CAPITULO INTRODUCTORIO DE FISICA I PARA PROGRAMAS DE TECNOLOGÍA DEL INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCACION RURAL ISER.

NELSON ANTONIO GALVIS JAIMESM.S.c en Física.Esp. en Física.

Lic. en Matemáticas y Computación.

INSTITUTO SUPERIOR DE EDUCACION RURAL I.S.E.RFACULTAD DE INGENIERIAS E INFORMATICA.

PAMPLONA2016

El presente capitulo introductorio de Física I ó Física Mecánica es un compendio de los apuntes de clase que He desarrollado teniendo en cuenta diversos textos de física para las Ingenierías, ciencias y Tecnología. Asignatura fundamental de los primeros semestres de los diferentes programas de Tecnología que se imparten en el Instituto superior de Educación Rural I.S.E.R. de Pamplona, Norte de Santander.

La principal idea de este documento es facilitar el desarrollo de las competencias básicas para abordar el estudio de la física general en los estudiantes de nivel tecnológico que inician este curso. Para ello Me he basado en una serie de textos con una muy alta fundamentación pedagógica en el desarrollo de la física universitaria y de bachillerato que propician el estudio independiente buscando lograr el autoaprendizaje de los principales conceptos, teorías y leyes de la Física. Igualmente presento ejercicios propios de Tecnología y direcciones web para complementar el desarrollo teórico y práctico de los temas vistos en clase.

Se debe tener en cuenta que la Física es la ciencia que explica los fenómenos físicos del mundo natural, por esto, no hay que confundir a la resolución de problemas con la manipulación mecánica de fórmulas, datos y unidades para obtener un resultado numérico que explica un fenómeno físico. Aprender Física va más allá de obtener un re -sultado numérico usando una fórmula, es poder explicar el comportamiento de un determinado sistema, a la luz de las teorías, principios y leyes vigentes en la ciencia.

La bibliografía básica para el desarrollo de este material pedagógico de física es: Serway R. Física para Ciencias e Ingeniería. Volumen I. Mc graw-Hill.1997. Hans C. Ohanian, J T. Markert .Física para Ingeniería y Ciencias. Vol I. 3 edit. Mc graw Hill. 2009. Wolfang Bauer, G. D. Westfall. Física para Ingeniería y Ciencia, Vol I. Mc graw Hill. 2011. Searz Zemanski. Fisica Universitaria. Vol I. 12 Edit. Addison-Wesley. 2009. Giancoli. Física para Ciencias e Ingeniería. 4 edit. Pearson, Prentice Hall. 2008. Mauricio Villegas. Física Investiguemos. 10 grado, Voluntad. 1989. Mauricio Bautista. Física Hipertextos. 10 Grado. Santillana.2011.

NELSON ANTONIO GALVIS JAIMES II Semestre de 2016Primera versión revisada en noviembre de 2016 por M.S.c en física German Contreras de la Ossa.

1.1 LA FISICA Y SUS RAMAS.La física es una ciencia fundamental relacionada con la comprensión de los fenómenos que ocurren en el universo. La física como ciencia se basa en el Método Científico partiendo de las observaciones experimentales y mediciones cuantitativas, para descubrir las leyes que rige él comporta de las interacciones de la materia y la energía en cualquiera de sus formas. Las leyes fundamentales empleadas para que se desarrollen las teorías se expresan en el lenguaje matemático, herramienta que brinda un puente entre la teoría y el experimento (Giancoli, 2008).

La observación, junto con la experimentación y medición cuidadosas, son un aspecto del proceso científico. El otro aspecto es la creación de teorías para explicar y ordenar las observaciones. Las teorías nunca se derivan directamente de las observaciones. En realidad, las observaciones pueden ayudar a inspirar una teoría, y las teorías se aceptan o se rechazan con base en los resultados obtenidos de la observación y los experimentos con base en el Método Científico (Villegas, 1989).La física para facilitar el estudio de los fenómenos naturales se divide en: la Física Clásica, que estudia los fenómenos relacionados con cuerpos macroscópicos que se mueven a velocidades menores a la de la luz. Que incluyen el movimiento, fluidos, calor, sonido, electricidad y magnetismo. La Física Moderna, que estudia el comportamiento del mundo microscópico y subatómico de fenómenos que se mueven con velocidades cerca a la de la luz, incluye la relatividad, estructura atómica, materia condensada, física nuclear, física de partículas, cosmología y astrofísica. Con el desarrollo dela física moderna se pudo dar solución a problemas que desde la

física clásica no tenían solución (Raymond A. Serway y John W. Jewett, 2005).

