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1
Sea el laminado definido por:
Lámina Espesor ( m )
E1 ( MPa )
E2 ( MPa )
ν21 G12 ( MPa )
1 0.001 50000 15000 0.25 8000 2 0.050 200 200 0.40 70 3 0.001 50000 15000 0.25 8000
1.- Sabiendo que el tensor de tensiones es: CARA SUPERIOR. CARA INFERIOR
[ ]σ =⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
60 00 2
MPa [ ]σ =−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
20 00 2
MPa
Determinar: a) La matriz de rigidez del laminado. b) Los vectores de deformaciones y curvaturas. c) El estado de carga al que está sometido el laminado.. 2.- Se elimina ahora la lámina central y se somete al laminado así construido al estado de carga calculado en el apartado 1.c). Determinar: a) La nueva matriz de rigidez b) Los vectores de deformaciones y curvaturas. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 1.- a). Primero se calculan los coeficientes que faltan:
ν ν12 212
1
= ⋅EE
Lámina ν12 1 0.075 2 0.400 3 0.075
2. Matrices de rigidez de cada lámina: LAMINA 1 y 3
[ ]Q =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
5099541 382166 0382166 15286 62 0
0 0 8000
. .. . MPa
2
LAMINA 2
[ ]Q =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
23810 9524 09524 23810 0
0 0 70
. .. . MPa
LAMINA Zi ( m )
Zi-1 ( m )
hi ( m )
∆i2
( m2 ) ∆i
3 ( m3 )
1 0.026 0.025 0.001 25.5⋅10-6 6.5⋅10-7 2 0.025 -0.025 0.050 0 1.04⋅10-5 3 -0.025 -0.026 0.001 -25.5⋅10-6 6.5⋅10-7
Donde :
∆ ii iZ Z22
12
2=
− − ∆ ii iZ Z33
13
3=
− −
MATRIZ A. [ ] [ ]A Q hi i= ⋅∑
[ ]A =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
11382 12 40 012 40 42 48 0
0 0 19 50
. .. .
. MN/m
MATRIZ B Por ser laminado simétrico esta matriz es nula. MATRIZ D
[ ] [ ]D Q i i= ∑ ⋅∆3
[ ]D =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ −
68 72 5 96 05 96 22 35 0
0 0 111310 3
. .. .
. MN
b) Conocemos la tensión en la lámina superior y en la inferior. Colocando el origen de los ejes en el punto medio del laminado. En z = 0.026 (lamina 1 )
{ } [ ] { }σ ε=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
6020
Q sup
Como se conoce la matriz de rigidez de esa lámina se puede obtener la deformación en la lámina superior.
3
{ }ε sup
..= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
11890166
010 3
En z = -0.026 (lamina 3 )
{ } [ ] { }σ ε= −⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
202
0Q inf
Como se conoce la matriz de rigidez de esa lámina se puede obtener la deformación en la lámina inferior.
{ }ε inf
..= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
0 4100 233
010 3
Como la distribución de deformaciones es lineal a lo largo del espesor.
{ } { } { }ε ε= + ⋅o z k
11890166
010 0 0263
.. .−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪+ ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−
εεγ
xo
yo
xyo
x
y
xy
kkk
0 4100 233
010 0 0263
.. .−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪− ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
−
εεγ
xo
yo
xyo
x
y
xy
kkk
De donde: εεγ
xo
yo
xyo
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= −⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
080 20
10 3
..
kkk
x
y
xy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
14 98130
010 3
.. 1/m
c) { } [ ] { }N A o= ⋅ ε
{ } [ ] { }M D k= ⋅
4
NNN
x
y
xy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0 0890 001
0
.
. MN/m
MMM
x
y
xy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
1030118
010 3
.. MN
2.- a) MATRIZ A
[ ]A =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
102 7 64 07 64 30 6 0
0 0 16
.. . MN/m
MATRIZ D
[ ]D =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ −
34 2 55 02 55 10 2 0
0 0 5 3310 3
.. .
. MN
b) εεγ
xo
yo
xyo
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= −⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
0880170
10 3
..
kkk
x
y
xy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ −
30 244 06
010 3
.. 1/m
5
Un laminado de fibra de vidrio en matriz poliester presenta la siguiente secuencia de apilado: [452 / -452 / 0]s. Calcule el módulo de elasticidad aparente del laminado en dirección X y dirección Y. E1 = 40 GPa G12 =2.8 GPa E2 = 9.8 GPa ν21 = 0,3 ------------------------------------------------------------------------------------------ Matriz de rigidez de una lámina en ejes materiales.
[ ]QQ QQ Q
Qss
E E
E E
G
= =
− −
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
11 12 0
12 22 00 0
11 12 21
21 21 12 21
0
12 11 12 21
21 12 21
0
0 0 12
ν ννν ν
νν ν ν ν
••
••• •
[ ]Q =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
40 90 3 01 0301 10 02 0
0 0 2 80
. .. .
