`í« ù ,Q nq] ãs lo que se conoce como matemáticas financieras, que bien po-dría llamarse aritmética financiera. Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario aplicar

2

EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Me inauguras el día con tus brazosQue me acogen, me salvan, me consuelan

Del empuje del tiempo velocísimoDonde somos el mar y el navegante.

Jorge Guillén. Más tiempo

Se habla mucho de depositar confianza,pero nadie dice qué interés te pagan.

Quino. Manolo, en ...y yo digo

2.1 ANÁLISIS DE RENTABILIDAD

En este capítulo se estudiará el problema que se plantea el decisor alenfrentarse con flujos de dinero que ocurren en diferentes períodos. Paracualquier persona es muy claro, intuitivamente, que el individuo tienepreferencia por consumir ahora y no posponer ese consumo; también esmuy claro para cualquier individuo que se prefiere tener una suma dedinero hoy y no tener que esperar un cierto tiempo para poder contarcon la misma cantidad de dinero ofrecida para hoy. Sobre esta base, sedesarrolla lo que se conoce como matemáticas financieras, que bien po-dría llamarse aritmética financiera. Para el manejo de esta herramientasólo es necesario aplicar las operaciones básicas de la aritmética, algo desentido común y cierta capacidad de análisis de situaciones.

En el estudio de este tema se pueden identificar tres niveles de com-prensión:

1. Conceptual2. Operativo o instrumental3. Situacional

El primer nivel se relaciona con el entendimiento de los conceptos bá-sicos de interés, tasa de interés, equivalencia y reglas de decisión de méto-dos basados en los anteriores conceptos. El segundo nivel tiene que vercon el uso de fórmulas y funciones preestablecidas, las cuales, por lo

DECISIONES DE INVERSIÓN. ENFOCADO A LA VALORACIÓN DE EMPRESAS 31

general, se encuentran en las hojas de cálculo electrónicas, como Excel,Lotus, Q-Pro1, etcétera. Por último, está la comprensión situacional quetiene que ver con la descripción de la realidad que se desea analizar; porejemplo, las cláusulas de un contrato o de un pagaré o la descripción deuna situación que se desea cambiar y para lo cual se tienen alternativasde solución. La experiencia indica que muchos se desaniman ante la difi-cultad del tercer nivel de comprensión y asocian esa dificultad con el temamismo, o sea los niveles de comprensión conceptual y operativa. El tercernivel se domina con la práctica y con el ejercicio de enfrentarse a múltiplessituaciones para analizarlas. Es cuestión de tiempo y de paciencia.

2.2 EL CONCEPTO DE EQUIVALENCIA

Uno de los fundamentos de la economía es la sicología. El compor-tamiento del individuo en relación con sus decisiones, comportamientode consumo y ahorro, es el elemento básico del estudio de la cienciaeconómica. Por ejemplo, los individuos obtienen satisfacción al consu-mir –por consumir lo más pronto posible–, y puede cambiar consumoactual por consumo futuro, siempre que la utilidad o satisfacción queobtenga de este último sea al menos equivalente, no necesariamenteigual a la del consumo actual. Este es uno de los temas fundamentalesde la microeconomía.

La gente tiene una preferencia subjetiva a consumir hoy; por lo tan-to, la postergación de un consumo actual implica la exigencia de unamayor cantidad de consumo futuro, para alcanzar una satisfacciónequivalente. Cuando esta necesidad compulsiva de consumir se inhibe,se produce una insatisfacción que de alguna manera debe compensar-se; esa compensación la recibe el individuo al disponer de mayor capa-cidad de consumo en el futuro. Con ello se llega fácilmente a laconclusión que ya no se pueden sumar unidades monetarias de dife-rentes períodos, porque no son iguales.

Cuando se introduce el concepto de inversión, o sea que un indivi-duo ahorra o invierte $1 para obtener más de $1 al final de un período,se encuentra que invertirá hasta cuando el excedente que le paguenpor su dinero, no sea menor que la que el individuo asigna al sacrificiode consumo actual, o sea, a la tasa a la cual está dispuesto a cambiarconsumo actual por consumo futuro.

Un modelo matemático que representa estas ideas, consiste en lasiguiente ecuación:

F= P + compensación por aplazar consumo (2.1)

Donde:

F = Suma futura poseída al final de n períodos.P = Suma de capital colocado en el instante 0.

1 Excel es una marca registrada por Microsoft; Lotus y Q-Pro son marcas regis-tradas por IBM.

IGNACIO VÉLEZ PAREJA32

Este modelo y los párrafos anteriores permiten introducir un con-cepto de mucha importancia: el de equivalencia. Se dice que dos sumasson equivalentes, aunque no iguales, cuando a la persona le es indife-rente recibir una suma de dinero hoy (P) y recibir otra diferente (F)mayor al cabo de un período. En microeconomía esta situación se midecon la tasa marginal de sustitución en el consumo. Esta relación es labase de todo lo que se conoce como matemáticas financieras.

Esta diferencia entre P y F responde por el valor que le asigna elindividuo al sacrificio de consumo actual y al riesgo que percibe y asu-me al posponer el ingreso.

El concepto de equivalencia implica que el valor del dinero dependedel momento en que se considere, esto es, que un peso hoy, es diferen-te a un peso dentro de un mes o dentro de un año.

2.3 INTERÉS Y TASAS DE INTERÉS

Al hablar de equivalencia se ha involucrado –en forma implícita– unmonto de interés que se puede representar como una fracción de lasuma en el período inicial (hoy) o como un porcentaje i%, en general,diferente de cero. El concepto de interés, sin ser intuitivo, está profun-damente arraigado en la mentalidad de quienes viven en un sistemacapitalista. Es un conocimiento nocional, producto de la socialización,por eso no es totalmente intuitivo, es intuición socializada.

No se necesita formación académica para entender que cuando serecibe dinero en calidad de préstamo, es justo pagar una suma adicio-nal al devolverlo. La aceptación de esta realidad económica es común atodos los estratos socioeconómicos.

Para mostrar lo popular del concepto, se puede citar a la Enciclope-dia Salvat Diccionario2, que define interés así:

Provecho, ganancia, utilidad [...]. Lucro producido por el capital [...].El interés puede definirse, en una primera aproximación a su con-cepto, como el precio pagado en dinero, por el uso del dinero deotro. En economía, el interés se liga a los conceptos de capital,tiempo y riesgo; desde esta óptica puede ser considerado como lacompensación que el poseedor del dinero recibe [...] por la cesión aotros [y] por la utilización durante un período [...] de un capitaldeterminado, empleo que en sí mismo, es siempre arriesgado.

En otras palabras, el interés, I, es la compensación que reciben losindividuos, firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurrenal ahorrar una suma P. El mercado le brinda al individuo (persona ofirma) la posibilidad de invertir o la de recibir en préstamo; el hecho deque existan oportunidades de inversión o de financiación hace que existael interés. Este fenómeno económico real, se mide con la tasa de inte-rés, i, la cual, a su vez, se representa por un porcentaje. Este porcentajese calcula dividiendo el interés I recibido o pagado por período, entre elmonto inicial, P; de modo que la tasa de interés será:2 Enciclopedia Salvat Diccionario, Salvat Editores, Barcelona, tomo 7, 1975, p.

1817.


PI

i = (2.2)

Es decir, el interés es la compensación que reciben los individuos,firmas o personas naturales, por el sacrificio en que incurren al aho-rrar.

Retomando el concepto de equivalencia, el modelo que lo expresa sepuede redefinir así:

F= P + compensación por aplazar consumo

F=P + Pi = P(1+i) (2.3)

y se puede generalizar para cualquier número de períodos, n, así,

( )niPF += 1 (2.4)

o también,

( )ni

FP

+=

1(2.5)

Esta expresión es fundamental en el análisis de los movimientos dedinero. A partir de esta fórmula se deducen todas las fórmulas de inte-rés que se utilizan para hallar la equivalencia entre sumas de dinero enel tiempo; en realidad, no se necesitaría conocer más que esto. Lasfórmulas ya mencionadas son derivaciones de la anterior, y su uso ydeducción son nada más que buenos ejercicios de aritmética. Se dice,entonces, que P es el valor descontado o valor presente de una sumafutura F.

La tasa de interés que establece esta equivalencia se llama tasa dedescuento (discount rate o hurdle rate, en inglés) o tasa de rentabilidadmínima aceptable; algunos autores prefieren utilizar el nombre de costoo tasa de oportunidad; más adelante se estudia este punto con detalle yse define la forma de determinarla.

La tasa de descuento no debe confundirse con el porcentaje de des-cuento que puede recibir quien compra un producto o quien compraun título valor (bonos, por ejemplo) a descuento. La tasa de descuentose determina considerando el costo del dinero para el decisor; esto es,lo que paga por recibir dinero prestado, o lo que deja de ganar por eldinero que tiene. A este último costo se le denomina costo de oportuni-dad y aquí se utilizará el nombre de tasa de descuento. Esta tasa deinterés es la que se utiliza para hacer cálculos que permiten evaluar labondad de una inversión. Este tema se tratará con más detalle en elcapítulo 5.

EJEMPLO 1

Alguien entrega hoy una suma P por valor de $1.000 a un amigo y alcabo de un año (n) éste le devuelve un valor F de $1.300. Si esta perso-na no intentaba ganar dinero con el amigo, pero tampoco perder, por-


que la tenía depositada en una cuenta de ahorros que producía 30%,con el amigo se dice que es indiferente entre $1.000 hoy y $1.300 des-pués de un año. O sea que estas dos sumas de dinero son equivalentes,porque al año se han recibido 1.000 + i x 1.000 es decir $1.300, dadoque la tasa de interés i% a la cual prestó, fue del 30%.

2.3.1 COMPONENTES DE LA TASA DE INTERÉS

Se puede considerar que la magnitud de la tasa de interés corriente,o sea la que se encuentra en el mercado (la que usan los bancos ocualquier otra entidad financiera) tiene tres componentes o causas: lainflación, el riesgo y la tasa real de interés. Esta descomposición esmuy útil para entender los capítulos 5, 6 y 7. En el capítulo 5, paraentender el elemento riesgo en las diferentes tasas que allí se estudian;en el capítulo 6, para entender las proyecciones de los estados finan-cieros, y en el capítulo 7, el análisis de proyectos en inflación.