Tabla 1. Ramas de la física

Física ClásicaMecánica

CinemáticaDinámicaEstática

Fluidos, calor, sonido,Electricidad y magnetismo

Física ModernaRelatividad, física atómico, Molecular, física de partículas, Cosmología y astrofísica

Fuentes: Propia.1.2 CANTIDADES FÍSICAS.Para describir las características de un cuerpo o fenómeno físico es impórtate poder realizar medidas sobre estos. Antes de iniciar a tomar medidas sobre un cuerpo o fenómeno física se debe saber que una magnitud física es la cualidad o característica de la materia que se puede medir. Como por ejemplo el tamaño, la masa, el volumen, la temperatura, la velocidad y aceleración entre otras características físicas que se puedan medir a un cuerpo o fenómeno físico.

Tabla 2. CANTIDADES BASICAS S.IMagnitud Estándar Unidad Símbolo

Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo Segundo sIntensidad de corriente amperio ATemperatura kelvin kCantidad de sustancia mol molIntensidad luminosa candela CdFuente. Elaboración propia

Tabla 3. CANTIDADES DERIVADAS S.IMagnitud Unidad Símbolo en términos

de unidades básicasÁrea Metros cuadrado m2

Volumen Metro cubico m3

Velocidad Metros/segundo m/sAceleración Metros/ segundo

cuadradom/s2

Fuerza Newton 1N = kg.m/s2

Energía Julio 1J =Nm= kg.m2/s2

Potencia watt 1W = J/s= 1kg.m2/s3

Presión Pascal 1Pa = 1N/m2 =1kg.m/s2

Las cantidades físicas se dividen en dos categorías: las cantidades Básicas o Fundamentales que definen en base a una magnitud estándar como por ejemplo la longitud, masa, tiempo y temperatura, y las Cantidades Derivadas que se definen a partir de las cantidades fundamentales o combinación de estas, como por ejemplo: el área, el volumen, la velocidad, la aceleración, la fuerza, la presión entre otras.

1.3. SISTEMAS DE UNIDADES.Para realizar una medición de una magnitud física asociada a un cuerpo o fenómeno físico se utiliza el sistema Internacional (S.I), el sistema cegesimal (C.G.S) y el sistema inglés, que usa las unidades estándares o específicas para facilitar las mediciones.

Se entiende por un sistemas de unidades el conjunto sistémico de unidades adoptado por convención para realizar la medida de una magnitud física asociada a un cuerpo o fenómeno físico, a continuación se presentan los sistemas que se utilizaran en el presente documento para realizar las medidas de las diferentes magnitudes físicas.

A partir de 1982, las unidades fundamentales del Sistema Internacional se redefinen en función de constantes totalmente invariables como se definen a continuación (Hans C. Ohanian, 2009).

En 1967 el segundo fue redefinido para sacar ventaja de la enorme precisión que se logra con un dispositivo conocido como reloj atómico, que mide vibraciones de átomos de cesio. Ahora un segundo se define como 9.192.631.770 veces el periodo de vibración de la radiación del átomo de cesio 133.2.

Figura 2 .El estándar de tiempo primario en Estados Unidos es un reloj atómico con fuente de cesio desarrollado en los laboratorios del NIST en Boulder, Colorado. El reloj nunca ganara ni perderá un segundo en 20 millones de años.

Cuando se trabaja con átomos y moléculas, se usan la unidad unificada de masa atómica (u). En términos del kilogramo.

1u = 1,6605x10-27 kg.

1.3.2. PREFIJOS DE LAS UNIDADES FUNDAMENTALES

El sistema Internacional adopta catorce prefijos que se anteponen para indicar los múltiplos y submúltiplos de una unidad de medida estándar, como la longitud o masas. Los prefijos indican el factor por el que se debe multiplicar cuando se utiliza cada uno de ellos. Por ejemplo, 2 kg equivalen a 2x103 gr, lo que es igual a 2.000 g. Igualmente, 8 mm equivalen a 8x10-3 m, es decir, 0,008 m.

Figura 3. Orden de los tamaños representativos en el Universo. Fuente: Addison-Wesley es una marca registrada de Pearson Educación.

