0. Índice · Web viewDe este modo basta con conocer 2 de las 4 componentes originales, pues una quedará determinada por la condición de equilibrio, y otra por el círculo de Mohr

Apuntes: Diseño de máquinas en aeronáutica.

Alejandro Roger Ull

Ingeniería Aeronáutica

Segunda edición – Septiembre de 2010

Alejandro Roger Ull Diseño de máquinas en aeronáutica

Acerca de estos apuntes

Estos apuntes se han realizado para cubrir el temario de la asignatura “Diseño de máquinas en aeronáutica”, que se imparte en el tercer curso de Ingeniería Aeronáutica en la Escola Tècnica Superior d’Enginyeries Industrial i Aeronàutica de Terrassa, de la Universitat Politècnica de Catalunya (ETSEIAT – UPC).

Queda permitida, por decisión del autor, la modificación, copia y distribución, de la totalidad o parte de este documento.

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0. Índice

0. Índice........................................................................................................................................5

1. Estado de esfuerzos.................................................................................................................7

1.1. Tensiones..........................................................................................................................7

1.2. Círculos de Mohr...............................................................................................................8

2. Fallas ocasionadas por cargas estáticas..................................................................................11

2.1. Generalidades y consideraciones....................................................................................11

2.2. Hipótesis de falla por carga estática................................................................................12

3. Fallas ocasionadas por fatiga..................................................................................................17

3.1. Generalidades y consideraciones....................................................................................17

3.2. Factores modificadores del límite de resistencia a fatiga................................................18

3.3. Caso general de tensiones fluctuantes............................................................................20

4. Sujetadores roscados y tornillos de potencia.........................................................................23

4.1. Características dimensionales.........................................................................................23

4.2. Aplicaciones.....................................................................................................................23

4.3. Elementos de sujeción.....................................................................................................24

4.4. Área de esfuerzo a tracción.............................................................................................24

4.5. Análisis del perfil de rosca rectangular............................................................................24

4.6. Análisis del perfil de rosca triangular...............................................................................25

5. Uniones Atornilladas..............................................................................................................26

5.1. Rigidez del perno.............................................................................................................26

5.2. Rigidez de la junta...........................................................................................................26

5.3. Resistencia de tornillos o pernos.....................................................................................28

5.4. Uniones atornilladas........................................................................................................29

5.5. Estudio de la fatiga en la unión atornillada.....................................................................31

5.6. Centroide de un grupo de pernos....................................................................................32

5.7. Carga cortante debida a cargas excéntricas....................................................................33

6. Uniones forzadas....................................................................................................................34

6.1. Apriete.............................................................................................................................34

7. Resortes Helicoidales.............................................................................................................38

7.1 Generalidades..................................................................................................................38

- 5 -


7.2 Equilibrio del resorte........................................................................................................38

7.3 Deformación de los resortes helicoidales.........................................................................39

7.4 Aspectos geométricos......................................................................................................41

7.5 Resistencia a tracción de los aceros comunes para resortes............................................41

7.6 Resorte de tracción de tipo cerrado.................................................................................42

7.7 Resortes torsionales.........................................................................................................43

8. Engranajes exteriores.............................................................................................................45

8.1 Definición de engranaje....................................................................................................45

8.2 Centro instantáneo de rotación (CIR)...............................................................................46

8.3 Axoides.............................................................................................................................46

8.4 Perfiles conjugados..........................................................................................................46

8.5 Perfil de evolvente de círculo...........................................................................................46

8.6 Engrane de los perfiles de evolvente de círculo...............................................................47

8.7 Propiedades del engrane de perfiles de evolvente de círculo..........................................48

8.8 Geometría del diente de evolvente..................................................................................49

8.9 Relación entre espesores del diente a distintas alturas del mismo..................................49

8.10 Paso................................................................................................................................50

8.11 Cremallera de evolvente................................................................................................50

8.12 Tallado por generación...................................................................................................50

8.13 Datos de generación.......................................................................................................51

8.14 Radio del axoide de generación o cilindro primitivo......................................................51

8.15 Tallado de ruedas dentadas con y sin deslizamiento......................................................52

8.16 Espesor del diente en la circunferencia primitiva...........................................................52

8.17 Parámetros intrínsecos...................................................................................................54

8.18 Cuerda sobre k dientes..................................................................................................56

8.19 Parámetros de funcionamiento......................................................................................56

8.20 Condición de engrane sin holgura..................................................................................57

8.21 Corrección del radio de cabeza......................................................................................58

8.22 Grado de recubrimiento o coeficiente de engrane.........................................................59

8.23 Dientes penetrados........................................................................................................59

8.24 Tallado con desplazamiento para evitar la obtención de dientes penetrados...............60

8.25 Engrane a cero................................................................................................................61

8.26 Radio de apuntamiento..................................................................................................61

- 6 -


- 7 -


1. Estado de esfuerzos

1.1. Tensiones

Las diferentes tensiones que se pueden considerar en un elemento d V se representan en la figura 1.1

Existen 9 componentes que definen el estado tensional del d V : tres tensiones normales (σ x,

σ y y σ z) y seis tensiones tangenciales (τ xy, τ xz,

τ yx, τ yz, τ zx y τ zy). Este estado tensional se

representa mediante el tensor de tensiones

σ=( σ x τ xy τxzτ yx σ y τ yz

τ zx τ zy σ z)

Sin embargo aplicando la condición de equilibrio en el elemento d V se deduce que, en magnitud

τ xy=τ yx τ xz=τ zy τ yz=τ zy

Por lo que en realidad hay 6 componentes independientes en el tensor de tensiones.

Idénticamente, en un caso bidimensional, las tensiones que se pueden considerar en un elemento d S se representan en la figura 1.2.

En este caso aparecen 4 componentes pero aplicando el equilibrio de nuevo, se reducen a 3, puesto que, en magnitud

τ xy=τ yx

El tensor de tensiones en este caso es de la forma

σ=( σ x τ xy

τ yx σ y)

Se tomará como criterio de signos positivo el sentido de giro de las agujas del reloj. De este modo el tensor de tensiones se puede escribir también como

- 8 -

Figura 1.1

y

x

z

τ zyτ yz

τ zx

τ xz

τ yxτ xy

σ z

σ y

σ x

Figura 1.2

y

x

τ yx

τ xy

σ x

σ y


σ=( σ x −τxyτ xy σ y

)

1.2. Círculos de Mohr

Suponiendo conocido el tensor de tensiones se realizará un corte en el elemento tal y como se muestra en la figura 1.3.

Aplicando la condición de equilibro al elemento resultante se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

0=σ cosϕ−τ sinϕ−σx−τxy0=τ cosϕ+σ sinϕ−σ y−τ xy}

Resolviendo el sistema se obtiene:

σ=σ x+σ y

2+σ x−σ y

2cos2ϕ+τ xy sin 2ϕ (1.1 )

τ=−σ x−σ y

2sin 2ϕ+τ xy cos2ϕ (1.2 )

Llegado este punto, si se desea hallar la dirección ϕ que suponga σ máxima se puede derivar la ecuación (1.1 ):

∂σ∂ϕ

=0⇒ tan 2ϕ=2 τ xy

σx−σ y

Existen dos soluciones para ϕ, y por lo tanto dos tensiones normales máximas σ 1 y σ 2:

σ 1,2=σ x+σ y

2±√( σ x−σ y

2 )2

+τxy2

Además se puede comprobar que para estas direcciones τ=0.

Del mismo modo, si se desea hallar la dirección ϕ ' que suponga τ máxima se puede derivar la ecuación (1.2 ):

∂ τ∂ϕ

=0⇒ tan 2ϕ '=−σ x−σ y

2 τ xy

Existen dos soluciones para ϕ ', y por lo tanto dos tensiones tangenciales máximas τ1' y τ 2

' :

- 9 -

σ y

ϕ

Figura 1.3

τ σσ x

τ xy

y

x


τ1,2' =±√( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2

Además se puede comprobar que para estas direcciones

σ '=σx+σ y

2

Y también que 2ϕ⊥2ϕ ', lo que quiere decir que ϕ y ϕ ' están separadas 45°.

Volviendo a las ecuaciones (1.1 ) y (1.2 ), si se elevan al cuadrado se obtiene (reordenando):

(σ−σ x+σ y

2 )2

=( σ x−σ y

2 )2

cos22ϕ+τ xy2 sin22ϕ+(σ x−σ y)τ xy cos2ϕsin 2ϕ

τ 2=( σ x−σ y

2 )2

sin22ϕ+τ xy2 cos22ϕ−(σ x−σ y )τxy cos2ϕ sin 2ϕ

Sumando ambas ecuaciones:

(σ−σ x+σ y

2 )2

+ τ2=( σ x−σ y

2 )2

+τ xy2 (1.3 )

Recordando la ecuación de una circunferencia de radio r y con centro en el punto (a ,b )

( x−a )2+ ( y−b )2=r2

Puede deducirse que la ecuación (1.3 ) corresponde a un círculo como el de la figura 1.4, centrado en

(a ,b )=( σ x+σ y

2,0)

Y de radio

r=√( σ x−σ y

2 )2

+ τxy2

- 10 -


De este modo basta con conocer 2 de las 4 componentes originales, pues una quedará determinada por la condición de equilibrio, y otra por el círculo de Mohr.

Del mismo modo el caso tridimensional se reduce a 3 componentes.

- 11 -

Figura 1.4

2ϕ

τ 2'

τ1'

σ 'σ 2 σ 1σ x

σ y

y

x

τ

σ


Ejemplo 1.1

Se tienen los siguientes datos: σ x=80MPaτ xy=50MPa

Se pide calcular σ 1, σ 2, τ1' , τ 2

' y sus direcciones.

Resolución

A menos que se indique lo contrario se toma σ y=0MPa. Se traza el círculo de Mohr correspondiente (figura 1.5, no a escala):

Figura 1.5.

Rápidamente puede deducirse que

r=√402+502=64⇒{σ1=40+64=104MPaσ2=40−64=−24 MPa

τ1' =64MPa

τ2' =−64MPa}σ '=40MPa

tan2ϕ=5040⇒2ϕ=51,3 °⇒ϕ=25,65 °↷⇒ϕ '=19,35 °↶

Para ir desde el eje x al eje de σ 1 (ϕ) hay que girar en sentido horario en el círculo de Mohr, así que, dado el criterio de signos escogido, se gira en el mismo sentido. Lo mimo se aplica a ϕ '.

