0.1. Homomorfismos de Grupos - Los Hijos De Lagrange · PDF fileEjemplo 2. Sea A cualquier grupo abeliano definimos h(a) = a2, esta función es un homomorfismo de éste grupo

0.1. HOMOMORFISMOS DE GRUPOS 1

0.1. Homomorfismos de Grupos

Definicion 1 Sean (G, ·) y (H, ◦) dos grupos. Una funcion f de G a H

f : G→ H

se dice sera) Un homomorfismo si f(x · y) = f(x) ◦ f(y), ∀x, y ∈ (G, ·), se puedeprescindir de las operaciones y escribir simplemente f(xy) = f(x)f(y).b) Un monomorfismo si es un homomorfismo inyectivo de G en H.c) Un epimorfismo si es un homomorfismo sobreyectivo de G en H.d) Un isomorfismo de H en G si es un homomorfismo biyectivo entre estosdos grupos. G y H se dicen isomorfos, y se escribe G ∼= H.e) Un automorfismo si es un isomorfismo de G en G.

Ejemplo 1.

Sea h : (IR, +) −→ (IR− {0}, ·), se define h(x) = 3x. Vemos que

h(x + y) = 3x+y,= 3x3y,= h(x)h(y).

Ası h es un homomorfismo. Por otro lado, se tiene que

dh(x)

dx= ln3 · 3x > 0, ∀x ∈ IR,

esto significa que h es creciente estrictamente y por lo tanto inyectiva, ası queh es un monomorfismo.

Ejemplo 2.

Sea A cualquier grupo abeliano definimos h(a) = a2, esta funcion es unhomomorfismo de este grupo en si mismo. En efecto,

h(ab) = (ab)2,= a2b2,= h(a)h(b).

¿Puede ser la propiedad de conmutatividad omitida aquı?.

2

Ejemplo 3.

Consideremos h, una funcion definida por:

h : (ZZ, +) −→ ({1,−1}, ·),n −→ h(n) = (−1)n.

Es claro que h(m + n) = (−1)m+n = (−1)m(−1)n = h(m)h(n). Evidente-mente no es un monomorfismo. ¿Por que ?.

Ejemplo 4.

Consideremos los grupos de C y el grupo Klein cuyas tablas damos acontinuacion:

C :

e x x2 x3

e e x x2 x3

x x x2 x3 ex2 x2 x3 e xx3 x3 e x x2

K :

e a b ce e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

Asumamos que exista un isomorfismo de h : C −→ K, entonces deberıa serque: h(x) = e, a, b, o c, entonces h(x2) = e2, a2, b2 o c2. Supongamos queh(x) = e, entonces:

h(x2) = h(x)h(x) = e2 = e,h(x3) = h(x2)h(x) = e3 = e,

asi que h(e) = h(e2) = h(e)h(e) = e =⇒ h no puede ser inyectivo.

Ejemplo 5.

Sea G = {e, g, g2} un grupo cıclico de orden 3 con

e g g2

e e g g2

g g g2 eg2 g2 e g

y h : G −→ G definido por

h(e) = e,h(g) = g2,h(g2) = g.


h es un isomorfismo de G en si mismo. Veamos primero que es un homomor-fismo. En efecto,

h(ee) = h(e)h(e) = e2 = eh(eg) = h(e)h(g) = eg2 = g2,h(eg2) = h(e)h(g2) = eg = g,h(gg2) = h(g)h(g2) = g2g = e,

Claramente es inyectiva y sobreyectiva, ası que h es un automorfismo.

Ejemplo 6.

El siguiente es un ejemplo de un automorfismo de grupos. Sea a ∈ G, ysea fa : G −→ G la funcion definida por

fa(g) = a−1ga para todo g ∈ G.

Pruebe que fa es un homomorfismo de grupos.PruebaEn efecto, pues

fa(gg1) = a−1gg1a,= (a−1ga)(a−1g1a),= fa(g)fa(g1).

Finalmente para demostrar que fa es un isomorfismo y por lo tanto un auto-morfismo es suficiente ver que fa−1 es el inverso de fa. Dejamos este ultimohecho como un ejercicio al lector.

Ejemplo 7.

Si A es un grupo abeliano finito de orden n, y m.c.d(n,k) = 1, muestref : A −→ A definido por f(a) = ak es un isomorfismo.PruebaSi se muestra que f es sobreyectivo, entonces f es inyectivo, ya que A es unconjunto finito y f va de A en A. En efecto, sea a un elemento cualquiera enA considerado como conjunto de llegada del homomorfismo y tomemos ad enA conjunto de salida y entonces calculemos

f(ad) = (ad)k,= akdanc,= akd+nc,= a1,= a,

4

ya que (ac)n = e, donde e es elemento neutro de A, y del hecho de quekd + nc = 1.

