ECUACIONES BASICAS DE ELASTICIDAD

U.A.N.C.V.- C.A.P.I.C.

INTRODUCCION

INTRODUCCION

En este capitulo se hace una breve referencia a la Evolucin del Mtodo de Elementos Finitos, se plantean los objetivos de la presente tesis y se hace una visin general del contenido de la tesis. A lo largo de toada la presente tesis denominaremos al Mtodo de Elementos Finitos por sus iniciales MEF.

1.1. EL METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS

El MEF es actualmente la tcnica numrica mas poderosa y verstil en la solucin numrica, de un amplio rango de problemas de ingeniera para resolver problemas fsicos formulados matemticamente, El mtodo de los elementos finitos como formulacin matemtica es relativamente nueva; aunque su estructura bsica es conocida desde hace bastante tiempo, la popularidad del mtodo se desarrollo desde 1966, y su difusin en los siguientes aos ha sido espectacular debido a los avances informticos. Han sido precisamente estos avances informticos los que han puesto a disposicin de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar clculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a engao, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no solo del material con el que se trabaja, sino tambin de los principios del MEF. Slo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los anlisis se ajustan a la realidad.El empleo del MEF es utilizado para estudiar el comportamiento de elementos estructurales formados con diferentes materiales y de topologas muy particulares, dentro de la mecnica del medio continuo, pone de manifiesto el potencial del mtodo para ser aplicado a gran nmero de problemas de ingeniera, reduciendo cada vez ms la incertidumbre del comportamiento de diferentes formas y distribuciones de materiales. Con l se pueden evaluar las variables ms significativas de un fenmeno, as como cuantificar la interaccin de los diferentes mecanismos resistentes. El MEF permite realizar un modelo matemtico de clculo del sistema real (Fig. 1.011), ms fcil y econmico de modificar que un prototipo. Sin embargo no deja de ser un mtodo aproximado de clculo debido a las hiptesis bsicas del mtodo. Los prototipos, por lo tanto, siguen siendo necesarios, pero en menor nmero, ya que el primero puede acercarse bastante ms al diseo ptimo. lo que evidentemente conduce a proyectos ms baratos y eficientes, que se obtienen en un tiempo de estudio mucho ms corto.

Fig. 1.011 Formulacin de un fenmeno fsico

Fuente: Dr. Ing. Guillermo Sovero Molero, El mtodo del Elemento Finito

El MEF puede considerarse como una extensin del mtodo directo de las rigidez (mtodo de los desplazamientos) a los problemas en dos y tres dimensiones de la mecnica de los medios continuos, el mtodo consiste bsicamente en discretizar el dominio del problema en subregiones que se denominan elementos finitos interconectados solamente en un numero discreto de puntos que se conocen como nodos. Aunque esta discretizacion puede ser muy variada, es usual subdividir el dominio en un mismo tipo de elementos finitos, los que generalmente tienen la forma de tringulos o cuadrilteros para los casos de dominios bidimensionales como se aprecia en la Fig. 1.012

Fig. 1.012 Discretizacin con elementos finitos bidimensionales con el programa GID

El MEF es una herramienta poderosa tanto para acadmicos, como para tcnicos que trabajan en diferentes ramas. Un uso correcto del MEF facilita la visualizacin del flujo de esfuerzos en las estructuras, que es dato fundamental para el diseo, permite ver la deformada de la pieza (que en ocasiones condiciona el diseo), etc. Sin embargo, existen problemas en la comprensin y utilizacin del mtodo, la nomenclatura y notacin implcita en la explicacin del mtodo puede ser una barrera formidable para su comprensin, especialmente de parte de los ingenieros quienes no tienen experiencia en el lgebra Lineal y los mtodos de computadora. Esta relativa dificultad ocurre, ya que quienes desarrollaron inicialmente el mtodo fueron ingenieros estructurales, trabajando principalmente en al industria aeronutica. Los captulos iniciales en muchos textos sobre el mtodo de elementos finitos, suponen el conocimiento del anlisis matricial de estructuras. Esto lgicamente desconcierta un poco al usuario.