. GPa
Matriz de rigidez de las láminas a 45º. Utilizando las expresiones para el cálculo de la matriz de rigidez para cualquier orientación de fibras se obtiene:
[ ]QQxx Qxy QxSQyx Qyy QysQSx QSy Qss
=
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
ejes xy: ejes globales ejes 12: ejes materiales Llamando: cos θ = C sin θ = S Qxx Q C Q QSS S C Q S= + + +11
4 2 12 2 2 222
4• • ( • ) • • •
x
1
θ
Y2
6
Qyx Q Q QSS S C Q S C= + − + +( • ) • • • ( )11 22 4 2 212
4 4
Qyy Q S Q QSS S C Q C= + + +114 2 12 2 2 2
224• • ( • ) • • •
QxS Q Q QSS S C Q Q QSS S C= − − + − +( • ) • • ( • ) • •11 12 2 312 22 2 3
QyS Q Q QSS S C Q Q QSS S C= − − + − +( • ) • • ( • ) • •11 12 2 312 22 2 3
QSS Q Q Q QSS S C QSS S C= + − − + +( • • ) • • • ( )11 22 2 12 2 2 2 4 4
[ ]Q =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
17 03 11 43 7 7211 43 17 03 7 727 72 7 72 7 01
. . .
. . .. . .
GPa
Matriz de rigidez de las láminas a -45º. Análogamente al caso de 45º:
[ ]Q =−−
− −
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
17 03 11 43 7 7211 43 17 03 7 727 72 7 72 7 01
. . .
. . .. . .
GPa
Matriz de rigidez en tensión plana del laminado. [ ] [ ]A Q
i ihi= ∑ •
En este caso la matriz es: [ ] [ ] [ ] [ ]A Q Q Q h= + ⋅ + ⋅ −( º º º ) • •0 2 45 2 45 2 . Siendo h el espesor de una lámina.
[ ]A h=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅ ⋅
218 04 97 46 097 46 156 28 0
0 0 6168109
. .. .
. N/m
Matriz de rigidez normalizada en tensión plana del laminado.
[ ] [ ]AA
h*
. .. .
.=
⋅=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
10
2180 9 75 09 75 15 63 0
0 0 617 GPa
• Aplicando un esfuerzo de tracción en dirección X.
7
NxN yNxy
N x⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪00
O en forma de tensión media que actúa sobre el laminado σστ
σxo
yo
xyo
x⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪00
La relación entre tensiones medias y deformaciones en el laminado es:
{ } { }σ ε= ⎡⎣⎢
⎤⎦⎥⋅A*
Se puede calcular el estado de deformaciones para el estado de carga aplicado. εεγ
σxyxy
x
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= −⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ − ⋅
0 063620 03969
010 9
..
En particular en dirección del eje X la relación entre deformación y tensión es: ε σx x= ⋅ − ⋅0 06362 10 9. Por tanto el módulo de elasticidad aparente en dirección X es: Ex = 15.72 GPa • Aplicando un esfuerzo de tracción en dirección Y.
8
σστ
σxo
yo
xyo
y
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0
0
Ahora el estado de deformaciones es: εεγ
σxyxy
y
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ − ⋅
0 039690 08874
010 9
..
En dirección del eje Y. ε σy y= ⋅ − ⋅0 08874 10 9. Por tanto el módulo de elasticidad aparente en dirección Y es: Ey = 11.27 GPa
9
Se desea fabricar una placa laminada a base de láminas compuestas de fibra de vidrio en matriz epoxi (PRFV). El laminado se forma mediante n sublaminados cada uno de los cuales contiene 2 láminas con las fibras orientadas según el eje X y tres láminas orientadas según el eje Y, por lo que el laminado estará formado por 5n láminas. Dicho laminado está sometido a un estado de equicompresión en su plano definido por: NX = NY = - 0.85 MN/m. 1. Determinar el número de sublaminados, n, que serán necesarios para resistir esta solicitación con un coeficiente de seguridad de 2 y de acuerdo con el criterio de Tsai-Hill. 2. Determinar la disminución de las dimensiones de la placa así dimensionada.
1.2 m
0.8 m
y
x
DATOS: E1 = 38600 MPa X = 610 MPa E2 = 8300 MPa Y = 118 MPa ν21 = 0.26 S = 72 MPa G12 = 4100 MPa Espesor de cada lámina: 1 mm ----------------------------------------------------------------------------------------------------------- a) Se calcula la matriz de rigidez de cada lámina. • Láminas a 0º.
[ ]Q 0
39169 2190 02190 8422 0
0 0 4100o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Mpa
• Láminas a 90º.
[ ]Q 90
8422 2190 02190 39169 0
0 0 4100o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
Mpa
Con estas matrices se construye la matriz de rigidez plana del laminado.
{ } [ ] { }N A= ⋅ εo
[ ] [ ]A Q hi i
N= ⋅∑
1
En este caso la matriz es: [ ] [ ] [ ]( )A n Q n Q h= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅2 30 90o o
10
[ ]A n=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅
10360 10 95 010 95 134.35 0
0 0 2050
. ..
. MN⋅m-1
Se conocen los esfuerzos en su plano:
NNN
x
y
xy
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0850850
.
. MN⋅m-1
Se pueden conocer las deformaciones que sufre el laminado.
10360 10 95 010 95 134.45 0
0 0 2050
0850850
. ..
.
.
.⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ =
−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
εεγ
x
y
xy
n
De donde se obtiene: εεγ
x
y
xyn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ ⋅−
7.6015707
010 13.
Para calcular el número de sublaminados necesario para que la placa no rompa se analizan las tensiones en cada lámina utilizando la matriz de rigidez de cada lámina. • Láminas a 0º.
σσσ
x
y
xyn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ ⋅−
39169 2190 02190 8422 0
0 0 4100
7.6015707 10 13.
