Índice

Concepto Geométrico de la Derivada

Uso de la Pendiente en la Derivada

Derivando con la regla de los 4 pasos (4 ejercicios)

Derivada de una constante

Derivada de x

Derivada del producto cx

Derivada de funciones suma y resta

Derivada de una variable con potencia

Derivada de variables con raíz cuadrada

Derivada de funciones con raíz cuadrada

Derivada de funciones con potencia

Derivar un producto de funciones

Derivada de un Cociente de funciones

Derivar funciones 4 ejercicios

Derivar funciones 2 ejercicios mas

Derivada función Seno

Derivada función coseno

Derivada de la función Tangente

Derivar función cotangente

Derivada función secante

Derivada función Cosecante

Derivada función inversa arcoseno

Derivada función exponencial

Derivada función exponencial base constante

Formula derivación logaritmica

Derivación logaritmica ejemplo

Derivada log natural formula

Derivada log natural ejercicio

Derivada con regla de la cadena 1

Derivar regla de la cadena

Derivadas sucesivas

Derivación implícita

Diferencial de una función (2)

Regla de L'Hopital (1)

Regla de L'Hopital (2)

Regla de L'Hopital (3)

Derivadas de orden superior

CONCEPTO GEOMÉTRICO DE LA DERIVADAEs la pendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado.

f ( x )= lim∆x→ 0

f (x+∆ x )−f (x)∆ x

USO DE LA PENDIENTE EN LA DERIVADADERIVA DA DE UNA CONSTANTE

REGLA

F (X )=CC=CONSTANTEY=F (X )

F (X )=∅ Y=DYDX

EJERCIO

1.−Y=5

2.−Y 35

Y=0

3.−F (X )=7 A´ B

F (X )=0

4.−√95−0.3M 2

Y=0−0

Y=0

DERIVANDO CON LA REGLA DE LOS 4 PASOS (4 EJERCICIOS)

DERIVADAR CON LA REGLA DE 4 PASO

F (X ) lim∆ X→O

F (X+0 X )−F(X)∆ x

Ejercicio 1

Y=X

PASO # 1

Y →Y +∆Y

X→X+∆ X

Y +∆Y=X+∆ X

PASO#2 →∆Y

Y +∆Y=X+∆ X

−Y∆Y

= X∆ X

PASO ¿3→∆X

∆ y∆x

=∆ y∆x

∆ y∆x

=1

PASO ¿4→ lim∆ X→0

❑

lim ∆ y∆ x

= lim∆X→ 0

(1 )

Y=1

EJERCIO # 2

PASO ¿1

X→X+∆ X

Y +∆Y=8 (X+∆ X )+13

Y +∆Y=8 X+8 ∆ X+13

PASO ¿2→∆Y

Y ∆Y=8 X+8∆ X+13

− y∆Y

=−8−138 ∆ X

PASO ¿3→∆X

∆Y∆ X

=8∆ X∆ x

∆Y∆ X

=8

PASO ¿4→ lim∆ X→0

❑

lim∆ X

∆Y= lim∆X→ 0=8

¿¿

Y=8

EJERCIO ¿3

Y=X−3Y +∆Y= (X+∆ X )2−3

PASO ¿1Y +∆Y=X2+2 X ∆ X+∆ X2−3

Y ∆→X+∆ X ¿

X2+X ∆ X+X ∆ X+∆2

PASO ¿2→∆Y X2+2 X ∆ X +∆2

Y +∆Y=X2+2 X ∆ X+∆ X2−3

−Y=X2

∆Y=2 X ∆ X+∆ X2

PASO ¿3

∆Y=2 X ∆ X+∆ X2

∆Y∆ X

=∆ X (2 X+∆ X )∆ X

∆Y∆ X

=2 X+∆ X

PASO ¿4→ lim ¿

∆Y∆ X

=lim (2 X+∆ X )

∆ X→0

Y=2X+0=2 X

EJERCIO ¿4

Y=5 x3−7 X+1

PASO ¿1

Y +∆Y=5 ¿

¿

(X+ 2X ∆ X+∆ X2 ) (X+X2 )

