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DETERMINISMO Y TEORÍA CUÁNTICA

SELECCIÓN DE TEXTOS Y REFLEXIONES

ENSAYO FILOSÓFICO-CIENTÍFICO

Por

Isidoro López Santa Cruz y Martínez

ESTA UNIDAD SÓLO COMPRENDE:LA PRESENTACIÓN DEL ENSAYO Y LOS CAPÍTULOS I, II, III.

EL RESTO DEL ENSAYO SE OFRECE EN UNIDADES DE TRES O CUATRO CAPÍTULOS CADA UNA

Obra inscrita en el Registre de la Propietat Intel.lectual, Departament de Cultura de la Generalitat de Catalunya, con el número 1997/43/23762 y fecha 03/12/1997.

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A MODO DE FRONTISPICIO

SOBRE LA RELACIÓN ENTRE FILOSOFÍA Y CIENCIA.

Todo buen matemático es, como mínimo, medio filósofo, y todo buen filósofo es, como mínimo, medio matemático.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege.

Tengo para mí que todo auténtico teórico lleva dentro de sí un metafísico domesticado, por muy positivista que se imagine ser.

Albert Einstein.

Estoy convencido que la física teórica es auténtica filosofía.Max Born.

Un filósofo es un escéptico que busca una hipótesis plausible para explicarse el conjunto de las experiencias. Imaginando que haya encontrado la clave, la propone a otros, pero no la impone.

Henri Frédéric Amiel.

A Descartes le daban lástima los Jonios; él, a su vez, nos hace sonreír; indudablemente, algún día, nuestros hijos se reirán de nosotros.

Henri Poincaré

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PROEMIO

Dos palabras al lector:

La finalidad de este ensayo es analizar si existe alguna razón válida, en el marco de la teoría cuántica, que nos pudiera obligar a aceptar el indeterminismo objetivo y radical, esto es, inherente a las propias leyes de la naturaleza, como lo propugnaron destacados físicos, Niels Bohr, Max Born, Werner Heisenberg, Pascual Jordan y otros.

El indeterminismo cuántico, en el sentido antes expresado, así como el determinismo laplaciano de la física clásica, no representan, en mi opinión, puros hechos de experiencia, ni tampoco son la consecuencia de teorema alguno. Entran, pues, en el campo de la interpretación, de la hermenéutica física como diría Helmholtz, más o menos razonable, que cabalga a ahorcajadas entre los dominios de la ciencia y la filosofía.

El destinatario del ensayo es el lector culto, no necesariamente físico, matemático o filósofo, por lo que me impongo la tarea de familiarizar al lector con los rudimentos de la teoría cuántica, en lo pertinente al tema central del libro. Los primeros capítulos, aproximadamente más de la mitad del ensayo, cumplen, o pretender cumplir, con este objetivo. Están cuajados de copiosos textos, hermosos y sencillos, de eminentes físicos, que guardan un valor didáctico inestimable, independientemente de la validez de la tesis aquí sostenida, por lo que el ensayo merecería subtitularse: Antología de Textos Relativos a la Teoría Cuántica. En los capítulos siguientes, se analizan diversos hechos e interpretaciones, y se exponen los argumentos a favor de la tesis del autor de este ensayo. La posición del autor guarda una relación estrecha con la del eminente físico teórico, Max Planck, iniciador de la teoría cuántica.

En un principio no fue, en absoluto, la intención del autor el proponer una interpretación de los extraños sucesos cuánticos en línea con el pensamiento de Max Planck. Este paralelismo, hasta cierto punto acusado, entre ambas perspectivas la del ilustre físico y la del autor de este ensayo se me ha ido haciendo patente conforme avanzaba en el análisis y valoración de los sorprendentes procesos cuánticos.

Aunque la conclusión, a la que me lleva el análisis lógico, no te convenza, confío, amable lector, que disfrutes de los variados y muy valiosos textos de diversos científicos que para ti he seleccionado.

Para cualquier comentario o consulta puedes encontrarme en:

Isidrolomar@mailpersonal.com

Madrid, Abril de 2006

Isidro López

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RELACIÓN DE CAPÍTULOS

PROEMIO

CAPÍTULO I

La Ley de Radiación del Cuerpo Negro de Max Planck.

CAPÍTULO II

Consecuencias de la Teoría de Radiación de Max Planck. Los efectos Fotoeléctrico y de Compton.

CAPÍTULO III

Desde el Átomo de Rutherford al Modelo de Bohr.

CAPÍTULO IV

Las Órbitas Elípticas de Arnold Sommerfeld.Los Principios de Correspondencia y Exclusión.

CAPÍTULO V

La Nueva Mecánica Cuántica Matricial

CAPÍTULO VI

La Mecánica Cuántica Ondulatoria.

CAPÍTULO VII

Desde las Ondas de Materia a las Ondas de Probabilidad.

CAPÍTULO VIII

Principio de Indeterminación de Werner Heisenberg.

CAPÍTULO IX

El Concepto Bohriano de la Complementariedad.

CAPÍTULO X

El Determinismo Físico y el Principio de Causalidad.

CAPÍTULO XI

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¿Fallo, o Inaplicabilidad, del Determinismo?

CAPÍTULO XII

Determinismo y Azar. Regularidades Estadísticas Cuánticas.

CAPÍTULO XIII

La Contradicción Inherente al Indeterminismo Cuántico Radical y Objetivo.

CAPÍTULO XIV

Desde el Argumento “E. P. R.” a las Desigualdades de Bell.

CAPÍTULO XV

La Posición Epistemológica del Mentalismo Moderno.

CAPÍTULO XVI

Sobre el Fracaso del Mecanicismo.

CAPÍTULO XVII

Mecánica Cuántica y Libre Albedrío..

EPÍLOGO

Conclusiones de este ensayo.

APÉNDICES VARIOS:

Bosquejo de ulteriores desarrollos cuánticos. Física de Partículas.La Ecuación de Schrödinger.

Experimento Mental de Heisenberg, basado en el Microscopio de Rayos Gamma.Principio de Falsación. Exposición del Método Hipotético-Deductivo por Max Planck.

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TEMAS POR CAPÍTULOS

PRIMERA PARTE

Capítulo I. La Ley de la Radiación del Cuerpo Negro de Max Planck.El extraño mundo cuántico. Max Planck y el problema de la radiación del cuerpo negro. Ley del Corrimiento de Wien. Ley de Stefan. Leyes de la radiación de Wien y de Raleygh-Jeans. Ley de la radiación de Planck.

Capítulo II. Consecuencias de la Teoría de la Radiación de Max Planck. Los Efectos Fotoeléctrico y de Compton.Consecuencias de la teoría de Max Planck. Cómo obra el quantum elemental de acción. Primera conferencia de Solvay. Actitud de Max Planck ante su propio descubrimiento. Efecto fotoeléctrico. Efecto Compton. Consecuencia del tamaño de la constante de Planck. Bosquejo biográfico de Max Planck y elogios a su labor científica.

Capítulo III. Desde el Átomo de Rutherford al Modelo de Bohr.Programa de investigación propuesto por Poincaré. El átomo de Lord Rutherford. Semblanza de Ernest Rutherford. Aparente simplicidad de la naturaleza. El átomo de Niels Bohr. Postulados del modelo de Bohr. El átomo de Bohr en cifras. Los espectros atómicos. El espectro del hidrógeno. Balmer, Ritz y otros. Estabilidad de la materia.

Capítulo IV. Las Órbitas Elípticas de Sommerfeld. Los Principio de Correspondencia y Exclusión.Las órbitas elípticas de Sommerfeld explican el efecto Zeeman. Sommerfeld crea dos nuevos números cuánticos. El principio de correspondencia de Niels Bohr. Los átomos de Rydberg. El principio de exclusión de Pauli. El cuarto número cuántico, el spin. El principio de exclusión y la estabilidad de la materia. Las manzanas de Dyson. Dos modelos del núcleo.

Capítulo V. La Nueva Mecánica Cuántica Matricial.Época de transición en la teoría cuántica. Las magnitudes observables. Heisenberg relata cómo descubrió la mecánica cuántica matricial. Las series de Fourier. Relato complementario de Pascual Jordan. Cómo surgen las matrices en la mecánica cuántica. La analogía de J. Jeans. Con W. Pauli la mecánica matricial pasa su primer test.

Capítulo VI. La Mecánica Cuántica Ondulatoria.Las ondas de materia de Louis de Broglie. L. de Broglie como precursor de Erwin Schrödinger. La ecuación diferencial de ondas de Schrödinger. Fórmula de la misma. La expresión de la energía en la ecuación diferencial. Valores propios de la energía y funciones propias. La función que desempeña el término de energía. La ecuación de Schrödinger y el spin. ¿Qué representa el símbolo ? Rasgos fundamentales de la ecuación, según Max Planck. Breve reseña sobre Schrödinger.

Capítulo VII. Desde las Ondas de Materia a las Ondas de Probabilidad.Ondas de Materia: la interpretación intuitiva de Schrödinger. El debate “Bohr-Schrödinger” sobre la interpretación de la cuántica. Fracaso de la interpretación brogliana de la onda piloto. Ondas de probabilidad. La interpretación probabilística y abstracta de Max Born. Sugestiva imagen de J. Jeans. La interpretación de la magnitud como distribución de la densidad de la carga electrónica, según Schrödinger. Enunciado del probabilismo cuántico por Dirac, Jeans, Hawkings y L. de Broglie. Probabilismo y efecto Túnel. La función de onda como representación de cómo evoluciona nuestro conocimiento acerca de los procesos cuánticos.

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SEGUNDA PARTE

Capítulo VIII. Principio de Indeterminación de Werner Heisenberg.Circunstancias en que se formuló el principio de incertidumbre. Magnitudes observables. Sólo la teoría decide acerca de lo que se puede observar. Exposición del principio de indeterminación desde el punto de vista de la teoría corpuscular. Exposición del principio de incertidumbre en el marco de la teoría ondulatoria. El principio de indeterminación aplicado a otras magnitudes conjugadas. Insólitas aplicaciones del principio de indeterminación. ¿Principio de indeterminación o de incertidumbre?

Capítulo IX. El Concepto Bohriano de la Complementariedad.Debate secular entre las dos teorías rivales, corpuscular y ondulatoria. Enunciado del principio de complementariedad. La dualidad onda-corpúsculo en los físicos contemporáneos. Comparación de ambos principios: complementariedad e indeterminación. Preeminencia del principio de indeterminación. Complementariedad: un principio que vale casi para todo. Biología y cuántica.

Capítulo X. El Determinismo Físico y el Principio de Causalidad.Qué se entiende por determinismo físico. Textos de Laplace y Poincaré. Críticas de B. Russell al principio de causalidad. Ecuaciones diferenciales y determinismo. Precisiones de Einstein y Poincaré sobre las ecuaciones diferenciales. Del determinismo mecanicista al determinismo morfológico. El principio leibniziano de razón suficiente. El error de Hume y la categoría kantiana de la causalidad. La opinión de Einstein sobre la causalidad en la nueva física. La posición moderada de Max Planck.

Capítulo XI. ¿Fallo, o Inaplicabilidad, del Determinismo?Analizando las críticas de Heisenberg al determinismo. Las figuras lógicas del condicional y del bicondicional. La clarificación de Bertrand Russell sobre el principio de indeterminación. La anfibología contenida en la interpretación del principio de indeterminación, puesta de manifiesto por Bertrand Russell y Herbert L. Samuel. El paralogismo (homonimia) de Max Born. Análisis lingüístico del término alemán bestimmen (determinar).

Capítulo XII. Determinismo y Azar. Regularidades Estadísticas Cuánticas.Qué es el azar. Textos de Poincaré. Un hecho fortuito es un hecho no explicado. Una anécdota de von Neumann. ¿Son real y totalmente aleatorios los procesos cuánticos? Las regularidades estadísticas cuánticas constituyen el talón de Aquiles del indeterminismo radical. El argumento tecnológico. Las constantes universales de la física. El mundo subyacente a los fenómenos cuánticos. El substratum de Paul Dirac y Max Born. Análisis de la expresión: experimento bajo idénticas condiciones. Reflexiones de Max Planck sobre el azar en el lanzamiento de dados. La ley de los grandes números. Paralelismo formal entre las regularidades estadísticas cuánticas y las de los juegos de azar.

Capítulo XIII. La Contradicción Inherente al Indeterminismo Cuántico Radical y Objetivo.La perturbación del proceso cuántico por la observación. Bohr y Heisenberg enfrentados ante la perturbación por el observador. La contradicción inherente al determinismo cuántico: contradictio in terminis. Analizando un texto Max Planck. La observación y el experimento como intercambios de energía. Indagando la raíz del principio de indeterminación. La acción causal de la medida y el colapso de onda.

Capítulo XIV. Desde el Argumento “EPR” a las Desigualdades de Bell.El determinismo en el V Congreso Solvay de Física, 1927. Relato del congreso por Louis de Broglie. El Gran Debate entre Einstein y Bohr. Desde el argumento EPR a las desigualdades de Bell. Las correlaciones cuánticas. Los efectos cuánticos de correlación implican una menor aleatoriedad. El sacrificio de la partícula clásica, según Max Planck. La opinión de Paul Langevin sobre el famoso debate.

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TERCERA PARTE

Capítulo XV. La Posición Epistemológica del Mentalismo Moderno.La existencia del mundo exterior. Dos postulados fundamentales de la ciencia. La física como interpretación o hermenéutica. El mentalismo moderado y razonable. George Berkeley. Reflexionando sobre un cuadro de Velázquez. La realidad sin rostro. La mente es el objeto primero y más inmediato que conocemos; todo lo demás es inferencia remota. Tres planos o niveles de lo real. Textos de Jeans, Eddington y Russell. Correspondencia unívoca degradada. El substratum de Dirac.

Capítulo XVI. Sobre el Fracaso del Mecanicismo y del Apriorismo.Mecanicismo universal, su hegemonía y hundimiento. El abandono del éter mecánico. El final de la era mecánica en la física. Desmaterialización de la materia. Monismo o dualidad mente-materia. Reflexiones de Pierre Teilhard de Chardin y de Alfred North Whitehead sobre el psiquismo. La responsabilidad ética y la misma lógica, maltratadas en la hipótesis del fisicalismo universal y absoluto. Preeminencia del concepto de energía y su correlato físico. La energía, denominador común de la mente y la materia. El comportamiento matemático de las fuerzas de la naturaleza o energía. Abandono del apriorismo epistemológico.

Capítulo XVII. Mecánica Cuántica y Libre Albedrío.Indeterminismo y libre albedrío. Insuficiencia del determinismo como base de la ética. Bertrand Russell y el libre albedrío. Las incongruencias de Stuart Mill, Baruch Spinoza y de ciertas Iglesias Reformadas. William James y el libre albedrío. Otros textos alternativos al de Bertrand Russell. Insuficiencia del indeterminismo como base de la ética. El sentido íntimo, fundamento del libre albedrío. La propuesta de Teilhard de Chardin. Los motivos del libre albedrío no son fisicalistas. El mundo abierto de la ciencia actual.

Epílogo: conclusiones de este ensayo.

APÉNDICES VARIOS:

Bosquejo de ulteriores desarrollos cuánticos. Física de Partículas.Objetivo de estos rudimentos de cuántica. La ecuación relativista del electrón de Dirac. Cuantificación del campo electromagnético. Teoría Quantum electro-dynamic. Proliferación de partículas. Las cuatro fuerzas fundamentales. Las extrañas partículas quarks de la teoría standard. Los quarks poseen carga de color. Jerarquía de partículas. Teoría de la Quantum Chromo-dynamic. Los bosones. Teoría de la gran unificación. ¿Existen en la naturaleza partículas absolutamente elementales? En el principio era la simetría.La Ecuación de Schrödinger.El Experimento Mental de Heisenberg basado en el Microscopio de Rayos Gamma.Principio de Falsación. Exposición del Método Hipotético-Deductivo por Max Planck.

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PRIMERA PARTE

CAPÍTULO I

LA LEY DE LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRODE MAX PLANCK

Sumario:El extraño mundo cuántico. Max Planck y el problema de la radiación del cuerpo negro. Ley del Corrimiento de Wien. Ley de Stefan. Leyes de la radiación de Wien y de Raleygh-Jeans. Ley de la radiación de Planck

EL SORPRENDENTE MUNDO CUÁNTICO.

En cierta ocasión Niels Bohr comentaba a Werner Heisenberg:Hace algún tiempo se celebraron aquí, en Copenhague, unas sesiones de filosofía a las que asistieron, principalmente, partidarios de la moderna tendencia positivista. Los representantes de la escuela de Viena desempeñaron en ella un papel importante. Ante estos filósofos traté de hablar sobre la interpretación de la teoría cuántica. Tras mi conferencia no hubo objeción alguna, ni me plantearon preguntas difíciles; pero he de confesar que esta actitud me causó mayor frustración, pues cuando a alguien no le extraña la teoría cuántica, es indicio de que no la ha comprendido. Es probable que mi conferencia fuera tan mala, que nadie captara su contenido”.

Relatado por W. Heisenberg en su obra Der Teil und das Ganze. Gespräche im Umkreis der Atomphysik (La Parte y el Todo. Conversaciones en torno a la Física Atómica).

Por lo que al autor de este ensayo se refiere, dicha extrañeza, y el subsiguiente impulso de indagación, están en el origen de este ensayo.

MAX PLANCK Y EL PROBLEMA DE LA RADIACIÓN DEL CUERPO NEGRO.

Es bien conocido el comentario que el gran físico del siglo XIX, William Thomson (Lord Kelvin), hiciera en las postrimerías del siglo XIX acerca del porvenir de la física. Los problemas fundamentales estaban ya resueltos. Las nuevas generaciones de físicos sólo tendrían que aquilatar las conquistas ya conseguidas. No obstante, dio pruebas de gran perspicacia al señalar dos pequeñas nubes en el horizonte de la física: las fallidas experiencias de Albert Michelson sobre la detección del viento del éter por medios ópticos, y el enigma de la radiación del cuerpo negro. La primera nubecilla daría origen a la teoría de la relatividad especial, iniciada por Hendrik A. Lorentz, en gran parte anticipada por Jules Henri Poincaré y presentada, en forma acabada, por el genio de

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Albert Einstein; la segunda, iniciada por Max Planck, y desarrollada por toda una pléyade de científicos, Einstein entre ellos, dio nacimiento a la rama más frondosa de la física moderna: la teoría cuántica.En cuanto a esta última, así nos describe los primeros pasos su iniciador:

Ya en 1860 G. Kirchhoff había enunciado el principio según el cual en un recinto, limitado por paredes totalmente reflectantes, conteniendo cuerpos cualesquiera emisores y absorbentes, con el tiempo y mediante procesos irreversibles, se alcanza un estado estacionario de la radiación que depende de una sola variable, esto es, de la temperatura T, común a todos los cuerpos del recinto. Es el mismo estado de radiación que se obtiene en una cavidad, cuyas paredes están ennegrecidas y sometidas a la misma temperatura. Le corresponde una distribución, totalmente determinada, de la energía radiante que depende de las frecuencias de oscilación individuales “v” del espectro de radiación. Esta distribución, denominada normal, es una función de sólo T y “v”, con independencia de cualquier clase de material y, como yo estaba convencido de que una ley natural cuanto más sencilla mayor es su alcance, me pareció una tarea enormemente atractiva proseguir indagando hasta encontrar dicha función, que permanecía desconocida.Del capítulo titulado Zur Geschichte der Affindung des physicalischen Wirkungs-Quantum (Acerca de la Historia del Hallazgo del Quantum Elemental de Acción), de la obra Vorträge und Erinnerungen (Conferencias y Recuerdos) de Max Planck.Así inició Max Planck uno de los dos relatos en los que narra cómo llegó a la formulación correcta de la distribución de la energía en la radiación del llamado cuerpo negro.

REALIZACIÓN DEL CUERPO NEGRO.