NotaEl siguiente teorema es especialmente util para determinar cuando dos gruposno son isomorfos. En general para demostrar que dos grupos no son isomor-fos se muestra que uno de ellos tiene una propiedad estructural y el otro no.Ası por ejemplo algunas propiedades estructurales posibles son que uno delos grupos sea cıclico, abeliano, el numero de subgrupos, el ser grupo finitoo no, el orden del grupo, que el grupo tenga por ejemplo exactamente doselementos de un orden dado, o que por ejemplo la ecuacion x2 = a, tengaexactamente una solucion para cada a en el grupo.Por otro lado no son propiedades estructurales que el grupo contenga al numero5 como elemento, que todos elementos sean numeros , que la operacion delgrupo se llame composicion, que los elementos del grupo sean permutaciones,que el grupo sea un subgrupo de (IR, +).

Teorema 1 Si h es un isomorfismo de un grupo G en un grupo H, entonces

1. h(e) = e.

2. h(x−1) = (h(x))−1.

3. h(xk) = (h(x))k, ∀ k ∈ ZZ, k > 0

4. Si g y g′ conmutan en G⇐⇒ h(g) y h(g′) conmutan en H.

5. G es abeliano ⇐⇒ H es abeliano.

6. gk = g′ en G⇐⇒ (h(g))k = h(g′) en H.

7. g y h(g) tienen el mismo orden.

8. xk = g tiene el mismo numero de soluciones en G que h(g) = xk enH.

9. G y H tienen la misma cardinalidad, es decir, el mismo numero deelementos.


Prueba

1. Dado que e2 = e, se tiene que h(e) = h(e2) = (h(e))2, se sabe que enun grupo si un elemento x2 = x =⇒ x = e, ası si tomamos x = h(e)en H concluimos que e = h(e).

2. Si xx−1 = e =⇒ h(xx−1) = h(e) = e = h(x)h(x−1). Pero h(x) tieneun inverso unico, ası que h(x−1) = (h(x))−1.

3. h(xk) = (h(x))k ∀k entero. Si k es negativo, entoncesh(x−k) = h((x−1)k) = h((h(x))−1)k = (h(x))−k.

4. (=⇒) Si gg′ = g′g =⇒ h(g)h(g′) = h(g′g) = h(g′)h(g), ası si g y g′

conmutan implica que h(g) y h(g′) conmutan.(⇐=) Por otro lado si h(g)h(g′) = h(g′)h(g), entonces h(gg′) =h(g′g) y dado que h es inyectivo, entonces gg′ = g′g.

5. (=⇒) Sean f, f ′ dos elementos cualesquiera del grupo H, existen g, g′

en G tales que h(g) = f y h(g′) = f ′ dado que h es sobreyectivo. Luegoff ′ = h(g)h(g′) = h(gg′) = h(g′g) = h(g′)h(g) = f ′f , esto significaque H es abeliano. Este argumento es valido en el sentido inverso.

6. gk = g′ en G =⇒ (h(g))k = h(gk) = h(g′) ∈ H aplicandoh−1 a (h(g))k = h(gk) dado que gk = g′.

7. Sea k el menor entero para el que gk = e, entonces por la parte anterioresto es equivalente a (h(g))k = h(e) = e.

8. (=⇒) Si a satisface xk = g, entonces ak = g, ası, de donde(h(a))k = h(g), de modo que h(a) satisface la ecuacion xk = h(g) enH. Este argumento es valido en el sentido inverso.

9. G y H tienen la misma cardinalidad.

Ejemplo 8.

Consideremos el conjunto de matrices

Gl(2, IR) =

{(a bc d

)| a, b, c, d ∈ IR, donde ad− bc 6= 0

}.

6

Gl(2, IR) con la multiplicacion usual de matrices es un grupo, y (IR, +) noson isomorfos por la parte (4) del teorema anterior.

Ejemplo 9.

El grupo de Klein K y D4 no son isomorfos por la parte (8) del teoremaprecedente.

Ejemplo 10.

Consideremos los grupos siguientes (Ql −{0}, ·) no son isomorfos a (ZZ, +)por la parte (8), dado que x2 = 4 tiene dos soluciones en (Ql − {0}, ·). Perocomo h(4) = k para algun entero k, y del hecho que x2 = x · x = k, seconvierte en x + x = 2x en (ZZ, +), la que tiene a lo mas una solucion en(ZZ, +).

Ejemplo 11.

El grupo (IR− {0}, ·) no es isomorfo a (IR, +) ya que x + x = a siempretiene solucion para cada a ∈ IR, 2x = a =⇒ x = a

2, mientras x ·x = a, que

es la ecuacion equivalente no tiene siempre solucion en (IR − {0}, ·), tomesea = −1.

Ejemplo 12.

Los grupos (Cl −{0}, ·) (IR−{0}, ·) no son isomorfos ya que x2 = −1 tienedos soluciones {i, −i} en (Cl −{0}, ·), mientras que no tiene en (IR−{0}, ·).

Ejemplo 13.

Sea G cualquier grupo, la funcion identidad de un grupo en si mismodefinida por I : G −→ G, i(g) = g es un automorfismo de G.

