1-1 1.- lgebra de nmeros complejos. a)Definicin y representacin
geomtrica. b)Sumas y productos de nmeros complejos. c)Vectores y
mdulos en el plano complejo. d)Representacin en forma exponencial.
Frmula de Euler. e)Potencias y races de nmeros complejos.
f)Regiones en el plano complejo (o z-plano). a).- Definicin y
representacin geomtrica. EncursospreviosdeMatemticassehan
estudiadolosnmeroscomplejos,porloqueenesta
partedelcursoharemosunarevisindeloyavistoendichoscursos,partiendodeladefinicinde
nmero complejo.
Definicin.Unnmerocomplejo,z,esunnmeroqueseexpresacomoz=x+iyo,demanera
equivalente, z = x + yi, donde x e y son dos reales cualquiera.Se
conoce a i como la unidad imaginaria, tal que i2 = 1. El nmero
complejo z se puede representar como pares ordenados (x, y) de
nmeros reales, tal que z = (x, y) los cuales pueden interpretarse
como puntos en el plano complejo, con coordenadas rectangulares x e
y;demaneraanlogaalarepresentacindelos reales x como puntos sobre el
eje real. Por lo anterior, se denotar con x = Re z a la parte
realdelnmeroz,ycony=Imzalaparte imaginaria de z. Los nmeros
complejos de la forma z = x + i0 se denominan reales puros o,
simplemente, reales; y los nmeros complejos de la forma z = 0 + iy
se denominan imaginarios puros. 1-2 Igualdad de nmeros complejos
Dosnmeroscomplejosz1 =(x1,y1)yz2
=(x2,y2)sernigualessiempreycuandotenganlas mismas partes reales y
las mismas partes imaginarias, es decir x1= x2e y1 = y2. Lo que
significa que z1 y z2 corresponden al mismo punto en el plano
complejo.
Esimportantemencionarqueenlosnmeroscomplejosnoexisteunarelacindeorden,es
decir, las conocidas relaciones de orden que se usan en el caso de
los nmeros reales no son aplicables. Por ejemplo, usando nmeros
reales podemos afirmar que 3 < 8 que 11 > -4, pero al emplear
nmeros complejos no tiene sentido afirmar que 3 + i < 4 + 2i.
b).- Sumas y productos de nmeros complejos. Para construir las
operaciones bsicas del algebra de los nmeros complejos, como lo son
sumar (o restar) y multiplicar (o dividir), esimportanteconsiderar
quelos nmeros reales son unsubconjunto
delosnmeroscomplejos,detalformaquemuchas
delaspropiedadesampliamenteconocidasdelos reales se extienden a los
complejos. Suma (o resta) de nmeros complejos Sean dos nmeros
complejos z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se define la suma (o resta)
de z1 y z2 como 1 2 1 1 2 2( ) ( ) z z z x iy x iy = = + + es decir
1 2 1 2( ) ( ) z x x i y y = +
Ladefinicinanteriorimplicaqueparasumar(orestar)dosnmeroscomplejosessuficientesumar(o
restar) por separado las partes reales e imaginarias de dichos
nmeros. Producto de nmeros complejos Sean dos nmeros complejos z1 =
x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 se define el producto (o multiplicacin) de
z1 y z2 como 1 2 1 1 2 221 2 1 2 1 2 1 2( )( ) z z z x iy x iyz x x
x iy iy x i y y= = + += + + + es decir 1 2 1 2 2 1 1 2( ) ( ) z x x
y y ix y x y = + + 1-3
Engeneral,elresultadodelproductodedosnmeroscomplejosdefinidoanteriormenteesun
nmero complejo; sin embargo, hay un caso particular de producto que
aparece en muchos campos de la fsica cuando requerimos tener
cantidades querepresenten magnitudesreales (medibles)a partir de
cantidades complejas. Para ello se define el complejo conjugado de
un nmero complejo z, de la siguiente manera. Sea un nmero complejo
z = x + iy, se define su complejo conjugado z* como * z x iy =
Elnmerocomplejoz*serepresentaporelpunto(x,-y),elcualeslareflexinenelejerealdelpunto
(x,y)querepresentaaz,talcomosemuestraenla figura anexa. Con la
definicin anterior, se tiene que* ( )( ) z z x iy x iy = + es decir
2 2* z z x y = + Lo que significa que el producto de un nmero
complejo z por su complejo conjugado z* resulta siempre en una
cantidad real. Divisin de nmeros complejos Seandosnmeroscomplejosz1
=x1 +iy1yz2 =x2+iy2(conz20)sedefineladivisin(o cociente) de z1 y z2
como 1 1 12 2 2z x iyzz x iy+= =+
Parapoderrealizarlaoperacinanterior,sehaceusodelanteriormentedefinidocomplejoconjugado;
enestecaso,semultiplicanelnumeradoryeldenominadorporelcomplejoconjugadodel
denominador, a saber *1 2 1 1 2 2*2 2 2 2 2 2z z x iy x iyzz z x iy
x iy| | | | + = = ||+ \ . \ . es decir ( )( )1 1 2 212 22 2 2x iy x
iyzzz x y+ = =+ 1-4 de donde 1 2 1 2 2 1 1 22 2 2 22 2 2 2( ) ( ) x
x y y xy x yz ix y x y+ = ++ + Ejercicio. Dado el nmero complejo z1
= x1 + iy1, encuentre el nmero complejo z2 tal que z1z2 = 1.