2.3.1.1 LA INFLACIÓN

El efecto de la inflación, más precisamente las expectativas de infla-ción, son un efecto propio de la economía, donde se presenta el proble-ma de decidir entre alternativas de inversión. La inflación es una medidadel aumento del nivel general de precios, medido a través de la canastafamiliar; su efecto se nota en la pérdida del poder adquisitivo de lamoneda. Esto significa que cuando hay inflación cada vez se puedecomprar menos con la misma cantidad de dinero. A mayor inflación,mayor tasa de interés. Para corroborar la relación entre inflación y tasade interés corriente se puede citar a Bolten (1976, 369-371), quien alanalizar la relación entre algunos indicadores económicos y las tasasde interés y en particular con la inflación, dice, refiriéndose a los Esta-dos Unidos:

La relación entre la inflación y la tasa de interés parece ser másconsistentemente confiable que la de los otros factores de la de-manda estudiados hasta aquí, aunque las otras relaciones hansido útiles para construir todo el perfil del mercado. Entre media-dos de 1965 y fines de 1966 las crecientes tasas de inflación [...][estuvieron acompañadas] por tasas de interés crecientes [...] Cuan-do las tasas de inflación descendieron a fines de 1970, las tasasde interés disminuyeron de nuevo. El resurgimiento de la rápidainflación de principios a mediados de 1971 y el subsecuente amor-tiguamiento a fines de ese año se puede localizar en las tasas deinterés, que también subieron y luego bajaron de manera notable.En 1973 y 1974 la históricamente elevada inflación dio lugar alrápido aumento de las tasas de interés.


La relación entre los factores de oferta y demanda y las tasas deinterés, así como la confiabilidad de las relaciones esperadas du-rante el decenio 1965-1974, se resumen a continuación.

Factor 1965 - 1974 Relación esperada ConfiabilidadPerspectivas de inflación Al aumentar el factor

aumenta la tasa de interésExacta el 75%de las vecesgeneralmentecon retraso

Otra evidencia:

La Fed pondera medio punto. La amenaza de inflación empuja lastasas de interés.

Las últimas informaciones sobre inflación en Estados Unidos au-mentan las posibilidades, si bien no la certeza, de que la ReservaFederal eleve nuevamente las tasas de interés en medio puntoporcentual cuando sus autoridades se reúnan.

[...]

Distintos informes dados a conocer ayer por el gobierno mostraronfuertes alzas durante el primer trimestre, en uno de los índices deprecios más importantes para los economistas y en los costos la-borales3.

En Colombia, el efecto de la inflación como componente de las tasasde interés, se reconoce con la corrección monetaria de la Unidad dePoder Adquisitivo Constante, UPAC, hasta 1999. A partir del 2000 esto sereconoce con la Unidad de Valor Real UVR. Sin embargo, para 1998, laforma de calcular la corrección monetaria —un porcentaje de la DTF (DTF

es la tasa promedio de captación a 90 días de los bancos, corporacionesfinancieras, corporaciones de ahorro y vivienda y compañías definanciamiento comercial, divulgadas semanalmente por el Banco de laRepública)— resultó a veces en una cifra absurda, puesto que la com-ponente inflacionaria terminó siendo mayor que la misma inflación.Esta fue una de las causas de la crisis del sistema UPAC. Una rápidaexploración a los valores de las tasas de interés libres de riesgo delmercado de algunos países, en la tabla 2.1, muestra la influencia de lainflación sobre la tasa de interés.

3 Schlesinger, Jacob M. en The Wall Street Journal. La Fed pondera medio punto, TheWall Street Journal Americas. El Tiempo, 26 de abril de 2000, p 12A.


TABLA 2.1 Tasas de inflación e interés de algunos países 1997País Tasa de

inflaciónanual %

Tasa de interésanual %

País Tasa deinflaciónanual %

Tasa deinterés

anual %Alemania 1,6 5,41 Hungría* 18,7 20,11Argentina* 0,9 7,00 India* 9,2 6,83Australia 1,6 6,48 Indonesia* 5,0 12,63Austria 2,0 5,58 Israel* 8,4 10,49Bélgica 1,8 5,51 Italia 2,0 6,42Brasil* 5,9 21,00 Japón 1,2 2,25Canadá 1,8 5,80 Malasia* 2,2 8,12Chile* 5,3 10,69 México* 20,4 17,70China* 2,8 9,90 Polonia* 15,3 25,33Colombia* 18,7 22,55 Portugal* 1,8 5,60Corea del Sur* 4,0 12,05 Rep. Checa* 6,8 15,37Dinamarca 2,2 5,89 Rusia* 14,5 36,00España 2,1 6,01 Singapur* 1,6 4,34Estados Unidos 2,6 6,05 Suecia 0,8 6,29Filipinas* 4,8 12,00 Suiza 0,8 3,41Francia 1,4 5,28 Suráfrica* 8,8 15,03Gran Bretaña 2,7 6,96 Tailandia* 4,4 18,00Grecia* 5,5 11,70 Taiwan* 1,8 6,80Holanda 2,3 5,39 Turquía* 78,0 80,00Hong Kong* 5,4 7,24 Venezuela* 43,5 20,93

Fuente: The Economist, 2 de agosto de 1997, p. 80-82.*Países clasificados como emergentes; tasa de interés: de corto plazo.Para los demás países, rendimientos de los bonos del gobierno.

La relación que se presenta en la tabla 2.1 se aprecia en la gráfica 2.1.

GRÁFICA 2.1 Tasa de interés frente a tasa de inflación

Tasa de interés anual frente a inflación

y = 0,8457 x + 5,7254

R2 = 0,8069

0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

Tasa de inflación %

Debe distinguirse entre inflación, devaluación y depreciación, términosque muchas personas utilizan indistintamente. La inflación, como se dijo,tiene que ver con el cambio en el nivel general de precios de los artículos quecomponen una canasta de consumo (canasta familiar); la devaluación serefiere al precio de una divisa extranjera (en Colombia es el dólar de losEstados Unidos), y la depreciación es un concepto contable, que trata demedir, entre otras cosas, el desgaste de un bien debido a su uso.

Tener en cuenta la inflación es muy importante cuando se trata dedeterminar los niveles de las tasas de interés futuras (capítulo 6) yevaluar inversiones en inflación (capítulo 7).

Tas

a de

inte

rés

%


2.3.1.2 EL RIESGO

El efecto del riesgo es intrínseco al negocio o inversión donde se colocael dinero o capital; a mayor riesgo, mayor tasa de interés. El riesgo esproducido por diversos factores: la inflación futura, la inestabilidad eco-nómica y política, la proliferación de normas que hacen inestable la situa-ción de los inversionistas, la devaluación, etc. El elemento riesgo en latasa de interés es muy importante en el reconocimiento de las tasas deinterés que esperan obtener los inversionistas (capítulo 5), en la proyec-ción de las tasas de interés cuando se estructura un proyecto o inversiónfutura (capítulo 6) y cuando se trata de evaluar el riesgo de una inversión.

2.3.1.3 TASA DE INTERÉS REAL

El interés real o la productividad en su uso es un efecto intrínsecodel capital, independiente de la existencia de inflación o riesgo. Reflejatambién la abundancia o escasez de dinero en el mercado (grado deliquidez del mercado) y la preferencia que tengan los ahorradores por laliquidez, o sea, la disponibilidad de dinero en efectivo para consumo.

La relación de estos componentes para determinar la tasa de interéscorriente, no es aditiva, sino multiplicativa, o sea que la tasa de interéscorriente, se puede expresar así:

ic = (1+i

r)(1+i

f)(1+i

p)-1 (2.6)

Donde:

ic = Tasa de interés corriente

ir = Tasa de interés real

if = Tasa de inflación

ip = Componente de riesgo

Hay quienes proponen, al analizar las consecuencias de la utiliza-ción del capital en términos de dinero, que se deben deflactar o reducirlas consecuencias a unidades monetarias constantes. Al hacer esto yutilizar, además, una tasa no deflactada de interés se estará teniendoen cuenta dos veces el efecto de la inflación. Esto se estudia en detalleen otro capítulo. Obviamente, como se sugiere en el párrafo anterior,en una economía inflacionaria debe tenerse en cuenta el precio actualde los activos o capital comprometido.

Se debe ser muy cuidadoso al establecer tasas de interés corriente, puesno se deben confundir con tasas de interés con subsidio, ni lo contrario,tasas de interés de usura o agio. Ejemplos de las primeras son los créditosde fomento; ejemplo de las segundas, las tasas de interés que muchas vecestienen que pagar las clases menos favorecidas y aun las pequeñas empre-sas y microempresas, el 5% al 7% mensual. Es posible encontrar situacio-nes coyunturales en las que la tasa de interés real es negativa, o sea que latasa de interés corriente es menor que la inflación (véase la tabla 2.2).

Esta noción de componentes es pertinente para descomponer, másque para componer la tasa de interés comercial, i

c. Esto es, que a partir

de una determinada tasa de interés comercial ic, conociendo una o dos

componentes, se puede determinar la tercera. Por ejemplo, si se conocela inflación, i

f, y se tiene una tasa de interés libre de riesgo, se puede


determinar el interés real, ir; si se conoce la componente inflacionaria,

if y la tasa de interés real, i

r, se puede calcular la magnitud del riesgo,

percibido por quien fijó la tasa de interés comercial.Sin embargo, cuando se hacen proyecciones para evaluar alternati-

vas de inversión, es recomendable proyectar las componentes (inflación,tasa real y riesgo) para calcular el valor futuro de una tasa de interés. Uncaso de composición de la tasa de interés, es el de las corporaciones deahorro y vivienda en Colombia, que cobran y estipulan por separado lacorrección monetaria (inflación i

f) y el interés real, i

r; se puede considerar

que debido a todos los mecanismos de protección –codeudores, seguros,hipotecas– estas tasas deberían ser libres de riesgo, i

p. Por ejemplo, si se

utilizan los datos de la tabla 2.1, se puede calcular el monto de la tasa deinterés real en esos países, utilizando la siguiente expresión, que se de-duce de la relación entre los componentes, recordando que i

p=0,

( ) 1)1(1 −++= frc iii (2.7)

Entonces,

( )( ) 11

1−

++

=f

cr

i

ii (2.8)

TABLA 2.2 Tasas de inflación e interés corriente y real de algunos paísesPaís Tasa de

inflaciónanual %

Tasa deinterés

anual %

Tasa deinterés

real %**

País Tasa deinflaciónanual %

Tasa de interésanual %

Tasa deinterés

real %**Alemania 1,6 5,41 3,75 Hungría* 18,7 20,11 1,19

Argentina* 0,9 7,00 6,05 India* 9,2 6,83 -2,17

Australia 1,6 6,48 4,80 Indonesia* 5,0 12,63 7,27

Austria 2,0 5,58 3,51 Israel* 8,4 10,49 1,93

Bélgica 1,8 5,51 3,64 Italia 2,0 6,42 4,33

Brasil* 5,9 21,00 14,26 Japón 1,2 2,25 1,04

Canadá 1,8 5,80 3,93 Malasia* 2,2 8,12 5,79

Chile* 5,3 10,69 5,12 México* 20,4 17,70 -2,24

China* 2,8 9,90 6,91 Polonia* 15,3 25,33 8,70

Colombia* 18,7 22,55 3,24 Portugal* 1,8 5,60 3,73

Corea del Sur* 4,0 12,05 7,74 RepúblicaCheca*

6,8 15,37 8,02

Dinamarca 2,2 5,89 3,61 Rusia* 14,5 36,00 18,78

España 2,1 6,01 3,83 Singapur* 1,6 4,34 2,70

Estados Unidos 2,6 6,05 3,36 Suecia 0,8 6,29 5,45

Filipinas* 4,8 12,00 6,87 Suiza 0,8 3,41 2,59

Francia 1,4 5,28 3,83 Sudáfrica* 8,8 15,03 5,73

Gran Bretaña 2,7 6,96 4,15 Tailandia* 4,4 18,00 13,03

Grecia* 5,5 11,70 5,88 Taiwan* 1,8 6,80 4,91

Holanda 2,3 5,39 3,02 Turquía* 78,0 80,00 1,12

Hong Kong* 5,4 7,24 1,75 Venezuela* 43,5 20,93 -15,73

Fuente: The Economist, 2 de agosto de 1997, p. 80-82.* Países clasificados como emergentes; tasa de interés: de corto plazo. Paralos demás países, rendimientos de los bonos del gobierno.** Cálculos del autor.