X3+X2∆ X+2 X2∆ X+2 X ∆ X2+∆ X3

5 X 3+15X2∆ X+15X ∆ X2+5∆ X3−7 X−7∆ X+1

PASO ¿2

Y +∆Y=5 X3+15 X3+15X2+∆ X+15 X ∆ X2+5∆ X3−7 X−7 ∆ X+1

−Y=5 X3+7 X−1

∆Y 15X2+∆ X+13 X ∆ X2+5∆ X2−7

PASO ¿3∆ X

∆Y=15❑❑+∆ X+15 X ∆ X2+5 ∆ X3−7 ∆ X

DY=∆ X(15X2+13 X ∆ X+5∆ X2−7 )

∆ X

∆Y∆ X

=15 X2+15 X ∆ X+5∆ X2−7

PASO ¿4 lim ¿

∆Y∆ X

=lim ¿∆→O (15 X2+15 X ∆ X+5∆ X2−7 )¿

15 X2+15 X (0 )+5 (0 )2−7

Y=15 X2−7

Derivada de una constante

Regla

f ( x )=c

f ' ( x )=∅

dydx

=5

y '=0

y=−35

y '=0

f ( x )=7 A+B

f ' ( x )=0y=√9

5−0.3M 2

y '=0

Derivada de x

f ( x )=7 A+B

f ' ( x )=0y=√9

5−0.3M 2

y '=0

Regla:

f ( X )=x

f ' (X )=¿1

y=f ( x )

y '=dydx

Derivada del producto cx

Regla:

y=cx→ y '=0

y= f ( x )

y '=df (x)dx

y=5 x

y '=5y=−7 x

2=−72

∙ x

y '=−72

f ( x )= 4 AxM

Y= 4 AM

. X

y '= 4 AM

Todo lo que sea x se considera como una constante.

Derivada de suma y resta

f ( x )= 4 AxM

Y= 4 AM

. X

y '= 4 AM

Nota:

Para derivar una función que este compuesta de varios términos de suma y resta su resultado en la derivación será igual según la regla a simplemente a derivar cada una de ellas de manera independiente yluego juntarlas.

1. 7 x−9

y '=7. x=7

Cuando se deriva la constante por x siempre será la constante. 2. y=x−8

7+ 3 x4

y '=x+ 34¿¿

y '=11+ 34

y '=74

3.y=x3−2x5+√90−72 x

y '=3 x3−1−2 [5 x5−1 ]+0−72

y '=3 x2+10x4−72

Regla paraderivaruna potencia conbase x

F (X )=xn

d [ f (x ) ]dx

=d [ xn ]dx

f́ ( x )=nxn−1

y=xn→y ´=n xn−1

y=x3´y=3 x3−1

y ´=3 x2

y=2 x7

3=23∙ x7

y ´=[ 23 ] [7 x7−1 ]

y ´=( 23 ) [7 x7−1 ]

¿+ 14 x6

3

2

4

y=−4 x−5

y ´= [−4 ] [−5 x−5−1 ]y ´= [−4 ] [−5 x−6 ]=+20 x−6

¿+ 201 [ 1x+6 ]

y ´=20x6

3

y=2x54

y ´= [+2 ][ 54 x54−1] 54− 44=5−4

4=+14

y ´=+104

x+14

amn=

n√amy ´=10

44√x

104

=52=254√x

Derivada de variables con raíz cuadrada

Formula:

y=un

y '=nun−1. n

y=√4−x=(4−x )1 /2 La derivada no puede quedar con un exponente negativo; para ese se utiliza el reciproco.

y '=12

1[4−x ]1

2

¿−12 [ 1

√4−x ]y '= −1

2√4−x

n√am=a mn

y '=12

[4−x ]12−1 [−1 ]

¿−12

[4−x ]−12

Derivada

u=4−x

u'=0−1

u '=−1

Derivada de funciones con raíz cuadrada

Formula:

y=xn−−−−− y '=n xn−1

n√am=amn

Reciproco

¿ 12 [ x

−12

1 ]¿ 12 [ 1x1 /2 ]y '= 1

2√ x

y=√x = y=x12

y '=12x12−2/2

y '=1 /2. x−12

y '=12. x

−12

Derivar un producto de funciones

y

Reciproco

¿ 12 [ x

−12

1 ]¿ 12 [ 1x1 /2 ]y '= 1

2√ x

y=√x = y=x12

y '=12x12−2/2

y '=1 /2. x−12

y '=12. x

−12

No se puede dejar el exponente negativo.