Solucin.1 122 2 2 21 1 1 1x yz ix y x y= + + En este ejemplo, el
nmero complejo z2 representa el inverso multiplicativo de z1., es
decir z2 = (z1)-1 c).- Vectores y mdulos en el plano complejo.
Dadalaestructuradelosnmeroscomplejossurgedemaneranaturallainquietudporuna
representacingeomtricadelosmismos,paralocualretomamosideasdegraficacinempleadas
anteriormente que nos permiten definir el plano complejo o z-plano.
El plano complejo o z-plano se forma por la interseccin de los ejes
real e imaginario, tal como lo hacen los ejes x e y de un plano
cartesiano.
Conloanterior,podemosinterpretargeomtricamentealnmerocomplejozcomoelvector
que va del origen al punto (x, y). El vector z se puede escribir
como la suma de las componentes real e imaginaria, a saber z = x +
iy quecorrespondealarepresentacinrectangular de un nmero complejo.
Lainterpretacinvectorialdeunnmero
complejoesespecialmentetilparaextenderel
conceptodevalorabsolutodenmerosrealesal plano complejo.
Definicion.Elmduloovalorabsolutodeun
nmerocomplejoz=x+iysedefinecomoel nmerorealnonegativo 2 2x y +
ysedenota por |z|, es decir 2 2z x y + 1-5 Geomtricamente, el nmero
|z| es la distancia entre el punto (x, y) y el origen, o la
longitud del radio vector que representa a z. Se reduce al conocido
valor absoluto que se tiene en el conjunto de los reales, cuando y
= 0. Es importante notar que la desigualdad z1 < z2 carece de
sentido, a menos que z1 y z2 sean reales; sin embargo, la
desigualdad |z1| 0 e Im z > 0Primer cuadrante 1tanyxu | |= |\ .
Si Re z < 0 Segundo y tercer cuadrantes 1tanyxu t | |= + |\ . Si
Re z > 0 e Im z < 0Cuarto cuadrante 1tan 2yxu t | |= + |\ .
Ejemplo. Analice arg z y Arg z para z1 = i, z2 = -1 y z3 = -1 i.
Solucin. arg z1 = t/2 + 2nt, arg z2 = t + 2nt, arg z3 = 5t/4 + 2nt.
Arg z1 = t/2, Arg z2 = t, Arg z3 = -3t/4. Ejercicio. Muestre que
arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2)
Laecuacin(1.5)seconocecomorepresentacin
exponencialdelnmerocomplejozy esmuy
tilporquepermitesimplificarlosclculosalhacerusodelaspropiedadesinherentesalafuncin
exponencial. En esta representacin, el complejo conjugado z* est
dado por *iz z eu = (1.7) La igualdad de dos nmeros complejos z1 y
z2 en representacin polar (o exponencial) ocurre si |z1| = |z2| yu1
= u2 + 2nt con n = 0, 1, 2, 3, La primera condicin est relacionada
con la igualdad delos mdulos, mientras quela segunda condicin toma
en cuenta la multiplicidad de los valores angulares. 1-8
Antesdepasaraverlaltimaoperacinaritmticapendiente:lapotenciacin,veamosun
ltimo aspecto (por el momento) de la representacin exponencial, la
generacin de regiones circulares en el plano complejo. Si uno
retoma la representacin exponencial (o polar) de un nmero complejo
tenemos | |iz z eu= a continuacin podemos llamar |z| = R para tener
iz Reu=(1.8) Siahoraconsideramoselngulocomounparmetroque
tomavaloresentre0y2t,laexpresin(1.8)seconvierteenuna
representacinparamtricadeunacircunferenciaderadioR, centrada en el
origen. Conforme el parmetro u se incrementa de u
=0au=2t,elpuntoziniciaenelejerealpositivoysigueun recorrido en
direccin contrarreloj. Demaneramsgeneral,lacircunferencia
|z-z0|=R,cuyocentroseubicaenz0yconun radio R, tiene la
representacin paramtrica 0iz z Reu= +(1.9) Con 0 u 2t. e).-
Potencias y races de nmeros complejos.