σσσ
x
y
xyn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
−−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1310 2264.71
0
. MPa
Aplicando el criterio de Tsai-Hill. 310 22610 2
64.71118 2
310 22 64.71610 2
2 2
22.
/ /.
( / )⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⋅
= n
La razón por la que se han dividido las resistencias del laminado por dos es para considerar el factor de seguridad tal como se indica en el enunciado.
n = 1.42 ∼ 2 • Láminas a 90º.
11
σσσ
x
y
xyn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ ⋅−
8422 2190 02190 39169 0
0 0 4100
7.6015707 10 13.
σσσ
x
y
xyn
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
−−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
17651
240180
.. MPa
Aplicando el criterio de Tsai-Hill. El criterio debe aplicarse en ejes locales de la lámina, en estos ejes las tensiones los valores de las resistencias son:
σσσ
x
y
xyn
*
*
*
..
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
−−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1240187651
0
X* = 610 MPa Y* = 118 MPa
24018610 2
7651118 2
7651 24018610 2
2 2
22.
/./
. .( / )
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ ⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
−⋅
= n
n = 1.45 ∼ 2 Por tanto el número de sublaminados mínimo es de 2. b) Disminución de las dimensiones. ∆LL
1
11= ε ∆L1 4.56= mm
∆LL
2
22= ε ∆L1 2.28= mm
12
Se construye un laminado simétrico formado por cuatro láminas iguales, dos orientadas a 0º y otras dos a 90º. El laminado está sometido a un esfuerzo de tracción en la dirección X. 1. Determínese dicho laminado. 2. Calcular las matrices de rigidez en ejes globales de cada una de las láminas. 3. Calcular la matriz de rigidez plana del laminado. 4. Determinar el estado de deformaciones existente en el laminado en función del esfuerzo aplicado. 5. Estimar el esfuerzo que produce la rotura de la primera lámina. Se empleará el criterio de tensión máxima. 6. Repetir el cálculo para la rotura de última lámina DATOS: Módulos elásticos Resistencias Espesor lámina E1= 50 GPa X = 400 MPa h = 0.2 mm E2 = 10 GPa Y = 30 MPa G12 = 8 GPa ν21 = 0.25 ------------------------------------------------------------------------------------------ 1. El laminado es: [0/90]S 2. Primero se determina el coeficiente que falta:
ν ν122
121 0 05= ⋅ =
EE
.
La matriz de rigidez de las láminas a 0º en ejes globales coincide con la matriz en ejes materiales.
[ ]Q 0
50 63 2 53 02 53 1013 0
0 0 8º
. .. .=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥GPa
13
Para determinar la matriz de rigidez de las láminas a 90º en ejes globales basta permutar el término Q11 con el Q22.
[ ]Q 90
1013 2 53 02 53 50 63 0
0 0 8º
. .. .=
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
GPa
3. La matriz de rigidez plana de un laminado es: [ ] [ ]A Q hi
ii= ⋅∑ . En este
caso la expresión se reduce a: [ ] [ ] [ ]( )A h Q Q= ⋅ ⋅ +2 0 90º º
[ ]A = ⋅
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
24 02 2 02 02 02 24 30 0
0 0 6 4106
. .. .
. N/m
4. Para un laminado simétrico la relación entre esfuerzos y deformaciones es:
[ ]N
Qx x
xy
00
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= ⋅
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
εεγ
εεγ
x
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= − ⋅ − ⋅4144
3440
10 9..
5. Tensiones en las láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε0 0º º= ⋅ ⋅Q
σστ
xy
xy
N x
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
0
2089 4069 99
0º
.. Pa
14
Tensiones en las láminas a 90º. { } [ ] { }σ ε90 90º º= ⋅ ⋅Q
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= − ⋅
90
4110869 320º
.. Pa
Rotura láminas a 0º con el criterio de tensión máxima Expresando las tensiones en ejes materiales de la lámina σστ
12
12 0
2089 4069 99
0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
º
.. Nx Pa
Aplicando el criterio de la tensión máxima. σστ
1
2
12
<<
<
XYS
2089 40 400 106
69 99 30 106.
.
⋅ < ⋅
⋅ < ⋅
NxNx
Nx = 191.44 kN/m Rotura láminas a 90º con el criterio de tensión máxima Expresando las tensiones en ejes materiales de la lámina σστ
12
12 90
69 3241103
0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=−
⋅
º
.. Nx Pa
− ⋅ < ⋅
⋅ < ⋅
69 32 400 106
41103 30 106.
.
NxNx
Nx= 72.99 kN/m
15
El esfuerzo de rotura de primera lámina es 73 kN/m, y las primeras láminas en romperse son las orientadas a 90º. 6. Ahora solo existen láminas a 0º, la nueva matriz de rigidez del laminado será: [ ] [ ]A h Q= ⋅ ⋅2 0º
[ ]A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⋅
20 05 101 0101 4 05 0
0 0 32106
. .. .
. N/m
Las deformaciones en el laminado son ahora: εεγ
x
xy
xN
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅ ⋅−
51250
10 8.
Las tensiones en las láminas a 0º son: σστ
x
y
xy
xN
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= −
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪⋅
0
2499 8801250
º
..
Aplicando el criterio de rotura de tensión máxima 2499 88 400 10
0125 30 10
6
6
..
