0. REPASO DE NÚMEROS · 2018-08-16 · si c es un entero, c ≥ 0 entonces a.c ≤ b.c si c es un entero, c ≤ 0 entonces a.c ≥ b.c 0.7 EJERCICIO a) Escriba en el lenguaje cotidiano

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 1CAP. 0

0. REPASO DE NÚMEROS El objetivo de este capítulo es recordar algunos conceptos básicos de los números naturales, enteros, racionales y reales, que se consideran imprescindibles para seguir adelante.

Para la mayoría de los alumnos es necesario profundizar en estos temas, por eso se les recomienda que lo hagan. Algunas de estas cosas se les olvidaron y son importantes recordarlas para ponerse en marcha en las materias de Matemática. Lean el apunte muy atentamente. Consulten a los docentes. Hagan los ejercicios!!! Además puede usar los libros que han usado en la escuela.

NÚMEROS NATURALES

Consideremos como dados los números naturales 0,1,2, 3,....... , al conjunto de todos ellos lo

designaremos por N

También consideramos como definidas las operaciones fundamentales de suma y producto. Recordemos algunas propiedades importantes de estas operaciones: 1) l a suma de dos números naturales es un número natural También podemos formularla como sigue: si a y b son números naturales entonces a+ b es un número natural. Esta propiedad se llama ley de cierre para la suma de números naturales. 2) El 0 es tal que sumado con cualquier otro número no lo modifica.

Esto lo podemos expresar:

El 0 es un número natural tal que si a es un número natural cualquiera entonces a+0 =a

Por eso al 0 se le dice neutro de la suma.

3) Si se consideran tres números naturales, la suma de los dos primeros más el tercero resulta

igual a que si al primero se suma la suma de los otros dos.

Se puede formular:

Si a, b y c son naturales cualesquiera entonces (a+ b)+c = a+ (b+ c)

A esta propiedad se le da el nombre de asociativa para la suma.

1


4) La suma de números naturales es conmutativa.

Es decir:

si a y b son números naturales cualesquiera entonces a+ b = b+ a

0.1. EJERCICIO

Verificar las propiedades 1), 2), 3) y 4) para a, b, c de su agrado. 0. 2. EJERCICIO

a) Enuncie la propiedad similar a la 1) para el producto de los números naturales. Sol: El producto de dos números naturales es un número natural. b) Hay elemento neutro para el producto de números naturales? Cuál es? Ejemplifique. c) Formule la propiedad asociativa del producto de números naturales. d) Es cierto que el orden de los factores no altera el producto? Cómo se llama esa propiedad?

0.3 EJERCICIO Verifique las propiedades del producto para a, b y c a su elección

. Otra propiedad que debemos recordar es la distributiva del producto en la suma de números naturales, es decir:

Si a, b, c son números naturales cualesquiera entonces a.(b+ c)= a.b + a.c

0.4 EJERCICIO Verifique la propiedad distributiva del producto en la suma de números naturales para a=3, b=4, c=1.

OBSERVACION: Si a, b, c son números naturales y a = b entonces a + c = b + c .

ORDEN USUAL (o natural) en N:

Dados dos números naturales a y b puede suceder que: a ≤ b (a menor o igual que b), lo que significa que a “aparece” antes que b en la sucesión de todos

los números naturales, o es igual. En caso contrario b < a.

De ejemplos de números naturales ≤ 5 ;

2

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 3CAP. 0 hallar al menos cuatro números naturales ≤ 881; Cuántos números naturales son ≤ 10; y cuántos > 10, los puede dar a todos?........

Recordemos que: si a, b son números naturales y a ≤ b entonces existe un número natural c, llamado resta o

diferencia de b y a, que se anota c = b - a el cual verifica b = a + c

NUMEROS ENTEROS Hemos definido la resta o diferencia de números naturales como operación inversa a la suma, Calcular 7 - 3 es hallar el número que restado con 3 de como resultado 7. Entonces 7-3=4 puesto que 3+4=7. En cambio la diferencia 3 - 7 no puede efectivizarse en N pues no hay ningún número natural que

sumado con 7 de cómo resultado 3. Luego la operación de resta no es siempre posible en el conjunto N.

Esta dificultad conduce a ampliar el conjunto N ={1,2.3......} para que la resta sea siempre posible.

Para ello se introduce para cada natural a, el negativo -a, llamado opuesto de a, ampliando a la vez la definición de suma mediante convención:

Propiedad del número opuesto: (-a)+ a = a +(-a) =0 para todo natural a.

Por ejemplo -3 es, por definición, el número que sumado a 3 da 0. El –0 = 0, pues 0 + 0 = 0

A los números naturales y a sus opuestos se los llama NUMEROS ENTEROS, ellos son ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

Al conjunto de todos ellos se lo designa por Z.

Se consideran en Z definidas las operaciones de suma y producto. Además que ellas verifican las

propiedades que cumplen dentro de N.

