UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNFACULTAD DE CIENCIAS-ESCUELA DE FÍSICA

FÍSICA MECÁNICAMÓDULO # 20: SISTEMA DE PARTÍCULAS -MASA Y MOMENTO DE INERCIA-.

Diego Luis Aristizábal R., Roberto Restrepo A., Tatiana Muñoz H.Profesores, Escuela de Física de la Universidad Nacional de Colombia Sede Medellín

Temas Introducción

PARTE I: MASA

Masa y centro de masa. Ejemplos sobre centro de masa

PARTE II: MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia y radio de giro respecto a un eje Teorema de ejes paralelos Ejemplos sobre momento de inercia

Introducción

Hasta esta parte del curso se ha tratado esencialmente el equilibrio de la partícula, la estática del cuerpo rígido y la dinámica de la partícula. Para completar el estudio de la mecánica se debe generalizar lo tratado a dinámica de los sistemas de partículas. Por lo tanto los módulos que faltan tratarán este tema, y se dividirán así:

Módulo # 20: Sistemas de partículas -Masa y Momento de Inercia- Módulo # 21: Sistema de partículas –Teoremas Generales- Módulo # 22: Sistema de Partículas -Dinámica del Cuerpo Rígido (I)- Módulo # 23: Sistema de partículas –Dinámica del Cuerpo Rígido (II)- Módulo # 24: Sistema de partículas –Hidrodinámica- Módulo # 25: Sistema de partículas –Masa Variable- Módulo # 26: Sistema de partículas –Primera Ley de la Termodinámica-

En este módulo se trataran con profundidad las magnitudes escalares masa inercial y momento de inercia. La primera se ha trabajado en los módulos anteriores, sin embargo en este módulo se profundizará sobre esto.

La masa inercial se relaciona con la inercia de traslación de un cuerpo, mientras que el momento de inercia se relaciona con la inercia de rotación de éste.

PARTE I: MASAMasa y centro de masa

Importancia del centro de masa

Un sistema de partículas es un conjunto de partículas. Considera los cuerpos o los objetos como agregados de partículas (puntos materiales) que interaccionan. Un sistema de partículas puede

estar en cualquiera de los estados de agregación: gas, líquido, sólido. También puede obedecer modelos como: cuerpo rígido o cuerpo deformable. A su vez se puede ser discreto o continuo.

En lo que se refiere a la traslación de un sistema de partículas, se mostrará en los módulos # 20 y # 21, que éste lo hace como si toda la masa estuviera concentrada en su centro de masa (CM) y como si todas las fuerzas actuasen allí. En otras palabras la traslación de un sistema de partículas se puede reducir a la traslación en una partícula cuya masa es la masa de todo el sistema, ubicada en el CM y con todas las fuerzas actuando allí.

Con base en lo anterior es que es muy importante saber cuál es la posición del CM de un sistema de partículas.

Masa de un sistema de partículas

Sea un sistema discreto de partículas cuyas masas son , i=1,2,…,N.

La masa M de este sistema es,

Figura 1

Centro de masa de un sistema de partículas

El centro de masa (CM) de un sistema de partículas, como se dijo atrás, es el punto en donde se puede considerar que está concentrada la masa del sistema para ser tratado éste como una sola partícula para efectos de traslación. Esto se mostrará en los módulos # 20 y # 21.

Para el caso de un sistema de partículas, dado un marco de referencia y un sistema de coordenadas fijo a éste con origen O, Figura 2, el CM es el punto definido por la siguiente ecuación,

Siendo los la posición de la partícula i.

Figura 2

En coordenadas rectangulares,

En la Figura 3 se ilustra un caso unidimesional.

Figura 3

Centro de masa de un sistema de partículas continuo

Para un sistema de partículas continuo se toma un elemento diferencial de volumen dV que contiene una masa dm, Figura 4.

