+ sUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA MATEMATICA II (178 - 179) VICERRECTORADO ACADÉMICO Cód. Carreras: 126, 236, 280, 508, 237, 281, 610, 612, 613 ÁREA DE MATEMÁTICA Fecha: 27 / 04

MODELO TAREA 178-179 Lapso 2019-2

178-179 –1/3

Especialista:Chanel Chacón-Eddie Mogollón

Área de Matemática

Matemática.una.edu.ve

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA MATEMATICA II (178 - 179)

VICERRECTORADO ACADÉMICO Cód. Carreras: 126, 236, 280, 508,

237, 281, 610, 612, 613

ÁREA DE MATEMÁTICA Fecha: 27 / 04 /2020

MODELO DE RESPUESTAS

PTA 1 OBJ I.1 Suponga que deseamos dar una demostración usando la definición formal de limite

(definición )

lim𝑥→3

𝑥 + 6

𝑥4 − 4𝑥3 + 𝑥2 + 𝑥 + 6= −1

Empezamos por escribir 𝑥+6

𝑥4−4𝑥3+𝑥2+𝑥+6+ 1 en la forma (𝑥 − 3)𝑔(𝑥).

(a) Determine 𝑔(𝑥).

(b) ¿ Podríamos elegir = 𝑚𝑖𝑛(1, 휀/n) para algún n?. Explique.

(c) Si elegimos = 𝑚𝑖𝑛 (1

4, 휀/m). ¿Cuál es el entero más pequeño m que podríamos utilizar?

SOLUCIÓN:

(a) g(x) = 𝑥3−𝑥2−2𝑥−4

𝑥4−4𝑥3+𝑥2+𝑥+6

(b) No, porque 𝑥+6

𝑥4−4𝑥3+𝑥2+𝑥+6+ 1 tiene una asíntota en x3.49

(c) Si 𝛿 ≤1

4, entonces 2.75 < x < 3 ó 3 < x < 3.25 y por tanto al graficar la función

|𝑔(𝑥)| = |𝑥3−𝑥2−2𝑥−4

𝑥4−4𝑥3+𝑥2+𝑥+6| en el intervalo [2.75, 3.25],

se observa que:

0 < |𝑥3−𝑥2−2𝑥−4

𝑥4−4𝑥3+𝑥2+𝑥+6| < 3,

por lo tanto m < 3.

PTA 2 OBJ I.1 Sea 𝑦 = √𝑥 considere los puntos M, N y O de coordenadas (1,0), (0,1), (0,0)

respectivamente, adicionalmente el punto P de coordenadas (x,y) en la grafica 𝑦 = √𝑥,. Calcule:

(a) lim𝑥→0+perimetro de ∆𝑁𝑂𝑃

perimetro de ∆𝑀𝑂𝑃 (b) ) lim𝑥→0+

área de ∆𝑁𝑂𝑃

área de ∆𝑀𝑂𝑃

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo I.1 Ud debe responder correctamente las

preguntas 1 y 2 con todos sus apartados. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los

cálculos involucrados

SOLUCIÓN:

(a) 𝑁𝑂 = √(0 − 0)2 + (1 − 0)2 = 1: 𝑂𝑃 = √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = √𝑥2 + 𝑦2 = √𝑥2 + 𝑥


178-179 –2/3




𝑁𝑃 = √𝑥2 + 𝑥 − 2√𝑥 + 1, además MO = 1 y 𝑀𝑃 = √𝑥2 − 𝑥 + 1. Luego:

lim𝑥→0+

perimetro de ∆𝑁𝑂𝑃

perimetro de ∆𝑀𝑂𝑃= lim

𝑥→0+

1 + √𝑥2 + 𝑥 + √𝑥2 + 𝑥 − 2√𝑥 + 1

1 + √𝑥2 + 𝑥 + √𝑥2 − 𝑥 + 1= 1

(b)

PTA 3 OBJ I.2 Calcular los siguientes límites:

(a) x

límx

x

22x

2x

2535-6

2735 2

(b) n

lím

1n

1nnn 43

(c)

xlím

23x

1x

2x

(d) (d) 1x

lím xsen π

x1 2

(e) lim𝑥→0𝑡𝑔2(𝑥)

1−cos (6𝑥) (f) lim𝑥→0

1−𝑐𝑜𝑠 (1−cos (𝑥))

𝑥4

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo I.2 Ud debe responder correctamente todos sus

apartados antes planteados. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos

involucrados

SOLUCIÓN:

(a) Al intentar calcular el límite directamente observamos que en tanto n el numerador como en el

denominador tenemos indeterminaciones del tipo . Vemos como levantar estas

indeterminaciones.