1.4. CIFRAS SIGNIFICATIVAS

El número de cifras significativas en una medición sirve para expresar una medida acerca de la incertidumbre con el menor error posible. Una cifra significativa es un digito conocido confiablemente (aparte del cero usado para ubicar el punto decimal). Cuando se miden ciertas cantidades, los valores medidos se conocen solo dentro de los límites de la incertidumbre experimental. El valor de esta incertidumbre depende de varios factores, como la calidad del aparato, la habilidad del experimentador y el número de mediciones realizadas (Raymond A. Serway y John W. Jewett, 2005).

En la figura 4 se observa que, al determinar la longitud de una mesa con una cinta métrica graduada en centímetros, se puede afirmar que dicha longitud es de 58,3 cm; al hacer esta medición estamos seguros de las cifras 5 y 8, pero la cifra 3 es dudosa. En este caso decimos que la medición tiene tres cifras significativas.

Ahora, al observar la figura 5, si la medida se realiza con una cinta métrica graduada en milímetros, se puede afirmar que la medición es, por ejemplo 583,5 mm, donde las cifras seguras son el 5, el 8 y el 3, pero la cifra dudosa es el 5. A las cifras seguras y a la primera cifra dudosa obtenida en una medición se les denomina cifras significativas. En este caso decimos que la medición tiene cuatro cifras significativas.

1.4.1 INCERTIDUMBRE EN UNA MEDIDA.

La toma de medidas de magnitudes asociadas a cualquier fenómeno físico deben ser lo más precisas. Sin embargo, ninguna medición es absolutamente precisa. Siempre, hay una incertidumbre asociada con toda medición. En el resultado de una medición, es importante indicar la incertidumbre estimada en la medición.

Por ejemplo, una medida x del largo de un mesón con incertidumbre Δx podría escribirse como 6,5 ± 0,2 cm. El 6,8 sería la mejor medida y ± 0,2 cm representa la incertidumbre estimada en la medición, por lo tanto el largo del mesón es muy probablemente se encuentre entre 6,3 < x < 6,7 cm.

La incertidumbre porcentual es la razón entre la incertidumbre Δx y el mejor valor medido x, multiplicada por 100.

Figura 4. (Moreno, Hipertextos 2011.)

Figura 5. (Moreno, Hipertextos 2011.)

TABLA 4. SISTEMAS DE MEDIDAS

SistemaMagnitudes

inglesEstándares

Ft- inLongitudSistema Sistema

cegesimalInternacion

al

metro m centímetro

MasacmPie - pulgada

kilogramo kg gramo gr Slug Slug

Tiempo segundo s segundo s segundo S

Figura 1. El Kilogramo Estándar Nacional N. 20, una copia exacta del Kilogramo Estándar Internacional que se conserva en Sevres, Francia, se alberga bajo una doble campana en una bóveda en el Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST).

1.3.1. DEFINICION DE LOS ESTANDARES DE UNIDADES DE MEDIDAS En 1983, el metro se redefinió como la distancia recorrida por la luz en el vacío durante un tiempo de

1/299 792 458 segundos.

El kilogramo fue definido desde 1889 como la masa de un bloque de platino e iridio, denominado kilogramo patrón, que se conserva en la Oficina Internacional de Pesos y Medida de Sèvres, Francia.

TABLA 4. PREFIJOS PARA LAS UNIDADES FUNDAMENTALES

Prefijo Símbolo Factor demultiplicación

Múl

tiplo

s

Exa E 1018

Peta P 1015

Tera T 1012

Giga G 109

Mega M 106

Kilo K 103

Hecto H 102

Deca D 101

Ubicación Unidades Fundamentales ( metros, Litros, bytes)

Subm

últip

los

Deci d 10-1

centi c 10-2

mili m 10-3

micro μ 10-6

nano n 10-9

pico p 10-12

femto f 10-15

atto a 10-18

Incertidumbre porcentual = = 3,08%

Esto quiere decir que existe un margen de error de 3,08 % en la medida realizada. Dado que la tercera cifra significativa es mayor que cinco la segunda se redondea a ocho.

En trabajos de alta precisión, las incertidumbres son usualmente establecidas hasta en dos cifras significativas, pero el trabajo en los laboratorios de física se puede tomarse como regla general que las incertidumbres experimentales deben ser redondeadas a una cifra significativa.

Ejemplo 1.1. Las cifras significativas para medir al radio de un disco compacto usando una regleta como instrumento de medición. Suponga que la precisión a la que puede medir el radio del disco es ± 0.1 cm. Debido a la incertidumbre de ± 0.1 cm, si el radio mide 6.0 cm, solo es posible afirmar que su radio ( r) se encuentra en algún lugar entre el intervalo entre 5.9 < r < 6.1 cm. En este caso, el valor medido de 6.0 cm tiene dos cifras significativas. Note que las cifras significativas incluyen el primer dígito estimado. Por lo tanto, el radio se podría escribir como (6.0 ± 0.1) cm.