⋅ < ⋅
− ⋅ < ⋅
NN
x
x
Nx = 160 kN/m El esfuerzo de rotura de última lámina es 160 kN/m
16
Se considera el laminado de carbono/epoxi T300/5208 con la siguiente composición: [0/90]S. Las propiedades del material se encuentran en las tablas adjuntas.
a) Hallar los esfuerzos Nx que producen la rotura de la primera lámina (RPL) y los que producen rotura de última lámina (RUL). Por simplicidad los esfuerzos Ny y Nxy se suponen nulos.
b) Calcular las tensiones y deformaciones no mecánicas del
laminado para una temperatura de 22ºC si la temperatura de curado es de 122ºC y la humedad es del 1%.
DATOS: • Coeficientes higrotérmicos del laminado: α1 0 02 10 6 1= ⋅ − −. K α2 22 5 10 6 1= ⋅ − −. K β1 0= β2 0 6= .
• Espesor de cada lámina: h = 0.125 mm NOTA: Supóngase que la temperatura en el laminado es aproximadamente constante. ------------------------------------------------------------------------------------------ a) 1.- Se obtienen las matrices de rigidez de las láminas directamente de la primera tabla.
[ ]Q 0
18181 2 90 02 90 10 35 0
0 0 717o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
. .. .
. GPa
[ ]Q 90
10 35 2 90 02 90 18181 0
0 0 717o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
. .. .
. GPa
2.- La matriz de rigidez plana del laminado será.
17
{ } [ ] { }N A o= ⋅ ⋅ε
[ ] [ ] [ ]A Q Q h= + ⋅ ⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟0 90 2o o
[ ]A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
48 04 145 0
145 48 04 0
0 0 358
. .
. .
.
MN⋅m-1
[ ]Nx
Axo
yo
xyo
00
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
= ⋅
ε
ε
γ
Resolviendo: εx
o Nx= ⋅ − ⋅2 083 10 8.
ε yo Nx= − ⋅ − ⋅6289 10 10.
3. Cálculo de las tensiones en cada lámina. • Láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε0 0o o= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
0
3785 3
53 90
0o
.
.
Aplicando el criterio de rotura de Tsai-Hill.
σ σ τ σ σ12
22
122
1 2 12X Y S X
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+ + −
⋅=
( )37853
1500 105390
40 1037853 5390
1500 106 6 6 2
2 2 12
. . . .⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
⋅+ − =
Nx
De donde se puede despejar el valor del esfuerzo.
18
Nx = 0 351. MN⋅m-1
• Láminas a 90º. { } [ ] { }σ ε90 90o o= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
−
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
90
213 60
53 90
0o
.
.
Es necesario recordar que el criterio de Tsai-Hill se aplica en ejes locales de la lámina; el campo tensional anterior está expresado, en cambio, en ejes globales. En un caso general esto exigirá aplicar el círculo de Mohr o la matriz de cambio para calcular las tensiones en ejes locales. Para este problema el proceso es más simple: σστ
12
12 90
5390
21360
0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
−⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
o
.
. Nx
σ σ τ σ σ12
22
122
1 2 12X Y S X
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+ + −
⋅=
( )−
⋅⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
⋅+ + =5390
1500 102136040 10
5390 21360
1500 106 6 6 2
2 2 12
. . . .
Nx
Nx = 0187. MN⋅m-1
La primera lámina que se rompe es la lámina a 90º. El esfuerzo de rotura de primera lámina es: Nx = 0.187 MN⋅m-1 Para calcular el esfuerzo Nx de rotura de última lámina se resuelve de nuevo el problema considerando que ahora el laminado sólo tiene dos láminas a 0º. La nueva matriz de rigidez plana es:
[ ]A =
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
4545 0 72 0
0 72 2 59 0
0 0 179
. .
. .
.
MN⋅m-1
Operando igual que para el laminado intacto:
19
[ ]Nx
Axo
yo
xyo
00
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
= ⋅
ε
ε
γ
εx Nx= ⋅ − ⋅2 209 10 8.
ε y Nx= − ⋅ − ⋅6143 10 9.
Ahora sólo hay láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε
00oo= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
0
3998
0 481
0o
.
Aplicando Tsai-Hill.
( )3998
1500 100 481
40 103998 0 481
1500 106 6 6 2
2 2 12⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟ ⋅
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⋅
⋅+ − =
. .
Nx
Nx = 0 375. MN⋅m-1
b) 1. Las deformaciones no mecánicas de las láminas son:
ei i T i C= ⋅ + ⋅α β∆ Donde:
• α es el coeficiente de dilatación térmico • β es el coeficiente de humedad • ∆T = Tservicio - Tcurado
• Para las láminas a 0º. e1 = - 2⋅10-6 e2 = 3.75⋅10-3 • Para las láminas a 90º. ex = 3.75⋅10-3 ey = -2⋅10-6
2. Esfuerzos sobre el laminado.
20
Las tensiones que actúan sobre una lámina se pueden relacionar con las deformaciones mecánicas mediante la matriz de rigidez de la lámina. { } [ ] { }σ ε= ⋅ ⋅Q m Las deformaciones totales que actúan sobre una lámina son suma de las mecánicas y de las higrotérmicas. { } { } { }ε εo m e= + ⋅ Por lo tanto:
{ } [ ] { }σ ε= ⋅ − ⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟Q o e
Integrando a lo largo del espesor se pueden determinar los esfuerzos que actúan sobre todo el laminado.