Figura 4

Las expresiones para sistemas discretos se convierten ahora en

Ejemplos sobre centro de masa

Ejemplo de un sistema de partículas discreto

En la Figura 5 se ilustra un sistema discreto de partículas las cuales están ubicadas en los vértices de un cubo de lado 2,00 m. Si m1=m2=m3=m4= 5,00 g y m5=m6=m7=m8=10,0 g hallar el centro

de masa del sistema.

Figura 5

Solución:

Los vectores posición de las partículas son:

Reemplazando en las ecuaciones [1] y [2] se obtiene la los resultados de la Tabla 1.

Tabla 1Partícula

mi (g) xi (m)

mixi (g.m) yi (m)

miyi (g.m) zi (m)

mizi (g.m)

1 5,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,00 10,02 5,00 0,00 0,00 2,00 10,0 2,00 10,03 5,00 2,00 10,0 2,00 10,0 2,00 10,04 5,00 2,00 10,0 0,00 0,00 2,00 10,05 10,0 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,006 10,0 0,00 0,00 2,00 20,0 0,00 0,007 10,0 2,00 20,0 2,00 20,0 0,00 0,008 10,0 2,00 20,0 0,00 0,00 0,00 0,00

60,0 60,0 40,0

CM 60,0 g 1,00 m 1,00

m0,67

m

En la Figura 6 se ilustra el resultado.

Figura 6

Ejemplos de sistema de partículas continuo

Antes de entrar a tratar algunos ejemplos del cálculo de centros de masa en sistemas de partículas continuos es interesante tener presente las siguiente ideas básicas::

Si el cuerpo es homogéneo el centro de masa (CM) coincide con el centroide (denominado también centro geométrico) de la figura geométrica.

Si el campo gravitacional es uniforme (por ejemplo el generado por el planeta Tierra cerca de su superficie) el centro de masa (CM) del cuerpo coincide con su centro de gravedad (CG).

Si un cuerpo es volumétrico y posee un plano de simetría, su centroide estará en ese plano; si posee dos planos de simetría el centroide estará localizado sobre la recta de intersección de los dos planos; si posee tres planos de simetría que se intersectan en un solo punto, su centroide coincidirá con ese punto.

Si un cuerpo superficial (es decir “plano”, de muy poco espesor), tiene un eje de simetría, el centoride estará en este eje; si posee dos ejes de simetría el centroide coincidirá con el punto donde se intersectan estos dos ejes.

Si un cuerpo es lineal (es decir tipo “filamento”), tiene dos ejes de simetría, el centroide coincidirá con el punto donde se intersectan estos dos ejes.

Ejemplos de algunos cuerpos que se les puede ubicar el centroide con sólo analizar su simetría:

Esfera maciza o hueca: es el centro de la esfera. Cubo: es el centro del cubo. Cilindro macizo o hueco: en el centro del eje del cilindro. Placa rectangular: donde se cortan las diagonales. Placa circular: centro del círculo. Aro circular: centro del círculo. Filamento rectangular: donde se cortan las diagonales. En un triángulo equilátero: donde se cortan las alturas. En la Figura 7 se ilustra un cuerpo plano homogéneo: donde se cortan los dos ejes de simetría

está ubicado el centroide C.

Figura 7

Ejemplos con densidad de masa volumétrica ( )

Cono:

Centro de masa de un cono homogéneo de altura h, radio R y densidad , Figura 8.

Figura 8

El CM está sobre el eje de simetría, es decir,

A continuación se calcula, . De la ecuación [4] se deduce que,

De la geometría y de la definición de densidad se tiene,

Por lo tanto,

Resolviendo la integral y como,

se obtiene,

Semiesfera:

Centro de masa de una semiesfera homogénea de radio R y densidad , Figura 9.

Figura 9

El CM está sobre el eje de simetría, es decir,

A continuación se calcula, . De la ecuación [4] se deduce que,

De la geometría y de la definición de densidad se tiene,

Por lo tanto,

Resolviendo la integral y como,

se obtiene,

Ejemplos con densidad de masa superficial ( )

Triángulo:

Centro de masa de un triángulo homogéneo de radio b y altura h y densidad superficial , Figura 10.

