€¦ · Héctor Oltra García Análisis de Achorripsis, Iannis Xenakis - 3 I. INTRODUCCIÓN Xenakis profesionalmente estuvo implicado con tres disciplinas

Héctor Oltra García Análisis de Achorripsis, Iannis Xenakis - 2

ÍNDICE

I. Introducción ............................................................................................................. 3

II. Procedimientos constructivos .................................................................. 4 1. LA MATRIZ ................................................................................................................. 4

1.1. Filas (Las clases tímbricas) .................................................................. 4 1.2. Columnas (El tiempo)............................................................................ 4

Figura 1 Matriz ...................................................................................... 5

2. ORGANIZACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS A NIVEL FORMAL (MACRO-FORMA) ............. 6

2.1. Organización de los acontecimientos en el total de celdas.............. 6 2.2. Distribución de los acontecimientos en las

Columnas de tiempo y en las filas de timbre...................................... 7 2.2.1 En las columnas de tiempo....................................................... 7 2.2.2 En las filas de timbre................................................................. 9

2.3. Configuración definitiva de la matriz .................................................. 12

3. INSTRUMENTACIÓN DE LAS 7 FILAS DE TIMBRE ............................................................ 13

4. ORGANIZACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS A NIVEL DE CELDA (MICRO-FORMA) ............ 14

4.1. Distribución exponencial (tiempo entre notas) .................................. 15

4.1.1. Aplicación práctica ................................................................... 15 Diagrama de valores.................................................................... 17

Análisis de la celda V! ................................................................. 18 4.2. Distribución lineal (intervalo entre notas)........................................... 19

4.2.1. Aplicación práctica ................................................................... 19 4.3. Distribución normal (Glissandi) ........................................................... 19

4.3.1. Aplicación práctica ................................................................... 20

III. Percepción.............................................................................................................. 21

1. LA DENSIDAD............................................................................................................. 21

Figura 2 La Densidad (Transparencia) ....................................................................... 23

IV. Conclusiones........................................................................................................ 24 1. CONCLUSIONES ......................................................................................................... 24 2. NIVEL DE IMPLICACIÓN DEL AUTOR ............................................................................. 24

Bibliografía.............................................................................................................................. 26

Héctor Oltra García


I. INTRODUCCIÓN

Xenakis profesionalmente estuvo implicado con tres disciplinas distintas: Música, arquitectura, y ciencia y matemáticas. En 1976, recibió un "Doctorat d'Etat" de la Sorbonne, por sus contribuciones en estos tres campos. Estudió ingeniería civil en el Politécnico de Atenas y más tarde trabajó en París como ingeniero asistente para Le Corbusier, quien fue tan impresionado por su trabajo que le delegó proyectos arquitectónicos. Él diseñó el Pabellón Phillips en la Exposición Mundial de 1958 en Bruselas. Como compositor, Xenakis estudió extensamente con Olivier Messaien, que lo animó a usar su fondo matemático y de la ingeniería en la composición, y se dedicó enteramente a componer a partir de 1960. Sus trabajos científicos y matemáticos fueron más allá de la ingeniería civil en la teoría cinética de gases, la teoría de probabilidad y la informática. Muchas de sus composiciones fueron puestas en práctica por el empleo de programas del ordenador. En los años 1970, Xenakis inventó el UPIC el sistema que permite al usuario crear diseños gráficos sobre una pastilla y obtenerlos

directamente en sonido. Su última composición “O-Mega” era estrenada en noviembre de 1997 y murió el 4 de febrero de 2001. Achorripsis (del Griego "los motores de sonido"), compuesta entre 1956-57, fue estrenada en Buenos Aires en agosto de 1958 bajo la dirección de Herman Scherchen, quien, hasta su muerte en 1963, defendió la música de Xenakis. El trabajo se interpretó también varias veces en 1959 en Europa provocando, sobre todo, reacciones escandalosas, y a principios de los años 1960 en América bajo la dirección de Gunther Schuller, Lukas Foss y Leonardo Bernstein. Achorripsis tenía un éxito principal durante el primer festival All-Xenakis en la Salle Gaveau en París en 1965, interpretado por el Conjunto de Musique Contemporaine bajo la dirección de Konstantin Simonovitch del cual es la única grabación existente de la pieza. Achorripsis es el segundo trabajo en el cual Xenakis experimentó con métodos estocásticos. Xenakis describe el método para realizar la forma de la pieza “Se parece a un juego de ajedrez para un único jugador que debe seguir las reglas del juego del cual él mismo es el juez” 1. Sus invenciones y música son polémicas. Algunos críticos sugieren que sus escrituras extensas sobre sus propias músicas en la Música Formalizada, lleno de números y ecuaciones complejas, sean intencionadamente obscuras. Xenakis es considerado en algunos círculos como "descuidado" en la práctica de aplicar sus expresiones matemáticas a los apuntes reales en sus partituras. Para verificar que los procedimientos de Xenakis para Achorripsis eran "fieles" a las formulaciones estadísticas, el autor ha examinado dos secciones de la partitura detalladamente y los ha comparado a la propia documentación de Xenakis en la ”Música Formalizada” 1. Los detalles son demasiado largos para presentar aquí, pero las conclusiones serán presentadas en la Sección 2 de este análisis. En la Sección 3, algunos extractos de la partitura serán examinados para ilustrar como a Xenakis "musifica" las distribuciones. Su proceso compositivo podría ser comparado "con una filtración" de datos. Varios ejemplos de sonido de MIDI han estado preparados, como la base para escuchar pruebas. Finalmente, el empleo la velocidad del glissando de la cuerda es examinado como un instrumento de trazar un mapa de potencialmente rico de cantidades vectoriales como la velocidad que tienen tanto magnitud como dirección.

1 Xenakis, Iannis: Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition; serie Harmonologia nº 6. Ed. Pendragon Press; Hillsdale, NY, 2001. ISBN

1576470792


II. PROCEDIMIENTOS CONSTRUCTIVOS En las páginas 29-37 de ”Música Formalizada” 1, Xenakis describe brevemente las técnicas y procedimientos que él empleó para producir Achorripsis. El texto se encuentra dividido en dos secciones principales. La primera sección está dedicada a las complicadas estrategias matemáticas para crear la estructura formal de la pieza (Matriz); la segunda sección (comenzando en "la Hipótesis de Cálculo" en la página 32) trata las complejidades de la utilización de las distribuciones Gaussianas, exponenciales, y uniformes para generar las reglas de que controlen algunos de los otros parámetros de la música (altura, tiempo entre notas, etc...). En la composición de 1975 “Achorripsis”, Xenakis centra en principio su atención en abastecerse del material necesario a base de formulaciones puramente matemáticas antes de empezar a trabajar con elementos puramente musicales. Esto le proporciona contribuciones útiles al problema de “trazar un mapa" para la obra. Concretamente, ”Achorripsis” fue compuesta usando cuatro distribuciones de probabilidad diferentes, aplicada sobre cuatro dominios diferentes de organización, durante los 7 minutos de la pieza: 1. Organización y distribución de los acontecimientos en la Macro-forma (Matriz) 2. El tiempo entre notas sucesivas. 3. El intervalo entre alturas sucesivas. 4. "La velocidad" de los glissandi. Después de realizar todo el planteamiento matemático de la obra, su trabajo se centrará en la interpretación artística de las formulaciones matemáticas en acontecimientos musicales (el tiempo, el espacio, la velocidad del glissando) 1. LA MATRIZ El esquema total, la macro-forma para Achorripsis se muestra en la figura 1, y consiste en una Matriz de 7 filas (eje vertical representando las clases tímbricas de los instrumentos), y 28 columnas (eje horizontal representando el tiempo).

1.1 Filas (Las clases tímbricas) Las clases tímbricas son:

1. Flauta (Flautín, Eb Clarinete, Clarinete de Bajo) 2. Oboe (Oboe, Fagot, Contrafagot) 3. Glissando de cuerdas (Violín, Violonchelo, Contrabajo) 4. Percusión (Xilófono, Caja China, Bombo) 5. Pizzicato (Violín, Violonchelo, Contrabajo) 6. Metales (2 Trompetas, Trombón) 7. Arco (Violín, Violonchelo, Contrabajo)

A cada clase tímbrica se le ha dado un nombre representativo, en cursiva, y los instrumentos entre paréntesis son aquellos que componen cada una de estas clases. En total, hay 21 instrumentistas: Flautín, Oboe, Clarinete en Eb, Clarinete bajo en Bb, Fagot, Contrafagot, 2 Trompetas, Trombón, Xilófono, Caja China, Bombo, y 3 Violines, 3 Violoncelos y 3 Contrabajos.