Según la tabla 2.2, las tasas reales se encuentran, en muchos ca-sos, alrededor del 5%-7%; las variaciones pueden responder a situacio-nes de abundancia o escasez de dinero, o a medidas de controladministrativo, por parte del gobierno.

En una exploración a las tasas de interés libres de riesgo (títulos detesorería del gobierno colombiano, TES) entre abril de 1995 y julio de1999 se encuentra que la tasa de interés real no es constante. Unainterpretación que se le puede dar a este hecho es que aun en las tasasde bonos libres de riesgo existe algún grado de éste, probablementeasociado a la inflación. Esto se puede apreciar en la siguiente tabla.

TABLA 2.3 Comportamiento de la tasa real de interés en Colombia

A 6 meses A 1 año A 2 años A 3 años

Máximo 31,13% 26,30% 17,27% 12,97%

Mínimo -5,26% 2,33% 7,29% 8,79%

Promedio 10,39% 10,91% 9,79% 10,33%

Desviación estándar 8,75% 6,80% 1,91% 1,40%

Coeficiente de variación 1,19 1,61 5,12 7,39

Gráficamente, el comportamiento de las tasas, según los períodosde maduración de los bonos TES, se aprecia en la gráfica 2.2

GRÁFICA 2.2 Comportamiento de la tasa real 1995-1999

Por otro lado, también se encontró que existe una alta correlaciónentre la tasa real y la tasa de inflación. Esto ratifica la idea de que lastasas reales, por su alta variación (véase gráfica 2.2) contienen algúngrado de riesgo asociado a la inflación. La tasa de inflación que seutilizó en este análisis fue la correspondiente al Índice de Precios alConsumidor, IPC, con un año de anticipación, bajo el supuesto de queen las tasas de interés la inflación que queda involucrada es la expecta-tiva de inflación.


2.3.2 CÓMO OPERA LA RELACIÓN ENTRE LOS COMPONENTES

La interacción de los componentes de la tasa de interés se puedeasimilar a lo que ocurre con la devaluación y las tasas de interés enpaíses con devaluación.

Supóngase que se cuenta con un millón de pesos, que el precio deldólar es hoy de $1.000, que se prevé una devaluación de 20% anual. Sise puede convertir un millón de pesos en dólares e invertirlo al 10%anual en los Estados Unidos, al regresar los dólares un año después,¿qué porcentaje se habrá obtenido en la transacción?

HoyHoy + un año

$1.000.000⇓⇓

lo cual resulta en $1.320.000⇑⇑

Se cambian a dólares al preciode⇓⇓

suma en dólares que se cambia a pesos al⇑⇑

$1.000/US$lo cual resulta en

⇓⇓

idev =20%⇒⇒

⇑⇑precio de $1.200/US$

US$1.000que invertidos a

⇒⇒

idura=10%⇒⇒

⇑⇑se convierten en

US$1.100

Interés obtenido por el inversionista: 32%. Este ejemplo ilustra, poranalogía, la idea anterior, ya que la relación entre interés en monedablanda, i

blanda, (tasa de interés en Colombia), tasa de interés en moneda

dura, idura

, y devaluación, idev

, está dada por la siguiente expresión:

( ) 11)1( −++= devdurablanda iii (2.9)

De esta expresión se puede deducir la tasa en moneda dura, cuandoel proceso es inverso; cuando en el ejemplo se tienen dólares y se in-vierte en pesos. Estas expresiones se conocen como el efecto Fisher.

En este caso,

iblanda

= 1,1x1,2 –1 = 1,32 – 1= 32%

2.4 DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA

El diagrama de flujo de caja libre consiste en un modelo gráfico quese utiliza para representar los ingresos y desembolsos de dinero a tra-vés del tiempo. Lo primero que se debe hacer es representar el eje deltiempo.


EJEMPLO 20 1 2 3 n

Aquí cada número indica el final del período correspondiente. Así, elnúmero cero indica el momento presente, o sea cuando el decisor seencuentra tomando una decisión; el número uno indica el final delperíodo uno, etcétera. En este eje de tiempo, el período puede ser undía, un mes, un año o cualquier otra unidad de tiempo.

Los desembolsos o egresos, convencionalmente se expresan con unaflecha hacia abajo; los ingresos, con una flecha hacia arriba; al escribirun desembolso o egreso, en una hoja de cálculo, debe respetarse elsigno, o sea, se debe escribir con signo menos.

En la práctica se utiliza el nombre flujo de caja, para nombrar al flujoo pronóstico de efectivo o de fondos; este informe mide el nivel de liqui-dez, o sea, la disponibilidad de dinero al final de cada período. Sin em-bargo, aquí se utilizará el nombre flujo de caja libre para denominar losingresos y egresos netos de un proyecto de inversión y al instrumentoque permite medir la liquidez, se le denominará flujo de tesorería.

Los desembolsos o egresos convencionalmente se expresan con unaflecha hacia abajo.

EJEMPLO 3

1.000

1.500

500

0 1 2 3 4 5 6

O sea que se efectúan desembolsos al final del instante cero (hoy)por $1.000, al final del período dos, por $1.500 y al final del períodoseis por $500.

Los ingresos, convencionalmente, se representan por flechas haciaarriba.

1.0001.500

0 1 2 3 4 5

600

En este caso se indica que en el instante 0 (final del período, hoy) sereciben $1.000, en el tres, $1.500, y en el cinco, $600. De esta manera


se puede expresar en forma gráfica y sencilla una inversión de recursosen una fecha determinada y los ingresos o beneficios que produzca enotro período.

EJEMPLO 4 1.500

1.000

1 2 3 4 5

Esto indica que una persona deposita $1.000 y después de 5 mesesrecibe $1.500.

Una forma de comparar sumas de dinero en diferentes instantesconsiste en reducirlas a sumas equivalentes. Para este fin se han desa-rrollado fórmulas, las cuales se presentan a continuación.

2.5 INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO

La tasa de interés puede considerarse simple o compuesta. El inte-rés simple ocurre cuando éste se genera únicamente sobre la sumainicial, a diferencia del interés compuesto, que genera intereses sobrela suma inicial y sobre aquellos intereses no pagados que ingresan o sesuman al capital inicial.

EJEMPLO 5

1.000 pesos de hoy (P) prestados al interés simple del 2% mensual(i% ), durante dos meses (n) producen 1.000 x 0,02 más 1.000 x 0,02 osea $40 al final de dos meses (F=1.040); en cambio, esos mismos$1.000 (P) prestados a interés compuesto (i%) producirán 1.000 x 0,02en el primer mes o sea, $20 y al final del segundo mes, producirán1.020 x 0,02 o sea, $40,40 (F=1.040,40).

La tabla 2.4, que ilustra el valor acumulado de una suma de dineroinvertida a interés simple y a interés compuesto, permite aclarar estasideas.

TABLA 2.4 Valor acumulado de una suma de dinero

Mes Capital$

Tasa de interéssimple 2% ($)

Total$

Tasa de interés compuesto 2% ($) Total$

1 1.000 20 1.020 20 1.0202 1.000 20+20 1.040 20+(1.020x0,02) 1.040,403 1.000 20+20+20 1.060 40,40+(1.040,40x0,02) 1.061,214 1.000 20+20+20+20 1.080 61,208+(1.061,208x0,02) 1.082,43


A partir de la tabla 2.3 y recordando la aritmética básica, se puede gene-ralizar el comportamiento del interés compuesto, y en particular de la sumatotal, así: (1+i)n. El valor final de 1.082,43 que aparece en la esquina inferiorderecha en la tabla anterior, es igual a 1.000 x (1,02)4. Cuando se estudió elconcepto de equivalencia, se dijo que F=P(1+i), y que esto se puede generali-zar, según lo que se concluye de este ejemplo, como F=P(1+i)n.

En otras palabras, el monto del interés simple acumulado se calcu-la como P x i x n, y el monto del interés compuesto acumulado secalcula como P(1+i)n -P.

Como se verá más adelante, la expresión (1+i)n establece la relaciónentre dos sumas de dinero: P en el instante 0, y F en el período n.

Al trabajar con Excel, se hacen estas sugerencias útiles: dibujar eldiagrama de flujo de caja libre y escribir en celdas los datos que entranen la función de Excel; y al utilizar el botón Pegar función de Excel 97(Asistente de funciones en versiones anteriores), introducir las celdas yno los valores.

2.6 FÓRMULAS DE INTERÉS O FACTORES DE CONVERSIÓN

El desarrollo metódico de estas fórmulas se conoce en la literaturacon el nombre de matemáticas financieras. Aquí se trata de encontraruna variable entre cinco, dadas tres de ellas, de las cuales una es elnúmero de períodos (n) o la tasa de interés (i). La condición es que semantenga válida la equivalencia entre flujos de caja.

Las variables son:

n = Número de períodos que se analizan (año, mes, día, trimestre, se-mana, etcétera). Es claro que se trata de períodos iguales. Nombrecomo parámetro en la función de Excel nper.

i = Tasa de interés, expresada en porcentaje por unidad de tiempo (año,mes, día, trimestre, semana, etcétera). Este interés debe ser esti-pulado por unidad de tiempo igual al período indicado en n. Sesupone interés compuesto. Nombre como parámetro en la funciónde Excel, tasa.

P = Suma presente, situada al final del instante cero. Nombre comoparámetro en la función de Excel VA.

F = Suma futura, situada al final del período n. En otros textos usan laletra S. Nombre como parámetro en la función de Excel VF.

