1 OBJETIVOS: Especficos: 1.ConocerlaDefinicindeDerivadasParcialesysusaplicacionesenentornosdelavida cotidiana con nfasis en matemticas de Ingeniera. 2.Facilitar la utilizacin de Derivadas Parcialesen problemas matemticos de ms de una variable para problemas de Ingeniera. Generales: 1.ComprenderelusogeneraldelasDerivadasParcialesysuformadeaplicacinen procesosmatemticosconfuncionescambiantesdemsdeunavariable,yasean problemas lineales o no-lineales de Ingeniera. 2.Determinar y entender el uso del concepto bsico de Derivadas Parciales y su utilizacin comoherramientafacilitadoraenlasolucindeproblemasquerequierenunnivel matemticoenelqueseinvolucranfuncionesdemsdeunavariableconprocesos especiales en las que tambin se pueden manejar con constantes.

2 INTRODUCCIN: ElsiguientetrabajobibliogrficoreneunamuestrageneraldelaDefinicindeDerivadas Parciales,suaplicacin,suInterpretacinGeomtricaylaalusindelusodeDerivadas Parcialesdeunafuncindedos,tresonvariablesenalgunoscasosmatemticosde ingeniera. Las Derivadas Parciales son utilizadas en ingeniera para determinar la velocidad o el ritmo decambiodeunafuncindevariasvariablesrespectoaunadesusvariables independientes,esdecir,laderivadadeunafuncindedosvariables,midelarapidezde cambiodeunadeellasllamadavariabledependienteenrelacinconladenominada variable independiente. Podemos adelantara que las derivadas parciales son tiles para al anlisisrealmulti-variabledevectoresendosomsdimensiones(calculovectorial).y geometraconlosnmerosreales,losvectores,susfunciones,ademsdelosnmeros complejos; que en este trabajo preferimos no tocar (geometra diferencial). PararesolverproblemadeDerivadasParcialesutilizaremoslastcnicasbsicasde Derivacin,tcnicasalgebraicasyotrosmecanismosmatemticosquefacilitanla resolucin de cualquier ejercicio, sin mencionar que se tendrn que hacer recordatorios de matemtica iniciales. Paraelmejordesempeoenlarealizacindeestetipodeproblemasserecomienda practicar constantemente con ejercicios aumentando gradualmente la dificultad y realizar. 3 Definicin formal de Derivada Parcial: Las derivadas parciales estn definidas como el lmite dondees un subconjunto abierto deyunafuncin.Definimosderivadaparcialdeenelpunto con respecto a la i-sima variable como: Cuandotodas lasderivadasparcialesexistenenelpunto, la funcinnonecesariamente es continua en ese punto. Sin embargo, si todas las derivadas parciales existen alrededor de ysoncontinuas,entonceslafuncinademsdesercontinuaesdiferenciablecuando tiende a. En este caso,es una funcin Concepto de Derivada Parcial: Cuando sea una funcin de dos variables y , y si hacemos variar nicamente a ,cuandopermanezcafija,enejemplo,dondeesunaconstas.Entonces vemosunafuncindeunasolavariable,queenestecasosera,resumiendo: ).Cuandogtengaderivadaen,laderivadadeenestasituacines denominada derivada parcial de con respecto a en y se denota porVeamos: E1: Por la definicin de una derivada, tendramos: = 4 Y, por lo tanto, la E1 (ecuacin 1) se convierte en: E2: Cuando la derivada parcial de f es con respecto a y en denotada por, se obtiene dejando x fijay calculando la derivada ordinaria en k de la funcin E3: Al variar el punto en E2 y E3, fx y fy se transforman en funciones de dos variables. E4: Si f es una funcin de dos variables, sus derivadas parciales son las funciones fx y fy definidas por: Apartedeestasnotacionesquehemosvisto,hayotrasmsparaderivadasparciales.Por ejemplo,cambiandoporo(para indicarderivacinconrespectoalaprimera variable) o tambin podemos ver para referirse a las derivadas parciales. Veamos mayor detalle en el siguiente cuadro:5 Para calcular derivadas parciales, todo lo que tenemos que hacer es recordar de la E1 que la derivada parcial con respecto a, es precisamente la derivada ordinaria de la funcin de unasolavariablequeobtenemosalconservarfija.Entoncesparacalcularderivadas obtenemos la siguiente regla: 1.Para hallar, considere y como constante y derive con respecto a. 2.Para hallar, considere x como constante y derive con respecto a. Ejemplo 1: Hallar y evaluar las derivadas parciales. Si, encuentre y Solucin: conservando constante y derivando con respecto a, tenemos: Ahora, conservando constante y derivando con respeto a, obtenemos: 6 Ejemplo 2: Hallar y evaluar las derivadas parciales. Si, encuentre y , y evaluar cada una en el punto Solucin: conservando constante y derivando con respecto a, tenemos: Ahora, conservando constante y derivando con respeto a, obtenemos: Lasderivadasparcialesdeunafuncindedosvariables,tienenuna interpretacingeomtricaquemsadelanteprofundizamos,peroenesteejemplo;Si ,entoncesrepresentanlacurvainterseccindelasuperficie con el plano, como se muestra en la figura a continuacin: Interpretacin geomtrica de las Derivadas Parciales: Cuandosetratadefuncionesdeunasolavariable,laderivadadeproporcionala pendientedelarectatangentealgraficodeDelamismamanera,ssetienela 7 funcindedosvariablesladerivadaparcialdalapendientedeunarecta tangente a la superficie Cuandosetienelafuncinyseconsideraayconstante,esdecir, entonces la derivada parcial de Z respecto a x proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano Por otra parte, si la que se considera constante es x, es decir, entonces la derivada parcial de Z respecto a y proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el planoIlustracin 1 La derivada parcial de f respecto a x, evaluada en da la pendiente de la recta tangente T1, en el punto P1. O sea que: La ecuacin de la recta tangente T1 se puede escribir, entonces, de la siguiente manera: Ilustracin 2 8 La derivada parcial de f respecto a y evaluada en da la pendiente de la recta tangente T2, en el punto P2. Es decir:

La ecuacin de la recta tangente T2 se puede escribir como: Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano y=1, en el punto (1, 1, 2) 9 Solucin: Ejemplo: Encontrar la pendiente de la recta tangente a la curva de interseccin de la superficie con el plano, en el punto (2, 1, 10). Solucin: Al evaluar en (2, 1), se tiene que la pendiente La ecuacin de la recta tangente resulta ser: 10 Derivadas parciales de una funcin de tres o ms variables: Elconceptodederivadaparcialpuedeextendersedemaneranaturalafuncionesdetres o ms variables. Por ejemplo, si existen tres derivadas parciales. Para definir la derivadaparcialdekconrespectoa,seconsideranyconstantesysederivacon respecto a. Para hallar las derivadas parciales de con respecto a y con respecto a se usa el mismo proceso. En general, si hay derivadas parciales denotadas por: Ejemplo: Hallar las derivadas parciales. a)Parahallarladerivadaparcialdeconrespectoa,se considerany constantes y se obtiene: b)Parahallarladerivadaparcialdeconrespectoa,se considerany constantes. Entonces, usando la regla del producto, se obtiene: 11 c)Paracalcularladerivadaparcialdeconrespectoa,se consideran, y constantes y se obtiene. Derivadas parciales de orden superior: Lasderivadasparcialesdelafuncinpuedenser,asuvez,derivadasyse obtienen, entonces, las derivadas parciales de 2 orden. La derivada parcial decon respecto a se denota as: Si se tiene que las derivadas parciales de 2 orden se denotan de la siguientemanera: 12 Ejemplo:Para parciales.Solucin:

Podemos observar que esto se cumplir siempre que las derivadas parciales de segundo orden sean continuas. Ejemplo: Calcular las segundas derivadas parciales de Solucin: Ejemplo: Para la funcinhallar 13 Regla De La Cadena: En varias ocasiones una funcin lo es de dos o ms variables, las cuales a su vez dependen deunaterceravariable.Paraencontrarlarazndecambiodelafuncinrespectoaesta ultimavariable,seutilizalaregladelacadena.Porejemplo,laproduccindeunafbrica depende del capital invertido y del tamao de la fuerza de trabajo, pero ambos se modifican en el tiempo. Por esta razn, la produccin depende, en ltima instancia, del tiempo. Sisetienelafuncindedosvariablesdetalmaneraqueson,suvez, funciones que dependen de la variable, entonces la derivada derespecto a t se obtiene de la manera siguiente: Ejemplo:S,donde,hacerusodelaregladelacadena para encontrar. Solucin:

14 Ejemplo: Sea Encontrar Solucin: Ejemplo:Un supermercadovendecafmolidoaxcoloneslalibraycafgranuladoaycolonesla libra. Actualmente la demanda mensual de caf molido es: Libras -Dentro demeses, el supermercado vender la libra de caf molido a: Colones - el caf granulado a: Colones A qu ritmo estar cambiando la demanda del caf molido dentro de 9 meses? Solucin: Para se tiene 15 Por lo tanto, al sustituir valores resulta: Derivacin Implcita: Sea una ecuacin que define a y como funcin implcita deAl usar la regla de la cadena, para derivar con respecto a, se tiene: Al despejar resulta: Si define implcitamente acomo funcin de, al derivarrespecto a (y constante) 16 De la misma manera:

Ejemplo: Si EncontrarSolucin: Ecuaciones diferenciales en Derivadas Parciales: oEcuaciones lineales 17 Veamos ecuaciones lineales en dos variables: Endondesonfuncionesdey.Cuando,sedicequela ecuacin es homognea; contrariamente estamos con ecuaciones no homogneas. oSolucin por integracin Cuandoseintegraunaderivadaparcialapareceunafuncinarbitrariaenlugardeuna constante de integracin. Por ejemplo, la solucin de es donde es una funcindiferenciable(admitederivadasparcialesencualquierdireccinypuede aproximarse al menos hasta primer orden por una aplicacin afn). Ejemplo: Resolver: Solucin:resolvemoslaecuacincomoloharamosparaunaecuacindiferencialno homognea lineal de segundo orden, esto es, primero resolver en este caso: Tratando a y como constante, tenemos que: Paraencontrarunasolucinparticularusamoscoeficientesindeterminadosysuponemos que: 18 Sustituyendo esta ltima funcin en la ecuacin dada, resulta: Y por tanto, Luego, una solucin de la ecuacin es: oSeparacin de variables Enderivadasparcialeslinealhomognea,esposibleobtenersolucionesparticularesen forma de producto. El uso del producto, llamado mtodo de separacin de variables, permite reducir la ecuacin diferencialenderivadasparcialesavariasecuacionesdiferencialesordinaria.Coneste propsito, hacemos notar que: Y En donde las primeras indican diferenciales ordinarias.Ejemplo: Hallar soluciones en forma de producto de la ecuacin: Solucin: Si entonces se transforma en:19 Despus de dividir ambos miembros entre, se logra separar las variables: Puestoqueelladoizquierdodeestaecuacinesindependientedeyesidnticoalado derecho, el cual es independiente de, concluimos que ambos miembros deben ser iguales aunaconstante.Enlaprcticaenconvenienteescribirestaconstanterealcomo Distinguimos los casos siguientes. 20 oPrincipios de superposicin. Sisonsolucionesdeecuacindiferencialparciallinealhomognea,entonces la combinacin lineal Donde losson constantes, tambin es una solucin. AltenerunconjuntoinfinitoDesolucionesdeunafuncinlinealhomognea, aun se tiene otra solucin u formando la serie infinita. 21 Aplicaciones ms comunes de las Derivadas Parciales: oProductividad Marginal La productividad de cierto artculo que fabrica una empresa se relaciona principalmente con dos factores: el monto del capital invertido y la mano de obra empleada en la fabricacin del artculo. Sean: la produccin total del artculo (nmero de unidades/unidad de tiempo). el monto del capital invertido en la planta productiva ($). elnmerodeunidadesdemanodeobra(enhoras-hombreoen$porsalarios pagados). Seestableceentoncesunafuncindedosvariables:llamadafuncinde produccin,dondeysonlosinsumosdeproduccin,comoporejemplo: 2 2( ; ) 8 4 3 2 Q KL L K LK L K = + + Productividad marginal del capital: Es la derivada parcial decon respecto a, es decir QKcc,ysignificaelincrementoenlaproduccindebido,alincrementodeunaunidadde capital invertido en la planta productiva, manteniendo fija la inversin en mano de obra. Productividadmarginaldelamanodeobra:EsladerivadaparcialdeconrespectoaL, QLcc, y significa el incremento en la produccin debido al incremento de una unidad de mano de obra, manteniendo fija la inversin del capital de la planta productiva. Ejemplo:Paralafuncin 2 2( ; ) 8 4 3 2 Q KL L K LK L K = + + ,calcularlasproductividades marginales del capital y de la mano de obra para y 22 Solucin: 4 3 4 4 3(3) 4(5) 4 9 20 7QL KKc= + = + = + = c unidades / unidad adicional de capital. 8 3 2 8 3(5) 2(3) 8 15 6 17QK LLc= + = + = + =c unidades / unidad adicional de mano de obra. Funcin de produccin de Cobb Douglass: Es una funcin de la forma( , )a bQKL cL K = , donde a, b y c son constantes positivas y se cumple que:1 a b += Ejemplo:0.6 0.4( , ) 30 QKL K L = ,calcularlasproductividadesmarginalesdelcapitalydelamano de obra para y. Solucin: 0.4 0.40.40.4 0.4 0.4 0.40.43530 (0.6) 18 18 18 18 8.63220Q L LL K L KK K K | | c | | | |= = = = = = |||c\ . \ .\ .