Ejemplo 1.2. Para un valor de incertidumbre 0,02385 debe ser redondeada a 0,02 Sin embargo, existe una excepción a esta regla: si el número que determina la incertidumbre es 1, entonces puede ser mejor mantener la siguiente cifra significativa. Por ejemplo, si se tiene un valor de incertidumbre de 0.14 redondear a 0.1 puede representar una substancial reducción en la medida, de modo que es mejor mantener la siguiente cifra significativa.

VIDEOS DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS E INCERTIDUMBRE

1.5. NOTACION CIENTIFICA.Cuando realizamos una medida u operación matemática los resultados a muchas veces son muy grande o por el contrario, muy pequeños. Para facilitar la escritura de estos resultados anteponemos los prefijos de la unidades básicas a una medida con cierto el número de cifra significativas seguido de una potencia de 10.

En la tabla 5 se observan diferentes constantes universales que se utilizaran posteriormente escritas en notación científica con el menor número de cifras significativas

Ejemplo 1.3. Las siguientes cantidades están escritas en notación científica, y se indican su número de cifras significativas.

Cantidad Notación decimal

Notacióncientífica

Cifras significativas

El radio de la tierra 6.400.000 m 6,4 x106 m 2Espesor de un cabello 0,0002 m 2x10-4 m 1Altura del monte Everets 8640 m 8,64x103 m 3Tamaño de una molécula 0,0000000007 7x10-10 m 1

1.6. CONVERSION DE UNIDADES.En el desarrollo de las diversas aplicaciones que tiene la física es necesario realizar conversiones de unidades entre los diferentes sistemas de medidas. Por lo general casi siempre se recomienda utilizar unidades del sistema Internacional de medidas.

Para realizar conversiones se requieren en ciertos casos de cálculos mentales básicos, y en otros casos se utilizan los factores de conversión que establecen la proporción que existe entre las unidades, los cuales facilitan la expresión de una misma cantidad física en unidades diferentes.Una propiedad de cualquier sustancia es su densidad, definida como la masa por la unidad de volumen.

(1.1)

Tabla 7. Densidades de diversos elementosElementos Densidad kg / m3

Oro 19,3x103

Plomo 11,3x103

Agua 1x103

hierro 7,9 x103

Aluminio 2,70x103

Cobre 8,93x103

Tabla 6. Factores de conversión de unidadesMagnitud Relaciones de equivalencia entre sistemas

Longitud

1 milla = 1.609 m = 1,609 km=5280 ft1ft = 30,48 cm =12 ft1 in = 2,54 cm1m = 100 cm = 3,28 ft = 39,37 in =1000 mm

Tiempo1 año = 12 meses 1 semana = 7 días 1 día = 24 horas1 hora = 60 minutos = 3600 segundo

Masa 1u (unidad de masa atómica) =1,6605x10-27 kg1 kg = 1000 gr = 0,086 slug = 2,20 lb1 libra = 453,6 gramos, 1.000 kg = 1 tonelada

Volumen1litro = 1x10-3 m3 = 0,035 ft3 = 61,02 in3

1 m3 = 1000 Litros = 35,31 ft3 = 6,1x104 in3

1 galón = 3,79 litros = 231 in3 Área 1acre = 4046,86 m2 = 43560 ft2 =6,27x106 in

VIDEOS DE MEDICION DE LA INCERTIDUMBRE O ERROR EN UN LABORATORIO

1.7. ANÁLISIS DIMENSIONAL.Al realizar conversiones se debe tener cuidado de que los resultados tengan una validez en la expresión resultante. Pueden existir diferentes unidades para un resultado de una misma cantidad física, pero las dimensiones son el resultado de una definición y no varían.

Se suele utilizar los corchetes [ ] para indicar la dimensión de una cantidad física como el área, la velocidad, la aceleración, la energía entre otras. Dentro de los corchetes se escriben en mayúsculas las letras que representan las unidades a simplificar.

Se deben tener en cuente las siguientes reglas para el análisis dimensional. Si se van a sumar o restar dos cantidades ambas se deben expresar en las mismas dimensiones. Los términos en ambos lados de una igualdad de una ecuación deben expresarse en las mismas dimensiones. Solo se pueden eliminar en una expresión las cantidades numéricas que multiplican o la dividen.