Un segundo problema es que el mtodo ha recibido tratamiento matemtico relativamente poco riguroso. Se han desarrollado muchas reglas prcticas y el uso efectivo del MEF requiere experiencia e intuicin. A falta de informacin matemtica sobre como se comporta el mtodo, es muy difcil precisar que es el estado del arte de las aplicaciones del MEF actualmente numerosos especialistas en matemtica aplicada estn dirigiendo su atencin a este problema. Ellos deben traer algo del orden y predictabilidad que actualmente caracteriza a los mtodos ms antiguos y convencionales.

Finalmente existe tanta gente trabajando en el MEF, que es una gran labor mantenerse al da, el ingeniero que desea utilizar las tcnicas ultimas tienen un serio problema averiguar cuales son estas. Casi toda investigacin es probable que este desactualizada antes de su impresin.

1.2. preprocesamiento y post procesamiento

El anlisis por el MEF implica tres etapas de actividad: preprocesamiento, procesamiento y postprocesamiento. El preprocesamiento implica la preparacin de datos como las, coordenadas nodales la conectividad las condiciones de frontera y la informacin sobre cargas y material. La etapa de procesamiento implica la generacin y la modificacin de la rigidez, as como la solucin de ecuaciones que resulta en la evaluacin de las variables nodales, otras cantidades relacionadas como los gradientes o los esfuerzos pueden evaluarse en esta etapa. La etapa de postprocesamiento trata de la presentacin de resultados. En general, en esta etapa se calculan y muestran la configuracin deformada. Las formas modales la temperatura y la distribucin de esfuerzos.

Un anlisis completo por el MEF es una interaccin lgica de las tres etapas, la preparacin de los datos y su postprocesamiento necesitan de un esfuerzo considerable si todos los datos van a ser manejados manualmente. Lo tedioso del manejo de los datos y la posibilidad de incurrir en errores al incrementarse el nmero de elementos son factores desalentadores para el analista del elemento finito.

Existes diferentes programas con la facilidad de uso de la interfaz WINDOWS en el pre y post-proceso, y sin las complicaciones del software tradicional UNIX proporcionan la forma que usted desee para resolver sus problemas, con CAD y el escritorio dentro del entorno WINDOWS. Ms que una simple herramienta de estadstica lineal, proporcionan ficheros de entrada completos, listos para ejecutar, para un amplio rango de tipos de anlisis. puede crear modelos slidos en el mismo modelo, El uso efectivo de la geometra CAD sigue siendo uno de los mayores desafos para el software de anlisis de modelos y para esos sistemas que usan sus propios trazadores geomtricos, actualmente se utiliza el sistema de importacin de superficies ajustadas IGES, para acceso a la geometra CAD. A continuacin se muestra un lista de algunos programas comerciales de altas prestaciones y rendimiento de elementos finitos para pre y post-procesado para la mayora de SOLVERS de elementos finitos, y que permite a los ingenieros analizar las condiciones de diseo en un entorno de trabajo visual y altamente interactivo.

HYPERMESH 6.0

GiD 7.2

TEC PLOT 10.0

FEMAP 6.0

ADMESH

GEOMPACK

GRUMMP

IGRID

MESHGEN

Pro/MECHANICA ANSYS/PrepPost COSMOS/M GeoStar MSC/PATRAN SDRC/I-DEAS Pro/MESH MGRIDGEN/PARMGRIDGEN, Etc.

1.3. el mef y el usuario tipico

El usuario tpico del MEF se pregunta, que tipo de elementos deben ser usados, y como muchos de ellos?. Dnde debe ser la malla fina y donde puede ser grosera?. Como muchos detalles fsicos pueden ser representados?. Es importante el comportamiento esttico, dinmico, no lineal o cual?. Como las respuestas son exactas, y como pueden ser verificadas?. Una necesidad no comprendida son las matemticas de MEF para las respuestas de estas preguntas.

