Upload
fonsie-quinonez
View
6
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
1
“CÁLCULO I”
Arturo Hidalgo, Manuel Hervás, Ramón Rodríguez, Félix MíguezDpto. Matemática Aplicada y Métodos InformáticosE.T.S.I. Minas.Universidad Politécnica de Madrid
BLOQUE 2º: APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL
Cálculo de áreas de revolución
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
2
b
2
a
S 2 . y. 1 y' dx
ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓNForma explícita: y = f(x)
a b
y = f(x)
Alrededor de OX:Alrededor de OX:
b
2
a
2 . f(x). 1 f '(x) dx
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
3
d2
c
d2
c
S 2 . x. 1 x ' dy
2 . g(y). 1 g'(y) dy
Curva: x = g(y)Alrededor de OY:Alrededor de OY:
entre y = c ; y = d
y=c
y=d
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
4
JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (1) :
Giro alrededor del eje OX
Se considera el tronco de cono de revolución ABCD
(Área lateral)tr.cono= 2.(radio medio). (longitud generatriz)
Integrando en [a,b]:
y = f(x)ds
y1y2
A
B
C
D
dxa b
y ds
b
a
S 2 . y.ds
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
5
JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) :JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (2) :
Giro alrededor del eje OY
Se considera el tronco de cono de revolución ABCD
(Área lateral)tr.cono= 2.(radio medio). (longitud generatriz)
Integrando en [a,b]:
x ds
b
a
S 2 . x.ds
y=c
y=d
xdy
ds CD
A B
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
6
x
y
s
P
Q
(Cuerda PQ)2 = x2 + y2
(Cuerda PQ/ s)2.(s/ x) 2 = + y2 / x2
Hacemos Q P, es decir, x 0:
2 2ds dy
1dx dx
2dy
ds 1 .dxdx
JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) :JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (3) :
Cálculo del diferencial de arco “ds”
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
7
x
y
s
P
Q
(Cuerda PQ)2 = x2 + y2
(Cuerda PQ/ s)2.(s/ y) 2 = + x2 / y2
Hacemos Q P, es decir, y 0:
2 2ds dx
1dy dy
2dx
ds 1 .dydy
JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) :JUSTIFICACIÓN DE LAS FÓRMULAS (4) :
Cálculo del diferencial de arco “ds”
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
8
EJEMPLO:
Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OX, de la parábola: y2=4xentre x = 0, x=2 Solución:
2y 4.x y 2. x
Por simetría respecto OX, consideramos la rama positiva:
b 2
0
2
a
S 2 . . 1 dx 2 .y 2. x.1
y 1 xx
d' .
1y'
xy 2. x 2 1
y'x
1
0
8.S 4 . x 1.dx 3 3 1
3
y 2. x
y 2. x
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
9
EJEMPLO:
Calcular el área de la superficie engendrada por la revolución, alrededor de OY, del arco de curva: x=y3
entre y = 0, y=1 Solución:
12
1 1
0 0
1
0
3
2 4
4
3S 2 . . 1 dy 2 . . 1 .x y
36y
x ' 9. dy
12 . .
y
9.y1 .dy36
2x ' 3.y3x y
3249.
1 2S 2 . . 1 10 10 1
36y
3 27
2 4x ' 9.y
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
10
Área de una superficie de revolución en PARAMÉTRICAS:
0 , 1
xentre t t t t
yy
t
)
)
(t
x(
Alrededor del eje OX:
1
0
t2 2
t
y'(tS 2 . .y( .x '(tt) d) t)
Alrededor del eje OY:
1
0
t2 2
t
y'(tS 2 . .x( .x '(tt) d) t)
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
11
Ejemplo
Calcular el área engendrada por la revolución alrededordel eje OX de la astroide:
2 2 23 3 3x + y = a
Solución:
3
3
x = cos (t)
y = sen (ta )
aì üï ïï ïí ýï ïï ïî þ
.
.Pasamos a paramétricas:
3 3
3 3
a a
a
= cos (t) cos (t) 1
= .cos (t) cos (t) = -1a =
t 0
t
.
p
Þ = Û
- Þ Û
=
Nuevos límites de integración:
a-a
-a
a
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
12
2dx= -3.a.cos (t).sen(t)
dt
2dy= 3.a.sen (t).cos(t)
dt
( )22
22 22
2+ = 9.a cos (t) + sen (t).cdy
dtos (t).sen ( )
t.
x
dt
dæ æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
ö÷ç ÷ç ÷çè ø
22 4 2dx
= 9.a .cos (t).sen (t)dt
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø2
2 2 4dy= 9.a .cos (t).sen (t)
dt
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
22
2 22
dy
dtcos (t).s+ = 9
de
x
dn.
t).a (t
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
13
2
2
3
2
2 2 =sen (t)
.6 . cos(t).s
S = 2 .
en (t).a
a 9.a .cos (t).sen (t)2
dt
0
0
4
2
2.
. .
p
p
p
pé ùê ú= ê úê úë û
ò
ò
1
0
t2 2
t
y'(tS 2 . .y( .x '(tt) d) t)
2 2 2
OX
5. 1
5 22V 6 a . ,1 6 a a
72 52
2.p-1=4 p = 5/22.q-1=1 q = 1
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
14
EJEMPLO:
A)Hallar la superficie de revolución, al girar alrededor de OX,del arco de curva y = a.Ch(x/a) entre x=0, x=2a siendo a>0
B)Hallar la superficie de revolución al girar el mismo arco alrededor de OY
Solución:
A) b
2
a
S 2 . y. 1 y' dx
2a
2
0
x xa aS 2 . a.Ch( ). 1 Sh( ) dx
Si y = a.Ch(x/a) y’ = Sh(x/a)
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
15
Como Ch2(x) - Sh2(x) = 1 1+Sh2(x) = Ch2(x) :
x
a
a
22
0
S 2 . a.Ch ( )dx
de donde se obtiene:
2xa
2a
0
1S 2 a. (Ch( ) 1).dx
2
Operando:
2
2xa
a 2
0
a aS a. Sh( ) x Sh(4) 4
2 2
2x x xa a a
2 2Ch( ) Ch ( ) Sh ( ) Pues:
--Cálculo de Áreas. Rev.-- A. Hidalgo, M.Hervás, R. Rodríguez, F. Míguez
16
B)
d2
OY
c
S 2 . x. 1 f(x)' dx
2a 2a
2
OY OY
0 0
x xa aS 2 . x. 1 Sh( ) dx S 2 . x.Ch( ).dx
u=x du = dxCh(x/a)dx=dv v = a.Sh(x/a)
2a
2a
OY 0x x
a
0
aS 2 . a x.Sh( ) Sh( ).dx
2OYS 2 .a . 2.Sh( ) Ch( ) 12 2