Ejemplo 1.4. Verificar las dimensiones de la ecuación de la distancia recorrida por una partícula con movimiento uniforme acelerado y la velocidad al final de un movimiento.

TABLA 5. CONSTANTES IMPORTATES ESCRITOS EN NOTACION CIENTIFICA

Radio de la tierra 6,4x106 mDistancia de la tierra al sol 1,5x1011 mDiámetro de un átomo ≈ 1x10-10 mVelocidad de la luz en el vacío 3x108 m/sEdad del universo ≈ 4x1017 sTiempo de viaja de la luz desde el sol 5x102 sTiempo de viaje de la luz de la luna 1,3 sVida media de un ser humano 2,2x109 sMasa de la tierra 6x1024 kgMasa de una gota de lluvia 2x10-6 kgMasa del electrón 9,11x10-31 kgMasa del protón 1,67x10-27 kgFuente: (Raymond A. Serway y John W. Jewett, 2005)

Solución: La ecuación cinemática de la distancia recorrida está dada por la expresión: .

La distancia tiene dimensiones de longitud, usando unidades fundamentales en la ecuación de distancia tenemos.

Ecuación dimensionalmente correcta.

Simplificando unidades y al sumar una longitud con otra longitud se obtiene una longitud.

La ecuación cinemática de la velocidad al final del recorrido .

La velocidad tiene dimensiones de longitud sobre tiempo, usando unidades fundamentales en la ecuación de velocidad tenemos.

Ecuación dimensionalmente correcta.

Simplificando unidades y al sumar una longitud sobre tiempo con otra longitud sobre tiempo se obtiene una longitud sobre tiempo.

VIDEOS DE CONVERSIONES.

Ejemplo 1.5. Realizar las conversiones de las siguientes longitudes y expresar los resultados en notación científica.

a) Expresar en metros, pies y pulgadas el ancho de una hoja de block de 21,5 cm.Solución: Para realizar las conversiones indicadas se utilizan los siguiente factor de conversión, 100 cm = 1 m, 1m = 3,28 ft y 1 ft = 12 in, respectivamente.

Se debe colocar la unidad “cm” en el denominador de modo que se cancele con la unidad en la cantidad original del

numerador. La unidad resultante es el metro. Si se desea, se pueden utilizar los resultados obtenidos de una conversión para resolver la siguiente.

, este resultado se expresó utilizando la notación científica.

b) Expresar en metros, centímetros, pies y pulgadas la altura del monte Everest de 8,85 km.Solución: los factores de conversiones a utilizar: 1 km = 1000m, 1m = 100 cm y 1m = 3,28 ft y 1 ft = 12 in respectivamente.

, para expresar los resultados en notación científica utilizamos la tecla ENG de la calculadora científica.

, este resultado se expresó utilizando la notación científica.

Ejemplo 1.6. Realizar las conversiones de las siguientes masas y expresar los resultados en notación científica.a) Expresar en kilogramos, slug y libras, una masa 0,647 gr. Solución: Los factores de conversiones a utilizar son: 1 kg = 1000 gr = 0,086 slug = 0,20 lb respectivamente.

.

. Como la tercera cifra significativa es mayor que cinco, la

segunda cifra se aumenta a la siguiente unidad.

.

Ejemplo 1.7. Realizar las conversiones de los siguientes tiempos y expresar los resultados en notación científica.

a) Expresar 1,79 semanas en días, horas y segundos.Solución: los factores de conversiones a utilizar son: 1 semana = 7 días, 1 día = 24 horas, 1 hora = 60 minutos = 3600 segundo. Respectivamente.

Se puede aplicar dos factores de conversión.

b) Expresar 23,54 segundos en minutos, horas y semanas.Solución: los factores de conversiones a utilizar son: 1 semana = 7 días, 1 día = 24 horas, 1 hora = 60 minutos = 3600 segundo. Respectivamente.

Se puede aplicar dos factores de conversión.

Ejemplo 1.8. Realizar las conversiones de las siguientes áreas y expresar los resultados en notación científica.

a) Expresar 2,45 km2 en m2, cm2 y in2.Solución: los factores de conversiones a utilizar son: 1m= 100 cm = 3,28 ft = 39,37 in =1000 m, estos factores se deben elevar al cuadrado para que la simplificación de unidades sea dimensionalmente correcta.

b) Expresar 3,72 acres en m2, ft2 y in2.Solución: los factores de conversiones a utilizar son: 1acre = 4046,86 m2 y 1m= 3,28 ft, 1 ft = 12 in.

