝑄

𝑟⟹−15𝑘𝑉 =

8.99×109 𝑄

5×10−3

∴ 𝑄 = −8.34𝑛𝐶

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 3

A una cierta distancia de una carga puntual, al magnitud del campo eléctrico es de500 𝑉/𝑚 y el potencial eléctrico es igual a −3𝑘𝑉. A) ¿Cuál es la distancia a lacarga? B) ¿Cuál es la magnitud de la carga? .

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Inciso a

Datos

𝐸 = 500𝑉

𝑚, 𝑉 = −3𝑘𝑉

Sabemos que:

𝐸 =𝑘𝑒𝑄

𝑟2⟹ 500 =

8.99×109 𝑞

𝑟2…………………… (1)

P𝑜𝑟 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑙𝑎𝑑𝑜 ∶ 𝑉 =𝑘𝑒∙𝑞

𝑟⟹−3 × 103 =

8.99×109 𝑞

𝑟……… . (2)

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Inciso a

Sumamos (1) + (2):

500 ∙ 𝑟2 = 8.99 × 109 𝑞

−3 × 103 ∙ 𝑟 = 8.99 × 109 𝑞

Un sistema equivalente seria el siguiente

500 ∙ 𝑟2 = 8.99 × 109 𝑞

3 × 103 ∙ 𝑟 = − 8.99 × 109 𝑞

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Inciso a

Por lo tanto tenemos que.

500𝑟2 + 3 × 103𝑟 = 0 ⟹ 𝑟 500𝑟 + 3 × 103 = 0

∴ 𝑟1 = 0 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑜 𝑛𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑎, 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑟2

500𝑟 + 3 × 103 = 0 ⟹ 𝑟 = −3×103

500= −6, como no existen distancias negativas

decimos lo siguiente:

∴ 𝑟 = 6𝑚

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Inciso b

De (1) tenemos que:

500 =8.99×109× 𝑞

6 2 ⟹ 𝑞 =500× 6 2

8.99×109∴ 𝑞 = 2𝜇𝐶

De (2) tenemos que

−3 × 103 =8.99×109×𝑞

6⟹ 𝑞 =

−3×103×6

8.99×109= −2𝜇𝐶

∴ 𝑞 = −2𝜇𝐶 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎

𝑑𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑒 3𝑘𝑉 𝑞𝑢𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 4

Calcule el trabajo que debe efectuarse para cargar un cascarón esférico de radio 𝐸hasta una carga total 𝑄.

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

𝑅 = 𝐸

𝐶𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑄 = 𝑄′Cargar un cascaron de una carga inicial hasta una carga total

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Sabemos que por Gauus: Φ = 𝐸 ∙ 𝑑𝐴 =𝑄𝑖𝑛𝑡

𝜀0

⟹ 𝐸 4𝜋𝑅2 =𝑄

𝜀0(por dato y simetría)

∴ 𝐸 =𝑄

4𝜋𝜀0𝑅2 𝑟, 𝑐𝑜𝑛 𝑘𝑒 =

1

4𝜋𝜀0, por lo tanto tendremos

𝐸 =𝑘𝑒𝑄

𝑅2 𝑟 𝐸𝑛𝑢𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐶𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑙𝑒𝑦 𝑑𝑒 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Solución

Luego tenemos que:

Cuando una carga de prueba positiva 𝑞0 se mueve entre los puntos 𝐴 𝑦 𝐵 de uncampo eléctrico 𝐸, el cambio de energía potencial del sistema carga-campo es:

∆𝑈 = −𝑞0 𝐵𝐴𝐸 ∙ 𝑑𝑠

Por lo tanto tenemos que −∆𝑈 = 𝑊𝐹𝑒 = 𝑄′ 𝐸 ∙ 𝑑𝑟 = 𝑄′𝑘𝑒𝑄

𝑅2 0𝑅𝑑𝑟

∴ 𝑊 = 𝑄′𝑘𝑒∙𝑄

𝑅2𝑅 ⟹ 𝑊 =

𝑘𝑒∙𝑄2

𝑅

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 5

¿Cuántos electrones deberían extraerse de un conductor esférico, inicialmentedescargado, de 0.3𝑚 de radio, para producir un potencial de 7.5𝑘𝑉 en lasuperficie?.

𝑅 𝐴

Sabemos que una superficie equipotencial es aquella en la cual todos sus puntos están al mismo potencial eléctrico. Por lo tanto tenemos:

Solución

Datos

𝑅 = 0.3𝑚, 𝑉𝐴 = 7.5𝑘𝑉, 𝑛𝑒− =?

Sabemos que por simetría:

𝑉𝐴 =𝐾𝑒∙𝑄

𝑅⟹ 7.5𝑘𝑉 =

8.99×109× 𝑛 1.6×10−19

0.3⟹ 𝑛 =

7.5𝑘𝑉×0.3

1.6×10−19 8.99×109

∴ 𝑛𝑒− = 1.56 × 1012 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠

PROBLEMASCOMPLEMENTARIOS Problema 6

Calcule la energía requerida para conformar el arreglo de cargas que se muestraen la figura donde 𝑎 = 0.2𝑚, 𝑏 = 0.4𝑚 𝑦 𝑞 = 6𝜇𝐶

𝑞

𝐴

−2𝑞

2𝑞3𝑞

𝐵 𝐶

𝐷

𝑎

𝑏

Solución

Datos

𝑎 = 0.2𝑚, 𝑏 = 0.4𝑚, 𝑞 = 6𝜇𝐶, 𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =?

La energía total requerida para que las cargas estén en posición mostrada ymantengan dicha posición equidistantes entre ellas es:

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑈𝐴𝐵 + 𝑈𝐵𝐶 + 𝑈𝐶𝐷 + 𝑈𝐷𝐴 + 𝑈𝐵𝐷 + 𝑈𝐶𝐴

⟹𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝐾𝑒 𝑞 2𝑞

𝑎+

𝐾𝑒 𝑞 −2𝑞

𝑏+

𝐾𝑒 −2𝑞 3𝑞

𝑎+

𝐾𝑒 3𝑞 2𝑞

𝑏+

𝐾𝑒 𝑞 3𝑞2𝑎2+𝑏2

+𝐾𝑒 2𝑞 −2𝑞

2𝑎2+𝑏2

Solución

⟹𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=𝐾𝑒 𝑞 2𝑞

𝑎+

𝐾𝑒 𝑞 −2𝑞

𝑏+

𝐾𝑒 −2𝑞 3𝑞

𝑎+

𝐾𝑒 3𝑞 2𝑞

𝑏+

𝐾𝑒 𝑞 3𝑞2𝑎2+𝑏2

+𝐾𝑒 2𝑞 −2𝑞

2𝑎2+𝑏2

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =𝑘𝑒2𝑞

2−6𝑞2𝑘𝑒

𝑎+

−𝑘𝑒2𝑞2+6𝑞2𝑘𝑒

𝑏+

3𝑞2𝐾𝑒−4𝑞2𝐾𝑒

2𝑎2+𝑏2

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =−4𝑘𝑒𝑞

2

𝑎+

4𝑞2𝑘𝑒

𝑏−

𝑞2𝐾𝑒2𝑎2+𝑏2

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞2𝑘𝑒−4

𝑎+

4

𝑏−

12𝑎2+𝑏2

Solución

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑞2𝑘𝑒−4

𝑎+

4

𝑏−

12𝑎2+𝑏2

Reemplazando datos tenemos que

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6𝜇𝐶 2 8.99 × 109−4

0.2+

4

0.4−

120.22+0.4𝑏2

𝑈𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = −3.96 𝐽