Ejemplo 14.

El grupo de Klein, es isomorfo a (ZZ2, +)× (ZZ2, +).En efecto, sea K = {e, a, b, c} y ZZ2 × ZZ2 = {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)},entonces se define:

f(e) = (0, 0),f(a) = (1, 0),f(b) = (0, 1),f(c) = (1, 1).

obviamente es inyectivo y sobreyectivo.Para ver que es homomorfismo revisarf(x2) y f(xy) con x 6= y, y ası se comprobara que es un isomorfismo.


Otra manera de probar lo mismo es observando que (ZZ2 × ZZ2) no tieneelementos de orden cuatro y ası este no puede ser cıclico de modo que launica posibilidad es que sea isomorfo al grupo de Klein.

Ejemplo 15.

Sea K = {e, a, b, c} el grupo de Klein y H = {e, g} un grupo de orden2. Definimos h : K −→ H por

h(e) = e,h(a) = e,h(b) = g,h(c) = g.

evidentemente no es un isomorfismo. Veamos sin embargo que es un homo-morfismo.h(a ◦ b) = h(c) = g mientras que h(a) ◦ h(b) = e ◦ g = g tambien,h(e ◦ b) = h(b) = g y h(e) ◦ h(b) = e ◦ g = g, mientras queh(b) ◦ h(c) = g ◦ g = e, · · ·, hay que verificar en total 16 productos.

Ejemplo 16.

Sea (ZZ, +) y sea H = {e, g} el grupo cıclico de orden 2. Definimos

h(n) =

{e , si n es par,g , si n es impar.

evidentemente h no puede ser un isomorfismo ya que no es inyectivo. Paraver que es homomorfismo veamos dos casos:1) Si n y m son ambos pares o impares, entonces n+m es par y h(n+m) = emientras que

h(n)h(m) =

{ee = e si n y m son pares,gg = e si n y m son impares.

2) Si n es par y m es impar, entonces n + m es impar y ası h(n + m) = gmientras que h(n)h(m) = eg = g. El caso en que n es impar y m es par essimilar. Ası que h define un homomorfismo de grupos.

8

Ejemplo 17.

Sean G = {a, a2, a3, · · · , a11, a12 = e} este grupo es cıclico y su subgrupoG′ = {a2, a4, a6, · · · , a12 = e} se ve que

G : −→ G′,an −→ h(an) = a2n.

es un homomorfismo de G en G′. (pruebelo!)

Ejemplo 18.

Demostrar que el grupo G, cuya tabla se da continuacion

· 1 -1-1 -1 11 1 -1

y el grupo H del cual tambien damos su tabla

0 10 0 11 1 0

son isomorfos. En efecto, basta definir h(1) = 0, h(−1) = 1 claramente hes una funcion biyectiva, solo debemos comprobar que h es un homomorfismo.

a) h(1 · 1) = h(1)h(1),b) h(−1 · 1) = h(−1)h(1),c) h(−1 · −1) = h(−1)h(−1),d) h(1 · −1) = h(1)h(−1).

ası que G ∼= H.

Definicion 2 Sea G un grupo, entonces

A(G) = {f : G −→ G | fes un isomorfismo},

es decir, A(G) es el conjunto de automorfismos de G en G.

Ejemplo 19.

Si f, g ∈ A(G), entonces f ◦ g ∈ A(G), donde ◦ es operacion composicionde funciones A(G). Es claro que (A(G), ◦) es un grupo.


Prueba

Probemos que ◦ es una operacion cerrada en A. Primero notemos que f ◦g esuna biyeccion de G en G ya que la composicion de dos funciones biyectivases una funcion biyectiva. Verifiquemos que f ◦ g es un homomorfismo de Aen A. se tiene que mostrar que

(f ◦ g)(ab) = (f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b), ∀a, b ∈ G.

En efecto,

(f ◦ g)(ab) = f(g(ab)),= f(g(a)g(b)),= f(g(a))f(g(b)),= (f ◦ g)(a)(f ◦ g)(b).

con lo que se prueba que ”◦” es una operacion binaria sobre A(G), las demaspropiedades de grupo se dejan como ejercicio.

Nota Las propiedades de los grupos de automorfismos son muy interesantes.Ası si G, H son grupos tales G ∼= H, entonces A(G) ∼= A(H) tambien. Esimportante hacer notar que el recıproco no es cierto.

Ejemplo 20.

Consideremos el siguiente conjunto G = {a, b} con siguiente tabla es ungrupo

(a)· a ba a bb b a

(b)· a ba a bb b a

Encuentre el grupo de automorfismos de (G, ·). Mostremos que la funcionidentidad, es el unico automorfismo posible ya que la otra posibilidad serıa:

h(a) = b,h(b) = a.

Ahora bien h(bb) = h(a) = b, pero h(b)h(b) = aa = a, de donde se sigueque h(bb) 6= h(b)h(b) y de este modo h no es un homomorfismo y ası el unicoautomorfismo es la identidad.

