01 Ecuaciones Diferenciales -InTRODUCCION [Modo de Compatibilidad]

8/18/2019 01 Ecuaciones Diferenciales -InTRODUCCION [Modo de Compatibilidad]

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ÁL ULO III

ING. MS. DAVID USCAMAYTA VERÁSTEGUI


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ropósitos

Define una EDO y encuentra el orden

y grado de una EDO.

Identifica la solución general y

particular de una EDO.


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Definición

Una ecuación diferencial (ED) es una ecuación queinvolucra derivadas de una función desconocida de una o

varias variables.

Ejemplo

Las siguientes expresiones son ejemplos de ED’s:

0232

2

=−+ ydx dydx yd kydt

dy

=

Conocida como Ley deCrecimiento Exponencial


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MODELO DE CRECIMIENTO Y

DECRECIMIENTO DE POBLACIONES

Donde “Ao” es la población inicial.k: tasa relativa de crecimiento

Si el modelo es de crecimiento latasa “k” > 0 , si es de decrecimientola tasa k < 0 .

APLICACIONES


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En base a la definición anterior se tiene que:

a) Si la función desconocida depende de solo una variable la

ecuación se llama Ecuación Diferencial Ordinaria.

b) Si la función desconocida depende de más de una variable

la ecuación se llama Ecuación Diferencial Parcial.

x dx

dy2= y x y += 2'

vy

v

x

v=

∂∂

+∂∂

2

2

2

2

2


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Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse por su orden y grado.

OrdenEl orden de una ecuación diferencial es el orden dela derivada mas alta que aparece en la ecuación.

Ejemplo

Determinar el orden de las ecuaciones diferenciales:

87 53

−=

x dx

dy x sen

dx

yd 35

2

2

=


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Solución

La ecuación diferencial:

Es de primer orden dado que la derivada mas alta que figuraen la ecuación diferencial es la primera derivada.

La ecuación diferencial:

Es de segundo orden dado que la derivada más alta quefigura en la ecuación diferencial es la de la segunda derivada.

87 53

−=

x

dx

dy

x sendx

yd 352

2

=


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Ejercicios para resolver en clase

Determinar el orden de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

735 25

2

22

4

4

+=

+

−

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3

2

22

6

2

2

7

+=

+

dx

yd x

dx

dy x

dx

yd


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GradoEl grado de una ecuación diferencial es el grado algebraico desu derivada de mayor orden, es decir, el grado de unaecuación diferencial es la potencia a la que esta elevada la

derivada que nos dio el orden de la ecuación diferencial.

EjemploEl grado de la ecuación diferencial es:

de tercer grado, dado que la primera derivada está elevadacubo.

87 53

−= x xy

dx dy


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Ejercicios para resolver en clase

Determinar el grado de las siguientes ecuaciones:

a)

b)

735 25

2

22

4

4

+=

+

−

x

dx

dy

dx

yd

dx

yd

3

2

22

6

2

2

7

+=

+

dx

yd x

dx

dy x

dx

yd


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NOTA : cuando alguna derivada este dentro de un

radical o en polinomio, el cual este elevado a una potencia fraccionaria, tendremos que eliminar dichoradical para después determinar el grado de laecuación diferencial.


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Ejercicios para resolver en clases

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones

diferenciales:

a)

b)

17 2 += x dx

dy

32

2

dx

dy x

dx

yd =+


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Ejercicios para resolver en clases

Determinar el orden y grado de las siguientes ecuaciones

diferenciales:

a)

b)

17 2 += x dx

dy

32

2

dx

dy x

dx

yd =+


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Determinar el orden y grado de las siguientes ecuacionesdiferenciales:

a) b)

c)

d)

ydx

dy x

dx

yd 53

3

3

+

=

5

3

33

3

3

818

+=

+

dx

yd x

dx

yd

dx

dy

=−dx

dy x

dx

yd 85

3

3

53

3

2

2

3dx

yd x

dx

yd =+


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Una solución de una ED es cualquier función que satisfacela ED, este es, la reduce a una identidad.

