01-RAZ MAT (1 -21).pdf

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http://slidepdf.com/reader/full/01-raz-mat-1-21pdf 1/116

PRIMER

BIMESTRE

Secundaria

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9

Raz. Matemático

1 Lógica Recreativa I(Cerillas - Relación de Tiempo)

OBJETIVOS:

* Despertar y ejercitar el ingenio y destreza visual.* Potenciar la habilidad intelectual.

*

Afianzar el desarrollo de la imaginación, la creatividad y el ingenio.

Hallaremos en este tema ejercicios muy interesantes en loscuales tendrás que aplicar tu habilidad y destreza visual,usando conocimientos elementales de la geometría y laaritmética, aunque en algunos tu ingenio e imaginación.Encontrarás ejercicios de diferente nivel, desde los básicoshasta los complicados. Emplearás tu creatividad hastadesarrollar tu habilidad analítica y esto te ayudará adesarrollar tu pensamiento creativo mediante el empleo de

nuevos enfoques ingeniosos.

Hallaremos ejercicios de interés que para resolverlosaplicarás tu destreza visual y habilidad mental; cambiandode posición, colocando o quitando cerillas según laconveniencia del ejercicio.

CERILLAS

Se ha construido una casa utilizando 10 cerillas. Cambia

en ella la posición de dos cerillas, de tal forma que la casaaparezca de otro costado.

Resolución:

Retirando once cerillas, deja seis.

Resolución:Quito once cerillas

Cambio Quedaría

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Una balanza, compuesta por nueve cerillas se halla en unestado de desequilibrio. Es preciso cambiar la posiciónde cinco cerillas, de tal forma que la balanza quede enequilibrio.

Ejemplo 3:

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10

1ro Secundaria

El culpable del reto Fermat nació en los albores del siglo

XVII, en 1601 en Beaumont, unpueblo al suroeste de Francia. Supadre era un rico comerciante depieles, lo que le permitió realizar susestudios de leyes en la Universidadde Toulouse, donde nunca destacó enMatemáticas.No publicó en su vida ningún librosobre matemáticas. De hecho llegó aescribir a Pascal:“No quiero que aparezca mi nombre enninguno de los trabajos consideradosdignos de exposición pública”.Pero Fermat tenía la pasión por losnúmeros. Y ello en parte gracias al librode un matemático que vivió 1300 añosantes que él.Este libro era la edición de laAritmética de Diofanto. La Aritméticaconstaba de 13 libros de los cuales sóloseis sobrevivieron a la destrucciónde la gran biblioteca de Alejandría,primero por los cristianos y luego porlos musulmanes.En 1621 aparece en Francia unatraducción al latín de estos seis libros,realizada por Bachet, otro aficionado alos acertijos matemáticos.Este libro se convertiría en el libro de

cabecera de Fermat durante muchosaños.En él, Diofanto propone más de cienproblemas numéricos y da brillantessoluciones a todos ellos.Algunos tienen que ver con las ternaspitagóricas, es decir, las ternas denúmeros enteros que verifican X2 +Y2 = Z2

Fermat intuye que el exponente 2 esuna frontera matemática para estetipo de ecuaciones con númerosenteros y postula, en una de lasanotaciones a la Aritmética, su famoso

reto.Desde este momento las mejoresmentes matemáticas de 3 siglos novan a poder sustraerse a la tentaciónde intentar encontrar esa maravillosademostración de la que habla Fermat. Euler lo demostró para n = 3 y n

= 4. Dirichlet y Legendre para n=5 Lamé para n = 7. Kummer para todos los primos

menores que 100 salvo para n =37, 59 y 67.

Sophie Germain....

Resolución:

Quedaría

13 2

4

Como se ve, las ocho cerillas formanen este caso catorce cuadrados.Retira dos cerillas y deja solo trescuadrados.

Resolución:

Quito 2 cerillas

Para el desarrollo de este tipo de ejercicios se sugiere utilizarla recta numérica comparando los números con los días; así:

–3 –2 –1 0 1 2 3

HoyAyerAnteayer MañanaPasado

Mañana

Ejemplo 4:

RELACIÓN DE TIEMPO

1. RECTA NUMÉRICA

Cambio

5

31 2

4

5

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11

Raz. Matemático

Aarom, puedes decirme,¿qué día será el ayer de

pasado mañana si el ayerde mañana es jueves?

Sí, Farid, pues yoestudié en Trilce y en

un momento te daréla respuesta.

Después de aquella conversación, Aarom hizo lo siguiente:

Resolución:

Considerando la siguiente analogía:

Ahora el dato: ayer de mañana <> jueves

– 1 +1

0 <> jueves

Luego piden : El ayer de pasado mañana

– 1 +2 +1

–2 –1 0 1 2

HoyAyerAnteayer MañanaPasadoMañana

Después de resolver, Aarom le responde a Farid que ese díaserá el viernes.