ORDEN USUAL (o natural) en Z:

Dados dos números enteros a y b puede suceder que: a ≤ b (a menor o igual que b), lo que significa que a “aparece” antes que b en la sucesión de todos

los números enteros, o es igual. En caso contrario b < a. Resulta así que los números negativos son menores que 0 en el orden usual de los números enteros, a

los naturales también se los llama enteros positivos siendo mayores o iguales que 0.

3


De ejemplos de números enteros ≤ 5 ; hallar al menos cuatro números enteros ≤ 881; Cuántos números enteros son ≤ 10; y cuántos > 10, los puede dar a todos?........ Hay diferencia con los números naturales?? Piense porque. Cuántos números enteros cumplen que son ≤ 10 y > - 10, los puede dar a todos?........

Se tiene el concepto de número opuesto en Z . Dado un número entero a, el opuesto se anota -a y es tal que

a + (-a) = (-a) + a = 0.

Por ejemplo: el opuesto de -4 que se anota –(-4), es 4 pues -4+4=0; el número -(-7) (el opuesto de -7) es 7 pues 7+(-7)=0.

IMPORTANTE: Cuando números se simbolizan con letras, por ej. b, la presencia de un signo – ante

los mismos no significa que el número -b sea negativo, esta significando el opuesto de b. La diferencia 3-7 es ahora calculable, y se tiene 3-7= -4 , pues 3-7 sumado a 4 da como resultado 0 4 + ( 3 - 7) = ( 4 + 3 ) – 7 = 7 - 7= 0 Por asociatividad de la suma en Z.

En general usaremos a + (-b) = a - b para todo a y b enteros Y así queda definida la resta o diferencia entre enteros. En el conjunto Z la operación siempre está definida.

0.6. EJERCICIO a) Enuncie para los elementos de Z las siguientes propiedades de la suma:

i) Ley de cierre. ii) Asociativa. iii) Conmutativa.

b) sigue siendo el 0 el elemento neutro para la suma en Z ? porqué?

c) Enuncie para los elementos de Z las siguientes propiedades del producto:

i) Ley de cierre. ii) Asociativa.

4

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 5CAP. 0 iii) Conmutativa.

d) Formule en Z la propiedad que establece que 1 es el elemento neutro para el producto.

e) Enuncie la propiedad distributiva del producto en la suma de números enteros.

Solución: c) i)

el producto de dos enteros cualesquiera es un número entero.

Es decir, si a y b son números enteros cualesquiera entonces a.b es un número entero.

Los otros items por parte del alumno.

Las propiedades de estas operaciones en Z nos sirven para resolver ecuaciones (uno de los motivos por

los que surgió el ALGEBRA).

EJEMPLO: Hallar x entero tal que verifica la igualdad : x + 5 = 2. (3 -7)

Vamos a resolver la ecuación destacando las propiedades que aplicamos paso a paso, cosa que en la práctica

habitual no realizamos, en este caso lo hacemos para destacar la importancia de las propiedades que son las

que nos permiten llegar a la solución:

5 2.(3 7) por propiedad distributiva: 5 2.3 2.75 6 14 por definición de resta:5 8 por existencia de opuesto y monotonia de la suma:

( 5) ( 5) 8 ( 5) por propiedad asociatividad de la sum

xxxxx

+ = −+ = −+ = −+ = −+ + − = − + − a:(5 5) 8 5 por propiedad del opuesto y resta:

x = -13x + − = − −

OBSERVACIÖN: La ecuación anterior NO TIENE SOLUCION en . Explique claramente porque!!!

EJERCICIO: Resolver las siguientes ecuaciones indicando que propiedades usa:

a) (x + 2) + 1 =7.(5 + 2) b) – x + 7 = 3 – (8 -11)

REPRESENTACIÓN GRÁFICA: Los números enteros, pueden representarse por ciertos puntos de una recta, en la cual se han elegido dos puntos cualesquiera distintos 0 y U, para representar los números 0 y 1 respectivamente. La longitud del segmento OU ,se considera la unidad de una escala métrica para Z

O U

0 1

5


Transportando la unidad mediante una construcción geométrica de paralelogramos, por ej. hacia la derecha de U se van determinando puntos sobre la recta que representan sucesivamente los enteros positivos ( > 0), hacia la izquierda del O se determinan puntos que representan sucesivamente los enteros negativos (<0). HAGALO!!!! (no haga todos, sólo algunos…….)

+ . + = + + . - = - Recordar que para multiplicar números enteros se utiliza la regla de los signos: - . + = - el producto de dos enteros positivos es un número entero positivo, también resulta - . - = + positivo el producto de dos números negativos; el producto de un positivo por un negativo

(en cualquier orden) resulta negativo.

También es oportuno recordar las Leyes de monotonía en Z para las operaciones definidas:

Para la suma: Si a, b, c son enteros y a ≤ b , entonces a+ c ≤ b+ c Veamos la siguiente situación:

6 ≤ 8 (-2). 6= -12

(-2). 8= -16 Luego: (-2). 6 ≥ (-2). 8 Para el producto:

En general, dados a, b enteros tales que: a≤ b

si c es un entero, c ≥ 0 entonces a.c ≤ b.c

si c es un entero, c ≤ 0 entonces a.c ≥ b.c 0.7 EJERCICIO a) Escriba en el lenguaje cotidiano la Ley de monotonía para la suma de números enteros. De ejemplos.

b) Ejemplifique la propiedad de monotonía del producto de números enteros, para los distintos casos. Dado un número entero a se define el valor absoluto por:

00

a si aa

a si a≥⎧

= ⎨− ≤⎩

EJEMPLO: Si a =3 | a| = | 3| = 3 pues 3≥ 0

Si a = -3 | a| = | -3| = 3 pues - 3 < 0

6


Observar que cualquiera sea el número entero (positivo o negativo) a el |a| ≥ 0 .

