1-1 1.- lgebra de nmeros complejos. a)Definicin y representacin geomtrica. b)Sumas y productos de nmeros complejos. c)Vectores y mdulos en el plano complejo. d)Representacin en forma exponencial. Frmula de Euler. e)Potencias y races de nmeros complejos. f)Regiones en el plano complejo (o z-plano). a).- Definicin y representacin geomtrica. EncursospreviosdeMatemticassehan estudiadolosnmeroscomplejos,porloqueenesta partedelcursoharemosunarevisindeloyavistoendichoscursos,partiendodeladefinicinde nmero complejo. Definicin.Unnmerocomplejo,z,esunnmeroqueseexpresacomoz=x+iyo,demanera equivalente, z = x + yi, donde x e y son dos reales cualquiera.Se conoce a i como la unidad imaginaria, tal que i2 = 1. El nmero complejo z se puede representar como pares ordenados (x, y) de nmeros reales, tal que z = (x, y) los cuales pueden interpretarse como puntos en el plano complejo, con coordenadas rectangulares x e y;demaneraanlogaalarepresentacindelos reales x como puntos sobre el eje real. Por lo anterior, se denotar con x = Re z a la parte realdelnmeroz,ycony=Imzalaparte imaginaria de z. Los nmeros complejos de la forma z = x + i0 se denominan reales puros o, simplemente, reales; y los nmeros complejos de la forma z = 0 + iy se denominan imaginarios puros. 1-2 Igualdad de nmeros complejos Dosnmeroscomplejosz1 =(x1,y1)yz2 =(x2,y2)sernigualessiempreycuandotenganlas mismas partes reales y las mismas partes imaginarias, es decir x1= x2e y1 = y2. Lo que significa que z1 y z2 corresponden al mismo punto en el plano complejo. Esimportantemencionarqueenlosnmeroscomplejosnoexisteunarelacindeorden,es decir, las conocidas relaciones de orden que se usan en el caso de los nmeros reales no son aplicables. Por ejemplo, usando nmeros reales podemos afirmar que 3 < 8 que 11 > -4, pero al emplear nmeros complejos no tiene sentido afirmar que 3 + i < 4 + 2i. b).- Sumas y productos de nmeros complejos. Para construir las operaciones bsicas del algebra de los nmeros complejos, como lo son sumar (o restar) y multiplicar (o dividir), esimportanteconsiderar quelos nmeros reales son unsubconjunto delosnmeroscomplejos,detalformaquemuchas delaspropiedadesampliamenteconocidasdelos reales se extienden a los complejos. Suma (o resta) de nmeros complejos Sean dos nmeros complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se define la suma (o resta) de z1 y z2 como 1 2 1 1 2 2( ) ( ) z z z x iy x iy = = + + es decir 1 2 1 2( ) ( ) z x x i y y = + Ladefinicinanteriorimplicaqueparasumar(orestar)dosnmeroscomplejosessuficientesumar(o restar) por separado las partes reales e imaginarias de dichos nmeros. Producto de nmeros complejos Sean dos nmeros complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se define el producto (o multiplicacin) de z1 y z2 como 1 2 1 1 2 221 2 1 2 1 2 1 2( )( ) z z z x iy x iyz x x x iy iy x i y y= = + += + + + es decir 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) z x x y y ix y x y = + + 1-3 Engeneral,elresultadodelproductodedosnmeroscomplejosdefinidoanteriormenteesun nmero complejo; sin embargo, hay un caso particular de producto que aparece en muchos campos de la fsica cuando requerimos tener cantidades querepresenten magnitudesreales (medibles)a partir de cantidades complejas. Para ello se define el complejo conjugado de un nmero complejo z, de la siguiente manera. Sea un nmero complejo z = x + iy, se define su complejo conjugado z* como * z x iy = Elnmerocomplejoz*serepresentaporelpunto(x,-y),elcualeslareflexinenelejerealdelpunto (x,y)querepresentaaz,talcomosemuestraenla figura anexa. Con la definicin anterior, se tiene que* ( )( ) z z x iy x iy = + es decir 2 2* z z x y = + Lo que significa que el producto de un nmero complejo z por su complejo conjugado z* resulta siempre en una cantidad real. Divisin de nmeros complejos Seandosnmeroscomplejosz1 =x1 +iy1yz2 =x2+iy2(conz20)sedefineladivisin(o cociente) de z1 y z2 como 1 1 12 2 2z x iyzz x iy+= =+ Parapoderrealizarlaoperacinanterior,sehaceusodelanteriormentedefinidocomplejoconjugado; enestecaso,semultiplicanelnumeradoryeldenominadorporelcomplejoconjugadodel denominador, a saber *1 2 1 1 2 2*2 2 2 2 2 2z z x iy x iyzz z x iy x iy| | | | + = = ||+ \ . \ . es decir ( )( )1 1 2 212 22 2 2x iy x iyzzz x y+ = =+ 1-4 de donde 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2( ) ( ) x x y y xy x yz ix y x y+ = ++ + Ejercicio. Dado el nmero complejo z1 = x1 + iy1, encuentre el nmero complejo z2 tal que z1z2 = 1. Solucin.1 122 2 2 21 1 1 1x yz ix y x y= + + En este ejemplo, el nmero complejo z2 representa el inverso multiplicativo de z1., es decir z2 = (z1)-1 c).- Vectores y mdulos en el plano complejo. Dadalaestructuradelosnmeroscomplejossurgedemaneranaturallainquietudporuna representacingeomtricadelosmismos,paralocualretomamosideasdegraficacinempleadas anteriormente que nos permiten definir el plano complejo o z-plano. El plano complejo o z-plano se forma por la interseccin de los ejes real e imaginario, tal como lo hacen los ejes x e y de un plano cartesiano. Conloanterior,podemosinterpretargeomtricamentealnmerocomplejozcomoelvector que va del origen al punto (x, y). El vector z se puede escribir como la suma de las componentes real e imaginaria, a saber z = x + iy quecorrespondealarepresentacinrectangular de un nmero complejo. Lainterpretacinvectorialdeunnmero complejoesespecialmentetilparaextenderel conceptodevalorabsolutodenmerosrealesal plano complejo. Definicion.Elmduloovalorabsolutodeun nmerocomplejoz=x+iysedefinecomoel nmerorealnonegativo 2 2x y + ysedenota por |z|, es decir 2 2z x y + 1-5 Geomtricamente, el nmero |z| es la distancia entre el punto (x, y) y el origen, o la longitud del radio vector que representa a z. Se reduce al conocido valor absoluto que se tiene en el conjunto de los reales, cuando y = 0. Es importante notar que la desigualdad z1 < z2 carece de sentido, a menos que z1 y z2 sean reales; sin embargo, la desigualdad |z1| 0 e Im z > 0Primer cuadrante 1tanyxu | |= |\ . Si Re z < 0 Segundo y tercer cuadrantes 1tanyxu t | |= + |\ . Si Re z > 0 e Im z < 0Cuarto cuadrante 1tan 2yxu t | |= + |\ . Ejemplo. Analice arg z y Arg z para z1 = i, z2 = -1 y z3 = -1 i. Solucin. arg z1 = t/2 + 2nt, arg z2 = t + 2nt, arg z3 = 5t/4 + 2nt. Arg z1 = t/2, Arg z2 = t, Arg z3 = -3t/4. Ejercicio. Muestre que arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) Laecuacin(1.5)seconocecomorepresentacin exponencialdelnmerocomplejozy esmuy tilporquepermitesimplificarlosclculosalhacerusodelaspropiedadesinherentesalafuncin exponencial. En esta representacin, el complejo conjugado z* est dado por *iz z eu = (1.7) La igualdad de dos nmeros complejos z1 y z2 en representacin polar (o exponencial) ocurre si |z1| = |z2| yu1 = u2 + 2nt con n = 0, 1, 2, 3, La primera condicin est relacionada con la igualdad delos mdulos, mientras quela segunda condicin toma en cuenta la multiplicidad de los valores angulares. 