C= Cuota o pago uniforme, situada al final de todos los períodos entreel 1 y el n. En otros textos se llama A, de anualidad; aquí se prefierenombrarla como cuota C, porque es más general. Nombre comoparámetro en la función de Excel pago.

Al escribir estas funciones en el texto, se remplazará el nombre delparámetro de la función en Excel, por los nombres que aquí se hanindicado.

Entre estas variables se pueden establecer relaciones cuando secumplen ciertos patrones; de manera gráfica y resumida son así:


1. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el instante0, en una suma de dinero mayor F en el período n y viceversa.

P F

0 n0n

2. Se puede transformar una suma de dinero presente P en el instante0, en una serie de cuotas uniformes C, que comienzan en el período1 y terminan en el período n y viceversa.

0 n 0 1 n

C C C C C P

3. Se puede transformar una suma de dinero futura F en el período n,en una serie de cuotas uniformes C, que comienzan en el período 1y terminan en el período n y viceversa.

0 n 0 1 n

C C C C C F

Todas estas transformaciones se pueden hacer a partir de la rela-ción ya conocida F=P(1+i)n y su recíproca P=F/(1+i)n.

Las fórmulas para cada caso se describen, con ejemplos, en el Apén-dice de matemáticas financieras, al final del capítulo.

2.7 RESUMEN DE FUNCIONES DE EXCEL

=VF(i;n;;P) Convierte una suma presente P al comienzo del pe-ríodo 1, o sea final del instante 0, en una suma futura F al finaldel período n.

=VA(i;n;;F) Convierte una suma futura F al final del período n enuna suma presente P al comienzo del período 1, o sea final delinstante 0.

=VA(i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se iniciaal final del período 1 y termina al final del período n en unasuma presente P al comienzo del período 1, o sea final del ins-tante 0.


=PAGO(i;n;P) Convierte una suma presente P al comienzo delperíodo 1, o sea final del instante 0, en una serie uniforme devalor C, que se inicia al final del período 1 y termina al final delperíodo n.

=VF(i;n;C) Convierte una serie uniforme de valor C, que se iniciaal final del período 1 y termina al final del período n, en unasuma futura F, al final del período n.

=PAGO(i;n;;F) Convierte una suma futura de valor F, situada enel final del período n, en una serie uniforme de valor C, que seinicia en el final del período 1 y termina al final del período n.

=TASA(nper;pago;va;vf;tipo;i semilla) =TIR(rango;i semilla) Cal-cula la tasa de interés que hace equivalentes unos flujos nega-tivos a unos positivos. Responde a la pregunta ¿a qué tasa deinterés se invirtió un dinero que produjo determinado flujo debeneficios? Para la función TASA se le debe indicar los parámetrosC, F, P, e i semilla. Para la función TIR se le debe indicar alprograma una tasa de interés inicial (i semilla), con la cualinicia los cálculos y el rango donde aparecen todos los flujosque se desean analizar.

=VNA(i;rango) Calcula el valor presente de un flujo de caja librea la tasa de interés indicada y lo expresa en unidades moneta-rias del período inmediatamente anterior al que inicia el rangoque se indicó en la fórmula.

=nper(tasa;pago;va;vf;tipo;i semilla) Encuentra el número deperíodos que se requieren para que una inversión se convierta enun determinado monto al final de esos períodos, o el número decuotas que se requieren para pagar un préstamo con una cuotadeterminada o el número de depósitos iguales necesarios paraobtener una cierta suma de dinero al final de los períodos calcula-dos. En todos los casos se debe estipular una tasa de interés.

En forma abreviada:

Operación Patrón típico (a partir deP, F, C, nper y/o i%)

Patrón no típico(irregular)

A suma presente VA VNA

A suma futura VF No hayA cuota uniforme PAGO No hayTasa de interés TASA TIR

Número de períodos NPER No hay

Estos factores se encuentran en calculadoras financieras y otrashojas electrónicas, de manera que pueden obtenerse con gran preci-sión y rapidez. También se pueden utilizar tablas de factores de interésque se encuentran en los libros viejos de matemáticas financieras.


EJERCICIOS

Resolver los siguientes ejemplos utilizando los siguientes valores deP, F, C, n e i para hallar lo que se pide en cada numeral. La soluciónestá en el archivo MATFIN.XLS anunciado en la presentación y que esparte integral de este texto.

P = $2.000.000

n = 12

C = $200.000

i = 3,00%

F = $5.000.000

1. Calcular el número de períodos, que se demora una inversión Ppara convertirse en un valor determinado F, a una tasa de interés i.

2. Calcule el valor futuro F, de una cuota uniforme C, a una tasa deinterés i%, al final de n períodos.

3. Calcule la cuota uniforme C, equivalente a una suma presente P, enn períodos al i%.

4. Calcule el valor presente de una cuota uniforme durante n perío-dos, a la tasa de i%.

5. Calcule la tasa de interés i, que hace que una inversión hoy P seconvierta en determinado valor F, al final de n períodos.

6. Calcule el número de cuotas C, que se requieren para obtener unasuma determinada F, a una tasa de interés i%.

7. Calcule la tasa de interés i% que hace equivalentes los flujos positi-vos y los negativos.

A ñ o 0 1 2 3 4

Flujo $ -10 2 5 6 7

8. Calcule el valor presente del flujo de caja libre entre el año 1 y el 4a una tasa de interés i%, según los datos anteriores.

2.8 TABLAS DE AMORTIZACIÓN

Una tabla de amortización muestra cómo un pago de una deuda sedivide entre interés y abono o amortización de la deuda; o, si así fuera,cómo un determinado esquema de abonos o amortizaciones conduce, alsumarle los intereses, a una cierta cuota o pago. Con una tabla de amor-tización se puede también determinar el saldo pendiente al final de cadaperíodo. Algo similar puede hacerse con una tabla de capitalización; ladiferencia radica en que en lugar de amortizar (disminuir una deuda), secapitalizan los ahorros y los intereses que ellos producen y, por ende, sepuede calcular el saldo acumulado del capital ahorrado con sus intereses.


Se pueden construir tablas de amortización con todos los esquemas depago posibles. Tradicionalmente y con la ausencia de medios eficientes decálculo, se han reducido las tablas de amortización a unos cuantos esque-mas: cuotas uniformes o abonos uniformes –como los mencionados en elejercicio 3– y, si acaso, a esquemas con períodos de gracia (cuando sepagan sólo los intereses y no se hace la amortización de la deuda). Con laayuda de las hojas de cálculo se pueden hacer esquemas tan variados queel límite lo impone la imaginación del usuario.

Algunos ejemplos son las cuotas escalonadas que se promocionanpara el pago de deudas de vivienda. El secreto para trabajar estos es-quemas es hacer depender todas las cuotas futuras de la primera cuo-ta y construir el modelo en función de esa primera cuota; hecho esto,hay que encontrar el valor de la primera cuota que haga cero el saldofinal. Esto se puede lograr con una opción de Excel que está en Herra-mientas del menú y se llama Buscar objetivo.

Escogida esta opción, aparece el siguiente cuadro de diálogo:

En la casilla Definir la celda se indica la celda que nos interesa quetome cierto valor, por ejemplo, el saldo final. En la casilla con el valor,se indica el valor que se desea que tome la casilla anterior y en lacasilla para cambiar la celda, se indica la celda que debe ser cambiadahasta cuando se obtenga el valor deseado.

El análisis de las tablas de amortización se basa en la siguienterelación que siempre debe cumplirse:

Cuota o pago = amortización o abono + intereses


En realidad hay dos clases de tablas de amortización: a) para lasque se define el pago o cuota y b) para las que se define la amortización.En el primer caso, la amortización se calcula como el pago o cuotamenos los intereses; en el segundo, la cuota se define como la amorti-zación más los intereses. Lo más importante al construir la tabla deamortización es su estructura básica, así para casos con pago de inte-rés vencido:

CASO 1. CUANDO SE FIJA LA CUOTA O PAGO

Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo finalSaldo final delperíodoanterior

Saldo inicial portasa de interés

Pago menosinterés

Definido avoluntad

Saldo inicial menosabono

EJEMPLO 6

Un préstamo de $1.000 al 3% mensual pagadero en 12 meses concuotas que se duplican cada dos meses. La primera aproximación po-dría ser:

Mes Saldo inicial$

Interés $

Abono$

Pago$

Saldo final $

0 1.000,001 1.000,00 30,00 - 25,00 5,00 1.025,002 1.025,00 30,75 - 25,75 5,00 1.050,753 1.050,75 31,52 - 21,52 10,00 1.072,274 1.072,27 32,17 - 22,17 10,00 1.094,445 1.094,44 32,83 - 12,83 20,00 1.107,276 1.107,27 33,22 - 13,22 20,00 1.120,497 1.120,49 33,61 6,39 40,00 1.114,118 1.114,11 33,42 6,58 40,00 1.107,539 1.107,53 33,23 46,77 80,00 1.060,7610 1.060,76 31,82 48,18 80,00 1.012,5811 1.012,58 30,38 129,62 160,00 882,9612 882,96 26,49 133,51 160,00 749,44

En la hoja de cálculo hay que construir las fórmulas de la columnaPago de manera que indiquen que la segunda cuota es igual a la prime-ra, la tercera es el doble de la segunda, la cuarta igual a la tercera y asísucesivamente.


Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obte-nido será:

Mes Saldo inicial$

Interés$

Abono$

Pago$

Saldo final$

0 1.000,001 1.000,00 30,00 -19,46 10,54 1.019,462 1.019,46 30,58 -20,04 10,54 1.039,503 1.039,50 31,19 -10,10 21,08 1.049,614 1.049,61 31,49 -10,41 21,08 1.060,015 1.060,01 31,80 10,36 42,16 1.049,656 1.049,65 31,49 10,67 42,16 1.038,987 1.038,98 31,17 53,16 84,33 985,828 985,82 29,57 54,75 84,33 931,079 931,07 27,93 140,72 168,65 790,3510 790,35 23,71 144,94 168,65 645,4111 645,41 19,36 317,94 337,30 327,4812 327,48 9,82 327,48 337,30 0,00

El mismo préstamo, pero con un solo pago al final se podría solucio-nar de la siguiente forma:

Mes Saldo inicial$

Interés$

Abono$

Pago$

Saldo final$

0 1.000,001 1.000,00 30,00 - 30,00 - 1.030,002 1.030,00 30,90 - 30,90 - 1.060,903 1.060,90 31,83 - 31,83 - 1.092,734 1.092,73 32,78 - 32,78 - 1.125,515 1.125,51 33,77 - 33,77 - 1.159,276 1.159,27 34,78 - 34,78 - 1.194,057 1.194,05 35,82 - 35,82 - 1.229,878 1.229,87 36,90 - 36,90 - 1.266,779 1.266,77 38,00 - 38,00 - 1.304,7710 1.304,77 39,14 - 39,14 - 1.343,9211 1.343,92 40,32 - 40,32 - 1.384,2312 1.384,23 41,53 - 39,53 2,00 1.423,76

Al hacer que el saldo sea cero con Buscar objetivo, el resultado obte-nido será:


Mes Saldo inicial$

Interés$

Abono$

Pago$

Saldo final$

0 1.000,001 1.000,00 30,00 -30,00 0 1.030,002 1.030,00 30,90 -30,90 0 1.060,903 1.060,90 31,83 -31,83 0 1.092,734 1.092,73 32,78 -32,78 0 1.125,515 1.125,51 33,77 -33,77 0 1.159,276 1.159,27 34,78 -34,78 0 1.194,057 1.194,05 35,82 -35,82 0 1.229,878 1.229,87 36,90 -36,90 0 1.266,779 1.266,77 38,00 -38,00 0 1.304,7710 1.304,77 39,14 -39,14 0 1.343,9211 1.343,92 40,32 -40,32 0 1.384,2312 1.384,23 41,53 1.384,23 1.425,76 0

Un ejemplo de cuota o pago escalonado es el de pagar un préstamode $1.000 a la tasa del 3% mensual y pagarlo en cuotas que crecen $10cada mes. El primer esquema sería:

Período SaldoInicial $

Interés$

Abono$

Pago$

SaldoFinal $

0 1.000,001 1.000,00 30,00 -29,00 1,00 1.029,002 1.029,00 30,87 -19,87 11,00 1.048,873 1.048,87 31,47 -10,47 21,00 1.059,344 1.059,34 31,78 -0,78 31,00 1.060,125 1.060,12 31,80 9,20 41,00 1.050,926 1.050,92 31,53 19,47 51,00 1.031,457 1.031,45 30,94 30,06 61,00 1.001,398 1.001,39 30,04 40,96 71,00 960,439 960,43 28,81 52,19 81,00 908,2510 908,25 27,25 63,75 91,00 844,4911 844,49 25,33 75,67 101,00 768,8312 768,83 23,06 87,94 111,00 680,89

En la hoja de cálculo, la segunda cuota es igual a la primera más$10, y así sucesivamente.

Para los dos ejemplos, la primera cuota puede tener cualquier valor;lo importante es que las demás cuotas –de la segunda en adelante–dependan de la primera; así, cuando se cambie la primera, las demáscuotas y el resto de la tabla cambiarán también. Esa cuota de la cualdependen las demás deberá ser un número, no una fórmula, y el restodebe estar encadenado a esta primera celda por medio de fórmulas.Habrá que cambiar el valor de la primera cuota hasta cuando el saldofinal sea cero. Esto se puede hacer a mano, pero el computador lo hacemás rápido. Con la opción Buscar objetivo ya mencionada, se define la


celda donde está el saldo final de último período con el valor cero, y sele pide que cambie la celda donde está la primera cuota.

Hecho esto, se obtiene el siguiente resultado:

Período SaldoInicial $

Interés$

Abono$

Pago$

Saldo final$

0 1.000,001 1.000,00 30,00 18,98 48,98 981,022 981,02 29,43 29,55 58,98 951,483 951,48 28,54 40,43 68,98 911,044 911,04 27,33 51,65 78,98 859,405 859,40 25,78 63,20 88,98 796,206 796,20 23,89 75,09 98,98 721,117 721,11 21,63 87,34 108,98 633,778 633,77 19,01 99,96 118,98 533,809 533,80 16,01 112,96 128,98 420,8410 420,84 12,63 126,35 138,98 294,4911 294,49 8,83 140,14 148,98 154,3512 154,35 4,63 154,35 158,98 0,00

Este ejemplo indica que se pueden construir tablas de amortizacióncon cualquier esquema de pago y siempre será posible encontrar saldofinal igual a cero. El esquema de pago puede ser tal que la cuota seamenor que los intereses que deben pagarse; en este caso, el saldo finalaumentará, en lugar de disminuir. Esto es lo que ocurre en algunosplanes de pago de vivienda tanto en UPAC como en pesos, lo cual de-muestra que los males que se le atribuyen al UPAC no obedecen sino alesquema de pago de cuotas que se adopte. Si las primeras cuotas sonmenores que los intereses, con deuda en UPAC o en pesos, el problemaes igual.

CASO 2. CUANDO SE FIJA EL ABONO O AMORTIZACIÓN

Saldo inicial Interés Abono Pago Saldo finalSaldo final delperíodo anterior

Saldo inicial portasa de interés

Definida avoluntad

Abono másinterés

Saldo inicial menosAbono

EJEMPLO 7

En este caso se debe garantizar que la suma de las amortizacionessea igual a la deuda.

El mismo préstamo del ejemplo anterior:


Mes Saldo inicial$

Interés $

Abono $

Pago$

Saldo final $

0 1.000,001 1.000,00 30,00 83,333 113,33 916,672 916,67 27,50 83,333 110,83 833,333 833,33 25,00 83,333 108,33 750,004 750,00 22,50 83,333 105,83 666,675 666,67 20,00 83,333 103,33 583,336 583,33 17,50 83,333 100,83 500,007 500,00 15,00 83,333 98,33 416,678 416,67 12,50 83,333 95,83 333,339 333,33 10,00 83,333 93,33 250,0010 250,00 7,50 83,333 90,83 166,6711 166,67 5,00 83,333 88,33 83,3312 83,33 2,50 83,333 85,83 0,00

1000,00

EJEMPLO 8

Se desea calcular el plan de pago de un préstamo de $1.000.000para pagarlo en 12 meses. Se quiere estudiar tres formas de pago condiferentes supuestos:

• Cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes.• Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales iguales.• Cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés mensuales dife-

rentes.

Para todos los casos se debe construir la estructura de la forma depago y de la respectiva tabla de amortización. Como se desea encontraruna forma de pago de la deuda, entonces se debe cumplir la condiciónde tener un saldo igual a cero al final del último mes.

Para la cuota uniforme con tasas de interés mensuales diferentes seconstruye la estructura de una cuota uniforme, dentro de la tabla deamortización (caso a, donde se fija la cuota o pago).


Mes Saldoinicial

Interés Abono Cuotauniforme

Saldofinal

Tasa Aumento

0 1,000.001 1.000,00 29,96 -24,96 5,00 1.025 2,996% 0%2 1.024,96 29,36 -24,36 5,00 1.049 2,865% 0%3 1.049,32 32,26 -27,26 5,00 1.077 3,074% 0%4 1.076,58 29,09 -24,09 5,00 1.101 2,702% 0%5 1.100,66 29,75 -24,75 5,00 1.125 2,703% 0%6 1.125,42 31,48 -26,48 5,00 1.152 2,797% 0%7 1.151,90 33,35 -28,35 5,00 1.180 2,895% 0%8 1.180,26 40,02 -35,02 5,00 1.215 3,391% 0%9 1.215,27 38,03 -33,03 5,00 1.248 3,129% 0%10 1.248,31 36,84 -31,84 5,00 1.280 2,951% 0%11 1.280,15 40,88 -35,88 5,00 1.316 3,193% 0%12 1.316,03 37,24 -32,24 5,00 1.348 2,830% 0%Como se observa, todas las cuotas (y las demás celdas) deberán

depender de la primera cuota. Por lo tanto, si esta cifra se cambia, todolo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuandoel saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada, puedehacer el trabajo.

Al aplicar esta opción:

Mes Saldoinicial


Saldofinal

Tasa Aumento

0 1.000,001 1,000,00 29,96 70,08 100,04 930 2,996% 0%2 929,92 26,64 73,40 100,04 857 2,865% 0%3 856,52 26,33 73,71 100,04 783 3,074% 0%4 782,81 21,15 78,89 100,04 704 2,702% 0%5 703,92 19,03 81,01 100,04 623 2,703% 0%6 622,91 17,43 82,61 100,04 540 2,797% 0%7 540,30 15,64 84,39 100,04 456 2,895% 0%8 455,91 15,46 84,58 100,04 371 3,391% 0%9 371,33 11,62 88,42 100,04 283 3,129% 0%10 282,91 8,35 91,69 100,04 191 2,951% 0%11 191,22 6,11 93,93 100,04 97 3,193% 0%12 97,29 2,75 97,29 100,04 0 2,830% 0%

En este ejemplo, la cuota uniforme es de $100,04. Obsérvese que yano es posible usar la función de Excel pago, por tener varias tasas deinterés.

Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés men-suales iguales, se construye la estructura de una cuota uniforme, den-tro de la tabla de amortización (también caso a en que se fija la cuota opago). La construcción de la estructura es igual a la anterior. Aquí ladiferencia radica en los datos; el crecimiento no es 0%, sino 1%, y latasa mensual es constante es 2,5%.


Mes Saldoinicial


Saldofinal

Tasa Aumento

0 1.000,001 1.000,00 25,00 -20,00 5,00 1.020 2,50% 1%2 1.020,00 25,50 -20,45 5,05 1.040 2,50% 1%3 1.040,45 26,01 -20,91 5,10 1.061 2,50% 1%4 1.061,36 26,53 -21,38 5,15 1.083 2,50% 1%5 1.082,74 27,07 -21,87 5,20 1.105 2,50% 1%6 1.104,61 27,62 -22,36 5,26 1.127 2,50% 1%7 1.126,97 28,17 -22,87 5,31 1.150 2,50% 1%8 1.149,84 28,75 -23,39 5,36 1.173 2,50% 1%9 1.173,22 29,33 -23,92 5,41 1.197 2,50% 1%

10 1.197,14 29,93 -24,46 5,47 1.222 2,50% 1%11 1.221,60 30,54 -25,02 5,52 1.247 2,50% 1%12 1.246,61 31,17 -25,59 5,58 1.272 2,50% 1%

Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas)dependen de la primera cuota. Por lo tanto, si esta cuota se cambia,todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuan-do el saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada,puede hacer el trabajo. Al aplicar esta opción:

Mes SaldoInicial

Interés Abono Cuota Saldofinal

Tasa Aumento

0 1,000.001 1.000,00 25,00 67,51 92,51 932 2,50% 1%2 932,49 23,31 70,12 93,44 862 2,50% 1%3 862,36 21,56 72,81 94,37 790 2,50% 1%4 789,55 19,74 75,58 95,31 714 2,50% 1%5 713,98 17,85 78,42 96,27 636 2,50% 1%6 635,56 15,89 81,34 97,23 554 2,50% 1%7 554,22 13,86 84,35 98,20 470 2,50% 1%8 469,87 11,75 87,44 99,18 382 2,50% 1%9 382,43 9,56 90,62 100,18 292 2,50% 1%

10 291,82 7,30 93,88 101,18 198 2,50% 1%11 197,94 4,95 97,24 102,19 101 2,50% 1%12 100,69 2,52 100,69 103,21 0 2,50% 1%

En este ejemplo, la primera cuota es de 92,51 y crece 1% cada mes.Obsérvese que ya no es posible usar la función de Excel pago, por noser una cuota uniforme.

