alexrosete.orgfree.comalexrosete.orgfree.com/materiales_2010/02-Probabilidad/... · Web view1.2 DATOS NO AGRUPADOS.7 1.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN.8 Media aritmética.8

Contenido Unidad 1ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA...........................................................................1

1.1 INTRODUCCIÓN, NOTACIÓN SUMATORIA...........................................................................1Introducción............................................................................................................................. 1Estadística Descriptiva............................................................................................................2Notación Sumatoria.................................................................................................................4

1.2 DATOS NO AGRUPADOS.......................................................................................................71.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN............................................8

Media aritmética...................................................................................................................... 8Media ponderada.....................................................................................................................9Media armónica..................................................................................................................... 10Media geométrica.................................................................................................................. 10

1.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN......................................................................................11Varianza................................................................................................................................ 11Desviación Estándar..............................................................................................................11

1.3 DATOS AGRUPADOS............................................................................................................12Media Aritmética.................................................................................................................... 12Moda...................................................................................................................................... 12Mediana................................................................................................................................. 12Percentil................................................................................................................................. 14Cuartiles................................................................................................................................ 15

1.3.1 TABLA DE FRECUENCIA.........................................................................................15Tallo de Hojas........................................................................................................................ 15Histograma............................................................................................................................ 16

Ingeniería Industrial Probabilidad y estadística.Ing. Alejandro Rosete Notario I.T.S. de Tepeaca 2011.

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

1.1 INTRODUCCIÓN, NOTACIÓN SUMATORIA.

Introducción.

La estadística descriptiva se ocupa de la organización y resumen de datos estadísticos. Esto incluye el cálculo y la interpretación de medidas numéricas como la media, la mediana y la desviación estándar, al igual que la elaboración y empleo de representaciones gráficas, como las distribuciones de frecuencia.

“La probabilidad es utilizada con estas técnicas como una forma de saber cuán posible es que ocurra un evento. Estos métodos descriptivos se emplean de dos maneras; ya sea como un fin en sí mismas – en cuyo caso el propósito es aclarar, visualizar o comunicar un concepto o idea -, o como una etapa inicial en el proceso de inferencia.”1

“ESTADÍSTICA: Es el arte de reunir, analizar, presentar e interpretar datos.”2

La estadística se divide en tres ramas: 3

Estadística descriptiva

ESTADÍSTICA Teoría de probabilidad Estadística inferencial

1 STEVENSON William J. Estadística para Administración y Economía. Pág. 5232 ANDERSON David R. Estadística para Administración y Economía. Pág. 16.3 STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 5.

1


Estadística Descriptiva.

“Estadística descriptiva: Cualquier tratamiento de datos que esté diseñado para resumir o describir algunas de sus características más importantes sin intentar deducir nada que escape al alcance de los datos.”4

Proceso de la estadística descriptiva: Recolección Organizar y resumir en: de datos Procesamiento de datos - GráficosEstadísticos. - Tablas

Continuos

DiscretosDATOS 5

Nominales

Jerarquizados

“Datos: “Se debe aprender a identificar y manejar cuatro tipos de datos: continuos, discretos, nominales y jerarquizados.”6

De este modo, también se emplean variables en estadística, las cuales pueden asumir virtualmente cualquiera o determinado tipo de datos (valores); por lo que en estadística se manejarán 2 tipos de variables: variables discretas y variables continuas.

“Variables continuas: pueden asumir cualquier valor en un intervalo continuo de valores o datos. Características que se miden: altura, peso, longitud, espesor, velocidad, viscosidad y temperatura, por mencionar algunas.”7

“Variables discretas: “adquieren valores enteros. Básicamente surgen al contar un número de elementos u objetos.”8

“Datos nominales: se obtienen cuando se defienden las categorías y se cuenta el número de observaciones que quedan en cada una; tales como sexo,

4

Ibíd.; Pág. 7.5 Ibíd.; Pág. 15.6 Ídem.7 Ídem.8 Ibíd.; Pág. 16.

2


color de ojos, campo de estudios, calificaciones. Estos datos se cuentan y pueden pasar a ser datos discretos.”9

Datos jerarquizados: “constan de valores relativos asignados para denotar orden: 1º, 2º, 3º, 4º… y así sucesivamente.”10 Ejemplos de jerarquías: aceptable o no aceptable, muy desordenado, poco desordenado. Por lo regular pueden ser rangos un tanto subjetivos.