1.2 Columnas (El tiempo) La longitud total de la pieza es 7 minutos, lo que significa que cada una de las 28 columnas dura 15 segundos. Cada una de las 28 columnas de 15 segundos están pensadas para ser 6.5 compases en total, siendo el compás de 2/2 con la blanca = 52. Así cada compás dura 15/6.5 segundos, y hay 182 compases en la partitura.


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2. ORGANIZACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS MUSICALES A NIVEL FORMAL (MACRO-FORMA)

2.1 Organización de los acontecimientos en el total de celdas En esencia, Achorripsis es un estudio sobre la variación de la densidad del sonido, descritos por Xenakis como "nubes de sonidos". En esta composición, los acontecimientos son definidos por unidades de densidad, tal que un acontecimiento vacío no tiene ningún sonido, un acontecimiento simple es una nube con una densidad particular de sonidos, un acontecimiento doble es una nube con una densidad de sonidos que dobla el del acontecimiento simple, etc... Así, Xenakis escoge cinco posibles rellenos para las celdas de la Matriz. Estos son: “sin acontecimientos”, “acontecimiento simple”, “acontecimiento doble”, “acontecimiento triple” y “acontecimiento cuádruple”. Cada acontecimiento está caracterizado por tener una densidad de notas por compás distinta. A mayor cantidad media de notas por compás, mayor es la densidad del acontecimiento. Xenakis invoca a la distribución formulada por el matemático suizo Siméon Denis Poisson (1781-1840), que es usada principalmente para situaciones en las cuales los acontecimientos son raros y se quiere estimar cuantos casos de un acontecimiento particular ocurrirán en un tiempo o en un espacio dado. Para Achorripsis, Xenakis decidió usar la distribución de Poisson para distribuir las “nubes de sonidos” en la Matriz, para que ocurran durante un período particular de tiempo. Xenakis utiliza la fórmula de Poisson sólo en el proceso para fabricar la plantilla en la cual la música debe ser colocada (Matriz), no siendo utilizada en ningún momento para las notas musicales de la partitura. Xenakis decide como asignar los distintos acontecimientos a las 7 x 28 = 196 celdas de la Matriz. Para hacer esto, comienza considerando que el número medio de acontecimientos por celda sea ++++ = 0,6. La elección de + = 0,6 es arbitraria, se reduce a una opción artística, una elección libre, no matemática. Su única explicación al respecto es que “esta cifra provee la conveniencia en el cálculo". El valor de + es crucial para el resultado de la fórmula de Poisson: representa una aproximación cercana al resultado previsto de la distribución de Poisson. Si el valor de + es pequeño, la mayoría de acontecimientos será rara pero, si el valor de + cambia, entonces la naturaleza de la distribución también cambiará para acomodar la + disminuida o aumentada. En el caso de Achorripsis, dado que el número medio de acontecimientos por celda es 0.6, ¿cuál es la probabilidad de que en cualquier celda hayan 0, 1, 2, 3, 4 o 5 acontecimientos ocurriendo? Esto puede ser estimado usando la fórmula de Poisson:

donde la k es el número de acontecimientos (k = 0, 1, 2, 3, 4 o 5). La e es la base de logaritmos naturales (e = 2,71828....) y k! (factorial de k) para k! = 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Por definición 0! = 1. Por ejemplo, la probabilidad de que 0 acontecimientos ocurran en una celda es:

de lo cual deducimos que en ligeramente más de la mitad de las celdas, no ocurrirá ningún acontecimiento: P0 x N = 0,5488 x 196= 107, donde N es el número total de celdas en la Matriz, esto es 196. La aplicación de este mismo procedimiento se realizará para k = 1, 2, 3, 4, 5, encontrando los siguientes resultados:

P0 x N = 0,5488 x 196 = 107,5640 = 107, celdas sin acontecimientos P1 x N = 0,3293 x 196 = 64,5428 = 65, celdas con acontecimientos simples P2 x N = 0,0988 x 196 = 19,3648 = 19, celdas con acontecimientos dobles En total P3 x N = 0,0198 x 196 = 3,8808 = 4, celdas con acontecimientos triples 196 celdas P4 x N = 0,0030 x 196 = 0,588 = 1, celdas con acontecimientos cuádruples P5 x N = 0,0004 x 196 = 0,0784 = 0 celdas con acontecimientos quíntuples


2.2 Distribución de los acontecimientos en las Columnas de Tiempo y en las Filas de Timbre

Con los datos anteriores en la mano, a Xenakis se le plantea el problema de cómo distribuir los acontecimientos en la Matriz. ¿Simplemente deberían, por ejemplo, ser colocados al azar? ¿O debería alguna regla dirigir la colocación de los acontecimientos? La solución de Xenakis al problema fue volver a aplicar la ley de Poisson para establecer reglas generales que gobernaran la distribución de los 196 acontecimientos, distribuyendo las 107 celdas sin acontecimientos, las 65 celdas con acontecimientos simples, las 19 celdas con acontecimientos dobles, las 4 celdas con acontecimientos triples, y la celda con el acontecimiento cuádruple, primero entre las 28 columnas y luego entre las 7 filas. Para volver a aplicar la ley de Poisson, es necesario calcular los nuevos valores de ++++ para cada clase de acontecimiento tanto para las columnas como para las filas.

2.2.1 En las Columnas de Tiempo: Distribución de los Acontecimientos simples: Ya que hay un total de 65 acontecimientos simples distribuidos sobre 28 columnas, el número medio de acontecimientos simples por columna es ahora 65/28 = 2,32 , que se convierte en el nuevo ++++ en la reaplicación de la Ley de Poisson, de modo que la probabilidad P0 de que ningún acontecimiento simple ocurra en una columna de tiempo es:

Entonces, ya que hay 28 columnas de tiempo, el número t0 simple en el cual ningún acontecimiento simple ocurre es 28 x 0,09827 = 3, donde T = 28 es el número total de columnas de tiempo. Ahora podemos contar el número de columnas de tiempo (tk simple) en el cual k acontecimientos simples ocurren, siendo la k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7:

t0 simple = P0 x T = 0,09827 x 28 = 2,75 = 3 columnas sin acontecimientos simples x 0 = 0 t1 simple = P1 x T = 0,22799 x 28 = 6,38 = 6 columnas con un acontecimiento simple x 1 = 6 t2 simple = P2 x T = 0,26447 x 28 = 7,41 = 8 columnas con 2 acontecimientos simples x 2 = 16 t3 simple = P3 x T = 0,20453 x 28 = 5,73 = 5 columnas con 3 acontecimientos simples x 3 = 15 en total t4 simple = P4 x T = 0,11862 x 28 = 3,32 = 3 columnas con 4 acontecimientos simples x 4 = 12 65 acont. t5 simple = P5 x T = 0,05504 x 28 = 1,54 = 2 columnas con 5 acontecimientos simples x 5 = 10 simples t6 simple = P6 x T = 0,02128 x 28 = 0,596 = 1 columnas con 6 acontecimientos simples x 6 = 6 t7 simple = P7 x T = 0,00705 x 28 = 0,197 = 0 columnas con 7 acontecimientos simples x 7 = 0

Es interesante observar el redondeo de los decimales llevado a cabo por Xenakis. Salta a la vista que Xenakis ajusta las matemáticas, aunque sólo ligeramente, para hacer que los números satisfagan su objetivo y esquema. Por ejemplo, redondea al alza el valor para P2 (7.41) hasta 8, y redondea a la baja el valor para P3 (5.73) a 5. Esto es necesario para hacer que la suma de los acontecimientos simples sea igual a 65. De haber sido riguroso el redondeo de los decimales la suma de los acontecimientos simples sería 66, lo cual desajusta el resultado previsto de antemano. Para el músico cuya educación ha acentuado el significado de variaciones leves (por ej.: la variación de un semitono crea una diferencia inmensa entre el sonido de acordes Mayores y menores) tales manipulaciones matemáticas pueden parecer extrañas. Considerando el contexto presente, sin embargo, los ajustes de Xenakis son razonables. En principio, los resultados son compatibles con el espíritu del elemento estocástico en la ley de Poisson y con el espíritu de la palabra "estocástica". Y en segundo lugar, Xenakis usó el proceso de Poisson principalmente como una guía, y debería recordar que el proceso es una serie infinita (p. ej., la k teóricamente asume un número infinito de valores) y debe representar las fracciones que no son aplicables a una multitud de situaciones.


En “Música Formalizada”, Xenakis no ofrece una demostración paso a paso de todos sus cálculos, pero si establece este primer paso para la serie de los cálculos que deben ser emprendidos.