Dividamos el numerador y el denominador dex

x

22x

2x

2535-6

2735 2

[1] por

2x3 :

x

x

22x

2x

25356

2735 2

=

x

2x

x

2x

9

4

9

2

553

6

75 3

2

Como

xlím

2x3

2= 0

xlím

x

9

2= 0

xlím

x

9

4= 0 ¿por qué?


178-179 –3/3




Tomando límite cuando x tiende a infinito, en [1], resulta:

xlím

x

x

22x

2x

2535-6

2735 2

=

5

51 .

.

(b) Al tratar de calcular este límite se nos presenta, entre otras cosas, una indeterminación del tipo

. Entonces multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada de n3 n 1n4 :

1n

1nnn 43

=

1nnn

1nnn)1nn(n

1n

1

43

4343

=

1nnn

1)(nnn

1n

1

43

426

=1nnn

n

1n

1

43

2

=

1nn

1

nn

n

422

2

Como n

lím 1

2

2

n

n = 1 y 0

1nn

1lím

42n

¿por qué? , resulta que:

Otra forma similar de calcular este límite es la siguiente:

1n

1nnn 43

=

1n

n

( 1nn 42 ).

Como

nlím

1n

n

= 1,

el valor del límite propuesto es el valor del límite n

lím ( 1nn 42 ).

Para calcular el valor de este último se procede como sigue:

( 1nn 42 ) = 1nn

1nn)1n(n

42

42

42

=

1nn

1

42

y al calcular el límite cuando x→ de la última expresión obtenida el resultado es cero.

(c) Al intentar calcular el límite directamente podemos observar que tenemos un límite del tipo 1.

Procediendo de manera similar a ejercicios propuestos en las páginas 84-85 del texto (Módulo I),

tenemos:

23x

1x

2x

=

5

31x

1x

31

1x

31

.

Como x

lím

5

1x

31

= 1 ( ¿por qué? ), entonces

1n

1nnnlím

43

n

= 0


178-179 –4/3




xlím

1x

1x

31

=

ylím

y

y

31

= e

3 , ( ¿por qué? )

resulta:

xlím

23x

1x

2x

=

xlím 5

31x

1x

31

1x

31

= e 9

(d) En primer lugar observemos que si tratamos de calcular el límite directamente nos percataremos de

que estamos en presencia de una indeterminación del tipo 0/0. Para eliminar la indeterminación

usaremos que 0x

lím x

sen x = 1, como sigue:

1xlím xsen π

x1 2=

1xlím π

1x

1))x(sen π

1)(xπ

Ahora bien:

1xlím π

1x =

π

2 y

1xlím 1))x(sen π

1)(xπ

=

0ylím ysen

y = 1.

Por lo tanto:

1xlím xsen π

x1 2 =

1xlím π

1x

1xlím 1))x(sen π

1)(xπ

=

π

2.

(e)

(f)


178-179 –5/3




PTA 4 OBJ I.3 Sea g:IIR la función definida por 𝑔(𝑥) =1

𝑥[𝑥], 𝑥 ∈ 𝐼. Determinar los puntos del

intervalo I = (0,𝑚+1

2) donde g es continua, siendo m el último dígito distinto de nueve de tu número de

cédula. Nota. Los corchetes denotan la función parte entera.

SOLUCIÓN: Existen varias soluciones dependiendo del valor de m. Observa que el intervalo I no es

el mismo para todos los valores de m, por ejemplo si:

m = 1, entonces I = (0 , 1)

m = 2, entonces I = (0 , 3/2)

m = 3, entonces I = (0 , 2)

Resolvamos el problema para el caso m = 3, es decir cuando I = (0 , 2).