- 12 -

40

τ xy=50

σ x=80

2ϕ

τ 2'

τ1'

σ 2 σ 1σ y=0

y

xτ

σ

y

x

50

80

50

80

25,65 °

y

x

104 24

10424 40

40

19,35 °

y

x

40

64

64

40


Figura 1.6.

2. Fallas ocasionadas por cargas estáticas

2.1. Generalidades y consideraciones

Consideraciones sobre fallas El elemento mecánico se fracciona en dos o más partes. El elemento se deforma permanentemente (modificación geométrica). Degradación de la fiabilidad (afecta a un conjunto de elementos mecánicos).

En definitiva el elemento pierde su funcionalidad original.

Consideraciones sobre resistencia estática Si la falla de un elemento supone un alto riesgo o la producción es elevada

entonces queda justificado un programa de ensayos. Si la producción es baja o tiempo disponible para el diseño es corto se utilizan

criterios de cálculo. Si el funcionamiento es insatisfactorio se recalcula la pieza.

Concentración de tensión Cualquier discontinuidad en el elemento altera la distribución de tensiones en

sus inmediaciones (la discontinuidad es un concentrador de tensiones). Factor de concentración de tensiones K t y K ts

K t=σmax

σ0¿K ts=

τmaxτ0

Tensiónnormal ¿Tensión tangencial

En un material dúctil K t=K ts=1En una fundición K t=K ts=1 (excepción de los materiales frágiles)

- 13 -


2.2. Hipótesis de falla por carga estática

Tensión tangencial máxima

Se produce fluencia cuando la tensión tangencial máxima supere la tensión tangencial de una probeta ensayada a tracción simple en el momento en que se produce la fluencia.

En un ensayo de tracción simple la tensión tangencial vale

τ=σ2⇒ τmax=

S y

2

Donde Sy es el límite a fluencia obtenido en el ensayo de tracción.

Las tensiones tangenciales máximas en la pieza serán

τ12=σ 1−σ22

τ13=σ1−σ32

τ23=σ 2−σ32

Comparando las tensiones tangenciales se deduce que para que se produzca fluencia se deberá cumplir que

σ 1−σ2≥S yó σ1−σ3≥ Sy ó σ2−σ 3≥S y

Puesto que ninguna tensión tangencial deberá superar la tensión tangencial máxima.

Considerando el caso bidimensional, con σ 3=0, se obtiene la siguiente “zona de seguridad” de la pieza (figura 3.1).

Figura 2.1

- 14 -

−Sy

−Sy

Sy

Syσ 1

σ 2


Teoría de la energía de distorsión de von Mises

La fluencia se produce cuando la energía de deformación total en un volumen unitario supera la energía de deformación total del mismo volumen unitario en un ensayo de tracción simple al alcanzar la fluencia.

La energía de deformación total es

U=12σε

En un ensayo de tracción simple la energía de deformación es

U t=σ2

2E

Y teniendo en cuenta que Sy es el límite a fluencia del material, entonces en nuestro caso tendremos que la energía total es

U t=S y2

2E

En una pieza real la energía de deformación total será, en función de las tensiones principales

U r=12 (σ1 ε1+σ 2 ε2+σ3 ε3 )

Considerando que por la ley de Hooke las deformaciones serán

ε i=σ i

E−∑

j=1j ≠i

3 σ j ε j

E

Entonces la energía de deformación quedará

U r=12E [σ12+σ22+σ32−2ν (σ1σ2+σ1σ3+σ 2σ 3) ] (2.1 )

Estas tensiones principales pueden cambiarse por la superposición de una presión hidrostática σ h que causa únicamente cambio de volumen, pero no fluencia, y unas tensiones de distorsión

σ 1' , σ 2

' y σ 3' que causan el fenómeno de fluencia.

La presión hidrostática σ h se define como la tensión media de las tensiones principales.

σ h=σ1+σ2+σ3

3

De la ecuación (2.1 ) puede obtenerse la energía de cambio de volumen

- 15 -


U cv=3 σh

2

2 E(1−2ν )=1−2ν

6E [σ12+σ22+σ32+2 (σ 1σ 2+σ1σ3+σ2σ3 ) ]

Dado que la energía de deformación total debe ser la misma entonces

U r=U cv+U d

Donde U d es la energía de distorsión, y por lo tanto Ud=U r−U cv y vale

U d=1+ν3 E ·

(σ1−σ2 )2+(σ1−σ3 )2+(σ2−σ 3 )2

2

También se puede calcular la energía de distorsión del ensayo de tracción en el límite a fluencia, de modo que sólo actúa σ 1=S y

U dt=1+ν3E

·S y2

Comparando U d y U dt se deduce que para que se produzca fluencia se deberá cumplir que

(σ1−σ2 )2+(σ 1−σ3 )2+(σ2−σ3 )2

2 =σeq2 ≥ Sy

2

Donde σ eq es la tensión equivalente de von Mises.

Considerando el caso bidimensional, con σ 3=0, se obtiene

σ 12+σ2

2−σ 1σ 2≥S y2

Y representa la siguiente “zona de seguridad” de la pieza (figura 2.2), comparada con la zona de seguridad en el caso de tensión tangencial máxima de la figura 2.1.

Figura 2.2.

- 16 -

−Sy

−Sy

Sy

Syσ 1

σ 2


Experimentalmente se comprueba que la teoría de la energía de distorsión de von Mises es más precisa que el criterio de tensión tangencial máxima.

Considerando las tensiones no principales σ x, σ y y τ xy, para que se produzca fluencia:

( σ x+σ y

2 )2

+3 [( σ x−σ y

2 )2

+τxy2 ]≥S y

2

Hipótesis del esfuerzo principal máximo

La fluencia se produce cuando alguno de los esfuerzos principales alcanza o supera la resistencia última a tracción Sut o a compresión Suc.

Dado que se ha elegido σ 1≥σ2≥σ3 entonces

σ 1≥Sut σ3≤−Suc

Donde Sut es la resistencia última a tracción y Suc es la resistencia última a compresión.

Figura 2.3.

Hipótesis de Mohr – Coulomb

La rotura del material se produce en el plano de resbalamiento.

τ=τ0−fσ

Donde f es el factor de flotación, y τ 0 es la tensión tangencial en la dirección en que no hay tensión normal, como se muestra en la figura 2.4.

- 17 -

φ

−SucS ut

τ 0

Δ

σ a

σ b

Sut

Sut

−Suc

−Suc


Figura 2.4.

De la figura 2.4 se deduce que

sinφ=Sut

2Δ−Sut=

Suc

2 Δ+Suc⟹ Δ=

Sut Suc

Suc−Sutsinφ=

Suc−Sut

Suc+Sut

Y de la figura 2.5, en tensiones principales se encuentra que

Figura 2.5.

sinφ=

σ1−σ32

Δ−σ1+σ32

Con el valor de Δ que se había encontrado ya, e igualando ambos sinφ:

Suc−Sut

Suc+Sut=

σ1−σ32

Sut Suc

Suc−Sut−σ1+σ 32

Y desarrollando se obtiene

σ 1Sut

−σ3Suc

=1

Dado que τ=(σ 1−σ3 ) /2 entonces

τ=Suc SutSuc+Sut

El lugar geométrico obtenido y los resultados de los ensayos se muestran en la figura 2.6. Para que coincidan mejor existe una modificación (hipótesis de Mohr – Coulomb modificada, figura 2.6, línea discontinua) con:

Suc−Sut

SucSutσ 1−

σ3Suc

=1

- 18 -

φ

σ 1σ 3

Δ


Figura 2.6. Hipótesis de Mohr – Coulomb (continua), y modificación (discontinua).

3. Fallas ocasionadas por fatiga

3.1. Generalidades y consideraciones

La fatiga es la falla del elemento debido a cargas repetitivas, cíclicas o alternantes, que pueden ser menores que la tensión última a tracción Sut o el límite de tensión de fluencia Sy .

Se produce por la aparición y propagación de una grieta, normalmente originada en una discontinuidad, debido a la concentración de tensiones. La grieta se comporta como un concentrador de tensiones cada vez mayor a medida que crece. Al final se produce la rotura de forma repentina.

La duración del esfuerzo determinará la resistencia a fatiga. A medida que el número de ciclos sea mayor ésta se reducirá, y viceversa (figura 3.1). El ensayo más común para su determinación es el de la viga rotatoria (R. R. More).

Número de ciclos

Resis

tenc

ia a

fatig

a

Figura 3.1.

Límites medios de fatiga Se' para hierros y aceros forjados

- 19 -

103 106

Se

σ a

σ b

Sut

Sut

−Suc

−Suc


Se' ={ 0,5· Sut si Sut<1400MPa700MPasi Sut>1400M Pa

Límites medios de fatiga Se' para hierros y aceros fundidos

Se' ={ 0,45· Sut si Sut<600MPa275MPasi Sut>600M Pa

La tensión máxima que se podrá soportar en caso de que se trabaje a un número de ciclos

103<N<106 se obtendrá mediante la expresión Sf=10c ·N b, donde

c=log( f·Su )2

Seb=−1

3 logf· Su

Se

Para aceros normalmente se toma f ≈0,81.

Ejemplo 3.1

Se dispone de un material, la resistencia a fatiga (ya corregida) y resistencia última a tracción del cual son

Se=115MPa Sut=900MPa

¿Cuánto vale la tensión máxima que podrá soportar si ha de trabajar N=600 ·103 ciclos?

c= log (0,81 ·900 )2

115=3,665b=−1

3log 0,81·900

115=−0,267

Sf=103,665 · (600 ·103 )−0,267=132MPa

3.2. Factores modificadores del límite de resistencia a fatiga

Los límites medios de fatiga Se' obtenidos a partir de una probeta son corregidos a la hora de

aplicarlos sobre una pieza (Se) mediante la expresión

Se=Se' · ka kb kc kd k ek f

Factor de acabado superficial k a

k a=a Sub

Algunos valores para los parámetros a y b son:

SI (MPa) Imperial (kpsi)Tipo de acabado a b a b

- 20 -


Esmerilado o rectificado 1,58 -0,085 1,34 -0,085Maquinado o estirado en frio (CD) 4,51 -0,265 2,7 -0,265

Laminado en caliente (HR) 57,7 -0,718 14,4 -0,718Forjado 272 -0,995 39,9 -0,995

Fundición 1 0 1 0

Factor de tamaño, forma y tipo de carga k b

La probeta utilizada en el ensayo de viga rotatoria es muy pequeña en comparación con una pieza final, que tiene más posibilidades de falla debido a su mayor tamaño. Esto es porque presentará un mayor número de discontinuidades (mayor volumen), y porque el mecanizado en general es más difícil y presentará más imperfecciones.

