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Curso de Modelos EstocásticosEduardo Salgado (c)
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Modelos EstocásticosModelos Estocásticos
Distribuciones de Distribuciones de Probabilidad y Densidades Probabilidad y Densidades
de Probabilidadde Probabilidad
SESIÓN 03SESIÓN 03
Variable Aleatoria 1Variable Aleatoria 1• Definición 3.1: Si es un espacio de muestra
con una medida de probabilidad y x es una función con valor real definida con respecto a los elementos de , entonces x se denomina variable aleatoria: x:
• Definición 3.2: Si x es una variable aleatoria discreta, la función dada por f(x) = P(x = x) para cada x contenida en el intervalo de x se denomina función de probabilidad, o distribución de probabilidad, de x
Variable Aleatoria 2Variable Aleatoria 2• Teorema 3.1: y son - Álgebra
x es una función medible en , ssi B , tenemos que:
x-1 (B) x-1 (B) = { : x() B}
Variable Aleatoria 3Variable Aleatoria 3• Teorema 3.1: Una función puede fungir como la
distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta x sí y solo si sus valores, f(x), cumplen las condiciones
1. f(x) 0 para cada valor contenido en su dominio;
2. x f(x) = 1, donde la sumatoria se extiende sobre todos los valores contenidos en su dominio
Variable Aleatoria 4Variable Aleatoria 4• Definición 3.3: Si x es una variable aleatoria
discreta, la función dada por
F (x) = P(x x) = t<x f(x) = 1,
para - < x < donde f(t) es el valor de la distribución de
probabilidad de x en t, recibe el nombre de función de distribución, o distribución acumulativa de x
Variable Aleatoria 5Variable Aleatoria 5• Teorema 3.2: Los valores, F(x), de la función de
distribución de una variable aleatoria discreta x cumplen las condiciones
1. F(-) = 0;
2. F() = 1;
3. Si a < b, entonces F(a) F(b) para dos números reales culaesquiera a y b
• Teorema 3.3: Si el intervalo d una variable aleatoria x consta de los valores x1 < x2 x3 < .. < xn, entonces f(x1) = F (x1) y
f (xi) = F(xi) – F(xi-1), para i = 2, 3, …, n
Función de Densidad 1Función de Densidad 1• Definición 3.4: Una función con valores f(x), definida
con respecto al conjunto d todos los números reales, se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua x si y solo si
para cualquier constante real a y b con a b• Teorema 3.4: Si x es una variable aleatoria continua, y
a y b son dos constantes reales con a b, entonces
P(a x b) = P(a x < b) = P(a < x b) = P(a < x < b)
b
a
dxxfbaP )()( x
Función de Densidad 2Función de Densidad 2
• Teorema 3.5: Una función puede fungir como función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua x si sus valores, f(x), satisfacen las condiciones
1. f(x) 0, para - < x < 2.
1)( dxxf
La integral definida de la función
de densidad coincide con la
probabilidad de los mismos: la
probabilidad de un intervalo es el
área bajo la función de densidad.
Función de Densidad 3Función de Densidad 3• Definición 3.5: Si x es una variable aleatoria
continua, la función dada por
para - < x < donde f(t) es le valor de la función de densidad de probabilidad de x en t, se denomina función de distribución, o distribución acumulativa, de x
Fx (t) = P{: x() t}, t
x
dttfxPxF )()()( x
Función de Densidad 4Función de Densidad 4
• Teorema 3.6: Si f(x) y F(x) son, respectivamente, valores de la densidad de probabilidad y la función de distribución de x en x, entonces:
1. 0 F(t) 1, t 2. P(a x b) = F(b) – F(a)
3. Si a < b F(a) F(b)
4.