F. Reiche en su obra, Teoría de los Quanta, nos explica cómo dos físicos alemanes emprendieron la realización del cuerpo negro, lo que permitiría efectuar las medidas necesarias en orden a descifrar la función desconocida, de la que nos hablaba Max Planck:

Este importante progreso, o sea, “la realización del cuerpo negro”, se debe a O. Lummer y W. Wien, quienes se apoyaron en la siguiente proposición fundamental debida a G. Kirchhoff: “En toda cavidad rodeada de paredes especulares y térmicamente aislada se establece automáticamente la radiación “negra”, siempre que en su interior, o en las paredes, se encuentren regiones absorbentes y emisoras arbitrarias, a la misma temperatura”. Por lo tanto, en todo espacio, térmicamente aislado y rodeado de cuerpos a la temperatura uniforme T, todo haz de rayos poseerá la misma intensidad y la misma composición que si procediese de un cuerpo negro a la temperatura T. Según esto, bastaron a Lummer y a Wien tomar una cavidad con paredes ennegrecidas, provista de una pequeña abertura y mantenida a una temperatura uniforme; la radiación procedente de esta abertura poseía las propiedades de la radiación negra, con tanta más aproximación cuanto menor fuese su tamaño, es decir, cuanto mejor se cumpliese la condición de que el espacio fuese cerrado. Los trabajos de Lummer y Pringsheim consistieron en determinar la dependencia entre la intensidad de la radiación k , correspondiente a la frecuencia “v” en la radiación así realizada, y la temperatura T.

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De la obra Teoría de los Quanta de F. Reiche, traducción del Prof. D. Julio Palacios.

Es un diseño a efectos didácticos, donde vemos que un rayo de luz penetra y sufre repetidas reflexiones hasta que es absorbido por las paredes del recinto.

CORRIMIENTO DE WIEN. LEY DE STEFAN. LEYES DE LA RADIACIÓN DE WIEN Y RAYLEIGH-JEANS.

Estas dos leyes de la termodinámica, trascendentales para el problema de encontrar la función que Max Planck buscaba, precedieron los acontecimientos que examinamos. Por una parte L. Boltzmann había logrado demostrar una ley ya enunciada por J. Stefan según la cual la radiación integral del cuerpo negro, es decir la magnitud K, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta.W. Wien formuló la ley que lleva su nombre, ley del corrimiento de Wien. Las medidas de los espectros de la radiación del cuerpo negro muestran que, para una temperatura dada T, el máximo de la intensidad corresponde a una determinada longitud de onda. La radiación emitida no es homogénea; consta de un número infinitamente grande de radiaciones monocromáticas, caracterizada cada una por un número preciso, su longitud de onda, o bien por su frecuencia. La ley de Wien nos dice que la longitud de onda, correspondiente a la intensidad máxima de radiación, disminuye conforme aumenta la temperatura. Así vemos que en un lingote de hierro, calentado en un alto horno, conforme la temperatura se eleva de 500º C a 1.550º C, el color va pasando, gradual y sucesivamente, del incipiente rojo, al rojo obscuro, rojo brillante, blanco incipiente y, finalmente, al blanco brillante, es decir, en orden decreciente de longitudes de onda o, lo que es equivalente, en orden creciente de frecuencias.En las gráficas relativas a los cuerpos negros, las longitudes de onda y las frecuencias, según sea el caso, figuran a lo largo de las abscisas, o eje de las “x”, mientras que las intensidades de la radiación, correspondientes a cada longitud de onda, aparecen en las ordenadas, o eje de las “y”. En cada curva está anotada la temperatura correspondiente. Se pueden observar varios hechos. Las superficies de las curvas aumentan con la temperatura. Ello se debe a que la energía radiante total es proporcional al área cubierta por la curva. En cada curva existe un máximo de intensidad de radiación en relación con una determinada longitud de onda o, alternativamente, a una determinada frecuencia. A mayores temperaturas corresponden mayores intensidades de radiación y menores longitudes de ondas o, lo que es equivalente, mayores frecuencias. El decrecimiento de las longitudes de onda, conforme aumenta la temperatura, está representado pictóricamente por el desplazamiento de los máximos de las curvas hacia la izquierda, esto es, en dirección a los menores valores de longitud de onda, donde el descenso de la curva es marcadamente más brusco.

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Las dos leyes sobre la distribución de energía de la radiación, que precedieron a la de Planck, se conocen como las leyes de Wien y de Rayleigh-Jeans. Ambas resultaron ser intentos fallidos. W. Wien fue el primero en presentar la fórmula desconocida que describiría las intensidades de la radiación para las diferentes frecuencias en función de la temperatura. Para ello se basó en la ley de Maxwell relativa a la distribución de las velocidades de las partículas, según el modelo de la teoría cinética, mediante razonamientos no del todo rigurosos, según la expresión de F. Reiche. Nuevos experimentos, llevados a cabo en 1900 por Lummer y Pringsheim, confirmaron que la fórmula de Wien sólo era correcta en la zona ultravioleta del espectro, esto es, en la región de las altas frecuencias. Por el contrario, para las frecuencias pequeñas, es decir, en la zona del infrarrojo, se observaron desviaciones sistemáticas notables.Mas tarde se formuló una segunda ley de la radiación, propuesta inicialmente por Lord Rayleigh y modificada posteriormente por J. Jeans, célebre más tarde como astrónomo y astrofísico, por lo que se conoce esta ley con el nombre de Rayleigh-Jeans. La ley se deducía rigurosamente de los principios fundamentales de la mecánica estadística y de la electrodinámica clásicas en las que se admite que la energía puede variar de un modo continuo entre cero e infinito. En contraposición a la función de Max Planck, que presenta un pico, o máximo, y cuya figura aproximadamente acampanada nos recuerda la curva de los errores de Gauss, la función de Rayleigh-Jeans se eleva sin límite al crecer las frecuencias. Al integrar la función, para calcular la energía total, se obtiene un valor infinito, lo que contradice la experiencia. La ley sólo concordaba con los datos experimentales en las frecuencias bajas, esto es, en la zona del infrarrojo. Este desacuerdo fundamental entre teoría y hechos experimentales se conoce con el nombre de Catástrofe Ultravioleta, según la enérgica expresión del físico Paul Ehrenfest.En la deducción de esta ley desempeñaba un papel importante el principio de la equipartición de la energía, entonces generalmente admitido, según el cual la totalidad de la energía se distribuye uniformemente entre las diferentes oscilaciones que tienen lugar dentro de la cavidad del cuerpo negro, lo que constituía el obstáculo insalvable en el que se estrellarían todos los intentos de modificar la ley de Lord Rayleigh. Stephen Hawkings, en su History of Time (Historia del Tiempo), explica así este principio, aunque sin mencionarlo expresamente:

De acuerdo con las leyes en las que se creía en aquel tiempo, un cuerpo caliente tendría que emitir ondas electromagnéticas (tales como ondas de radio, luz visible o rayos X) con igual intensidad en todas las frecuencias. Por ejemplo, un cuerpo caliente debería irradiar la misma cantidad de energía, tanto en ondas con frecuencias comprendidas entre uno y dos billones de ciclos por segundo, como en ondas con frecuencias comprendidas entre dos y tres billones de ciclos por segundo. Dado que el número de ciclos por segundo es ilimitado, esto significaría entonces que la energía total irradiada sería infinita.

Para obviar el obstáculo habría que partir de una nueva ley según la cual la energía de los osciladores de frecuencia propia “v” no sería una magnitud que variase continuamente desde cero al infinito; Debería hacerlo por múltiplos exactos de elementos de energía W = h v, donde “h” es una constante universal, lo que daría lugar a los famosos saltos cuánticos. Esta fue la gran intuición de Max Planck, sobrevenida, como es habitual, después de un largo trabajo, intenso y pormenorizado, del problema.

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LEY DE LA RADIACIÓN DE PLANCK. CONSECUENCIA DE LA TEORÍA DE PLANCK.

Se puede decir que el fracaso de las leyes de Wien y de Rayleigh-Jeans marca el punto de partida de la Teoría Cuántica, del mismo modo que el reiterado fracaso en la detección del viento del éter, puesto de manifiesto obstinadamente en los repetidos experimentos de los estadounidenses Albert Michelson y Edward Morley, estuvo en el origen de la teoría de la Relatividad.Justamente en este momento entra en escena Max Planck. Hasta ahora se había centrado en el estudio de la termodinámica y, en especial, de la entropía, en cuyos confines se sitúa el problema de la radiación del cuerpo negro. Max Planck había iniciado su singladura profesional como físico teórico, especialidad en aquel entonces poco reconocida. Fue un estudiante muy brillante, obteniendo el doctorado a los veintiún años con la máxima calificación de summa cum laude.

El amable lector encontrará, a continuación del epílogo de este ensayo, una serie de apéndices en donde he relegado los aspectos matemáticos, todos ellos relativamente elementales, que guardan relación con los contenidos de los respectivos capítulos. El primero de estos apéndices versa sobre el modo cómo llegó Max Planck a la formulación de su ley, cuya nota más característica podría ser la siguiente:

Es un punto fundamental de la teoría de Planck el que, si se quiere ponerla de acuerdo con la ley del corrimiento de Wien, es necesario admitir que el elemento de energía vale:

= h.

La constante h, que a causa de sus dimensiones (energía x tiempo) se denomina quantum de acción de Planck, representa, según veremos, un papel importantísimo en el desenvolvimiento de la teoría de los quanta.

De la citada obra de F. Reiche, traducción de D. Julio Palacios.

Así es como Max Planck logró establecer una fórmula empírica que se ajustaba correctamente a los datos experimentales, cuya confirmación llevaron a cabo los físicos Kurlbaum y Rubens. La fórmula obtenida resultó ser una feliz conjunción de las dos anteriores en el sentido de que ciertos factores de la misma resultan predominantes en el dominio de las altas frecuencias, mientras que otros factores, contenidos en la fórmula, son determinantes en el dominio de las bajas frecuencias. De este modo, las leyes de Wien y Rayleigh quedaron subsumidas, como casos límite, en la ley de Max Planck.En cuanto a la constante “h”, denominada constante de Planck en su honor, nos dice su descubridor:

Como elemento de energía surgió en la demostración matemática: = a’ v. La constante a’, que es independiente de la naturaleza de los osciladores, la designé con la letra “h” y la llamé “quantum de energía elemental” (= das elementare Wirkungsquantum) o elemento de acción, por poseer la dimensión del producto de energía por tiempo, en contraposición al elemento de energía “hv”.

De la obra ya citada Vorträge und Erinnerungen, de Max Planck.

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La mencionada fórmula suele escribirse así:

W = h ven la que:

W = Energía,h = Constante de Planck,v = frecuencia o número de oscilaciones por segundo.

La fórmula planckiana para la distribución de la energía en la radiación del cuerpo negro fue dada a conocer el 19 de Octubre de 1900 en una sesión de la Sociedad Alemana de Física, pero sólo unos días antes de finalizar el año consiguió deducirla teóricamente. Para algunos, el año de 1900 parece revestir cierto simbolismo. Unos lo consideran como el último año del siglo XIX; otros, como el primero del siglo XX. Cualquiera que ello sea, este descubrimiento vino a cerrar brillantemente el ciclo anterior, muy próximo, denominado The golden years, esto es, los años dorados de final del siglo XIX, tan fecundo en hallazgos científicos de primer orden: en 1895 se descubrieron los rayos X; en 1896, la radioactividad; en 1897, el electrón; en 1898, el radio, lo que demuestra que no hubo solución de continuidad en el desarrollo científico entre uno y otro siglo, si bien los grandes momentos creadores generalmente parecen proceder por saltos, a la manera de lo que sucede, como veremos más tarde, en la teoría cuántica.

Véase la siguiente figura mostrando varias curvas de la función de Planck a diversas temperaturas.

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GRÁFICAS DEL CUERPO NEGRO A DISTINTAS TEMPERATURAS

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1650º

1450º

1260º

1000º

En longitudes de onda

CAPÍTULO II

CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA DE LA RADIACIÓN DE MAX PLANCKLOS EFECTOS FOTOELÉCTRICO Y COMPTON.

Sumario:Consecuencias de la teoría de Max Planck. Cómo obra el quantum elemental de acción. Primera conferencia de Solvay. Actitud de Max Planck ante su propio descubrimiento. Efecto fotoeléctrico. Efecto Compton. Consecuencias del tamaño de la constante de Planck. Bosquejo biográfico de Max Planck y elogios a su labor científica.

CONSECUENCIAS DE LA TEORÍA DE MAX Planck.

La fecundidad es un rasgo característico de la verdad científica que, en cierto modo, mide su rentabilidad. El mismo Planck dijo en cierta ocasión:

Der Masstab für die Bewertung einer neuen physikalischen Hypothese liegt nicht in ihrer Anschaulichkeit, sondern in ihrer Leistungsfähigkeit.

La medida del valor de una nueva hipótesis física no estriba en su claridad o evidencia, sino en su capacidad de obtener resultados.(Conferencia pronunciada en la Universidad de Königsberg, 1910).

En efecto, las buenas teorías científicas son altamente rentables. Una vez formuladas, y debidamente analizadas e interpretadas, facilitan la clave para predecir y esclarecer otros muchos fenómenos físicos. La simple enumeración de todos los procesos físicos, en cuyas formulaciones matemáticas interviene la constante de Planck, representaría una tarea inacabable. Tal vez sea la constante universal de la que se hace un mayor uso.Max Planck pudo calcular, como corolario de su teoría, un nuevo valor razonable del número de Avogadro, esto es, el número de moléculas contenidas en una molécula-gramo. Como se sabe, la molécula-gramo de una substancia química es el número de gramos coincidente con el número que indica el peso molecular de dicha substancia. Por ejemplo, en el caso del agua sería 18 gramos; en el caso del ácido clorhídrico, 36,5 gramos. No menos importante fue la deducción de un valor, muy aceptable para su época, de la carga del electrón. Calculó el valor de la constante “h”, que lleva su nombre, cifrándolo muy próximo al valor actual de:

0. 000000, 000000, 000000, 000000, 0066262 ergios por segundo.

Como se sabe, los matemáticos compactan las cifras largas en otras más breves mediante el artificio de la notación exponencial. En nuestro caso, estas otras formas son equivalentes:

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h = 6,626 x 10-27 erg. sec. = 6,626/ 1027

Otra forma alternativa de expresar lo mismo es:

h = 6,626 exp -27 erg. sec.

En las tablas actuales de constantes aparece con el valor 6,6262 x 10-27 . Es más frecuente encontrar esta constante bajo la forma “h/2”, cuyo valor es 1,05459 x 10-27

Precisamente el tamaño, tan increíblemente diminuto, de la constante de Planck fue la causa de que durante tanto tiempo se aceptara que los procesos físicos discurrían de un modo continuo, y no por saltos discontinuos, según el enunciado de Leibniz Natura non facit saltus, que tomara del legado escolástico del medievo, y que tan de acuerdo se mostraba con la continuidad implícita en el cálculo infinitesimal, a cuya creación contribuyó independientemente de Newton. Ahora resultaba que la energía sólo podía variar discontinuamente, por saltos bruscos, es decir, por múltiplos enteros de la mencionada constante. Cada Quantum de energía es igual al número de oscilaciones, o frecuencia, multiplicado por la constante de Planck. Los quanta, o átomos de energía, no son todos iguales, como se explicó anteriormente, pues dependen del valor de la frecuencia.

Los términos quantum y quanta, singular y plural respectivamente, están, a todas luces, tomados del latín, usándose así en varios idiomas europeos, mas no en España, por razones totalmente incompresibles para el autor de este ensayo, que utilizará una u otra expresión, según convenga al caso. Es de destacar, como ya ha podido observar el lector, que el prof. D. Julio Palacios tradujo la mencionada obra de F. Reiche con el título de TEORÍA DE LOS QUANTA. En el castellano del siglo XVI todavía se escribían estos términos con “q”, como corresponde a un idioma eminentemente latino. Es comprensible que la grafía de los idiomas evolucione con el tiempo, mas en este caso, por tratarse de un término científico universalmente aceptado, hubiera valido la pena conservar la “q” en línea con los países de nuestro entorno.

CÓMO OBRA EL QUANTUM ELEMENTAL DE ACCIÓN.

He aquí cómo la hipótesis de los cuantos de energía impide que toda la energía del espectro se desplace sistemáticamente hacia el extremo ultravioleta del mismo:

La hipótesis de M. Planck consiste en suponer que cada uno de los resonadores sólo puede adquirir o perder energía por saltos bruscos, de manera tal que la provisión de energía que posee debe ser siempre igual a un múltiplo de una misma cantidad constante, llamada “quantum”, que debe constar de un número entero de “quanta”. Esta unidad indivisible, este “quantum”, que no es el mismo para todos los resonadores, está en razón inversa de la longitud de onda, de tal modo que los resonadores de corto período (o altas frecuencias) sólo pueden “tragar” la energía en grandes “bocados”, mientras que los resonadores de largo período (o bajas frecuencias) absorben y desprenden la energía en pequeños “bocados”. ¿Cuál es el resultado? Son necesarios grandes esfuerzos para poner en marcha un resonador de corto período, pues se precisa una cantidad de energía igual a su “quantum”, que es grande; es, pues, altamente probable que estos resonadores permanezcan en reposo,

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sobre todo mientras la temperatura es baja. Esto explica que haya relativamente poca luz de corta longitud de onda en la radiación negra.

Del capítulo titulado L’Hypotèse de Quanta (La Hipótesis de los Quanta), de la obra póstuma Dernières Pensèes (Últimos Pensamientos) de Henri Poincaré.

También se explica de este modo la forma acampanada de la curva correspondiente a la función de Planck, pues para una determinada temperatura, el número de las oscilaciones, o estados excitados de los osciladores, alcanza gradualmente un máximo, a partir del cual, a falta de una mayor energía, los osciladores dotados de frecuencias más elevadas siguen inactivos, por lo que la curva desciende, por el lado de las altas frecuencias, algo más bruscamente que por el lado de las bajas frecuencias, semejando en cierto modo la forma de una ola de mar a punto de romperse.

PRIMERA CONFERENCIA DE SOLVAY, BRUSELAS 1911.

Eminentes físicos de la época, sorprendidos por el fracaso de las fórmulas para explicar la distribución de la energía en la radiación del cuerpo negro, basadas en la física clásica, trataron de modificar la fórmula de Rayleigh-Jeans. Todo fue en vano, hasta que H. A. Lorentz, en el Congreso Solvay de Bruselas de 1911, demostró que tal empeño, partiendo de los supuestos de la física clásica, estaría siempre condenado al fracaso. Fue entonces cuando el físico Ehrenfest aplicó a la situación el calificativo de catástrofe del ultravioleta, por las graves consecuencias que ello, a la física, habría de acarrear.Henri Poincaré escribió un informe, de vuelta del citado Congreso de Bruselas, en el que se discutieron los principios de la naciente física moderna: la teoría de la relatividad, conocida entonces como la nueva mecánica de Lorentz, y la teoría de los Quanta, iniciada, como sabemos, por Max Planck y aplicada, con gran éxito, por el entonces joven físico, Albert Einstein, en la interpretación del efecto fotoeléctrico. H. Poincaré fallecería al año siguiente. Es de notar el tono sorpresivo del físico-matemático francés:

Nos podemos preguntar si la Mecánica no está en vísperas de una nueva revolución; recientemente ha tenido lugar en Bruselas un Congresos, donde se han dado cita una veintena de físicos de diversas nacionalidades y, a cada instante, se les podía oír hablar de la Nueva Mecánica que oponen a la Mecánica Antigua; ¿de que Mecánica Antigua se trata? ¿Se referían, tal vez, a la Mecánica de Newton, la que dominaba sin oposición hasta el final del siglo XIX? No, se referían a la Mecánica de Lorentz, a la del principio de relatividad que, hace apenas cinco años, parecía el colmo de la audacia.¿Quiere esto decir que la Mecánica de Lorentz sólo ha tenido una fortuna efímera, que ha sido un capricho de la moda, y que se está a punto de volver a los antiguos dioses imprudente y prematuramente abandonados? De ninguna manera, las conquistas de ayer no están comprometidas; en todos los casos en que ésta se aparta de la de Newton, la Mecánica de Lorentz subsiste. Se sigue aceptando que ningún cuerpo en movimiento jamás podrá sobrepasar la velocidad de la luz, que la masa de los cuerpos no es constante, que depende de la velocidad y del ángulo que forma la velocidad con la fuerza que actúa sobre ellos, que ninguna experiencia jamás podrá decidir si un cuerpo está en reposo o en movimiento absoluto, ya sea con relación al espacio absoluto, o en relación al éter.