Formula:

y=u . v y '=uv '+vu '

1. y=( x+3 ) ( x−8 )

u=( x+3 )

u'=1+0

u '=1

v=( x−8 )

v'= (1−0 )

v '=1

2. y=( x−7 )3 (x2−x )

u=( x−7 )

u'=3 ( x−7 )3−1 (1 )

u'=3 ( x−7 )2 (1 )

v=(x2−x )

v'=2 x2−1−1

v '=2 x−1

1. y=( x+3 ) ( x−8 )

y '=( x+3 ) (1 ) ( x−8 ) (1 )

y '=( x+3 ) ( x−8 )

y '=x+3+x−8

y '=2 x−5

y '=( x−7 )3 (2 x−1 )+(x2−x ) [3 (x−7 )2 ]

y '=(2 x−1 ) (x−7 )3+3 (x2−x ) (x−7 )2

3. y= (x−1 )2 ( x+5 ) (8−x )10

U V

u=( x−2 )2 ( x+5 )

u=( x+5 )2 v=¿

u'=2 ( x−2 )2−1 (1 ) v'=1

u'=2 ( x−1 )

'=( x−1 )2 (1 )+ ( x+5 ) [2 (x−1 ) ]

'=( x−1 )2+2 (x−1 ) ( x+5 )

'=( x−1 ) [ (x−1 )+ ( x+5 ) ]

y '=(x−1 [3 x+9 ] )(8−x )10

10 (8−x )10−1 (−1 )

v'=−10 (8−x )9

y '=( x−1 )2 ( x+5 ) [10 (8−x )9 ]+(8−x )10 ( x−1 ) (3 x+9 )

Derivada de un cociente de funciones

Formula:

y=uv y '= v u'−uv '

v2

3. y= (x−1 )2 ( x+5 ) (8−x )10

'=( x−1 )2 (1 )+ ( x+5 ) [2 (x−1 ) ]

'=( x−1 )2+2 (x−1 ) ( x+5 )

'=( x−1 ) [ (x−1 )+ ( x+5 ) ]

y '=(x−1 [3 x+9 ] )(8−x )10

10 (8−x )10−1 (−1 )

v'=−10 (8−x )9

y '=( x−1 )2 ( x+5 ) [10 (8−x )9 ]+(8−x )10 ( x−1 ) (3 x+9 )

y '= (x−1 )2 (−10 x−50 ) (8−x )9+ (8−x )10 (3 x2+6 x−9 )

1.x+1x−1

=uv 2. y= 3 x2

2 x−11=uv

u=x+1

u '=1+0

v=x−1

v=1−0

u=3x2

u'=3 [2 x2−1 ]

u '=6 x

v=2 x−11

v'=2−0

v '=2

Derivar función seno

1.x+1x−1

=uv 2. y= 3 x2

2 x−11=uv

y '=( x−1 ) (1 )−( x−1 ) (1 )

( x−1 )2

y '= ( x−1 )−( x+1 )( x−1 )2

y '= x−1−x−1( x−1 )2

y '= −2( x−1 )2

y '=(2x−11 ) (6x )−(3 x2 ) (2 )

(2x−11)2

y '=(12x2−66 x )−6 x

(2x−11 )2

y '=12x2−66−6 x2

(2x−11 )2

y '=6 x2−66 x

(2x−11 )2

Formula:

y=senu y '= [cosu ] [u ' ] u=g (x )

u '=dg (x )dx

Ejemplo 1:

y=senx

u=x

u '=1y '=[cosx ] (1 )

y '=cos x

Ejemplo 2: 4 sen (5 x2−7 )

Derivar la función: u=(5 x2−7 )

u'=5 (2 x2−1)

u '=10x

Derivar función coseno

Formula:

y=cosuy '= [−senu ]u

1. y=cos13 x

u=13x

u'=13

y '=[−sen13x ] (13 )

y '=−13 sen13 x

2. cos x2 y '=[sen x

2 ]12

Ejemplo 1:

y=senx

u=x

u '=1

y '=4 [cos (5 x2−7 ) (10 x ) ]

y '=40x [cos (5 x2−7 ) ]

y '=40 xcos5 x2−7

Derivar función tangente

Derivada de función tangente

y '=−12

sen( x2 )2

y '=−12

y '=−sen( x2 )

2

u= x2=12−x

u '=12

y=tan u y '=[ sen2u ] u

1. y=tan(18 x−35 )u=18x−3

5

u'=18

y '=18 se c2(18 x−35 )