El concepto de divisibilidad en los números enteros: Dados dos enteros a y b , b divide a a si existe el número entero c tal que b.c = a

Similar significado tienen las expresiones: a es múltiplo de b, b es divisor de a , a es divisible por b. Resulta que –5 divide a 5 pues –5. (-1) = 5 50 es múltiplo de 25 pues 2.25 = 50 1 divide a -2341 pues……. 59 divide a 0 pues……. 0 divide a 0 pues……… 0.8 EJERCICIO Existe algún entero que no sea divisible por 1? Existe algún entero que no divida a 0? Hallar al menos 5 números que sean múltiplo de 13. Hallar números que sean divisores de 13. Cuál es el máximo número de esos divisores? Cuáles son? Hallar al menos 5 números que sean múltiplo de -15. Hallar números que sean divisores de -15. Cuál es el máximo número de esos divisores? Cuáles son?

En la teoría de los números enteros se puede demostrar el siguiente teorema, llamado Teorema del Algoritmo de la División.

Dados dos enteros a y b, siendo b no nulo existen dos números enteros c (cociente) y r (resto) que verifican

a = b. c + r con 0 ≤ r <⏐b⏐ El cociente y el resto son únicos en estas condiciones.

Otro concepto fundamental en la teoría de los enteros:

Un número entero se dice primo si tiene exactamente cuatro divisores.

7


Por ejemplo: 3 es primo pues los únicos divisores son 3, -3, 1, -1. 1 no es primo pues sus únicos divisores son 1 y –1. 0 no es primo pues todo entero divide a 0 (compruébelo) -120 no es primo pues algunos de sus divisores son 2, -2, 3, -3, 1,-1, 5, -5. 0.9 EJERCICIO Determine los 15 primeros números primos positivos. Si un número entero es primo, que puede decir del opuesto?

NUMEROS RACIONALES Se ha definido la división de números enteros como la operación inversa de la multiplicación de enteros. Calcular 12:4 es hallar un número entero. que multiplicado por 4 de como resultado 12. Entonces 12:4=3 puesto que 4.3=12. En cambio la división 4:12 no puede efectuarse en Z, pues no hay un número entero que multiplicado por 12

de cómo resultado 4 (cualquier negativo multiplicado por 12 dará por resultado un número negativo; 0.12=0; 1.12=12 y cualquier otro número natural al multiplicarlo por 12 da como resultado un número mayor que 12). Tampoco es resoluble en Z –3:7. Porqué? Explíquelo .

Por lo tanto la operación de dividir no es siempre posible en el conjunto Z de los números enteros.

Esta imposibilidad conduce a ampliar el conjunto Z, definiendo un conjunto en que la división sea

realizable en el conjunto.

Por ello se introduce para cada número entero no nulo a un número llamado inverso de a. Ampliando a la vez la definición de producto y estableciendo la propiedad del inverso:

1 1 1a aa a⋅ = ⋅ = para todo a no nulo.

1 1 1a aa a= =i i

Sean a y b números enteros, b ≠ 0. Un número racional es un número de la forma

1. o sea es :

es una fracción con numerador y denominador

a a a bb ba a bb

=

Anotaremos con Q al conjunto de todos los números racionales es decir:

8{ }: y y 0a

a b b= ∈ ∈b

≠


Resulta que la operación 4:12 es realizable en Q pues 4:12 = 412

4 12 412

• = es tal que es

3.........773 pues

737:3 te,Analogamen ==•=

313)2(2

13)2(2

3

pues 2

32

13)2(:3similar formaEn

=•=−•−

•=−•−

−=

−•=−

Recuerde que 0:3 = 0, luego 0/3=0. Si a 3 lo reemplaza por cualquier otro número no nulo que pasa? COMENTARIO: Los números enteros son abstracciones del proceso de contar colecciones finitas de objetos. Pero en la vida diaria no es suficiente poder contar objetos individuales, sino que también es preciso medir magnitudes tales como longitudes, áreas, pesos, tiempo, etc. Las medidas de estas magnitudes llevan muchas veces a subdivisiones pequeñas que llevan a la aritmética más allá de los números enteros.

0.10 EJERCICIO Conteste y justifique muy bien cada una de las siguientes preguntas:

Es cada número natural un número entero? Es cada número entero un número racional? Es cada número racional un número entero?

En Q se definen las operaciones de suma y producto, con la pretensión de que las propiedades de estas

operaciones en Z se conserven.

Recordemos que dados los números dos números racionales a cyb d

(observar que esto significa que a, b, c y d son números enteros con b y d ambos no nulos) Se definen:

A) .