Ejemplo 1.9. Realizar las conversiones de los siguientes volúmenes y expresar los resultados en notación científica.

a) Expresar 34,52 galones en litros, metros cúbicos, pies cúbicos.Solución: los factores de conversiones a utilizar son: 1 galón = 3,79 litros, 1 m3 = 1000 Litros = 35,31 ft3, estos se deben elevar al cubo para que la simplificación de unidades sea dimensionalmente correcta.

Ejemplo 1.10. Expresar la densidad de un cubo de plomo de 11,30x103 kg / m3 en gr / cm3, slug / ft3, Lb / in3.

Solución: Para realizar la conversión se pueden utilizar dos factores consecutivos, se desarrollan el producto de los dos primeros factores y se simplifica, este resultado se multiplica por el tercer factor después de desarrollar el cubo.

1.6.1. FORMULAS GEOMÉTRICAS BÁSICAS.

Las formulas geométricas nos facilitan la resolución de problemas ya que la mayoría de los elementos de la naturaleza tienen una simetría definida, y según sus dimensiones podemos calcular; áreas, volúmenes, masas.

Figura 6. Fórmulas de figuras geométricas básicas.Fuente: Física Serway. Tomo I. 4 Edición.

Ejemplo 1.11. Cuál es el radio de una placa circular de concreto, si tiene una masa de 580 kg, un espesor de 20 cm y una densidad de 0,86 gr/ cm 3. Expresar los resultados en unidades del sistema internacional.

Solución: Antes de iniciar a solucionar el problema se realizan las conversiones de unidades requeridas. Se debe tener presente que la placa circular es un cilindro y, el espesor se refiera a la altura del cilindro.

Datos: m = 580 kg

h= 20 cm

Se sabe que el volumen de un cilindro igual al área de la base por la altura y es dado por la expresión:

Despejo el radio que es la incógnita a saber.

, extrayendo raíz cuadrada a cada lado tenemos:

Para hallar el radio debo calcular primero el volumen del cilindro de concreto.

Como entonces , finalmente se calcula el

radio de la placa circular

Ejemplo 1.12. a) ¿Cuantos galones de pintura se requieren pintar 5 apartamentos?, cada uno con tres habitaciones de 240 cm de alto y 3m de ancho y el espesor de la pintura debe ser de 0,15 mm. b) ¿Cuál es el costo total de la pintura si cada galón tiene un costo de $ 34000.?

Solución: Primero realizamos las conversiones de unidades requeridas, luego calculamos el volumen de pintura necesaria para pintar una pared rectangular por el espesor de la pintura.

Datos: L = 3 m

A=

El volumen de pintura para pintar una pared está dado por:

Para calcular el volumen total Vt requerido de pintura multiplicamos el volumen necesario para pintar una pared V por el número total N de paredes a pintar.

N = 3x4x5 = 60 paredes.

Vt = NxV

Vt = 60x1,08x10-3m3 = 64,8x10-3m3

Expresamos el volumen total Vt en litros, y seguidamente en galones.

Vt = 64,8x10-3m3

Luego el costo total Ct de la pintura es

Ct =$34000x17,1= $ 581400.

VIDEOS DE CONVERSIONES FIGURAS GEOMETRICAS

1.7. RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE MAGNITUDES Y SUS GRAFICAS

En la mayoría de las investigaciones y experimentos es necesario efectuar medidas relacionadas con las magnitudes o factores que intervienen en un fenómeno. A estos factores se les da el nombre de variables. Los datos que se obtienen entre estos diferentes tipos de relación entre las diversas magnitudes o variables se representan por medio de gráficas en una dimensión, en el plano de dos o tres dimensiones.

Se denominan variable dependiente a la variable que su valor dependen del valor que toma la otra variable, se grafica sobre el eje de las ordenadas “Y”, a la otra variable se le llama variable independiente se grafica sobre el eje de las abscisas “X” (Moreno, 2011.).

Generalmente la manera como se relacionan las magnitudes o variables en un fenómeno físico las podemos representar mediante el concepto de función definido en matemáticas, que nos permiten establecer diferentes formas de representación entre las variables asociadas a los diversos fenómenos.