Teorema 2 Sean H y G grupos tales que H ∼= G, entonces A(G) ∼= A(H).

10

PruebaDado que G ∼= H, entonces existe f : G −→ H la cual es un isomorfismo deG en H. Para cualquier h ∈ A(G), definimos Tf por

Tf (h) = f ◦ h ◦ f−1.

Claramente f−1 es un isomorfismo de H en G, ya que f lo es de G en H.Por lo tanto, es claro Tf (h) ∈ A(H), y ası Tf , es un isomorfismo de A(G) enA(H), con lo que A(G) ∼= A(H).

0.1.1. Imagen y nucleo de un homomorfismo

Definicion 3 Sean G y H grupos y considere un homomorfismo

f : G −→ H

se definea) Imagen de F como el conjunto de las imagenes del homomorfismo f , esdecir

I(f) = {f(g) | g ∈ G}b) Nucleo de f ,o kernel de f como el conjunto de preimagenes del neutro eH

de H, es decirN(f) = {g ∈ G | f(g) = eH}

Nota El N(f) 6= ∅ siempre, ya que e ∈ G, f(e) = e.

Ejemplo 21.

Volvamos al ejemplo del homomorfismo h : K = {e, a, b, c} −→ {e, g}donde h(e) = e, h(a) = e, h(b) = g, h(c) = g.Ası el nucleo de esta funcion es N(h) = {e, a}, mientras que el conjuntoimagen es I(h) = {e, g}

Ejemplo 22.

El homomorfismo h : ZZ −→ {e, g} definido por:

h(n) =

{e si n es par,g si n es impar.

N(h) = {2n |n ∈ ZZ}.


Ejemplo 23.

Sea G = {e, g, g2} el grupo cıclico de orden 3

e g g2

e e g g2

g g g2 eg2 g2 e g

definimos h : {e, g, g2} −→ S3 por:

h(e) = f0, h(g) = f3, h(g2) = f4,

cuyo nucleo es {e}. Muestre que h es un homomorfismo, probando que losnueve productos de pares de elementos de G son preservados por h.

I(h) = {h(g) | g ∈ G} = {f0, f3, f4}.

Ejemplo 24.

Considere (ZZm, +) y (ZZn, +) grupos aditivos donde n|m. Se define lafuncion

f : ZZm −→ ZZn

donde

f(a) = a (mod m) y (mod n) respectivamente a ∈ ZZ.

Probaremos que la funcion es un isomorfismo, y hallaremos su nucleo.Pruebaa) En primer lugar notemos que f esta bien definido, es decir,

a (mod m) = a′ (mod m)

,entonces f(a) (mod n) = f(a′) (mod n). En efecto,

a (mod m) = a′ (mod m),=⇒ m|(a′ − a),=⇒ n|(a′ − a),=⇒ a′ (mod n) = a (mod n),=⇒ f(a′) (mod m) = f(a) (mod m).

12

Se ha mostrado ası que f esta bien definida.b) Ahora mostremos que f es un homomorfismo. En efecto, sean a, b ∈ ZZm

f(a + b) = f(a + b),= (a + b) (mod n),= a (mod n) + b (mod n),= f(a) + f(b).

c) Es claro que f es sobreyectivo. ¿Por que?d) Para analizar la inyectividad hay analizemos el nucleo. En efecto, seaa (mod n) ∈ nucleo de f ,

=⇒ f(a (mod n)) = 0 (mod n),=⇒ a (mod n) = 0 (mod n),=⇒ n|a.

Por lo tanto, si escribimos m = nd, entonces nucleo de f consiste en lossiguientes d elementos

{0, n, 2n, 3n, · · · , (d− 1)n}

el cual es un subgrupo normal de ZZm.

Teorema 3 Si f : G −→ H un homomorfismo de grupos, entoncesa) La imagen de f es un subgrupo de Hb) El nucleo de f es un subgrupo normal de G.

Pruebaa)Sean f(g1), f(g2) ∈ Im(f), entonces

f(g1)[f(g2)]−1 = f(g1)f(g−1

2 ) = f(g1g−12 )

lo cual pertenece a Im(f), pues g1g−12 ∈ G. Por lo tanto I(f) es un subgrupo

de H.b) Hay que demostrar que si g1, g2 ∈ N(f), entonces g1 ◦g−1

2 ∈ N(f). Si tantog1 como g2 ∈ N(f), entonces esto significa que f(g1) = e, f(g2) = e, dondee es el elemento identidad de H. Ası:

f(g1g−12 ) = f(g1)f(g−1

2 ),= f(g1)(f(g2))

−1,= ee,= e,


lo cual implica que g1g−12 ∈ N(f) y por lo tanto N(f) es un subgrupo de G.