La función f es la suma de las funciones g, h: (0 , 2)IR, definidas por

g(x) = x

1 , h(x) = [x].

Como las funciones g y h son continuas en los intervalos (0 , 1), (1 , 2) (¿por qué?) resulta que la

función f = g + h es continua en el conjunto (0 , 1) (1 , 2). Veamos qué ocurre en el punto x = 1.

Calculemos los límites laterales de f en x = 1

1xlím f(x) =

1xlím (

x

1 + [x] ).

Puesto que 1x

límx

1 = 1 y

1xlím [x] = 0 (¿por qué?) resulta que

1xlím f(x) =

1xlím (

x

1 + [x] ) = 1

Por otra parte, como 1x

límx

1 = 1 y

1xlím [x] =1, se tiene:

1xlím f(x) =

1xlím (

x

1 + [x] ) = 2.

Por lo tanto,

1xlím f(x)

1xlím f(x)

y así f no es continua en x =1.

En conclusión para m = 3, el intervalo a considerar es I = (0 , 2 ) . En este intervao la función f es

continua en el conjunto (0 , 1) (1 , 2).

Algunas soluciones dependiendo del valor de m, son:

m = 1: f es continua en su dominio I = (0 , 1)

m = 2: f es continua en (0 , 1) (1 , 3/2).

m = 6: f es continua en (0 , 1) (1 , 2) ) (2 , 3) (3 , 7/2)

PTA 5 OBJ I.3 Iniciando a las 4am un excursionista escala lentamente hacia la cima de una montaña,

a donde llega al mediodía. Al día siguiente, regresa por la misma ruta, iniciando a las 5 am; a las 11 de


178-179 –6/3




la mañana llega a pie de la montaña. Demuestre que en algún punto a lo lago de la ruta su reloj

mostraba la misma hora en ambos días.

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo I.3 Ud debe responder correctamente las

preguntas 4 y 5 completas. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos

involucrados

SOLUCIÓN: Supongamos que f (x) es la diferencia en los tiempos en el reloj del excursionista donde

x es un punto en el camino, y supongamos que x = 0 en la parte inferior y x = 1 en la cima de la

montaña.

Entonces f (x) = (tiempo que tarda al subir) - (tiempo que tarda al bajar). Luego,

f (0) = 4 – 11 = –7, f (1) = 12 – 5 = 7.

Dado que el tiempo es continuo, f (x) es continuo, por lo tanto, hay un c entre 0 y 1 donde f (c) =

0. Este c es el punto donde el reloj del excursionista mostró la misma hora en ambos días.

PTA 6 OBJ II.1 En los siguientes problemas encuentre los puntos críticos y clasifícalos

(a) 𝑓(𝑥) =64

𝑠𝑒𝑛(𝑥)+

27

cos (𝑥) en (0,

𝜋

2) (b) 𝑔(𝑥) = 𝑥2 +

16𝑥2

(8−𝑥2) en (8, ∞)

SOLUCIÓN:

(a) 𝑓′(𝑥) =(3𝑠𝑒𝑛(𝑥)−4cos (𝑥))(9𝑠𝑒𝑛2(𝑥)+12 cos(𝑥)𝑠𝑒𝑛(𝑥)+16𝑐𝑜𝑠2(𝑥))

𝑠𝑒𝑛2(𝑥) 𝑐𝑜𝑠2(𝑥). En el intervalo (0, /2) 𝑓′(𝑥) = 0

solamente si tan(x) = 4/3, por tanto x 0.9273, el cual es un punto crítico. Para 0 < x <

0.9273 se tiene que 𝑓′(𝑥) < 0, mientras que para 0.9273 < x < /2 se tiene que 𝑓′(𝑥) > 0. En x

0.9273 tenemos un mínimo. No hay máximos para esta función en este intervalo.