Detalle del cálculo del resto de probabilidades: De modo similar realizo los cálculos necesarios para distribuir las 107 vacías sin acontecimientos, 19 dobles acontecimientos, los 4 acontecimientos triples y el acontecimiento cuádruple durante las 28 columnas de tiempo.

Distribución de las celdas vacías Sin acontecimientos (107): ++++ = 107/28 = 3,82142...

He destacado, realizando detalladamente los cálculos, las pequeñas irregularidades provocadas por el redondeo de los decimales: t0 vacía = P0 x T = 0,02189 x 28 = 0,6 = 0 columna sin celdas vacías

(Xenakis ajusta el resultado a la baja, cuando lo normal

sería al alza = 1 )

t1 vacía = P1 x T = 0,08367 x 28 = 2 columnas con una celda vacía

t2 vacía = P2 x T = 0,15988 x 28 = 4,48 = 6 columnas con 2 celdas vacías

( Xenakis ajusta el resultado muy al alza, cuando lo normal

sería a la baja 4 ) t3 vacía = P3 x T = 0,20365 x 28 = 5,7 = 5 columnas con 3 celdas vacías

(Xenakis ajusta el resultado a la baja, cuando lo normal

sería al alza = 6 )

t4 vacía = P4 x T = 0,19456 x 28 = 5 columnas con 4 celdas vacías

t5 vacía = P5 x T = 0,14870 x 28 = 4 columnas con 5 celdas vacías

t6 vacía = P6 x T = 0,09471 x 28 = 2,65 = 4 columnas con 6 celdas vacías ( Xenakis ajusta el resultado muy al alza, cuando lo normal

sería hasta 3 ) t7 vacía = P7 x T = 0,05170 x 28 = 1,4 = 2 columnas con 7 celdas vacías

(Xenakis ajusta el resultado al alza, cuando lo normal sería

a la baja = 1 )

Distribución de los Acontecimientos dobles (19): ++++ = 19/28 = 0,67857...

t0 doble = P0 x T = 0,50734 x 28 = 14 columnas sin acontecimientos dobles t1 doble = P1 x T = 0,34426 x 28 = 10 columnas con un acontecimiento doble t2 doble = P2 x T = 0,26447 x 28 = 3 columnas con 2 acontecimientos dobles t3 doble = P3 x T = 0,05207 x 28 = 1 columnas con 3 acontecimientos dobles t4 doble = P4 x T = 0,00448 x 28 = 0 columnas con 4 acontecimientos dobles

Distribución de los Acontecimientos triples (4): ++++ = 4/28 = 0,14285...

t0 triple = P0 x T = 0,86688 x 28 = 24 columnas sin acontecimientos triples t1 triple = P1 x T = 0,12384 x 28 = 4 columnas con un acontecimiento triple t2 triple = P2 x T = 0,00884 x 28 = 0 columnas con 2 acontecimientos triples


Distribución de los Acontecimientos cuádruples (1): ++++ = 1/28 = 0,03571...

t0 cuádruple = P0 x T = 0,96492 x 28 = 27 columnas sin acontecimientos cuádruples t1 cuádruple = P1 x T = 0,03445 x 28 = 1 columnas con un acontecimiento cuádruple t2 cuádruple = P2 x T = 0,00123 x 28 = 0 columnas con 2 acontecimientos cuádruples

Una vez que realizados los cómputos, la reunión de los resultados en una tabla compacta facilita la comparación del redondeo riguroso de los resultados con los redondeos manipulados que Xenakis usa para crear la Matriz de Achorripsis. TABLA 1: DISTRIBUCIÓN TOTAL DE ACONTECIMIENTOS POR COLUMNA DE TIEMPO (COMPARATIVA: REDONDEO DE XENAKIS vs. REDONDEO RIGUROSO)

Las semejanzas y diferencias entre los dos posibles redondeos son asombrosas: en dos casos, acontecimientos dobles y acontecimientos cuádruples, los resultados coinciden exactamente, que indica la buena voluntad de Xenakis de aceptar números si los cálculos generan números apropiados para su esquema. Los acontecimientos triples son sencillos de adaptar, requiriendo la adición de un sólo acontecimiento; y el caso de los acontecimientos simples ha sido comentado con anterioridad. La diferencia de “sin acontecimientos” es mucho más acusada y compleja. Es importante hacer notar que, si bien, los cálculos anteriores deciden qué contiene cada columna, por el contrario, ningún calculo especifica el número de la columna que ha de almacenar cada contenido. Mientras el número correcto de cada clase de acontecimiento sea distribuido entre las 28 columnas según la tabla anterior, el compositor tiene la libertad de colocar los acontecimientos como él escoja.

2.2.2 En las Filas de timbre: Desde luego, si la tarea implicara sólo la distribución de los acontecimientos en columnas, el “juego compositivo” sería generoso. Este juego, sin embargo, no es superficial: esto requiere que los acontecimientos también sean distribuidos según el dictado de los cálculos para las siete filas. Para distribuir varios acontecimientos en las filas de la Matriz conforme a la ley de Poisson, es necesario repetir exactamente el mismo proceso que fue empleado el para las columnas para cada clase de acontecimiento. El proceso comienza con el cálculo del valor de ++++ para cada clase de acontecimiento, esta vez basado en el número de filas.

Frecuencia Sin acontecimientos Acontecimientos simples Acontecimientos dobles Acontecimientos triples Acontecimientos cuádruples

Nº de Columnas conteniendo k

acontecimientos

(tk)

Nº de acontecimientos

(K x tk)

(tk) (K x tk) (tk) (K x tk) (tk) (K x tk) (tk) (K x tk) K

Redondeo Xenakis

Redondeo Riguroso

RX RR RX RR RX RR RX RR RX RR RX RR RX RR RX RR RX RR

0 0 1 0 0 3 3 0 0 14 14 0 0 24 24 0 0 27 27 0 0

1 2 2 2 2 6 6 6 6 10 10 10 10 4 3 3 3 1 1 1 1

2 6 4 12 8 8 7 18 14 3 3 6 6 0 0 0 0

3 5 6 15 18 5 6 15 18 1 1 3 3

4 5 5 20 20 3 3 12 12

5 4 4 20 20 2 2 10 10

6 4 3 24 18 1 1 6

7 2 1 14 7

Total 28 25 107 73 28 28 65 66 28 28 19 19 28 27 3 3 28 28 1 1


Distribución de las celdas vacías Sin acontecimientos (107):

Ya que hay un total de 107 celdas sin acontecimientos distribuidos sobre 7 filas, el número medio de acontecimientos simples por fila es ahora 107/7 = 15,2857... , que se convierte en el nuevo ++++ en la reaplicación de la Ley de Poisson, de modo que la probabilidad P0 de que en ninguna fila haya acontecimientos es:

Entonces, ya que hay 7 filas de timbre, el número t0 vacía en el cual ninguna celda resultará vacía es 7 x 0,00000023 = 0,0000019 donde T = 7 es el número total de filas de timbre. Ahora podemos contar el número de filas de timbre (tk vacía) en el cual k celdas quedarán vacías, siendo la k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7....:

t0 vacía = P0 x T = 0,00000023 x 7 = 0,0000019 = 0 filas sin celdas vacías x 0 = 0

(Realizados los cálculos, omito su exposición hasta t10 vacía ya que los valores son demasiado insignificantes para ser considerados probabilísticamente)

t11 vacía = P11 x T = 0,06 x 7 = 0,42 = 1 filas con 11 celdas vacías x 11 = 11 t12 vacía = P12 x T = 0,08 x 7 = 0,56 = 0 filas con 12 celdas vacías x 12 = 0 t13 vacía = P13 x T = 0,09 x 7 = 0,63 = 1 filas con 13 celdas vacías x 13 = 13 en total t14 vacía = P14 x T = 0,10 x 7 = 0,70 = 0 filas con 14 celdas vacías x 14 = 0 107 celdas t15 vacía = P15 x T = 0,102 x 7 = 0,714 = 1 filas con 15 celdas vacías x 15 = 15 vacías t16 vacía = P16 x T = 0,098 x 7 = 0,69 = 2 filas con 16 celdas vacías x 16 = 32 t17 vacía = P17 x T = 0,088 x 7 = 0,62 = 1 filas con 17 celdas vacías x 17 = 17 t18 vacía = P18 x T = 0,075 x 7 = 0,53 = 0 filas con 18 celdas vacías x 18 = 0 t19 vacía = P19 x T = 0,06 x 7 = 0,42 = 1 filas con 19 celdas vacías x 19 = 19

La probabilidad más alta se produce en P15. Dada la insignificancia de todos los resultados, es visible la arbitrariedad a la que se ve obligado Xenakis al manipular su redondeo para la Matriz. Incluso da la impresión de que no haya tenido para nada en cuenta los resultados. Detalle del cálculo del resto de probabilidades: De modo similar realizo los cálculos necesarios para distribuir los 65 acontecimientos simples, 19 acontecimientos dobles, los 4 acontecimientos triples y el acontecimiento cuádruple durante las 7 filas de timbre.