Mostremos ahora que I(f) es un subgrupo normal de G.Sea g ∈ G y sea n ∈ N(f), entonces

f(g−1ng) = f(g−1)f(n)f(g) = [f(g)]−1ef(g) = e

por lo que g−1ng ∈ N(f) y como n, g eran arbitrarios, se cumple que g−1N(f)g ⊆N(f), o sea que N(f)� G.

Teorema 4 Si f : G −→ H un homomorfismo de grupos, entonces f es unmonomorfismo ⇔ N(f) = {eG}

Prueba⇒ Supongamos que f es inyectiva, y sea g ∈ N(f), entonces

f(g) = eH = f(eG)⇒= eG ⇒ N(f) = {eG}

⇐ Supongamos ahora que N(f) = {eG}. Entonces si

f(g1) = f(g2)⇒ f(g1)[f(g2)]−1 = eH ⇒ f(g1)f(g−1

2 ) = eH ,⇒ f(g1g2)

−1 = eH ,⇒ g1g

−12 ∈ N(f),

⇒ g1g−12 = eG,

⇒ g1 = g2

0.1.2. Grupos cıclicos e isomorfismos

Teorema 5 Dos grupos cıclicos del mismo orden son isomorfos.

PruebaSean C = < c > y D = < d > dos grupos cıclicos de orden n, es decir,| D |= | C |= n, definimos:

f : C −→ D,ck −→ f(ck) = dk.

para 0 ≤ k ≤ n−1, es sobreyectivo por teorema anterior y como | C |= | D |,entonces es inyectivo y por lo tanto biyectivo, y ası un isomorfismo.

14

Corolario Sea C = < c > tal que | C |= n, entonces C es isomorfo a(ZZn, +).

Nota Ası hemos contestado algunas preguntas con respecto a los gruposcıclicos.

(a) ¿ Son cıclicos los subgrupos de los grupos cıclicos?

(b) ¿ Cuantos subgrupos distintos se obtienen a partir de un grupo cıclico(con orden menor que el orden del grupo)?

(c) Un hecho interesante que puede responderse acerca de los grupos cıcli-cos es la siguiente: ¿ Existen grupos cıclicos de cualquier orden m paracualquier entero (finito) m > 0 ?. La respuesta es afirmativa como semuestra a continuacion,

Cm =

(1 2 · · · m− 1 m2 3 · · · m 1

),

C2m =

(1 2 · · · m− 2 m− 1 m3 4 · · · m 1 2

),

Cmm =

(1 2 · · · m1 2 · · · m

)= I.

Es claro que todos los elementos {I, σm, σ2m, · · · , σm−1

m } son distintos yH = < σm > es cıclico de orden m.

(d) ¿Existen dos grupos cıclicos de orden m, que sean esencialmente difer-entes?. Dicho de otro modo: si dos grupos cıclicos son de orden m, ¿son estos isomorfos ?. Ya sabemos cual es la respuesta.

Teorema 6 Todos los grupos cıclicos de orden infinito son isomorfos.

PruebaSean G = < g > y H = < h > dos grupos cıclicos infinitos cualesquiera.Definimos

f : H −→ G,hk −→ f(hk) = gk, ∀k ∈ ZZ.

es evidente que f es una funcion, la cual es sobreyectiva ya que si gm ∈<g >, existe el correspondiente hm ∈ H tal que f(hm) = gm tambien es


suficientemente claro que

f(hkhl) = f(hk+l),= gk+l,= gkgl,= f(hk)f(hl),

es decir, f es un homomorfismo. Veamos que f es inyectivo, En efecto, si

f(hm) = f(hn),=⇒ gm = gn,=⇒ m = n,

(por teorema anterior y su corolario) =⇒ hm = hn =⇒ f es inyectivo y porlo tanto un isomorfismo.Corolario Sea G = < g >, un grupo cıclico infinito, entonces < g > esisomorfo en (ZZ, +).PruebaConsideremos

f : ZZ −→ < g >,n −→ gn = f(n).

NOTA: a) Ası solo hay esencialmente un grupo cıclico de orden 2.b) Solo existe un grupo cıclico de orden 3.c) Existen al menos dos grupos de orden 4 distintos, el Klein y el cıclico deorden 4.d) Existen al menos dos grupos diferentes de orden 6, (ZZ6, +) y (S3, ◦).f) Los grupos (ZZ, +) y (Ql , +) no son isomorfos ya que ZZ = < 1 > escıclico y (Ql , +) no lo es.

Ejemplo 25.

Considere ZZ2 × ZZ3, con el producto directo usual de grupos, el cualsabemos tiene 2 · 3 = 6 elementos,(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1) y (1, 2). Afirmamos ZZ2 × ZZ3 es cıclico. Enefecto,

1(1, 1) = (1, 1),2(1, 1) = (1, 1) + (1, 1) = (0, 2),3(1, 1) = (1, 1) + (1, 1) + (1, 1) = (1, 3),4(1, 1) = 3(1, 1) + (1, 1) = (1, 0) + (1, 1) = (0, 1),5(1, 1) = 4(1, 1) + (1, 1), = (0, 1) + (1, 1) = (1, 2),6(1, 1) = 5(1, 1) + (1, 1) = (0, 0).