Si hoy es domingo, ¿qué día será el ayer de pasado mañanade hace dos días?

Resolución:

Dato : 0 <> domingoPiden : –1 + 2 – 2 = – 1

–2 –1 0 1 2

(Dato) jueves

(Piden)viernes

Rpta.: Sábado

–2 –1 0 1 2

sábado domingo

(Piden) (Dato)

Sabiendo que el mañana del anteayer del ayer de mañanaera martes, ¿qué día será el anteayer del mañana de pasadomañana?

Dato : +1 – 2 – 1 + 1 <> martes – 1 <> martes

Piden : –2 + 1 + 2 = +1

–2 –1 0 1 2

Martes Miércoles

(Dato) (Piden)

Jueves

Rpta.: Jueves

Ejemplo 5:

Ejemplo 5:

¿Cuáles son los números quefaltan?

3 4 5 6 7 8 9 10

52 63 94 46

Curiosidades

La figura representa una copacon una cereza adentro.Se trata de obtener, moviendosólo dos fósforos, una copa iguala la original pero con la cerezaafuera.

Desafío

Ejemplo 7:

Rpta.: Viernes

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12

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Retirando cinco palitos de fósforo deja uno. Quita cuatro palitos de fósforo de la figura, de talmanera que queden sólo cinco cuadrados del mismo

tamaño.

Quita tres palitos de fósforo, de tal manera que

queden sólo tres cuadrados.

La siguiente igualdad formada con palitos de fósforo

es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debes mover como

mínimo para que exprese una igualdad correcta?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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13

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para

formar tres cuadrados?

Resolución:

El ayer de ayer fue jueves. ¿Qué día será el mañana

de mañana?

Resolución:

7. Si el anteayer de ayer de mañana de pasado mañanaes sábado, ¿qué día fue anteayer de ayer?

8. Si el mañana de mañana es lunes, ¿qué día fue

ayer?

9. Si el ayer de mañana es jueves, ¿qué día es hoy?

10. Si el anteayer de mañana de pasado mañana esviernes, ¿qué día fue ayer?

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14

1ro Secundaria

11. Halla el mínimo número de palitos de fósforoque se deben mover en la figura para que el pezrepresentado mire al otro lado.

12. Sabiendo que el mañana del anteayer del mañanade pasado mañana es jueves, ¿qué día será elanteayer del ayer del mañana de hace 2 días?

1. La siguiente igualdad formada con palitos defósforo es incorrecta. ¿Cuántos cerillos debesmover como mínimo para que exprese una igualdadcorrecta?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

2. ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar paraformar tres cuadrados?

a) 4 b) 3 c) 2d) 1 e) 5

3. ¿Cuántos fósforos como mínimo debes mover paraque en total se formen 5 cuadrados?

a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7

4. En el siguiente gráfico, ¿cuál es el menor número decerillas que se deben cambiar de lugar para obteneruna igualdad correcta?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5. ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar para

que sólo queden 3 rombos del mismo tamaño?

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6

6. ¿Cuántos fósforos como mínimo debes quitar paraque no quede ningún cuadrado?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

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15

Raz. Matemático

7. Si hoy es lunes, ¿qué día será el mañana de hace

dos días?

a) domingo

b) lunes

c) jueves

d) sábado

e) viernes

8. Si el pasado mañana de ayer es jueves, ¿qué día

será el mañana de anteayer?

a) martes

b) miércoles

c) jueves

d) viernes

e) lunes

9. Si hoy es martes, ¿qué día será el mañana de ayer

del pasado mañana de mañana?

a) jueves

b) viernes

c) sábado

d) domingo

e) lunes

10. Siendo martes el ayer de anteayer, ¿qué día será

pasado mañana de ayer?

a) sábado

b) martes

c) viernes

d) jueves

e) miércoles

11. Si hoy es miércoles, ¿ qué día será el pasado mañana

de dentro de tres días?

a) martes

b) domingo

c) lunes

d) miércoles

e) jueves

12. Si el pasado mañana de ayer de anteayer de pasado

mañana es lunes, ¿qué día será el mañana de ayer

de anteayer de hace 3 días?

a) miércoles

b) lunes

c) martes

d) domingo

e) sábado

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1ro Secundaria

2 Lógica Recreativa II(Parentesco - Situaciones Diversas)

OBJETIVOS:

* Desarrollar tu imaginación e ingenio.* Potenciar la habilidad mental e intelectual.

*

Comprender las relaciones de los componentes de la familia.

En este tema se presentan ejercicios referentes a lassituaciones de relaciones familiares o parentesco, en loscuales los enunciados son de difícil comprensión, para locual nosotros haremos uso de nuestra habilidad mental parallevar a cabo el proceso lógico–deductivo que nos lleve a lasolución de los ejercicios.Alumno Trilce, te sugerimos resolver los ejercicios realizandoenfoques diferentes al pensamiento convencional.