Figura 10

A continuación se calcula, . De la ecuación [4] se deduce que,

De la geometría y de la definición de densidad se tiene,

Por lo tanto,

Resolviendo la integral y como,

se obtiene,

Es decir, el centro de masas está donde se cortan las tres medianas del triángulo, llamado baricentro.

Semicírculo:

Centro de masa de semicírculo homogéneo de radio R y densidad superficial , Figura 11.

Figura 11

El centro de masa se encuentra sobre el eje de simetría, por lo tanto,

A continuación se calcula, . De la ecuación [4] se deduce que,

De la geometría y de la definición de densidad se tiene,

Por lo tanto,

Resolviendo la integral y como,

se obtiene,

Ejemplo con densidad de masa lineal ( )

Semicircunferencia:

Centro de masa de un alambre delgado homogéneo en forma de semicircunferencia de densidad lineal , Figura 12.

Figura 12

El centro de masa se encuentra sobre el eje de simetría, por lo tanto,

A continuación se calcula, . De la ecuación [4] se deduce que,

De la geometría y de la definición de densidad se tiene,

Por lo tanto,

Resolviendo la integral y como,

se obtiene,

En diferentes textos de física, o de mecánica para ingenieros, o en la Internet se encuentran tablas con las expresiones para calcular centros de masa de algunos cuerpos homogéneos.

Ejemplo con cuerpos homogéneos compuestos

Es muy común en ingeniería tener que calcular el centro de masa de cuerpos compuestos. En estos casos, conocidos los centros de masas de las partes, para calcular el centro de masa de todo el cuerpo se procede como si fuera un conjunto de partículas (ecuaciones [1] y [2]), cada una ubicada en el centro de masa de la parte correspondiente con la masa de ésta; si se trata de un hueco esta parte se toma como si tuviera “masa negativa”.

Ejemplo:

Encontrar el centro de masa de la placa homogénea de la Figura 13.

Figura 13

En la Figura 14 se ilustra en las partes en las que se dividió esta placa.

Figura 14

En la tabal 2 se ilustran los cálculos. Como la densidad es uniforme, para facilitar los cálculos se supuso que su valor es igual a la unidad (1,00 g.cm -2): esto no afecta el resultado. Con esta suposición la masa es numéricamente igual al área.

Tabla 2Partícula mi (g) xi (cm) mixi (g.cm) yi (cm) miyi (g.cm)

Parte 1 36,0 4,00 144 -2,00 -72,0Parte 2 96,0 6,00 576 4,00 384Parte 3 -50,3 6,00 -302 8,00 -402Parte 4 56,5 6,00 339 10,6 599

757 509

CM 138,2 g5,48 cm 3,68 cm

Es decir la posición del centro de masa es,

PARTE II: MOMENTO DE INERCIA

Momento de inercia y radio de giro respecto a un eje

Sea un conjunto de partículas que giran alrededor de un eje que pasa por O, Figura 15. El momento de inercia respecto a un eje que pasa por O, Io, se define como,

Su unidad en el SI es kg.m2 y es una magnitud escalar.

Figura 15

El momento de inercia juega un papel esencial en el estudio de la rotación, análogo al que desempeña la masa inercial en el movimiento de traslación. Es una medida de la inercia rotacional de un cuerpo. Depende de la masa del cuerpo y de la forma como ésta se distribuye, es decir, también depende de la geometría.

Esta magnitud es muy útil cuando un cuerpo se puede modelar como un cuerpo rígido.

Si el cuerpo rígido es un continuo, Figura 16, el momento de inercia respecto a un eje toma la siguiente forma,

Figura 16

Para comprender mejor el concepto de momento de inercia se puede recurrir a los siguientes experimentos:

Una bailarina que gira con sus brazos abiertos al recogerlos aumenta la velocidad angular de giro debido a que disminuye su momento de inercia si variar su masa: la misma masa queda más cerca del eje de rotación.