(b) Sabemos que 𝑔′(𝑥) = 2𝑥 +256𝑥

(8−𝑥2) y 𝑔′′(𝑥) = 2 +

16384 + 4096𝑥2 − 1280𝑥4

(8−𝑥2)4

La grafica para esta función se muestra a continuación . ¿A qué conclusión puede llegar?


178-179 –7/3




PTA 7 OBJ II.1 En la compras a plazos, a uno le gusta encontrar la tasa real de interés (tasa efectiva),

pero por desgracia esto incluye resolver una ecuación complicada. Si hoy uno compra una articulo cuyo

valor es $P y acuerda pagarlo en pagos de $R al final de cada mes durante k meses, entonces

𝑃 =𝑅

𝑖[1 −

1

(1 + 𝑖)𝑘]

Donde 𝑖 es la tasa de interés mensual. Tom compró un automóvil usado por $2000 y acordó pagarlo

con abonos de $100 al final de cada uno de los próximos 24 meses.

(a) Demuestre que 𝑖 satisface la siguiente ecuación 20𝑖(1 + 𝑖)24 − (1 + 𝑖)24 + 1 = 0.

(b) Demuestre que el método de newton para esta ecuación se reduce a:

𝑖𝑛+1 = 𝑖𝑛 − [20𝑖𝑛

2 + 19𝑖𝑛 − 1 + (1 + 𝑖𝑛)−23

500𝑖𝑛 − 4]

(c) Determine 𝑖, con una precisión de 5 decimales, iniciando con 𝑖 = 0.012 y luego proporcione la

tasa anual como porcentaje (𝑟 = 1200𝑖).

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo II.1 Ud debe responder correctamente las


cálculos involucrados

SOLUCIÓN:

(a) Para el carro de Tom P = 2000, R = 100, y k = 24, así

2000 =100

𝑖[1 −

1

(1+𝑖)24] 20𝑖 (1 + 𝑖)24 − (1 + 𝑖)24 + 1 = 0

(b) Sea 𝑓(𝑖) = 20𝑖 (1 + 𝑖)24 − (1 + 𝑖)24 + 1 = (1 + 𝑖)24(20𝑖 − 1) + 1. Entonces,

𝑓′(𝑖) = 20𝑖 (1 + 𝑖)24 + 480𝑖(1 + 𝑖)23 − 24(1 + 𝑖)23

Luego las iteraciones para la fórmula de newton viene dada por:

𝑖𝑛+1 = 𝑖𝑛 −20𝑖𝑛

2 + 19𝑖𝑛 − 1 + (1 + 𝑖𝑛 )−23

500𝑖𝑛 − 4


178-179 –8/3




y

PTA 8 OBJ II.2 Elabora la gráfica de una función con las siguientes características.

(a) Dominio el intervalo (5 , 5).

(b) Continua en el intervalo (5 , 5) salvo en x = 0.

(c) No es derivable en x = 1 y x = 1.

(d) Creciente en el intervalo (5 , 0).

(e) Cóncava en el intervalo (0 , 5).

SOLUCIÓN:

Existen muchas funciones con estas características. Mostraremos dos de ellas.


178-179 –9/3




PTA 9 OBJ II.2 Dibuja, aproximadamente, la gráfica de una función f que cumpla con las siguientes

condiciones:

(a) Dominio de f = IR.

(b) f es par.

(c)

f(x)límx

.

(d) f (0) = 4 , 22

3f

, f (1) = f (2) = 0.

(e) f (x) < 0 si x (0,3

2) .

(f) f (x) >0 si x (0, 1) y f (x) < 0 si x (1,+ ).

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo II.2 Ud debe responder correctamente las


cálculos involucrados.

SOLUCIÓN:

Existen muchas funciones con estas características. La representación grafica de una de ellas la damos

a continuación


178-179 –10/3




PTA 10 OBJ III.1 Construye la matriz de la isometría que a cada vector lo rota 120o

en dirección

contraria al movimiento de las agujas de un reloj analógico.