1-8 Antesdepasaraverlaltimaoperacinaritmticapendiente:lapotenciacin,veamosun ltimo aspecto (por el momento) de la representacin exponencial, la generacin de regiones circulares en el plano complejo. Si uno retoma la representacin exponencial (o polar) de un nmero complejo tenemos | |iz z eu= a continuacin podemos llamar |z| = R para tener iz Reu=(1.8) Siahoraconsideramoselngulocomounparmetroque tomavaloresentre0y2t,laexpresin(1.8)seconvierteenuna representacinparamtricadeunacircunferenciaderadioR, centrada en el origen. Conforme el parmetro u se incrementa de u =0au=2t,elpuntoziniciaenelejerealpositivoysigueun recorrido en direccin contrarreloj. Demaneramsgeneral,lacircunferencia |z-z0|=R,cuyocentroseubicaenz0yconun radio R, tiene la representacin paramtrica 0iz z Reu= +(1.9) Con 0 u 2t. e).- Potencias y races de nmeros complejos. Considerandosimpletrigonometra,podemosverquelaexponencialcomplejaeiutienela siguiente propiedad para el producto eiu1eiu2. ( )( )( ) ( )( ) ( )1 21 1 2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2cos sin cos sincos cos sin sin sin cos cos sincos sini ie e i iiiu uu u u uu u u u u u u uu u u u= + += + += + + +

es decir ( )1 2 1 2i i ie e e u u u u += 1-9 Con esto, podemos obtener rpidamente el producto z1z2 como ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2i i iz z z e z e z z e u u u u += =(1.10) y el cociente z1/z2 como ( )11 221 112 2 2iiiz e zzez z e zuu uu= =(1.11) Un caso particular de este ltimo resultado es el relacionado con el inverso multiplicativoz-1 de un nmero complejo no nulo z = |z|eiu; en tal caso se tiene ( )00 111 1 1ii iiez e ez z e z zu uu = = = = Retomandolaecuacin(1.5)podemosescribirunaexpresinparalapotencian-simadez,zn,dela siguiente forma ( )| |nn iz z eu= es decir | |n n inz z e u=(1.12) para n = 0, 1, 2, 3, Desarrollando la exponencial compleja en senos y cosenos, podemos escribir la expresin (1.12) como ( )| | cos sinn nz z n i n u u = +(1.13) Lasecuaciones(1.12)y(1.13)sonequivalentesynosdanlaformamssencilladecalcularla potencian-simadeunnmerocomplejoz,conlanicacondicindequeestedebeestarescrito previamente en forma exponencial. Ejemplos.Usandoeldesarrollodelbinomioy,porotrolado,larepresentacinexponencialcalculelo expresado y compruebe que se obtiene el mismo resultado. 1.(2 + 3i)4 2.(5 - 6i)2 1-10 Antesdecontinuarconel clculodelarazn-sima deunnmero complejo veamoslautilidad delarepresentacinexponencialparaencontrarrelacionesparalosargumentosdeproductosy cocientes. Si retomamos la ecuacin (1.10) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2i i iz z z e z e z z e u u u u += = vemos inmediatamente que ( ) ( ) ( )1 2 1 2arg arg arg z z z z = + (1.14) Loanteriorpermiteilustrarelproductodedos nmeroscomplejostalcomosemuestraenlafigura siguiente. Demanerasimilar,podemosretomarla ecuacin (1.11) ( )11 221 112 2 2iiiz e zzez z e zuu uu= = de donde vemos que ( ) ( )11 22arg arg argzz zz| |= |\ .(1.15) Ambas ecuacionesson muy tiles en el producto o cocientede dos nmeros complejos, ya que pueden utilizarse para encontrar uno de los argumentos, conocidos los otros dos. Acontinuacinvamosarevisarlaoperacinpendiente:elclculodelarazdeunnmero complejo. Para ello vale la pena resolver primero la ecuacin 1nz = (1.16) es decir, encontrar la raz n-sima de la unidad. La ecuacin anterior se puede escribir como ( )( ) 0 2| | con 0, 1, 2,...ni k iz e e kt u += = es decir 2| | 1n in i kz e eu t= 1-11 Separandolaecuacinanteriorensuspartesrealeimaginariapodemosescribirlassiguientes igualdades | | 12 con0, 1, 2,...nzn k k u t== = de donde | | 1 z =(1.17) y 2 kntu =(1.18) Con lo que la solucin para la ecuacin (1.16) se puede escribir como 22 2cos sinkink kz e in ntt t| | |\ .