UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”Facultad de Ciencias Económicas y Sociales

Escuela de Administración y Relaciones Industriales Evaluación de Estadística 10%

Distribución Binomial

Autor: Alexis AñezProfesor: José E. Linárez CI. 24.393.644

Cabudare, Junio de 2016

Origen de la distribución binomial

• La distribución binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que solo pueden tomar un número finito, o infinito numerable, de valores).

•Fue estudiada por Jakob Bernoulli, quien escribió el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El arte de pronosticar).

• Los Bernoulli formaron una de las sagas de matemáticos más importantes de la historia. Si en una experiencia aleatoria únicamente consideramos dos posibilidades: que ocurra el suceso A o que no ocurra ( que ocurra A’, el complementario de A), se trata de una experiencia dicotómica.

•Si repetimos n veces una experiencia dicotómica y llamamos X a la variable que cuenta el número de éxitos, resulta que: X es una variable discreta que puede tomar los valores: 0,1,2,3,4,5,...........n.

Matemático Suizo1654- 1705

Es considerado iniciador de la teoría de la

probabilidad

Distribución binomial

Probabilidad Discreta

Se utiliza cuando hay exactamente

dos resultados excluyentes de un

juicio

Es resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli en

honor del matemático suizo Jacob Bernoulli

Estos resultados están debidamente etiquetados Éxito y Si no. La distribución binomial se utiliza para obtener la probabilidad de observar r éxitos en n ensayos, con la probabilidad de éxito en un único ensayo indicado por p.

Distribución binomial

Características Fórmulas

•En los experimentos que tienen este tipo de distribución, siempre se esperan dos tipos de resultados, ejemplo Defectuoso, no defectuoso, pasa, no pasa, denominados arbitrariamente “éxito” (que es lo que se espera que ocurra) o “fracaso” (lo contrario del éxito).

•Las probabilidades asociadas a cada uno de estos resultados son constantes, es decir no cambian.

•Cada uno de los ensayos o repeticiones del experimento son independientes entre sí.

•número de ensayos o repeticiones del experimento (n) es constante

• n es el número de pruebas.

• k es el número de éxitos.

• p es la probabilidad de éxito.

• q es la probabilidad de fracaso.

Parámetros de distribución binomial

Varianza

Desviación Típica

Media

Importancia de la distribución binomial

Una distribución de probabilidad ampliamente utilizada de una

variable aleatoria discreta es la distribución binomial. Esta describe varios

procesos de interés para los administradores. Describe datos discretos,

resultantes de un experimento denominado proceso de Bernoulli.

1- En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes.

a) 3 no hayan recibido un buen serviciob) Ninguno haya recibido un buen servicioc)A lo más 4 personas recibieron un buen servicio d)Entre 2 y cinco personas

Ejercicios

a) Probabilidad de que 3 no hayan recibido un buen servicio =12,85%“ los números que están en azul son exponentes”

Formula: P(n, k , p) = (n/k) (Pk 1-p) n-kN= 30 15K=3 4P= 10/100= 0.1 (10/3) (0.1)3 (1-0.1) 15-3 =(10/3) (0.1)3 (0.9)15 = 455 0.0001 0.2824 =0.1285 x 100%= 12,85%

b) Ninguna haya recibido buen servicio = 20,58% “ los números que están en azul son exponentes”

n=15k= 0p= 10/100=0.1 p ( n, k, p) = ( 15/ 0) (0.1) 0 (1-0,1) 15-0 = 0 0 (0.9) 15 = 0.2058 x 100% = 20,58%

c) A lo mas 4 personas recibieron un buen servicio 4.28%“los números que están en azul son exponentes”

n= 15k=10 /100= 0.1 P= (x ≤ 4)

p (n, n, p) = (15/3) (0.1) 4 ( 1-0,1) 15-4 = 1365 ( 0.0001) (0.9) 11 = (0,1365) (0.001) (0.3138) = 0.0428 x 100% = 4.28%

d) De que este entre 2 y cinco personas

“Los números en azul son exponentes”

n=15K= 2P=10/100=0.1P= (N, K, P )

=(15/2) (0.1)2 (1-01)15-2= 105 (0.01) (0.2541)= 0.2668 x 100% = 26.68%

n=15k= 1P=10/100=0.1P= ( n, k, p ) = (15/3) (0.1) 1 ( 1-0.1) 15 - 1 = 15 (0.1) (0.2288) = 0.3432 x100= 34.31%

n=15k= 3P=10/100=0.1P= ( n, k, p ) = (15/3) (0.1) 3 ( 1-0.1) 15 - 3 = 455 (0.001) (0.2824) = 0.1284 x100= 12.85%

n=15k= 4P= 10/100=0.1 = (15/4) (0.1) 4 (1-01) 15-4 = 1365 (0.0001) (0.3138)= 0.0428 x 100%= 4,28%

n=30 k=5P= 10/100=0.1 = (15/5) (0.1) 5 (1- 0.1) 15-5 = 0.300 (0.00001) ( 0.3486) = 0.0300 x 100% = 0.0104%

P( 2≤ x ≤ 5) = (P x =2 ) + (P x= 3) + (P x= 4) + (P x= 5) P( 2 ≤ x ≤ 5) = 26,68 + 12.85 + 4.28 + 01.05 = 44.86%

2- Muchos jefes se dan cuenta de que algunas de las personas que contrataron no son lo que pretenden ser. Detectar personas que solicitan un trabajo y que falsifican la información en su solicitud ha generado un nuevo negocio. Una revista nacional notificó sobre este problema mencionando que una agencia, en un periodo de dos meses, encontró que el 35% de los antecedentes examinados habían sido alterados. Suponga que usted ha contratado la semana pasada 5 nuevos empleados y que la probabilidad de que un empleado haya falsificado la información en su solicitud es 0.35.

a)¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada?b)¿Ninguna de las solicitudes haya sido falsificada?c)¿Las cinco solicitudes hayan sido falsificadas?

a) Probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada “los números que están en azul son exponentes”

n= 5 k=1p= 0.35P= (n,k,p) (n/k) p k (1- p) n-k = ( 5/1) (0,35)1 (1- 0,35) 5-1 = 5 0,35 (0.1785) = 0.3123 x 100= 31.23%La probabilidad de que al menos una de las cinco solicitudes haya sido falsificada es 31.23%

b) La probabilidad de que ninguna de las solicitudes haya sido falsificada = 5,03%“los números que están en azul son exponentes”n= 5k= 0p= 0,35 p(P,N,K) = (N,/K) p (1-P) n-k = (5/0) (0.35)0 (1-0.35) 5-0 = (5/0) 1 (0.1160) = 0.1160 x100%= 11.6%

c) La probabilidad de que las cinco solicitudes hayan sido falsificada = 1.012% “los números que están en azul son exponentes”n=5K=5P=0.35 = (5/5) (0.35)5 (1-0.35) 5-5 = 1 (0.00525) (0.1) = 0.00525 % x100= 52%