16

Ası que (1, 1) genera a (ZZ2 × ZZ3) y tiene orden 6, entonces ZZ2 × ZZ3∼= ZZ6.

Ejemplo 26.

Consideremos el grupo cociente ZZ/3ZZ, (ZZ, +) yN = 3ZZ, de donde {3ZZ, 1 + 3ZZ, 2 + 3ZZ} = ZZ/3ZZ, es un grupo cıclicode orden 3, isomorfo a ZZ3. Construya la tabla.

Ejemplo 27.

El grupo (ZZ4 × ZZ6)/ < (0, 1) > aquı < (0, 1) > es un subgrupo cıclicode ZZ4 × ZZ6 generado por (0, 1), ası

< (0, 1) > = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5)}.

Dado que ZZ4 × ZZ6 tiene 24 elementos y H = < (0, 1) > tiene 6 elementos,entonces (ZZ4,×ZZ6)/H debe tener orden 4. Dado que ZZ4 ×ZZ6, es abeliano,ası (ZZ4 × ZZ6)/H es abeliano tambien, ademas note que

(ZZ4 × ZZ6)/H = {(0, 0) + H, (1, 0) + H, (2, 0) + H, (3, 0) + H},

que es isomorfo a ZZ4.

Ejemplo 28.

Halle un isomorfismo entre el grupo cıclico general de orden 4 y (ZZ4, +).En efecto, sea < a > el grupo cıclico de orden cuatro; ası:

< a > = {e, a, a2, a3},ZZ4

f−→ < a >,0 −→ a0 = f(0) = e,1 −→ a1 = f(1),2 −→ a2 = f(2),3 −→ a3 = f(3).

es claramente un isomorfismo, en realidad basta 1←→ a.

Teorema 7 Si N es un subgrupo normal de un grupo G, y h : G −→ G/N,el cual se define h(g) = gN, entonces h es llamado el homomorfismo canonicode G en G/N.

Prueba


h es sobreyectivo, para xN ∈ G/N, h(x) = xN. Que h es homomorfismo. Enefecto,

h(g1g2) = g1g2N,= g1N · g2N,= h(g1)h(g2).

Ejemplo 29.

Sea G = {e, g, g1} y H = {e, h, h1} y consideremos los grupos de orden3 asociados a estos grupos dados en la siguiente tabla.

◦ e g g1

e e g g1

g g g1 eg1 g1 e g

◦ e h h1

e e h h1

h h h1 eh1 h1 e h

Es claro que ”e” es la identidad de G y F es la identidad de H. Se notaen las tablas de estos grupos su similitud desde el punto estructural y yel hecho de que pueden ser sustituidos e por e, g por h, g1 por h1 paraası obtener exactamente la tabla de H. En otras palabras estos grupos sonesencialmente el mismo. Lo importante es saber que no siempre es posibleidentificar dos grupos con el mismo numero de elementos como en presenteejemplo. Ası podemos definir la funcion f de G en F tal que

f(x ◦ y) = f(x) ◦ f(y) ∀x, y ∈ G

del siguiente modo

f(e) = e, f(g) = h, f(g1) = h1,

18

y ademas

f(e) ◦ f(e) = e ◦ e = e = f(e ◦ e),f(e) ◦ f(g) = e ◦ h = h = f(e ◦ g),f(g) ◦ f(e) = h ◦ e = h = f(g ◦ e),f(e) ◦ f(g1) = e ◦ h1 = h1 = f(e ◦ g1),f(g1) ◦ f(e) = h1 ◦ e = h1 = f(g1 ◦ e),f(g) ◦ f(g1) = h ◦ h1 = e = f(g ◦ g1),f(g1) ◦ f(g) = h1 ◦ h = e = f(g1 ◦ g),f(g) ◦ f(g) = h ◦ h = h1 = f(g ◦ g),f(g1) ◦ f(g1) = h1 ◦ h1 = h = f(g1 ◦ g1).

De modo que f es biyectivo, y por lo tanto un isomorfismo de grupos G y H.


Ejercicios Propuestos

1. Determine cual de las siguientes funciones son homomorfismos:a) h : ZZ −→ IR ambos conjuntos con la suma y h(n) = n,b) h : IR −→ ZZ ambos conjuntos con la suma yh(x) = el mayor entero menor o igual a x,c) h : IR∗ → IR∗ con la multiplicacion y h(x) = |x|,d) h : ZZ6 −→ ZZ2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre 2,e) h : ZZ9 −→ ZZ2 con la suma y h(x) = el residuo de dividir x entre 2.

2. Halle todos los automorfismos de un grupo cıclico de orden 3.

3. Halle todos los automorfismos del grupo de Klein en si mismo.

4. Sean grupos G1 y G2, considere la funcion h1 : G1 × G2 −→ G1 dadapor h1(x, y) = x. Muestre que h1 es un homomorfismo. ¿Cual es elnucleo?.