Para una pieza con sección circular de diámetro d (en mm) se tiene que

Sistema internacional Imperial

k b={ 1,12 d<2,79mm1,243 · d−0,107 2,79<d<51mm1,51· d−0,157 51<d<254mm

0,6 d>254mm

¿

En el caso que la carga sea axial, de torsión o cortante entonces k b=1, y se aplicará k c .

Para piezas cuya sección no es circular, o que son cargadas de forma diferente a la viga rotatoria, se utiliza el criterio de Kuguel, que compara la sección de la pieza que soporta una tensión σ>0,95· σ max, con la misma sección de una pieza de sección circular (figura 3.2), para obtener un diámetro equivalente de.

A piezaσ> 0,95· σ max

=A equivalenteσ>0,95 · σmax

En la pieza equivalente se obtiene

A=π4 (de

2−(0,95 · de )2 )=0,0766 ·de2

Figura 3.2. Área con carga superior al 95% de la carga máxima experimentada en la pieza equivalente (flexión rotatoria).

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σ

0,95 ·d e

d e

σmax

σ max

σ=0,95 ·σmax

σ=0,95 ·σ max


Para encontrar de debe igualarse el área sombreada de la pieza equivalente y de la pieza real.

Figura 3.3. Áreas a comparar de diferentes secciones y tipos de carga.Izquierda: Sección circular a flexión alterna. Derecha: sección rectangular a flexión alterna.

Factor de carga k c

k c={ 1 flexióno vonMises0,85 axial0,577 torsiónocortante

En el caso de carga a torsión o cortante, si se está trabajando de antemano con la tensión equivalente de von Mises σ eq entonces deberá tomarse k c=1, puesto que con k c ya se está considerando la teoría de la energía de deformación.

Factor de temperatura k d

Experimentalmente se ha comprobado que un aumento de la temperatura hasta 200 °C supone un incremento de Sut y de Se. Aumentar la temperatura más allá de los 200 °C vuelve a reducir ambos valores. Para determinar el parámetro k d se comprueba en una tabla su valor.

Factor estadístico de fiabilidad k e

Se realiza un análisis estadístico con Se N (m=Se' , σ 2). Para aleaciones metálicas, en general

σ=0,08m.

Haciendo el cambio z=(x−m) /σ tal que z N (0,1), puede definirse una fiabilidad de la

resistencia R=1−P, donde P=P ( z← zα ), es decir, P es la probabilidad de que la resistencia sea menor que un cierto valor. De modo que:

−zα=xα−mσ

=Se−Se

'

0,08 · Se' ⇒ Se=Se

' (1−0,08 · zα )⏟k e

En un caso práctico, dada una fiabilidad deseada, por ejemplo R=0,99, es decir, una fiabilidad del 99%, se busca en una tabla el valor de zα que cumpla que P ( z←zα )=1−R=0,01. Finalmente se obtiene

zα=2,32

- 22 -

0,95 · D

D

0,95 · H

H


k e=1−0,08 · zα=0,814

También puede encontrarse directamente en una tabla el valor de k e para obtener la fiabilidad deseada.

Factor de reducción del límite de fatiga por concentración de tensiones k f

Se define primero un factor de concentración de tensiones en el caso de fatiga

K f=1k f

=Se' (sin discontinuidad )

Se (condiscontinuidad )

Efectivamente Se=Se' · k f

Se define también la sensibilidad a la muesca

q=K f−1K t−1

Donde K t es el factor de concentración de tensiones.

3.3. Caso general de tensiones fluctuantes

Por lo general la fatiga no se produce únicamente cuando se alternan las tensiones (por ejemplo entre tracción y compresión), sino que también causa fatiga una tensión fluctuante, que mantiene siempre la misma dirección pero de valor diferente.

Figura 3.4. Tensión fluctuante, de signo constante.

En un caso de tensión fluctuante se puede definir

σ med=σm=σ max+σ min

2σamp=σa=

σ max−σmin

2

En el diagrama de Goodman se representan los posibles estados de carga.

- 23 -

σ

t

S ut


Figura 3.5. Diagrama de Goodman.

La zona sombreada en el diagrama de Goodman define para una tensión media la amplitud máxima de vibración, y está limitada por la resistencia última a tracción Sut, la resistencia a fatiga Se y el límite de fluencia Sy .

Del diagrama puede comprobarse que si σ m=0 entonces σ a=Se (caso de tensión alterna). Del mismo modo, si se llegase a σ m=Sut entonces σ a=0, pues si no se sobrepasaría Sut (caso estático, líneas discontinuas). Sin embargo tampoco se debe sobrepasar Sy , de modo que se limita σ a antes de que σ m=Sut. Entonces en σ m=Sy se fuerza que σ a=0.

En la práctica se utiliza el diagrama de la figura 3.6.

Figura 3.6.

La zona sombreada en el diagrama define para una tensión media la amplitud máxima de vibración. En la zona de compresión no se tiene en cuenta la resistencia última a compresión Suc. De nuevo, si σm=0 entonces σ a=Se y si σ m=Sy se fuerza que σ a=0.

De forma más simplificada se utiliza también el diagrama de la figura 3.7.

- 24 -

S ut

S y

S e

−Se

45 °

σ med

σmed+σ amp

σmed−σamp

σmed

S utS y

S y

−S y

σ a

σ m

σ a

S e


Figura 3.7.

Las ecuaciones de estas rectas son.

RectadeGoodman : ¿σa

Se+σm

Sut=1n

¿ ¿¿σ a

Se+σ m

S y=1n ¿

Donde n es el factor de seguridad.

4. Sujetadores roscados y tornillos de potencia

4.1. Características dimensionales

Diámetro externo o nominal d : Diámetro medido por la parte más externa de la rosca.

Diámetro del núcleo o interno dn: Diámetro medido por la parte más interna de la rosca.

Diámetro medio o de paso dm: Media entre el diámetro exterior y el diámetro interior.

Paso p: Distancia medida axialmente entre los puntos homólogos de dos filetes consecutivos (figura 4.1 izquierda). En el sistema anglosajón se define como la inversa del número de hilos que caben en una pulgada.

Avance a: Distancia medida axialmente entre los puntos homólogos de un mismo filete (figura 4.1 derecha). Si el tornillo tiene n filetes entonces el avance será n·p. Puede visualizarse como la distancia avanzada por una tuerca al girar una vuelta completa.

Sentido de la rosca: La rosca a derechas avanza según la regla de la mano derecha, y la rosca izquierda al revés.

En tornillería las distancias se expresan en mm.

- 25 -

S e

S yS ut

σ m

Línea de Soderberg

Línea de Goodman

d


Figura 4.1. Características dimensionales de un tornillo de un filete (izquierda) y uno de dos filetes (derecha).

4.2. Aplicaciones

Elemento de unión o sujeción, para producir tensiones previas, tornillos de cierre o tapones, para instrumentación de precisión (medición de longitudes), transformación de fuerza (gato mecánico), mecanismos de transmisión de movimiento (movimiento de rotación a traslación).

4.3. Elementos de sujeción

Pernos: Disponen de una parte roscada (cuerda o porción roscada) y una sin roscar (espiga, de diámetro externo). Frecuente en elementos estructurales, la parte sin roscar se puede utilizar para añadir elementos de junta (anillas, etc.). La longitud de la rosca viene dada por

lt={ 2d+6 ¿ L≤1252d+12 ¿125≤ L≤2002d+25 ¿ L≥200

Tornillo de máquina: Roscado hasta el final.

4.4. Área de esfuerzo a tracción

Se define como la sección circular de una varilla que rompe a tracción a la misma tensión que el tornillo en cuestión. De este modo se define el diámetro a tracción

d t=dm+dn

2

Y el área de la sección de la varilla equivalente, o área de esfuerzo a tracción, es

- 26 -

dm

dn

pp

aa


At=π d t

2

4

4.5. Análisis del perfil de rosca rectangular

Para una vuelta de un hilo se tiene el siguiente diagrama de fuerzas (figura 4.2), teniendo en cuenta que el movimiento es de subida.

Figura 4.2. Desarrollo horizontal de un hilo.

P−N sin α−μN cosα=0W−N cos α+μN sin α=0}

De ambas ecuaciones se puede obtener

N= Psinα+μcosα

= Wcos α−μ sin α

⇒P= sin α+μcos αcosα−μ sinα

W

Pero μ= tan φ, donde φ es el ángulo de rozamiento. Manipulando la expresión anterior

P=tan (α+φ ) ·W M=W·R· tan (α+φ )

Si el movimiento es de bajada

−P−N sinα+μN cosα=0W−N cos α−μN sin α=0 }

De ambas ecuaciones se puede obtener

N= −Psinα−μcos α

= Wcosα+μsin α

⇒P=−sinα−μcosαcosα+μ sinα

W

Y con el cambio μ=tan φ se obtiene

P=−tan (α−φ ) ·W

De aquí se obtiene que si φ>α entonces se verifique la condición de autoretención, puesto que la fuerza P irá en sentido contrario al supuesto.

- 27 -

αα

P

W

μN

N p

πd


4.6. Análisis del perfil de rosca triangular

En el caso de una rosca de perfil triangular la fuerza normal N considerada en el apartado anterior ya no se encuentra en un plano vertical, sino que forma un ángulo β con este plano, y la componente vertical de esta fuerza normal será N cos β.