Distribución de los Acontecimientos simples: ++++ = 65/7 = 9,2857...

(Omito los cálculos hasta t5 simple ya que los valores son demasiado insignificantes para ser considerados probabilísticamente)

t6 simple = P6 x T = 0,082 x 7 = 0,57 = 1 filas sin acontecimientos simples x 6 = 6 t7 simple = P7 x T = 0,109 x 7 = 0,76 = 1 filas con un acontecimiento simple x 7 = 7 t8 simple = P8 x T = 0,127 x 7 = 0,89 = 1 filas con 2 acontecimientos simples x 8 = 8 t9 simple = P9 x T = 0,131 x 7 = 0,92 = 1 filas con 3 acontecimientos simples x 9 = 9 en total t10 simple = P10 x T = 0,122 x 7 = 0,85 = 1 filas con 4 acontecimientos simples x 10 = 10 65 acont. t11 simple = P11 x T = 0,103 x 7 = 0,72 = 1 filas con 5 acontecimientos simples x 11 = 11 simples t12 simple = P12 x T = 0,080 x 7 = 0,56 = 0 filas con 6 acontecimientos simples x 12 = 0 t13 simple = P13 x T = 0,057 x 7 = 0,40 = 0 filas con 7 acontecimientos simples x 13 = 0 t14 simple = P14 x T = 0,038 x 7 = 0,266 = 1 filas con 14 acontecimientos simples x 14 = 14

También en éste cálculo se ve obligado a ser tan arbitrario.


Distribución de los Acontecimientos dobles (19): ++++ = 19/7 = 2,7142...

t0 doble = P0 x T = 0,067 x 7 = 0,47 = 1 filas sin acontecimientos dobles x 0 = 0 t1 doble = P1 x T = 0,182 x 7 = 1,3 = 0 filas con un acontecimiento doble x 1 = 0 en total t2 doble = P2 x T = 0,245 x 7 = 1,7 = 2 filas con 2 acontecimientos dobles x 2 = 4 19 acont. t3 doble = P3 x T = 0,220 x 7 = 1,5 = 2 filas con 3 acontecimientos dobles x 3 = 6 dobles t4 doble = P4 x T = 0,149 x 7 = 1,0 = 1 filas con 4 acontecimientos dobles x 4 = 4

t5 doble = P5 x T = 0,08 x 7 = 0,56 = 1 filas sin acontecimientos dobles x 5 = 5

En éste cálculo los resultados son más fieles a la realidad.

Distribución de los Acontecimientos triples (4): ++++ = 4/7 = 0,5714...

t0 triple = P0 x T = 0,55 x 7 = 3,9 = 4 filas sin acontecimientos triples x 0 = 0 en total t1 triple = P1 x T = 0,33 x 7 = 2,3 = 2 filas con un acontecimiento triple x 1 = 2 4 acont. t2 triple = P2 x T = 0,1 x 7 = 0,7 = 1 filas con 2 acontecimientos triples x 2 = 2 triples

t3 triple = P3 x T = 0,02 x 7 = 0,14 = 0 filas con 2 acontecimientos triples x 3 = 0

En cambio, en éste cálculo, los resultados posibilitan ser totalmente riguroso.

Distribución de los Acontecimientos cuádruples (1): ++++ = 1/7 = 0,14285...

t0 cuádruple = P0 x T = 0,87 x 7 = 6,1 = 6 filas sin acontecimientos cuádruples x 0 = 0 en total t1 cuádruple = P1 x T = 0,12 x 7 = 0,84 = 1 filas con un acontecimiento cuádruple x 1 = 1 1 acont. t2 cuádruple = P2 x T = 0,009 x 7 = 0,06 = 0 filas con 2 acontecimientos cuádruples x 2 = 0 cuádruple

Los resultados son totalmente rigurosos.

Una vez realizados los cómputos, la reunión de los resultados en una tabla compacta facilitará el manejo de los datos que Xenakis usa para crear la Matriz de Achorripsis. TABLA 2: DISTRIBUCIÓN TOTAL DE ACONTECIMIENTOS POR FILA DE TIMBRE

Frecuencia Sin acontecimientos Acontecimientos simples Acontecimientos dobles Acontecimientos triples Acontecimientos cuádruples

K

Nº de Filas conteniendo k

acontecimientos

(tk)

Nº de acontecimientos

(K x tk)

(tk) (K x tk) (tk) (K x tk) (tk) (K x tk) (tk) (K x tk)

0 1 0 4 0 6 0 1 0 0 2 2 1 1 2 2 4 1 2 3 2 6 4 1 4 5 1 5 6 1 6 7 1 7 8 1 8 9 1 9 10 1 10 11 1 11 1 1 12 0 0 0 0 13 1 13 0 0 14 0 0 1 14 15 1 15 16 2 32 17 1 17 18 0 0 19 1 19

Total 7 107 7 65 7 19 7 4 7 1


Al igual que en las columnas de tiempo, hacer notar que, si bien, los cálculos anteriores deciden qué contiene cada fila, por el contrario, ningún calculo especifica el número de la fila que ha de almacenar cada contenido. Mientras el número correcto de cada clase de acontecimiento sea distribuido entre las 7 filas según la tabla anterior, el compositor tiene la libertad de colocar los acontecimientos como él escoja.

2.3 Configuración definitiva de la Matriz Los cálculos para la distribución de acontecimientos, según la fórmula de Poisson, y su colocación en columnas y filas conforme a las distribuciones (resumido en las Tablas 1 y 2) son las reglas que Xenakis utiliza para configurar definitivamente la Matriz. Es importante observar que Xenakis no aplica ningún mecanismo para distribuir el orden de los 196 acontecimientos en las columnas o filas; en este punto, se le permite al compositor mucha libertad. Mientras el número correcto de cada clase de acontecimiento sea distribuido entre las 28 columnas y 7 filas según las Tablas 1 y 2, el compositor puede colocar los acontecimientos ordenados a voluntad. Además, una vez que los acontecimientos hayan sido satisfactoriamente colocados en la Matriz, tanto las columnas como las filas son permutables y pueden ser movidas para satisfacer las intenciones del compositor, p. ej.: la Columna 6 podría ser cambiada con la Columna 28, o la Fila II podría ser cambiada con la Fila IV. La Matriz de Xenakis (ver figura 1, pág. 4) no es más que una de las muchísimas posibilidades resultantes al aplicar éstas reglas a las 196 celdas. La condición de colocar libremente los 196 acontecimientos según los dictados de los cálculos, tanto de las columnas como de las filas, añade una enorme dimensión de dificultad a la tarea de dispersar varias clases de acontecimientos en la Matriz: tanto las columnas como las filas, con la concomitancia de números verticales y horizontales, deben reflejar y ser fieles a los cálculos en la distribución final. Desde luego, un programa de ordenador hubiera facilitado enormemente los cálculos, así como la colocación de varios acontecimientos en la Matriz. Sin embargo, a finales de los ‘50 Xenakis no tenía el lujo de la tecnología actual. Uno de los elementos que quizá más claramente influyó en Xenakis a la hora de aplicar las reglas, son las 2 columnas sin acontecimientos (totalmente vacías), que colocó en el lugar 8 (####) y 24 ("&"&"&"&), dividiendo así la pieza en una estructura tripartita con una clara subdivisión que distribuye las densidades en la primera y tercera secciones. (Las siete primeras columnas contienen el equivalente de 29 acontecimientos simples, y las cuatro últimas columnas contienen el equivalente de 26 acontecimientos simples) Así, las columnas vacías (sin acontecimientos) representan el silencio en todas las partes instrumentales y crean los puntos principales para la articulación de la forma total. En la partitura, sin embargo, las dos columnas totalmente vacías de la Matriz no se presentan como 6,5 compases totalmente vacíos, sino que siempre algún sonido impide que el discurso se rompa por completo. También está claro que los cálculos para las columnas y las filas demuestran que Xenakis realmente cambió las matemáticas para satisfacer su esquema dependiendo de lo que sugiera cada situación individual. Esta información es crítica porque, leyendo el texto de Xenakis con todas sus fórmulas y tablas estadísticas, uno puede obtener la impresión de que solo los cómputos matemáticos dictaron la forma para Achorripsis. Seguramente, las palabras de Xenakis apoyan esta noción:

Pero en esta axiomática investigación, donde la posibilidad debe bañar todo el espacio acústico, debemos rechazar cada distribución que se marcha de la ley de Poisson... Contentándonos solamente con filas y columnas, obtenemos una distribución homogénea que sigue a Poisson. De este modo, las distribuciones en filas y columnas de la Matriz... fueron calculadas. Así, una única ley de posibilidad, la ley de Poisson (para acontecimientos raros) a través de la arbitrariedad del número + es capaz de condicionar, por un lado, un ejemplo completo de Matriz, y por el otro, las distribuciones parciales siguiendo las filas y columnas. (“Música Formalizada” 1992, p. 31)

En el extracto anterior, no hay nada que indique la naturaleza del proceso significativo de toma de decisiones que Xenakis emprendió al llegar, en particular, a la ordenación de los acontecimientos para ser colocados tanto en las 28 columnas como en las 7 filas. Además, sin un entendimiento


cuidadoso de como la Matriz fue construida, es posible ver la Matriz de Xenakis como una estructura rudimentaria bidimensional en la cual el vacío, los acontecimientos simples, dobles, triples, y cuádruples, de algún modo, han sido colocados caprichosamente. Sin embargo, a veces resulta que los fenómenos que aparecen sobre la superficie, siendo elegantemente simples, poseen una complejidad profunda subyacente.

3. INSTRUMENTACIÓN DE LAS 7 FILAS DE TIMBRE Seguramente Xenakis se empezó a plantear el problema de la instrumentación en el mismo punto en el que nos encontramos nosotros, una vez constituida definitivamente la Matriz, y no antes. De la Matriz de Xenakis se deduce que, al haber 7 filas de timbre, Achorripsis debe ser compuesta para 7 instrumentos diferentes o 7 grupos de instrumentos. Los 7 timbres distintos para los que se había planificado la Matriz son comprendidos entre 21 instrumentos, arreglados en grupos de tres instrumentos diferentes, como se comentó en (1. La Matriz, pág. 3) Es interesante notar que, en la asignación de los grupos instrumentales a las filas de timbre, Xenakis no escogió al azar, sino que lo hizo pensando en las consecuencias que musicalmente iban a acarrear sus decisiones. Aunque Xenakis no lleva a cabo ninguno de los siguientes cálculos, que realizaré a continuación por iniciativa propia, creo que haciéndolos podemos llegar a la conclusión de cuales fueron sus intenciones y por qué pudo Xenakis relacionar cada grupo instrumental con una fila determinada: El siguiente cálculo tiene como objetivo averiguar que fila tiene mayor número medio de notas por compás, lo que es decir, la presencia de qué timbre será mas frecuente a lo largo de los 7 minutos de la pieza. De nuevo hablamos de densidades, pero en vez de ser una densidad vertical, armónica, simultánea, esta es horizontal, melódica, lineal. Con éstos datos podremos establecer una jerarquía de los timbres más frecuentes, que corresponden a las filas más densas. Delta (&&&&) es la densidad de la celda, o sea, el número medio de sonidos por compás, y corresponde a los números rodeados en cada celda en la Matriz (figura 1). Por ejemplo, si la suma de todos los valores &&&& de la Fila I es 93,5 , esto quiere decir que éste número representa el total de la media de notas por compás en cada una de las celdas no vacías de la fila. Si cada celda comprende 6,5 compases, se multiplican 93,5 x 6,5 obteniendo el total de notas para dicha Fila en la partitura. Por último dividimos el total de notas entre el total de compases de la obra (182) y así obtenemos el número medio de notas por compás para dicha Fila en toda la obra. A mayor número medio de notas, mayor será la presencia de ese timbre, que será predominante ante los demás. Se trata de una sencilla aplicación de la media aritmética:

Donde ,-,-,-,- es la media de notas por compás para toda la Fila; &&&& es el sumatorio de todos los valores & & & & de la Fila; 6,5 es el número de compases por celda, y 182 es el número total de compases de la obra. Para la Fila I: Realizando el mismo procedimiento para las 7 filas se obtienen los siguientes resultados:

Fila I: &&&& = 93,5 ,- ,- ,- ,- = 3,34

Fila II: &&&& = 69,5 ,- ,- ,- ,- = 2,48

Fila III: &&&& = 80 ,- ,- ,- ,- = 2,86

Fila IV: &&&& = 82,5 ,-,-,-,- = 2,95

Fila V: &&&& = 104 ,- ,- ,- ,- = 3,7

Fila VI: &&&& = 63 ,- ,- ,- ,- = 2,25

Fila VII: &&&& = 101 ,- ,- ,- ,- = 3,6

6,5

182 ,- ,- ,- ,- = &&&&

6,5

182 ,- ,- ,- ,- = &&&&

6,5

182 ,- ,- ,- ,- = 93,5 = 3,34


El predominio jerárquico de las Filas, de mayor a menor presencia, queda como sigue:

Fila V Fila VII Fila I Fila IV Fila III Fila II Fila VI

La elección de Xenakis del grupo tímbrico para cada fila es la siguiente:

Pizz. cuerda

Arco cuerdas

Flauta Percusión Gliss. cuerda

Oboe Metales

Violín Violonchelo Contrabajo


Flautín Eb Clarinete

Clarinete Bajo

Xilófono Caja China

Bombo


Oboe Fagot

Contrafagot

2 Trompetas Trombón

Salta a la vista que, dada la naturaleza de la obra, a base de la experimentación con densidades, Xenakis busca el predominio de una sonoridad suave sobre la que posteriormente contrastar con sonoridades más contundentes. Por ello escoge los instrumentos de sonoridad más apacible, las cuerdas (tanto en pizzicato como en arco) para las dos filas con eventos más numerosos, 1ª y 2ª respectivamente. No obstante, el glissando de cuerdas, por su naturaleza (llama más la atención al ser el elemento más inconexo con el resto de timbres) lo relega a un 5º lugar para que no canse su efecto con una aparición demasiado frecuente. En 3º lugar escoge al grupo Flauta, que formado por flautín y dos clarinetes, es perfectamente capaz de conservar una sonoridad suave y dulce. Justo en medio, la percusión en 4º lugar, como nexo tímbrico entre los diferentes grupos sonoros que lo flanquean. En 5ª lugar los glissandi de las cuerdas como ya hemos comentado. En 6º lugar, de menor intervención que los anteriores, el grupo Oboe, que compuesto por instrumentos de viento madera de lengüeta doble tiene una sonoridad menos suave, mas incisiva y ruda. Y en último lugar, ocupando la fila con menor porcentaje de intervención en la partitura, los Metales en 7ª posición. Está claro que Xenakis reserva su poderosa sonoridad para situaciones más esporádicas y concretas. Éstas, aunque no dejan de ser apreciaciones personales, seguramente se acerquen lo suficiente a lo que hayan sido las apreciaciones de Xenakis a la hora de tomar decisiones al respecto. 4. ORGANIZACIÓN DE LOS ACONTECIMIENTOS MUSICALES A NIVEL DE CELDA En este punto, Xenakis pone su atención en la generación de acontecimientos a nivel de notas musicales en cada una de las 196 celdas de Achorripsis.

Xenakis automatizará el cálculo, mediante bases teóricas, de los siguientes parámetros: • El tiempo entre notas sucesivas. • El intervalo entre alturas sucesivas. • "La velocidad" de los glissandi.

Notar que Xenakis no controla mediante cálculo otros aspectos de la partitura como: • La duración de cada nota. • Las alturas de partida para cada

instrumento en cada celda. • Dinámica. • Articulación. (Los pasajes para arco tienen algunos

apuntes de staccato, el metal y los instrumentos de viento-madera no tienen ninguna articulación y ningún tipo de acento)

• Las opciones tímbricas.


Para calcular estos parámetros Xenakis escoge las distribuciones estadísticas siguientes: 1. La distribución exponencial es usada para determinar el tiempo entre notas musicales sucesivas. 2. La distribución lineal es usada para determinar los intervalos entre la altura de las notas sucesivas. 3. La distribución normal es usada para determinar "la velocidad" de los glissandi. A continuación explicaré la formulación utilizada para controlar cada parámetro.