Derivada de función cotangente

2. y=tan (8x2−x )

u=8 x2−x

u'=8 [2 x ]−1=16 x−1

y '=[ sen2 (8 x2−x ) ] (16 x−1 )

y '=(16 x−1 ) se n2 (8 x2−x)

Formula: y=co+u y '= [−csc2 ]u '

Ejemplo 1:

y=co+ (5 x−1 )

u=(5x−1 )

u=5 x−1

u '=5−0

u'=5

y '=−csc2 (5 x−1 ) (5 )

y '=−5csc2 (5 x−1 )

Derivar función secante

Ejemplo 1:

y=co+ (5 x−1 )

u=(5x−1 )

u=5 x−1

u '=5−0

u'=5

y=sec u y '=[sec u ] [ tan u ]u '

1. y=sec x2

Se deriva la

Función:

u=x2

u '=2x

y '=[ sec x2 ] [ tan x2 ] (2x )

y '=2x [ tan x2 ] [sec x2 ]

Derivar función cosecante

u= x5

4

u=14. x5

u'=14

[5 x4 ]

u '=54x 4

y '=−3 [(sec x54 )( tan x54 )]5x4

y '=−154

x4( tan x54 )(sec x54 )

y=−3 sec( x54 )

y=cscu→ y '=−cscu .cot u .u '

y=csc (4 x+3 )2

y '=−csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2 .2 (4 x+3 )2−1 . (4 x+3 )2

y '=−cos (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2 .2 (4 x+3 ) .4

y '=−8 (4 x+3 ) csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2

y '=−[32−24 ]csc (4 x+3 )2 .cot (4 x+3 )2

Derivada de función inversa arcoseno

y=arcsen→ y '= 1√1−g2

y=arcsen√x2−4

y '= 1

√1−√ x2−4* 2xx√ x2−4

y '=

x

√1−(x2−4 )∗1

√ x−4

y '=

x

√1−x2−4∗√x2−4∗x

√5x2 .√x2−4

y '= x

√ (5 x2) (x2−4 )

DERIVADA FUNCION EXPONENCIAL

FORMULA y=eu→y1 = eu.u1

EJERCICIO 1°

y=e(5 x−34)→y1=e

(5x−34 ) .5

y1=5e5x− 34

La derivada de esta función

Es poner la función igual.

y=arcsen√x2−4

y '= 1

√1−√ x2−4* 2xx√ x2−4

y '=

x

√1−(x2−4 )∗1

√ x−4

y '=

x

√1−x2−4∗√x2−4∗x

√5x2 .√x2−4

y '= x

√ (5 x2) (x2−4 )

u=5x−34 Exponente

u1=5 Derivada

EJERCICIO 2°

y=e¿ ¿-x2-x¿

u=57x6−x2−x

u1= 57 [ 61 x5]− [2 x ]−1

u1=307

x5−2x−1

y1=e(57 x6−x 2−2x−1).( 307 x5−2x−1)

¿¿

( 307 x5−2 x−1)e( 57 x6−x2−x)

EJERCICIO 3° u=senx

u1=cosx

y=−34

e sen x

y1=−34

−[e sen x .cosx ]

y1=−34

. cosx e senx

DERIVADA LOGARITMO NATURAL

(FORMULA)

y=lnU→ y '=U '

U

y=ln (8x−11)

U=8 x−11

U '=8

y '= 88 x−11

y=ln ( x2−2x+710 )→y '= 2x−2

x2−2x+ 710

U=x2−2x+ 710

U '=2 x−2

y=−58ln (cos x )→ y '=−5

8¿

U=cos x y '=58tan x

U '=sen x

Derivada con regla de cadena 1Formula:

y= (g ( x ) )n

y '=n (g ( x ) )n−1 . g ( x )

f ( x )=(1+4 x−2 x2 )5

f ' ( x )=5 (1+4 x−2 x2)4 . d (1+4 x−2x2 )dx

f ' ( x )=5 (1+4−2 (2x ) )4

f ' ( x )=5 (4−4 x ) (1+4 x−2x2 )4

Derivar regla de cadena 2

f ( x )=(1+4 x−2 x2 )5

f ' ( x )=5 (1+4 x−2 x2)4 . d (1+4 x−2x2 )dx

f ' ( x )=5 (1+4−2 (2x ) )4

f ' ( x )=5 (4−4 x ) (1+4 x−2x2 )4

senu→ [cosu ]u '

ln u→ u 'u

uv→uv '+vu '