Para la cuota creciente en 1% mensual con tasas de interés men-suales diferentes, se construye la estructura de una cuota uniforme,dentro de la tabla de amortización (también caso a, donde se fija lacuota o pago). La construcción de la estructura es igual a la primera.Aquí la diferencia con el anterior radica en los datos; el crecimiento es1%, pero las tasas son diferentes.


Mes Saldoinicial


Tasa Aumento

0 1.000,001 1.000,00 30,00 (25,00) 5,00 1.025,00 3,00% 1%2 1.024,96 29,36 (24,36) 5,05 1.049,00 2,86% 1%3 1.049,32 32,26 (27,26) 5,10 1.077,00 3,07% 1%4 1.076,58 29,09 (24,09) 5,15 1.101,00 2,70% 1%5 1.100,66 29,75 (24,75) 5,20 1.125,00 2,70% 1%6 1.125,42 31,48 (26,48) 5,26 1.152,00 2,80% 1%7 1.151,90 33,35 (28,35) 5,31 1.180,00 2,90% 1%8 1.180,26 40,02 (35,02) 5,36 1.215,00 3,39% 1%9 1.215,27 38,03 (33,03) 5,41 1.248,00 3,13% 1%

10 1.248,31 36,84 (31,84) 5,47 1.280,00 2,95% 1%11 1.280,15 40,88 (35,88) 5,52 1.316,00 3,19% 1%12 1.316,03 37,24 (32,24) 5,58 1.348,00 2,83% 1%

Igual que en el caso anterior, todas las cuotas (y las demás celdas)dependen de la primera cuota. Por lo tanto, si esta cuota se cambia,todo lo demás cambiará. Esto se podría hacer manualmente hasta cuan-do el saldo sea cero, pero la opción Buscar objetivo, ya mencionada,puede hacer el trabajo. Al aplicar esta opción:

Mes Saldoinicial


Tasa Aumento

0 1.000,001 1.000,00 30,00 64,98 94,98 935,02 3,00% 1%2 935,02 26,74 69,19 95,93 865,83 2,86% 1%3 865,83 26,58 70,31 96,89 795,53 3,07% 1%4 795,53 21,48 76,38 97,86 719,15 2,70% 1%5 719,15 19,42 79,42 98,84 639,73 2,70% 1%6 639,73 17,91 81,91 99,82 557,82 2,80% 1%7 557,82 16,18 84,65 100,82 473,17 2,90% 1%8 473,17 16,04 85,79 101,83 387,38 3,39% 1%9 387,38 12,13 90,72 102,85 296,66 3,13% 1%

10 296,66 8,75 95,13 103,88 201,54 2,95% 1%11 201,54 6,43 98,49 104,92 103,05 3,19% 1%12 103,05 2,92 103,05 105,96 0,00 2,83% 1%

Hay que observar que cuando las tasas de interés no son constanteslas funciones ya conocidas de Excel no se pueden utilizar. Hay quediseñar la estructura de los pagos y utilizar la opción Buscar objetivo.

2.9 TASAS DE INTERÉS EQUIVALENTES

En muchos casos es necesario hacer transformaciones a las tasasde interés estipuladas, para poderlas comparar. En particular, esto serefiere a los casos donde los intereses se pagan en forma anticipada yen que los intereses se estipulan para un determinado período, peroque se liquidan (se hacen pagos, por ejemplo) en períodos menores queel estipulado inicialmente; este caso se refiere a la tasa de interés no-minal y tasa de interés efectiva.


2.9.1 INTERÉS ANTICIPADO E INTERÉS VENCIDO

Interés anticipado, como su nombre lo indica, es el que se liquida alcomienzo del período, donde se recibe o entrega un dinero. Interés ven-cido, por el contrario, se liquida al final del período, donde se recibe oentrega un dinero.

Muchas negociaciones se estipulan en términos de interés anticipa-do y es deseable conocer cuál es el equivalente en tasas de interésvencido. Un ejemplo corriente lo constituyen los préstamos bancarios ylos certificados de depósito a término.

Cuando se estipula un pago de interés anticipado (ia), en realidad

ello significa que –en el caso de un préstamo– se recibe un monto me-nor al solicitado.

A manera de ejemplo, considérese un préstamo P pagadero a unaño, con tasa de interés de i%

Gráficamente se tiene para el caso de interés vencido:

P

P + Pi

1

0

El interés pagado ya se estudió, es el excedente que se entrega sobrelo recibido –en este ejemplo, recibido en préstamo–; por lo tanto, la tasade interés será:

iPPi = (2.10)

Este caso se dijo que era para el interés vencido. En el caso deinterés anticipado, sería:

P

Pia P

1 0


Es decir que en el instante cero se recibe ahora P-Pia y al final del

año se debe pagar P. Nuevamente, la suma adicional que se paga es Pia,

pero la suma recibida es P-Pia. Esto quiere decir que la tasa de interés

vencida, se puede calcular así:

a

a

a

av i

i

PiP

Pii

−=

−=

1 (2.11)

Donde:

iv = Tasa de interés vencida

ia = Tasa de interés anticipada

Con esta función se puede, entonces, convertir cualquier tasa deinterés anticipada en una tasa de interés vencida. Esta fórmula se uti-liza sólo para tasas periódicas, esto es, las tasas que se aplican endeterminado período para el cálculo del interés. Una tasa de interésanticipada del 8% trimestral, equivale a 8,6957% trimestral vencida,que se calcula aplicando la fórmula anterior. Para utilizar esta conver-sión se debe trabajar con la tasa correspondiente a un período de apli-cación de esa tasa. Por ejemplo, una tasa de interés de 8% anticipadaque se aplica a un trimestre.

Para comprender mejor estas ideas se sugiere que el lector pienseen una situación como la siguiente: alguien le ofrece en préstamo$10.000 que debe pagar después de un año, pero le cobra intereses de30% anticipado. Si el lector necesita la totalidad de los $10.000, le pideentonces a quien le presta que le cobre vencido, pues si es anticipadosólo recibiría $7.000. Se esperaría que al negociar intereses vencidos,le tocaría pagar por intereses ¿más de $3.000?, ¿menos de $3.000?,¿los mismos ($3.000)?

Utilizando la expresión anterior, se puede transformar una tasa deinterés nominal, liquidada en forma anticipada, en una tasa de interésefectiva vencida. La tasa de interés nominal anticipada por período, seconvierte en tasa de interés vencida y, después, ésta se transforma enuna tasa de interés efectiva. Esto se estudiará en la siguiente sección.

EJEMPLO 9

Si la tasa de interés anual se estipula como 32% y se liquida trimes-tralmente por anticipado, es decir, que se cobra la cuarta parte cadatrimestre ¿a cuánto equivale ese interés trimestral vencido?

Tasa de interés trimestral anticipada =0,32/4 =0,08 =8%Tasa de interés trimestral vencida =0,08/(1-0,08) =0,087 =8,7%Con un análisis similar, se puede concluir que la tasa de interés

anticipado se puede calcular a partir de la tasa de interés vencido así:

vivi

ai +=

1 (2.12)


Para utilizar esta conversión se debe trabajar con la tasa correspon-diente a un período de aplicación de esa tasa. Esto significa que seutiliza sólo para tasas periódicas, esto es, las tasas que se aplican endeterminado período para el cálculo del interés. Por ejemplo, una tasade interés de 8% vencida que se aplica a un trimestre.

EJEMPLO 10

Si un banco dice que cobra una tasa de interés de 36% anual, liqui-dado cada mes, vencido, ¿a qué tasa de interés mes anticipado corres-ponde ese interés?

El interés mensual vencido es: 0,36/12=0,03=3%El interés mensual anticipado es i

a = 0,03/(1+0,03) = 0,0291

0,02913 0,031

0,03ai =

+=

Enseguida se estudiará que el interés nominal anual mes anticipadoes 34,96%, o sea, 2,913% x 12.

2.9.2 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y TASA

DE INTERÉS EFECTIVA

En las operaciones de bolsa se venden papeles que se han manteni-do por tiempos diferentes cada uno (una acción se vende después de 23días de comprada, y otros títulos se venden después de haberlos man-tenido por tiempos diferentes: 42 días, un año y medio, 234 días, etcé-tera). Cuando esto ocurre y se calculan las tasas de interés ganadassobre esas operaciones, ellas no son comparables entre sí, debido pre-cisamente a la disparidad de los plazos: no es adecuado hablar de 2,5%de interés en 23 días y de interés 4,2% en 42 días o de 37% en 440 díasy tratar de comparar estos rendimientos.

Lo mismo sucede cuando un préstamo se estipula a una tasa deinterés de 35% anual liquidado cada trimestre vencido y se desea com-parar con otro préstamo a 32% anual, pero liquidado mes anticipado. Asimple vista, no es posible determinar cuál de estas expresiones de lastasas de interés es la que indica mayor rentabilidad o es la más onero-sa en el caso de los préstamos. Para ello, se deben convertir a una basecom ún; prim ero se debe determ inar lo que se conoce com o tasa deinterés nominal y a partir de ella se debe determinar la tasa de interésefectiva.

2.9.2.1 TASA DE INTERÉS NOMINAL

Tasa de interés nominal es una tasa de interés que se estipula paraun determinado período –por ejemplo, un año– y que es liquidable enforma fraccionada, en lapsos iguales o inferiores al indicado inicial-mente; esta liquidación se realiza con la tasa determinada para ese


período menor, y se llama tasa de interés periódica. En el primer caso—lapsos iguales—, la tasa nominal rige para la operación y el montodel interés recibido es una fracción del monto inicial, igual a la tasa deinterés nominal estipulada; en el segundo —lapsos inferiores al estipu-lado—, la tasa nominal se convierte en una tasa de interés mayor quese denomina tasa de interés efectiva.

Se puede determinar una tasa de interés nominal a partir de unatasa de interés periódica, simplemente multiplicando la tasa de interésperiódica por el número de períodos que haya en el período más grandeque se ha estipulado para la tasa nominal. Por ejemplo, si la tasa perió-dica es de 2% mensual, la tasa nominal anual mes vencido será 24%(2% x 12). Al contrario, la tasa de interés periódica se puede calcular apartir de la tasa nominal dividiéndola entre el número de períodos. Porejemplo, una tasa nominal anual de 36% liquidada trimestre anticipa-do da origen a una tasa trimestral de 9% (36%/4) liquidada anticipadaen el trimestre.