..db

cbdadc

ba +

=+

9


..

a c a cb d b d⋅ =

dbca

cd

ba

⋅

⋅=⋅

B)

Por ser A) y B) razones de números enteros con denominador no nulo (por qué?), resultan la suma y el producto cerrados en Q.

cbdadc

ba .. = si sóloy si esequivalent son y racionales números losque dice Se

Así por ejemplo (justifique):

8 es equivalete a -24

2 1 -3 es equivalente a y a 6 3 -9

−

Haciendo abuso de notación y concepto escribimos que

93

62

31 ; 2

12

12

48

−−

==−=−

=−

=−

Aceptaremos que el resultado de una operación entre números racionales no se modifica si reemplazamos uno de ellos por otro que le sea equivalente. (la demostración de esta afirmación no la haremos acá)

Por lo dicho:

0b enteros, by para ≠−

=−

a ba

ba

2.( ) . 0 0

.( )a a a b a bb b b b b

− ++ = = =− − − 2

. . 0 0.

a a a b a bb b b b b− − +

+ = = = y Además :

a ab b

−=

−ab Luego es el opuesto de

53- a igual es además que

5-3 es

53 de opuesto el ejemplopor Así

10


2 3 2 .3 6S i r e a l i z a m o s : . 1: r e s u l t a e n to n c e s q u e s i 3 2 3 .2 6

.0 e l i n v e r s o d e l r a c io n a l , p u e s . 1.

a b a b a ba e sb a b a b a

= = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞≠ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

0.11 EJERCICIO

a) Enuncie para los elementos de Q las siguientes propiedades de la suma:

i) Ley de cierre.

ii) Asociativa. iii) Conmutativa.

b) Sigue siendo el 0 el elemento neutro para la suma en Q ? porqué?

c) Enuncie para los elementos de Q las siguientes propiedades del producto:


d) Formule en Q la propiedad que establece que 1 es el elemento neutro para el producto.

e) Enuncie la propiedad distributiva del producto en la suma de números racionales.

f) Enuncie las leyes de monotonía para la suma y el producto en Q 0.12 EJERCICIO Cuál es el error en el siguiente cálculo?

31812

31812 pues 6

312

3184 +

=+

+=+

Por lo tanto

3186

3124 −=−

Por lo tanto

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

362.3

362.2

2=3

11


ORDEN EN Q

es menor o igual que a cb d y a c

b d Dados dos números racionales diremos que y lo anotaremos

si y solo si . .a c a d b cb d≤ ≤

Dados y números racionales, diremos que es mayor o igual que , lo anotaremos

si y sólo si . .

a c a cb d b d

a c a d b db d≥ ≥

os racionales positivos son los números racionales mayores o iguales que 0. L

os racionales negativos son los números racionales menores que 0. L

De ejemplos de números racionales ≤ 5 ;

hallar al menos cuatro números racionales ≤ 881;

hallar al menos cinco números racionales ≤ 3

2

hallar al menos cinco números racionales ≤ 3−

2

u nt s > 10, los puede dar a todos?........

ay diferencia con los números naturales?? Piense porque.

uántos números racionales cumplen que son ≤ 10 y > - 10, los puede dar a todos?........

ay diferencia con los números enteros?? Piense porque.

Cuántos números racionales son ≤ 10; y c á o H C H

12


REPRESENTACION GRAFICA

os números racionales son representables también en una recta. Para ello se procede de manera similar que Lpara la representación de los números enteros, considerando sobre una recta dos puntos arbitrarios 0 y U que representan a 0 y 1 respectivamente. Hacia la derecha del punto 0 se representan los racionales positivos, hacia la izquierda de 0 los racionales negativos.

Si el número racional es negativo se considera el equivalente con denominador positivo, por ejemplo 3 34 4

−=

−

a representación puede realizarse así: si

ab

L es el racional a representar, se considera la subdivisión de la

arunidad (longitud del segmento OU) en b p tes iguales, luego cada una de esas partes es equivalente a la

representación de 1 .

b

43 si ejemplo,Por

amo.paralelogr del regla la mediante 1.decir es 1 veces considerar Luego

=

=

ba

ba

ba

ba

0 1/4 /4 3/4 1

a Ud.

O U 2

5 5 53 3 3

−− = =

− Hag como le resulte más fácil!!!!!

.13 EJERCICIO Ordena meros:

0r por la relación ≤ y representar en la recta los nú

12 2 3 3 5 6 ; 3 ; ; -1 ; - ; ; ; ; 06 5 2 2 7 4

−

13

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 14CAP. 0 Recordar cosas MUY IMPORTANTES!!!!! por medio de los siguientes ejercicios:

.14 EJERCICIO

-4 y 2 ) Reemplazar m por números enteros de modo que sea verdadero –4 < m < 2

) Por cuántos valores enteros puede reemplazar m? Haga un gráfico de esa situación.