Aplicando el mismo procedimiento que en el caso de perfil rectangular se tiene que

P−N cos β sinα−μN cosα=0W−N cos βcos α+μN sin α=0}

Y desarrollando el sistema se llega a la expresión

P=−sinα−μcos β cosαcos α+μcos β sin α

W

Considerando un coeficiente de rozamiento ficticio μ'=μcos β entonces

P=−sinα−μ' cosαcos α+μ' sinα

W

Y se llega también a las expresiones

P=tan (α+φ' ) ·W M=W·R· tan (α+φ' )

5. Uniones Atornilladas

5.1. Rigidez del perno

La rigidez elástica implica que aplicando una fuerza P sobre un material elástico, éste se deforma una cantidad proporcional a Δ x . Esta constante de proporcionalidad se conoce como rigidez k , de modo que P=k· Δ x. En el caso de un perno, éste se divide en una parte sin roscar o espiga y una parte roscada o cuerda. El diámetro de la espiga es el diámetro exterior de la rosca d , y la cuerda se considera como una sección circular de sección equivalente al área de esfuerzo a tracción, con diámetro d2. Las longitudes de la espiga y de la cuerda son respectivamente l1 y l2 (figura 5.1).

- 28 -


Figura 5.1.

Las áreas de ambas secciones serán A1 y A2. Entonces para la tensión tendremos que

σ=E· Δll⇒ Δl=σE

l

Considerando una carga P a tracción sobre el perno entonces para cada zona se tiene que

Δl1=P·l1A1 ·E

Δl2=P·l2A2 ·E

Sumando ambas deformaciones

Δl=Δl1+Δl2=P( l1A1 ·E

+l2

A2· E )=P( 1k1+ 1k2 )= Pk p

Donde k p es la rigidez global del perno y se calcula a partir de las rigideces de sus partes como

1k p

=∑ 1kik i=

A iEli

5.2. Rigidez de la junta

Mientras que el vástago (en este caso el perno) al apretarse está trabajando a tracción, la junta estará trabajando a compresión. Las diferentes partes de la junta están también en serie, del mismo modo que en el perno, así que se puede aplicar la misma forma de asociación de rigideces.

Considerando únicamente la primera zona, la más cercana al cabezal, la concentración de tensiones en la zona cercana al collarín, de diámetro D tiene una tensión mucho mayor que en una zona más alejada. Sucede lo mismo en el otro extremo de la junta. Se estipula que la zona afectada por la tensión es cónica, de ángulo α , y parte desde ambos extremos del perno, de modo que se produce una inversión en la sección central de la junta.

- 29 -

PP

l1 l2

d2d1


Figura 5.2. Elemento diferencial de la junta.

Considerando un elemento diferencial de la junta, a una distancia x del extremo del cabezal, de espesor d x y diámetro D x entonces

D x=D+2x· tan α Sx=π4·(D x

2−d2)

Donde d es el diámetro nominal del tornillo. Aplicando la misma ley que en el caso anterior:

Δd x= σEd x= P

Sx Ed x= 4 P

πE (D+2 x tan α )2−d2d x

La deformación total de la primera zona Δt 1 será

Δt 1=∫0

t 4 PπE (D+2 x tan α )2−d2

d x

Puede resolverse la integral y se obtiene que

Δt 1=P

πEd tan αln( D+2 t tan α−d

D+2t tan α+d· D+dD−d )

Y la rigidez del primer tramo de la junta k j1 será

k j1=πEd tan α

ln(D+2 t tan α−dD+2 t tan α+d

· D+dD−d )

Normalmente para metales el ángulo de la zona cónica afectada por la tensión es de α ≈30 ° y por lo tanto

- 30 -

d x

x

D x

tα


k j1=0,57735 · πEd

ln ( 1,1547 t+D−d1,1547 t+D+d

· D+dD−d )

Para calcular cualquier otra zona habrá que utilizar D=D ' donde D' es el diámetro de la sección más pequeña del cono que delimita la zona, y la longitud t correspondiente. Donde se produce la inversión (punto medio) se separará la junta en dos zonas (figura 5.3).

Figura 5.3.

5.3. Resistencia de tornillos o pernos

Carga límite F p: Fuerza máxima que un perno puede resistir sin experimentar deformación permanente.

Resistencia límite Sp=F p/ At . En el caso de pernos y tornillos Sp≈0,85 · S y .

En el cabezal de un tornillo, según la normativa ISO, aparecen dos números enteros n1 y n2 correspondientes a

n1=∫ (Sut [MPa ] ·10−2 )n2=∫( S y

Sut·10)

Los fabricantes no dan los valores de resistencias medias, sino los valores de resistencia mínimos.

- 31 -

α

D=d1

d2'

d2' '

d3

t 1

t 3

t 2' '

t 2'

dc


5.4. Uniones atornilladas

Desde el punto de vista del tornillo o perno, al aplicar la tuerca para realizar la unión éste se tensiona a tracción hasta una carga F i llamada precarga, provocando una deformación Δl1. Simultáneamente la junta se comprime una cantidad Δl2, y soporta la misma precarga F i.

Figura 5.4.

Sometiendo la unión a una carga de tracción P, el tornillo sigue traccionando, pero la junta, al traccionar, se descomprime. La deformación de ambos elementos, ahora unidos, será Δl. Las cargas totales que soportan serán

Pt=k t ΔlP j=k j Δl

Figura 5.5.

De este modo se puede encontrar el total de carga que soporta el tornillo, puesto que P=Pt+P j, entonces

- 32 -

Δl1 Δl2

F i

Δl

P j

Pt

P

F t

F i

F j


Pt=k t

k t+k jP=C·P

Del mismo modo, la fracción soportada por la junta es

P j=(1−C )P

La carga total soportada por cada elemento será

F t=F i+Pt F j=F i−P j

Hay que recordar que la junta se descomprimía al cargarla, y por eso la carga total que soporta es menor que la precarga. La tensión en el tornillo será entonces

σ t=F t

At=F i+P t

A t=F i+C·P

A t

La resistencia límite, a partir de la cual se produciría deformación permanente es

Sp=F i+C·n·P

A t

Donde n se define como el factor de carga, que indica la cantidad de veces mayor que puede ser la carga aplicada.

n=Sp At−F i

C·P

Deberá comprobarse entonces que se cumpla la condición n>1. Adicionalmente se considera el factor de carga a la estanqueidad o factor de carga contra la separación de la junta ne (el nombre del factor de carga a la estanqueidad viene de la posibilidad de utilizar juntas para mantener compartimentos estancos). Si la carga P fuese suficientemente grande el diagrama de cargas quedaría como se muestra en la figura 5.6.

- 33 -

Pe

Δl

F t

F i


Figura 5.6.

En este caso se tendrá que P j=(1−C )P e=F i, siendo Pe la carga límite, y por lo tanto

Pe=F i

1−C

A partir de aquí se puede definir

ne=Pe

P=

Fi

(1−C ) P

En este punto la junta no tiene carga total alguna. Si se carga por encima de este valor entonces se producirá separación en la junta.

Se considera que los tornillos tienen poca plasticidad y por lo tanto, aunque se supere el valor límite Sp el tornillo seguirá trabajando en unas condiciones aproximadamente normales.

El valor de la precarga dependerá del tipo de unión que se quiera producir. En el caso de una unión desmontable la precarga tendrá un valor F i=0,75 Fp donde F p=Sp A t. Para una unión permanente se toma el valor F i=0,9 Fp. Aunque son precargas elevadas, el tornillo habitualmente tiene mucha más flexibilidad que la junta, y por lo tanto la mayor parte de la carga exterior la soporta la junta.

5.5. Estudio de la fatiga en la unión atornillada

El elemento más castigado de forma estática, como ya se ha comprobado, es el tornillo o el perno, pues la junta se descarga al aplicar la carga externa. La fatiga repercutirá entonces en mayor medida sobre el tornillo. Dado el diagrama de tensiones (figura 5.7) entonces se tiene que

σ m=σ i+σaσa=12Pt

At

Figura 5.7.

- 34 -

σ m

σ a

σ aσ i


El estudio de fatiga se puede realizar utilizando la recta de Goodman (figura 5.8). Esta recta viene dada por la ecuación

Sa

Se+Sm

Sut=1

Figura 5.8.

Donde Sa y Sm son los límites de amplitud y tensión media a fatiga respectivamente. Aplicando el coeficiente de seguridad n (recta paralela) se tendrá una amplitud σ a=Sa /n y por lo tanto

nσa

Se+σ i+nσa

Sut=1

Y desarrollando esta última expresión se obtiene

n=(Sut−σ m+σ a) Se

(Sut+Se )σa

5.6. Centroide de un grupo de pernos

La posición del centroide G de un grupo de pernos, cada uno de ellos de posición (x i , y i) y área Ai como el mostrado en la figura 5.9 se puede calcular como

xG=∑ Ai x i

∑A iyG=

∑A i y i

∑ Ai

- 35 -

σ a

S a

Sm

σ m

S a

σ i σ a S ut

S e

45 °


Figura 5.9.

5.7. Carga cortante debida a cargas excéntricas

Dado el sistema de la figura 5.10, la carga P puede reemplazarse por una carga de igual valor, dirección y sentido situada en el centroide G y un par de valor M=mP , siendo m la distancia que separa al centroide G de la línea de aplicación de la carga P.

Figura 5.10.

Estos a su vez se pueden reemplazar por dos cargas en cada perno, uno de igual sentido y dirección que la carga P y otra perpendicular a la recta de unión entre el perno y el centroide, siguiendo el sentido del momento M , como se muestra en la figura 5.11.

- 36 -

A1A2

A3

A 4

G

y

x

P

F ' '

F '

F 'F '

F '

F ' '

F ' '

F ' '


Figura 5.11.

Se define entonces la carga directa o cortante primaria F i'=P/n donde n es el número de

pernos.

También se tendrá M=mP=∑F i' ' ri y para repartir el momento total M en partes iguales se

deberá cumplir que F i' ' /r i=cte, donde F i

' ' son las cargas de momentos o cortantes secundarias. Considerando ambas cargas sobre los pernos se puede hallar cuál es el perno sometido a una mayor resultante. La tensión tangencial de ese elemento será τ=F /A, donde F es la resultante sobre ese perno y A su sección.