{ } [ ] { } { }N A o N T= ⋅ −ε Donde:
{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }( )N T Q e dz h Q e Q e= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ⋅ + ⋅ ⋅2 0 0 90 90º º º º
3100
33.12
33.12
⋅=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧ T
xyNyNxN
N⋅m-1
En este caso no existen esfuerzos mecánicos actuando sobre el laminado:
12 33
12 33
0
10348 04 145 0145 48 04 0
0 0 358109
.
.
. .. .
.
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⋅ = ⋅ ⋅
ε
ε
γ
xo
yo
xyo
3. Deformaciones totales sobre el laminado.
21
Resolviendo el sistema anterior se calculan las deformaciones del laminado.
ε
ε
γ
xo
yo
xyo
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
= ⋅ −2 492 49
010 7
.
.
Esta deformación es la misma para todas las láminas:: 4. Deformaciones mecánicas en cada lámina.
{ } { } { }ε εm o e= − ⋅
• Láminas a 0º.
ε
ε
γ
xm
ym
xym
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
−
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=⋅ −
⋅ −
0
2 249 10 6
3749 10 3
0o
..
• Láminas a 90º.
ε
ε
γ
xm
ym
xym
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=− ⋅ −
⋅ −
90
3749 10 3
2 249 10 6
0o
..
5. Aplicando la matriz de rigidez en cada lámina se pueden calcular las tensiones. • Láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε0 0 0o o o= ⋅Q m
σστ
xy
xy
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=−−
0
10 4638 790o
.
. MPa
22
• Láminas a 90º. { } [ ] { }σ ε90 90 90o o o= ⋅Q m σστ
xy
xy
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=−−
90
38 7910 460o
.
. MPa
Se puede comprobar que el esfuerzo mecánico que actúa sobre el laminado es nulo : { } { } { }( )N h= ⋅ ⋅ + =3 0 90 0σ σo o
23
Se considera el laminado de carbono/epoxi T300/5208 con la siguiente composición: [0/0/0/90]. Las propiedades del material se encuentran en las tablas adjuntas. a) Hallar los esfuerzos Nx que producen la rotura de la primera lámina (RPL) y los que producen rotura de última lámina (RUL). Por simplicidad los esfuerzos Ny y Nxy se suponen nulos. b) Calcular las tensiones y deformaciones no mecánicas del laminado para una temperatura de 22ºC si la temperatura de curado es de 122ºC y la humedad es del 1%. DATOS: • Coeficientes higrotérmicos del laminado: α1 0 02 10 6 1= ⋅ − −. K α2 22 5 10 6 1= ⋅ − −. K β1 0= β2 0 6= .
• Espesor de cada lámina: h = 0.125 mm NOTA: Supóngase que la temperatura en el laminado es aproximadamente constante. ------------------------------------------------------------------------------------------ a) 1.- Se obtienen las matrices de rigidez de las láminas directamente de la primera tabla.
[ ]Q 0
18181 2 90 02 90 10 35 0
0 0 717o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
. .. .
. GPa
[ ]Q 90
10 35 2 90 02 90 18181 0
0 0 717o =
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
. .. .
. GPa
2.- La matriz de rigidez plana del laminado será.
{ } [ ] { }N A o= ⋅ ⋅ε
[ ] [ ] [ ]A Q h Q h= ⋅ ⋅ + ⋅3 0 90o o
24
[ ]A =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
69 47 145 0145 26 61 0
0 0 358
. .. .
. MN⋅m-1
[ ]Nx
Axo
yo
xyo
00
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
= ⋅
ε
ε
γ
Resolviendo: ε x
o Nx= ⋅ − ⋅1441 10 2.
ε yo Nx= − ⋅ − ⋅7 853 10 4.
3. Cálculo de las tensiones en cada lámina. • Láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε0 0o o= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅
0
2617 63366
0o
..
Aplicando el criterio de rotura de Tsai-Hill.
σ σ τ σ σ12
22
122
1 2 12X Y S X
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+ + −
⋅=
2617 61500
2 336640
2 2617 6 336615002
12
. . . .⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ − ⋅ =Nx
De donde se puede despejar el valor del esfuerzo.
Nx = 0519. MN⋅m-1
25
• Láminas a 90º. { } [ ] { }σ ε90 90o o= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= − ⋅
90
14687100 99
0o
..
Es necesario recordar que el criterio de Tsai-Hill se aplica en ejes locales de la lámina; el campo tensional anterior está expresado, en cambio, en ejes globales. En un caso general esto exigirá aplicar el circulo de Mohr o la matriz de cambio para calcular las tensiones en ejes locales. Para este problema el proceso es más simple: σστ
12
12 90
100 9914687
0
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=−
⋅
o
.. Nx
σ σ τ σ σ12
22
122
1 2 12X Y S X
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+ + −
⋅=
− + − ⋅ =⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
100 991500
2 1468740
2 100 99 1468715002
12
. . . .Nx
Nx = 0 272. MN⋅m-1
La primera lámina que se rompe es la lámina a 90º. El esfuerzo de rotura de primera lámina es: Nx = 0.272 MN⋅m-1 Para calcular el esfuerzo Nx de rotura de última lámina se resuelve de nuevo el problema considerando que ahora el laminado sólo tiene tres láminas a 0º. La nueva matriz de rigidez plana es:
[ ]A =⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
6818 109 0109 388 0
0 0 2 69
. .. .