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Solamente que a estas audacias se quieren añadir otras, y mucho más desconcertantes. No sólo se cuestiona si las leyes de las ecuaciones diferenciales de la Dinámica deben ser modificadas, sino incluso si las leyes del movimiento podrán alguna vez expresarse en ecuaciones diferenciales: esta sería la revolución más profunda que la Filosofía Natural haya jamás sufrido desde los tiempos de Newton. El claro genio de Newton había visto (o creído ver) que el estado de un sistema en movimiento, o más generalmente, el universo, sólo podía depender del estado inmediatamente anterior, que todas las variaciones de la naturaleza deben acontecer de un modo continuo. Ciertamente, no fue él quien inventó esta idea; se encontraba ya en el pensamiento de los antiguos y de los escolásticos que proclamaban el adagio: “Natura non facit Saltus”; pero esta idea estaba como sofocada por un cúmulo de malas yerbas que la impedían desarrollarse hasta que los grandes filósofos del siglo XVII consiguieron desembarazarla de la maleza y exponerla a la luz del día.Texto traducido de la introducción al capítulo antes mencionado

En este admirable texto nos habla H. Poincaré de las dos grandes teorías modernas: la teoría de la relatividad y la teoría de los quanta. A pesar de las sorprendentes novedades que trajo consigo la teoría de la relatividad, considera que es la segunda - la teoría de los quanta - la que representa la revolución más profunda que haya sufrido la física. Y la calificó así en un momento en que la teoría se encontraba, como si dijéramos, recién venida al mundo, en pañales. Apenas hacía seis años que Einstein la había utilizado para explicar el efecto fotoeléctrico y el comportamiento del calor específicos de los cuerpos; Niels Bohr aún no había hecho público su modelo cuántico del átomo, esto es, el modelo atómico planetario de Lord Rutherford transcrito en clave de los quanta.Es de destacar que H. Poincaré no asocia nunca en sus escritos la teoría de la relatividad con el nombre de Albert Einstein, sino con el del eminente físico holandés, H. A. Lorentz. El nombre del primero sólo aparece en sus ensayos, ocasional y exclusivamente en relación con la interpretación del efecto fotoeléctrico. Por su parte, Einstein, al parecer, no tuvo conocimiento de las múltiples ocasiones escritos y conferencias en los que el físico-matemático francés enunció, antes que él, el principio de la relatividad restringida, así como el principio de la velocidad límite, infranqueable, de la luz. Para conocer más detalladamente las anticipaciones de Henri Poincaré en este campo, el amable lector puede consultar mi ensayo titulado, Sucinta Exposición Crítica de la Teoría de la Relatividad.

A continuación H. Poincaré hace un análisis detallado de la hipótesis planckiana, critica la segunda concepción de Planck en la que éste atenuaba considerablemente su hipótesis original y, al destacar el principio de la discontinuidad cuántica, hace la atinada observación siguiente:

Un sistema físico sólo es susceptible de un número finito de estados distintos; salta de uno de estos estados al otro sin pasar por una serie continua de estados intermedios.

Parece como si H. Poincaré, que fallecía en Junio de 1912, estuviera anticipándose al concepto de salto cuántico, que utilizaría Niels Bohr un año más tarde, al aplicar la teoría de los quanta al interior del átomo. En una página posterior generaliza esta idea llevándole al concepto del tiempo discontinuo, o átomo de tiempo:

...lo que hemos dicho se debería aplicar también a cualquier sistema aislado e incluso al universo entero. El universo saltaría, pues, bruscamente de un estado a otro; pero en

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el intervalo permanecería inmóvil; los diversos instantes, durante los cuales permanecería en el mismo estado, no podrían distinguirse unos de otros; llegaríamos así a la variación discontinua del tiempo, al “átomo del tiempo”.

Los primeros intentos de aplicar la teoría cuántica a escala cósmica los realizaría, unos treinta años más tarde, el astrofísico británico Arthur Eddington.

ACTITUD DE MAX PLANCK ANTE SU PROPIO DESCUBRIMIENTO.

El propio Max Planck fue el primer sorprendido por la audacia de su hipótesis acerca de la constante “h”, denominada, por sus dimensiones físicas, quantum elemental de acción, lo que conlleva la cuantificación de la energía (otros prefieren el término derivado del inglés, y algo cacofónico, de cuantización). Durante varios años trató de harmonizar esta hipótesis, hoy ya elevada a la categoría de Teoría, con los principios de la física clásica. El intento de modificar su primera hipótesis Der erste Fassung le llevó a una segunda formulación más atenuada de la teoría cuántica Der sweite Fassung de Quantentheorie según la cual la materia absorbería la energía de un modo continuo, almacenándola como en una antesala, que posteriormente sería emitida en cantidades discretas. Ya vimos cómo H. Poincaré criticó este giro de Max Planck. Albert Einstein, por otra parte, fue el primer físico que abogó sin ambages, con motivo de la explicación cuántica del efecto fotoeléctrico, por el carácter radicalmente discontinuo de la radiación en cualquiera de sus fases, tanto en la absorción como en la emisión. Max Planck, al final del artículo antes citado, concluye con estas frases:

Ahora se presentaba el problema teórico más difícil, el de asignar un sentido físico a esta constante extraña. Ya su mismo introducción significaba una ruptura con la teoría clásica, pues era mucho más radical de lo que yo en un principio había sospechado. Es verdad que la interpretación de la entropía como medida de la probabilidad, en el sentido de Boltzmann le había dado, estaba ya sólidamente establecida...

Pero la naturaleza del elemento de energía “hv” permaneció sin aclararse. Durante muchos años intenté incansablemente incorporar de alguna manera el “quantum de acción” (=das Wirkungsquamtum) en el sistema de la física clásica sin poder conseguirlo. Es más, el desarrollo de la física cuántica estaba reservado a físicos más jóvenes, de todos conocidos, de los que menciono, por orden cronológico, los nombres de A. Einstein, N. Bohr, M. Born, P. Jordan, W. Heisenberg, L. de Broglie, E. Schrödinger y P. A. M. Dirac, mientras que, en lo relativo a la construcción matemática de la teoría, entre los físicos alemanes, he de mencionar en primer lugar a A. Sommerfeld y a C.L. Schaefer, por una exposición rigurosa de la misma.

A lo largo de este ensayo nos encontraremos más de una vez con los ilustres nombres que Max Planck menciona, quienes nos van a servir de guía para introducir al culto, mas no experto, lector en los aspectos más rudimentarios de la teoría, justo hasta desembocar en el principio de indeterminación (de incertidumbre para otros) de Werner Heisenberg, que es, sin duda, desde el punto de vista epistemológico, el de mayor trascendencia filosófica, juntamente con la llamada interpretación probabilística de la teoría cuántica, debida a su maestro Max Born.

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EL EFECTO FOTOELÉCTRICO.

El efecto fotoeléctrico fue observado por primera vez en 1887 por Heinrich Hertz y, entre otros, Ph. Lenard lo estudió detenidamente hacia 1900. Sin embargo, no recibió una explicación teórica satisfactoria hasta 1905, en que A. Einstein aplicó a este fenómeno la cuantificación de la energía, propuesta por Max Planck, precisamente en unos momentos en que éste trataba de suavizar el radicalismo de su primera teoría.Cuando un haz de luz ultravioleta, de rayos X o de rayos gamma, incide sobre un metal, se desprenden electrones. La cantidad de electrones liberados es proporcional a la intensidad o brillo de la luz, mas no la dureza o energía cinética de los electrones que depende de la frecuencia de la radiación incidente. Según la clase de material, existe una frecuencia crítica por debajo de la cual no se liberan electrones por muy intensa que la radiación empleada fuere. Por otra parte, si la frecuencia sobrepasa el umbral crítico, aun cuando la intensidad, o cantidad de luz, sea mínima, los electrones se desprenden del metal casi instantáneamente.Esto está en abierta contradicción con la teoría ondulatoria de la luz, tal como fue desarrollada por T. Young y A. Fresnel. No parece que la luz diluya su energía al propagarse por espacios cada vez más amplios, como era de esperar. Todo indica como si la luz, para una determinada frecuencia, consistiera en una granizada de proyectiles, dotados todos de la misma energía cinética, siendo éstos más o menos escasos según sea la intensidad de la luz. Por ello, un sólo fotón, con suficiente energía, puede liberar un electrón, al que una granizada de fotones, con energía por debajo del nivel crítico, jamás podría desprender. Estos quanta de luz, o fotones, como se les llamó posteriormente, recordaron a A. Einstein la teoría corpuscular de la luz, propuesta por Newton, y suplantada en el siglo XIX por su rival, la teoría ondulatoria de la luz, formulada en el siglo XVII por Ch. Huygens, reavivada más tarde por los experimentos de T. Young, y llevada a un alto grado de perfección físico-matemática por Augustin Fresnel en el siglo XIX.La energía del fotón incidente es igual a la energía cinética del electrón más la energía necesaria para desprenderlo del metal. En 1916 el físico experimental americano, R. A. Millikan, comprobó la exactitud de la fórmula de A. Einstein.La teoría de las ondas de Fresnel parecía explicar todos los fenómenos ópticos hasta entonces conocidos. Alcanzó su mayor triunfo en la explicación de los fenómenos de interferencia y difracción, donde fallaba rotundamente la teoría corpuscular, pero no pudo dar razón del efecto fotoeléctrico, un proceso esencialmente discontinuo. Los físicos se habituaron pronto a manejar una u otra conceptualización, corpuscular u ondulatoria, según lo exigía la naturaleza del problema que estudiaban, situación esta que describió irónicamente W. Bragg: los lunes, miércoles y viernes hacemos uso de una hipótesis; los martes, jueves y sábados, de la otra. Veremos más tarde cómo el físico danés, Niels Bohr, formuló el llamado principio de complementariedad con el fin de tender un puente entre los corpúsculos y las ondas, tanto en el dominio de la radiación electromagnética, como en la propia materia, en la que también surgieron ondas, las ondas de materia de Louis de Broglie.El físico francés Jean Thibaud, en su obra Vida y Transmutación de los Átomos, nos habla del efecto fotoeléctrico nuclear, o fotodesintegración. Ocurre cuando partículas nucleares protones o neutrones salen despedidos del núcleo por efecto de la incidencia de la radiación gamma, radiación electromagnética similar a la de la luz pero mucho más dura, esto es, compuesta de fotones de menor longitud de onda. Albert Einstein también fue el primero en aplicar los quanta al calor específico de los cuerpos sólidos y

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explicar así su comportamiento con la disminución de la temperatura. Otros físicos prosiguieron su labor inicial.

EFECTO COMPTON.

El efecto Compton debe su nombre al físico americano Arthur Holly Compton. Si un fotón incide sobre un electrón aislado, ambos chocan como lo harían dos bolas de billar y, en consecuencia, el fotón transmite al electrón energía en forma de cantidad de movimiento. La energía del primero, como sabemos, se expresa por la fórmula:

W = h.

Siendo “h” un valor constante, la disminución de la energía “W” entraña la disminución de la frecuencia “”. La experiencia se hace con radiación de rayos X. La disminución de la frecuencia de la radiación se conoce con el término de difusión del fotón.Caso análogo es el de los rayos ultravioletas que, al ser reflejados por una pantalla fluorescente, se tornan azules o verdes haciéndose visibles. También aquí la pérdida de energía se traduce en la disminución de la frecuencia.

CONSECUENCIAS DEL TAMAÑO DE LA CONSTANTE DE PLANCK.

No desearía concluir este primer capítulo acerca de la teoría cuántica sin acercarme a Louis de Broglie quien nos va a explicar las consecuencias que entrañaría para la física el que la constante de Planck poseyera un tamaño menor o mayor que el actual:

Yo desearía insistir sobre un punto interesante. Si la constante “h” tuviera un valor infinitamente pequeño, los quanta de luz de valor hv serían infinitamente pequeños y su número, en una radiación de energía dada, sería infinitamente grande; todo ocurriría como si las radiaciones tuvieran una estructura continua y naturaleza ondulatoria, tal como Fresnel y sus seguidores propusieran. En consecuencia, los corpúsculos materiales cumplirían rigurosamente, como se puede demostrar, las leyes clásicas de la dinámica del punto material y no habría necesidad de introducir las ondas en la teoría de la materia. Por consiguiente, si el valor de “h” fuera infinitamente pequeño, la física clásica sería rigurosamente exacta. Si por el contrario, la constante de Planck fuera infinitamente grande, los quanta de luz serían enormes y su existencia saltaría a los ojos del físico menos atento; mas en este caso los corpúsculos materiales no seguirían las leyes de la física clásica, y la introducción de ondas para prever sus movimientos sería ahora de todo punto necesaria.En la naturaleza real, la constante “h” no es ni infinitamente grande, ni infinitamente pequeña, pero su valor finito parece, desde el punto de vista humano, extremadamente pequeño pues, en unidades c. g. s., se expresa por la cifra 6,55 x 10-27. Para los humanos, el caso de “h” infinitamente pequeño está más cerca de su realización que el caso opuesto de un “h” infinitamente grande. Esta sencilla observación aclara el sentido verdadero de la evolución reciente de la física. Se comprende perfectamente que la física clásica, como consecuencia de un examen no suficientemente profundo, haya proclamado la estructura continua y la naturaleza ondulatoria de la luz, mientras atribuía a la materia una estructura discontinua mediante corpúsculos que obedecían a las leyes de la dinámica clásica. Han sido necesarias las experiencias más sutiles de los físicos contemporáneos para poder detectar la otra cara oculta de lo real, me refiero al aspecto discontinuo de la luz y al aspecto ondulatorio de la materia.

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Traducido de la obra Matière et Lumière (Materia y Luz).

BREVE BOSQUEJO BIOGRÁFICO DE MAX PLANCK.

Desde el punto de vista humano, Max Planck fue, durante muchos años, la personalidad científica más respetada de Alemania. Hijo de un eminente jurista que enseñó en la Universidad de Kiel, siguió la larga tradición familiar de servicio al estado y de adhesión espiritual a la Iglesia Luterana. Fue un científico de sobresaliente trayectoria intelectual, de honestidad incorruptible, conservador e idealista al mismo tiempo, fiel y generoso. A los 21 años alcanzó el grado de doctor con la máxima calificación académica en la Universidad de Munich. Enseñó en la Universidad de Kiel y, llamado a cubrir la cátedra del famoso físico Kirchhoff, permaneció en la Universidad de Berlín casi el resto de su vida. Desde 1930 a 1.937 presidió la prestigiosa sociedad científica Kaiser Wilhelm-Gesellschaft, rebautizada en su honor en la posguerra con el nombre de Instituto de Física Max Planck. Durante el nazismo, como máximo representante de la ciencia alemana, mantuvo una entrevista con Hitler para hacerle desistir de su política hostil contra los científicos judíos que se veían injustamente destituidos por ley de sus cátedras, y obligados, por no soportar tantas vejaciones, a emigrar al extranjero. Todo fue en vano. Decidió, no obstante, permanecer en Alemania para proteger, en lo posible, a los científicos que no pudieran emigrar, y aconsejó la misma actitud al que ya entonces era un brillante profesor, Werner Heisenberg. Ambos fueron calificados de judíos blancos por algunos científicos adictos al nazismo. Max Planck falleció en 1947, a la avanzada edad de 89 años, en la ciudad de Göttingen a la que fue trasladado tras la caída de Berlín, precisamente en la pequeña y pintoresca ciudad universitaria que tanto contribuyera al desarrollo de la teoría cuántica.El semblante de Max Planck aparece siempre muy grave, diríase entristecido. Su vida familiar estuvo sembrada de tragedias. En 1909 fallecía su primera esposa, dejándole dos hijos y dos hijas. Karl cayó en la Primera Guerra Mundial en 1916, y Erwin, a quien se auguraba un brillante porvenir político, Secretario que fue del Canciller Heinrich Brüning, del partido centrista católico, en 1930, y posteriormente del Canciller Franz von Papen, fue salvajemente ejecutado por la gestapo a principios de 1945, acusado de estar implicado en el atentado contra Hitler del 20 de Julio de 1944. En cuanto a las dos hijas, Margarete fallecía en 1917 en el momento del parto; dos años más tarde acontecía lo mismo a Emma. Se casó en segundas nupcias en 1910, de las que nació un hijo. Ya en 1871 Max Planck había perdido a su hermano en la guerra franco-prusiana. Su casa en Berlín quedó totalmente destruida por las bombas en 1944. Al terminar la guerra, oficiales americanos le trasladaron, junto con su segunda esposa e hijo, a Göttingen. Sostenido por una profunda convicción religiosa, por el estoicismo filosófico y su devota dedicación, como dijera Einstein, a la investigación científica, pudo Max Planck sobrellevar con cristiana resignación la oleada de tragedias que ensombrecieron su vida familiar. He aquí dos juicios sobre el talante ético de Max Planck por parte de dos científicos alemanes, ambos contemporáneos suyos, galardonados, como él, con el premios Nobel, y emigrados de la Alemania nazi por su condición de judíos, Max Born y Lisa Meitner. El juicio del primero es algo frío y crítico; deja entrever una velada acusación de falta de visión política. Dice así:

Tenía profundamente enraizada la tradición prusiana de servicio al estado y de la lealtad al Gobierno. Creía que la violencia y la opresión eran transitorias y que se volvería a la normalidad. No veía que se trataba de un proceso irreversible.

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Por su parte, Lisa Meitner, que fue su ayudante de cátedra durante años, ahonda en los fundamentos éticos de su conducta personal:

En los cuarenta años en los que Planck me honró con su amistad y confianza, siempre le admiré porque jamás hizo algo, o dejó de hacerlo, pensando en su propia utilidad o perjuicio. Siempre hizo lo que consideraba justo y correcto, sin preocuparse de las posibles consecuencias para su persona.

En cuanto a los numerosos elogios a su labor científica por parte de sus colegas, desearía destacar la opinión de tres eminentes físicos del siglo XX: Lord Rutherford, Niels Bohr y Albert Einstein. Nos dice el primero:

El nombre de Planck es un nombre familiar entre los científicos de todos los países, y todos ellos se unen en su admiración por su importante y perdurable contribución a la ciencia física.Es difícil darse cuenta hoy, cuando la teoría cuántica se aplica con éxito en tantos campos de la ciencia, de cuán extraña, y casi fantástica, parecía esta nueva concepción de la radiación, hace treinta años, a muchos científicos. Era difícil al principio ofrecer una prueba convincente de la certeza de la teoría y de las deducciones que de ella se seguían. En relación con esto, he de referirme a los experimentos realizados en 1908 por el profesor Geiger y por mí mismo. Por mi parte puedo decir que la concordancia entre el valor de “e”, tal como fue deducido por Max Planck, y los experimentos, me convirtió en uno de los primeros adeptos de la idea general del quantum de acción. Se entiende por “e” la carga eléctrica elemental, expresada en unidades electrostáticas. En consecuencia, pude contemplar con ecuanimidad e incluso animé al Profesor Bohr en su audaz aplicación [al interior del átomo] de la teoría cuántica, propuesta por Planck.

Por su parte Niels Bohr escribió:

Es sumamente difícil encontrar en los anales de la ciencia descubrimiento alguno que, en el breve espacio de una generación, haya producido resultados tan extraordinarios como los originados directamente del hallazgo del “quantum” elemental de acción por Max Planck. Este descubrimiento ha sido fructífero, y en progresión continuamente creciente, en facilitar medios para la interpretación y harmonización de los resultados obtenidos en el estudio de los fenómenos atómicos, estudio que ha realizado maravillosos progresos en los últimos treinta años. Pero la teoría cuántica ha hecho algo más. Ha llevado a cabo una revolución radical en la interpretación científica de los fenómenos naturales. Dicha revolución es un desarrollo directo de las teorías y conceptos que tuvieron su origen en el trabajo pionero de Max Planck al estudiar la radiación del cuerpo negro. En el lapso de los últimos treinta años estas teorías y conceptos han crecido y se han expandido hasta formar el elaborado marco científico que conocemos hoy como física cuántica. La imagen del universo, dibujada con las líneas de la física cuántica, debe ser considerada como una generalización independiente de la física clásica, con la que se compara favorablemente por la belleza de su concepción y la harmonía interna de su entramado lógico… Por haber puesto en nuestras manos los medios para conseguir todos estos resultados, el descubridor de la teoría cuántica merece una gratitud sin límites de sus colegas.