SOLUCIÓN:

La matriz que corresponde a esta rotación ( ver pág 91 del texto, Módulo III ) es :

θcosθsen

θsenθcos, donde = 120

o

Haciendo los cálculos tenemos

sen 120o = sen 2.60

o = 2sen 60

o cos 60

o = 2

2

3

2

1 =

2

3

cos 120o = cos 2.60

o = cos

260

o sen

260

o =

4

1

4

3 =

2

1

De esta manera la matriz buscada es:

1/22/3

2/32/1

PTA 11 OBJ III.1 Determina una matriz A =

zyx

cba tal que:

01

11A =

101

210.

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo III.1 Ud debe responder correctamente las

preguntas 10 y 11. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos involucrados.

2

1

0

y

4

3

2

1

x 2 1 2


178-179 –11/3




SOLUCIÓN:

Como

01

11A =

01

11

zyx

cba=

cba

zcybxa,

la condición pedida se cumple si

cba

zcybxa=

101

210,

es decir

a + x = 0 [1] , b + y = 1 [2] , c + z = 2 [3] , a = 1 , b = 0 , c = 1

Sustituyendo los valores de a, b y c en [1], [2] y [3], respectivamente y despejando, obtenemos:

x = 1 , y = 1 , z = 1.

Por lo tanto, la condición pedida se cumple si:

a = 1 , b = 0 , c = 1 , x = 1 , y = 1 , z = 1


178-179 –12/3




PTA 12 OBJ III.2 Juan, Pedro, Josefina y Belkys presentaron un examen de Matemática II, donde se

pidió que exhibieran una solución del sistema de ecuaciones lineales:

37z3y2x

22zyx

15z2y3x

.

Indica cuál estudiante presentó una solución de este sistema de ecuaciones.

a. Juan señaló x = 5

4 , y =

5

4 , z = 1

b. Josefina indicó x = 5

1 , y =

5

29 , z = 2

c. Pedro señalo x = 0 , y = 8 , z = 3

d. Belkys indicó x = 5

6 , y =

5

26 , z = 3

SOLUCIÓN:

Hay dos maneras de dilucidar quién tiene la razón. Una es sustituyendo las soluciones dadas por cada

estudiante en cada una de las ecuaciones, y así determinar cuál de las soluciones presentadas hace que

estas ecuaciones se transformen en identidades. Otra manera es resolviendo el sistema de ecuaciones

para luego determinar cuál de la respuestas corresponde a una solución.

Resolviendo el sistema de, usando por ejemplo el método de Gauss-Jordan se tiene:

3732

2211

1523

3732

1523

2211

71150

71150

2211

0000

71150

2211

0000

5/75/1110

2211

0000

5/75/1110

5/35/101

.

De esta manera tenemos que las soluciones del sistema tienen la forma:

x = 5

t3 , y =

5

t117 , z = t , tIR.

Verificando cada una de las soluciones dadas, resulta:

Juan: x = 5

4 , y =

5

4 , z = 1

En este caso z = t = 1, sustituyendo en [1] queda x = 5

4 y =

5

19 NO ES SOLUCIÖN

F1F2

F1(1)F1

F2F23F1

F3F32F1

F2(1/5)F2 F3F3F2

F1F1+F2

[1]


178-179 –13/3




Josefina: x = 5

1 , y =

5

29 , z = 2

z = t = 2. Sustituyendo en [1], resulta x = 5

1 , y =

5

29 NO ES SOLUCIÓN

Pedro: x = 0 , y = 8 , z = 3

z = t = 3. Sustituyendo en [1], se tiene x = 0 , y = 8 NO ES SOLUCIÓN

Belkys: x = 5

6 , y =

5

26 , z = 3

z = t = 3. Sustituyendo en [1], se tiene : x = 5

6 , y =

5

26 SI ES SOLUCIÖN

PTA 13 OBJ III.2 Usa el método de GaussJordan para determinar en caso de ser posible los valores

de x, yIR, tales que la matriz

M =

012

11x

yy1

sea invertible y halla la matriz inversa.

CRITERIO DE DOMINIO Para el logro del objetivo III.2 Ud debe responder correctamente las

preguntas 12 y 13. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos involucrados.