4.1. Distribución Exponencial (Tiempo entre notas): Xenakis utiliza la distribución exponencial para determinar el tiempo que ha de haber, la separación, entre notas musicales sucesivas. Es importante destacar el siguiente detalle para que no pase por alto: como hemos comentado, Xenakis calcula el tiempo que transcurre entre una nota musical y la emisión de la siguiente, pero no dice nada en cuanto a la duración de los sonidos. Así que, no todo el tiempo calculado que transcurra entre una nota musical y la siguiente ha de ser el valor total del sonido, este tiempo se puede rellenar de silencio hasta la emisión del siguiente, o incluso sobrepasarlo solapándose con la siguiente. De hecho, al no estar controlada la duración de los sonidos mediante cálculo, Xenakis decide, en una elección puramente artística, que duración tendrá cada sonido. Ronald Squibbs 2, en su tesis de Doctor en Filosofía, ha proporcionado una descripción excelente del empleo general que hace Xenakis de estas distribuciones estadísticas, y ha simplificado un poco los procedimientos descritos por el propio Xenakis 1. Las visiones de Squibbs serán utilizadas para explicar cada procedimiento. La distribución para el tiempo entre notas sucesivas es entonces:

para i = 0, 1, 2, ...., La v es el tamaño de la gama de tiempo y la Pi es la probabilidad que el tiempo entre notas sucesivas caiga dentro del tiempo dado iv. Xenakis escoge una gama de tiempo de 0.1, que sería 12/52 segundos. Como ya comentamos, Delta (&&&&) es la densidad de la celda, o sea, el número medio de sonidos por compás, y corresponde a los números rodeados en cada celda en la Matriz (figura 1). En la Matriz de Achorripsis, cuando &&&& tiene un valor de 5.0 o aproximado, corresponde a un acontecimiento simple, del mismo modo cuando &&&& es, o se aproxima a 10, corresponde a un acontecimiento doble, &&&& = 15 acontecimiento triple, y &&&& = 20 acontecimiento cuádruple. Xenakis controla así la densidad de los acontecimientos, a mayor valor de &&&&, mayor número medio de notas por compás, y mayor es el tipo de acontecimiento asignado.

4.1.1 Aplicación práctica: Lo más fácil probablemente sea enfocar primero el procedimiento de distribución de los acontecimientos, para después determinar el tiempo que ha de haber entre notas musicales sucesivas, que es gobernado en Achorripsis por la distribución exponencial. Es esencial comprender que mientras la Ecuación de distribución exponencial puede dar para la nota cualquier valor comprendido en un rango, Xenakis se ve obligado a usar valores sólo discretos que no abarcan todas las posibilidades del rango, basados en las duraciones de las notas que él decide usar en la partitura. Así, muchos de los resultados numéricos de la ecuación tendrán que ser ajustados a los valores musicales discretos que Xenakis propone. Para realizar una

2 Ronald J. Squibbs, ”An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works”. Tesis presentada a la Facultad de la Escuela de

Graduado de la Universidad de Yale en Candidatura para el Grado de Doctor en Filosofía, Noviembre 1996, UMI Microform 9714309, 300 North Zeeb Road, Ann Arbor, MI 48103.


distribución exponencial del tiempo entre acontecimientos, Xenakis establece la "paleta" rítmica de valores discretos. Estos son:

Ahora es preciso poner todos estos valores en relación a una unidad de medida común, para poder establecer con precisión la distancia temporal entre una nota y la siguiente, cuyo cálculo se puede ver fácilmente con la ayuda del siguiente diagrama de proporciones (ver pág. 17). Para llegar a la unidad mínima de medida entre todos los valores anteriores es necesario dividir la blanca, unidad de tiempo, en 60 partes iguales, división en la que todos los valores encontrarán un acomodo exacto. A este 1/60 de tiempo lo llamo .. Blanca = 60. Negra = 30. Negra de tresillo = 20. Corchea = 15. Corchea de quintillo = 12. Por lo que podemos establecer la duración de cada valor en segundos: Si la obra dura 7 minutos (420 segundos) y hay 182 compases, cada compás durará 2,3077 segundos, de lo que deducimos que la blanca, unidad de tiempo, durará 1,15385’’, la negra durará 0,5770’’, la negra de tresillo 0,3846’’, la corchea 0,28846’’, y la corchea de quintillo 0,23077’’. Por último, . durará 0,01923’’. El tiempo posible más pequeño entre acontecimientos es 3.. Se obtiene al restar al valor de una corchea (15.), el de una corchea de quintillo (12.). Ya que ninguna otra combinación de valores acerca tanto las notas entre sí. Necesariamente, para obras con este tipo de planteamientos, pensar en segundos como un electroacústico, en vez de en valores musicales, es mucho más práctico y conveniente.

Blanca

Negra

Negra de tresillo

Corchea

Corchea de quintillo

BL

AN

CA

(60.

)

1,1

5384’’

NE

GR

A (3

0.)

NE

GR

A

0,5

7692’’

NE

GR

A d

e Tr

esill

o (2

0.)

NE

GR

A d

e Tr

esill

o

NE

GR

A d

e Tr

esill

o

0,3

8461’’

CO

RC

HE

A (1

5.)

CO

RC

HE

A

CO

RC

HE

A

CO

RC

HE

A

0,2

8846’’

CO

RC

HE

A d

e Q

uin

tillo

(12.

) C

OR

CH

EA

de

Qu

inti

llo

CO

RC

HE

A d

e Q

uin

tillo

C

OR

CH

EA

de

Qu

inti

llo

CO

RC

HE

A d

e Q

uin

tillo

0,2

3076’’

Dis

tanc

ia m

ínim

a po

sibl

e en

tre

nota

s 3.

0,0

577

’’

0,0

577

’’

3.

Dis

tanc

ia m

ínim

a po

sibl

e en

tre

nota

s

1

2

3

4

5

6

7

8

9 1

0 1

1 1

2 1

3 1

4 1

5 1

6 1

7 1

8 1

9 2

0 2

1 2

2 2

3 2

4 2

5 2

6 2

7 2

8 2

9 3

0 3

1 3

2 3

3 3

4 3

5 3

6 3

7 3

8 3

9 4

0 4

1 4

2 4

3 4

4 4

5 4

6 4

7 4

8 4

9 5

0 5

1 5

2 5

3 5

4 5

5 5

6 5

7 5

8 5

9 6

0

. =

0,0

19

23

’’

Análisis de Achorripsis, Iannis Xenakis - 17 Héctor Oltra García

Análisis de Achorripsis, Iannis Xenakis - 18

Para no extenderme innecesariamente en cálculos infinitos, me limitaré a exponer el análisis detallado de alguna celda suelta. Por ejemplo analizaremos detalladamente a continuación la primera celda de la obra (Celda V!!!!). Empecemos a ver notas!!! Se trata de un acontecimiento simple, cuya densidad media de notas por compás es & & & & = 3,5 , y está escrita para el grupo tímbrico de cuerdas en pizzicato. El total de notas es 22, y el número de compases, como en todas las celdas, es de 6,5. Con los datos anteriores en la mano, observar que el número total de notas debería ser 23, (3,5 x 6,5 = 22,75). Este tipo de licencias es numerosísimo en toda la partitura, incluso a veces por más de un punto de diferencia.

Celda V!!!!

Si aplicamos la distribución exponencial a esta celda los resultados expresados en rangos son:

. Distribución exponencial

Distribución De Xenakis

rango de 0 a 12 6 6 12 - 24 4 4 24 - 36 3 2 36 - 48 2 3 48 - 60 2 2 60 - 72 1 1 72 - 84 1 1 84 - 92 1 1

21 21 Si calculamos en la partitura el tiempo entre las 22 notas encontramos los siguientes valores:

. 24 12 4 20 20 80 20 60 48 12 72 48 30 42 12 96 48 12 60 30 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22

Encontramos, como marca la distribución exponencial, seis valores discretos en el rango 0-12: 12, 4, 12, 12, 12, 10; cuatro valores en el rango 12-24: 24, 20, 20, 20; etc... Si nos fijamos en la tercera columna “Distribución de Xenakis” veremos que algunos rangos no coinciden con la distribución exponencial... otra de las licencias a la hora de “musicar” los datos.


Vn

Vc

Cb

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 14

15

16

17 18

19

20

21

22


4.2. Distribución Lineal (Intervalo entre notas):

Xenakis utiliza la distribución lineal para determinar la amplitud de los intervalos entre notas musicales (alturas) sucesivas. Es importante destacar que Xenakis no decide mediante cálculo la altura de inicio para después ir concatenando los intervalos. Esta altura inicial es elegida libremente, ya que solo se calcula el intervalo que habrá de una nota a la siguiente, pero no de que altura debe partir la primera de todas. Ronald Squibbs proporciona también una versión simplificada de la formulación de Xenakis de la distribución lineal, que rige los intervalos entre alturas sucesivas en Achorripsis. Este tipo de distribución a menudo es aplicado a situaciones no temporales. Para regir el tamaño de los intervalos entre las alturas de las notas sucesivas, Xenakis utiliza, según la simplificación de Squibbs, la siguiente fórmula:

donde i = 0, 1, 2, .....n. La n = g / v , donde g es el tamaño máximo del intervalo, y v es el incremento de intervalo para ser usado en la preparación de la tabla de probabilidades Pi.