1.7.1. RELACION DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA

Si dos magnitudes, x e y, son directamente proporcionales, si:

• El cociente entre ellas siempre es constante, es decir y / x = k, donde k se denomina constante de proporcionalidad.• El grafico de esta relación es una recta que pasa por el origen y muestra que las dos variables aumenta en igual proporción.• La pendiente de esta recta es equivalente a la constante de proporcionalidad k.

Figura 7. Grafica de la proporcionalidad directa.Ejemplo 1.13. En la siguiente tabla se presentan las distancias recorridas por un automóvil que se mueve a velocidad constante de 40 Km / h.

Tiempo (h)

1 2 t1 4 5 6 7 8 15

Distancia(m)

40

80

150

160

200

240

280

320

d1

Identifique la variable independiente y dependiente, y elabore la gráfica. Halle la constante de proporcionalidad. Calcule el tiempo t1 y la distancia d1 de la tabla de datos.

Solución: Las magnitudes distancia y el tiempo son directamente proporcionales, y la distancia recorrida es la

variable dependiente, y el tiempo es la variable independiente. Se observa que las variables de la tabla de datos aumentan en la misma proporción, por lo tanto la

razón entre la distancia y el tiempo es equivalente a constante de proporcionalidad (k), utilizando la fórmula de la pendiente también podemos

y/x=k40km /1h = 40km/h80km / 2h = 40km/h160km /4h=40km/h280km/7h=40km/h

K=40km/hPara calcular el tiempo t1 y la distancia d1 de la tabla utilizo la relación entre la distancia y el tiempo debido a la proporcionalidad directa existente entre ellas.

Fuente: Elaboración propia.

.................................

Ejemplo 1.14. Un resorte sufre diferentes alargamientos debido a que sobre se suspenden diferentes cuerpos.

Masas de cuerpos (gr)

10

15

20

25

30

m1

Alargamientos (cm)

2 3 4 d1

6 7

a) Identifique la variable independiente y dependiente, y elabore la gráfica.

b) Halle la constante de proporcionalidad.

Solución: Los alargamientos del resorte dependen de las masas de los cuerpos que

suspenden de este. Se observa que las variables aumentan en la misma proporción es decir son directamente proporcionales.

Fuente: Elaboración propia. La constante de proporcionalidad k es igual razón entre cada valor de

alargamiento y su respectiva masa colgante se obtiene :2cm /10gr = 0,2 cm/gr3cm /15gr = 0,2 cm/gr4cm /20gr = 0,2 cm/gr5cm /25gr = 0,2 cm/gr

K=0,2 cm/gr

1.7.2. RELACION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.Si dos magnitudes, x e y, son inversamente proporcionales, si:

• El producto entre ellas siempre es constante, es decir y x = k, donde k se denomina constante de proporcionalidad.

• El grafico de esta relación es una curva llamada hipérbola que muestra que mientras una variable aumenta, la otra disminuye.

Figura 8. Grafica de la proporcionalidad inversa.Ejemplo 1.15. Un depósito cilíndrico con agua se desocupa a través de un orificio circular localizado en la parte baja de su cara lateral, si el área del orificio de salida del agua varía como se indica en la tabla.

Tiempo (minutos)

1 2 3 4 5 6

Área del orificio (cm2)

24

12

8 6 4.8

4

a) Identifique la variable independiente y dependiente, y elabore la gráfica.

b) Halle la constante de proporcionalidad entre el tiempo y el área.

Solución: Las variables son inversamente proporcionales, al aumentar una disminuye

la otra. Se puede afirmar que los alargamientos del resorte dependen de las masas de los cuerpos que suspenden de este.

La constante de proporcionalidad k es igual producto entre el tiempo de salida del agua y el área de orificio.

2cm x 10gr = 20 cm/gr3cm x 15gr = 20 cm/gr4cm x 20gr = 20 cm /gr5cm x 25gr = 20 cm / gr

K= 20 cm / gr

Fuente: Elaboración propia.

Ejemplo 1.16. Una partícula recorre una distancia de 50 metros a diferentes velocidades y en diferente tiempo. Como se indica en la tabla de datos.

Velocidad (m/s)

5 10

15 20

25

30

Tiempo 10

5 3,33

2,5

2 1,66

a) Identifique la variable independiente y dependiente, y elabore la gráfica.

b) Halle la constante de proporcionalidad entre el tiempo y el área.Solución:

Las variables son inversamente proporcionales, y el tiempo que demora un auto en recorrer 50 km depende la velocidad con que hace el recorrido.

La constante de proporcionalidad k es igual producto entre el tiempo del recorrido y la velocidad con que se hace.