5. Determine cuales de las siguientes funciones son homomorfismos. Si lafuncion es un homomorfismo, describa su nucleo y la imagen de este.a) h : ZZ −→ IR ambos grupos bajo la suma usual y donde

h(n) = n.

b) h : IR −→ ZZ ambos grupos bajo la suma usual y donde

h(n) = el entero mas grande ≤ x.

6. Pruebe que un automorfismo queda totalmente determinado por sudefinicion en el generador del grupo, si este es cıclico.

7. Muestre que hx : G −→ G, definido por f(g) = g−1 para cada g ∈ G,es un automorfismo si y solo si G es abeliano.

8. Si A es un grupo abeliano de orden n y h un homomorfismo de A enA definido por h(a) = ak, donde k es un entero, muestre que:(a) h es un homomorfismo.(b) h es un isomorfismo si m.c.d(n,k) = 1.R: Recuerde que existen c, d ∈ ZZ tal que a1 = anc+kd. Esto ayudara amostrar que h es sobreyectivo y por lo tanto inyectivo.

20

9. Sea G el grupo de polinomios de grado n con coeficientes en IR sih : G −→ G, definido por

h(n∑

i=1

aixi) = (

n∑i=1

aixi)′ = (

n−1∑i=1

iaix−i)

a) Determine si h es o no un homomorfismo.b) Determine si inyectivo. Si es sobreyectivo.

10. Si G = IR3, y G = IR2, con la suma como aperacion para ambos parah : IR3 −→ IR2, se define por f(a, b, c) = (a, b) determine si f es o noun homomorfismo. Determine su nucleo.

11. Sea h : (IR, +) −→ GL(2, IR) definido por

h(x) =

(cos(x) sin(x)− sin(x) cos(x)

).

Muestre que h es un homomorfismo sobreyectivo.

12. ¿Cual de los siguientes grupos son isomorfos entre si?

(ZZ, +), (2ZZ, +), (ZZ20, +), (Ql +, +), (Ql +, ·), (ZZ8, +), D4, GL(2, IR).

R: Resulta que D4 y GL(2, IR) no son isomorfos a ninguno de los otrosgrupos, pues todos los otros grupos son abelianos mientras que estosdos no lo son. Por otro lado los grupos ZZ20, ZZ8, D4 y GL(2, IR) sonisomorfos solo a ellos mismos, mientras ZZ y 2ZZ son isomorfos ya quepuede, definirse h : ZZ −→ 2ZZ por medio de h(n) = 2n. Por otro ladox2 = 2 en (Ql +, ·) y h(2) = 2x muestran que (Ql +, ·) y (Ql , +) no sonisomorfos entre si. Dado que ninguno de los grupos anteriores es cıclicoentonces estos no pueden ser isomorfos a (ZZ, +).

13. Sea G un grupo.a) Si es un homomorfismo tal que h(0, 1) = k, encuentrese h(m, n).b) Sean l, q ∈ G y sea g : ZZ×ZZ −→ G definida por g(m, n) = lmqn.Dese un condicion necesaria y suficiente para que g un isomorfismo.Pruebese la condicion.

14. Muestre que no es posible hallar un isomorfismo entre los grupos (IR, +)y (IR− {0}, ·).


15. Muestre que la condicion de ser isomorfismo entre grupos, define unarelacion de equivalencia sobre el conjunto de todos los grupos.

16. Muestre que los elementos G = {m+n√

2 |m, n ∈ ZZ}, es un grupo Gbajo la adicion. Muestre que S, = {5k3l | l, k ∈ ZZ} es un grupo S conla multiplicacion. ¿Es G isomorfo a S?R: Si son isomorfos.

17. Sea h : G −→ G′ un isomorfismo del grupo G en el grupo G′. Muestreque h−1 : G′ −→ G, definida por

h−1(x′) = x,

tal que h(x) = x′ para x′ ∈ G′, es una funcion bien definida la cualresulta ser un isomorfismo.

18. ¿Cuantos isomorfismos de ZZ2 en ZZ2 distintos pueden definirse?. Lamisma pregunta con ZZ6, ZZ8, ZZ, ZZ17. R: 1, 2, 4, 2, 16

19. Sea (G, ·) un grupo. Considere la operacion binaria definida sobre elconjunto G por a ∗ b = b · a para cada a, b ∈ G. Muestre que (G, ∗) esun grupo y que este es isomorfo a (G, ·).R: Considere la funcion h(g) = g−1.

20. Pruebe que el grupo S3 y el grupo (ZZ6, +) no son isomorfos y que salvoisomorfismos no existen otros grupos de orden 6 mas que estos.

21. Sea p numero primo, entonces salvo isomorfismo, existe un unico grupode orden p, simplemente el grupo cıclico de orden p.