) Por cuántos valores naturales puede reemplazar m? Haga un gráfico de esa situación

0.15 EJERCICIO –4 y 2

a) Rem por números racionales de modo que sea verdadero que –4 < m < 2

) Observar que m=1/2 ó m=2/3 son valores para los que resulta –4 ≤ m ≤ 2 verdadero. Representar la

) Hay una cantidad limitada de números racionales m entre –4 y 2 ?

entar en la recta al menos 5 números racionales a que sean a la vez,

0Dados los números

a (por ejemplo, si m=0 –4 < 0 < 2 es cierto). b c

Dados los números plazar m

b

situación en la recta numérica.

hallar?

puede cuántos . verdaderoresulte también que el para 32y

21 entre racional valor otroalgún Halle c)

d

5 3 y 3 4

a a≥ − ≤ e)Repres

f)Puede representar y encontrar más que 10 números racionales en esas condiciones?

PROPIEDAD

0.16 EJERCICIODEMOSTRAR LA : entre dos números racionales distintos hay otro número racional.

14


y a cp qb

Solución: Sean p y q números racionales tales que p < q y sean d

= = , siendo entonces a, b, c, d

ero

números enteros, con b y d nulos. Se pueden considerar b y d > 0 (porqué ?)

1 1 + 2 2 2 2.

p q a c ad bc ad bcb d bd bd

+ + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El núm es un número racional (justifique!!!) y lo llamaremos t.

Veamos que p < t :

<a cb d

. .a d b c< por hipótesis, es decir que por lo tanto por monotonía de la suma de

a d b centeros vale: . . .a d a d b c+ < + , es decir que 2. . .a d a d. .< + , y com

también

o 2.b.d > 0

1 02bd

> producto. del monotoníapor ..2

....2..2

dbcbda

dbda +< entonces

Pero: tdb

cbdabap =

+<=

..2.. . Como queríamos ver.

Ahora, demuestre Ud. que también que t < q.

Consecuencia de esta propiedad es que entre dos números racionales distintos hay infinitos números racionales. Por que? Intuitivamente: cualquiera sea el segmento que se considere en la recta representativa de Q, por pequeño

que sea, hay infinitos puntos que representan números racionales. Los decimales son siempre algo distinto que los números racionales? Veamos:

i) O bien como un número decimal finito, si se llega a un resto 0, por ejemplo:

:expresa se bay decimal, sistema elen bpor a dedivisión la realiza se

b

es número el si decimal. formaen expresar pueden se también racionales números aLos

375.083 ; 5.0

21

==

15

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 16CAP. 0 ii) O bien como una expresión decimal periódica. En efecto, si al dividir a por b no se obtiene resto 0, como nores que b (b es un nº finito), llega un momento en que uno se repite y, a partir de él, se repiten las l cociente. Por ejemplo:

Otros ejercicios m

los sucesivos restos son todos mecifras de

6.1......66.135

==

142857.0.....571428571428.07

==1

uy instructivos!!!:

0.17 EJERCICIO a) Pasar a la forma decimal:

Verificar las y representar:

.18 EJERCICIO

20843 - ; 4

; 5

- ; 2 6

b) siguientes desigualdades

0

9am ementeequivalent ó am-10.m entonces 0.aaa...) a igual es (que a0.m si queObservar ===

b)Transforme 2, 5 456 en fracción.

EJERCICIO- Importante!!

0.19Compruebe que 0,9 =1

ocurr que Piense a)999abc

m eequivalent o abc1000m/m entonces bc.....)(0.abcabca abc0.m Si ===

999abcm eequivalent o abcm-1000m entonces bc...)(0.abcabca abc0. m Si

99abm eequivalent o abm-100m entonces ...)(0.ababab. ab0.m si queObservar

===

===

período? elen digitosn con ab...n0.m si ocurre que Piense a) =

34.031 d)

310.33 c) 8131 b) 54 ) <<−<−<a

77487

16


0,9 1< , existe el número racional t Solución: De acuerdo a la propiedad demostrada en el ejercicio 0.16, si0,9 1

2+entre ambos: (hágase un dibujo de esta situación) t =

1 .9P e r o t 1 . 9 9 9 9 . . . 2

1 9 0 . 9 9 9

=2

1 9

e s d e c i r q u e t 0 . 9 9 9 9 . . 0 .9 = =

Más operaciones

En los números racionales se define la potencia de exponente natural como:

Si 1.

1 entonces0≠= a

bp 1

0

⎨⎧

≥==

− nppppa

nn

i

¿

ades propuestas:

Cuáles restricciones deb m y n?

⎩ S 10 entonces0 ≥== npp n

Cuando p = 0 ? piense!!!

Analice que en caso de estar definidas las potencias que se mencionan a continuación se satisfacen las iguald

e hacer? Cómo deben ser

natural. es m- queObservar .p 0m

entero, es my 0acon bap Si negativo. entero exponente de potencia la define se 0,p caso el Para

ación.indetermin una es que dirá se ellopor 0 efine

se NO Y natual.n parap 0p si que resulta :TANTE

m

0

n

m

n

ab

ba

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=<

≠=≠

=≠

mmmm

mmm

pp

qpqp

.)(

.).(

=

=

IMPOR NOBSERVACIO n

d

nmnm ppp . = +

17


.20 EJERCICIO erificar las siguientes desigualdades:

BSERVAR que para algunos números racionales p tiene sentido (con esto significamos que es resoluble en el número s tal que s 2 = p; o cuál es el número t que t5 = p? De existir, al s lo

cuadrada de p y al t lo llamaremos raíz quinta de p.

n general para cualquier número natural n, n>1 llamaremos raíz n-ésima de p, si es que existe un número

0V

c) Qué se puede concluir a partir de a) y b)?