Sin embargo un competente usuario debe comprender como los elementos se comportan dentro del orden para escoger convenientemente el tipo, tamao y forma de los elementos, para guardar una mal interpretacin y una alta expectacin irreal. Un usuario debe tambin comprender que el MEF es un amanera de implementar una teora matemtica del comportamiento fsico, de acuerdo con la suposicin y limitaciones de la teora no deben ser violadas por que nosotros no preguntamos lo que el software debe hacer. Dentro de algunos anlisis dinmicos y no lineales, los algoritmos para cada teora deben ser implementados para o ser comprendidos, para as evitar interpretacin de resultados producidos por un mal algoritmo limitaciones como el comportamiento fsico actual. A pesar de todas las comprensiones es todava fcil cometer una equivocacin describiendo un problema con un software. Por consiguiente esto es tambin esencial que un usuario competente debe tener un buen alcance fsico del problema para que los errores dentro de los resultados computacionales sean detectados y adopte un criterio para ver si los resultados pueden ser confales o no.

El mtodo de los elementos finitos como formulacin matemtica es relativamente nueva; aunque su estructura bsica es conocida desde hace bastante tiempo, en los ltimos aos ha sufrido un gran desarrollo debido a los avances informticos. Han sido precisamente estos avances informticos los que han puesto a disposicin de los usuarios gran cantidad de programas que permiten realizar clculos con elementos finitos. Pero no hay que llevarse a engao, el manejo correcto de este tipo de programas exige un profundo conocimiento no slo del material con el que se trabaja, sino tambin de los principios del MEF. Slo en este caso estaremos en condiciones de garantizar que los resultados obtenidos en los anlisis se ajustan a la realidad.

1.4. Una historia corta del mef

Aunque el nombre del MEF se ha establecido recientemente, el concepto se ha usado desde hace varios siglos. El empleo de mtodos de discretizado espacial y temporal y la aproximacin numrica para encontrar soluciones a problemas ingenieriles o fsicos es conocido desde antes, los geometras antiguos ya haban empleado los elementos finitos para determinar un valor aproximado de ( Arqumedes us ideas similares para determinar el rea de figuras planas. Este hecho dio una premisa para el desarrollo del clculo integral por Newton y Leibniz dos mil aos despus. El concepto de elementos finitos parte de esa idea.

Para encontrar vestigios de este tipo de clculos podramos remontarnos a la poca de la construccin las pirmides egipcias. Los egipcios empleaban mtodos de discretizado para determinar el volumen de las pirmides. Arqumedes (287-212 a.C.) empleaba el mismo mtodo para calcular el volumen de todo tipo de slidos o la superficie de reas. En oriente tambin aparecen mtodos de aproximacin para realizar clculos. As el matemtico chino Lui Hui (300 d.C.) empleaba un polgono regular de 3072 lados para calcular longitudes de circunferencias con lo que consegua una aproximacin al nmero ( de 3.1416. El desarrollo de los elementos finitos tal y como se conocen hoy en da ha estado ligado al clculo estructural fundamentalmente en el campo aeroespacial. Walter Ritz (18781909), fsico suizo fue el primero en formalizar el MEF. l propuso que las frecuencias de las lneas espectrales de los tomos podan ser expresadas por diferencias entre un relativamente pequeo nmero de elementos. Ritz desarroll la formulacin matemtica del MEF, con base en el clculo variacional, el mtodo de Ritz es tambin conocido como variacional o formulacin clsica.