| | | |= = + ||\ . \ .(1.19) Paratenersolucionesdistintas,yrecordandoqueelArgumentodeunnmerocomplejotomavalores entre t y t, se debe considerar que 0,1, 2, , 1 k n = . (1.20) Grficamentepodemosrepresentarlasracesn-simasdelaunidadcomounpolgono circunscrito en un crculo de radio 1 con n aristas. Extendiendo la idea anterior, pero aplicada a la ecuacin 0nz z =(1.21) seencuentraquelarazn-simadedichaecuacinestconformadaporelconjuntodenmeros complejos ck dados por 0210kin nnkc z eu t | |+ |\ .= (1.22) donde 0,1, 2, , 1 k n = . (1.23) 1-12 El valor obtenido cuando k = 0 se le llama raz principal del nmero complejo z0. Ejercicios.1.Calcule a)( )123 4i + b)( )154 4i 2.Resuelva la ecuacin 61 3 z i + = f).- Regiones en el plano complejo (o z-plano). Antes de terminar con esta introduccin a los nmeros complejos vamos a establecer una serie deconceptosydefinicionesquenosserndegranutilidadenelestudiodelasfuncionesdevariable compleja que realizaremos ms adelante. Una de estas definiciones es la vecindad o entorno c de un nmero complejo z. Definicin. La vecindad o entorno c del nmero complejo z0 se define como el conjunto de puntos z tales que0z z c < Grficamente, el entorno est formado por el conjunto de puntos que forman parte del crculo de radio c centrado en z0 dejando fuera a los puntos de la circunferencia, tal como se muestra en la figura. En ocasionesse tiene que trabajar con entornos en los que se excluye az0, en tal caso sehabla de un entorno punteado o perforado. Definicin.Sedefinecomoentornopunteadooperforadodelnmerocomplejoz0alconjuntode nmeros complejos z tales que00 z z c < < Grficamente,elentornoperforadoessimilaralanterior, soloqueahorasehaeliminadoelpuntoz0,talcomolo muestra el esquema. 1-13 Continuandoconlosconceptosqueusaremosmsadelante, consideremoselsiguienteconjuntodenmeroscomplejosS para definir tres tipos de puntos: interior, exterior y frontera. Definicin. Se dice que un nmero complejo z0 es un punto interior del conjunto S si todos los elementos de su entorno son elementos de S. Definicin. Se dice que un nmero complejo z0 es un punto exterior al conjunto S si todos los elementos de su entorno no pertenecen a S. Definicin.Lospuntosquenoentranenningunadelasdos definicionesanterioressellamanpuntosfrontera,yalconjuntode todos los puntos frontera se le llama simplemente la frontera de S. Porejemplo,siconsideramoselcrculounitario|z|1,mientrasquelospuntosinterioressatisfacenla relacin |z| < 1. S S S 1-14 Definicin.UnconjuntoSesunconjuntoabiertosinocontieneasufrontera,esdecir,atodossus puntos frontera. El ejemplo anterior es un conjunto abierto. Definicin. Un conjunto S es un conjunto cerrado si contiene a todos sus puntos frontera. Siconsideramosunejemplosimilaralanterior,perodefinidopor|z|1setendrunconjunto cerrado. Definicin.Unconjuntoabiertoesconexosiparacualquierparde puntosz1yz2pertenecientesadichoconjuntoestossepuedenunir porunalneapoligonalqueestcompletamentecontenidaenel conjunto.Sinosatisfaceestacondicin,entoncessedicequeesun conjunto no conexo.

Definicin. Un conjunto con estas caractersticas: abierto y conexo, se llama dominio y si incluye a todos los puntos frontera se llama regin. Definicin. Un conjunto S es acotado si todos los puntos de S estn dentro de un crculo de radio finito R, es decir que todos los puntos z de S satisfagan la relacin |z| < R, en caso contrario ser un conjunto no acotado. R S