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Estos elogios están tomados de la introducción de James Murphy a la obra de Max Planck, Where is Science Going?, donde pueden verse otros encendidos elogios por parte de H. A. Lorentz, Arnold Sommerfeld, James Jeans y Werner Heisenberg. El elogio de Albert Einstein se encuentra aparte, en lugar destacado, en el prefacio a la citada obra, escrito por él mismo en homenaje a Max Planck. Seré breve; sólo traduciré las primeras líneas del prefacio. A Albert Einstein no le cuadra el estilo grandilocuente, emplea un lenguaje llano y la simbología que utiliza en este texto es religiosa, donde Planck aparece como un devoto de la ciencia, lo que nos daría la clave del motivo último de la dedicación de Max Planck, y sin duda también de Einstein mismo, a la investigación científica:

Muchas clases de personas se dedican a la Ciencia, y no todas por razón de la Ciencia misma. Algunos vienen a su templo porque éste les ofrece la oportunidad de exhibir sus talentos particulares. Para esta clase de personas la ciencia es como un deporte con el cual disfrutan, al igual que el atleta goza en el ejercicio de sus proezas musculares. Existe otra clase de personas que entran en el templo para ofrecer en él la excelente calidad de su cerebro con la esperanza de lograr un buen rendimiento económico. Son científicos por alguna circunstancia aleatoria surgida en el momento de la elección de su profesión. Si las circunstancias hubieran sido otras, se habrían convertido en hábiles políticos o en empresarios de negocios multimillonarios. Si el ángel de Dios descendiera para arrojar del templo a todos los que pertenecen a las clases mencionadas, me temo que el templo se quedaría casi vacío. Pero aún permanecerían unos pocos adoradores, tanto antiguos como modernos. A estos últimos pertenece nuestro Planck. Y es por esto por lo que le queremos tanto.

Nos podríamos preguntar ¿qué es lo que mueve a estos devotos adoradores para consagrar tantos años de su vida a la ciencia? Creo que la respuesta más adecuada la dio Henri Poincaré en el siguiente texto:

Pero aún no hemos examinado más que un aspecto de la cuestión. El sabio no estudia la naturaleza porque ésta sea útil; la estudia porque encuentra placer en ello y siente placer porque es bella. Si la naturaleza no fuera hermosa, no valdría la pena de investigarla, la vida no valdría la pena de ser vivida. No me refiero, claro está, a esa belleza que hiere gratamente los sentidos, a la hermosura de las cualidades y de las apariencias; y no es que yo la desdeñe, lejos de mí tal cosa, sino que tal belleza nada tiene que ver con la ciencia. Me refiero a esa otra belleza más íntima que proviene del orden harmonioso de las partes, y que sólo la inteligencia puede captar. Es ella la que da cuerpo, la que provee el esqueleto, permítaseme la frase, que sostiene, de algún modo, las apariencias acariciadoras que halagan nuestros sentidos. Sin este soporte, la belleza de esos sueños fugitivos sólo sería imperfecta porque siempre sería indecisa y huidiza. Al contrario, la belleza intelectual se basta así misma y es por ella misma, más aún, tal vez, que por el bien futuro de la humanidad, que el sabio se condena a largos y penosos trabajos.Traducido del ensayo Science et Méthode.

Antes de concluir este capítulo, recordemos, en honor a Max Planck, que el cuerpo negro más perfecto conocido no es obra del hombre, sino de la misma naturaleza. En la segunda mitad del siglo XX ciertos astrofísicos, Eddington, Gamow y otros, teorizaron sobre una de las consecuencias de la teoría cosmológica del Big Bang, o creación del Universo. Especularon sobre la existencia de una radiación de fondo, esto es, una

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radiación electromagnética de unas determinadas longitudes de onda y temperatura, que debió de tener su origen en aquel extraordinario e irrepetible suceso, del cual representa un residuo, algo así como el rescoldo de una colosal conflagración, cuya radiación muy amortiguada aún nos llega desde todas las direcciones del espacio. Anticiparon, como digo, probables cifras sobre la longitud de onda y la temperatura de dicha radiación de fondo, llamada así por estar presente, en forma muy debilitada, en todas las partes del Universo. Con el paso del tiempo, la longitud de onda habría ido alargándose y la temperatura decreciendo desde la creación. El satélite artificial COBE de la NASA facilitó una imagen plástica del firmamento tal como aparecería observado en longitudes de onda de unos pocos milímetros, radiación denominada de microondas. La gráfica, construida sobre la base de los datos físicos recopilados por el COBE, relativos al espectro de esta radiación, resultó ser la de un cuerpo negro, con una temperatura de 2,725 K, en una banda de longitud de onda desde 0.5 a 2.5 mm. Como dice el astrónomo Malcolm S. Longair:

Una de las características más notables de la radiación cósmica de fondo en microondas es que posee el espectro de radiación de un perfecto cuerpo negro. Constituye una de las observaciones más sorprendentes de la moderna cosmología, realizada también por el “Cosmic Background Explorer” (Explorador del Fondo Cósmico, o COBE). Se trata del espectro del cuerpo negro más perfecto que se conoce en parte alguna del Universo.Traducido de su obra, Our Evolving Universe.

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CAPITULO III

DESDE EL ÁTOMO DE RUTHERFORD AL MODELO DE BOHR.

Sumario:Programa de investigación propuesto por Poincaré. El átomo de Rutherford. Semblanza de Ernest Rutherford. Aparente simplicidad de la naturaleza. El átomo de Niels Bohr. Postulados del modelo de Bohr. El átomo de Bohr en cifras. Los espectros atómicos. El espectro del hidrógeno. Balmer, Ritz y otros. Estabilidad de la materia.

EL PROGRAMA DE INVESTIGACIÓN PROPUESTO POR H. POINCARÉ.

En su ensayo, La Valeur de la Science, aparecido en 1905, H. Poincaré propuso a los físicos la investigación de los espectros atómicos en relación con los electrones, con estas proféticas palabras:

Esta dinámica de los electrones puede ser abordada desde muchos lados, pero entre los caminos que a ella conducen, hay uno que ha sido un poco descuidado, no obstante ser de los que prometen mayores sorpresas. Los movimientos de los electrones producen las rayas de los espectros de emisión, según lo prueba el fenómeno de Zeeman; en un cuerpo electrizado lo que vibra es sensible al imán y, por tanto, electrizado. Este es un primer punto muy importante ¿Por qué las rayas del espectro están distribuidas según una ley regular? Estas leyes, que han sido estudiadas por los experimentadores en sus menores detalles, son muy precisas y relativamente simples. El primer estudio de estas distribuciones hace pensar en las harmónicas que uno encuentra en la acústica, pero la diferencia es grande; no solamente los números de las vibraciones no son múltiplos sucesivos de un mismo número, sino que tampoco encontramos nada análogo a las raíces de esas ecuaciones trascendentes, a las que nos conducen tantos problemas de la físico-matemática: el de las vibraciones de un cuerpo elástico de forma cualquiera, el de las oscilaciones hertzianas en un excitador de forma cualquiera, el problema de Fourier para el enfriamiento de un cuerpo sólido.Las rayas son más simples, pero de naturaleza totalmente distinta y, para no citar sino una de esas diferencias, para las harmónicas de orden elevado, el número de vibraciones tiende hacia un límite finito en lugar de crecer indefinidamente.Esto no se ha explicado todavía y creo que es uno de los más importantes secretos de la naturaleza. Un físico japonés, Nagaoka, ha propuesto recientemente una explicación. Según él, los átomos estarían constituidos por un gran electrón positivo al que rodea un anillo formado por un número muy grande de electrones negativos muy pequeños. Tal como el planeta Saturno con su anillo. Esta es una tentativa muy interesante, pero aún no completamente satisfactoria; sería necesario renovarla. Penetramos, por así decirlo, en la intimidad de la materia. Y desde el punto de vista particular que hoy nos

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ocupa, cuando sepamos por qué las vibraciones de los cuerpos incandescentes difieren así de las vibraciones elásticas ordinarias, por qué los electrones no se comportan como la materia que nos es familiar, comprenderemos mejor la dinámica de los electrones, y quizás nos será más fácil conciliarla con los principios.

Henri Poincaré insertó esta apelación a los físicos en el capítulo titulado El Porvenir de la Física Matemática, capítulo IX de la mencionada obra. Nacido en 1854, falleció, como ya dijimos, algo prematuramente en 1912.

Hoy sabemos que ese gran electrón positivo, en el centro del átomo, es el protón; que ese esbozo del sistema solar en miniatura ha sido confirmado por los experimentos de Ernest Rutherford con la localización del protón en un centro de tamaño muy reducido, y ulteriormente remozado y remodelado por Niels Bohr mediante la distribución, en capas ordenadas, de los electrones en torno al núcleo; profundas analogías entre las vibraciones de los electrones y las ondas lumínicas han sido puestas de relieve por Louis de Broglie y Erwin Schrödinger, en cuyas mecánicas ondulatorias juegan un papel relevante las ondas estacionarias, afines a las vibraciones acústicas y electromagnéticas; que las series de Fourier y sus coeficientes están en la base del entramado matemático de la mecánica matricial de W. Heisenberg; y que el desafío del efecto Zeeman, en la forma particular conocida como efecto anómalo, la estructura hiperfina de los espectros, así como el efecto Lamb, fenómenos en un principio de muy difícil interpretación, han servido de valiosos estímulos en el desarrollo de las diversas etapas de la mecánica ondulatoria.

EL ÁTOMO DE LORD RUTHERFORD.

En 1897 el científico inglés J.J. Thomson descubría el electrón, una partícula dotada de electricidad negativa, muy liviana, que se desprendía de los átomos. En el tubo de rayos catódicos, ideado por Crookes, estas partículas, procedentes del cátodo, o terminal negativo, atravesaban el gas rarificado que llenaba el tubo y producían fluorescencia en la parte opuesta del mismo, junto al ánodo o terminal positivo del dispositivo. Ya en 1881 Helmholtz, al analizar las leyes de la electrólisis de Faraday, había anticipado la existencia de átomos de electricidad. Stoney los bautizó con el nombre de electrones.

Dado que los átomos son neutros y los electrones negativos, era forzoso suponer que los átomos también deberían contener cargas positivas. J. J. Thomson propuso en 1904 un modelo según el cual la carga positiva en el átomo se encontraría uniformemente distribuida en superficies esféricas concéntricas, en cuyo interior estarían incrustados los electrones como las pepitas en una manzana.

En 1911 el científico neozelandés Ernst Rutherford, desde 1931 Baron Lord Rutherford of Nelson, llevó a cabo con sus colaboradores una serie de experimentos en los que se lanzaban partículas alfa, provenientes de una fuente radioactiva, contra finas películas metálicas. Las partículas alfa son núcleos del átomo helio despedidos por elementos radioactivos en su desintegración. La finalidad era comprobar el modelo atómico de J. J. Thomson. De ser cierto el modelo de Thomson, ello entrañaría que el tránsito de una partícula alfa por el interior del átomo sólo podría alterar su dirección dentro de estrechos límites previsibles. Las desviaciones deberían ser relativamente pequeñas, mas los experimentos mostraron todo lo contrario. El encuentro, o mejor dicho, la

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aproximación excesiva de las partículas alfa a las cargas positivas, imprimía a aquellas una desviación muy acusada, en ocasiones superior a 90 grados. Las fuertes repulsiones transformaban sus trayectorias rectilíneas en hipérbolas, tanto más cerradas cuanto más centrado era el choque. En los encuentros frontales, la trayectoria se reflejaba sobre sí misma. Sin embargo, la mayor parte de las partículas alfa atravesaban la película metálica sin apenas sufrir desviación alguna. Por ejemplo, disparando sobre una delgada lámina de platino, por término medio sólo una partícula alfa de entre ocho mil es repelida hacia atrás con un ángulo de desviación superior a 90º. El análisis cuantitativo de las desviaciones llevó a la conclusión de que el átomo es una estructura extremadamente vacía, hallándose la carga positiva concentrada en el centro, o núcleo, donde alcanza una prodigiosa densidad, siendo su tamaño unas diez mil veces inferior al del diámetro del átomo. Como es sabido, la carga positiva recibió el nombre de protón, que en griego significa primero, como un lejano eco de la materia prima aristotélica. El protón es unas dos mil veces más pesado que el electrón, siendo su carga eléctrica igual a la de este último, cambiada de signo.

Hasta el descubrimiento del neutrón en 1932 por el británico J. Chadwick, se pensaba que el núcleo atómico estaba formado por protones y, en menor número, por electrones. El resto de los electrones, hasta compensar la carga positiva del núcleo, circularían en órbitas planetarias en torno al mismo. Así, se pensaba que el núcleo del helio se componía de cuatro protones y dos electrones. Los cuatro protones daban cuenta de la masa aproximada de 4, mientras que los dos electrones interiores reducían la carga positiva del núcleo a 2, que quedaba igualada a cero por las cargas negativas de los dos electrones planetarios. El número de éstos constituía el número Z, responsable de las reacciones y propiedades químicas de los diversos elementos, procesos estos que no afectan al núcleo de los átomos. Como consecuencia del descubrimiento del neutrón, Werner Heisenberg propuso que en el núcleo sólo existían protones y neutrones, concibiendo estos últimos como una íntima fusión de protón y electrón. En consecuencia, ahora decimos que el átomo de helio, en su estado normal, no ionizado, se compone de un núcleo formado de dos protones y dos neutrones ligados, circundado por dos electrones planetarios. La proporción de neutrones a protones en el núcleo es variable a lo largo de la tabla periódica. Próxima a la unidad en los elementos ligeros, va creciendo paulatinamente conforme nos aproximamos a los elementos más pesados por ejemplo, el uranio 238 contiene 146 neutrones frente a 92 protones gracias a lo cual se modera la repulsión mutua debida a la acumulación de protones en el núcleo.

SEMBLANZA DE ERNEST RUTHERFORD.

Entre los científicos no es infrecuente poder observar cadenas didácticas con eslabones áureos que enlazan unas generaciones con otras. Ernst Rutherford hizo de eslabón áureo en esta cadena de transmisión científica. Trabajó bajo la dirección de J. J. Thomson en el Laboratorio Cavendish, Universidad de Cambridge, a quien sucedió, como Cavendish professor, en 1919. Rodeado de magníficos colaboradores y con la ayuda de un instrumental relativamente sencillo, consiguió acumular una ciencia sólida sobre la radioactividad natural y artificial, transformación de unos elementos en otros y los primeros esbozos de la estructura atómica. El danés, Niels Bohr, quien trabajó de joven con Rutherford en la Universidad de Manchester, sirvió de eslabón áureo entre la ciencia experimental británica y los físicos teóricos continentales. Las teorías posteriores del mismo Bohr, de Heisenberg y de Schrödinger, no hubieran sido posibles

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sin la labor pionera de Rutherford y sus colaboradores. Era un físico experimental de pura raza, en la línea de M. Faraday, aunque con una mayor preparación físico-matemática. Su lema era descubrir hechos científicos. No era amigo de teorías demasiado sofisticadas. Cuando en 1934 Fermi desintegró, utilizando neutrones, varios elementos químicos, Rutherford le felicitó por haber escapado de la física teórica. Nació en 1871en Spring Grove, Nueva Zelanda; cursó estudios en su país natal, primero en la ciudad de Nelson, consiguiendo luego el doctorado, con los honores de primera clase en matemáticas y física, en el Canterbury College de Christchurch. Se dice que mientras trabajaba en el laboratorio solía entonar himnos religiosos, aprendidos en su juventud. Enseñó en las universidades de MacGill de Montreal (Canadá), Manchester y Cambridge. Fallecía en 1937 en vísperas de la segunda guerra mundial. Se le considera, y con razón, el padre de la física atómica.

APARENTE SIMPLICIDAD DE LA NATURALEZA.

Nunca en su historia consiguió la física una mayor simplificación de los constituyentes del mundo real, con la excepción, claro está, de la época de los átomos de Leucipo y Demócrito, silenciados en el medioevo, y reavivados posteriormente por Gassendi, Dalton y otros. La tabla periódica de los elementos, y con ella la totalidad del universo, se compondría de muy pocos elementos primordiales: protones y electrones, a los que pronto se unirían los neutrones, positrones y los escurridizos neutrinos. Entre las fuerzas, la gravitación desaparecía como tal al atribuir sus efectos a la geometría del espacio-tiempo. Destacados físicos sugerían que la inercia de la materia podría ser de origen exclusivamente electromagnético, mientras que Einstein demostraba la equivalencia entre materia y energía. No faltaron mentes privilegiadas el mismo Einstein, H. Weyl, A. S. Eddington, E. Schrödinger que indagaran en vano, y por vías distintas, la raíz común de la gravitación y electromagnetismo.

Nunca estuvo la física más cerca del ideal griego de la unidad en la ciencia. Esta tremenda simplificación, que no dejó, por otra parte, de representar un gran progreso, sólo fue un espejismo. La búsqueda incansable de la unidad, el reduccionismo radical a algún principio o elemento primordial, abstracto o material, ha sido siempre una constante psicológica universal, afectando por igual a la mayoría de filósofos y físicos, saldada unas veces con gratificantes éxitos; otras, con decepcionantes fracasos. En nuestros días reaparece con inusitado vigor en la proliferación de complejas teorías unificadoras, conocidas con las siglas G. U. T, o Teorías de Gran Unificación.

EL ÁTOMO DE NIELS BOHR. POSTULADOS BÁSICOS.

El físico danés, Niels Bohr, tuvo la feliz idea de aplicar los conceptos cuánticos al interior del átomo planetario de Lord Rutherford. En su juventud había trabajado en Inglaterra con J. J. Thomson y E. Rutherford. Esta feliz conjunción de dos conceptos, cuántica y constitución atómica, pertenecientes, en apariencia, a campos tan dispares, se revelaría con el tiempo extraordinariamente fecunda. Un grave fallo en el modelo planetario de Lord Rutherford dio la pista a Niels Bohr: sencillamente, el modelo planetario era incapaz de garantizar su propia estabilidad.En efecto, el modelo planetario, interpretado a la luz de la electrodinámica clásica, esto es, tal como se desprendía de la teoría de los electrones de H. A. Lorentz, era fundamentalmente inestable. Las órbitas de los electrones alrededor del núcleo, por la

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atracción de éste, están sometidas a una aceleración constante. Las ecuaciones de Maxwell-Lorentz predicen que las cargas aceleradas irradian energía, es decir, pierden energía por radiación. En consecuencia, los electrones, faltos de energía, terminarían, al cabo de una billonésima de segundo, precipitándose sobre los protones. Los espectros de emisión de los átomos serían diferentes de los actuales. Las líneas espectrales no serían nítidas y consistentes, sino borrosas y cambiantes. La materia no sería estable; se aniquilaría en un brevísimo intervalo de tiempo.Había que idear un mecanismo que explicara por qué no se dan estos cataclismos. El físico danés lo encontró en el concepto de estado estacionario. Es la forma adjetivada de estación, término derivado del latín statio. Entre los múltiples significados incluye el de lugar de parada y el más abstracto de cese de actividad. En la acústica tenemos el concepto de ondas estacionarias en cuerdas sujetas en ambos extremos; en láminas vibratorias, como ocurre en las cuerdas del violín y en el parche del tambor. Las ondas estacionarias se contraponen a las ondas viajeras o progresivas, que se desplazan a lo largo de un medio como el sonido en la atmósfera o las olas en el agua. En otras ramas de la física se da también el concepto de estado estacionario, como ocurre en el interior de un cuerpo negro donde se establece un equilibrio entre la cantidad de radiación absorbida y emitida por las paredes interiores del mismo. El sentido bohriano del término, en su acepción original, se refería exclusivamente al estado, o nivel de energía, en el que el electrón no irradia, ni absorbe energía. Significaba lisa y llanamente parada o cese de radiación.

Así pensaba Niels Bohr en 1913, pero diez años más tarde un joven físico americano, John Slater, recientemente graduado, se incorporó al Instituto de Física de Niels Bohr en Copenhague. Propuso a Bohr, y a su ayudante Kramers, que los átomos están excitados en todo momento, emitiendo ondas electromagnéticas de todas las frecuencias correspondientes a las transiciones, o saltos cuánticos, hacia los estados de menor energía. Estas ondas electromagnéticas serían de una clase especial. No transmitirían energía, pero estarían asociadas con la probabilidad de encontrar fotones en un punto dado. Bohr las bautizó con el calificativo de oscilaciones virtuales.