Ejemplo

La función definida por es una solución de laecuación diferencial:

puesto que:

y al sustituir en la ED se obtiene una identidad

2x9 y −=

y

x y' −=

( ) ( )2

21

2

9

29

2

1y'

x

x x x

−

−=−−=−

2299 x

x

x

x

−

−=

−

− 33


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Una solución particular de una ED es toda soluciónobtenida asignando valores específicos a las constantes queintervienen en la solución general.

Ejemplo Verificar que y=Cx3 es solución de la ecuación diferencial

Hallar la solución particular sujeta a la condición inicial:

03' =− y xy

2)3( =−y


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Para comprobar que una ecuación es o no la solución de unaecuación dada, se aplica el siguiente método:

Método1. Observemos que derivada o derivadas aparecen en laecuación diferencial.

2. Estas derivadas las encontramos al derivar la ecuaciónque se supone solución.

3. La ecuación será solución cuando al sustituir el valor delas derivadas encontradas (paso 2) dentro de la ecuacióndiferencial, aparezca una identidad a=a (donde aєR) alreducir la ecuación ya sustituida.


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EjemploComprobar que la y=x2+C es solución de la ecuacióndiferencial

Solución1. Observando la ecuación diferencial vemos que aparece

una derivada por lo tanto, encontramos su valor

derivando la supuesta solución.2. Derivando y=x2+C tenemos

x dx

dy

=

x dx

dy2=


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3. Sustituyendo el valor de la derivada encontrada en laecuación diferencial tenemos:

Por lo tanto y=x2+C no es solución de la ecuacióndiferencial

12

2

≠

= x x

x dx

dy

=


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AUTOEVALUACIONDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuacióndiferencial dada:

1.

2.

y x dx dy x Cx x y += +=

22 ;

025);5cos()5(2

2

=++= ydx

yd x B x Aseny


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Ejercicios de tareaDetermine si cada ecuación es solución o no de la ecuacióndiferencial dada:

1.

2.

3.

( )2412 ''; y x xyyCx C y =++= −

( ) senx ysenx dx

dysenyC ye x =+

=− cos;cos1cos

3

2

225 1606;38 x

dx

yd C x x y =−++=


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Para obtener la ED a partir de su solución general,aplicaremos el siguiente método:

1. Observemos el número de constantes de integración queaparecen en la solución general dada.

2. Derivemos la solución general tantas veces como elnúmero de constantes de integración aparezcan en ella.En otras palabra, si la solución general tienen nconstantes de integración diferentes, entoncesderivaremos n veces tal solución.


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3. Tomando en cuenta el resultado de la última derivadaobtenida, se nos pueden presentar los siguientes casos:a) Si en la última derivada ya no aparecen constantes de

integración, esta será la ED que de la solución generaldada.

b) Si la última derivada contiene constantes de integración,habrá que eliminarlas, pudiendo utilizar para esto, las

ecuaciones de las derivadas encontradas, así comotambién la solución general dada. En la ED NO debenaparecer constantes de integración.


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EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=x2+C

Solución

Observemos que sólo aparece una constante de integración,de manera que derivamos una sola vez la solución general

y=x2+C. Así

Como en esta derivada no aparecen constantes deintegración, quiere decir que esta es la ED de la solucióngeneral presentada al inicio.

x dx

dy2=


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EjemploEncuentre la ED cuya solución general es y=Cx2

Solución

Observemos que sólo aparece una constante de integración,de manera que derivamos una sola vez la solución general

y=Cx2. Así

Se va a despejar C de la solución general y se sustituye el valor encontrado en la ED.

Cx dx

dy2=

x x

y

dx

dy

=

22

2 x

yC =


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SoluciónPor lo tanto:

Es la ED de la solución general puesto que ya no aparecenconstantes de integración.

ydx

dy x 2=


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AUTO EVALUACIONEncuentre la ED de la siguiente solución general

1. ;21 x x eC eC y −+=


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Ejercicios de tareaEncuentre la ED de las siguientes soluciones generales

1.

2.

)3tan( C x y +=

( ) 2221 C yC x =+−

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