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MATEMÁTICAS II

Tema XIIIAplicaciones de derivadas

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APLICACIONES

• Intervalos de crecimiento y decrecimiento de una función.

• Extremos relativos.• Problemas de optimización.• Curvatura y puntos de inflexión de una función.• Estudio del dominio, de los puntos de corte, de las

regiones de existencia, de la simetría, periodicidad y asíntotas de una función.

• Representación gráfica de algunos tipos de funciones.

• EJERCICIOS DEL LIBRO• PROBLEMAS DEL LIBRO

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APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

TEMA 8.1 * 2º BCS

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DOMINIO Y RECORRIDO

• DOMINIO de f(x):

• Todos los valores de x para los que existe la función.• Se denota por Dom f(x) = ...• En las funciones polinómicas el dominio es R.• En las funciones racionales el dominio es R – [a, b, c, ...], siendo a, b, c, ..

los puntos de asíntotas verticales.•• RECORRIDO de f(x):

• Todos los valores que puede tomar f(x).• Se denota por Img f(x) = ...• En las funciones lineales el recorrido es R.• En las funciones cuadráticas el recorrido es (-oo, yv] ó (yv , oo), según sea

convexa o cóncava.• En las funciones cúbicas el recorrido es R.

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CORTES CON LOS EJES

• Corte con el eje OY:• x = 0 y = f (0) Pc ( 0, f(0) )

• Corte con el eje OX:• f(x) = 0 xi = Raíces de la función f(x)•• Si una función presenta cortes con el eje OX en los

puntos x=a, x=b, x= c, etc , se establecen zonas o regiones donde el signo de la función es el mismo:

• (- oo, a) , (a, b) , (b, c) , (c, ...) , …, ( k, +oo)

• Si una función es positiva / negativa en un punto xo c (a, b) , siendo a y b puntos de corte con el eje OX, la función será positiva / negativa en todos los puntos del intervalo ( a, b ).

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SIMETRÍAS

• Una función f es simétrica respecto al eje OY si se cumple:• f(x) = f( - x)• Diremos entonces que presenta una simetría PAR.

• Una función f es simétrica respecto al origen (0, 0) si se cumple:• f(x) = - f( - x)• Diremos entonces que presenta una simetría IMPAR.

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• Una función f se dice que es periódica y de periodo P si cumple estas tres condiciones:

• * Si x ε Dom f(x) (x+P) ε Dom f(x)• * f(x) = f(x+P)• * P es el menor número real que cumple las

anteriores condiciones.

PERIODICIDAD

P P

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• Una función f es CRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) < f(x2)

• Una función f es DECRECIENTE en el intervalo (a, b) si para todos los pares de puntos x1, x2 c (a, b), tales que x1 < x2 , se cumple que f(x1) > f(x2)

• Una función f es CRECIENTE / DECRECIENTE en un punto xo c (a, b) si y sólo so existe un entorno simétrico de xo en el cual la función es CRECIENTE / DECRECIENTE.

•• TEOREMA

• Sea f una función definida en ( a, b) y xo c (a, b).• Entonces:• Si f ‘ (xo) > 0 la función es estrictamente CRECIENTE en xo.• Si f ‘ (xo) < 0 la función es estrictamente DECRECIENTE en xo.

MONOTONÍA

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• Una función f tiene un máximo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) < f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno.

• Una función f tiene un mínimo relativo en x=xo si existe un entorno reducido de xo de forma que f(x) > f(xo) para todo x perteneciente a dicho entorno.

• TEOREMA

• Si f tiene un extremo relativo en x=xo y existe f ‘(x), entonces f ‘ (x) = 0

• Sea f una función definida en (a, b) y con derivada segunda en este intervalo y sea xo c (a, b) tal que f ‘ (xo) = 0

• Si f ”(xo) > 0, entonces f tiene en xo un MÍNIMO RELATIVO.

• Si f ”(xo) < 0, entonces f tiene en xo un MÁXIMO RELATIVO.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

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CURVATURA

• Sea f una función que tiene al menos segunda derivada. En ese caso:

• Si f “ (x) < 0, para todo x c ( a, b) f es CONVEXA en (a, b)• Si f “ (x) > 0, para todo x c ( a, b) f es CÓNCAVA en (a, b)• Si una función f presenta en x=xo una segunda derivada nula, f “

(xo) = 0, entonces en dicho punto la función no es ni cóncava ni convexa.

Cóncava

Cóncava

Convexa

PI

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• Una función continua f tiene un PUNTO DE INFLEXIÓN en x= xo , si en ese punto la función cambia su curvatura, es decir si pasa de cóncava a convexa o viceversa.

• Si f presenta un punto de inflexión en x=xo f “ (xo) = 0

• Pero si se cumple que f “(xo) = 0, no siempre en x= xo hay un P.I.

• TEOREMA

• Dada una función f y un punto xo perteneciente a su dominio, si se verifica que f “(xo) = 0 y f ‘’‘ (xo) <> 0 , entonces f posee en x=xo un PUNTO DE INFLEXIÓN.

PUNTOS DE INFLEXIÓN

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• La recta x = a es una asíntota vertical de la función f si:

• Lím f(x) = ± oo• x a

• La recta y = b es una asíntota horizontal de la función f si:

• Lím f(x) = b• x ± oo

• La recta y = m.x + n es una asíntota oblicua de la función f si:

• f(x)• Lím ------ = m y Lím [ f(x) – m.x ] = n• x ± oo x x± oo

ASÍNTOTAS

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