SOLUCIÓN:

Al aplicar el método de GaussJordan para hallar la matriz inversa de la matriz A, tenemos:

100012

01011x

001yy1

1022y2y10

01xxy1xy10

001yy1

1022y210

0xy1

1

1

x110

001yy1

y

xy

Alternativa correcta d

Si xy 1

F2(1/(1xy))F2

F2F2 xF1

F3F32F1

Observa que si xy = 1,

entonces esta matriz tiene

dos filas iguales en la parte

izquierda de la líea divisoria

y por lo tanto la matriz M

no es invertible.


178-179 –14/3




11

2y1

1

2x100

0xy1

1

1

x110

0xy1

y

xy1

1001

xyxy

xy

11

2y1

1

2x100

1xy1

2y-

1

2110

0xy1

y

xy1

1001

xyxy

xy

Entonces M es invertible si xy 1 y

M1

=xy1

1

xy12y12x

1xy22

0y1

Esta parte de la prueba debe ser resuelta UNICAMENTE por los estudiantes de la 178

(Administración y Contaduría)

PTA 14 OBJ IV.1 Suponga que el costo total, en dólares, C(q), de producir q artículos viene dado por

la expresión: 200136.001.0)( 23 qqqqC

Determine:

a) ¿Cuál es el costo fijo?

b) ¿Cuál es el costo variable?

c) Los costos totales al producir 100 unidades

d) La función costo promedio

e) El costo promedio al producir 100 unidades

f) La función costo marginal

CRITERIO DE DOMINIO. Para el logro del objetivo IV.1 Ud. debe responder correctamente todos

sus apartados. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos involucrados.

SOLUCIÓN.

a) Costos fijos: $ 200

b) Costo variable: qqq 136.001.0 23

c) C(100) = 5500$200)100(13)100(6.0)100(01.0 23

F1F1yF2

F3F3(12y)F2

F2F2F3


178-179 –15/3




d) Función costo promedio:

qqq

q

qqq

q

qCqC

200136.001.0

200136.001.0)()( 2

23

e) Costo promedio al producir 100 unidades: 55$100

20013)100(6.0)100(01.0 2

f) Función costo marginal: 0)1(13)2(6.0)3(01.0)´( 2 qqqC

132.103.0)´( 2 qqqC

PTA 15 OBJ IV.2

a) Describa las características del Modelo Económico Input-Output desarrollado por Leontief.

b) Considere la interacción de una cierta economía cerrada conformada por tres industrias que

existan en su entorno, ciudad o municipio en que vive. Por ejemplo, si Ud. considera las

industrias química, farmacéutica, y la de servicio de transporte que hay en su comunidad,

deberá suponer lo que cada industria gasta en cada producción y lo que debe invertir para

producir una unidad de cada bien en su propia producción y en la de los otros sectores. Estime

la posible demanda externa de cada sector y utilice el Modelo Económico Input-Output

desarrollado por Leontief, para determinar cuánto ha de producir cada industria para cubrir la

demanda total requerida.

CRITERIO DE DOMINIO. Para el logro del objetivo IV.2 Ud. debe responder correctamente todos

sus apartados. Todas las respuestas deben estar justificadas con todos los cálculos involucrados.

SOLUCIÓN.

a) Wassily Leontief (1936), desarrolló un modelo sobre el estudio de las relaciones entre los sectores

económicos, el cual consiste en un sistema de ecuaciones lineales cuyos elementos tienen

significado económico y en consecuencia no deben ser negativos. Con esta teoría se podría saber

las distintas repercusiones que habría en caso de aumento o disminución de la producción o

demanda y los cambios necesarios en la producción para compensarlo. Además, sirve como

análisis de cuadros de insumo-producto considerando cada sistema económico como un complejo

de industrias y se basa en que las salidas de una industria son las entradas de la otra.

En este sentido, las características del modelo son las siguientes:

1) La economía está constituida por “n” sectores o industrias.

2) Cada sector o industria produce un solo bien o servicio ( output).El bien o servicio producido

por la industria “i” , se llamará indistintamente output “i” o artículo ”i”.

3) Es una economía cerrada; esto es, el output producido por cada industria se utiliza solamente

como input de las industrias de la economía; a su vez, cualquier input que necesite una

industria sólo podrá ser suministrado por las industrias de la economía.