4.2.1 Aplicación práctica:

El empleo que hace Xenakis de la distribución lineal para los intervalos entre notas sucesivas hace más compleja la correlación con las notas musicales de la partitura. Además, estas distribuciones parecen no ser afectadas por los parámetros que cambian de una celda a otra. Obviamente, no pueden influir en la altura del sonido parámetros de naturaleza rítmica, tímbrica o de densidad, que no tienen nada que decir al respecto de la altura. Las únicas coacciones que se imponen en su calculo son las diferentes tesituras de los instrumentos (g), de ahí que esta distribución lineal parezca ser la misma en todas las celdas de la Matriz, y así tiene una influencia "neutra". En una composición como Achorripsis, en la que se busca experimentar con las densidades, el parámetro altura es sencillamente un vehículo para experimentar los acontecimientos rítmicos. De hecho, el grupo tímbrico Percusión prescinde totalmente de ella, incluyendo al xilófono, que aun siendo instrumento de altura determinada, sólo toca una única altura en toda la pieza (Do5). Está claro que Xenakis, a la hora de componer, centra su atención, y finalmente la del oyente, en un parámetro que predomina sobre los demás. En el caso de Achorripsis la densidad.

4.3. Distribución Normal (Glissandi): El empleo que Xenakis hace del glissando de las cuerdas ocurrió por primera vez en su obra “Metástasis” (arco) y después en “Pithoprakta” (pizzicato). En su análisis de Pithoprakta, él relaciona la distribución de las velocidades de los glissandi (el cambio entre alturas df, dividido por el incremento de tiempo dt, df / dt) con la distribución de las velocidades de las moléculas de gas, teorizado por Maxwell/Boltzmann. Él lo realiza de manera análoga en Achorripsis, así, en cierto modo, "trazando un mapa" del concepto de velocidad para ensartar los glissandi. Resulta que la distribución de velocidades en un gas sigue la distribución Gaussiana o Normal, que es ligeramente más complicada matemáticamente que las distribuciones Exponenciales o Lineales de Poisson. En primer lugar, la función de densidad de probabilidad ƒ() para la existencia de una velocidad es:

donde !!!! es definido como el "valor cuadrático más tacaño de todos los valores posibles de " 1 y está relacionado con la temperatura del gas.


La ecuación anterior no da el valor de la probabilidad directamente. El área saltada por el eje de abscisas, la ƒ(), líneas verticales x = 1 y x = 2 es la probabilidad P ( ) de que una velocidaddada caiga dentro del rango 1 a 2 ( 2 > 1). El valor numérico para esta área puede ser obtenido integrando la ecuación anterior entre los límites 0 y 1, y luego otra vez entre 0 y 2, y restando el primer valor al segundo. :

donde

4.3.1 Aplicación práctica:

Xenakis hace una contribución útil al problema de como trazar un método para aplicar el concepto de velocidad al glissando. En este método, el cambio progresivo de altura que conlleva un glissando (en, digamos, semitonos por compás) es usado como un tipo de velocidad (en, digamos, metros por segundo). Esta opción abre la posibilidad de representar un vector con la magnitud y la dirección. La velocidad del glissando representa la magnitud (longitud del segmento) del vector. Una dirección "a la derecha" podría representar un glissando ascendente, "a la izquierda", descendente. "Arriba" y “abajo" podría ser representado por la formación exponencial del glissando. Una vez hecho esto, la altura de partida del glissando, el timbre y el registro, son todavía detalles pendientes de convenir adicionalmente.


3. PERCEPCIÓN Achorripsis se percibe como una sonificación de acontecimientos que ocurren en tiempo real. Cada una de las clases de timbres podría ser considerada como una corriente de datos independiente (para un total de siete). Los datos podrían representar cualquier fenómeno gobernado por las distribuciones de probabilidad, similares a los escogidos por Xenakis. En este guión, cada evento musical representaría un punto de datos. Cada celda de 15 segundos representaría entonces un grupo de los puntos de datos que se conforman a una distribución estadística específica: para el tiempo, el cambio de alturas, la velocidad de los glissandi. Obviamente el flujo de puntos en la corriente no será constante, sino que se establecerá un juego de densidades. Cada una de las 89 celdas "no vacías" de la Matriz tiene un valor para la densidad (los números rodeados &&&&). El empleo de valores de nota discretos (blanca, negra, negra de tresillo, etc...) provoca (o al menos hace más agradable) que el oyente reconozca más cómodamente el ritmo de la corriente de datos en cada celda y, en definitiva, cual es su densidad. 1. LA DENSIDAD Xenakis estableció la duración de la composición en 7 minutos y estipuló que cada columna de celdas deberían comprender 6.5 compases de música. Para definir la densidad para las “nubes de sonido”, él especificó la densidad sonora para cada uno de los cuatro tipos de acontecimiento mediante un promedio de sonidos por compás. (A excepción de los sonidos de glissando, todos los sonidos comprenden una nota de la música). Por ejemplo, para los acontecimientos simples determinó que cada compás contuviera una media aproximada de 5 sonidos (con un rango de 2,5 a 6,5). Así, cada celda (6,5 compases) de acontecimiento simple contendrá una “nube de sonidos” con una densidad media aproximada de 32.5 sonidos. Igualmente asigna a cada acontecimiento un promedio de notas por compás, resultando el acontecimiento cuádruple el más denso de todos, y el simple el menos denso. Obviamente el acontecimiento vacío representa el silencio, no habiendo densidad ninguna.

Acontecimiento simple

Acontecimiento doble

Acontecimiento triple

Acontecimiento cuádruple

Densidad media por compás (notas por compás) /5 /10 /15 /20

Rango: de 2,5 a 6,5 de 8,5 a 11,5 de 14 a 17 20

Densidad media por celda (notas por cada celda [6,5 compases]) 32,5 65 97,5 130

Rango: de 16,25 a

42,25 de 55,25 a

74,75 de 91 a 110,5 130

En la Matriz de Achorripsis (figura 1) los números rodeados en cada celda de la Matriz corresponden al número medio de notas por compás en esa celda (&&&&). Así, cuando &&&& tiene un valor de 5.0 o aproximado, corresponde a un acontecimiento simple, del mismo modo cuando &&&& es, o se aproxima a 10, corresponde a un acontecimiento doble, &&&& = 15 acontecimiento triple, y &&&& = 20 acontecimiento cuádruple. Xenakis controla así la densidad de los acontecimientos. A mayor valor de &&&&, mayor número medio de notas por compás, y mayor densidad sonora y mayor es el tipo de acontecimiento asignado. Xenakis no establece ningún tipo de cálculo o regla para determinar que número & & & & va en cada celda. Esto quiere decir que el compositor está en la libertad de escoger donde colocar una celda simple de 2,5 escasamente poblada, en contraste con una celda simple de 6,5 más densamente poblada, y esta decisión, por lo visto, es tomada sólo según juicios artísticos, no matemáticos.


En cambio, si establece una regla adicional que controle la densidad total media de cada tipo de acontecimiento (simple, doble, triple y cuádruple). Por ejemplo, el total de acontecimientos simples (recordemos: 65) ha de tener una densidad media aproximada de /5. De hecho, si sumamos el total de &&&& para cada uno de los cuatro tipos de acontecimientos, y lo dividimos por el número total de acontecimientos de cada tipo, observamos lo siguiente:

Acontecimientos simples

Acontecimiento dobles

Acontecimientos triples

Acontecimiento cuádruple

&&&& de todas

las celdas

4,5 + 6 + 5,5 + 5 + 4 + 5,5 + 2,5 + 5 + 6,5 + 4,5 + 5,5 + 5,5 + 4 + 5 + 6 + 4,5 + 5 + 3,5 + 4,5 + 5 + 6,5 + 5 + 5 + 4 + 3,5 + 6,5 + 4,5 + 6 + 6 + 4 + 4 + 5 + 6,5 + 6 + 4 + 3,5 + 5 + 3,5 + 6 + 4,5 + 4 + 5 + 5,5 + 4,5 + 5 + 4 + 5,5 + 3,5 + 4 + 6,5 + 5 + 5,5 + 4,5 + 5 + 6,5 + 5 + 6 + 6,5 + 3,5 + 4,5 + 5 + 4,5 + 4 + 6 + 6 =