Niels Bohr estableció varios postulados para hacer compatible el quantum de acción de Max Planck con el modelo atómico de Rutherford. Son éstos:

1.- Los electrones se desplazan en órbitas circulares alrededor del núcleo, bajo la influencia de la atracción electromagnética. Obedecen, pues, a las leyes clásicas del electromagnetismo.Se establece un equilibrio electrón-núcleo entre la atracción electrostática, expresada por la fuerza de Coulomb, y la fuerza inercial de la mecánica clásica, la antigua fuerza centrífuga. Es de observar que la fuerza de gravedad entre el núcleo y los electrones es tan sumamente débil, en comparación con la atracción electrostática, que puede despreciarse.

2.- En lugar de la infinidad de órbitas posibles, permitidas por la mecánica clásica, sólo son posibles aquellas cuyo momento cinético orbital es un múltiplo entero de la constante de Planck “h” dividido por 2.En mecánica el momento cinético orbital se define por el producto de la masa por el radio descrito y por la velocidad lineal orbital.

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3.- Aunque el electrón esté acelerado, no emite radiación en tanto en cuanto se desplace por alguna de las órbitas permitidas.A esta situación se refiere la expresión estados estacionarios.

4.- Si el electrón pasa de una órbita posible de energía E1 a otra de energía inferior E2, emite radiación. La frecuencia “” de la radiación electromagnética emitida es igual a la diferencia de la energía (E1 - E2), entre los dos niveles orbitales, dividida por la constante de Planck.

EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO EN LA TEORIA DE BOHR,

mv2/r -e

Ze2/r2 r

+Ze

CONDICIÓN DE ESTABILIDAD DE LA ÓRBITA DEL ELECTRÓN (Física clásica)

Fuerza de Coulomb = Fuerza centrípeta

(1/40)(Ze2/r2) = m(v2/r) = ma

CONDICIÓN CUÁNTICA

L = mvr = n(h/2) = n h n = 1,2,3,…

h = E1 - E2; = ( E1 – E 2)/h

El primer postulado lo tomó Bohr directamente de Lord Rutherford, en cuyo modelo los electrones, justamente bajo la acción de las dos fuerzas citadas, giraban en torno al núcleo, contrariamente al modelo de Thomson, en los que éstos normalmente estarían en reposo, excepto en los momentos de radiación en los que vibrarían al modo de los osciladores harmónicos planckianos, mas no girarían en órbitas.El segundo postulado es una traducción directa del quantum de acción de Max Planck ya que las dimensiones del momento cinético orbital, mvr masa por velocidad por el radio de la órbita son las mismas que las del quantum de acción.

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El tercer postulado es original de Niels Bohr. Representa la condición cuántica imaginada para no entrar en contradicción con la teoría del electromagnetismo de J. Maxwell que exige al electrón radiar energía cuando está acelerado, en nuestro caso cuando gira alrededor del núcleo.El cuarto postulado, inspirado también en la teoría de Max Planck, difiere radicalmente de lo que se suponía debería ocurrir según la teoría clásica del electromagnetismo, donde la frecuencia “” de la radiación emitida debería coincidir con la frecuencia del electrón en el interior del átomo.

Para que tenga lugar el tránsito a una órbita de energía superior, el electrón precisa absorber energía. Se dice entonces que el electrón está excitado. Si la magnitud del quantum de energía absorbido sobrepasa cierto límite, el electrón se desprende y sale despedido, lo que sucede en el llamado efecto fotoeléctrico ya descrito. Se dice entonces que el átomo está ionizado.La relación:

h = E1 - E2;

se conoce como la condición cuántica de la frecuencia de Bohr. Satisface el principio de la conservación de energía y está en muy estrecha relación con el postulado de Planck:

W = h

Al dividir por “h”, obtenemos la frecuencia de la radiación emitida:

= ( E1 – E 2)/h

¿Qué es lo que determina estas órbitas privilegiadas? ¿Por qué el electrón debe circular por unas órbitas determinadas y no por cualquier otra, como ocurre con los planetas en torno al Sol? La teoría de Niels Bohr no lo explica satisfactoriamente; lo asume como un postulado. Posteriormente, la poderosa intuición de Louis de Broglie desveló este enigma. Según el físico francés, para que una onda estacionaria tenga lugar, se precisa que un número entero de longitudes de onda coincida exactamente con la circunferencia de la órbita.

LOS ESPECTROS ATÓMICOS.

Los espectros de los elementos químicos pueden considerarse como sus huellas digitales. Cada clase de átomo, o molécula, emite su propio y característico espectro de luz. No hay dos iguales. Se producen éstos en los tubos de descarga electrónicos calentando el gas a baja temperatura. Los espectros de emisión aparecen como series de líneas brillantes al ser analizadas mediante el espectroscopio. Cada línea representa una determinada longitud de onda. Los espectros de absorción aparecen como líneas obscuras. Las líneas, en este caso, representan determinadas longitudes de onda de la radiación absorbida que, de otro modo, ofrecerían un espectro continuo de emisión.Joseph Frauenhofer fue un pionero en el estudio del espectro solar. El elemento helio, el segundo más abundante en el universo, se descubrió primero en el Sol, por el análisis espectral, antes de que se detectara primero en un mineral, luego en la atmósfera terrestre. Su nombre procede del término griego Helios (Sol). La moderna astrofísica

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sería impensable sin el análisis espectral de la luz que nos llega de los astros. Hoy día conocemos la composición química de los astros, casi con la misma exactitud que la de los materiales que componen la Tierra, en contra de la opinión del filósofo francés Auguste Comte, fundador del positivismo en el siglo XIX, quien aseguró que jamás se conocería la composición química de los cuerpos celestes. No es la primera vez que un exceso de positivismo, el afán de aferrarse excesivamente a los hechos a la superficie misma de los hechos ha pretendido cortar las alas a la ciencia. En los albores del siglo XX, otro famoso positivista, físico y filósofo, inspirador del movimiento neopositivista vienés, Ernst Mach, mantuvo una fuerte polémica a favor de la no existencia de los átomos químicos, en oposición a destacados físicos de la época, como Ludwig Boltzmann. Posición similar mantuvo por la misma época W. Ostwald, galardonado con el premio Nobel de Química, y adherido formalmente al movimiento pragmatista, otra forma de positivismo, del filósofo norteamericano William James.

EL ESPECTRO DEL HIDRÓGENO.

El espectrómetro, como el lector sabe, es un instrumento que se utiliza para descomponer, o analizar, un haz de luz complejo en ondas simples, monocromáticas, esto es, de una sola frecuencia o longitud de onda. Ello es posible porque la luz, al atravesar las substancias transparentes, disminuye su velocidad en razón a las frecuencias crecientes de los distintos componentes que la forman. La luz que produce la sensación de azul viaja más despacio, en el interior del prisma, que la luz que produce otro color de menor frecuencia, como el rojo. En consecuencia, la luz azul será refractada, con un mayor ángulo de refracción, esto es, será más desviada que la luz roja, como puede comprobarse en la dispersión de la luz por un prisma, donde aparece el conocido abanico de colores, similar al del arco iris. Newton llamó espectro a este fenómeno de la dispersión de la luz.

Voy a relatar la bella historia que de los mismos nos ofrece Frank M. Durbin en su Introduction to Physics:

Alrededor del año 1885 se había recopilado una información considerable acerca de los espectros de los elementos. Se había observado que los espectros de líneas brillantes poseían una tal disposición, o arreglo, de líneas que hacía muy inverosímil poder atribuirlas al capricho del azar, aunque nadie entendiera las razones que explicaran dicha disposición. Por aquel entonces sólo se conocían nueve líneas del espectro del hidrógeno. Cuatro de estas líneas estaban ubicadas en la región visible y las restantes cinco en la zona de las ondas largas del extremo del ultravioleta. Se había observado que en este grupo la longitud de onda más larga era también la más intensa. Conforme las longitudes de onda se van haciendo más cortas, se aproximan más entre sí y su intensidad progresivamente se va debilitando. La serie, pues, se aproxima a un límite bien definido.El físico suizo, Balmer, pensó que la disposición de estas nueve líneas apuntaba a una determinada relación numérica entre ellas, que intentó descubrir. Por un método similar al de la “prueba y el error”, encontró que las longitudes de onda de las primeras cuatro líneas podrían obtenerse multiplicando el numero 3646 por 9/5, 4/3, 25/21, y 9/8. Dado que estas fracciones no configuran una serie regular, intentó otro cambio o modificación. Al multiplicar por cuatro los numeradores y denominadores de las fracciones segunda y cuarta, obtuvo la serie 9/5, 16/12, 25/21, y 36/32. Para esta

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serie los numeradores son 32, 42, 52, y 62, que, a todas luces, forman una serie regular. Los denominadores están constituidos por estos mismos números, disminuidos de 4 ó 22

De este modo consiguió escribir la primera serie de fracciones: n2 /(n2 22), donde “n” representa 3, 4, 5, y 6. Su fórmula para esta serie aparece así:

= 3646 [n2 /(n2 22)]

lo que es una relación sorprendentemente sencilla.Esta correspondencia numérica entre las longitudes de onda estimuló el estudio intenso del espectro del hidrógeno, así como el de otros elementos químicos. Se calcularon las longitudes de onda de las cinco restantes líneas del ultravioleta, dando a “n” los valores 7, 8, 9, 10, y 11; se encontraron en perfecto acuerdo con los valores de las medidas. Se mejoró la concordancia adoptando para la constante el valor de 3646,13. El conjunto de las líneas se llamó “la serie de Balmer”. El conjunto de las líneas conocidas y medidas se incremento casi hasta cuarenta. Haciendo que el valor de “n” tendiera a infinito, se encontró que el límite de la serie era 3646,13, ya que para este valor de “n” el valor de [n2 /(n2 22)] tendería a la unidad.Al objeto de proseguir con el estudio de estas series, fue conveniente dar una nueva forma a la ecuación anterior, tomando el recíproco de ambos términos. La medida venía ahora dada en angstroms en lugar de centímetros:

1/ = 109.678(1/22 1/ n2) (1)

Desde estas primeras indagaciones, una segunda serie, la de Lyman, ha sido descubierta en el ultravioleta, y una tercera serie, la de Paschen, en el infrarrojo. Para las serie de Lyman la fórmula (1) da el valor correcto, una vez modificada así:

1/ = 109.678(1/12 1/ n2) (2)

donde el valor de “n” empieza con 2 en lugar de 3, continuando con 3, 4. 5, …Para obtener las longitudes de onda de la serie Paschen, se hace esta otra modificación:

1/ = 109.678(1/32 1/ n2) (3)

En este caso “n” empieza con valor 4 y continúa con 5, 6, 7, …

¿Podría encontrase una nueva serie tomando ¼2 en lugar de 1/32? Una nueva serie se obtuvo, la de Brackett, cuyas previsiones concordaron con las medidas. Otra serie más, la de Pfund, se encontró en concordancia con los valores previstos, si ponemos 1/52 en lugar de ¼2 .Estos hechos llevaron a una generalización de las fórmulas anteriores, que asumió esta otra forma:

1/ = 109.678(1/m2 1/ n2)

Asignando los valores apropiados a “m” y “n” se obtiene cualquier línea de las series mencionadas. La sencillez de la fórmula sugiere que el átomo del hidrógeno es una estructura muy simple.

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Las fórmulas más generales fueron propuestas por Ritz y Rydberg. Se dice, y con razón, que la aportación más genial de N. Bohr consistió en enlazar dos conceptos tan dispares como el átomo planetario de Lord Rutherford y el quantum elemental de acción de Max Planck. Pero falta un eslabón entre ambos conceptos. Como hace observar L. de Broglie, las diferentes series espectrales satisfacen un principio general, el principio de combinación de Ritz, según el cual existe para cada clase de átomo o de molécula una serie de términos espectrales tal que todas las frecuencias de las rayas emitidas por el átomo o la molécula sean la diferencia de dos de esos términos espectrales en dichas seriesPues bien, de aquí a la ley de las frecuencias de N. Bohr, y su visualización plástica en forma de saltos cuánticos, sólo hay un paso, si bien fue un paso de gigante. En efecto, las fórmulas propuestas por los espectrocopistas tienen de común que representan saltos cuánticos del electrón desde unas órbitas a otras de menor energía. Así, la serie de Lyman concernía los saltos hasta la órbita más interna, la órbita número uno; la de Balmer, a la órbita número dos; y la de Paschen, a la órbita número tres.

EL MODELO DE BOHR Y LOS SALTOS CUÁNTICOS

LA TEORÍA DE NIELS BOHR Y LA ESTABILIDAD DE LA MATERIA.

Cabe preguntar: ¿Cuál fue el objetivo de la teoría de Niels Bohr? El mismo Bohr lo explicó así al joven W. Heisenberg, siendo éste estudiante, en un paseo por los alrededores de la ciudad de Göttingen, con motivo de las conferencias que diera el sabio danés en la Universidad de esa linda villa, allá en 1922:

En realidad el punto de partida [de mi teoría] no fue la idea de que el átomo sea un sistema planetario en miniatura y de que se puedan aplicar aquí las leyes de la astronomía. Nunca he tomado esto de forma tan literal. El punto de partida fue, para mí, más bien la estabilidad de la materia que, desde el punto de vista de la física anterior es, ciertamente, un puro milagro...La maravilla de la estabilidad de la materia hubiera quedado, tal vez, inadvertida durante largo tiempo si no hubiera sido iluminada en los últimos decenios por medio de

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algunas experiencias importantes de otro tipo. Max Planck descubrió, como Vd. sabe, el hecho de que la energía de un sistema atómico varía de un modo discontinuo; que en la radiación de energía por un sistema tal se obtienen, por así decirlo, “paradas” con determinadas energías, que denominé más tarde “estados estacionarios”. Posteriormente, Rutherford realizó experimentos sobre la estructura de los átomos que fueron decisivos para la evolución posterior. Allá en Manchester, en el laboratorio de Rutherford, aprendí toda esta problemática, Yo era entonces casi tan joven como Vd. ahora y hablé infinitas veces con Rutherford acerca de estas cuestiones. Finalmente, en los tiempos más recientes se investigaron con mayor exactitud los fenómenos luminosos y se midieron las líneas espectrales características de los distintos elementos químicos; por otra parte, los múltiples experimentos químicos contienen, además, una gran cantidad de información sobre el comportamiento de los átomos. A través de toda esta evolución, que viví entonces de una forma inmediata, se planteó una pregunta que nuestro tiempo ya no podía eludir, a saber, el problema de cómo se interrelaciona todo esto. La teoría, por mí ensayada, intenta establecer dicha interrelación.

Texto traducido de la obra ya citada, Der Teil und das Ganze, de Werner Heisenberg.

EL ÁTOMO DE BOHR EN CIFRAS.

Al final del ensayo, el amable lector encontrará un apéndice titulado, El átomo de Bohr en cifras, que completará los conceptos aquí expuestos.

CAPÍTULO IV

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LAS ÓRBITAS ELÍPTICAS DE ARNOLD SOMMERFELD. LOS PRINCIPIOS DE CORRESPONDENCIA Y EXCLUSIÓN.

Sumario:Las órbitas elípticas de Sommerfeld explican el efecto Zeeman. Sommerfeld crea dos nuevos números cuánticos. El principio de correspondencia de Niels Bohr. Los átomos de Rydberg. El principio de exclusión de Pauli. El cuarto número cuántico, el spin. El principio de exclusión y la estabilidad de la materia. Las manzanas de Dyson. Dos modelos del núcleo.

LAS ÓRBITAS ELÍPTICAS DE ARNOLD SOMMERFELD.

Del mismo modo que las órbitas circulares de Copérnico fueron ventajosamente reemplazadas por las elípticas de Kepler, las órbitas circulares de N. Bohr fueron substituidas con éxito por las elípticas que propusiera el profesor de la Universidad de Munich, Arnold Sommerfeld.Las líneas espectrales del hidrógeno y del helio son más complicadas de lo que a primera vista parecen. Observadas con espectroscopios de gran poder de resolución, se presentan formadas por multitud de líneas, muy próximas unas de otras. En efecto, la velocidad de los electrones planetarios es enorme y, como tal, deberían aplicárseles los principios de la mecánica relativista. Ésta enseña que la masa, lejos de ser constante, varía en función de la velocidad. Si no lo comprobamos en la vida ordinaria es porque la velocidad de nuestros automóviles y aviones guarda una relación insignificante cuando la comparamos con la de la luz. En la hipótesis de órbitas elípticas, la masa de los electrones presentaría un máximo en el perihelio y un mínimo en el afelio, es decir, en los puntos más próximos y alejados del núcleo, donde las velocidades presentan un máximo y un mínimo, respectivamente. Por ello, en las órbitas elípticas tiene lugar un movimiento de precesión, esto es, un desplazamiento del perihelio, similar al del planeta Mercurio, si bien las causas no son las mismas. La causa del primero es el aumento periódico de la masa, consecuencia de la variación de la velocidad, que deriva de la relatividad especial; la del segundo, la proximidad al intenso campo gravitatorio del Sol, que curva el espacio-tiempo en su vecindad, en consonancia con la teoría de la relatividad general.

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EL MODELO DE SOMMERFELD REPRESENTANDO LA PRECESIÓN DE LAS ÓRBITAS ELÍPTICAS.

La frecuencia de las radiaciones que emite el átomo, esto es, la frecuencia de los fotones, que saltan de una órbita a otra, no sería función únicamente del número cuántico principal, que determina el tamaño de las órbitas, sino que dependería también de un término adicional, variable en función de la excentricidad de las elipses. En consecuencia, Arnold Sommerfeld modificó las ecuaciones de N. Bohr y pudo prever las nuevas líneas, o frecuencias, relativas a la excentricidad de las órbitas elípticas, que se comprobaron en el espectro del hidrógeno y, más ampliamente, en el del helio. Según esto, las órbitas elípticas estacionarias sólo son posibles para números enteros de la relación n/l, donde n es el número cuántico principal de Bohr y l, (letra ele) un segundo número cuántico, que él denominó azimutal. Los valores posibles de l son: 0, 1, 2, … l-1, [siendo este último símbolo la letra ele menos la unidad]; designan la magnitud del momento angular de la órbita.En un campo magnético la elipse asume diversas orientaciones que contribuyen también a la energía del átomo. Para ello Sommerfeld introdujo un tercer número, el número cuántico magnético m, que varía desde +l a -l (letra ele), esto es, l, l-1, l-2…-(l-2), -(l-1), -l. Con esta modificación pudo explicar la estructura fina del efecto Zeeman, que consiste, como vimos, en la separación de las líneas espectrales entre sus componentes más finos por aplicación de un campo magnético al átomo, fenómeno este no previsto por el modelo de N. Bohr.

Otro resultado de las investigaciones de A. Sommerfeld fue el reconocimiento de que las órbitas electrónicas se agrupan formando conjuntos, denominados capas (shells). Los niveles de energía entre las distintas órbitas de una misma capa son muy pequeños, no así los niveles entre una y otra capa. Se clasifican éstas, empezando desde la más profunda, con las letras: K, L, M, N, O, P… El número de órbitas es distinto según las capas. Así, la capa K contiene dos órbitas; la capa L, ocho; la M, dieciocho; la N, treinta y dos…Además, según veremos al hablar del principio de correspondencia de Bohr, los niveles de energía de las distintas órbitas van decreciendo conforme éstas se alejan del núcleo. Las órbitas más profundas son menos densas y con grandes desniveles de energía entre ellas; las exteriores son más densas y más suaves los desniveles de energía. En consecuencia, el tránsito de un electrón desde una órbita lejana a otra exterior, próxima a ella, requiere la absorción de un menor quantum de energía que el tránsito desde una órbita muy profunda a otra exterior. Por la misma razón, los fotones, o radiación emitida, en el tránsito de un electrón hacia órbitas más profundas, poseerán una mayor energía que los fotones emitidos al pasar de una órbita muy alejada a otra interior, próxima a ella. Los rayos X se originan cuando se perturban y reajustan los electrones de las órbitas más profundas. Los rayos gamma, de mayor dureza, esto es, de mayor frecuencia que los rayos X, proceden de perturbaciones que tienen lugar en el núcleo del átomo, mediante un mecanismo diferente, pero que guarda cierta analogía con los saltos cuánticos orbitales.