EJERCICIOS:Identifique los siguientes en términos del tipo de datos:

a. 17 gramos

b. 25 segundos

c. 3 canastasd. 3 incorrectas, 7 correctase. Tallas de camisasf. Kilómetros por litrog. Más lentoh. 2 heladosi. El más encantador

RESPUESTAS:Contínuos: a. b, f; Discretos: c, h; Nominales: d, e; Jerarquizados: g, i.

9 Ídem10 Ibíd.; Pág. 17.

3


4


Notación Sumatoria.11

CASO 1: La mayor parte de los procedimientos en estadística emplean sumas de datos y estas se representan por la letra griega sigma ∑. De aquí que ciertas operaciones sean representadas como sumatorias o también conocidas como "notación sumatoria".

Ejemplo:1. La letra sigma denota una suma y "x" es una variable de cualquier tipo.2. Los siguientes datos pertenecen a la variable "x": 1, 5, 6 y 9. Obtenga la =21

3. Si los valores de y son 2, 4 5, y 9, encuentre

CASO 2: Si sólo se van a sumar algunos de los valores, se utilizan subíndices para indicar dichos valores del siguiente modo:

Lo anterior indica la suma de los valores de la variable x, empezando con el primer dato (i=1) y terminando con el quinto (i=5).

Ejemplo:Utilizando los datos que se indican, calcule a)

11 Ibíd.; P. P. 18-20.

5


CASO 3: Cuando cada valor de una variable va a ser multiplicada o dividida por una constante; dicha constante se puede aplicar después de que los valores se hayan sumado.

Ejemplo:Hallar la sumatoria siguiente usando los datos de la tabla del CASO 2.

CASO 4: La adición de una suma (o diferencia) de dos variables es igual a la suma (o diferencia) de sumatorias individuales de las dos variables.

Ejemplo:

a) Realizar la sumatoria con los siguientes datos:

CASO 5: Los subíndices i y j se emplean para designar la fila, (i) y la columna (j), y la letra se utiliza para simbolizar el de filas y k para el de columnas.

Ejemplo:Se requiere examinar datos acerca del kilometraje por unidad de consumo deGasolina según diferentes combinaciones de autos y conductores.

Automóvil Conductor1 2 3 4 sumas

1 22.3 23.5 20.5 19.8 86.12 20.4 20.1 19.0 20.8 80.33 23.4 25.6 19.6 21.7 90.3sumas 66.1 69.2 59.1 62.3 256.7

6


La notación general para esta tabla de muestra a continuación:

1 . Escriba las siguientes sumas con la notación sumatoria:a) x, + x2 + ... + xn

b) (x, + X2+- ... + xn)2

c) Xi + X2 + X3 + X4 + X5 +X6+ X7

d) [(o, - e,)2 / e,] +[(o2 – e2)2 e2] + [(o3 - e3)2 / e3] + [(o* - e4)a / e4]

2. Calcule cada una de las siguientes cantidades sirviéndose de los datos proporcionados. (Nota: n es el de datos).

y = 15, 10, 5, 9, 14, 20, 6, 17

3. Calcule las siguientes cantidades, utilizando la información de la tabla que se presenta.

7


1.2 DATOS NO AGRUPADOS.

Cuando los datos estadísticos se recolectan, estos se encuentran desordenados y por tanto deberán ser asociados de tal forma que puedan interpretarse.Los datos estadísticos se van a identificar en dos formas, como población y como muestra.

POBLACIÓN: El conjunto de todos los elementos de interés en determinado estudio.12

MUESTRA: Un subconjunto de la población.13

Con lo anterior se va a clasificar la forma de medir los datos:

12 ANDERSON, David R. Op. Cit. Pág. 16.13 Idem.

8


Medidas de Media de la Población.tendencia central

Varianza.Población

Medidas de Desviación Estándar.dispersión

Error estándar.

Datos Estadísticos

Medidas de Media de la muestra.tendenciacentral

Muestra Varianza de la muestra.

Medidas de Desviación estándar de la dispersión muestra.

Error estándar de la muestra.

1.2.1 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE POSICIÓN.

Media aritmética.