9 + 10 + 9,5 + 10,5 + 10 + 11,5 + 9 + 9,5 + 8,5 + 10 + 11,5 + 10,5 + 10 + 10 + 10 + 10,5 + 11 + 10 + 9 =

14 + 17 + 15 + 16 =

20 =

Total 321,5 190 62 20 Media 321,5 / 65 = 4,95 190 / 19 = 10 62 / 4 = 15,5 20 / 1 = 20

................................... Si observamos la transparencia de la página siguiente, es asombroso apreciar, mediante la visualización de la imagen de onda de la obra, como el resultado sonoro encaja a la perfección con la Matriz. Clarísimos son, tanto los puntos álgidos de densidad sonora (p. ej.: las columnas 5, 7, 27, y la más densa de toda la obra, la columna 25), como los puntos menos densos (p. ej.: las columnas 1, 12, 14) donde obviamente destacan las columnas vacías (8 y 24), en las que la imagen de onda se resume a un fino trazo. Más de manifiesto se advierte la relación si observamos el cálculo de la densidad media por compás para cada columna, expuesto en la última fila de la tabla, cuyo resultado es la suma de todos los valores &&&& de cada columna. Clarísimamente se aprecia ahora la función que desempeñan las columnas vacías a la hora de seccionar la pieza. Sin embargo, como ya explicamos, las columnas totalmente vacías de la Matriz no se corresponden a compases totalmente vacíos en la partitura. Aun así, se aprecia claramente el fraccionamiento en secciones, ya que la densidad por celda de estas columnas no llega al rango de un acontecimiento simple, siempre inferior al 2,5 &&&&. Las 7 primeras columnas formarían la 1ª SECCIÓN (1-7) [del compás 1 a la primera mitad del c. 45] con una densidad media de 20 notas por compás. La columna 8 estaría vacía. Las 15 siguientes columnas formarían la 2ª SECCIÓN (9-23) [del c. 52 a la primera mitad del c. 149] con una densidad media de 20 notas por compás. La columna 24 estaría vacía. Y, las 4 últimas columnas formarían la 3ª SECCIÓN (25-28) [del compás 156 al c. 182] con una densidad media de 34 notas por compás. Podríamos incluso hablar de subsecciones en las que la diferencia de las densidades es considerable: Prácticamente toda la 1ª sección es un constante contraste de densidades, cambiando notablemente de columna en columna. La 2ª sección podría ser dividida en 4 secciones con alternancia entre sonoridades densas y ligeras (9-11 / 12-16 / 17-20 / 21-23). Y la 3ª sección puede ser entendida como un paulatino, aunque no constante, descenso en la densidad partiendo de un grado muy alto.

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4. CONCLUSIONES La partitura de Achorripsis se acerca bastante a las distribuciones estadísticas indicadas por el compositor, especialmente si se considera una contribución útil al problema de la sonificación de datos. El trabajo es desafiante en el hecho de que en cada celda se conviene mucha información, y probablemente empuja a la sobrecarga del sonido al límite. 1. CONCLUSIONES Realizando un análisis cuidadoso y comparando la teoría con la partitura podemos sacar varias conclusiones. Las conclusiones generales son:

1. Xenakis fue más riguroso aplicando la distribución exponencial al tiempo existente entre las notas musicales, y menos riguroso en la aplicación de la distribución lineal a los intervalos entre alturas, y la distribución normal a las velocidades de los glissandi.

2. Claramente su intención era la de componer música, por lo que algunos ajustes artísticos

son aplicados a la distribución de los resultados. Sin embargo, él los siguió bastante estrechamente de modo que puedan ser examinados desde el punto de vista de la “sonificación” de los datos.

3. La preparación de la partitura fue una hazaña notable ya que trabajó sin la ayuda de un

ordenador, y calculó todas las distribuciones, y su puesta en práctica musical, a mano. 2. NIVEL DE IMPLICACIÓN DEL AUTOR Veo, en el proceso compositivo de esta obra, tres niveles de implicación diferentes por parte del autor: El primero sería sencillamente la elección del material precompostivo, que requiere una implicación casi indiferente por parte del autor. Esto es que no existe ningún cálculo que lo determine, pero tampoco se puede hablar de una decisión artística. Quiero decir que la elección de otros materiales precompositivos hubiera provocado otros resultados, pero se hubiera llegado a las mismas metas. Digamos que se trata del primer paso para empezar a superar el trauma de la “hoja en blanco”. El segundo nivel, muy decisivo en esta pieza, es aquel que decide el puro cálculo matemático, en donde la implicación del autor es prácticamente nula. Se limita a esperar los resultados de las operaciones. Son aquel tipo de decisiones que podría tomar un ordenador. Y el tercer nivel es aquel en el que la implicación del autor es total. Son aquellas decisiones influenciadas por el sentido artístico y la intuición. Éste, impone su hegemonía a modo de moderador final que todo lo rige. Los niveles de implicación se influencian entre sí del siguiente modo:


Podemos citar fácilmente algunos elementos de cada uno de estos niveles:

Selección del Material Precompositivo Se obtienen mediante Cálculo Decisiones influenciadas por el Sentido

Artístico

Las dimensiones de la cuadrícula: número de columnas y filas. Matriz.

Duración de la celda en segundos.

El número de compases por celda.

Duración total de la obra (Bloques)

El tipo de timbre asignado a cada fila.

El número de tipos diferentes de timbre (Filas)

Instrumentos que componen cada grupo tímbrico.

Ordenación de los elementos por columna y por fila. Tipo de cálculo matemático para

obtener los resultados (Calculo Probabilístico)

Elementos que deberán rellenan la matriz por columna y fila.

Ordenación de las filas y columnas en la Matriz.

Elección de los valores discretos. El tiempo entre notas sucesivas. La duración de la nota.

El intervalo entre alturas sucesivas. La altura inicial desde la que concatenar los intervalos.

La velocidad de los glissandi. La altura de partida del glissando. Articulaciones Dinámicas

El número medio de notas por celda (++++) La densidad de cada celda (&&&&)

El autor se reserva el derecho de modificar ligeramente el resultado de los cálculos con fines artísticos.

Como vemos, la obra, a nivel compositivo, es una mezcla de libertades y procedimientos matemáticos estrictos. Enfoques que incluso llegan a entrometerse el uno en el papel del otro: se altera el cálculo de los resultados libremente para favorecer la obra a nivel artístico, y se utiliza el cálculo matemático para tomar decisiones puramente artísticas, p. ej.: la elección de los timbres para cada una de las 7 filas (ver pág. 13). Y, es que, en palabras de Xenakis “No debe olvidarse que el cálculo es sólo una herramienta. Si yo utilizo a veces las funciones matemáticas o incluso las teorías físicas en música es porque hay una relación profunda entre ésta y los números. Es evidente que de ahí nació todo el pitagorismo, pero se trata de una verdad basada en nuestra estructura mental. Eso es todo.”


Asignatura: Música Contemporánea 3º Profesor: D. Enrique Sanz-Burguete

Especialidad: Composición 4º

Curso académico 2005-06 Conservatorio Superior de Música de Valencia


Bibliografía Xenakis, I. 1958. Achorripsis. Berlin: Bote & Bock. (Partitura) Xenakis, I. 1992. Formalized Music: Thought and Mathematics in Composition. Stuyvesant, New York: Pendragon Press. El CORREO DE LA UNESCO /Abril de 1986 Dimensión matemática de la música. Entrevista a Iannis Xenakis Xenakis, I. Conferencia pronunciada en Berlín, 1964. Formalización y axiomatización de la composición musical Traducción de Armando Torres Chibrás Linda M. Arsenaul. Iannis Xenakis’s Achorripsis: The Matrix’s game. Computer Music Journal, Vol. 26, No. 1 (Spring 2002), 58-72. Edward Childs, 2002. A sonification of probability distributions. http://eamusic.dartmouth.edu/~ed/index.html Ronald J. Squibbs, 1996. An Analytical Approach to the Music of Iannis Xenakis: Studies of Recent Works James Harley, “Iannis Xenakis Bibliographyand Discography” LEONARDO on-line, http://mitpress2.mit.edu/e-journals/Leonardo/isast/spec.projects/Xenakisbib.html CCMIX - Center for Composition Iannis Xenakis, formerly Les Ateliers UPIC, http://www.ccmix.com Estadística y probabilidad online: http://ciberconta.unizar.es/LECCION/probabil/000F1.HTM

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€¦ · Héctor Oltra García Análisis de Achorripsis, Iannis Xenakis - 3 I. INTRODUCCIÓN Xenakis profesionalmente estuvo implicado con tres disciplinas