Considerandosimpletrigonometra,podemosverquelaexponencialcomplejaeiutienela
siguiente propiedad para el producto eiu1eiu2. ( )( )( ) ( )( ) (
)1 21 1 2 21 2 1 2 1 2 1 21 2 1 2cos sin cos sincos cos sin sin sin
cos cos sincos sini ie e i iiiu uu u u uu u u u u u u uu u u u= +
+= + += + + +
es decir ( )1 2 1 2i i ie e e u u u u += 1-9 Con esto, podemos
obtener rpidamente el producto z1z2 como ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2i i
iz z z e z e z z e u u u u += =(1.10) y el cociente z1/z2 como (
)11 221 112 2 2iiiz e zzez z e zuu uu= =(1.11) Un caso particular
de este ltimo resultado es el relacionado con el inverso
multiplicativoz-1 de un nmero complejo no nulo z = |z|eiu; en tal
caso se tiene ( )00 111 1 1ii iiez e ez z e z zu uu = = = =
Retomandolaecuacin(1.5)podemosescribirunaexpresinparalapotencian-simadez,zn,dela
siguiente forma ( )| |nn iz z eu= es decir | |n n inz z e u=(1.12)
para n = 0, 1, 2, 3, Desarrollando la exponencial compleja en senos
y cosenos, podemos escribir la expresin (1.12) como ( )| | cos sinn
nz z n i n u u = +(1.13)
Lasecuaciones(1.12)y(1.13)sonequivalentesynosdanlaformamssencilladecalcularla
potencian-simadeunnmerocomplejoz,conlanicacondicindequeestedebeestarescrito
previamente en forma exponencial.
Ejemplos.Usandoeldesarrollodelbinomioy,porotrolado,larepresentacinexponencialcalculelo
expresado y compruebe que se obtiene el mismo resultado. 1.(2 +
3i)4 2.(5 - 6i)2 1-10 Antesdecontinuarconel clculodelarazn-sima
deunnmero complejo veamoslautilidad
delarepresentacinexponencialparaencontrarrelacionesparalosargumentosdeproductosy
cocientes. Si retomamos la ecuacin (1.10) ( )1 2 1 21 2 1 2 1 2i i
iz z z e z e z z e u u u u += = vemos inmediatamente que ( ) ( ) (
)1 2 1 2arg arg arg z z z z = + (1.14)
Loanteriorpermiteilustrarelproductodedos
nmeroscomplejostalcomosemuestraenlafigura siguiente.
Demanerasimilar,podemosretomarla ecuacin (1.11) ( )11 221 112 2
2iiiz e zzez z e zuu uu= = de donde vemos que ( ) ( )11 22arg arg
argzz zz| |= |\ .(1.15) Ambas ecuacionesson muy tiles en el
producto o cocientede dos nmeros complejos, ya que pueden
utilizarse para encontrar uno de los argumentos, conocidos los
otros dos.