178-179 –16/3




(Ver páginas 77-82 Matemática II. Módulo IV. (Cód. 178))

b) El estudiante desarrollará su respuesta de manera similar a lo señalado en las páginas 82-83, del

texto Matemática II, Módulo IV. (Cód. 178). Si consideramos que en el ejemplo dado, la

industria química gasta 0,4 en su propia producción, 0,03 en la farmacéutica y 0,02 en el

servicio de transporte y que para producir una unidad de medicamento, la industria farmacéutica

gasta 0,06 en la industria química, 0,37 en su propia producción y 0,1 en el servicio de

transporte. Además, la industria de transporte gasta 0,12 en medicamento, 0,15 en productos

químicos y 0,19 en el propio transporte. Supongamos que hay una demanda externa de 80 de

químicos, de 140 de medicinas y 200 de transporte. Para determinar cuánto ha de producir cada

industria para cubrir la demanda total requerida, se tiene según el Modelo Económico Input-

Output desarrollado por Leontief, la siguiente tabla que define las necesidades de la producción

interna.

Producción/demanda Química Farmacéutica Transporte

Química 0,4 0,03 0,02

Farmacéutica 0,06 0,37 0,1

Transporte 0,12 0,15 0,19

Se define la siguiente matriz tecnológica:

A=

19,015,012,0

1,037,006,0

02,003,04,0

Si D=

200

140

80

es el vector de demanda externa y

X=

Xt

Xf

Xq

es el vector de producción, entonces la ecuación:

X=AX+D determina la producción total, que satisface la demanda interna y externa. De donde: IX-

A.X=D entonces; (I-A).X=D, y así, X=(I-A)-1

D. En este caso particular:


178-179 –17/3




I-A=

100

.010

001

-

19,015,012,0

1,037,006,0

02,003,04,0

=

81,015,012,0

1,063,006,0

02,003,06,0

(I-A)-1

=

281,1318,0288,0

208,0646,1206,0

053,0092,0686,1

En consecuencia:

X=(I-A)-1

D=

281,1318,0288,0

208,0646,1206,0

053,0092,0686,1

.

200

140

80

=

76,323

52,288

36,158

Es decir, la industria química deberá producir 158,36 unidades, la industria farmacéutica 288,52

unidades y la de transporte 323,76 unidades para de esta manera poder cubrir la demanda total

requerida.

Esta parte de la prueba debe ser resuelta UNICAMENTE por loes estudiantes de la 179

(Ingeniería, Matemática y Educ Matemática)

PTA 14 OBJ IV.1 Demuestre mediante el Método de Inducción Matemática que:

n

i3 = n

2 (n+1)

2

i=1 4

SOLUCION

1° Usando n = 1

1

i3 = 12 (1+1)2 i =1 4

1

1 = 1(4) i =1 4

1

1 = 4 = 1 i=1 4

2° Supongamos valido para n = k


178-179 –18/3




k

i3 = k2 (k+1)2

i=1 4

3° Por demostrar valido para n = k+1

k+1

i3 = (k+1)2 (k+1)2 se reemplaza termino igual al de arriba i=1 4

= (k+1)2 (k+2)2 esto se debe demostrar

4 k+1 k

i3 = i3 + (k+1)3 i =1 i =1

= k2 (k+1)2 + (k+1)3 = k2 (k+1)2 + (k+1)3 = (k+1)2 ( k2 + (k+1)

4 4 4

= (k+1)2( k2 +4(k+1) = (k+1)2 (k2 +4k+4)

4 4 = (k+1)2 (k+2)2

4

PTA 15 OBJ IV.2 Modele, plantee y de una posible solución, por medio de la construcción de un

modelo matemático, a alguna situación o problema que exista en su entorno, ciudad o municipio en que

vive. Por ejemplo, si Ud. considera la posible presencia, sin confirmar, del coronavirus en cierta

población P de habitantes de un estado de Venezuela producto de un rumor; se podría estudiar la

velocidad de propagación del mismo. Para ello, se puede adoptar un modelo matemático que indica que

el número N de personas que en un instante t han oído el rumor, expresado por la relación:

N (t )= P (1 - e -K.t

) con K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 / hora ) .