. MN⋅m-1
Operando igual que para el laminado intacto:
26
[ ]Nx
Axo
yo
xyo
00
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
= ⋅
ε
ε
γ
ε x Nx= ⋅ − ⋅1473 10 2.
ε y Nx= − ⋅ − ⋅4139 10 3.
Ahora sólo hay láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε
00oo= ⋅ ⋅Q o
σστ
xy
xy
Nx
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= − ⋅
0
26660122
0o
.
Aplicando Tsai-Hill. 26661500
2 012240
2 2666 012215002
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ − ⋅ =. .Nx
Nx = 0563. MN⋅m-1
b) 1. Las deformaciones no mecánicas de las láminas son:
ei i T i C= ⋅ + ⋅α β∆ Donde:
• α es el coeficiente de dilatación térmico • β es el coeficiente de humedad • ∆T = Tservicio - Tcurado
• Para las láminas a 0º. e1 = - 2⋅10-6 e2 = 3.75⋅10-3 • Para las láminas a 90º. ex = 3.75⋅10-3 ey = -2⋅10-6
27
2. Esfuerzos sobre el laminado. Las tensiones que actúan sobre una lámina se puede relacionar con las deformaciones mecánicas mediante la matriz de rigidez de la lámina. { } [ ] { }σ ε= ⋅ ⋅Q m Las deformaciones totales que actúan sobre una lámina son suma de las mecánicas y de las higrotérmicas. { } { } { }ε εo m e= + ⋅ Por lo tanto:
{ } [ ] { } { }σ ε= ⋅ −⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
Q o e
Integrando a lo largo del espesor se pueden determinar los esfuerzos que actúan sobre todo el laminado.
{ } [ ] { } { }N A o N T= ⋅ −ε Donde:
{ } [ ] { } [ ] { } [ ] { }( )N T Q e dz h Q e Q e= ⋅ ⋅ = ⋅∫ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅3 0 0 90 90º º º º
NxN yNxy
T⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅ −8 791587
010 3
.. MN⋅m-1
En este caso no existen esfuerzos mecánicos actuando sobre el laminado:
8 791587
010 3
69 47 145 0145 26 61 0
0 0 358
..
. .. .
.
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⋅ − = ⋅
ε
ε
γ
xo
yo
xyo
28
3. Deformaciones totales sobre el laminado. Resolviendo el sistema anterior se calculan las deformaciones del laminado.
ε
ε
γ
xo
yo
xyo
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= ⋅ −11425902
010 4
.
.
Esta deformación es la misma para todas las láminas:: 4. Deformaciones mecánicas en cada lámina.
{ } { } { }ε εm o e= − ⋅
• Láminas a 0º.
ε
ε
γ
xm
ym
xym
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= − ⋅ −
0
11623160
010 4
o
..
• Láminas a 90º.
ε
ε
γ
xm
ym
xym
⎧
⎨
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=−
⋅ −
90
36 355922
010 4
o
..
5. Aplicando la matriz de rigidez en cada lámina se pueden calcular las tensiones. • Láminas a 0º. { } [ ] { }σ ε0 0 0o o o= ⋅Q m
σστ
xy
xy
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
= −
0
119632 37
0o
.. MPa
29
• Láminas a 90º. { } [ ] { }σ ε90 90 90o o o= ⋅Q m
σστ
xy
xy
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=−
90
35909712
0o
.. MPa
Se puede comprobar que el esfuerzo mecánico que actúa sobre el laminado es nulo : { } { } { }( )N h= ⋅ ⋅ + =3 0 90 0σ σo o
30
Sea el laminado definido por:
Lámina Espesor ( m )
E1 ( MPa )
E2 ( MPa )
ν21 G12 ( MPa )
1 0.001 50000 15000 0.25 8000 2 0.050 200 200 0.40 70 3 0.001 50000 15000 0.25 8000
1.- Sabiendo que el tensor de tensiones es:
CARA SUPERIOR. CARA INFERIOR
[ ] ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=σ
20060 MPa [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
−=σ
20020 MPa
Determinar:
a) La matriz de rigidez del laminado.
b) Los vectores de deformaciones y curvaturas.
c) El estado de carga al que está sometido el laminado.
2.- Se elimina ahora la lámina central y se somete al laminado
así construido al estado de carga calculado en el apartado
1.c). Determinar:
a) La nueva matriz de rigidez
b) Los vectores de deformaciones y curvaturas.
-------------------------------------------------------------------------------
-
31
1.- a). Primero se calculan los coeficientes que faltan:
1E2E
2112 ⋅ν=ν
Lámina ν12
1 0.075 2 0.400 3 0.075
2. Matrices de rigidez de cada lámina: LAMINA 1 y 3
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
800000062.1528666.3821066.382141.50995
Q MPa
LAMINA 2
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
7000010.23824.95024.9510.238
Q MPa
LAMINA Zi
( m ) Zi-1
( m ) hi
( m ) ∆i
2 ( m2 )
∆i3
( m3 ) 1 0.026 0.025 0.001 25.5⋅10-6 6.5⋅10-7 2 0.025 -0.025 0.050 0 1.04⋅10-5
3 -0.025 -0.026 0.001 -25.5⋅10-6 6.5⋅10-7 Donde :
2
21iZ2
iZ2i
−−=∆
3
31iZ3
iZ3i
−−=∆
MATRIZ A.