Acontinuacinvamosarevisarlaoperacinpendiente:elclculodelarazdeunnmero
complejo. Para ello vale la pena resolver primero la ecuacin 1nz =
(1.16) es decir, encontrar la raz n-sima de la unidad. La ecuacin
anterior se puede escribir como ( )( ) 0 2| | con 0, 1, 2,...ni k
iz e e kt u += = es decir 2| | 1n in i kz e eu t= 1-11
Separandolaecuacinanteriorensuspartesrealeimaginariapodemosescribirlassiguientes
igualdades | | 12 con0, 1, 2,...nzn k k u t== = de donde | | 1 z
=(1.17) y 2 kntu =(1.18) Con lo que la solucin para la ecuacin
(1.16) se puede escribir como 22 2cos sinkink kz e in ntt t| | |\
.| | | |= = + ||\ . \ .(1.19)
Paratenersolucionesdistintas,yrecordandoqueelArgumentodeunnmerocomplejotomavalores
entre t y t, se debe considerar que 0,1, 2, , 1 k n = . (1.20)
Grficamentepodemosrepresentarlasracesn-simasdelaunidadcomounpolgono
circunscrito en un crculo de radio 1 con n aristas. Extendiendo la
idea anterior, pero aplicada a la ecuacin 0nz z =(1.21)
seencuentraquelarazn-simadedichaecuacinestconformadaporelconjuntodenmeros
complejos ck dados por 0210kin nnkc z eu t | |+ |\ .= (1.22) donde
0,1, 2, , 1 k n = . (1.23) 1-12 El valor obtenido cuando k = 0 se
le llama raz principal del nmero complejo z0. Ejercicios.1.Calcule
a)( )123 4i + b)( )154 4i 2.Resuelva la ecuacin 61 3 z i + = f).-
Regiones en el plano complejo (o z-plano). Antes de terminar con
esta introduccin a los nmeros complejos vamos a establecer una
serie
deconceptosydefinicionesquenosserndegranutilidadenelestudiodelasfuncionesdevariable
compleja que realizaremos ms adelante. Una de estas definiciones es
la vecindad o entorno c de un nmero complejo z. Definicin. La
vecindad o entorno c del nmero complejo z0 se define como el
conjunto de puntos z tales que0z z c < Grficamente, el entorno
est formado por el conjunto de puntos que forman parte del crculo
de radio c centrado en z0 dejando fuera a los puntos de la
circunferencia, tal como se muestra en la figura. En ocasionesse
tiene que trabajar con entornos en los que se excluye az0, en tal
caso sehabla de un entorno punteado o perforado.
Definicin.Sedefinecomoentornopunteadooperforadodelnmerocomplejoz0alconjuntode
nmeros complejos z tales que00 z z c < <
Grficamente,elentornoperforadoessimilaralanterior,
soloqueahorasehaeliminadoelpuntoz0,talcomolo muestra el esquema.
1-13 Continuandoconlosconceptosqueusaremosmsadelante,
consideremoselsiguienteconjuntodenmeroscomplejosS para definir tres
tipos de puntos: interior, exterior y frontera. Definicin. Se dice
que un nmero complejo z0 es un punto interior del conjunto S si
todos los elementos de su entorno son elementos de S. Definicin. Se
dice que un nmero complejo z0 es un punto exterior al conjunto S si
todos los elementos de su entorno no pertenecen a S.
Definicin.Lospuntosquenoentranenningunadelasdos
definicionesanterioressellamanpuntosfrontera,yalconjuntode todos
los puntos frontera se le llama simplemente la frontera de S.
Porejemplo,siconsideramoselcrculounitario|z|1,mientrasquelospuntosinterioressatisfacenla
relacin |z| < 1. S S S 1-14
Definicin.UnconjuntoSesunconjuntoabiertosinocontieneasufrontera,esdecir,atodossus
puntos frontera. El ejemplo anterior es un conjunto abierto.
Definicin. Un conjunto S es un conjunto cerrado si contiene a todos
sus puntos frontera.
Siconsideramosunejemplosimilaralanterior,perodefinidopor|z|1setendrunconjunto
cerrado. Definicin.Unconjuntoabiertoesconexosiparacualquierparde
puntosz1yz2pertenecientesadichoconjuntoestossepuedenunir
porunalneapoligonalqueestcompletamentecontenidaenel
conjunto.Sinosatisfaceestacondicin,entoncessedicequeesun conjunto
no conexo.
Definicin. Un conjunto con estas caractersticas: abierto y
conexo, se llama dominio y si incluye a todos los puntos frontera
se llama regin. Definicin. Un conjunto S es acotado si todos los
puntos de S estn dentro de un crculo de radio finito R, es decir
que todos los puntos z de S satisfagan la relacin |z| < R, en
caso contrario ser un conjunto no acotado. R S