Según lo que precede, en el elemento químico radón (Rn), o emanación de radio, que posee ochenta y seis electrones, éstos se distribuyen así entre las siguientes capas (shells) o niveles de energía:

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Capas K L M N O P TotalElectrones 2 8 18 32 18 8 86

Como puede observarse, la capa más externa, la que interviene en las combinaciones químicas, posee ocho electrones, lo que implica un alto grado de estabilidad. Pertenece al grupo de los elementos químicos inertes que no se combinan con otros. En un principio se denominaron gases nobles por mantenerse a cierta distancia del común de los otros elementos. Comprende actualmente los elementos: helio, neón, argón, criptón, xenón y radón. Excepcionalmente el helio, como sabemos, contiene sólo dos electrones, lo que también es causa de estabilidad. Contrastan con elementos de otros grupos, por ejemplo, los halógenos: flúor, cloro, bromo, yodo, astatine. Su última capa contiene siete electrones y están deseosos de entrar en combinación con elementos que puedan cederles el electrón faltante. Para ello se prestan admirablemente los elementos del grupo de los alcalinos, cuya última capa posee un electrón solitario, y que están dispuestos a cederlo con suma facilidad. Entre éstos se cuentan los elementos: litio, sodio, potasio, rubidio, cesio y otros. La sal común, o cloruro de sodio, es un ejemplar típico de este maridaje.

ALGUNOS JUICIOS ACERCA DE A. SOMMERFELD.

Max Planck emitió el siguiente juicio sobre la obra de Arnold Sommerfeld:

Arnold Sommerfeld mostró que, aplicando las leyes de distribución de los quanta a sistemas con diversos grados de libertad (y teniendo en cuenta la variabilidad de la masa de conformidad con la teoría de la relatividad), de ello se deducía una elegante fórmula que debe descifrar el enigma de la estructura de los espectros del hidrógeno y del helio, fórmula confirmada por las mediciones más delicadas, actualmente posibles (las de Paschen). Esto constituye una hazaña en todo punto comparable con el famoso descubrimiento del planeta Neptuno, cuya existencia y posición habían sido calculadas por Leverrier antes de que fuera visto por el ojo humano.

Traducido del discurso de Max Planck con motivo de la recepción del Premio Nobel, ya mencionado en el capítulo anterior.A pesar de este encendido elogio, Sommerfeld nunca fue galardonado con dicho premio. Por su cátedra de la Universidad de Munich pasaron varios futuros premios Nobel y otros eminente físicos, entre ellos un famoso trío, en cursos muy próximos unos de otros: Wolfgang Pauli, Werner Heisenberg y Ernst Pascual Jordan.En la exposición de la teoría de Bohr-Sommerfeld me he ayudado de la obra: Les Bases de la Physique Moderne del británico J. M. Irvine y, muy especialmente, de la obra: Matière & Atomes del físico-químico francés, A. Berthoud.

PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA DE NIELS BOHR.

Este es un principio que subyace en, y anima, toda la vieja teoría cuántica, entendiendo por ésta la formulación del átomo Bohr-Sommerfeld. Se pueden encontrar, entre los distintos autores, enunciados diversos, algunos de muy fácil comprensión, pero, como dice H. A. Kramer, es difícil explicar en qué consiste, a causa de no poderse expresar exactamente en forma de ley cuantitativa y, por eso mismo, también lo es de aplicarlo.

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Renuncio expresamente a reproducir texto alguno del mismo Niels Bohr por lo complicado de su estructura conceptual, envuelta siempre en excesivas y complejas matizaciones.El Principio de Correspondencia fue de inestimable ayuda a los físicos en la vieja teoría cuántica, justo hasta el momento en que una nueva generación de físicos W. Heisenberg, W. Pauli, P. A. M. Dirac, E. Schrödinger todos ellos, excepto el último, discípulos precisamente de los grandes maestros de la época Arnold Sommerfeld, Max Born, Niels Bohr sorprendieran a la comunidad científica con sus modelos matemáticos abstractos, que desplazarían definitivamente los modelos, algo más intuitivos, de sus maestrosOfrezco al amable lector este magnífico texto del físico y astrofísico Sir James H. Jeans acerca de dicho principio:

Bohr había representado el átomo de hidrógeno como formado por un electrón describiendo una órbita alrededor del protón, y lo había encontrado conforme con la experiencia postulando ciertas “restricciones cuánticas”, que sólo permitían órbitas cuyos diámetros fueran proporcionales a los cuadrados de los números enteros. Las órbitas más alejadas eran menos espaciadas que las internas. En especial, las órbitas muy alejadas podrían considerarse como contiguas unas a otras, dado que su separación es insignificante en relación con la dimensión total de la órbita.En estas circunstancias ya no podemos hablar de un electrón que salta de una órbita a la siguiente; podemos pensar que su movimiento es continuo, y que el cambio en la energía es una variación sin solución de continuidad.En tanto en cuanto el electrón permanecía en estas órbitas, las restricciones cuánticas de Bohr carecían de poder restrictivo sobre su movimiento, hasta el punto que el modelo del átomo de Bohr coincidía exactamente con el antiguo modelo mecánico del átomo. Como el modelo de Bohr predecía una emisión de radiación que concordaba con la actualmente observada, se concluía que el viejo modelo mecánico también era correcto en este caso extremo de átomos con diámetros infinitos.En el caso de órbitas con un diámetro muy extenso, mas no exactamente infinito, Bohr demostró que las restricciones cuánticas sólo ejercían un diminuto influjo, por lo que la concordancia con los experimentos también era buena. Esto es lo que se conoce como “principio de correspondencia de Bohr”.Texto traducido de la obra The New Background of Science.

A Niels Bohr se deben dos grandes principios: el de complementariedad, que se expondrá posteriormente, y el ya expuesto de correspondencia. El primero, esencialmente cualitativo, ha sido elevado por los más fervientes partidarios de la mentalidad bohriana a la categoría de principio emblemático de toda la interpretación, o filosofía, de la teoría cuántica; el segundo, como se ha dicho, sirvió de inestimable ayuda a los físicos en los inicios de los años veinte del siglo pasado; representa un enlace necesario entre las físicas clásica y cuántica, por lo que sigue gozando de excelente crédito, incluso en la actualidad. En efecto, en la década de los ochenta y noventa del siglo XX aparecieron en la revista Investigación y Ciencia, versión castellana de Scientific American, varios artículos sobre la física de una clase especial de átomos, los átomos Rydberg, llamados así en honor del ilustre espectroscopista sueco Johannes Rydberg. El artículo de 1981 lleva por título Átomos Altamente Excitados, siendo sus autores: Daniel Kleppner, Michael G. Littman y Myron L. Zimmermann. El segundo artículo, de 1994, se titula: El Límite Clásico del Átomo, y son sus autores: Michael Nauenberg, Carlos Stroud y John Yeazell.

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Según los autores del segundo artículo:

Se han creado sistemas atómicos (los átomos de Rydberg) que obedecen, durante un corte período, las leyes de la mecánica clásica. Para producirlos hay que excitar átomos hasta que se hinchen unas diez mil veces. A tal escala, la posición de los electrones se localiza estrechamente; por lo menos su órbita deja de ser una nebulosa que sólo representa posiciones probables; el electrón traza entonces alrededor del núcleo, como los planetas alrededor del Sol, una elipse.

Según los autores del primer artículo, cualquier átomo puede convertirse en un átomo de Rydberg llevando su electrón más externo a un nivel energético muy alto. Los átomos de Rydberg son gigantescos: se han detectado algunos cuyos diámetros se acercan a la centésima de milímetro, lo que representa 100.000 veces el diámetro de un átomo en el estado fundamental o estado de menor energía…Si el electrón más externo de un átomo, que no sea el hidrógeno, se lleva a un nivel energético muy alto, se coloca en una órbita grande muy por encima de la órbita de los demás electrones…Así pues, la física de los átomos de Rydberg viene a ser esencialmente la física del hidrógeno.

Se suele trabajar con átomos de metales alcalinos: litio, sodio, potasio, rubidio y cesio. Se convierten con facilidad en gases, absorben eficientemente la energía de los rayos láser y poseen, al igual que el hidrógeno, un electrón disponible para enlaces que se coloca, por efecto de la absorción, en un nivel de energía extraordinariamente alto, al que corresponde un número cuántico elevado y una órbita muy alejada del núcleo.

Los autores del segundo artículo nos recuerdan que Schrödinger aplicó su ecuación de ondas, que se expondrá someramente en otro capítulo, al oscilador armónico. Éste consiste en un bloque que cuelga del extremo de un muelle y realiza un movimiento periódico de vaivén, hacia arriba y hacia abajo. El físico vienés encontró las diversas soluciones de su ecuación para este caso, que consistían en ondas sinusoidales con frecuencias diferentes. Al superponer éstas, siguiendo la técnica matemática de Jean-Baptiste Fourier, halló que el oscilador harmónico se comportaba como un paquete de ondas gaussiano, esto es, con aspecto de curva acampanada, que recuerda el trazado de la función de Gauss, o curva de los errores. A continuación intentó formular un movimiento clásico similar, en forma de paquete de ondas, aplicable al electrón asociado al átomo de hidrógeno, pero fracasó; el paquete de ondas, formado por una superposición de estados cuánticos cercanos al fundamental, se dispersaba en una fracción mínima de segundo. Un teorema de Fourier prescribe que un tal paquete de ondas sólo es posible si se combinan niveles de energía igualmente espaciados. El primer intervalo entre el estado fundamental del átomo y el siguiente nivel inmediato es un millón de veces mayor que el correspondiente a los niveles cuánticos 100 y 101, números estos que se refieren al número cuántico principal que asignara Bohr a las órbitas electrónicas. Aquí reside, pues, la importancia capital de los átomos gigantescos de Rydberg; los intervalos de energía entre sus elevados niveles cuánticos son prácticamente iguales. En este límite, como dicen los autores del segundo artículo, la localización espacial [del electrón] podría persistir por algún tiempo, con lo que el centro del paquete de ondas podría evolucionar de manera clásica…Hallamos, dicen, que, cuando los números cuánticos son grandes, existe una solución de la ecuación de Schrödinger que equivale a un “estado estacionario elíptico”.

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Como se describe en el citado artículo, dicho estado estacionario elíptico ofrece múltiples rasgos de un comportamiento clásico del átomo, y ello se logra justamente en los límites para los que la genial intuición de Niels Bohr formuló su famoso principio de correspondencia.

JUICIO SOBRE NIELS BOHR.

Es el sentir común entre historiadores y expositores que Niels Bohr representa la figura clave, central y preeminente en el desenvolvimiento de la teoría cuántica, tanto por sus propias aportaciones como investigador, como en calidad de mentor e inspirador de toda una generación de jóvenes estudiantes, espléndidamente dotados, y de diversas nacionalidades, que pasaron por su Instituto de Física Teórica en Copenhague, y que posteriormente diseminarían sus enseñanzas, en el marco epistemológico del espíritu de Copenhague, por todas las principales universidades del mundo. Entre sus ayudantes se encuentran físicos de gran talla: H. A. Krammers de Holanda, George de Hevesy de Hungría, Oskar Klein de Suecia, Werner Heisenberg de Alemania, Wolfgang Pauli de Austria, John Slater de los Estados Unidos y otros. P. A. M. Dirac también pasó una temporada en su Instituto. Los frutos de su magisterio cosmopolita y de élite, por la alta calidad de los discípulos, sólo son comparables con los del magisterio que simultáneamente ejercía Max Born en Göttingen, quien se preciaba de que, tal vez, fuera el profesor universitario por cuya aula y seminarios pasara un mayor número de futuros premios Nobel.El talante benévolo, extremadamente atento y bondadoso, de Niels Bohr era proverbial. Un carácter paralelo en nuestro país estaría representado por la inolvidable figura del doctor D. Gregorio Marañón, también un gran científico en otro ámbito de la ciencia. J. Robert Oppenheimer escribió sobre el desarrollo de la teoría cuántica:

Fue una época heroica. No fue obra de un solo hombre; representó la colaboración de varias veintenas de científicos de los países más diversos, aunque desde el inicio hasta su culminación, el espíritu crítico, sutil y profundamente creativo, de Niels Bohr logró guiar, controlar, profundizar y, finalmente, llevar a buen puerto esta magna empresa.

Por otra parte, Einstein, simultáneamente admirador y oponente (esto último sólo en el aspecto interpretativo o epistemológico), de Niels Bohr, se refirió al genio del físico danés con las siguientes palabras:

La más alta forma de musicalidad en la esfera del pensamiento.

Resulta difícil adivinar qué intentó decir Einstein con esta alusión a la música. Pudo referirse a su carácter harmónico y conciliador, que se traduciría en el famoso principio de complementariedad y de correspondencia; a la modalidad intuitiva de su pensamiento que le hizo adivinar la conexión entre dos ideas tan dispares como el átomo planetario de Rutherford y la constante de Planck o, tal vez, fuera una leve crítica muy velada que le brotara, sin malicia alguna, del fondo del subconsciente, pues sabemos que la interpretación de Copenhague, con su cortejo de indeterminismo, indefinición objetiva, incapacidad de expresar en términos espacio-temporales los procesos cuánticos, ese realismo tenue y vaporoso, casi mágico, que implica la no-separabilidad de ciertos sucesos, etc., etc., debieron sonar siempre en la mentalidad analítica, racionalista, objetiva y realista de Einstein algo tan fantástico conceptualmente

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como la legendaria música de las esferas que Kepler, en otros tiempos, tratara de captar en fórmulas geométrico-matemáticas.

PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE WOLFGANG PAULI. EL SPIN.

Conviene mencionar, aunque sea brevemente, otro gran principio de uno de los físicos que más contribuyeron a la creación de la Nueva Mecánica Cuántica, el eminente físico austríaco, Wolfgang Pauli, compañero de estudios, mentor y amigo íntimo de Werner Heisenberg. Lo estudiamos aquí por que complementa las ideas expuestas con motivo de las órbitas elípticas de Arnold Sommerfeld.

Este principio dice:

Dos electrones en un mismo átomo no pueden poseer el mismo estado cuántico, es decir, dos electrones en un mismo átomo no pueden tener los cuatro números cuánticos iguales.

¿Cuáles son estos cuatro números? El primero, como ya hemos visto en este mismo capítulo, es el número n, que indica el tamaño de la órbita, o nivel energético del electrón. Este primer número cuántico fue introducido por Niels Bohr. El segundo número cuántico se simboliza con la letra l (letra “ele”). Vimos cómo A. Sommerfeld introdujo las órbitas elípticas. Según su modelo, sólo se permitían las órbitas en las que la razón del eje mayor al eje menor fuera n/l; donde n es el número cuántico principal y l el azimutal, que puede ser igual a 0, 1, 2, 3,... n-1. Representa el momento angular de la órbita. Ambos números son siempre enteros.El tercer número cuántico se expresa por la letra m con el subíndice l (letra ele), esto es, m l. Llámase número cuántico magnético. Sommerfeld supuso, así mismo, que un electrón cargado, moviéndose en una órbita, es equivalente a una pequeña corriente anular, comportándose como un diminuto imán. Cuando el átomo se encuentra bajo la influencia de un campo magnético, este número cuántico describe la magnitud de la componente del momento cinético orbital l (letra ele) en una determinada dirección espacial, esto es, nos da las posibles orientaciones permitidas de la órbita del electrón, mientras que en ausencia de un campo magnético exterior todos los momentos magnéticos orbitales son equivalentes. Los valores posibles del nuevo número van desde –l a +l, incluyendo el cero. Esto quiere decir que cada uno de los sub-niveles orbitales, debidos a l, vuelven a subdividirse en otros sub-niveles. Este es el origen del efecto Zeeman. Las orientaciones orbitales están, pues, cuantificadas. Por ejemplo, para el orbital 3, el número cuántico magnético m3, toma los valores siguientes:

-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,

El cuarto número cuántico es el spin, cuya imagen sería la rotación del electrón sobre sí mismo. El número cuántico se referiría, en cuanto a imagen visualizable, a la dirección del eje de rotación propia. Se indica con la letra m y subíndice s, esto es, m s. Sólo admite dos valoren para el electrón: 1/2 y + 1/2 de la constante h/2. Este cuarto número fue introducido, sin soporte visualizable, por W. Pauli y expuesto formalmente, bajo la forma de spin por los físicos holandeses George Goudsmit y George Uhlenbeck. Al estudiar el trabajo de W. Pauli sobre el principio de exclusión, se vieron sorprendidos por la falta de concreción pictórica, o significado físico, con el que

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representar este cuarto número cuántico, por lo que recurrieron a la imagen del spin, que nos recuerda el giro de la peonza.Para mejor comprender, o al menos intuir, la condición cuántica del spin, veamos este esclarecedor texto de Jean Thibaud:

La existencia de un eje de rotación determinado está ligada generalmente a cierta deformación del cuerpo a partir de la forma esférica ideal, o como se dice ahora, a cierta “disimetría”. Una bola esférica puede girar ciertamente alrededor de uno u otro de sus diámetros; ninguno de ellos es privilegiado, mientras que si la bola es alargada, si tiene el aspecto de un elipsoide de revolución, el eje de esta figura geométrica se convierte “necesariamente” en uno de sus ejes de rotación. Tal es el caso de la peonza que gira necesariamente alrededor del eje que el tornero le ha dado al construirla; es también el caso de la Tierra.Se ha podido mostrar que los núcleos atómicos, al igual que la Tierra, no son completamente esféricos. Lo mismo acontece con las partículas alfa y con los protones.Así, pues, todos nuestros corpúsculos fundamentales están obligados a girar alrededor de un eje de construcción, ligado a su estructura, como los husos giran alrededor del hilo (de donde el término spin, que designa en inglés esta rotación corpuscular).No olvidemos que nuestros corpúsculos están en su mayoría cargados eléctricamente: protones, partículas alfa, núcleos, electrones. Tenemos, pues, el equivalente de un trompo electrizado en rotación.Ahora bien, Rowland ha mostrado, en un precioso experimento, que las cargas eléctricas que giran así en redondo, alrededor de muy pequeños círculos, producen un campo magnético, dirigido según el eje de rotación.Esta idea es ya algo antigua; fue debida al genio de Ampère, que asimiló las propiedades magnéticas a la circulación de una carga eléctrica.Así, nuestro corpúsculo, o peón electrizado, puede ser identificado con un imán de muy pequeñas dimensiones, con un polo norte y un polo sur, que estuviera colocado según el eje mismo de rotación.En un lenguaje más erudito, se diría que el corpúsculo posee “un momento magnético”.De la obra Vida y transmutación de los Átomos de Jean Thibaud.

Conviene explicar una diferencia. En el tercer número cuántico se habla del momento magnético orbital, por referencia a la traslación del electrón, en la trayectoria de la órbita alrededor del núcleo, mientras que el espín, del que se habla en el cuarto número cuántico, se refiere al giro, o rotación, del electrón sobre sí mismo, que da lugar al momento cinético propio, igual a ½ h/2, y al momento magnético propio, igual al magnetón de Bohr eh/4mc, que es la unidad cuántica del momento magnético

Es interesante observar que la pieza giratoria de los telares, que se menciona en el texto, el huso, se llama en inglés precisamente spindle por el giro (spin) que efectúa.

Sólo ciertas partículas, denominadas fermiones, cuyo spin es la mitad de la unidad cuántica “ h/2“, cumplen con el principio de exclusión de Pauli. Desde este punto de vista, las partículas pueden dividirse en dos grandes grupos; fermiones y no-fermiones, o bosones. De ello hablaremos en un capítulo posterior.

APLICACIONES DEL PRINCIPIO DE EXCLUSIÓN DE PAULI.

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Sin duda, la principal aplicación de este principio haya sido a la estructura de las capas electrónicas del átomo, el instrumento más adecuado para la comprensión de la tabla periódica de los elementos. Ello ha dado lugar a una nueva descripción de la distribución de los electrones teniendo en cuenta los sub-niveles dentro de cada capa. La nueva descripción para el radón, en cuyo análisis no puedo entrar, es la siguiente:

1s2, 2s2 2p6, 3s2 3p6 3d10, 4s2 4p6 , 4d10 , 4f14, 5s2 , 5p6 , 5d10, 6s2 , 6p6

La suma de los exponentes da 86, el número de los electrones de este elemento. Me he tomado la libertad de introducir comas para ayudar a ver cómo las sumas parciales de los exponentes entre comas coinciden con el número de electrones en las capas K, L, M, N, O y P, como se indicó anteriormente.