- 37 -


6. Uniones forzadas

6.1. Apriete

Este tipo de unión se utiliza típicamente para piezas de sección circular. En la figura 6.1 se muestra a la izquierda una polea unida a un eje mediante este modo. La unión forzada consiste en aplicar un apriete entre las dos piezas que se quieran unir. Un caso típico se da en la llantas de las ruedas de ferrocarril, figura 6.1 a la derecha. Para realizar la unión se enfría o calienta una de las piezas, de forma que se produzca un juego entre ellas, y una vez en posición, al volver a temperatura ambiente, se produce el apriete deseado.

Figura 6.1. Polea y llanta de ferrocarril. Ambas piezas están unidas a sus respectivos ejes mediante unión forzada.

El estudio de este caso se realizará mediante el anillo de la figura 6.2, de radio interior Ri y radio exterior Re. Considerando el elemento diferencial ampliado en la figura, a una distancia ρ del centro, de dimensiones d ρ, d θ y espesor unitario debidas a las presiones exteriores que actúan sobre el anillo, este elemento presentará unas tensiones radiales (intuitivamente a compresión) y unas tensiones tangenciales como indica la figura. Estas tensiones tangenciales pueden descomponerse en una componente radial y una tangencial. Las componentes normales de ambas caras se anularán entre ellas, y la componente radial de cada una de ellas será σ t sin dθ /2.

- 38 -

ρ

d ρ

R❑i

R❑e

p❑e

p❑i

d ρ

dθ2

dθ

σ r+dσ r

σ r

σ t

σ t


Figura 6.2. Elemento diferencial del anillo y condiciones de contorno.

Aplicando equilibrio al elemento diferencial considerado, se obtiene

(σ r+d σr )· (ρ+d ρ ) · dθ−σ r · ρ· dθ−2σ t sindθ2

· d ρ=0

Considerando que d θ≪1 y despreciando los diferenciales de segundo orden se obtiene

σ r−σ t=−ρ·d σ r

d ρ (6.1 )

Puesto que todas las solicitaciones son radiales, el estado tensional de la pieza es de tensión plana, y por lo tanto la deformación radial ε d es constante para todo ρ. Entonces se tiene que

ε l=−νE (σ r+σ t )⇒ σ r+σ t=

−εlEν

σ r+σ t=2C1 (6.2 )

Combinando las ecuaciones (6.1 ) y (6.2 ) se puede llegar a la expresión

2 ρ σr+ρ2·d σ r

d ρ=2C1 ρ

El primer miembro de la igualdad es d (σ r ρ2 )/d ρ, entonces se puede integrar separando las

variables

d (σ r ρ2 )=2C1 ρ· d ρ⇒ σr ρ

2=C1 ρ2+C2

σ r=C1+C2

ρ2 (6.3 )

Y también

σ t=2C1−σr⇒

σ t=C1−C2ρ2

(6.4 )

Para encontrar ambas constantes, C1 y C2, se aplicaran las condiciones de contorno siguientes (figura 6.2):

Para ρ=R i entonces σ r=−pi

Para ρ=Re entonces σ r=−pe

Aplicando estas condiciones a la ecuación (6.3 ) se obtiene

- 39 -


C1=R i2 pi−R e

2 peRe2−Ri

2 C2=Re2 Ri

2

Re2−R i

2 ( pe− pi )

Sustituyendo estas constantes en las ecuaciones (6.3 ) y (6.4 ) quedan

σ r=Ri2 p i−Re

2 pe

Re2−Ri

2 +Re2 Ri

2

Re2−Ri

2

pe−p i

ρ2 (6.5 )

σ t=Ri2 p i−Re

2 pe

Re2−Ri

2 −Re2Ri

2

Re2−Ri

2

pe−pi

ρ2 (6.6 )

Ejemplo 6.1

a) ¿A qué diámetros interior y exterior debe ser mecanizado el tubo B de la figura 6.3 para que cuando circule por el mismo un fluido a la presión de 60MPa dichos diámetros tomen, respectivamente, los valores de 40mm y 80mm? Considera E=215GPa, coeficiente de Poisson ν=0,3 y presión exterior pe=0 Pa.

b) Si antes de circular fluido por el tubo B se le ajusta sin presión otro tubo exterior C del mismo material, de diámetro exterior 100mm, ¿qué presión pu aparecerá entre ambos tubos cuando circule por el interior un fluido a la presión de 60MPa? ¿Cuánto valdrá el diámetro exterior del tubo C en esta situación de funcionamiento?

Resolución

Las deformaciones radiales δ provocarán deformaciones tangenciales ε t en el contorno del tubo. En concreto, en la cara exterior la deformación será, considerando que δ e≪ Re

ε te=2π Re−2π (R e−δ e)

2π (R e−δe )=δ e

Re

Y también se tiene que

ε te=1E (σ te−ν σℜ)

Por lo tanto

δ e=R e

E (σ te−ν σℜ )

Las tensiones exteriores σ te y σℜ se pueden evaluar a partir de las expresiones (6.5 ) y (6.6 ), sustituyendo ρ=R e=40mm, y se obtiene

σ te=40MPa σℜ=0 Pa

Por lo tanto la deformación radial exterior será

- 40 -


δ e=7,44186 ·10−6m=7,44186·10−3mm

Y el diámetro exterior de mecanizado es

De=2 · (40−7,44186·10−3 )=79,985mm

Del mismo modo se puede obtener el diámetro de mecanizado interior

σ ti=100MPaσ ri=−60MPaδi=10,9767 ·10−3mm

Di=39,978mm

En el segundo apartado, considerando ambos tubos como uno solo, en ρ=40mm, la tensión radial σ r equivale a la presión de compresión entre ambos tubos.

−pu=σ r (ρ=40mm )= 202·60502−202

+ 502 ·202

502−202·−60402

=−6,429MPa

pu=6,429MPa

En el exterior del tubo C la tensión radial y la tensión tangencial serán

σ r ( ρ=50mm )= 202 ·60502−202

+ 502 ·202

502−202·−60502

=0 Pa

σ t (ρ=50mm )= 202·60502−202

− 502 ·202

502−202·−60502

=22,86MPa

Y la deformación radial exterior será

δ e=50

210 ·103·22,86=5,443 ·10−3mm

Por lo tanto el diámetro exterior del tubo C será

De=100,011mm

- 41 -

Re−δeRi−δ i

Re

Ri

60MPa


Figura 6.3. Esquema del problema.Estado inicial (izquierda) y final (derecha).

- 42 -


7. Resortes Helicoidales

7.1 Generalidades

Las dimensiones de un resorte son el diámetro medio D, el diámetro del alambre d y el paso p.

Figura 7.1. Dimensiones en un resorte.

7.2 Equilibrio del resorte

Considerando sólo un tramo del resorte, la carga P aplicada en su extremo se equilibra con una reacción P y un momento torsor M t=P·D /2 situados como se indica en la figura 7.2.

Figura 7.2. Esfuerzos en el alambre.

La mayor tensión se encuentra en el punto más interior del alambre, debido a la dirección de la torsión y de la reacción. La tensión de cortadura que se inducirá en el alambre debido al momento torsor y a la tensión cortante será

τ=τ t+τc=M t

W 0+PS=16 · PD

2π d3

+ 4 Pπ d2

=8PDπ d3 (1+ 0,5C )

Donde C=D /d es el índice de resorte, que en cierto modo indica el grado de curvatura del muelle 4<C<16, y W 0 es el módulo resistente

- 43 -

d

D

p

P

P

M t=P· D2


W 0=I 0y=

π d4

32d2

=π d3

16

También se define el factor de esfuerzo cortante K s

K s=1+0,5C

Hay que notar que aunque el muelle trabaja a compresión, el alambre trabaja a cortante. Debido a la curvatura, el alambre presenta una cierta concentración de tensiones adicional en el lado interior del muelle, que se modeliza mediante la aplicación de la constante de Wahl KW

, o el factor de Bergsträsser K B, que valen

KW=4C−14C−4

+ 0,615C

óKW=4C2+C−1

4C (C−1 )KB=

4C+24C−3

Para 4 ≤C ≤16 la diferencia entre ellas nunca supera el 1,4%, pudiéndose usar una u otra de forma indiferente.

Estos factores son similares al factor de concentración de tensiones K t, y se aplicarán en lugar de K s en el caso de que el resorte trabaje a fatiga.

El factor de concentración de tensiones del muelle podría considerarse como

K t (muelle )=K 0=KB

K sóK W

K s

7.3 Deformación de los resortes helicoidales

La ley de Hooke en torsión es τ=Gγ , donde γ es el deslizamiento transversal, que no corresponde al ángulo girado, sino al arco de desplazamiento para una longitud unitaria.

γ= B̆ B'

L

Figura 7.3. Deslizamiento transversal γ.

- 44 -

τ

τ

τ

τ

1

γB B' B'

Bγ1

LL

τ


Si se desenrolla el alambre de un muelle se obtiene la figura 7.4. La longitud del alambre es L=πD Na, donde D es el diámetro del muelle y Na es el número de espiras activas (espiras que trabajan en el resorte). De la figura 7.4 puede deducirse que

B̆ B'=γL=φ d2⇒φ=

2 τπD Na

Gd

Figura 7.4. Desarrollo del alambre de un resorte.

Recordando el segundo teorema de Castigliano, que dice que la deformación en la dirección de una carga aplicada es la variación de la energía de deformación debida a esa carga

δ i=∂U∂F i

Entonces aplicándolo al muelle, la energía de deformación de torsión es, recordando que T=PD /2 y τ=T /I 0

U t=12Tφ=1

2PD22 πDN a

Gd16 PD2π d3

=4 P2D 3Na

Gd4

La energía de deformación a cortante es, considerando que δ=γL

U c=12Pδ=1

2P τ2L= PL2G

4 Pπ d2

=2 P2πD Na

Gπ d2=2P2DN a

Gd2

Y por lo tanto la energía de deformación total será la suma de ambas

U=4 P2D3N a

Gd4+2 P2D N a

Gd2

La deformación y en la dirección de la carga aplicada, por el teorema de Castigliano mencionado anteriormente, es

y=∂U∂ P

=8 PD3 Na

Gd4+4 PDN a

Gd2=8 P D3Na

Gd4 (1+ 12C2 )

- 45 -

L=πD Na

γ1

φ

B

B'


El índice del muelle C=D /d oscila entre 4 ≤C ≤16, y por lo tanto, incluso en el caso de que C=4 el término 1/(2C2)≪1, y se considera que

y=8 PD3N a

Gd4⇒P= Gd 4

8D3N a

y

De modo que la rigidez del muelle es

k= Gd4

8D3 Na

7.4 Aspectos geométricos

Terminología Simple o Plano Simple Esmerilado (Amolado)

Espiras de extremo 0 1Total de espiras N=N a N=N a+1Longitud libre L0=p Na+d L0= p (Na+1 )

Longitud cerrada Lc=d (Na+1 ) Lc=d (Na+1 )

Espiras de extremo: Posibilidad de que haya una espira cortada en el extremo del muelle, que permite un mayor contacto en las bases. No trabajan, pues siempre están en contacto con la base.