La media aritmética también llamada media de la muestra, esperanza matemática o tan conocida por todos como promedio: esta es la suma de los datos y dividida entre la cantidad de datos que se estén sumando.14 La fórmula de esta es:

Para la Población:

14 STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 23.

9


Para la Muestra:

EJEMPLO:Se tienen las siguientes calificaciones de alumnos, obtenga la media aritmética:

Matemáticas Física Dibujo Ética Taller de H. Fundamentos de investigación.70 71 85 95 90 83

La media aritmética es: 82.33NOTA: Ya sea media de la población y media de la muestra, el procedimiento sigue siendo el mismo para obtener el resultado.

Media ponderada.

La media ponderada es muy similar a la anterior con la diferencia de que se maneja un grado de importancia o ponderación para cada dato.15 La fórmula es la siguiente:

En este caso w es la ponderación i-èsima. Que se le aplica a cada dato.EJEMPLO:Con las siguientes calificaciones obtenga un promedio ponderado:

15 ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 66.

10


Media armónica.

Esta se define como n divida entre la suma de los recíprocos de los n s; o n.16

Bien: La media armónica tiene una utilidad limitada, pero es adecuada.

Ejemplo:Si un avión vuela 100 millas a 300 millas/hora y las siguientes 100 millas a 600 Millas/hora.

Ha recorrido 400 millas/hora en promedio

Media geométrica.

Se aplica a un conjunto de n s positivos y es la raíz n-ésima de su producto. Si todos los s son iguales, la media geométrica es igual a la media aritmética; pero ,

en caso contrario, la media geométrica es siempre menor que la aritmética.17

La fórmula es:

Ejemplo:

Obtenga la media geométrica de las siguientes calificaciones:Examen (n) Calificación (x,)No. 1 80 No. 2 90 Final 96

16 Ídem17 STEVENSON, William J. Op. Cit. Pág. 34.

11


1.2.2 MEDIDAS DE DISPERSIÓN.

Varianza.

La varianza o también conocida como variancia, es la desviación promedio de valores obtenidos a partir de la media, elevada al cuadrado y calculada mediante n-1 en lugar de n.18 Las fórmulas que se emplean son las siguientes:

Para la Población: ó

Para la Muestra: ó

Desviación Estándar.

La desviación estándar de un conjunto de s se define como la raíz cuadrada positiva de la variancia.19

Es simplemente la raíz cuadrada positiva de la variancia. De este modo si la variancia es 81, la desviación estándar es 9; si la variancia es √10, la desviación estándar es √10= 3.16. Para obtener la desviación estándar, se debe calcular la variancia y hallar su raíz cuadrada.

Las fórmulas para la desviación estándar son:

18 Ídem19 Ibíd.; Pág. 36.

12


S=√∑( x i−x )

2

n−1

Como se hizo anteriormente, sustituir (n-1) por n las convierte en fórmulas para calcular la desviación estándar de la población.

1.3 DATOS AGRUPADOS.

Las medidas fundamentales en lo que a datos agrupados se refieren, son las mismas que para los pequeños conjuntos de datos, principalmente la media, mediana y moda como medidas de tendencia central y la desviación estándar, variancia y amplitud de variación como medidas de dispersión.

Media Aritmética.

La media aritmética es lo que viene a la mente de las personas cuando se menciona la palabra “promedio”. Como este término tiene ciertas características matemáticas deseables, es la más importante de las tres medidas.

La media aritmética se calcula al sumar los valores de un conjunto y al dividir el producto de esta suma entre el de valores del mismo. 20

Ejemplo:

70+80+1203

=2703

=90

Moda.

Es el valor que con más frecuencia se presenta en un conjunto. 21

Ejemplo:En el conjunto 10, 10, 8, 6 y 10, el 10 se presenta tres veces en tanto que uno de los otros valores, solo una vez. El valor más frecuente, la moda, es 10.

Mediana.

Es el valor intermedio, cuando los valores de los datos se ordenan en forma ascendente. Si hay una cantidad impar de elementos, la mediana es el valor del elemento intermedio, cuando todos los elementos están ordenados de manera ascendente.

20 Ibíd. Pág. 23.21 Ídem.

13


Si hay una cantidad par de elementos, la mediana es el valor promedio de los dos elementos intermedios, cuando todos se ordenan en forma ascendente.22

Ejemplo:

Sueldos mensuales iniciales para una muestra de 12 egresados de una escuela de administración.

Egresado

123456

Sueldo mensual ($)

235024502550238022552210

Egresado

789101112

Sueldomensual ($)

239026302440282524202380

Al disponer los cinco valores de datos en orden ascendente, se obtiene la siguiente lista ordenada.32 42 46 46 54

Como n = 5 es impar, la mediana es el elemento intermedio de la lista ordenada. Así, la mediana del tamaño de clase es 46 alumnos. Aun cuando hay dos valores 46, cada uno se maneja como artículo.