5h x 10 km/h = 50 km10h x 5 km/h = 50 km

15h x 3,33 km/h = 50 km20h x 2, 5 km/h = 50 km

K= 50 km

Fuente: Elaboración propia.

VIDEOS DE RELACIONES PROPORCIONALIDAD

1.7.3. OTROS TIPOS DE PROPORCIONALIDAD.

1.7.3.1. RELACION DE PROPORCIONALIDAD LINEAL.Si dos magnitudes, x e y, tienen una proporcionalidad lineal, si: su representación gráfica es una recta que corta al eje “Y” en un punto (0,b) diferente del origen. La pendiente de esta recta es equivalente a la constante de proporcionalidad k. La relación entre estas magnitudes están ligadas a la ecuación de la recta:

y = mx + b. (1,2)En este caso puede suceder que mientras una variable aumenta, la otra también la hace, sin embargo la relación de proporcionalidad no es directa.

Figura 9. Grafica de la proporcionalidad lineal.

1.7.3.2. RELACION DE PROPORCIONALIDAD CUADRATICA.Si dos magnitudes, x e y, tienen una proporcionalidad cuadrática, si:

Su representación gráfica es una parábola.

Aunque la gráfica muestra que al aumentar una magnitud, la otra también aumenta, esto no implica que las magnitudes sean directamente proporcionales.

Figura 10. Grafica de la proporcionalidad cuadrática.

PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

1. Cuántas cifras significativas tiene cada uno de los siguientes números: a) 214,34 b) 51.80, c) 2.032, d) 0.04, e) 0.0063, f ) 2345 y g) 8900?.2. Escriba los siguientes números en potencias de diez: a) 3234, b) 32,4, c) 0,0092, d) 235,38, e) 0,973 y f) 456,788.3. Cuál es la incertidumbre porcentual en las siguientes mediciones: a) 5,48±0,25 m, b) 34,67±0,2 gr, c) 123,26±0,36seg, y d) 3,8±0,7 m3.4. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos de la tabla 4. a) 34,5x 10-6 volts, b) 2 x103 metros, c) 6 x 10-3 días, d) 12,45 x 1012 dólares y e) 5 x 10–9 segundos.5. Cuantos segundos y nano segundos hay en 1,23 años.6. El Sol está en promedio a 93 millones de millas de la Tierra. ¿A cuántos metros equivale esto?. Expréselo a) usando potencias de diez y b) usando un prefijo métrico (Giancoli,

2008).7. Exprese el volumen de 9,65 in3 en m3 y litros y galones. 8. Un lote de forma rectangular mide 86 ft de largo por 34,56 ft de ancho. Determine el área del lote en m2.9. Un cono tiene una altura de 535 ft y su base cubre un área de 15 acres. Encuentre el volumen de este cono en m3.

10. Calcule la densidad en unidades del sistema internacional de una esfera de concreto si tiene 10 cm de radio y una masa de 468gr.11. Estime el número total de latidos de un corazón humano común realiza durante 60 años vida promedio.12. ¿Cuánta agua en gramos contiene un lago? que tiene una forma circular con 1 km de diámetro y se considera que tiene una profundidad promedio de más o menos 10 m. 13. El diámetro de la Luna es de 3480 km. a) ¿Cuál es el área superficial de la Luna? b) ¿Cuántas veces más grande es el área superficial de la Tierra? (Giancoli, 2008)14. En los siguientes ejercicios de proporcionalidad responder: (Moreno, 2011.) ¿Cuál de las dos variables sería la independiente y cuál la dependiente, elabore la gráfica? ¿Qué relación hay entre las magnitudes? ¿según la relación de proporcionalidad entre las magnitudes. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?a) Se miden los diámetros (cm) y perímetros (cm) de varias circunferencias y se obtienen los siguientes resultados:

b) En una práctica de laboratorio se pide a los estudiantes trabajar con un resorte, midiendo la longitud al sujetar diferentes masas. Los resultados obtenidos son los siguientes:

14. La gráfica muestra los cambios en la velocidad que experimentan diferentes masas al aplicárseles la misma fuerza. (Moreno, 2011.)a. ¿Qué relación hay entre las variables? ¿Explica?b. Si la relación es de proporcionalidad, ¿cuál esel valor de la constante de proporcionalidad?c. ¿Cuál será la velocidad para una masa de 50 kg?d. ¿Qué masa debe tener el cuerpo para que laVariación en su velocidad sea 0,5 m/s?