unidades / unidad adicional de capital. 0.6 0.60.60.6 0.6 0.6 0.60.622030 (0.4) 12 12 12 12 36.1635Q K Kk L K LL L L | | c | | | |= = = = = = |||c\ . \ .\ .

unidades / unidad adicional de mano de obra. Demandas marginales Ciertos productos en el mercado se relacionan entre s, de tal manera que al variar el precio de uno de ellos se afecta la demanda del otro. 23 Sean 1p , 2p lospreciosunitariosdelosartculosy 1x , 2x susdemandasrespectivas. Entonces 1 1 2( , ) x f p p = y 2 1 2( , ) x f p p = sonsusecuacionesdedemanda.Deestasecuaciones se pueden obtener cuatro derivadas parciales: 11xpcc, 12xpcc, 21xpcc, 22xpcc. Demanda marginal del artculo 1, con respecto a su precio: Es la derivada parcial 11xpcc. Demanda marginal del artculo 1, con respecto al precio del 2: Es la derivada parcial 12xpcc. Las definiciones son similares para las otras dos derivadas parciales. En lo general las derivadas parciales 11xpcc y 22xpcc son negativas, porque al aumentar su precio disminuyesudemanda.Sinembargolasderivadasparciales 12xpccy 21xpcc,quesellaman demandasmarginalescruzadas,puedenserpositivasonegativasdependiendodela interaccindelosproductos.Porejemploalaumentarelpreciodelacarnedecerdo,sin cambiar el precio de la carne de res, la demanda de carne de cerdo baja y se incrementa la demandadelacarnederes.Asmismosiseincrementaelpreciodelacarnederes,sin cambiar el precio de la carne de cerdo, la demanda de carne de res baja y se incrementa la demanda de la carne de cerdo; aqu 120xpc>c y 210xpc>c. Sin embargo, por ejemplo, al aumentar el precio de las cmaras fotogrficas (no digitales), la demanda de pelcula fotogrfica baja y viceversa; aqu las dos derivadas parciales son negativas, es decir 120xpcc. Artculos complementarios: Cuando 120xpc