OQ ) preguntarse cuál es

llamaremos raíz Eracional s tal que s n = p. Se anotará

La operación de radicación es Q pues no esta definida para todo número racional. una operación parcial en

Más adelante se justificará que por ejemplo, 2 no tiene solución racional. COMO APLICACIÓN Y RESUMEN: Resolver las siguientes ecuaciones:

22 21 8 2 3 11) 4 . : 5 .2 3 3 5 2

x x−⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥

⎣ ⎦+ − + = + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

2) 2

31 3. 0, 3 2 5. 3, 4x x−−⎛ ⎞2

+ −⎝ ⎠

+ = +⎜ ⎟

NUMEROS REALES

Ya se demostró (por el ejercicio 0.16) que los puntos representativos de los n° racionales están “muy

ximos” sobre la recta (en todo segmento por pequeño que sea, hay infinitos puntos representativos de los n° onales), este hecho podría llevar a considerar que todos los puntos de la recta queden representados por los

próraci

8271

23-1 b) 25452 )

32

−≠⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+≠⎟

⎞⎜⎛ +a

42 ⎠⎝

( )

31

31e) 222 d)

3232

252-5 ≠⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−≠

523 11 ⎞⎛ −⎤⎡ ⎞⎛44

f) ⎟⎠

⎜⎝

≠⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎟⎠

⎜⎝−

spn =

18

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 19CAP. 0 n° racionales, pero no es así.

ue todo n° racional ab

También se ha destacado q se expresa de manera única como n° decimal con un n°

finito de cifras periódicas. Es inmediato que se puede considerar un n° decimal con infinitas cifras no periódicas, este n° así construido no resultará racional. A estos números se los llama IRRACIONALES (no son razón de n° enteros). Está claro que pueden construirse infinitos n° irracionales. Es demostrable que 2 = 1,4142..... es un n° irracional. De acuerdo al teorema de Pitágoras 2 es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 1 de longitud. Luego hay segmentos cuya

ngitud está dada por n° irracionales, lo 2 es un ejemplo. Con regla y compás por ejemplo esas longitudes se ar a la recta determinando sobre ellas puntos representativos de n° irracionales. pueden traslad

2 Si se quiere que exista una correspondencia mutua (1 a 1) entre números, de una parte, y puntos de la recta,

de otra, es necesario introducir los n° irracionales. También es irracional roporcionalidad entre cualquier circunferencia y su

st do que no surge como raíz de ningún índice de ningún número l.

nconmensurable (es decir que su longitud no es expresable omo razón de números enteros), o lo que es equivalente la existencia de números irracionales, fue descubierta

ss construyeron una teoría rigurosa de los números irracionales. Es tema de estudio del Análisis atemático.

π=3,141592..... (constante de prespectivo diámetro), que se ha demo raraciona COMENTARIO: La existencia de un segmento icpor los griegos, posiblemente en el siglo V A de C. Es un acontecimiento científico de gran trascendencia que dejó profunda huella en la Matemática y Filosofía desde entonces. En el siglo XIX Dedekind, Frege, Cantor y WeierstraM Todas las magnitudes medibles de que se hace uso en la práctica y en la ciencia aplicada pueden ser expresadas mediante números racionales con suficiente grado de aproximación. La precisión de los más perfectos instrumentos de medida no sale del campo de los números racionales.

Se llaman números reales aquellos números que son racionales o irracionales. El conjunto de todos

ellos lo anotaremos R Intuitivamente se puede aceptar que son los números que representan las

longitudes de los segmentos y sus opuestos.

Se definen en R suma y producto, resultando tener iguales propiedades que las que esas operaciones

satisfacen en Q. La justificación rigurosa de estas definiciones se hace en un curso de Análisis Matemático

con el concepto de límite.

19

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 20CAP. 0 El orden natural en los números reales, extiende al orden definido en los racionales, lo que se puede

eométricamente como que dados los números reales r y s, r

interpretar g ≤ s si el punto representativo de rparece en la recta antes que el punto representativo de s.

a

) Sigue siendo el 0 el elemento neutro para la suma en R ? porqué?

s de R las siguientes propiedades del producto:

d) F piedad que establece que 1 es el elemento neutro para el producto.

eros reales.

lica dos irracionales?

inición de valor absoluto en R (esta definición se hace de modo que coincida con

. 0.21 EJERCICIO a) Enuncie para los elementos de R las siguientes propiedades de la suma:


b

c)Enuncie para los elemento


ormule en R la pro

e) Enuncie la propiedad distributiva del producto en la suma de núm f) Que pasa si suma un racional con un irracional? Si los multiplica? Si multip Es útil dar la def

la definición dada anteriormente para aquellos números reales que también sean enteros):

0a sia <⎩−a si

a

a≥

⎨⎧

=0

Así

...2731,00,2731...- ; 41

41

41 ; 222 ==−==−=

OBSERVACION: El |a o la longitud del segmento PO siendo P el punto que representa el nº real a. Po

0 P -a a

| se puede interpretar comr ejemplo:

20

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 21CAP. 0 -2 -1 0 1 2

Realice lo anterior para cada uno de los números 1 2, 3,4 3− .