La aplicación de los conceptos cuánticos a la estructura de las moléculas se debió, principalmente, a un químico con nombre parecido al de Pauli, el estadounidense, Linus Carl Pauling, también premio Nobel. En su estancia por Europa estudió con Arnold Sommerfeld, Niels Bohr y Erwin Schrödinger.En segundo lugar, la introducción, o mejor dicho, la deducción del spín que hiciera P. A. M. Dirac de la ecuación relativista del electrón, contribuyó a esclarecer aún más la estructura de las líneas espectrales. En cuanto al principio de exclusión, voy a referirme brevemente a una conocida aplicación en Astrofísica.Se deduce del principio de exclusión que cuando los átomos se aproximan hasta el punto que sus capas electrónicas puedan solaparse, entonces aparecen poderosas fuerzas repulsivas, lo que explicaría la baja compresibilidad observada en líquidos y sólidos. El principio de exclusión actúa como una fuerza repulsiva que se opone al colapso de la materia en los interiores estelares. Las capas electrónicas tienden a no interpenetrarse, manteniéndose suficientemente alejadas del núcleo. Cuando se rompen y colapsan por la enorme fuerza gravitacional de la masa estelar, no compensada ya por la presión de radiación, emitida en la combustión nuclear, núcleos y electrones se comportan como un fluido electrónico, conocido como materia degenerada, o cuarto estado de la materia, de enorme densidad. Este es el primer paso hacia la formación de las estrellas de neutrones, en las que los protones del núcleo se fusionan con los electrones colapsados. La densidad de tales estrellas es del mismo orden de magnitud que la de un núcleo atómico. Según los expertos en astrofísica, todo depende de la masa del astro en cuestión en relación con la masa del Sol. En las estrellas con masa superior a la del Sol en más de 1.5 veces, el conocido límite de Chandrasekhar, la fuerza de la gravedad termina prevaleciendo sobre la presión de radiación y la resistencia que genera el principio de exclusión. Las estrellas conocidas como enanas blancas, con radio de unos pocos miles de kilómetros y densidad de decenas de toneladas por centímetro cúbico, parcialmente colapsadas, aún se sostienen por la repulsión de las capas electrónicas. Cuando estas colapsan totalmente y la masa estelar es suficientemente elevada, se convierten en estrellas de neutrones. Estas estrellas poseen un diámetro de unos 15 kilómetros, mas su densidad es ya de decenas de millones de toneladas por centímetro cúbico. Aún así, todavía actúa en ellas el principio de exclusión entre protones y neutrones. Cuando esta última línea de defensa se hunde, aparece, según los expertos, lo que llaman una singularidad en el continuo espacio-temporal, que es lo que comúnmente se entiende por agujero negro.

LAS MANZANAS DE DYSON.

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Vimos en una sección de este mismo capítulo cómo en un texto de Werner Heisenberg se ponía en boca de Niels Bohr:

El punto de partida fue, para mí, más bien la estabilidad de la materia que, desde el punto de vista de la física anterior, es, ciertamente, un milagro.

Si bien el físico danés acometió la explicación de dicha estabilidad, fue, no obstante, el físico austríaco Wolfgang Pauli quien, con su principio de exclusión, explicó definitivamente el mecanismo cuántico de la estabilidad de la materia, tal como la vemos en nuestro entorno cotidiano y en las profundidades del espacio. Veamos lo que nos dice a este respecto Jean-Marc Lévy-Leblond en la colección de artículos, titulada Le Monde Quantique:

Si el principio de exclusión de Pauli no interviniera para mantener los electrones a distancia mutua, la materia estaría incomparablemente más concentrada, tanto más cuanto de más materia se tratara. Lejos de existir en la forma en que la conocemos, fragmentada y fragmentable, mostraría una tendencia imperiosa a la concentración. Dyson ha podido mostrar que la energía de cohesión crecería como la potencia 5/3 del número del núcleo. Resulta que la materia de una manzana, por ejemplo, estaría condensada en un volumen de … 10-18 cm (mucho más pequeño que un núcleo atómico). Más aún: dos de esas “manzanas” se fundirían explosivamente en una sola, desprendiendo una energía equivalente a varios centenares de millones de bombas H de gran calibre.

DISTINTOS MODELOS DEL NÚCLEO.

Los postulados de Bohr ¿son aplicables al núcleo? En principio no, pero existen algunas analogías. Las diferencias entre la corteza del átomo el cortejo de electrones planetarios y el núcleo son muy notables. Las dimensiones del núcleo van de 10 -13 a 10-

12 cm. en relación con 10 –8 cm. del átomo. El núcleo es, pues, unas diez mil veces más pequeño que el átomo. La densidad del núcleo es enorme; en comparación, la del cortejo planetario de los electrones es una estructurara casi vacía.

Existen varios modelos del núcleo atómico. Niels Bohr propuso el modelo de la gota líquida. Según este modelo, los diversos componentes del núcleo, protones y neutrones, se hallan como recluidos en un agujero profundo el pozo de potencial del que no es fácil la entrada o salida de otras partículas. Cuando una partícula, normalmente acelerada, penetra a modo de proyectil en el núcleo, la energía de la colisión se distribuye entre sus componentes. Los componentes más excitados y próximos a la superficie pueden, por evaporación, abandonar el núcleo. Si la energía de los proyectiles es mucho mayor, pueden ocurrir dos casos. En el elemento químico bombardeado se induce radioactividad artificial con la posterior emisión de partículas partículas alfa, protones, electrones o bien el elemento se divide en dos como acontece a los elementos más pesados de la tabla periódica, partición que, como el lector sabe, se denomina fisión.Por ejemplo, si el núcleo capta un neutrón, puede suceder que salga despedido un protón, una partícula alfa o que se produzca una emisión de radiación gamma. De todos es conocida la primera fisión del uranio, con número atómico Z = 92, en otros elementos uno de los cuales era el bario, con número atómico Z = 56. El experimento

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fue realizado por Otto Hahn y sus colaboradores. Frisch y Lisa Meitner consiguieron explicar el fenómeno mediante el modelo atómico de la gota líquida, propuesto por Niels Bohr.

Otro modelo atómico, rival del anterior, es el de las capas, que revela una mayor analogía con el modelo planetario de Niels Bohr. Los dos tipos de nucleones protones y neutrones se disponen en capas, o grupos de órbitas con niveles de energía muy parecidos, separadas de otras capas por grandes diferencias energéticas. Se disponen en conjuntos distintos según sean protones o neutrones. Ambas partículas son fermiones y, en consecuencia, se les aplica el principio de exclusión de Pauli. Sin embargo, un número par de fermiones se comporta como si fuera un bosón. Los núcleos con capas cerradas, esto es, con todas sus órbitas completas, manifiestan una mayor estabilidad, análoga a la de los gases nobles. Un caso típico de bosón compuesto lo constituye la partícula alfa, extraordinariamente estable, con sus dos protones y dos neutrones.

Concluiré con este breve texto de Jan Jolie:

Para estudiar los núcleos atómicos, se les bombardea con neutrones, fotones o partículas aceleradas, que los excitan, y se observa cómo reaccionan. Los estados excitados son inestables. El núcleo torna enseguida a su estado de menor energía; de camino, va cayendo de unos estados a otros, emitiendo fotones de energía en forma de rayos gamma o X, que se pueden medir con precisión. (Investigación Ciencia Sept. 2002).

El espíritu de Niels Bohr parece flotar sobre este texto.

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CAPITULO V

LA NUEVA MECÁNICA CUÁNTICA MATRICIAL

Sumario:Época de Transición en la teoría cuántica. Las magnitudes observables. Heisenberg relata cómo descubrió la mecánica cuántica matricial. Las series de Fourier. Relato complementario de Pascual Jordan. Cómo surgen las matrices en la mecánica cuántica. Analogía de J. Jeans. Con W. Pauli la mecánica matricial pasa su primer gran test.

ÉPOCA DE TRANSICIÓN HACIA UNA NUEVA MECÁNICA DEL ÁTOMO.

La vieja teoría cuántica de Bohr-Sommerfeld, a pesar de sus éxitos iniciales, fue considerada siempre como una etapa incompleta y provisional. El grado de insatisfacción era mayor, como suele acontecer, entre los físicos jóvenes. Así describía W. Heisenberg la confusa situación hacia 1924, en la que destaca la dualidad de corpúsculos y ondas, puesta de manifiesto por Einstein, extendida por L. de Broglie a los electrones, posteriormente aplicada a todas las partículas elementales, y el papel iluminador, pero limitado, que desempeñaba en dicha época el principio de correspondencia de N. Bohr.

Sobre la situación confusa de la física nos dice:

La evolución de la física atómica prosiguió en aquellos críticos años tal como me lo había predicho Niels Bohr en el paseo por el Hainberg. Las dificultades y las contradicciones internas, que se oponían a la comprensión del átomo y a su estabilidad, no pudieron atenuarse ni eliminarse. Muy al contrario, cada vez cobraban más fuerza. Todos los intentos para superarlas, con los medios conceptuales de la física clásica, parecían de antemano condenados al fracaso.

Acerca de la dualidad “onda-corpúsculo” escribe:

Sirva como ejemplo el descubrimiento del americano Compton según el cual la luz (o, más exactamente, la radiación de rayos X) varía su frecuencia de oscilación con la dispersión en los electrones. Este resultado podía explicarse si se admitía que la luz, como Einstein había propuesto, constaba de pequeños corpúsculos o paquetes de energía, moviéndose a gran velocidad por el espacio y que, en ocasiones, por el proceso de la dispersión, colisionan con un electrón. Por otro lado existían muchos experimentos de los que se infería que la luz se distingue de las ondas de radio no fundamentalmente, sino por su longitud de onda; y que un rayo de luz es un proceso ondulatorio y no algo así como un chorro de partículas.

Con relación a la guía inestimable, pero limitada, del principio de correspondencia, manifiesta:

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Muy notables fueron los resultados de las mediciones llevadas a cabo por el holandés Ornstein. Se trataba de determinar las relaciones de intensidad de las líneas espectrales que están unidas en el llamado “multiplete”. Estas relaciones podían calcularse con ayuda de la teoría de Bohr. Resultaba que las fórmulas, conseguidas a base de la teoría de Bohr, en principio no eran correctas pero, modificadas convenientemente, se podían obtener nuevas fórmulas que se ajustaban perfectamente a los experimentos. Así fuimos aprendiendo a superar lentamente las dificultades. Uno se hacía a la idea de que los conceptos e imágenes, tomados de la física clásica y aplicados en los dominios del átomo, eran ciertos en un 50% y falsos en el otro 50%; no se disponía para su aplicación de normas rigurosas. Por otra parte, haciendo un uso hábil de este margen de libertad, se podía adivinar fácilmente la formulación correcta de los detalles.Traducido del ensayo Der Teil und das Ganze.

LAS MAGNITUDES OBSERVABLES. HEISENBERG NOS RELATA CÓMO LLEGÓ AL PRIMER ESBOZO DE SU MECÁNICA CUÁNTICA MATRICIAL.

Unas décadas antes, Einstein, dejando a un lado los conceptos tradicionales de espacio y tiempo absolutos, del éter estacionario de Lorentz, como sistema privilegiado de referencia, y ateniéndose a los datos puros y escuetos de observación, pudo formular su innovadora teoría de la relatividad especial.W. Heisenberg hizo uso de este método, aplicándolo al dominio del átomo. Son observables las magnitudes perceptibles por los sentidos o registrables por los instrumentos de medida. No son observables, en consecuencia, las órbitas de los electrones pero podemos medir, mediante el espectrógrafo, las frecuencias de oscilación y amplitudes de las radiaciones emitidas por los átomos excitados. Según este principio, en la construcción de teorías científicas, en especial en física, sólo sería permisible la introducción de magnitudes observables. W. Heisenberg se vio abocado a emplear este método al comprobar los reiterados fracasos en la formulación de modelos, basados en la física clásica, convenientemente aderezados con las extrañas condiciones cuánticas, sobre los que se trabajaba intensamente en la Universidad de Göttingen, bajo la dirección de Max Born.

Dejemos a W. Heisenberg que nos relate cómo sucedió. En primer lugar plantea el problema a resolver, el predecir por fórmula las amplitudes e intensidades del espectro de radiación, emitido por el átomo de hidrógeno. Nótese la primera alusión a las series de Fourier que tan importante función habrían de desempeñar en su teoría:

En el semestre del verano 1924-1925 había vuelto yo a trabajar en Copenhague y, junto con Krammers, a seguir desarrollando la teoría de la dispersión. En relación con esto habían aparecido en las fórmulas del efecto Raman ciertas expresiones matemáticas que en la teoría clásica eran productos de series de Fourier, mientras que en la teoría cuántica había que substituirlas evidentemente por análogos productos de series, que tenían que ver con las amplitudes teórico-cuánticas de las líneas de emisión y absorción. La ley de multiplicación de estas series parecía sencilla y convincente. Tras regresar a Göttingen en el semestre de verano de 1925, una de las primeras discusiones con Born nos llevó a la conclusión que debería yo intentar adivinar las amplitudes e intensidades correctas del hidrógeno a partir de las correspondientes fórmulas (según el principio de correspondencia) de la teoría clásica. Este método de adivinanza había demostrado su eficacia. Creíamos haberlo entendido suficientemente bien de trabajos

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anteriores. Pero al profundizar resultó que el problema era demasiado complicado para mis habilidades matemáticas, por lo cual busqué sistemas mecánicos más sencillos en que dicho método prometiera más éxito.

Observe el lector la siguiente referencia al principio de los observables, actitud epistemológica de gran valor heurístico, esto es, sumamente idónea para centrarnos en los datos accesibles a la observación experimental, prescindiendo de cualquier otro supuesto inaccesible a la misma, dejando así despejado el camino para encontrar más fácilmente la solución del problema:

Al mismo tiempo tenía la sensación de que debía renunciar a cualquier descripción de las órbitas electrónicas; que debía suprimir conscientemente tal idea. Quería fiarlo todo a las reglas semi-empíricas para la multiplicación de series de amplitudes, cuya validez se había probado en las teorías de la dispersión.Como sistema mecánico elegí el oscilador inharmónico unidimensional, por parecerme bastante más sencillo al tiempo que no demasiado trivial.

En este preciso momento, surgió un imprevisto que le forzó a ausentarse de la Universidad, de lo que resultaría una gran ventaja para proseguir en solitario, sin perturbación exterior alguna, el curso al que le llevaban sus reflexiones y cálculos. Fue en este momento cuando se enfrentó por primera vez con una clase de cálculo, el cálculo de matrices, rama ésta de las matemáticas que el joven Heisenberg desconocía a la sazón:

Por aquel entonces final de mayo o principio de junio- tuve que pedir a Born un permiso de dos semanas, porque había contraído la fiebre del heno, muy molesta, y quería recuperarme en la solitaria isla de Helgoland, lejos de todo campo en flor. Allí pude dedicarme a mi problema sin ninguna clase de interrupciones exteriores. Substituí, pues, la coordenada de posición por una tabla de amplitudes que debían corresponder a la serie de Fourier clásica, y escribí la ecuación clásica del movimiento, empleando en el término no lineal el que representa la inharmonicidadla multiplicación de series de amplitudes, tal como estaba probada en la teoría de la dispersión. No fue sino mucho después cuando me enteré por Born de que se trataba simplemente de la multiplicación de matrices, rama de las matemáticas que hasta entonces me era desconocida. Me intranquilizó saber que en esta clase de multiplicación de series, “a x b” no es necesariamente igual a “b x a”. Pero con la ecuación del movimiento no estaban todavía unívocamente determinadas las tablas que representaban la posición. Había que encontrar un substituto para la condición cuántica de Bohr-Sommerfeld, porque ésta utilizaba el concepto de órbitas electrónicas, que yo me había vetado expresamente. Una transformación acorde con el principio de correspondencia me llevó pronto a la regla sumatoria de Thomas y Kuhn de la teoría de la dispersión y que yo conocía de Copenhague. Con esto parecía quedar sentado todo el esquema matemático, y ahora tenía que comprobar si podía o no interpretarse como una mecánica, para lo cual era preciso mostrar que existe una expresión para la energía que pueda representarse mediante las tablas de coordenadas, que se corresponda con la fórmula clásica de la energía, que esa expresión sea constante en el tiempo, es decir, que la ecuación sea válida, y que la tabla de la energía sea, como decimos hoy, una matriz diagonal. Finalmente había que demostrar que la diferencia de los valores de la energía, en distintos estados, diera la frecuencia de la radiación emitida en la transición, salvo un factor “h”, la constante de Planck. Eran muchas las

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condiciones a satisfacer; los cálculos eran elementales, pero por eso mismo muy incómodos. Al final resultó que se cumplían todos los requisitos: cabía la esperanza de haber encontrado la base para una mecánica cuántica. De vuelta a Göttingen enseñé a Born el trabajo; lo encontró interesante pero algo extraño, en la medida en que el concepto de órbita electrónica había sido eliminado por completo. Pero aún así lo envió para su publicación a la “Zeitzschrift für Physik”. Born y Jordan ahondaron luego en las consecuencias matemáticas de este trabajo, aunque ahora sin mi presencia, porque Ehrenfest y Fowler me habían invitado a dar unas conferencias en Holanda y Cambridge (Inglaterra). Born y Jordan encontraron en pocos días la relación decisiva:

pq - qp = h/2

con ayuda de la cual se hacía transparente todo el esquema matemático. En particular, se podían deducir ahora, fácil y elegantemente, leyes como la de la conservación de la energía.

Texto tomado del escrito titulado Los Inicios de la Mecánica Cuántica en Göttingen, compilado en Tradition in der Wissenschaft.

En la fórmula anterior, p y q simbolizan la “coordenada de posición” y el “momento” (masa x velocidad), respectivamente; ya no representan números sino símbolos en representación de matrices, cuyo producto depende del orden de los factores, contrariamente a lo que ocurre en la tabla de multiplicar.Además de viajar a los países citados, en la primavera de 1.926 W. Heisenberg recibió una invitación para dar una conferencia en la Universidad de Berlín, a la sazón el emporio de la física alemana. En ella trabajaban Planck, Einstein, von Laue y el físico-químico Nernst, entre otras eminencias. La conferencia llegó a interesar tanto a Einstein que éste le rogó le acompañara a casa para aprovechar la oportunidad de dialogar detalladamente sobre determinados puntos de su teoría. La primera pregunta, planteada a quemarropa, fue:

Vd. admite que hay electrones en el átomo, y en esto, sin duda alguna, tiene Vd. razón. Pero las órbitas de los electrones en el átomo las quiere Vd. suprimir completamente, a pesar de que las trayectorias de los electrones se pueden ver de forma inmediata en una cámara de niebla. ¿Puede Vd. aclararme algo más exactamente las razones de esta extraña suposición?

A lo cual contestó el joven físico:

Las órbitas de los electrones en el átomo no se pueden observar; pero a partir de la radiación, emitida por el átomo en un proceso de descarga, cabe deducir inmediatamente las frecuencias de oscilación y las correspondientes amplitudes de los electrones en el átomo. El conocimiento de la totalidad de los números de oscilación y de las amplitudes es también en la física clásica algo así como un substituto del conocimiento de las órbitas electrónicas. Y como es razonable admitir en una teoría sólo las magnitudes que pueden ser observadas, me pareció natural introducir sólo estos conjuntos como representativos de las órbitas electrónicas.

Einstein objetó insatisfecho:

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Pero Vd. no cree seriamente que se puedan aceptar en una teoría física únicamente las magnitudes observables.

Yo pensaba, replicó Heisenberg, que Vd. precisamente había puesto este pensamiento como base de su teoría de la relatividad. Vd. había acentuado que no se debe hablar de un tiempo absoluto, ya que tal tiempo no es observable. Sólo los datos de los relojes, con relación a un sistema de referencia en movimiento o en reposo, son decisivos para la determinación del tiempo.

En la primera contestación de W. Heisenberg tenemos un enunciado breve y sencillo del principio de los observables. Es sorprendente la facilidad con la que creemos ver de un modo inmediato las trayectorias de los electrones en la cámara de niebla, cuando lo que realmente vemos son puntitos de condensación de vapor, inmensamente grandes en tamaño en comparación con las ínfimas dimensiones del electrón. Más tarde W. Heisenberg hará hincapié en esto mismo con ocasión de la formulación del principio de incertidumbre. Finalmente, hubiera sido interesante sorprender el semblante de Einstein tras la última contestación de su interlocutor.A continuación Einstein expresó un pensamiento audaz que es, para el autor de este ensayo, algo así como la clave de su posición epistemológica en relación, principalmente, con su actitud frente a la interpretación de la teoría cuántica por parte de Niels Bohr, conocida como la interpretación de Copenhague. Algunos lo consideran como una mutación de su mente, una vez concluida su teoría de la relatividad especial, dado que en su juventud, influido por el físico y filósofo neo-positivista, Ernst Mach, pensaba como el joven Heisenberg:

Erst die Theorie entscheidet darüber was man beobacten kann (Sólo la teoría decide acerca de lo que se puede observar).