Calculemos la mediana del salario inicial de los egresados de la escuela de administración. Ordenamos los 12 elementos de la tabla

2210 2255 2350 2280 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825 Dos valores intermedios

Como n = 12 es par, identificamos los dos elementos intermedios. La mediana es la media de esos dos valores.

Mediana=2390+24202

=2405

22 ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 66.

14


Percentil.

El p-ésimo percentil es un valor tal que por lo menos un p por ciento de los elementos tienen dicho valor o menos y. al menos, un (100—p) por ciento de los elementos tienen este valor o más.23

Para calcular el p-ésimo percentil se aplica el siguiente método.

Paso 1. Ordenar los datos de manera ascendente.

Paso 2. Calcular un índice i

i = ( P100 )

n En donde: p es el percentil de interés n es la cantidad de elementos.

Paso 3. (a) Si i no es entero, se redondea. El valor entero inmediato mayor que i in-dica la posición del p-ésimo percentil.(b) Si i seis entero, el p-ésimo percentil es el promedio de los valores de los datos ubicados en los lugares i e i + 1.

Como ejemplo de este procedimiento, determinemos el 85o percentil de los datos de salario inicial en la tabla

Paso 1. Disponer los 12 valores de los datos en orden ascendente.

2210 2255 2350 2380 2380 2390 2420 2440 2450 2550 2630 2825

Paso 2.

i=( P100 )n=(85100 )12=10.2

Paso 3. Como i no es entera, redondeamos. El lugar del 85o percentil es el siguiente entero mayor que 10.2, o sea el lugar 11.

Regresando a los datos, vemos que el 85o percentil corresponde al 1 lo lugar en los datos, que es 2630.23 ANDERSON, Sweeney William. Estadística para Administración y Economía. Pág. 65.

15


Cuartiles.

La mediana (ya sea de una población o de una muestra) divide los datos en dos partes iguales. También es posible dividir los datos en más de dos partes. Cuando se divide un conjunto ordenado de datasen cuatro partes iguales, los puntos de división se conocen como cuartiles24.

El primer cuartil o cuartil inferior, q1, es un valor que tiene aproximadamente la cuarta parte (25%) de las observaciones por debajo de él, y el 75% restante, por encima de él. El segundo cuartil, q2, tiene aproximadamente la mitad (50%) de las observaciones por debajo de él. Es segundo cuartil es exactamente igual a la mediana. El tercer cuartil, o cuartil superior, q3, tiene aproximadamente las tres cuartas partes (75%) de las observaciones por debajo de él. Al igual que en el caso de la mediana, es posible que los cuartiles no sean únicos. Por simplicidad, si más de una observación satisface la definición de un cuartil, entonces se utiliza el promedio de ellas como cuartil.

1.3.1 TABLA DE FRECUENCIA.

Tallo de Hojas.

Las técnicas del análisis exploratorio de datos consisten en operaciones aritméticas sencillas y representaciones fáciles de trazar, que pueden emplearse para resumir con rapidez los datos. 25

Sin embargo, hay una que se llama diagrama de tallo y hojas, que todavía se usa mucho para mostrar tanto el orden de rangos como La forma de un conjunto de datos, en forma simultánea.

Ejemplo:La información es resultado de un examen de aptitudes de 150 preguntas,

aplicado a 50 personas durante un proceso de selección de personal en Haskens Manufacturíng. Los datos indican el de respuestas correctas.

A) Ordenamos, de acuerdo con los dígitos iniciales de cada uno, en el lado izquierdo de una línea vertical.

B) A la derecha de esa recta se anota el último dígito de cada dato, conforme se recorren las calificaciones en el orden en que fueron anotadas.

C) El último dígito de cada dato se coloca en el renglón de los primeros dígitos del correspondiente.

24 MONTGOMERY, Douglas C. Probabilidad y Estadística aplicadas a la ingeniería. Pág. 2025 ANDERSON, Sweeney William. Op. Cit. Pág. 40.