La incorporacin del clculo matricial al mtodo de elementos finitos fue propuesta por el ingeniero ruso Boris G. Gallerkin (1871-1945). Gallerkin public sus primeros trabajos en base al mtodo clsico durante su prisin en 1906 por orden del zar en la Rusia prerrevolucionaria. En muchos textos rusos el mtodo de elementos finitos de Gallerkin se conoce como mtodo de Bubnov-Gallerkin. l public un trabajo usando esta idea en 1915. El mtodo tambin fue atribuido a Bubnov en 1913. En los aos 40 Courant propone la utilizacin de funciones polinmicas para la formulacin de problemas elsticos en subregiones triangulares, como un mtodo especial del mtodo variacional de Rayleigh- Ritz para aproximar soluciones. La aplicabilidad del mtodo de elementos finitos fue detenida por lo extenso de los clculos necesarios para resolver un sistema de un considerable nmero de elementos finitos. El desarrollo de los computadores digitales durante la dcada de 1950, permiti la aplicacin del mtodo de elementos finitos a la solucin de ecuaciones diferenciales.El uso moderno de los elementos finitos inici en el campo de ingeniera de estructuras fundamentalmente en el campo aeroespacial ver Fig. 1.041, en 1950, para que luego los conceptos bsicos fueran reconocidos de amplia aplicabilidad y prontamente empleados en muchas otras reas. El subsecuente desarrollo ha sido vertiginoso y ahora el mtodo est bien establecido dentro de varias disciplinas cientficas. Fueron Turner, Clough, Martn y Topp quienes presentaron el MEF en la forma aceptada hoy en da. En su trabajo introdujeron la aplicacin de elementos finitos simples (barras y placas triangulares con cargas en su plano) al anlisis de estructuras aeronuticas, utilizando los conceptos de discretizado y funciones de forma. En 1960, Ray Clough acuo el termino Mtodo del Elemento finito. Recientemente en adicin a las formulaciones deRitz y Gallerkin, otros mtodos han venido a emplearse. Los ms conocidos son el mtodo de los mnimos cuadrados y un mtodo conocido como mtodo directo, mtodo de balance global o mtodo de Oden.

Fig. 1.041 Una malla de tetraedros generada automticamente para una densidad especificada en la regin exterior de la aeronave (a) y (b) una interseccin de la malla con el plano del eje central (Fuente: Zienkiewicz, O.C.; Taylor, R.L. The Finite Element Method: The basis, Fifth Edition, Chapter 6, Mc Graw-Hill, 2000)

El trabajo de revisin de Oden presenta algunas de las contribuciones matemticas importantes al MEF. Los libros de Przemieniecki y de Zienkiewiez y Holister presentan el MEF en su aplicacin al anlisis estructural. El libro de Zienkiewiez y Cheung o Zienkiewiez y Taylor presenta una interpretacin amplia del MEF y su aplicacin a cualquier problema de campos. En l se demuestra que las ecuaciones del MEF pueden obtenerse utilizando un mtodo de aproximacin de pesos residuales, tal como el mtodo de Galerkin o el de mnimos cuadrados.

Esta visin del problema difundi un gran inters entre los matemticos para la solucin de ecuaciones diferenciales lineales y no lineales mediante el MEF, que ha producido una gran cantidad de publicaciones hasta tal punto que hoy en da el MEF est considerado como una de las herramientas ms potentes y probadas para la solucin de problemas de ingeniera y ciencia aplicada. Actualmente el mtodo se encuentra en una fase de gran expansin, es ampliamente utilizado en la industria y continan apareciendo cientos de trabajos de investigacin en este campo. Los ordenadores han aportado el medio eficaz de resolver la multitud de ecuaciones que se plantean en el MEF, cuyo desarrollo prctico ha ido caminando parejo de las innovaciones obtenidas en el campo de la arquitectura de los ordenadores. Entre stas, adems de permitir la descentralizacin de los programas del MEF, ha contribuido a favorecer su uso a travs de sofisticados paquetes grficos que facilitan el modelado y la sntesis de resultados. Por la dcada de los 80 los softwares son disponibles para microcomputadoras, completas con grficos a colores y los pre y pos procesadores. Por medio de 1990 aproximadamente 40,000 artculos y libros acerca del MEF y sus aplicaciones son publicados. Hoy en da ya se concibe la conexin inteligente entre las tcnicas de anlisis estructural, las tcnicas de diseo (CAD), y las tcnicas de fabricacin.

