QUE ES UN CONJUNTO

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la idea de agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de libros, de plantas de cultivo y en otras ocasiones en palabras como hato, rebaño, piara, parcelas, campesinado, familia, etc., es decir la palabra conjunto denota una colección de elementos claramente entre sí, que guardan alguna característica en común. Ya sean números, personas, figuras, ideas y conceptos.

En matemáticas el concepto de conjunto es considerado primitivo y ni se da una definición de este, sino que se trabaja con la notación de colección y agrupamiento de objetos, lo mismo puede decirse que se consideren primitivas las ideas de elemento y pertenencia.

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto.

CLASES DE CONJUNTOS

Existen varios tipos de conjuntos que podemos encontrar cuando trabajamos con ellos, los combinamos o examinamos todas las posibilidades que existen para formarlos

CONJUNTO FINITO

Se refiere a un conjunto formado por elementos que se pueden contar en su totalidad.

CONJUNTO INFINITO

Es un conjunto formado por elementos imposibles de contar o enumerar en su totalidad debido a que nunca terminan o no tienen fin.

CONJUNTO UNITARIO

En un conjunto formado por un único elemento

CONJUNTO VACÍO

Es un conjunto que no tiene elementos porque no existen.

CONJUNTOS HOMOGÉNEOS

Se refiere a los conjuntos formados por elementos que pertenecen a un mismo tipo o género

CONJUNTOS HETEROGÉNEOS

A diferencia de los conjuntos homogéneos, estos se caracterizan porque sus elementos son de diferentes tipos o género

CONJUNTOS EQUIVALENTES

Se entiende que un conjunto es equivalente a otro cuando ambos tienen el mismo número o cantidad de elementos, no importa de qué tipo sean sino el número de elementos

CONJUNTOS IGUALES

Cuando ambos conjuntos están compuestos por los mismos elementos

CONJUNTOS COORDINABLES

Se dice que dos conjuntos son coordinables cuando están formados por el mismo número de elementos y puede establecerse una correspondencia entre ambos

CONJUNTOS NO COORDINABLES

Aquí pasa todo lo contrario, ya que se refiere a que ambos conjuntos, a pesar de tener elementos correspondientes entre sí, no cuentan con el mismo número de elementos en cada uno de ello

SUBCONJUNTOS

Cuando con algunos de los elementos de un conjunto podemos crear otro, decimos que hemos formado un subconjunto. Es decir que un subconjunto siempre está formado por algunos elementos de un conjunto más grande

CLASES DE NÚMERO

NUMEROS NATURALES

Son los números que nos sirven para contar. El conjunto formado por estos números se representa por ℕ

NUMEROS ENTEROS

Son los números con los que siempre se puede sumar y restar. Los números enteros se representan por y está formado por el conjunto ℤ ℤ

NUMEROS RACIONALES

Son los números con los que siempre se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir por números distintos de cero. El número racional es el cociente de dos números enteros, El conjunto de números racionales se representa por ,ℚ inicial de quotient, cociente en inglés.

NUMEROS REALES

Se llaman así al conjunto formado por los números racionales e irracionales y se representan por . Por definición tenemos que = ℝ ℝ ℚ ∪ X,

Esto es, la unión de los conjuntos X. ℚ

NUMEROS IRRACIONALES

Se llaman números irracionales los que no tienen una forma decimal periódica y, por tanto, no pueden expresarse en forma de fracción como √2, W, , etc. El conjunto de los números irracionales se representa por II

Propiedades de los reales en la suma o adición

 La suma de números reales, también llamada adición, es una operación que se efectúa entre dos números, pero se pueden considerar también más de dos sumandos. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden sumar entre sí. La suma de números reales tiene las siguientes propiedades:

 

Propiedad Interna:

El resultado de sumar dos números reales es otro número real.

Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado

Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no varía la suma.

Propiedad del Elemento neutro:

El 0 (cero) es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número

Propiedad del Elemento opuesto o Elemento inverso

Todo número real tiene un inverso aditivo, lo que quiere decir que si se suman el número y su inverso, el resultado es 0 (cero): si a es un número real, entonces

Propiedades de los reales en la Diferencia (resta o sustracción)

La diferencia de dos números reales se define como la suma del

minuendo más el opuesto del sustraendo.

La resta es la operación inversa de la suma, es una operación entre dos números: el minuendo y el sustraendo. Siempre que se tengan dos números reales, se pueden restar;

Al efectuar restas hay que tener cuidado con los signos de los números.

Al efectuar sustracciones o restas deben considerarse las siguientes

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es mayor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es positivo.

Si el minuendo y el sustraendo son positivos, y el minuendo es menor que el sustraendo, se efectúa la resta y el resultado es negativo.

Si el minuendo es negativo y el sustraendo es positivo, se efectúa la suma de ambos números y al resultado se le pone el signo menos.

Restar un número positivo es lo mismo que sumar un número negativo.

Restar un número negativo es lo mismo que sumar un número positivo.

Propiedades de los reales en un Producto (multiplicación)

La regla de los signos que se aplica para el producto de los números enteros y racionales se sigue manteniendo con todos los números reales.