32
[ ] [ ]∑ ⋅= ihiQA
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
50.1900048.4240.12040.1282.113
A MN/m
MATRIZ B Por ser laminado simétrico esta matriz es nula. MATRIZ D [ ] [ ] 3
iiQD ∆⋅∑=
[ ] 31013.1100
035.2296.5096.572.68
D −⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ MN
b) Conocemos la tensión en la lámina superior y en la inferior. Colocando el origen de los ejes en el punto medio del laminado. En z = 0.026 (lamina 1 )
{ } [ ] { }supQ02
60ε⋅==σ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Como se conoce la matriz de rigidez de esa lámina se puede obtener la deformación en la lámina superior.
{ } 3100166.0
189.1
sup−⋅−=ε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
En z = -0.026 (lamina 3 )
33
{ } [ ] { }infQ02
20ε⋅=−=σ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Como se conoce la matriz de rigidez de esa lámina se puede obtener la deformación en la lámina inferior.
{ } 3100233.0
410.0
inf−⋅−=ε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Como la distribución de deformaciones es lineal a lo largo del espesor. { } { } { }kzo ⋅+ε=ε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅+
γ
ε
ε
=−⋅−
xykykxk
026.0
oxy
oy
ox
3100166.0
189.1
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅−
γ
ε
ε
=−⋅−
xykykxk
026.0
oxy
oy
ox
3100233.0
410.0
De donde:
3100
2.08.0
oxy
oy
ox
−⋅−=
γ
ε
ε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
310
030.198.14
xykykxk
−⋅=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1/m
c) { } [ ] { }oAN ε⋅=
34
{ } [ ] { }kDM ⋅=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
=0001.0089.0
xyNyNxN
MN/m 3100118.003.1
xyMyMxM
−⋅=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
MN 2.- a) MATRIZ A
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
160006.3064.7064.7102
A MN/m
MATRIZ D
[ ] 31033.50002.1055.2055.234
D −⋅=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ MN
b)
3100
17.088.0
oxy
oy
ox
−⋅−=
γ
ε
ε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
310006.424.30
xykykxk
−⋅=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
1/m
35
Se considera una placa sandwich con la siguiente
composición:
Lámina espesor
(mm)
E1
(MPa)
E2
(MPa)
ν21 G12
(MPa)
1 0.5 48000 25000 0.22 2500
2 9.0 350 350 0.48 118
3 0.5 48000 25000 0.22 2500
a) Determinar la máxima carga de tracción que soportaría la
placa de la figura de acuerdo con el criterio de Tsai-Hill y
suponiendo que la resistencia vendrá definida por las láminas
extremas. (Figura 1)
b) Repetir el apartado anterior para el caso de un momento
flector en la dirección 1. (Figura 2)
N1
N1
M 1
M 1 Figura 1 Figura 2
Datos: (Láminas 1 y 3)
X = 1100 MPa
Y = 800 MPa
S = 80 MPa
36
a) 1. Cálculo de las matrices de rigidez de cada lámina.
[ ] [ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
25000002564756420564249241
1Q3Q MPa
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
1180004552180218455
2Q MPa
2. Cálculo de la matriz de rigidez plana del laminado.
{ } [ ] { }⋅ε⋅= oAN [ ] [ ]∑ ⋅=
iihiQA
En este caso: [ ] [ ] [ ]2Q2h1Q1h2A ⋅+⋅⋅=
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
56.300074.2960.7060.734.53
A MN⋅m-1
3. Cálculo de los esfuerzos en el plano.
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
γεε
⋅=
1221
56.300074.2960.7060.734.53
001N
1N210946.11 ⋅−⋅=ε
1N310972.42 ⋅−⋅−=ε
Se calculan ahora las tensiones en cada placa:
{ } [ ] { }⋅ε⋅=σ 1Q
37
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅−⋅−
⋅−⋅
⋅=τσσ
01N310972.4
1N210946.1
25000002564756420564249241
1221
1N0
72.1718.930
1221
⋅−=τσσ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Aplicando el criterio de Tsai-Hill.
121100
1N72.171N18.9302
8001N72.17
2
11001N18.930
=⋅⋅⋅
+⋅
+⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
N1 = 1.17 MN⋅m-1
b) 1. Ahora se debe calcular la matriz de rigidez en flexión del laminado.
{ } [ ] { }⋅⋅= kDM
[ ] [ ] ( )⋅−−⋅∑⋅= 31iz3
izii
Q3
1D
Se colocan uno ejes en el centro del laminado. En estos ejes:
Lámina 103⋅zi ( m )
103⋅zi-1 ( m )
108⋅(zi3 - zi-1
3 ) ( m3 )
1 5 4.5 3.39 2 4.5 -4.5 18.23 3 -4.5 -5 3.39
La matriz queda:
[ ]⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
6.6300060714101411140
D N
2. Cálculo de los esfuerzos en flexión.
38
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⋅=
12k2k1k
6.6300060714101411140
001M
K1 = 9.03·10-4·M1 K2 = -2.097·10-4·M1
El campo de deformaciones es:
{ } { }ε = ⋅ ⋅z k En las placas: z = 0.005 m
1M6100049.1
515.4
1221
⋅−⋅−=γεε
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Las tensiones serán: { } [ ] { }⋅ε⋅=σ 1Q
1M0
310430.1
510164.2
1221
⋅⋅−⋅
=σσσ
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
Aplicando de nuevo el criterio de Tsai-Hill.