22. Sean los grupos (ZZ10, +) y (ZZ∗11, ·) cıclicos de orden 10. Encuentre un

isomorfismo:h : ZZ10 −→ ZZ∗

11

para el cual: (i) h(1) = 2 , (ii) h(1) = 3. Halle tantos isomorfismoscomo sea posible entre estos grupos.R: i) Si; h(1) = 2 , h(2) = 4 , h(3) = 8, h(4) = 5 , h(5) =10 , h(6) = 9 , h(7) = 7 , h(8) = 3 , h(9) = 6 , h(0) = 1.

23. Considere cada uno de los siguientes grupos y en cada caso describa losautomorfismos posibles que se puedan construir, ¿Cuantos hay en cada

22

caso?:a) (ZZ, +),b) (ZZ7, +),c) El grupo cıclico de orden p, con p primo, con la operacion de multi-plicacion y con a a como generador,d) El grupo S3,e) El grupo cıclico con generador a y de orden n,f) De dos argumentos para mostrar que el grupo de klein K no esisomorfo a ZZ4.

24. Complete cada una de las siguientes lista de proposiciones:a) ZZ3 × ZZ4 tiene orden,b) El elemento (4, 2) de ZZ12 × ZZ8 tiene orden,c) El grupo K de Klein es isomorfo a ZZ × ZZ,d) El grupo ZZ2 × ZZ4 tiene elementos de orden finito

25. Comprobar que el nucleo del homomorfismo canonico del grupo de losenteros (ZZ, +) sobre ZZ/2ZZ es 2ZZ.

26. Demostrar que si G es un grupo cıclico de orden n, y si p|n, entoncesexiste un homomorfismo de G sobre el grupo cıclico de orden p. ¿Cuales el nucleo de este homomorfismo?.

27. Demostrar que si h : G −→ K es un homomorfismo y |G| < ∞,entonces |h(G)| divide al orden de G.

28. Supongase que G y H son dos grupos. Supongase que G no puede sergenerado por dos elementos pero que H sı. Demostrar que G y H nopueden ser isomorfos.

29. a) ¿Cuantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de ZZ −→ ZZ?,b) ¿Cuantos homomorfismos distintos inyectivos hay de ZZ −→ ZZ?,c)¿Cuantos homomorfismos distintos sobreyectivos hay de ZZ −→ ZZ8?,d) ¿Cuantos homomorfismos distintos hay de ZZ −→ ZZ8?.e) ¿Cuantos epimorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ5?,f) ¿Cuantos homomorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ6?,g) ¿Cuantos epimorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ6?,h) ¿Cuantos homomorfismos sobreyectivos hay de ZZ12 −→ ZZ14?,i) ¿Cuantos homomorfismos distintos hay de ZZ12 −→ ZZ16?.


30. a) ¿Cuantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2?,b) ¿Cuantos homomorfismos sobreyectivos existen de ZZ2×ZZ2 en ZZ2?,c) ¿Cuantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ6?,d) ¿Cuantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 × ZZ2 × ZZ2?,d) ¿Cuantos homomorfismos existen de ZZ2 × ZZ2 en ZZ2 × ZZ2 × ZZ4?.

31. Diga si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones:( ) Cualesquiera dos grupos con el mismo orden son isomorfos( ) Cualesquier funcion biyectiva es un isomorfismo( ) Un grupo de orden 30 puede ser isomorfo a uno de orden 72.( ) Cada homomorfismo es un isomorfismo( ) Cada isomorfismo es un homomorfismo( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo puedatener 4 elementos( ) La imagen de un grupo de orden 6 bajo un homomorfismo puedatener 12 elementos( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno deorden 12( ) Puede existir un homomorfismo de un grupo de orden 6 a uno deorden 10( ) Cualquiera dos grupos de orden tres son isomorfos( ) Existe solo un grupo cıclico de orden finito salvo isomorfismo( ) La propiedad de ser cıclico es una propiedad algebraıca.( ) Es posible tener un homorfismo de un grupo infinito en un grupofinito.( ) Puede ser que un grupo G cıclico no trivial sea isomorfo a uno desus subgrupos propios.

32. Pruebe que conjunto de automorfismos de ZZ es isomorfo a (ZZ2, +), esdecir, A(ZZ) =∼= ZZ2.

33. Si G = 〈g〉 y h ∈ A(G), entonces G = 〈h(g)〉.

34. Si 〈x〉 = 〈y〉 = G, entonces la funcion h(xn) = yn, para cada n ∈ ZZes un automorfismo. Por lo tanto si G es cıclico, entonces |A(G)| esigual al numero de generadores de G.

35. Pruebe que A(ZZm) ∼= ZZ∗m.

24

36. Muestre que si G = 〈g〉 es cıclico de orden finito, entonces h(gn) = g−n

es un automorfismo de G en G.

Documents

0.1. Homomorfismos de Grupos - Los Hijos De Lagrange · PDF fileEjemplo 2. Sea A cualquier grupo abeliano definimos h(a) = a2, esta función es un homomorfismo de éste grupo