2.9.2.2 TASA DE INTERÉS EFECTIVA

Tasa de interés efectiva es la tasa de interés que resulta cuando seliquida una tasa de interés nominal en períodos menores al estipuladoinicialmente para ella. Es una tasa de interés equivalente a la nominalliquidada en períodos inferiores (más cortos) al estipulado para la tasanominal; en otras palabras, si los intereses de la tasa nominal se acumu-laran en una cuenta durante todos esos períodos, el interés recibido alfinal del período mayor, estaría medido por la tasa de interés efectiva.Dicha tasa puede calcularse en virtud de que el interés que efectiva-mente ocurre, es compuesto, ya que las liquidaciones de éste se hanacumulado. Asimismo, la tasa de interés efectiva, también puede sercalculada cuando se realizan pagos de interés con anterioridad a lostiempos estipulados en la tasa nominal.

Aun si los pagos de interés no se acumulan, se puede concebir latasa de interés efectiva como el porcentaje que resultaría si se hubieraacumulado; esta forma de verlo es útil cuando se desea comparar tasasnominales especificadas con períodos de liquidación diferentes, o cuandose tienen rendimientos en fracciones de tiempo diferentes. Por ello, esincorrecto lo que muchas personas consideran: que es equivalente ha-blar de una tasa de interés del 2% mensual y una del 24% anual. Ladiferencia entre ellas radica en la longitud del período de liquidación.

En resumen, la tasa de interés efectiva anual se puede considerarcomo una ficción matemática, que sirve para hacer comparables tasasde interés estipuladas para un determinado período –por lo general unaño– con liquidaciones en períodos inferiores a ese período inicial. Másaún, es una ficción en el sentido de que, por ejemplo, una persona sepuede enfrentar a pagar un préstamo en forma anticipada, en períodosinferiores a un año, por ejemplo trimestres, o pagar el mismo préstamocon la misma tasa de interés anual, pero liquidada a final del año. Eneste caso –se verá más adelante– es más costoso pagar por trimestresque pagar al final; sin embargo, si la persona mencionada, guarda sudinero en una caja fuerte, en realidad le da lo mismo pagar al final del


año o pagar en forma anticipada, aunque los cálculos de la tasa deinterés efectiva anual muestren lo contrario.

A diferencia de las tasas nominales, las tasas efectivas no se frac-cionan (no se dividen por el número de períodos) ni se pueden obtenerpor multiplicación de la tasa periódica por el número de períodos. Latasa de interés efectiva es el resultado de obtener la acumulación real ovirtual de intereses periódicos.

EJEMPLO 11

Si se considera una inversión de $1.000 durante el mes 0 al 2%mensual (liquidados mensualmente), al finalizar los doce meses se ten-drá: =VF(2%;12;;-1000) =$1.268,24.

Esto quiere decir una tasa de interés anual efectiva del 26,82%. Asímismo, si se dice que una inversión rinde 27,33% anual efectivo, pue-de significar que se ha liquidado mensualmente a la tasa de 2,03%(encuéntrese este valor como ejercicio). Debe tenerse muy clara la dife-rencia entre la tasa de interés efectiva 26,82% y 27,33% anual y losrespectivos valores de 2% y 2,03% mensual que equivalen al 24% y24,36% anual nominal, respectivamente.

EJEMPLO 12

Suponga que un banco A le presta al 36% año vencido, y otro B, lepresta al 36% trimestre vencido. Los flujos de caja en cada caso son:

Trimestre 0 1 2 3 4Banco A $ 1.000 -1.360Banco B $ 1.000 -90 -90 -90 -1.090

¿Cuál es más costoso? La respuesta es el B. Una forma de entenderpor qué cuesta más el B, es pensar que si el banco B no cobrara losintereses trimestrales sino anuales, estas sumas se podrían invertir,por ejemplo, en una cuenta de ahorros que pague el 6% trimestral y,entonces, al final del trimestre 4, se tendría lo siguiente:

Trimestre 0 1 2 3 4Suma disponible para ahorrar al2% mensual $

90 90 90 90

Valor al final del trimestre 4 $ =VF(6%;4;-90)=393,72

Esto significa que si no se tuviera que pagar el interés cada trimes-tre, sino al final del año, ese dinero podría ahorrarse y al final del añose tendría lo suficiente para pagar los $360 de intereses y sobrarían$33,72. Por lo tanto, como al pagar cada trimestre no se cuenta con esedinero, no se obtienen los $33,72 adicionales y se concluye que pagartrimestre vencido, es más costoso que pagar año vencido. Al presentarla fórmula de la tasa de interés efectiva, verifique esta conclusión.

Repita este ejemplo con 9% trimestral. ¿Cuánto acumula al final?Guarde esta cifra, le servirá más adelante en el apéndice.


En muchas ocasiones, la condición de acumulación de intereses nose da en la práctica y, sin embargo, se calcula una tasa de interésefectiva (por ejemplo, cuando se hace una inversión por un corto perío-do: un mes, 3 meses, 20 días, etcétera); el raciocinio es que hay quepensar en una liquidación de intereses diarios que no se retiran.

Si se recuerda el ejemplo 4 de este capítulo, allí se concluyó que elvalor acumulado de una suma presente, para cualquier número deperíodos, con una tasa de interés i, era P(1+i)n. Si en ese ejemplo seconsideran 12 meses, se tiene entonces lo siguiente:

P(1+i)n = 1.000(1+0,02)12 =1.268,24

O sea, que el interés ganado sobre $1.000 es 268,24. Esta sumasobre la inicial, produce un porcentaje de 26,82%.

El 2% mensual del ejemplo se puede ver también como 24% anual,pero liquidado mensualmente, vencido. Si 24% es la tasa nominal, en-tonces:

P(1+i)n = 1.000(1+0,02)12 =1.000(1+0,24/12)12

El interés que se obtiene al final del año, producto de liquidar losintereses de 2% mensual y calculado como tasa de interés es 26,82%anual. Y se calculó basado en el interés acumulado y ganado en 12meses, o sea:

%82,2611224,0

1000.1

000.11224,0

1000.112

12

=−

+=

−

+

En general, se puede decir, entonces, que es igual a:

11 −

+

n

n

inomV

(2.13)

Por lo tanto, dados una tasa de interés nominal y el número deveces por período que se liquida, al cumplimiento (vencido) se tiene:

11 −

+==n

n

ii nomVefEFECTIVO INTERÉS (2.14)

Donde:

ief= Tasa de interés efectiva (en la práctica lo más usual es calcular-

la para un año, aunque se puede calcular para períodos diferen-tes).

n= Número de veces que se liquida durante el período.inom

= Tasa de interés nominal por período, liquidada por períodovencido.


En Excel 97 se utiliza la función INT.EFECTIVO; si no aparece en el botónPegar función o Asistente de funciones, deberá instalarla. Para ello, vayaal menú y elija Herramientas, allí seleccione Complementos (Macros auto-máticas en versiones anteriores a Excel 97). Haga clic con el ratón enHerramientas para análisis hasta que aparezca activada y después opri-ma el botón para aceptar. Con esta operación ha quedado instalada, enPegar función o Asistente de funciones, una colección de funciones, entreellas la tasa de interés efectiva y la tasa de interés nominal.

=INT.EFECTIVO (int-nominal; núm. períodos)Cuando n es muy grande se dice que tiende a infinito, y en ese caso

esta expresión queda reducida a:

1−= nomef

iei (2.15)

Donde:

e = base de logaritmos naturales, igual a 2,71828...inom

= interés nominal anual

Esta última expresión se llama tasa de interés continua. En Excel,se utiliza Pegar función o Asistente de funciones y en matemáticas, seencuentra la función =exp(). Entonces la tasa de interés efectiva conti-nua, es decir, con liquidación instantánea es:

1)exp( −= nomef ii (2.16)

Para calcular la tasa nominal liquidada en forma instantánea, a partir deuna de tasa efectiva, se despeja i

nom de la expresión anterior, así:

)1ln( efnom ii += (2.17)

Esta forma de liquidar el interés se utiliza para el cálculo del valorde opciones y futuros (véase Hull, 1996)

Cuando el interés nominal se liquida anticipado, la fórmula de latasa de interés efectiva se convierte en

11 −−

−==

n

nnomAi

efiEFECTIVOINTERÉS (2.18)

Aunque en Excel no hay una fórmula que calcule la tasa de interésefectiva anual, a partir de una tasa nominal liquidada en forma antici-pada, se puede utilizar la función VF de la siguiente manera, en lugarde la expresión anterior:


TASA DE INTERÉS EFECTIVA

= VF (-tasa periódica;-número de períodos;-1) - 1

Las funciones de Excel (VA, VF. PAGO y NPER) que no están diseñadaspara trabajar con tasas de interés anticipadas, pueden recibirlas si seintroducen los valores de tasas y períodos con signo negativo. En elcaso de NPER, sólo hay que introducir la tasa negativa y el resultadoaparece con signo negativo, por lo tanto hay que cambiarle el signo; enel caso de PAGO, el signo del resultado es el contrario4.

El interés nominal a partir de la tasa de interés efectiva anual es:

−

+×== 1

1

1 nef

innomV

iANUALNOMINALINTERÉS(2.19)

Donde:

ief = Tasa de interés efectiva anual.n = Número de veces que se liquida durante el período.inomV

= Tasa de interés nominal por período, liquidada por período vencido.

En Excel,=TASA.NOMINAL (tasa de interés efectiva; núm. períodos)tasa de interés efectiva = tasa de interés efectiva anualnúm. períodos = número de veces que se liquida durante el año.Debe observarse que el monto de la tasa de interés nominal deter-

mina el monto de la tasa de interés efectiva.

Tasa de interés periódicamensual %

Tasa de interés anualnominal %

Tasa de interés anualefectiva %

1 12 12,681,5 18 19,562 24 26,82

2,5 30 34,493 36 42,58

Debe observarse también que la frecuencia con que se liquida unatasa nominal, influye en la tasa efectiva. Obsérvese también la rela-ción, ya mencionada, entre tasa de interés nominal y tasa de interésperiódica. Para una tasa anual nominal 24%, esto puede verse en unatabla:

4 Esta sugerencia la recibí del profesor Ricardo Dueñas, del PolitécnicoGrancolombiano.


Período Tasa por período%

Períodos deliquidación

Tasa anual efectiva%

Anual 24,00 1 24,00Semestral 12,00 2 25,44Cuatrimestral 8,00 3 25,97Trimestral 6,00 4 26,25Bimestral 4,00 6 26,53Mensual 2,00 12 26,82Diario 0,0658 365 27,11

Para estos ejemplos, es importante reiterar que una tasa de interésefectiva implica:

1. Liquidación de intereses en períodos menores al estipulado para latasa de interés nominal.

2. Acumulación de los intereses generados durante el período indica-do.

3. Interés compuesto.Otras fórmulas y ejemplos para convertir tasas de interés nominal a

efectivas y viceversa, se encuentran en el Apéndice, al final de estecapítulo.