Espiras activas N a: Número de espiras que trabajan en el muelle. Paso p: Distancia en la dirección axial entre dos puntos homólogos. Longitud libre L0: Longitud del muelle sin carga. Longitud cerrada Lc: Longitud del muelle cuanto todas las espigas están en contacto.

En este caso el muelle se comporta como un sólido rígido.

Figura 7.5. Resorte plano (izquierda) y resorte esmerilado (derecha).

7.5 Resistencia a tracción de los aceros comunes para resortes

El límite último a tracción de un alambre se calcula como

Sut=Adm

Algunos valores de A (intercepción) y m (exponente) se muestran en la tabla siguiente.

- 46 -


SI (MPa) Imperial (kpsi)Material ASTM A m A m

Alambre para cuerda musical A228 2060 0,163 186 0,163Alambre revenido en aceite A229 1610 0,193 146 0,193

Alambre estirado duro A227 1510 0,201 137 0,201Al Cromo – Vanadio A232 1790 0,155 173 0,155

Al Cromo – Silicio A401 1960 0,091 218 0,091

En el Sistema Internacional el diámetro del alambre d se introduce en milímetros, en el sistema Imperial se introduce en pulgadas.

El esfuerzo torsional máximo admisible para aplicaciones estáticas vendrá dado por

τ adm={0,45· Sut acerosal carbonoestirados en frío

0,50· Sut {acerostemplados y revenidosaceros debaja aleación0,35· Sut aceroinox austenítico y aleacionesno férreas

7.6 Resorte de tracción de tipo cerrado

La concentración de tensiones en el gancho de los extremos será

K=rmr i

Donde r i y rm son los radios interior y medio de los ganchos respectivamente.

Figura 7.6. Resorte de tracción de tipo cerrado.

Este tipo de resortes tiene una precarga, debida a la torsión producida durante la fabricación para forzar a que sin carga se mantenga el muelle cerrado, que hace que la carga aplicada

- 47 -

rm

r i


deba superar esta precarga para poder abrir el muelle. Al calcular esta precarga no debe aplicarse K s puesto que, mientras no se abra, el resorte sólo trabaja a torsión.

Índice del resorte Intervalo de esfuerzosC MPa kpsi4 115 – 183 16,7 – 26,66 95 – 160 13,8 – 23,28 82 – 122 11,9 – 18,4

10 60 – 106 8,71 – 15,412 48 – 86 6,97 – 12,514 37 – 60 5,37 – 8,7116 25 – 50 3,63 – 7,26

Por convenio, la longitud del cuerpo del resorte es LB=d (Na+1) y la longitud libre es L0=LB+2Di.

7.7 Resortes torsionales

Así como el alambre de un resorte trabajando a tracción o compresión trabaja a torsión, el de un resorte torsional, como el de una pinza, trabaja a flexión.

Figura 7.7. Resorte de torsión. En la figura, la carga F generará un momento M=F·D /2

En un muelle trabajando como se indica en la figura 7.7, el momento flector será constante a lo largo del muelle. La tensión normal máxima en el alambre es

σ=MI· d2En fatiga :σ a=KW ·

M a

I· d2ó σa=K B ·

M a

I· d2

La constante de Wahl KW , o el factor de Bergsträsser K B, no se aplican a la tensión media σ m en fatiga, aunque en la bibliografía (Shigley) sí que aparece así.

La tensión admisible del resorte será

- 48 -

F


σ adm={0,78· Sut aceros al carbonoestirados en frío

0,87· Sut {aceros templados y revenidosacerosdebaja aleación0,61· Sut acero inox austenítico y aleacionesno férreas

Para obtener la rigidez del muelle torsional hay que considerar la figura 7.8.

d φ=1ρd x=M

EId x= 64M

Ed 4πd x⇒∫

0

φ

d φ=∫0

L 64MEd4 π

d x= 64 LE d4π

M⇒φ=64DNE d4

M

Puesto que 1ρ=MEI

I=π d 4

64L=πDN

Figura 7.8. Deformación del alambre de un resorte torsional.

Entonces la rigidez del resorte torsional se define como

M= Ed4

64DNφ

El diámetro interior del muelle, una vez esté cargado, será

Di'= N

N ' Di

Donde N ' es el número de espiras del resorte deformado (si ha girado dos vueltas tendrá dos espiras más). Para no entorpecer el recorrido del muelle, el diámetro de la espiga guía debería situarse aproximadamente entre

0,8Di' ≤De ≤0,9Di

'

- 49 -

ρd φ

d x


8. Engranajes exteriores

8.1 Definición de engranaje

Un conjunto de palancas montadas sobre un eje entran sucesivamente en contacto con las montadas sobre otro eje, formando pares superiores que cumplen la condición de engrane, y de forma que cada pareja de palancas permanezca suficiente tiempo en contacto para que antes de que se suelten haya empezado el contacto entre las dos siguientes. Se llama engranaje al mecanismo formado por los dos conjuntos de palancas, y rueda dentada a la pieza formada por tan sólo uno de los dos conjuntos de palancas.

Figura 8.1. Conjuntos de palancas formando un engranaje.La rueda izquierda es la rueda motriz y la derecha la arrastrada.

Un par cinemático superior es una fuerza de contacto que está aplicada de forma lineal o puntual, lo que resulta menos restrictivo que el par inferior, que es un par cinemático que está aplicado sobre una superficie.

Figura 8.2. Contacto de par superior en la línea de contacto (línea discontinua).

La condición de engrane implica que la relación de transmisión sea constante. La relación de transmisión es la relación entre las velocidades angulares de salida y de entrada

μ=ω2

ω1=cte

Esta relación debe mantenerse constante, no sólo de forma global (debido al número de dientes), sino también durante todo el contacto entre dos palancas (debido a la forma de las

- 50 -

ω1M 1

M 2

ω2


palancas). Evidentemente, para que esto suceda, antes de que se separen las palas en contacto en un momento dado, debe producirse el contacto entre las dos palancas siguientes.

8.2 Centro instantáneo de rotación (CIR)

Estudiando el engranaje como un mecanismo 2D sin espesor, el CIR estará situado en la línea de centros de ambas ruedas dentadas, y también en la línea de presión (dirección de la fuerza) en el punto de contacto (figura 3).

Figura 8.3. Posición del CIR, que varía con movimiento del engranaje.

Entonces se tiene que

ω1 I 10 I 21=ω2 I20 I21⇒ μ=ω2

ω1=

I 10 I 21I 20 I 21

=cte

8.3 Axoides

Situando un observador en la pieza 1, la pieza 2 avanzará a medida que gire sobre ésta. El lugar geométrico de centros instantáneos de rotación relativos referente a la pieza 1 es la trayectoria polar del CIR. Para que se cumpla la relación de transmisión durante todo el contacto la polar deberá ser una circunferencia.

En realidad, al tener las ruedas dentadas un grosor, habrá una línea de contacto en lugar de un punto de contacto, un eje instantáneo de rotación relativo, y la trayectoria polar se llama axoide, que será un cilindro. Los axoides de las dos ruedas dentadas de un engranaje ruedan entre ellos sin deslizar.

8.4 Perfiles conjugados

Los perfiles de los dientes que permiten cumplir la condición de relación de transmisión constante se les llama perfiles conjugados. Su fabricación se realiza mediante una herramienta cortante, con un perfil concreto, situada en un disco, que gira sin deslizar sobre el disco en el cual se quiere mecanizar el perfil, que será el conjugado del perfil de la herramienta cortante.

- 51 -

I 10I 20

CIR : I 21

Pieza1Pieza2


8.5 Perfil de evolvente de círculo

El perfil más utilizado es el de evolvente de círculo, que es su propio conjugado. Su fabricación es como la de todos los demás perfiles, pero en este caso el perfil de la herramienta es también el de evolvente de círculo. La forma de este perfil la da la trayectoria seguida por el extremo de un hilo enrollado sobre un cilindro base al desenrollarlo (figura 8.4).

Figura 8.4. Generación de la curva evolvente de círculo.

8.6 Engrane de los perfiles de evolvente de círculo

Supóngase por un momento el engranaje teórico de la figura 8.5 formado por ruedas de un diente con perfil de evolvente de círculo.

Figura 8.5.

En un instante de tiempo concreto (perfiles de línea continua) el contacto entre ambas ruedas se produce en un punto concreto. Un instante de tiempo posterior los perfiles se han desplazado (líneas discontinuas) y el contacto se produce en un punto diferente. Sin embargo, la línea de presión en ambos casos, y en todo momento, resulta ser la misma, y es el hilo generador de la evolvente de círculo (perpendicular a las curvas evolventes).

- 52 -


Esto implica que el CIR se encuentra también siempre en el mismo punto, y por lo tanto se cumple la condición

μ=ω2

ω1=I 10 I 21I 20 I 21

=cte

8.7 Propiedades del engrane de perfiles de evolvente de círculo

Se llama línea de engrane el lugar geométrico de puntos de contacto dibujados sobre la base. En general es una línea curva, y dada la condición de engrane, el punto I 21 estará en el punto de corte con la línea de centros, y la línea de presión en cada punto de contacto (a lo largo del tiempo) deberá pasar por este punto para que se cumpla esta condición de engrane. El ángulo de presión α v es el que forma la línea de presión en cada punto de contacto con la tangente a ambos axoides.

El perfil de evolvente de círculo otorga unas características al engrane que no posee ningún otro perfil.

La línea de engrane es la recta tangente a los dos cilindros base. La línea de presión coincide con la línea de engrane. El ángulo de presión α v es constante. El engrane se produce correctamente aunque varíe la distancia entre ejes. La relación de transmisión μ es constante e igual al cociente R1B /R2B (figura 8.6).