Un clavadista de natación para lograr dar varios giros alrededor de un eje que pasa por su centro de masa encoge su cuerpo; esto se debe a que disminuye su momento de inercia: la misma masa estará más cerca del eje de rotación.

Si el planeta Tierra se achatara, es decir, aumentara el radio de la línea del ecuador, aumentaría su momento de inercia y rotaría más lento aumentado la duración de los días.

Teorema de ejes paralelos

Un resultado muy importante en el cálculo de los momentos de inercia es el llamado teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner, que puede enunciarse así: el momento de inercia de un cuerpo respecto a un determinado eje es igual al momento de inercia respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de masa, más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre los ejes. Sea Ιo el momento de inercia respecto a un eje que pasa por O, Ιcm el momento de inercia respecto a un eje paralelo y que pasa por el centro de masa CM, m la masa del cuerpo y d la distancia entre los ejes, entonces este teorema establece que,

Demostración:

En la Figura 17 se ilustra un cuerpo rígido y dos ejes de rotación paralelos: uno que pasa por el centro de masa CM, y otro por el punto O. El momento de inercia respecto al eje que pasa por O es,

Figura 17

como,

corresponde a la posición del CM respecto al CM que obviamente debe ser cero,

entonces,

y por lo tanto,

Radio de giro y su importancia

A veces se escribe el momento de inercia de un cuerpo como,

en donde se le denomina radio de giro del cuerpo.

Se define el radio de giro como la distancia desde el eje de rotación a un punto donde podríamos suponer concentrada toda la masa del cuerpo de modo que el momento de inercia respecto a dicho eje se obtenga como el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado del radio de giro. Es analizar el cuerpo rígido como si fuera una partícula girando y ubicada a la distancia igual al radio de giro y con toda la masa del sistema.

Ejemplos sobre momento de inercia

Partícula:

El momento de inercia de una partícula de masa m que gira alrededor de un eje con un radio R. Figura 18.

Figura 18

Su radio de giro respecto a ese eje es,

Anillo:

Momento de inercia de un anillo homogéneo de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, Figura 19.

Figura 19

Se aplica la ecuación [5],

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el CM es,

Ahora si se quiere el momento de inercia respecto a un eje O’ que pasa por un punto de su periferia y que es paralelo al eje que pasa por su centro de masa CM, Figura 20, se aplica el teorema de ejes paralelos,

Figura 20

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el O’ es,

Varilla:

Momento de inercia de una varilla homogénea de longitud L y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, Figura 21.

Figura 21

Se aplica la ecuación [5],

Como la densidad es uniforme (densidad lineal ),

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el CM es,

Ahora si se quiere el momento de inercia respecto a un eje O’ que pasa por un punto de su periferia y que es paralelo al eje que pasa por su centro de masa CM, Figura 22, se aplica el teorema de ejes paralelos,

Figura 22

Su radio de giro respecto al eje que pasa por o’ es,

Disco:

Momento de inercia de un disco homogéneo de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, Figura 23.

Figura 23

Se aplica la ecuación [5],

Como la densidad es uniforme (densidad superficial ),

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el CM es,

Ahora si se quiere el momento de inercia respecto a un eje O’ que pasa por un punto de su periferia y que es paralelo al eje que pasa por su centro de masa CM, Figura 24, se aplica el teorema de ejes paralelos,

Figura 24

Su radio de giro respecto al eje que pasa por o’ es,

Esfera maciza:

Momento de inercia de una esfera maciza homogénea de radio R y masa m que rota alrededor de un eje que pasa por su centro de masa, Figura 25.

Figura 25

Se puede partir del momento de inercia del disco,

Como la densidad es uniforme (densidad volumétrica ),

Su radio de giro respecto al eje que pasa por el CM es,

En diferentes textos de física, o de mecánica para ingenieros, o en la Internet se encuentran tablas con las expresiones para calcular los momentos de inercia de algunos cuerpos homogéneos.

TAREA

Resolver el taller sobre centro de masa y momento de inercia

FIN.