( ) 21M
126101100
310430.1510164.22
610800
310430.12
6101100
510164.2=
⋅
⋅⋅⋅+
⋅
⋅+
⋅
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
M1 5066 10 3= ⋅ −. MN
39
Un tubo de 40 cm de diámetro está formado por un laminado simétrico cuyas láminas tienen todas el mismo espesor, 0.1 mm, y la misma naturaleza, salvo que la mitad están orientadas a 30º respecto al eje del tubo y la otra mitad a -30º. Sabiendo que la deformación longitudinal del tubo está impedida, determinar la presión interior que producirá la rotura del tubo de acuerdo con el criterio de Tsai-Hill.
DATOS: E1 = 50000 MPa X = 800 MPa E2 = 3000 MPa Y = 150 MPa G12 = 2000 MPa S = 100 MPa ν21 = 0.32 ------------------------------------------------------------------------------------------ 1. El estado de deformaciones en el tubo es:
{ }ε ε=⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
0
0
Este estado es el mismo en todo el laminado. El circulo de Mohr en deformaciones es:
P x yε
ε ε ε=+
=2 2
q x yε
ε ε ε=−
= −2 2
R qx xyε ε ε= + =22
2 •θ πo =
2·θo
( εy ,εxy ) = ( ε , 0 )
( εx ,εxy ) = ( 0 , 0 )
40
2. Se calculan las deformaciones en los ejes materiales. Para las láminas a 30º: ( 2·α = 60º)
2 2 2 180 60 240• • • ºθ θ α= + = + =o
ε ε1
14
= •
ε ε234
= •
ε ε123
4= •
Para las láminas a -30º: ( 2·α = -60º)
2 2 2 180 60 120• • • ºθ θ α= + = − =o
ε ε1
14
= •
ε ε234
= •
ε ε123
4= − •
3. Tensiones en ejes materiales. En los ejes materiales se pueden calcular las tensiones a partir de las deformaciones utilizando la matriz constitutiva de cada lámina.
σστ
ν ννν ν
νν ν ν ν
εεγ
12
12
11 12 21
21 21 12 21
0
12 11 12 21
21 12 21
0
0 0 12
1212
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=
− −
− −
E E
E E
G
••
••• •
•
( εy ,εxy ) = ( ε , 0 )
2·θo( εx ,εxy ) = ( 0 , 0 )
60º
( εy ,εxy ) = ( ε , 0 )
2·θo
( εx ,εxy ) = ( 0 , 0 )
60º
41
σστ
ε
ε
ε
12
12
5030910 96593 096593 301855 0
0 0 2000
1434
32
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=
±
. .. . •
•
•
•
σστ
ε12
12
1330125051732
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
=±
•
La tensión positiva corresponde a las fibras a 30º y la negativa a las fibras a -30º. 4. Tensiones de las láminas en ejes globales. Para las fibras a 30º p = 7903·ε q = 5398·ε R = 5669·ε 2·θo = -18.47º
Girando 30º (60º en el círculo de Mohr) en sentido horario se pueden calcular las tensiones en ejes globales. 2 2 2 18 47 60 78 47• • • . . ºθ θ α= + = − − = −o
σ εσ ετ ε
xyxy
==
=
903667695554
•••
( σy ,σxy ) = ( 2505·ε , 1732·ε
2·θo
( σx ,σxy ) = ( 13301·ε , -1732·ε
60º
42
Para las fibras a -30º p = 7903·ε q = 5398·ε
R = 5669·ε 2·θo = 18.47º Girando 30º (60º en el
círculo de Mohr) en sentido antihorario se pueden calcular las tensiones en ejes globales. 2 2 2 18 47 60 78 47• • • . . ºθ θ α= + = + = +o σ εσ ετ ε
xyxy
==
= −
90366769
5554
••
•
5. Tensiones en el laminado. Integrando a lo largo del espesor. { } { }N dz= ∫ σ • { } { } { } { }N i hii
n h n h= =∑ + −σ σ σ• º • • º • •30 30
Donde h es el espesor de una lámina y 2·n el número total de láminas. Definiendo una tensión media en el laminado:
{ } { }σ M Nn h
=2 • •
( σy ,σxy ) = ( 2505·ε , -
2·θo
( σx ,σxy ) = ( 13301·ε , 1732·ε
60º
43
{ }σεεM =
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
90366707
0
••
6. Relación entre presión interna y tensión media en el laminado. Cortando el tubo por la mitad: Planteando el equilibrio de fuerzas: P D y n h• • • • •= 2 2σ Donde 2·n·h es el espesor total del laminado.
P y n hD
n yP n
= =
=
40 001
6 769
• • •. • •
. • •
σσ
ε
7. Aplicando el criterio de Tsai-Hill. σ σ τ σ σ1
22
212
21 2
2 1X Y S X
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟+ + − =
•
13301800
2 2505150
2 1732100
2 13301 25058002
12
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
+ + − =•ε
De donde se puede calcular la deformación. ε = −35283 10 2. • Como ya se conoce la relación entre la presión y la deformación: P=0.119·n MPa
p σ σ