Figura 8.6.

Efectivamente, la relación de transmisión puede calcularse como

μ=ω2

ω1=I 10 I 21I 20 I 21

=R1

'

R2' =

R1Bcosα v

R2Bcosα v=R1BR2B

Puesto que, como ya se ha dicho, el ángulo de presión α es constante.

Que el ángulo de presión sea constante también implica que la componente radial de la fuerza de empuje en el contacto, que se contrarresta con reacciones en los ejes de las ruedas

- 53 -

I 10I 20

α v

α v

α v

R1'

R1BR2BR2

'


dentadas, también es constante, lo que elimina las vibraciones y los problemas de fatiga en los ejes. La componente tangencial de la fuerza de contacto será responsable del movimiento giratorio.

Aunque no es habitual variar la distancia entre ejes, la posibilidad de que varíe esta distancia permite un montaje más sencillo, pues otros perfiles necesitan mantener esta distancia con gran precisión.

8.8 Geometría del diente de evolvente

Figura 8.7.

XT=RB tanφ B̆T=RB (φ+θ )

Pero el arco B̆T es igual a la recta XT (desarrollo del hilo) y por lo tanto se puede escribirθ=tanφ−φ=ev φ, donde ev φ=tanφ−φ es la función evolvente de φ.

8.9 Relación entre espesores del diente a distintas alturas del mismo

ex

2=R x β x⇒ β x=

ex2 R x

e y

2=R y β y⇒ β y=

e y

2R y}⇒ ev α y−ev α x=βx−β y=

ex

2 Rx−

e y

2R y⇒

e y=2 Ry ·( ex

2R x+ev α x−ev α y )

- 54 -

φθ T

X

B

RB

r X


Figura 8.8. Cálculo del espesor del diente a una altura determinada.

Esta expresión permite evaluar el espesor del diente (que es un arco, no una línea recta) a cualquier altura, una vez se conozca el espesor a una altura conocida.

8.10 Paso

El paso se define como la distancia, medida como longitud de arco de circunferencia, entre dos puntos homólogos de la rueda dentada. Existen diferentes pasos en función de la altura (distancia al centro de la rueda), por ejemplo el paso base pB medido sobre la circunferencia base, el paso medido en el axoide p' y el paso de cabeza pC medido sobre la circunferencia de cabeza (figura 8.9).

Figura 8.9. Diferentes pasos de una misma rueda dentada.

8.11 Cremallera de evolvente

La cremallera de evolvente puede definirse como una rueda dentada de paso p definido y de radio y número de dientes que tienden a infinito. La curvatura del diente pasa a ser nula y por lo tanto los dientes son rectilíneos (figura 8.10), hecho que permite definir un paso único para la cremallera.

- 55 -

pC

pBp'

α x

ev α yα y

β y

βx

ev α x

y

x


Figura 8.10. A diferencia de las ruedas dentadas, en la cremalleraúnicamente se puede definir un paso p

8.12 Tallado por generación

Consiste en utilizar una cremallera-herramienta que corte piezas circulares para generar sus dientes. También se utiliza un piñón-cortador, especialmente en el caso de coronas dentadas interiores, que no se pueden generar mediante una cremallera, o una fresa-cortadora. Las ventajas de la cremallera frente a otros sistemas son

El paso p de la cremallera no depende de la altura (no depende de si se toma en la base, en el axoide o en la cabeza). Este paso está normalizado.

El ángulo de presión α viene definido por la cremallera herramienta, pues los dientes de la cremallera son rectilíneos. Este ángulo de presión también es objeto de normalización.

8.13 Datos de generación

Los datos de generación son los que hay que proporcionar a un fabricante para que pueda realizar la rueda dentada deseada.

La línea media de una cremallera es la línea en la que el hueco entre dientes h mide lo mismo que el espesor del diente e, que es, evidentemente, la mitad del paso. En el Sistema Internacional en lugar del paso p se utiliza el módulo m=p /π .

A partir de la línea media está definida la altura de pie a p0, donde termina el perfil de evolvente, y la altura de cabeza ac0. Además, las herramientas tienen un suplemento de cabeza f que genera una profundidad mayor en la rueda dentada (juego de fondo j , que también lo tiene la herramienta) para que, una vez se produzca el engrane, las cabezas de los dientes nunca entren en contacto con el fondo. Por lo general en las figuras de este documento no aparece ni f (que sólo se usa en el caso de las herramientas) ni j (en las herramientas o las ruedas dentadas).

Figura 8.11. Línea media (LM ) y dimensiones en la cremallera.

El ángulo de presión α en la cremallera es el ángulo formado por el diente con la vertical. Existen además dos tipos de dentadura, la normal y la rebajada.

Dentadura normal Dentadura rebajada

- 56 -

f

j a p0

ac0 LM


Ángulo de presión α 20 ° 20 °Paso p mπ mπ

Altura de cabeza ac0 m 0,75 ·mAltura de pie a p0 m 0,75 ·m

Suplemento de cabeza f 0,25 ·m 0,25 ·mJuego de fondo j 0,25 ·m 0,25 ·m

En un engranaje de dentadura rebajada el contacto entre dientes será más corto que en uno de dentadura normal, pero éstos son dientes más robustos.

8.14 Radio del axoide de generación o cilindro primitivo

Es el axoide de la rueda dentada durante la generación, es único y está determinado por el ángulo de presión de la rueda dentada (que si está normalizado será α=20 °). El axoide de generación, de radio R, es tangente al plano axoide de la cremallera-herramienta. Al haber rodadura pura entre los axoides, el paso de la rueda dentada que se está generando en el axoide de generación es el mismo que el paso de la cremallera p.

Si el número de dientes de la rueda es z entonces

pz=2πR⇒R=12pπz=12mz

Figura 8.12. Axoide de generación, de radio R.

8.15 Tallado de ruedas dentadas con y sin deslizamiento

El desplazamiento v es la distancia que separa el axoide de la cremallera-herramienta de su línea media durante la generación. Es positivo cuando la línea media se aleja del cilindro primitivo. Por lo general se utiliza el coeficiente de desplazamiento x=v /m que da una información adimensionalizada del desplazamiento.

- 57 -

αIPlanoaxioide

LM

Axoidede generaciónCilindro base

v>0


.

Figura 8.13. Desplazamientos de generación v.

8.16 Espesor del diente en la circunferencia primitiva

El punto Q1 de la cremallera pasará en un instante posterior por el centro instantáneo de rotación I , y coincidirá con el punto Q2 de la rueda dentada (figura 8.14). Por lo tanto el arco ˘I Q1, que es el espesor e en el axoide de la rueda dentada, cumplirá que

e= ˘I Q1=I Q2=p2+2 v tan α

Utilizando los parámetros normalizados p=mπ y v=xm la expresión anterior pasa a ser

e=m( π2 +2 x tan α)

Figura 8.14. Espesor del diente en la circunferencia primitiva.

- 58 -

LMPlanoaxioide

LM=Planoaxioidev=0

PlanoaxioideLM

v<0

α

v

LM

nn'

PQ2

Q1

I


Suponiendo una rueda dentada con cabeza de punta, para la altura Rap (radio de apuntamiento, figura 8.15) el espesor ea=0 de modo que la expresión de espesor vista en el apartado anterior pasa a ser

e y=2 Ry ( 02Rap

+evα L−ev α y )⇒ er=2 r ¿

Donde α L es el ángulo de apuntamiento. Utilizando estas dos ecuaciones particularizando para r=R se puede hacer que

m( π2 +2 x tan α)=2 R (ev α L−ev α )

Donde R=mz /2 es el radio del círculo primitivo y z es el número de dientes. Por lo tanto

ev α L=π2 z

+ 2 xztan α+ev α

Finalmente se puede sustituir y se obtiene

er=2r ( π2 z

+ 2 xztan α+ev α−ev αr)

Que nos da el espesor a cualquier radio en función de parámetros intrínsecos y de generación.

Figura 8.15. Diente con cabeza de punta.

8.17 Parámetros intrínsecos

Son parámetros propios de la rueda dentada que son invariables, es decir, una vez generada la rueda, independientemente de su posición, se mantienen constantes. Algunos de estos parámetros son el radio de cabeza Rc, el radio de fondo R f , el radio del círculo base RB, el paso en el círculo base pB, el espesor del diente en el círculo base eB y el radio límite de evolvente Rev.

- 59 -

Rap

RBα L


Figura 8.16. Algunos parámetros intrínsecos de una rueda dentada.

RB=R cosα=mz2cosα

2π RB=pB z2πR=pz }⇒ RB

R=cosα=

pB

p⇒ pB=pcos α

eB=2RB( e2R

+evα−ev αB)=2R cos α( p2 +2v tan α

2R+ev α)

eB=cosα ( p2 +2v tan α+2 Rev α )Puesto que ev αB=0 (figura 8.8). También se tiene que

eB=2RB (ev αL−ev αB )=2RBev α L=2RB( π2 z

+2 xztan α+ev α)

Además los radios de fondo R f y de cabeza Rc pueden definirse como

R f=R+v−ac 0−f Rc≤ap0+R+v

Más adelante se expondrá un pequeño ajuste para el radio de cabeza (ver el apartado 8.21 Corrección de radio de cabeza).

El límite de evolvente es el punto donde comienza el perfil de evolvente del diente. La circunferencia que pasa por los puntos límite tiene como radio el límite de evolvente Rev.

- 60 -

p

pB

RB

R

α

T

I

eB


Figura 8.17. Cálculo del radio límite de evolvente Rev .

De la figura 8.17 se deduce que

Rev=√RB2+TP2

Pero contando con que RB=R cosα y

TP=TI−PI=R sin α−ac0−vsinα

Entonces

Rev=√R2cos2α+(R sin α−ac 0−vsin α )

2

Todos los parámetros intrínsecos dependen exclusivamente de parámetros de generación.

- 61 -

α

ac0

LMvαI

T P

RB

RevR


8.18 Cuerda sobre k dientes

La cuerda sobre k dientes se define como el arco entre un flanco de un primer diente y el flanco contrario del diente k -ésimo y se puede medir como indica la figura 8.18, recordando la definición de la curva evolvente.