Si K=0,1, se puede calcular el tiempo transcurrido para que el 60% de la población conozca el

rumor y la velocidad de propagación del mismo en ese momento, aplicando el concepto de derivada

como tasa de variación de una función para construir el modelo de la situación planteada.

Para la construcción de un modelo matemático (Ver páginas 130-133 Matemática II. Módulo

IV. (Cód.179)) y presente un diagrama de flujo que muestre los pasos necesarios para la construcción

del mismo.


178-179 –19/3




Recuerde que para modelar y resolver la situación o problema planteado, debe aplicar conceptos

relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de ecuaciones lineales a problemas de física,

ingeniería o economía.

SOLUCION

El estudiante desarrollará su respuesta de acuerdo a lo señalado en las páginas 130-135, del texto

Matemática II, Módulo IV. (Cód. 179), referente a los pasos para la construcción de un modelo

matemático y presentará un diagrama de flujo que muestre los pasos necesarios para la construcción

del mismo.

Si consideramos el ejemplo dado: N(t) = P ( 1 – e–K.t

) (1)

Se desea saber cuánto tiempo transcurrirá para que el 60% de la población conozca el rumor, es decir,

cuál es el valor de t para que N = 0.6 P.

Sustituyendo en (1) y teniendo en cuenta que K= 0.1, despejando t se obtiene:

0.6.P = P ( 1 – e – 0.1.t

) e – 0.1.t

= 0.4 t t=1,0

)4,0(Ln

Finalmente: t= 9,16 años

La velocidad de propagación del rumor es dt

dN

Derivando (1) :

añohabPPe

dt

dNkep

dt

dN kt 04,01,0)16,9(. )16,9(1,0

Con la información suministrada, se pueden enumerar los distintos pasos del diagrama de flujo para la

construcción del modelo:

1- Identificar la situación real que conduce a formular el problema

2- Seleccionar las variables que intervienen y la información disponible y necesaria para

organizarla.

3- Simplificar el problema

4- Expresar matemáticamente el problema utilizando símbolos, ecuaciones, gráficos, entre otros

5- Aplicar conceptos y procedimientos relacionados con el cálculo diferencial o sistemas de

ecuaciones lineales a problemas de física, ingeniería o economía para resolver el problema

matemático dando respuesta al modelo planteado.

En este sentido, el modelo matemático, con los pasos antes mencionados sería:


178-179 –20/3




INICIO

Identificar en cierta

Población P habitantes para

estudiar la velocidad de

propagación de un rumor y

el tiempo transcurrido para

Si k=0,1, se tomará en cuenta

el 60% de la población que

conocerá el rumor, además

la velocidad de propagación

del rumor es

1

2


178-179 –21/3




FIN DEL MODELO DEL TRABAJO.

Se puede adoptar un modelo matemático que indica

que el número N de personas que en un instante t han

oído el rumor, puede expresarse por la relación:

N (t )= P (1 - e -K.t

) con K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 /

hora )

Se desea saber cuánto tiempo transcurrirá para que el

60% de la población conozca el rumor, es decir, cuál es

el valor de t para que N = 0.6 P. Sustituyendo en N(t) =

P ( 1 – e–K.t ) y teniendo en cuenta que K= 0.1,

despejando t se obtiene:

0.6.P = P ( 1 – e – 0.1.t ) e – 0.1.t = 0.4 t

t=

=9,16 años

Derivando N(t) = P ( 1 – e–K.t ):

FIN

3

4

5

Elaborado por: - E. Mogollón y C. Chacón - Área de Matemática

matematica.una.edu.ve

TRABAJO PRÁCTICO Lapso 2019-2 178 - 179 - 22/5

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+ sUNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA MATEMATICA II (178 - 179) VICERRECTORADO ACADÉMICO Cód. Carreras: 126, 236, 280, 508, 237, 281, 610, 612, 613 ÁREA DE MATEMÁTICA Fecha: 27 / 04