y=(sen2x )( ln x2 )u=sen2 x

u '=[cos2 x ] [2 ]

u '=2cos 2 x

v=ln x2

v '=2xx2

v '=2xxx

Derivadas sucesivas

y=(sen2x )( ln x2 )

v=ln x2

v '=2xx2

v '=2xxx

y '= (sen2 x )( 2x )+( ln x2 ) (2cos2x )

y '=2 sen2 x+2cos2x(ln x2 )

x

y=√x=x1 /2

y '=12∗x

12−

22

y '=12x−1 /2

Segunda derivada:

y ' '= 12 [−12 ∗x3 /2]

y ' '=12 [−12 x3 /2]

y ' '=−1 x−3/2

4

DERIVACIÓN DE UNA FUNCIÓN IMPLÍCITA

6 x2+6 x−2 y=14

Una función implícita es aquella qué no está despejado la variable dependiente, por lo general lo identificamos con la letra y.

FUNCIÓN EXPLICITA

Es donde si esta despejada la variable dependiente.

y=3 x2+8 x−5

Importante: Cuando se deriva una función implicita en función de x:

Segunda derivada:

y ' '= 12 [−12 ∗x3 /2]

y ' '=12 [−12 x3 /2]

y ' '=−1 x−3/2

4

x→ d (x)dx

=1

y→ (dy)dx

= y '

Pasos para derivar una función implícita:

1.- derivar con respecto a “x”

2.- despejar “x” (factorizar)

3.- despejar “y” y sustituirla en “y’”

Ejercicio 1

Encontrar la derivación de “y”

x2+ y2=9

Derivando

2 x+2 y . y'=0

Despejando y’= +2 x+2 y y '=0

+2 y . y '=−2x

y '=−2x2 y

=−xy

x2+ y2=9

y2=9−x2

y=+√9−x2

Diferencial de una función

y=7 x3

Derivar: 7 [3 x3−1 ]

y '=21x2

dydx

=2 x2

Resolución :d y=2 x2 . dx

dy=?

Regla L' hospital 1

(Indeterminación)

y=7 x3

Derivar: 7 [3 x3−1 ]

y '=21x2

dydx

=2 x2

Resolución :d y=2 x2 . dx

lim x→3 x2−9x−3

(3 )2−9(3 )−3

¿ 9−93−3

=00

Indeterminación

lim x→3 x2−9x−3

¿

d (x2−9 )dx

d ( x−3 )dx

=2x1

Regla L' hospital 2

lim x→3 x2−9x−3

(3 )2−9(3 )−3

¿ 9−93−3

=00

lim x→3 x2−9x−3

¿

d (x2−9 )dx

d ( x−3 )dx

=2x1

Entonces el límite será:

limx→3

(2x )=2 (3 )=+6

limx→3

√ x2−5x−3

Sustitución ¿ √(3 )2−5(3 )−3

−2=2−23−3

=00

Indeterminación

Ley de L' HOSPITAL:

limx→3

√ x2−5x−3

−2

f ( x )

Regla L' hospital 3

Sustitución ¿ √(3 )2−5(3 )−3

−2=2−23−3

=00

Ley de L' HOSPITAL:

limx→3

√ x2−5x−3

−2

g ( x )

limx→3

f ' ( x )

g' ( x )

g ' ( x )=x−3

¿1−0

limx→3

x√ x2−5

Sustitución: 3

32−5= 3

√9−5= 3

√4=32=1.5

f ( x )=√x2−5−2

¿ (x2−5 )1 /2−2

¿ 12

[ x2−5 ]12−1 (2 x )

¿ 12 [ 1

√x2−5 ] (2 x )

¿ 2x2√ x2−5

¿ x√x2−5

limx→0

x−sen x2x3

f ( x )

g ( x )

f ( x )=x sen x

f ' ( x )=1−[cos x ] (1 )

g ( x )=2 x3

'=6 x2

Derivadas de orden superior

DERIVADAS SUCESIVAS.

y=f ( x )

y '=1−cos x6 x2

=1−cos (0 )6 (0 )2

=00

Segunda derivada:

f ' ( x=cos x )