para dos constantes reales cualesquiera a y b con a b y donde existe la derivada
dx
xdFxf
)()(
1)(y 0)(
bFlímaFlímaa
Distribuciones Multivariadas 1Distribuciones Multivariadas 1
• Definición 3.6: Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por
f (x,y) = P(x = x, y = y) para cada pareja de valores (x,y) contenida en el rango de x y y se denomina función de probabilidad conjunta, o distribución de probabilidad conjunta, de x y y
Distribuciones Multivariadas 2Distribuciones Multivariadas 2
• Teorema 3.7: Una función bivariada puede fungir como la distribución de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias discretas x y y si y solo si sus valores, f(x,y), cumplen las condiciones:
1. f(x,y) 0 para cada pareja de valores (x,y) contenida en su dominio
2. xy f(x,y) = 1, donde la sumatoria doble se extiende sobre tods las posibles parejas de valores (x,y) contenidas en su dominio
Distribuciones Multivariadas 3Distribuciones Multivariadas 3
• Definición 3.7: Si x y y son variables aleatorias discretas, la función dada por
F(x,y) = P(x x,y y) = sxty f(s,t)
para - < x < ; - < y < donde f(s,t) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se denomina función de distribución conjunta, o distribución acumulativa conjunta, de x y y
Distribuciones Multivariadas 4Distribuciones Multivariadas 4
• Definición 3.8: Una función bivariada con valores f(x,y), definida sobre el plano xy, recibe el nombre de función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias continuas x y y si solo si
P[(x,y)] A = Af(x,y)dxdy
para una región A cualquiera del plano xy
Distribuciones Multivariadas 5Distribuciones Multivariadas 5
• Teorema 3.8: Una función bivariada puede servir como función de densidad de probabilidad conjunta de una pareja de variables aleatorias continuas x y y si sus valores, f(x,y), satisfacen las condiciones
1. f(x,y) 0, para - < x < , - < y < ;2. f(x,y)dxdy = 1
Distribuciones Multivariadas 6Distribuciones Multivariadas 6
• Teorema 3.8: Decimos que una función de distribución es continua si f(x,y) t.q. f(x,y) 0, y
Entonces se puede obtener la función de densidad a partir de la distribución
y x
dsdttsfyxF ),(),(
yx
yxFyxf
),(
),(2
Distribuciones Multivariadas 7Distribuciones Multivariadas 7
• Definición 3.9: Si x y y son variables aleatorias continuas, la función dada por
para - < x < , - < y < ;donde f(s,t) es el valor de la densidad de probabilidad conjunta de x y y en (s,t), se llama función de distribución conjunta de x y y
y x
dsdttsfyxPyxF ),(),(),( yx
Distribuciones Marginales 1Distribuciones Marginales 1• Definición 3.10: Si x y y son variables aleatorias
discretas y f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por
g(x) = yf(x,y)para cada x contenida en el intervalo de x, se denomina distribución marginal de x. En forma respectiva, la función dada por
h(y) = xf(x,y)para cada y contenida en el intervalo de y, recibe el nombre de distribución marginal de y
Distribuciones Marginales 2Distribuciones Marginales 2
• Definición 3.11: Si x y y son variables aleatorias continuas y f(x,y) es el valor de su densidad de probabilidad conjunta en (x,y), la función dada por
para - < x < ,
se denomina densidad marginal de x. En forma respectiva, la función dada por
para - < x < ,
recibe el nombre de densidad marginal de y
dyyxfxg ),()(
dxyxfyh ),()(
Distribuciones Marginales 3Distribuciones Marginales 3
• Definición 3.12: Si f(x,y) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de distribución marginal de y en y, la función dada por
h(y) 0
para cada x contenida en el rango de x, se denomina distribución condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la distribución marginal de x en x, la función dada por
g(x) 0
para cada y contenida en el rango de y, se denomina distribución condicional de y dada x = x.
)(
),()(
yh
yxfyxf
)(
),()(
xg
yxfxyw
Distribuciones Marginales 4Distribuciones Marginales 4
• Definición 3.13: Si f(x,y) es el valor de la densidad conjunta de las variables aleatorias discretas x y y en (x,y) y h(y) es el valor de la densidad marginal de y en y, la función dada por
h(y) 0
para - < x < , se denomina densidad condicional de x dada y = y. En forma respectiva, si g(x) es el valor de la densidad marginal de x en x, la función dada por
g(x) 0
para - < x < , se denomina distribución condicional de y dada x = x.
)(
),()(
yh
yxfyxf
)(
),()(
xg
yxfxyw
Distribuciones Marginales 5Distribuciones Marginales 5
• Definición 3.14: Si f(x1, x2,…xn) es el valor de la distribución de probabilidad conjunta de las n variables aleatorias discretas x1, x2, …xn en (x1,x2,..xn) y fi(xi) es el valor de la distribución marginal de xi para i = 1,2,…n, estas variables aleatorias sonindependientes si y solo si
f(x1, x2,…xn) = f1(x1)* f2(x2)* … fn(xn)
para todos los valores (x1, x2,…xn) contenidos en su rango