                                                                            Entre las propiedades del producto o multiplicación con números reales tenemos:

Propiedad Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.                                                                                 

Propiedad Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

Si se tienen más de dos factores, da igual cuál de las multiplicaciones se efectúe primero:

 Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

                                                            

Propiedad Conmutativa:

La expresión usual de esta propiedad es: "el orden de los factores no altera el producto". Si a y b son  dos números reales, entonces:                                                                         

Propiedad del Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

                                                                                     Propiedad del Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

                                 

                                                   

Propiedad Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

                                                                   Propiedad que permite Sacar factor común (factorizar):

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

                                                                    

Propiedades de los reales en la División

La división es la operación inversa de la multiplicación, es una operación entre dos números: el dividendo y el divisor. Con una excepción, siempre que se tengan dos números reales, se pueden dividir;  por ejemplo:

1,86    ÷    3,1    =   0,6

Dividendo                  divisor         cociente

La excepción es que el divisor no puede ser cero.  Esto es, no se puede dividir entre cero

Pero, ojo,  que el dividendo sí puede ser cero, y cuando esto ocurre el resultado o cociente siempre es cero.

Las reglas de los signos en el caso de la división son las mismas que para la multiplicación:

El cociente de dos números de igual signo siempre es positivo;

El cociente de dos números de distinto signo siempre es negativo.

Aunque la división está muy emparentada con la multiplicación, no tiene todas las propiedades de la multiplicación.

Por ejemplo, la división no es una operación  conmutativa:

Como vemos en:

6,24 ÷ 3 = 2,08

Y ese resultado es distinto de

3 ÷ 6,24 ≈0,4807

La división no es una operación asociativa:

Como vemos en:

(8 ÷ 4) ÷ 2 =  1

Mientras que

8 ÷ (4 ÷ 2) = 4

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

POTENCIAS Una potencia es un producto de factores iguales. Está formada por la base y el exponente Exponente 3.3.3.3= Se puede leer: 34 tres elevado a cuatro o bien tres elevado a la cuarta Base

POTENCIAS El factor que se repite se llama base. El número de veces que se repite el factor, o sea la base, se llama exponente. Esto significa que si se tiene la potencia 2 6 (dos elevado a seis o a la sexta), la base será 2 y el exponente 6, lo cual dará como resultado 64 porque el 2 se multiplica por si mismo 6 veces

POTENCIA DE BASE POSITIVA Si la base a es positiva, la potencia siempre será un entero positivo, independiente de los valores que tome el exponente, es decir, de que sea par o impar.

POTENCIA DE BASE ENTERA NEGATIVASi la base a es negativa el signo de la potencia dependerá de si el exponente es par o impar.a) Si el exponente es par, la potencia es positiva

POTENCIA DE BASE ENTERA NEGATIVA _Si el exponente es impar, la potencia es negativa.(_a) n (impar) =

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE Para multiplicar potencias de igual base, se suman los exponentes y se mantiene la base.

DIVISIÓN DE POTENCIAS Para dividir potencias de igual base, se restan los exponentes y se conserva la base.

.MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS CON EXPONENTES IGUALES Se multiplican las bases y se conserva el exponente.

DIVISIÓN DE POTENCIAS CON EXPONENTES IGUALESS e dividen las bases y se conserva el exponente

. POTENCIA ELEVADA A POTENCIA Se eleva la base al producto (multiplicación) de los exponentes; o sea, se conserva la base y se multiplican

. POTENCIA BASE RACIONAL Y EXPONENTE ENTERO Sea la base (fracción) perteneciente al conjunto de los Números Racionales ( Q ), donde a es el numerador y b el denominador distinto de cero, y el exponente pertenece a los números enteros (n Z). Para elevar una fracción a potencia se elevan por separado numerador y denominador.

POTENCIA DE EXPONENTE NEGATIVO Si es un número racional y – n un número entero, entonces se tiene, Si el exponente es negativo el numerador se invierte con el denominador, y el exponente cambia de signo.

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

La radicación es en realidad otra forma de expresar una potenciación: la raíz de cierto orden de un número es equivalente a elevar dicho número a la potencia inversa. Por esto, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los

factores: 

Raíz de un cocienteLa raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del: 

Raíz de una raízPara calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se

conserva el radicando: 

Representación en la recta numérica

Podemos representar los números naturales en una recta de la siguiente manera:

trazamos una recta; elegimos un punto al que le hacemos corresponder el cero; elegimos un segmento cualquiera con un extremo en cero y en el otro

extremo marcamos el número uno (1); luego transportamos consecutivamente el segmento y marcamos

sucesivamente el número 2, el número 3, el número 4, ...

 

 

Para dibujar una recta numérica debemos asegurarnos de que la distancia que separa dos números sea siempre la misma, es decir, que los números sean equidistantes entre sí.

Por ejemplo, si la distancia entre 100 y 200 es de 2cm, la distancia entre 200 y 300 también deberá ser 2cm.

Cualquier otro número tiene que respetar esta escala, de manera proporcional, es decir por ejemplo el 150 estará justo a 1cm del 100 y del 200.

Gráficamente, un número natural es mayor que otro si al representarlo en la recta está situado más a la derecha  (está más lejos del cero).

ANEXOS EJERCICIOS

INSTITUCIONAL III

NUMERO NATURALES

JUAN JOSE CABEZAS CRISTANCHO268239

UNIVERSIDAD COOPERATIVA DECOLOMBIADERECHO

2015