Es común encontrar entre los estudiantes preguntas como: si sedice que una tasa de interés es de 3% mensual, ¿es nominal o efectiva?Si no se estipula nada más se debe considerar que esa es la tasa deinterés de ese período. ¿Cuándo se espera que alguien piense en nomi-nal o efectivo? Por ejemplo, si se dice que una tasa de interés efectiva esde 24,5% anual, entonces en forma inmediata se puede –y se debe–pensar en que esa tasa de interés efectiva se produjo porque hay unatasa de interés nominal y un período de liquidación menor o igual a unaño. Si habla de una tasa de 36% anual nominal, se debe esperar quese suministre más información sobre la periodicidad de la liquidacióny, por lo tanto, se esperaría una tasa de interés efectiva mayor o igualal valor estipulado por la tasa nominal. También conviene aclarar queuna tasa de interés efectiva nunca se divide entre el número de perío-dos; la tasa nominal, expresada por período y liquidada en períodos demenor duración, se divide, para saber qué tasa por período (menor queel inicial) se debe liquidar.

La tasa de interés efectiva es como el punto de unión entre diferen-tes tasas nominales que producen la misma tasa efectiva. Por ejemplo,dada una tasa de interés efectiva, se pueden calcular muchas tasas deinterés nominal equivalentes; el valor de estas tasas nominales varía,lo mismo que el número y longitud de los períodos en que se liquidan.La condición que deben cumplir es que todas produzcan la misma tasade interés efectiva. Así, se puede encontrar qué tasas nominales mesvencido, mes anticipado, semestre vencido, semestre anticipado o tri-mestre anticipado pueden ser equivalentes a una tasa nominal liquida-da trimestre vencido. Se sugiere al lector que trabaje este ejemplo conuna tasa de interés nominal de 36% anual, trimestre vencido, para quehalle las mencionadas tasas.


2.9.3 RELACIÓN ENTRE TASA PERIÓDICA Y TASA NOMINAL

Conviene hacer un resumen que facilite la operación de conversiónentre tasas equivalentes: tasa de interés periódica es igual a tasa deinterés nominal dividida entre el número de períodos:

ip = i

nom/n (2.20)

y viceversa

inom

=n x ip

(2.21)

En las transformaciones entre tasas de interés nominales debe dis-tinguirse entre transformaciones con períodos de liquidación iguales ycon períodos de liquidación desiguales.

Para el caso de períodos de liquidación iguales:

Tasa nominal

Cálculo de la tasa de interésperiódica

Equivalencia Nueva tasade interés nominal

Anticipada ia = inom/n iv = ia/(1-ia) n iv

Vencida iv = inom/n ia = iv/(1+iv) n ia

Para el caso de períodos de liquidación diferentes; Con la tasa nomi-nal vencida con período de liquidación n

1 se calcula la tasa efectiva, y

con esta última se calcula la nueva tasa nominal con período de liqui-dación n

2. Para llegar a la tasa nominal vencida si se tiene una antici-

pada, se utiliza primero el procedimiento para convertir tasa anticipadaen tasa vencida con igual período.

A continuación se indica paso a paso (incluyendo conversión deanticipado a vencido y viceversa) la equivalencia entre una tasa no-minal anticipada con n

1 períodos y otra nominal anticipada con n

2períodos de liquidación. Esto se puede visualizar como una parábolao una U que comienza en tasa nominal anticipada n

1, pasa por el

punto más bajo donde está la tasa de interés efectiva y sube otra vezhasta la tasa de interés nominal con n

2 períodos. En este esquema,

el lector puede identificar donde está y adónde quiere llegar, de modoque las transformaciones entre diferentes tasas se hace muy fácil.Debe observarse que el punto crucial es la tasa de interés efectiva,que sirve para establecer la equivalencia entre diferentes tasas no-minales.

De todo lo anterior se puede deducir que las tasas nominales liqui-dadas de una misma forma y en el mismo período, por ejemplo, unatasa nominal de 16% anual TV y una tasa nominal de 8% TV, se puedensumar y se obtiene una tasa de 24% TV. Asimismo, se pueden sumarlas tasas periódicas liquidadas en la misma modalidad (anticipada ovencida) y para el mismo período, por ejemplo, 2% M y 1% M, resultaen 3% MV.


Por el contrario, las tasas efectivas no se suman. Se comportan demanera similar a las componentes de la tasa de interés ya estudiadas.Si se tienen dos tasas efectivas referidas al mismo período, entonceshay que aplicar una relación multiplicativa:

( ) ( ) 111 2112 −++= efefef iii (2.22)

Por ejemplo, una tasa efectiva anual de 15% y una tasa efectivaanual de 10%, combinadas no resulta en 25%, sino en 1,10 x 1,15-1,esto es 26,5%.

Tasa nominal anticipadainomA n1 períodos

⇓⇓

Se convierte a tasa deinterés nominal

anticipada n2 períodosinomA = iA n2

Tasa de interés periódicaanticipada

iA = inomA/n1

⇓⇓

⇑⇑

Se convierte a tasa deinterés periódica

anticipada

iA = iv/(1+iv)

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida

iv = iA/(1-iA)

⇓⇓

⇑⇑

Se convierte a tasa deinterés periódica vencida

n2

iv = inomv/n2

Se convierte a nominalvencida inomv = iv x n

⇒⇒

Se convierte ahora a tasade interés efectiva con lafórmula o con la función

de Excel ief

⇒⇒

⇑⇑

Se convierte a tasanominal vencida n2 con

la fórmula o con lafunción de Excel

inom v n2 períodos


EJEMPLO 13

Convertir una tasa de interés de 24% anual TA en una tasa nominalSA. Este es el caso más difícil y largo. Cualquier otra situación hay quemirarla en la secuencia para identificar dónde se está y adónde se de-sea llegar.

Tasa nominal anticipada de24% anual trimestre anticipado

4 períodos⇓⇓

Se convierte a tasa de interésnominal anticipada n2 períodosinomA = 11,64%x2=23,28%

Tasa de interés periódicaanticipada

iA = 24%/4=6%

⇓⇓

⇑⇑

Se convierte a tasa de interésperiódica anticipada iA =

13,17%/(1+13,17%)=11,64%

Se convierte a tasa de interésperiódica vencida

iv = 6%/(1-6%)=6,38%

⇓⇓

⇑⇑Se convierte a tasa de interésperiódica vencida 2 períodos

iv = 26,35% /2=13,17%

Se convierte a nominal vencida

inom v = 6,38%x4=25,53%

⇒⇒

Se convierte ahora atasa de interés efectivacon la fórmula o con la

función de Excel

ief=28,08%

⇒⇒

⇑⇑

Se convierte a tasa nominalvencida con la fórmula o con la

función de Excel con 2períodos

26,35% semestre vencido

Esta U es útil para entender las relaciones de equivalencia entre lastasas. Sin embargo, toda esta secuencia de pasos puede obviarse si seutilizan las fórmulas que se encuentran en el Apéndice (A2) al final deeste capítulo.

2.10 PARA RECORDAR

Algunas ideas clave:

• Una suma de dinero hoy vale más que esa misma suma de dineromañana. Eso permite establecer relaciones de equivalencia entresumas de dinero en diferentes períodos. Esta relación se establecepor la tasa de equivalencia, que es la tasa de interés.

• La tasa de interés tiene tres componentes: inflación, riesgo y una tasareal.

• Las equivalencias entre tasas de interés se dan en cuanto a su formade liquidación: anticipada y vencida. Esta relación entre las dos mo-dalidades se establece para tasas periódicas.

• La relación entre tasas periódicas y nominales se establece a travésde los períodos de liquidación. Las tasas efectivas no se obtienen deoperaciones aritméticas (multiplicación o división) con las tasas no-minales o las tasas periódicas.


• La tasa nominal, al liquidarse en períodos inferiores al estipulado parala nominal, produce la tasa de interés efectiva. La tasa efectiva, engeneral, es mayor que la nominal, de donde procede. La excepciónocurre cuando el período de liquidación coincide con el período para elcual se ha definido la tasa nominal. En este caso, la tasa nominal esigual a la efectiva.

• Las tasas nominales o periódicas de un mismo período y modalidad, sepueden sumar. Las tasas efectivas no.

2.11 RESUMEN

En este capítulo se ha estudiado el concepto de equivalencia, que esta-blece la relación entre sumas de dinero en diferentes períodos. A partir deallí se estudió el concepto de interés (I) y la tasa de interés (i%). Se analiza-ron los componentes de una tasa de interés: inflación, riesgo y tasa deinterés real.

Basándose en los conceptos anteriores, se trabajaron las funciones yfórmulas que permiten hacer las transformaciones entre sumas presentes,futuras y cuotas uniformes; se estudió también la forma de hallar el nú-mero de períodos que establecen la equivalencia, las tasas de interés tantopara flujos con cuotas uniformes y para flujos con cuotas no uniformes; seestudió la forma de calcular el valor presente de una serie de flujos nouniformes. Asimismo, se ilustró la manera de construir tablas de amorti-zación.

Además, se estudiaron las tasas de interés equivalentes: tasa deinterés anticipada y tasa de interés vencida, tasa de interés nominal ytasa de interés efectiva.

Con estas herramientas, el lector estará capacitado para hacer cual-quier tipo de análisis que tenga que ver con tasas de interés. Además,esto es la base para construir indicadores que permiten evaluar la con-veniencia o inconveniencia de una alternativa de inversión. Los méto-dos de evaluación de alternativas se estudiarán más adelante.

2.12 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BACA CURREA, Guillermo, Aplicaciones de la calculadora financiera y delExcel a la matemática financiera, Serie documentos, PolitécnicoGrancolombiano, Bogotá. 1998a.

________, Excel y la calculadora financiera aplicados a la ingeniería eco-nómica, Fondo Educativo Panamericano, Bogotá. 1998b.

________, Matemáticas Financieras, Politécnico Grancolombiano, Bogo-tá, 1999.

GRANT, E. L. y IRESON, W. G., Principles of Engineering Economy, 4 ed.,The Ronald Press, Nueva York, 1960.


HULL, JOHN C., Introducción a los mercados de futuros y opciones, 2 ed.,Prentice Hall, Herfordshire, 1996.

SALVAT, Enciclopedia Salvat Diccionario, Tomo 7, Barcelona, 1975. THE

ECONOMIST, 2 de agosto de 1997, p. 80-82.

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`í« ù ,Q nq] ãs lo que se conoce como matemáticas financieras, que bien po-dría llamarse aritmética financiera. Para el manejo de esta herramienta sólo es necesario aplicar