16


6 9 87 2 3 6 3 6 5

8 6 2 3 1 1 0 4 5

9 7 2 2 6 2 1 5 8 8 5 4

10 7 4 8 0 2 6 6 0 6

11 2 8 5 9 3 5 9

12 6 8 7 4

13 2 4

14 1

D) Con esta organización de los datos, es fácil clasificar los dígitos de cada renglón en su rango (magnitud) correspondiente. Al hacerlo se llega al diagrama de tallo y hojas que vemos a continuación:

6 8 97 2 3 3 5 6 68 0 1 1 2 3 4 5 69 1 2 2 2 4 5 5 6 710 0 0 2 4 6 6 6 7 811 2 3 5 5 8 9 912 4 6 7 813 2 414 1

E) Cada línea de este diagrama se denomina como tallo, y cada dígito en el tallo es una hoja.

Histograma.

Es la representación gráfica común de datos cuantitativos este resume grafico se puede preparar con datos que sean resumido anteriormente en una distribución de frecuencia porcentual. 26

Se traza colocando la variable de interés sobre el eje horizontal y la frecuencia porcentual de cada clase trazando un rectángulo, cuya base es el intervalo de la clase sobre el eje horizontal y cuya altura es la frecuencia correspondiente.

Pasos para la elaboración de un histograma.

1.- La raíz de todos los s cualitativos.

26 Idem. Pág. 33

17


K = √n Nota: Los rangos deben de ser de 5 ≤ k ≥ 15.

2.- De ¿cuántos valores va a constar cada clase?

Amplitud de clase = (valor máximo – valor mínimo )o rango

k3.- Crear las clases o rangos.4.- Contabilizar las frecuencias de cada clase.5.- Con los datos obtenidos al contabilizar las frecuencias elaboraremos el histograma.

Ejemplo:Los siguientes datos son resultado de una encuesta realizada a alumnos de

segundo año de secundaria. Obtendremos su histograma.

Calificaciones

Clases(Calificaciones)

Frecuencia(Absoluta)

Frecuencia(Relativa)

Frecuencia Absoluta Acumulada (ascendente)

Frecuencia Absoluta Acumulada (descendente)

z 10050 - 54 14 14% 14 8655 - 59 6 6% 20 8060 - 64 11 11% 31 6965 - 69 11 11% 42 5870 - 74 6 6% 48 52

18

70 88 94 88 88 96 84 92 90 9080 90 95 90 92 85 82 94 86 8090 90 85 72 80 72 80 96 70 8575 95 90 83 70 78 78 80 86 8584 76 70 96 77 80 76 72 70 8096 72 80 75 70 82 74 94 70 8085 92 85 82 70 84 90 92 75 9075 83 77 90 72 86 75 90 80 9096 73 72 70 90 88 86 88 70 7572 77 85 96 75 90 90 86 75 80


75 - 79 11 11% 59 4180 - 84 7 7% 66 3485 - 89 14 14% 80 2090 - 94 9 9% 89 1195 - 99 11 11% 100 0

14

611 11

611

7

149 11

02468

101214

FRECUENCIA ABSOLUTA

1

CLASE [Calificacion %]

HISTOGRAMA DE CALIFICACIONES (2º AÑO DE SECUNDARIA, 2002)

50 - 54 =

55 - 59 =

60 - 64 =

65 - 69 =

70 - 74 =

75 - 79 =

80 - 84 =

85 - 89 =

90 - 94 =

95 - 99 =

ACUMULADA DE LAS CALIFICACIONES DE 2º AÑO DE PRIMARIA 2002

14 2031

42 4859 66

8089

10086 80

6958 52

41 3420

1100

20

40

60

80

100

120

= = = = = = = = = =

50 -54

55 -59

60 -64

65 -69

70 -74

75 -79

80 -84

85 -89

90 -94

95 -99

CLASE [calificacion %]

frecu

enci

a ab

solu

ta

acum

ulad

a

FRECUENCIA ABSOLUTA ACUMULADA FRECUENCIA ABSOLUTA ACOMULADA DESENDENTE

19

1,4

0,6

1,1 1,1

0,6

1,1

0,7

1,4

0,9

1,1

0

0,2

0,40,6

0,81

1,2

1,4

FRECUENCIA RELATIVA

1

CLASE [calificacion %]

HISTOGRAMA DE CALIFICACIONES (2º AÑO DE SECUNDARIA, 2002)

50 - 54 =

55 - 59 =

60 - 64 =

65 - 69 =

70 - 74 =

75 - 79 =

80 - 84 =

85 - 89 =

90 - 94 =

95 - 99 =

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