0.22 EJERCICIO ) Decir cuáles de estas afirmaciones son falsas y cua áles verdaderas:

igual valor a luto:

3,2 ; -2,85 ; ¼ ; -0,58

esiones:

iquen ⏐a⏐≤ 3,25. Cuántos hay?

Valen también las Leyes de monotonía en R enunciadas para las operaciones sobre los números enteros.

Enúncielas!!!! (Para la suma y para el producto)

y producto, nos permiten resolver

b) Para cada número que sigue dar otro que tenga bso

c) Evaluar las expr

e) Es ⏐a + b⏐=⏐a⏐+⏐b⏐? Justifique.

f) Dé 5 nº reales a que verif

Estas últimas propiedades, conjuntamente con las propiedades de la sumaecuaciones e inecuaciones en R

222 222 =−==−=

33 ;

33

18,234- ; ,00,27 33

≤−−<

≥> 88 ; 99 =−= ; 27 234,18

2222−

( ) ( )

13

84- ; 3.3-1 ; 3

- ; 93- ; 84

+−

−+−−+−+−7

1 2d) Si 2,3; -16 ; c -5 y d 3 evaluar:2 5

; (- ) ; ; - ( ) ; . . ; . .

a b

a b c a b c a d c a c d a b c a b c

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + + + + + + +

b c d+ +

21


Respecto de la radicación es importante destacar lo siguiente:

existe en R). n rLa radicación de índice impar n está definida para todo real r (es decir

Para el caso de índice par n, es un real sólo en el caso que r sea un número real ≥ 0n r . Pues observe: Si a es real a2 = a.a ≥ 0 (Si a = 0: a.a = 0.0=0 Si a >0: a.a >a.0 ; por monotonía del producto, por consiguiente a2 > 0.

por consiguiente a2 >0 ) Si a<0: a.a > a.0 por monotonía del producto,

0.23 EJERCICIO

k nº entero) entonces a n ≥ 0 para todo número real a ugerencia: use la observación anterior y potencia de potencia).

Pruebe que si n es par (n = 2k para k nº entero) entonces a n =(-a) n

Pruebe que si n es par (n = 2k, para(s

0.24 EJERCICIO

Recapitulando: Si n es par: Si r > 0 , n r y - n r son ambos raíces n-ésimas de r. (ejemplo, si entonces a = 2 ó a = -2 2 4a = Si r = 0 , 0 es la única raíz n-ésima de r. Si r < 0 , r no tiene raíz n-ésima real.

0.25 EJERCICIO

s lo inmediatamente anterior.

tifique plenamenteJu

NOTA: Usamos la convención que n (como notación de la operación raíz n-ésima) al afectar un número real es un valor "sin signo".

aak k ±=2 2 . Para expresar el doble valor en R del resultado de las raíces de índice n = 2.k, expresamos que

22

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 23CAP. 0 En los ejercicios de cálculo (cuando se hacen cuentas con raíces afectando a valores numéricos fijos) se

2 2k kr es el valor rconsidera que la expresión , es decir se toma el valor positivo.

Ejemplos: 3 – 8 + 9 = -5 + 3 = -2 1 1

212

4 1 32 2−

= 4 - 2

= 4 – 2 + = 2 - = 4 +

) Com

Compare esos mismos números con el valor absoluto de sus respectivas raíces cuadradas.

5

(-1) (-1)2>-1 (-3) 2>-3

0.26 EJERCICIO pare cada uno de los números ¼ ; 1 ; 25 con sus respectivos cuadrados. a

b) c) Compare –1/3 ; -1 ; -3 con su respectivo cuadrado. Solución:

√25= ⎩⎨− 5

⏐± 5⏐= 5 entonces ⏐√25⏐< 25 ⎧

2 = 1 entonces

2 = 9 entonces (-3)

11 entonces 11

11

2

2

==

⎞⎛44

entonces 164

a) <⎟⎠

⎜⎝

=⎟⎠

⎜⎝

11 2⎞⎛

25(25) entonces 625)25( 22 >=

11 entonces 11 1-y 11

441

242y

21

4

==±=

>1 entonces 11 11 b) =−=

3393 ⎠⎝⎠⎝

11 entonces 11 c)22

−>⎟⎞

⎜⎛−=⎟

⎞⎜⎛−

23


En este ejemplo se com uéstrelas): S

r <1 entonces r2 < r

r =1 entonces r2 = r

r >1 entonces r2 > r

Si r es un número real positivo y r <1 entonces ⏐

prueban las siguientes propiedades (si desea dema) i r es un número real positivo y

b)

r ⏐> r

r =1 entonces ⏐ r ⏐= 1

>1 entonces ⏐ r r ⏐< r

c) Si r es un n° real negativo entonces r2 > r.