Desde el punto de vista practico, del clculo estructural, la caracterstica ms atractiva del MEF y quizs tambin la ms peligrosa, estriba en el hecho de que es un mtodo aproximado. En las manos de un tcnico cuidadoso y experto es un procedimiento muy til para obtener informacin sobre el comportamiento de estructuras complejas para los que no existen soluciones analticas disponibles. No obstante su mismo carcter aproximado le confiere un cierto riesgo, y su utilizacin, si no se posee una experiencia previa, debe efectuarse con precaucin. Se tratara de facilitar su dicha utilizacin

1.5. generalidades SOBRE LOS DEMAS capitulos

En el capitulo 2 se presentan los conceptos bsicos del anlisis que cumplen con la hiptesis de la elasticidad, teoremas energticos, trabajo real, trabajo virtual, teoremas de energa basados en el principio del trabajo virtual, modelamiento en ingeniera, idealizacin estructural y tipos de elementos finitos.

En el capitulo 3 se presenta la discretizacion de la ecuacin, la formulacin del elemento triangular de tres nodos (CST), y representa el enfoque de la energa potencial, los trminos de fuerza, y los criterios de convergencia

En el capitulo 4 se plantean los algoritmos la codificacin del software EPEF para la solucin del esfuerzo y deformacin plana, y se hace comparacin entre los pre y pos procesadores mas comerciales de MEF

En el capitulo 5 Aqu trata sobre la aplicacin de EPEF y la evaluacin con otros software existentes en el mercado y se realiza un cuadro comparativo de los ejemplos planteados con el objeto de entender los alcances y limitaciones del EPEF

Finalmente en el capitulo 6 se presentan las conclusiones y recomendaciones de la tesis.

Discretizacion del medio contino

Discretizacion del campo de elasticidades

Discretizacion del Medio Continuo

Discretizacion de la funcin incgnita

Discretizacion del medio contino

Discretizacion del operador derivada

METODO DEL ELEMENTO DISCRETO

METODO DEL ELEMENTO FINITO

METODO DE DIFERENCIAS FINITAS

METODOS NUMERICOS DE DISCRETIZACION

METODOS NUMERICOS DE LA MECANICA ESTRUCTURAL

RESOLUCIN NUMRICA

Soluciones Aproximadas

RESOLUCIN EXACTA

Soluciones Analticas

RESOLUCION DEL PROBLEMA MATEMATICO

FORMULACION MATEMATICA DEL PROBLEMA

Formulacin de las ecuaciones diferenciales que gobiernan el comportamiento matemtico del problema, problema de valores en la frontera

MODELO MATEMATICO

Abstraccin de lo ms relevante del fenmeno

Idealizacin del problema real

FENOMENO FISICO

PROBLEMA REAL

Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations, Bulletin of American Mathematical Society 1943.

Stifness and deflection analysis of complex structures. Journal of Aeronautical Sciences, 1956.

Some aspects of recent contributions to the mathematical theory of finite elements. Advances in Computacional Methods in Structural Mechanics and Design, University of Alabama Press, Huntsville. 1972.

Theory of Matrix Structural Analysis, Mc GRaw-Hill, New York. 1968.

Stress Analysis, John Wiley, London. 1966.

The Finite Element Method in Structural and Continuum Mechanics, Mc Graw-Hill, London. 1967.

El mtodo de los Elementos Finitos. Mc Graw-Hill. CIMNE. Barcelona .1994.

Anlisis de Esfuerzo Plano por el Metodo de Elementos Finitos

Bach.: Oswaldo Yucra Quispe

-3-

_1193438576.doc