A primera vista, parece una expresión demasiado radical, pero con ella se quiere significar que con hechos puros no se puede construir ciencia alguna. Siempre habrá que interpretarlos a la luz de alguna teoría, por muy provisional que ésta sea. Max Planck, en sus diferentes escritos, mantiene una actitud similar a la Einstein en cuanto a la doctrina de los observables.

LAS SERIES Y LA TRANSFORMADA DE FOURIER.

Ya que en el texto anterior de W. Heisenberg se han mencionado las series de Fourier y de nuevo P. Jordan va a referirse a esta herramienta matemática, es conveniente decir dos palabras sobre ella. Debemos este sistema de cálculo al sabio francés de la época napoleónica, Jean Baptiste Joseph Fourier, quien era político, egiptólogo, ingeniero y, por supuesto, matemático. En medio de sus múltiples ocupaciones, algunas de ellas solapadas entre sí, tuvo tiempo suficiente para deducir una ecuación que describía la conducción del calor y hacia 1807 había inventado un método para resolverla: la transformación de Fourier. Siguiendo el relato de Ronald L. Bracewell en la revista Investigación y Ciencia, Agosto 1989, si tomamos un anillo de ancla de navío y calentamos la mitad de la circunferencia, se observa al principio una distribución irregular de la temperatura. Parte del anillo se encuentra uniformemente frío y la otra parte uniformemente caliente, no obstante, debido a la transmisión del calor de la zona caliente a la fría, la distribución de temperatura comienza a suavizarse. Fourier propuso

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considerar la distribución original irregular como compuesta de múltiples funciones sinusoidales (funciones del seno) cada una con su propia temperatura máxima (amplitud) y su propia fase, esto es, su posición relativa dentro del anillo o ciclo. Cada componente, o función sinusoidal, variaba un número entero de veces (frecuencia) desde un máximo a un mínimo, e inversamente, describiendo un ciclo en cada vuelta completa en torno al anillo. Como nos dice Ronald L. Bracewell:

La variación que poseía un solo ciclo dio en llamarse harmónico fundamental, mientras que las variaciones con dos, tres o más ciclos, por giro en torno al anillo, son el segundo harmónico, el tercer harmónico, etcétera. La función matemática que describe la temperatura máxima y la posición, esto es, la fase, de cada uno de los harmónicos es la “transformada de Fourier” de la distribución de temperaturas. Fourier había cambiado una distribución única, cuya descripción matemática era difícil, por una serie más manejable de funciones trigonométricas periódicas que, al sumarse, engendraban la distribución original.

Como puede apreciar el amable lector, la imagen y términos de harmónicos están tomados de la acústica. Nuestro oído efectúa automáticamente un cálculo similar sobre los sonidos, cálculo este que un estudiante sólo puede realizar tras años de formación matemática. Nuestro oído convierte el sonido, que son ondas de presión a lo largo del tiempo y a través del espacio atmosférico, en un espectro, esto es, en una descripción del sonido mediante una serie de volúmenes o amplitudes y de diferentes tonos o frecuencias. Finalmente el cerebro convierte esa información en sonido percibido. Con los colores, las cosas suceden de otra manera. Para analizar la luz en sus componentes tenemos que recurrir al prisma, o a otros dispositivos ópticos. La intensidad de la luz solar, que incide en el prisma, varía de un instante al otro, como corresponde a las ondas. La luz que emerge del prisma atraviesa el espacio analizada en colores puros, esto es, en frecuencias simples. A cada frecuencia corresponde una determinada intensidad o amplitud. Así, la amplitud, que antes de pasar por el prisma, era función del tiempo, se transforma en una función que da la amplitud correspondiente a cada frecuencia. La transformada de Fourier permite representar una señal que varía en el tiempo en una función que da la frecuencia y la amplitud, facilitando, además, información sobre la fase. En castellano el término harmonía, puede escribirse tanto con h como sin ella, si bien es más habitual lo segundo.

Volvamos de nuevo al texto original de Ronald L. Bracewell que, hablando de las transformadas de Fourier, nos dice:

Dichas herramientas matemáticas permiten descomponer las funciones, que representan las fluctuaciones, en un conjunto de componentes sinusoidales, curvas ondulantes que oscilan de un máximo a un mínimo y viceversa, a modo de crestas y senos de las ondas del océano. La transformación de Fourier es una función que describe la amplitud y la fase de cada sinusoide y con una frecuencia específica. (La amplitud expresa la altura de la sinusoide; la fase, el punto de arranque dentro del ciclo de la sinusoide).

Recordemos que la frecuencia expresa el número de ciclos, o variaciones completas, por segundo, siendo el período, el tiempo en segundos que dura una variación completa,

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esto es, desde un máximo o cresta a otro máximo consecutivo. Prosigue Ronald L. Bracewell:

La transformación de Fourier ha llegado a ser un poderoso instrumento en diversos campos de la ciencia. En ciertos casos proporciona métodos para la resolución de ecuaciones difíciles de manejar, verbigracia, las ecuaciones que describen las respuestas dinámicas de los sistemas eléctricos, térmicos o lumínicos. En otros casos permite identificar las aportaciones de índole regular a una señal fluctuante, contribuyendo así a dar sentido a las observaciones de la astronomía, la medicina y la química.

Sólo nos queda ahora, para completar las ideas anteriores, abrir un libro cualquiera de matemáticas, sólo un poquito más que elemental, donde veamos algo de su formalismo matemático.

De acuerdo con el teorema de Fourier,

f(x) = A0 + a1senx + a2sen2x + a3sen3x ... b1cosx + b2cos2x + b3cos3x + ...

Las constantes A, a y b se evalúan por integración después de multiplicar la ecuación por dx. Muchas de las aplicaciones del teorema de Fourier se encuentran en física, particularmente en los problemas que tratan del movimiento ondulatorio y de la conductibilidad del calor. Es posible formar, por medio de un conjunto de curvas de senos y cosenos, una curva ondulada que corresponda a funciones muy complicadas. Las ecuaciones del seno y del coseno son conocidas, así es que se puede hallar una ecuación que represente una curva muy compleja. Teóricamente sería posible determinar la ecuación que correspondería al perfil de la cara de un hombre, pero la labor que esto supondría sería, por descontado, muy grande.

Tomado del libro Preparación Matemática para la Química Física por el Prof. Farrington Daniels. La mecánica de cálculo y la fundamentación teórica de las series de Fourier recuerda las de las series de Maclaurin y Taylor con las que guarda cierto parentesco. Mientras que en éstas los coeficientes se determinan mediante sucesivas diferenciaciones de polinomios, en las series de Fourier se averiguan mediante sucesivas integraciones de las funciones seno y coseno

Aparte de este papel fundamental de las series de Fourier –la de aproximar funciones cíclicas complicadas- existe otro aspecto de las mismas que las hace muy interesantes en el análisis de determinados procesos cuánticos por su relación con las probabilidades. Del mismo modo que en la distribución de Bernouilli, en la llamada distribución binomial de probabilidades, los coeficientes combinatorios miden las probabilidades de obtener determinados sucesos en el lanzamiento de dados y monedas, en las series de Fourier los coeficientes que desempeñan tal función representan las amplitudes de las curvas sinusoidales. Como veremos más tarde, del mismo modo que el cuadrado de la amplitud de la onda electromagnética determina la probabilidad de encontrar un fotón en una diminuta región del espacio y no en otra, el cuadrado de la amplitud de una onda de materia mide la probabilidad de que un electrón se halle en una determinada región espacial.

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Los conceptos generales expuestos nos ayudarán a comprender, a un cierto nivel, los textos en que se cite esta poderosa herramienta de cálculo que, como ya es harto habitual, en sus inicios fue acogida no sin ciertas reservas por los mejores matemáticos de la Francia napoleónica.

Como ejemplo de aplicación a la cuántica, veamos este luminoso texto de Louis de Broglie:

Pero existe una categoría particularmente simple de perturbaciones luminosas: son las ondas planas monocromáticas. Cuando el éter es atravesado por una onda plana monocromática, transcurren por el mismo ondas regulares cuyas crestas y valles se suceden a intervalos iguales. Este intervalo igual entre ondas sucesivas contiguas es la longitud de onda de la onda monocromática. Además, cada punto del éter es el asiento de una vibración periódica de período T. El conocimiento de la longitud de onda y del período T, junto con la dirección de propagación, determina la onda plana monocromática.

Recuerde el amable lector que se denomina onda monocromática, o harmónica, la que posee, como su nombre de origen griego indica, un solo color, esto es, una sola frecuencia, definida ésta como el número de oscilaciones en la unidad de tiempo, generalmente en segundos. Y prosigue el ilustre físico francés:

Pero, naturalmente, en razón de la simplicidad y de la regularidad la onda plana monocromática presenta un carácter excepcional y, en general, una perturbación no se reduce a una tal onda monocromática. Sin embargo, la consideración de este tipo simple de onda es de una importancia primordial en la teoría de la luz, y esto por razón de un teorema célebre, debido a Fourier. Este teorema, aplicado a las perturbaciones luminosas, nos enseña que toda perturbación luminosa se puede analizar en una superposición de ondas planas monocromáticas. Empleando el lenguaje preciso del matemático, la función de las variables de espacio y de tiempo, que representan el conjunto de una perturbación luminosa, siempre se puede expresar como la suma de una serie finita o infinita de funciones sinusoidales, cada una de las cuales representa una onda monocromática plana. Obtenemos así una “descomposición espectral” de la función de ondas completamente distinta de la “descomposición espacial” de la que hablamos anteriormente. No se trata, en efecto, de atribuir a cada punto del espacio una función (x) que represente la vibración luminosa en cada punto, por muy complicada que sea, sino de abarcar simultáneamente un conjunto de ondas planas monocromáticas, cuya superposición es equivalente a la onda real en su totalidad. A primera vista, esta nueva descomposición de la onda pudiera aparecer como mucho más artificial que la primera (la descomposición espacial), porque lo que parece ser verdaderamente real, en cuanto se cree en la existencia del éter, o más generalmente, en la existencia de “algo que vibra”, es la vibración generalmente compleja de ese “algo que vibra” en cada punto. La operación, mediante la cual se descompone el conjunto de todas estas vibraciones locales en una superposición de ondas monocromáticas, parece una operación puramente mental, mas un poco de reflexión atenúa esta primera impresión. Se sabe, en efecto, que existen dispositivos ópticos, prismas y retículas, que son susceptibles de descomponer efectivamente una onda luminosa compleja en ondas monocromáticas. Gracias a estos dispositivos, las diversas ondas monocromáticas se encuentran realmente separadas las unas de las otras,

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poseyendo cada una la frecuencia que le corresponde en la “descomposición espectral”, por la aplicación del teorema de Fourier.Traducido de la obra Matière et Lumière.

Si bien en el texto se habla exclusivamente de ondas luminosas a las que corresponden los fotones, lo mismos conceptos se aplican a las ondas de materia broglianas, que estudiaremos en el próximo capítulo, y a sus correlatos los electrones. UN TEXTO ESCLARECEDOR DE PASCUAL JORDAN SOBRE LA MECÁNICA MATRICIAL DE WERNER HEISENBERG.

El texto de Ernst Pascual Jordan se inicia con una explicación más detallada del principio de los observables, punto de partida capital en la teoría de W. Heisenberg, de marcado carácter epistemológico:

La idea decisiva de Heisenberg era que había que renunciar a la concepción según la cual los electrones, en su movimiento alrededor del núcleo atómico, siguen siempre determinadas órbitas. Esta concepción, en la que se apoyaba toda la teoría cuántica provisional, es ajena a la realidad, pues no disponemos de ningún instrumento con que poder observar los electrones intraatómicos, con vistas a detectar el supuesto movimiento en órbitas fijas. Observamos longitudes de onda e intensidades de líneas espectrales. Así, la osadía de Heisenberg concibió el programa inicial como una teoría que se limitaba a establecer relaciones matemáticas entre magnitudes observadas, sin dar una cabida esencial en sus reflexiones y cálculos a lo inobservado, como eran los movimientos dentro del átomo. Las nuevas relaciones matemáticas, limitadas a magnitudes observables, tenían que ser tales, en el sentido del principio de correspondencia, que, a pesar de una perfecta y lógica adecuación con las discontinuidades de la física cuántica, guardaran una similitud matemática con las fórmulas de la teoría clásica, que seguirían valiendo en el caso de que los electrones periféricos se movieran en realidad tal y como había imaginado la teoría cuántica provisional: la vieja teoría no fue declarada inútil, sino que se la hizo avanzar. El cambio afectó principalmente al concepto fundamental del “movimiento”.

A continuación alude al formalismo matemático esencial de la teoría: las series de Fourier en el marco del cálculo matricial:

Como modelo simple de antena imaginemos un péndulo; si en su punta tiene una carga eléctrica, actúa en sus oscilaciones como una antena emisora. En este caso tales oscilaciones son, como dicen los físicos, harmónicas; es decir, el espectro de la radiación emitida por la antena contiene una sola línea espectral.Un principio matemático del francés Fourier afirma que todo movimiento periódico puede ser descrito como la realización simultánea de movimientos harmónicos: una oscilación, denominada básica (de frecuencia ), y las oscilaciones superiores (frecuencias 23...). Según la teoría clásica, una carga eléctrica, que se mueva periódicamente, mostrará siempre en el espectro de la radiación electromagnética, producida por ella, las correspondientes frecuencias Las relaciones de intensidad entre la oscilación fundamental y las oscilaciones superiores, o harmónicas, dentro del movimiento general, se expresan matemáticamente mediante los “coeficientes de Fourier”; conociéndolos se puede deducir de ellos el movimiento general.

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Una vez llegados a los coeficientes de Fourier, sólo resta ponerlos en relación de analogía con las magnitudes físicas observables que, como vimos, constituyeron el punto de partida para resolver el problema:

Estos coeficientes de Fourier, en el sentido del principio de correspondencia, guardan relación con las magnitudes observables de la física cuántica. En la física clásica determinan las intensidades o amplitudes de las líneas espectrales; por tanto, en la búsqueda de una teoría cuántica exacta deberían existir magnitudes análogas que determinarían las probabilidades de los saltos cuánticos.

En este texto encontramos, por primera vez, la equiparación de las intensidades, o amplitudes, de las líneas espectrales, que son observables, con algo mucho más abstracto y observacionalmente impalpable, como son las probabilidades de los saltos cuánticos. Esta equiparación, o correspondencia, será un rasgo recurrente a lo largo del desarrollo de la teoría cuántica, que acompañará, inseparablemente, a esa otra característica: las discontinuidades halladas por Max Planck, al establecer el quantum de acción.El texto de P. Jordan prosigue con este resumen:

Consiguientemente, el problema de establecer una “mecánica cuántica” definitiva puede plantearse así:1.- Formular las leyes matemáticas de la mecánica clásica de modo que ya no se hable directamente de movimiento general, por ejemplo, de un electrón, sino sólo de los correspondientes coeficientes de Fourier. Esto es matemáticamente posible, aunque complicado, pues se llega a un sistema de infinitas ecuaciones para infinitas incógnitas.2.- Las ecuaciones fundamentales de la mecánica, expresadas de esta forma, deben ser traducidas después, conforme al principio de correspondencia, a relaciones semejantes entre las correspondientes magnitudes de la física cuántica.Esta nueva traducción la inició Heisenberg y la continuaron Max Born y Pascual Jordan, trabajando en equipo en Göttingen; posteriormente P. A. M. Dirac en Cambridge. Naturalmente también ello dio lugar a sistemas de infinitas ecuaciones para infinitas incógnitas, a saber: los “coeficientes de Fourier de la física cuántica”, de los que, sin embargo, ya no es posible deducir el “movimiento de los electrones”.

Detengámonos un momento en la última frase: “ ... de los cuales (de los coeficientes de Fourier), sin embargo, ya no es posible deducir el movimiento de los electrones.”Ésta, para el autor de este ensayo, es la gran paradoja de la mecánica cuántica matricial de Heisenberg. Después de todo, y a pesar de denominarse mecánica, no se describe ningún movimiento de los electrones sino las probabilidades de los llamados saltos cuánticos. Estos famosos saltos cuánticos tampoco son observables. Lo único observable son los cambios bruscos, discontinuos, de los niveles de energía del átomo. Veremos más tarde que la misma paradoja vuelve a repetirse en la mecánica ondulatoria de Erwin Schrödinger.Concluye P. Jordan citando una observación irónica de Einstein:

“Los coeficientes de Fourier se han hecho independientes”, así describió Einstein acertadamente la cuestión, aunque, desde su punto de vista, ello contenía también una ironía. Acogió este nuevo tipo de mecánica cuántica con escepticismo, considerándolo, a pesar de reconocer el avance realizado, como una nueva situación provisional.

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De la obra Der Naturwissenschafler vor der Religiöse Frage.

ACERCA DEL ANTECEDENTE MÁS INMEDIATO DE LA MECÁNICA MATRICIAL DE HEISENBERG.

Podríamos preguntarnos sobre el antecedente más inmediato de la mecánica matricial de W. Heisenberg. Probablemente fuera la teoría de la dispersión de Kramers, a la sazón ayudante de Niels Bohr en su renombrado Instituto de Física, por donde pasaron multitud de inteligentes y anhelosos jóvenes que luego llegarían a ser físicos eminentes. En el texto de Heisenberg, anteriormente citado, vemos cómo éste colaboró con Kramers en un importante trabajo. W. Heisenberg en el mismo ensayo, comentando las principales influencias y estímulos, en forma de teorías o experimentos, que apuntaban en la dirección hacia una nueva mecánica cuántica, nos dice:

Otra sugerencia importante en esta dirección fue la que salió de los trabajos de Kramers y Ladenburg sobre la teoría de la dispersión, que establecían la relación entre las componentes de Fourier del movimiento orbital clásico y las probabilidades de transición de Einstein en la dispersión de la luz.

Por desgracia, y con ocasión de ciertas discrepancias sobre temas científicos del momento, las relaciones personales entre Kramers y Heisenberg se fueron deteriorando. Al final, el segundo sucedió al primero en el cargo de ayudante de Niels Bohr. La relación entre Bohr y Kramer, en un determinado momento, llegó a ser tan estrecha que W. Pauli y W. Heisenberg se referían a ellos, en privado, como El Papa y Su Eminencia El Cardenal, respectivamente.

LA MECÁNICA CUÁNTICA PASA CON ÉXITO SU PRIMER TEST.

Wolfgang Pauli, un antiguo condiscípulo, en curso superior, de W. Heisenberg, en la Universidad de Munich, extraordinariamente bien dotado para la física matemática, comprobó el nuevo método matricial de la mecánica cuántica en el espectro del átomo de hidrógeno, incluso en el caso más complicado del átomo de hidrógeno en campos eléctricos y magnéticos transversales. La prueba constituyó todo un éxito. Al igual que W. Heisenberg, W. Pauli en su formación pasó por el triángulo cuántico de las tres Universidades: Munich, Göttingen y el Instituto de Física de Niels Bohr en Copenhagen. En cierta ocasión, Max Born dijo de él: Pauli es un genio sólo comparable con Einstein y, desde el punto de vista científico, quizás superior a él.No menos laudatoria fue la referencia del mismo profesor en carta a Einstein en relación con Werner Heisenberg:Heisenberg posee un talento científico comparable, como mínimo, con el de Pauli. Está dotado, además, de un carácter más agradable y encantador.

ANALOGÍA DE J. JEANS SOBRE LAS MATRICES DE HEISENBERG.

Al final del ensayo, se encuentra el apéndice titulado, Cómo surgen las matrices en la mecánica cuántica de Heisenberg, donde se expone un ingenioso símil, propuesto por J. Jeans, incompleto como toda analogía, mas de gran ayuda, por su intuibilidad, para vislumbrar algo de este instrumento matemático, extremadamente abstracto.

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