.27 EJERCICIO

tercalar > , = , < en d de modo que resulte verdadero:

0.28 EJERCICIO Comprobar las siguientes desigualdades:

0.29 EJERCICIO or en las siguientes "demostraciones":

0 In

81 5 ; 0 5- ; 9

16 9

16

;94

94 1 1 ; 0 0 - ; 0 0

81 ; 1

51225144 b) +≠+ 866436 a) +≠+

Hallar el err a) Sea a cualquier número racional entonces a = - a

“Demostración” : a2 = (-a)2

2a = 2( )a−

ero 2a 2( )a− = a y = - a , luego a = - a p

Sea b un n° racional cualquiera, entonces b =1 b)

24


b-1 = -(1-b) por lo tanto

b-1 = 1-b b+b-1 = b+1-b

2b-1 = 1 = +1

M

ccionario m/n con m número entero y n número natural.

ación parcial, es decir no resultará definida para todo r real

“Demostración”:

(b-1)2 = (1-b)2

2b-1+1 1 2b = 2 (½).2b = (1/2).2

b = 1

ás operaciones... Se pretende definir en R la potencia exponente fra

Resultará una oper .

si m es un número entero y n un número natural mayor que 1:

Sea r un número real. Se establece que

r m/n = n mr

m se ue lo estamo definiendo Ob rvar q s como la raíz n-ésima de r , en ese orden.

n el caso de n =1 es m /n = m y ya se sabe calcular.

demás todo número fraccionario m / n es equivalente a uno con denominador positivo.

no tienen factores primos en común (en ese caso se dice que m y n son coprimos) es intercambiable

E A Si m y n(únicamente en e e caso) el orden de aplicas ción de la radicación de índice n con la potenciación de exponente m.

Será tema del Análisis Matemático la definición de potenciación de exponente irracional.

25

ALGEBRA, CALCULO NUMERICO Y GEOMETRIA ANALITICA 26CAP. 0 0.30 EJERCICIO

Calcular: a) 61⎟⎞

⎜⎛ b)

2

64 ⎠⎝61⎟⎞

⎜⎛− c)

2

64 ⎠⎝

2

2

6641⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 6

21⎟⎞

⎜⎛ d) 6

21⎟⎞

⎜⎛− e) 6 1

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

f)64 ⎠⎝64 ⎠⎝ 64 ⎠⎝

0.31 EJERCICIO Porqué resultan la radicación y la potenciación de exponente fraccionario operaciones parciales en R?

Explique cuando no están definidas en los números reales. De ejemplos para darse cuenta del problema!!!

terprete los siguientes ejemplos, genere otros similares y una conclusión:

0.33 EJERCICIO Teniendo en cuenta la propiedad: Si a y b son números reales positivos entonces a ≥ b si y sólo si a2 ≥ b2

a) Qué es verdadero:

0.32 EJERCICIO

In

2 3 o 3 2≤ ≤ ? b) Ordenar 2. 2 y 5 c) Idem 3 + 2 2 y 3+ 5 d) Idem 3 (3 + 2 2 ) y 3 (3+ 5)

( )

43 4 3 33 3 33

3 3 2 22

44 4 2

2

2 2 16 2.8 2. 8 2. 2

25 25 25 25 25 125 5 125. . . PORQUE?25 4 4

1 1 1 1 1 PORQUE?7 7 7 7 49

−

= = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = = = ± = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = = ± = ±⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

4 4−

25 4 4 4 4 2 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠

−

33

21 1 17 7 3

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

NO EXISTE43

26


) Idem

1/ 2 y 1/ 3 e f)Idem 1/ 2 + 1/ 3 y 1 6

0.34 EJERCICIO L

ientes igualdades son verdaderas y cuáles falsas?. dar un ejemplo que avale su respuesta.

2 b) (a + b)2 = a2+ 2a b+ b2

d) (a/b) 2 = a2/ b2 b≠0

- b2

partados qu siguen a y b son tales que las raíces están definidas

as letras a y b representan números reales cualesquiera fijos.

Cuáles de las sigu En la última situación a) (a.b)2 2 = a .b c) (a - b)2 2=a -b2

e) (a+ b)(a b)=a2- Para los a e

icación se desprenden del ejercicio anterior.

)

0.35 EJERCICIO Diga en palabras que propiedades de la potenciación y la rad

0.36 EJERCICIO

allar x indicando las propiedades que avalan sus cuentas: H

1 3 3 2x +=

1 3x − 2) . 8

2

2. 5 8 6.x x− ≤ − + 3) 5. 6 8.x x− + ≥

nn ba.a.b =

baba

h)

0b ba g) b

n

≠=+=a f) +

27

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0. REPASO DE NÚMEROS · 2018-08-16 · si c es un entero, c ≥ 0 entonces a.c ≤ b.c si c es un entero, c ≤ 0 entonces a.c ≥ b.c 0.7 EJERCICIO a) Escriba en el lenguaje cotidiano