¿0−[−sen x ] (1 )

g' ( x )=6 x2

g' '=12 x

g ' '= sen x12 x

=00

Tercera derivada:

f ' ' '=sen x

¿cosx

g ' ' ' ( x )=12 x

g ' ' ' ( x )=12

Sustitución:y '= cos x12= 112

¿

1

2

4. ..n

dydx

= y '=df ( x )dx

=f ' ( x )

d2 ydx 2 = y ''=d2 f ( x )

dx2=f '' ( x )

d4 ydx 4 = y ''''=

d4 f ( x )dx4

=f '''' ( x )

dn ydxn

= y (n )=dn f ( x )dxn

= f (n ) ( x )

ejercicio1 .y=5 x3−4 x−9y '=5 (3 x2)−4y '=15 x2−4y ''=15 (2 x )=30 x

seg .derivday ''=30 xf ( x )=( x3+5 )4

f ' ( x )=4 (x3+5 )3 (3 x2)f ' ( x )=12x2 (x3+5 )3

f '' ( x )=(12 x2) [3 (x3+5 )2 (3 x2 ) ]+(x3+5 )3 (24 x )

f '' ( x )=108 x4 (x3+5 )2+24 x (x3+5 )3

factorizando :f '' ( x )=12 x (x3+5 )2 [9 x3+2 (x3+5 ) ]deri var:f ''' ( x )=12x (x3+5 )2 [9 (3 x2)+2 (3 x2) ]f ''' ( x )=12x (x3+5 )2 [33x2 ]+ (11 x3+10 )12 x (x3+5 )2

u .v→uv '+vu '12 x [2 (x3+5 ) (3 x2) ]+ (x3+5 )2+(12 )

72 x3 ( x3+5 )+12 (x3+5 )2

(x3+5 ) [72x3+12 (x3+5 ) ]f '' ( x )=12 x (x3+5 )2 [33 x2 ]+(11 x3+10 ) (x3+5 ) [72x3+12 (x3+5 ) ]

y '''senU→ [cosU ] U 'cosU→ [−senU ]U '

y(4 )

1xn

=x−n

b√ xa=xab

y=senxy '= [cos x ] (1 )y '=cos xy ''=[−senx ] (1 )=−senxy '''=−[cos x ] (1 )=−cos x

y=2x5

−3√x2

y=2(1x5 )−x23

y=2 (x−5 )−x23

1xn

=x−n

b√ xa=xab

y=2x−5−x23

deri var

y=2x−5−x23

y '=2 [−5 x−6 ]−23x−13

y '=−10 x−6−23x−13

y ''=−10 [−6 x−7 ]23

[¿−

13 x−

43 ]23

−33=−1

3

y ''=+60 x−7+29x

−43

y '''=60 [−7 x−8 ]+29 [−43 x−

73 ]

y (3 )=−420 x−8−827

x−73

y (4 )=−420 [−8x−9 ]−827 [−73 x−103 ]

y (4 )=+3360 x−9+5681 x

−103

y (4 )=33601 (1x9 )+5681 (1x103 )

y (4 )=3360x9

+5681 3√ x10

Monografías de las DERIVADAS

PROFESOR: Jesús Eduardo León Tarín

MATERIA: calculo diferencial

NOMBRE:Aimé Galván López

GRUPO: 1D

ESPECIALIDAD: ING. EN GESTION EMPRESARIAL

CONCEPTO DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓNEs la pendiente de una recta tangente a una curva e un punto dado.

La derivada es el resultado de un límite y representa la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en un punto.

f (x) lim∆ x→ 0

f ( x+∆ x )−f (x)∆ x

❑

La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como ellímite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.

∆ y= y2− y1

∆ x=x 2−x 1

y= lim∆x→0

∆ y∆ x

DONDE:

Y= f(x) Variable dependiente.

X= Variable independiente.

En Geometría

m= y 2− y 1x 2−x1

En Física

v=d2−d1t 2−t 1

CONCEPTO GEOMETRICO DE LA DERIVADA

M= y 2− y 1x 2−x1

m=tanθ

m=y 2− y 1x 2−x1 →m=

f (x+∆x )−f (x )∆ x

lim∆ x→ 0

f ( x+∆ x )−f (x )∆ x

❑

X2

Y1

P=x2,y2

(x1,y1)

θ

Al reducir el punto Q la recta va a cambiar de posición.

f ( x )= lim∆x→0

f ( x+∆ x )−f ( x)∆ x

❑

¿PARA QUE SIRVE LA PENDIENTE?Para poder analizar el comportamiento de cada una de las curvas.

Esta es la derivada.

M= +… Sea positiva.

M= -… Sea negativa

M= Cero…

M=Infinito…