Figura 8.18. Medida de la cuerda sobre k dientes.

Puede deducirse de la figura que W K=(k−1 ) pB+eB. Escribiendo esta expresión en términos de parámetros de generación se tiene

W K=mcos α(kπ− π2+2 x tan α+z ev α)

Esta medida puede aplicarse en un proceso de control de calidad. También puede obtenerse pB y eB a partir de dos medidas entre k y entre k−1 dientes.

pB=W k−W k−1

eB=W k− (k−1 ) pB

eB=2RB( π2 z

+ 2xztan α+ev α)⇒ x=( eB

2RB− π2 z

−ev α) z2 tan α

v=( eB2cosα

− p4−Rev α) 1

tan α

2π RB=pB z⇒RB=pB z2π

8.19 Parámetros de funcionamiento

Los parámetros de funcionamiento dependen del engrane entre dos ruedas dentadas. Algunos de ellos son la distancia entre ejes Δv, el radio del axoide R', etc. Imponiendo una distancia Δv entre los ejes de dos ruedas dentadas quedará definida la línea de presión, y con ella los axoides y el ángulo de presión de funcionamiento α v. De la figura 8.6 puede deducirse que

- 62 -

pBpB pB eB

W K


Δv=R1' +R2

' =RB1

cos α v+

RB 2

cosα v=RB1+RB2

cos α v

Pero el radio base es un parámetro intrínseco que se puede expresar en función del ángulo de presión de generación α y el radio del cilindro primitivo R=mz /2 como RB=R cosα , entonces

Δv=(R1+R2 )cosαcosα v

Mediante esta expresión, conocida la distancia entre ejes se puede obtener el ángulo de presión de funcionamiento o al revés.

El radio del axoide y el paso en el axoide de funcionamiento se puede obtener como

R'=RB

cosα v=R cosαcosα v

p '=pB

cosα v= pcosαcosα v

Donde se ha tenido en cuenta que

p'=2π R'

zpB=

2 π RB

z

El espesor del diente en el axoide de funcionamiento es

e '=2R '( π2 z

+ 2xztan α+ev α−ev α v)=m cosα

cos α v( π2 +2x tan α+ z· ev α−z· evα v )

Las alturas de cabeza ac y de fondo a f son

ac=Rc−R' ¿ af=R'−R f

8.20 Condición de engrane sin holgura

Para evitar que se produzca un golpe al cambiar el sentido de giro se necesita que el engrane entre dos ruedas dentadas se produzca sin holgura entre las caras inversas de los dientes.

- 63 -

ω2


Figura 8.19. Engrane sin holgura.

Los perfiles directos irán contactando a lo largo de la línea de presión directa n, y los inversos lo harán a lo largo de la línea de presión inversa n' . Cuando el contacto inverso Q se produzca en el punto I los puntos que estarán en contacto serán M 1 y M 2. Para que el engrane se produzca sin holgura estos puntos deberán coincidir con el punto I al mismo tiempo, y por lo tanto el arco a lo largo del axoide deberá ser también el mismo, es decir ˘I M 1= ˘I M 2. Además

se ha de cumplir la relación entre huecos h' , espesores e ' y el paso p' en el axoide

h2' =e1

' p'=e1' +h1

' =e2' +h2

' =e2' +e1

'

Aplicando las relaciones encontradas anteriormente para el axoide de funcionamiento se tiene

p'=mπ cos αcosα v

=m cosαcos α v

( π2 +2 x1 tan α+z1 ev α− z1ev α v)+mcos αcos αv

( π2 +2 x2 tan α+z2ev α−z2 ev α v)De donde finalmente se puede obtener la condición de engrane sin holgura

ev α v=evα+2 (x1+x2)z1+z2

tan α

O equivalentemente, sabiendo que x=v /m y R=mz /2

ev α v=evα+v1+v2R1+R2

tanα

Y como se ha señalado anteriormente, a partir de α v puede obtenerse la distancia entre ejes Δv que se necesita para engranar sin holgura.

8.21 Corrección del radio de cabeza

Al tallar una rueda dentada con desplazamiento se prevé un juego de fondo normalizado entre la misma y la cremallera herramienta. Éste desaparece al hacer engranar esta rueda con otra

- 64 -

e2'

h2'

ω1

M 1

M 2

n n'

IM 2

M 1

Q


de forma que no haya holgura, puesto que para ello es necesario acercar los ejes de ambas ruedas dentadas una distancia km, que es la cantidad de juego de fondo perdida.

Si inicialmente las ruedas trabajasen de forma que se mantuviese el juego de fondo previsto, la distancia entre ejes sería (todas las expresiones son igualmente válidas)

Δc=R1+R2+v1+v2=(R1+R2 )(1+2 · x1+ x2z1+ z2 )=(R1+R2 )(1+ 2m ·

v1+v2z1+z2 )

Y si finalmente el engranaje trabaja a una distancia entre ejes Δv, entonces km=Δc−Δv

De este modo, el radio de cabeza corregido quedará

Rc ≤R+v+ap0−km

Nótese que si se produce engrane a cero no hay que desplazar los ejes para obtener engrane sin holgura, y por lo tanto km=0 (ver el apartado 8.25 Engrane a cero).

8.22 Grado de recubrimiento o coeficiente de engrane

Es un coeficiente según el cual se puede saber si una pareja de dientes se sueltan antes de que los siguientes entren en contacto. Se llama arco de conducción sobre el cilindro base a la distancia que recorre el punto base de la evolvente desde que se inicia el engrane (punto A2) hasta que termina (punto A1). En un engranaje has dos arcos de conducción (uno de cada

rueda dentada, ˘B1B1' y ˘B2B2

' ) y ambos son iguales al segmento A2 A1 (propiedad de la curva

evolvente de círculo).

Figura 8.20. Puntos de inicio y fin de contacto.

Entonces

A2 A1=A1 I 21+ I 21 A2=RB1 ( tanα c1−tan α v )+RB2 ( tan α c2− tan α v )=CB

El coeficiente de engrane se define entonces como ε=CB/ pB, o equivalentemente

- 65 -

α c 2

α v

α v

α c 1

T 1

T 2

I A1A2

B1 B1'

Rc 1

Rc 2


ε=z1 ( tan αc 1−tan αv )+z2 (tan α c 2−tanα v )

2π

Para que se produzca el contacto de la siguiente pareja antes de que se suelte la anterior, y por lo tanto para que se cumpla esta condición de engrane, el grado de recubrimiento deberá ser ε>1. Por lo general se recomienda un valor ε ≈1,2.

8.23 Dientes penetrados

Cuando en una rueda dentada interesa que haya pocos dientes (menos de 12), el paso deberá ser muy grande y la altura de diente será también muy elevada. Esta situación puede provocar que la base del diente se estropee, es decir, deja de ser una evolvente de círculo. Esto se produce cuando la cabeza de la cremallera-herramienta se sitúa por debajo del punto de tangencia de la línea de presión. Por este motivo, este problema puede evitarse tallando con un desplazamiento suficiente para que la cabeza quede por encima de este punto.

Figura 8.21. La línea discontinua ilustra el instante posterioren que la cremallera estropea el diente de evolvente.

8.24 Tallado con desplazamiento para evitar la obtención de dientes penetrados

Este desplazamiento mínimo para evitar la penetración de dientes, como se puede comprobar en la figura 8.22, valdrá

vmin=RB cosα+ac 0−R=ac0−R sin2α=ac 0−12mz sin2α

En el caso particular de que vmin=0 entonces el número límite de dientes z l es

z l=2ac 0

msin 2α

- 66 -

T


Figura 8.22. Desplazamiento necesario para evitar la penetración de dientes (izquierda).Caso particular en que este desplazamiento es v=0 (derecha).

Considerando una rueda de dentadura normal (ac0=m) con α=20 ° entonces z l=17,098 y por lo tanto el mínimo de dientes necesarios para que no se produzca penetración de dientes en una rueda de dentadura normal tallada sin desplazamiento es z l=17 (la pequeña penetración que se produce es despreciable). Si se trata de dentadura rebajada entonces ac0=0,75m y z l=12,8229 y por lo tanto se considera z l=13.

Debe considerarse que para los cálculos de ruedas deben utilizarse los valores fraccionarios de z l, y no los enteros.

También se admite, en algunos casos, utilizar un límite práctico z lp=zl ·5/6, puesto que la pequeña parte en que se estropea el diente no trabajará durante el engrane, siempre que éste se produzca entre dos ruedas, y no entre rueda y cremallera.

Considerando el coeficiente de desplazamiento x=v /m entonces la expresión para el desplazamiento mínimo se puede reescribir como

xmin=ac 0

m (1− zzl )

8.25 Engrane a cero

Para que haya engrane a cero el ángulo de presión de funcionamiento α v debe ser igual al ángulo de presión de generación α . Si esto se produce, recordando la condición de engrane sin holgura

ev α v=evα+2 (x1+x2)z1+z2

tan α

Entonces se obtiene que x1+ x2=0, y por lo tanto el desplazamiento con el que se talla una rueda debe ser igual y de sentido contrario al de la otra rueda, es decir x2=−x1.

La corrección de juego de cabeza km=0 en el caso de engrane a cero.

- 67 -

α

α

vLM

ac0

RB

RT

I

αRB

R

T

I

α


8.26 Radio de apuntamiento

El radio de apuntamiento es (ver apartado 8.16 Espesor del diente en la circunferencia primitiva y la figura 8.15)

Rap=RB

cos αL

Donde el ángulo límite de apuntamiento α L se encontraba como

ev α L=π2 z

+ 2 xztan α+ev α

El radio de cabeza es Rc ≤R+v+ap0−km donde la corrección del de juego de cabeza es km=Δc−Δv. Suponiendo que se utiliza Rc=R+v+a p0−km, si el desplazamiento v es muy grande, este radio puede ser Rc>Rap, y por lo tanto el diente puede ser menor de lo esperado inicialmente, pues se le forma la punta. Aunque tener un diente más pequeño no siempre supone un problema, hay que vigilar que el grado de recubrimiento ε siga siendo mayor que uno.

- 68 -

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0. Índice · Web viewDe este modo basta con conocer 2 de las 4 componentes originales, pues una quedará determinada por la condición de equilibrio, y otra por el círculo de Mohr