Aquí observaremos enunciados de difícil comprensión,pues los resolveremos graficando los personajes de maneracoherente.

Mi nombre es Gisela. ¿Qué parentesco tiene conmigo el tíodel hijo de la única hermana de mi padre?

PARENTESCO

Ejemplo 1:

Del cuadro, se deduce que mi padre es el tío del hijo de suhermana.

∴ Rpta.: Es mi padre.

¿Qué parentesco tiene conmigo la comadre de la madrina delsobrino de mi única hermana?

Resolución:

Hagamos un gráfico.

Resolución:

Hagamos un gráfico.

HermanosÚnica

hermana

de mi padre

(tía)

de padre

a hija

d e t í o a s o b r i n o

de madre

a hijo

Hijo de TíaYo

(Gisela)

Del cuadro se deduce que la persona buscada es mi esposa.

Ejemplo 2:

Esposos

Yo

Mi hijo

Relación demadrina a

ahijado

¿Existe otra forma para resolver este tipo de problemas? Puessi escribimos el texto para analizarlo, y empezamos del finaldel texto hacia el inicio del mismo.

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17

Raz. Matemático

Otros regalos de Fermat

Los viejos números primos

Hay dos grandes familias de númerosprimos:

Unos son de la forma 4 n + 1: 5, 13, 17,29, 37, 41...

Los otros de la forma 4 n +3: 3, 7, 11, 19,

23, 31, 43...Fermat descubrió que todos los de laprimera familia se pueden escribir como lasuma de dos cuadrados.

Pero en cambio, ninguno de los de lasegunda familia se puede descomponer enla suma de dos cuadrados.

El pequeño teorema de Fermat:

Si "a" es un número natural cualquiera, porejemplo 9 y p un número primo que no esdivisor de "a", por ejemplo 5; siempre se

cumple que "p", en este caso 5, es divisorexacto de ap–1 –1, en nuestro caso 95 – 1 – 1.

En efecto 94 – 1 = 6561 – 1 = 6560 quees divisible por:

5 6560 : 5 = 1312.

Esta brillante joya numérica se conocecomo el “pequeño teorema de Fermat”.

Y, cómo no, fue demostrado por Eulercuando tenía 29 años.

Su gran fallo. Los primos de Fermat.

Fermat afirmó que todos los números de laforma 22n+ 1, son números primos.

Euler se encargaría de demostrar que poruna vez Fermat estaba equivocado.

Si n=5.232 + 1 = 4294967297 = 641 x6700417 no es primo.

Pero aunque Fermat es el gran impulsor delos problemas relacionados con los númerosenteros, para encontrar el origen de estosproblemas hay que retroceder en el tiempohasta el nacimiento de la Aritmética y viajar

al siglo VI antes de Cristo.

«La comadre de la madrina del sobrino de mi única hermana»

Mi hijo

Mi comadreMi esposa

∴ Rpta.: Esa persona es mi esposa.

Usualmente para este tipo de problemas se pide la cantidadmínima de personas que integran un grupo familiar, y para

resolver esto, debemos relacionar la mayor cantidad posiblede características a las personas para que su número seamínimo.

En un restaurante estaban cenando dos padres y dos hijos,¿cuál es el menor número de personas que había en elrestaurante?

Resolución:

Es decir que había dos padres. Hagamos lo posible para quea la vez sean dos hijos, así:

∴ Rpta.: La respuesta sería 3.

CANTIDAD DE INTEGRANTES DE LAFAMILIA

Ejemplo 3:

(Abuelo)

(Padre)

Hijos

Padres

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18

1ro Secundaria

En este tema nos encontraremos con situaciones ingeniosasque exigen raciocinios hábiles para dar respuestas ingeniosas.

Josué tiene un libro de 200 hojas, y su hermanito Ángelo learranca las páginas 12; 15; 20; 100; 121; 138; 140. ¿Cuántashojas le quedan?

Resolución:

Pues obvio, si arrancó la página 15 por ejemplo, también sehabrá arrancado la página 16. Sabes ¿por qué?

Entonces se habrá arrancado en realidad las páginas:

1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja 1 hoja

∴ Rpta.: Quedan : 200 – 7 = 193 hojas

Un automóvil recorre 8000 km permutando sus llantas(incluyendo la de repuesto). Para que todas tengan igual

desgaste, ¿qué distancia recorre cada llanta?

Resolución:

Pues el automóvil lleva siempre 5 llantas (una de repuesto),de las cuales cuatro de ellas siempre están en movimiento.

8000 km

Como las 5 llantas se permutan,entonces cada llanta recorre:

4 x 80005

= 6400 km

∴ Rpta.: 6400 km

¿Cuál es el menor número de rectas que deben trazarse paradividir la figura en 6 regiones?

Resolución:

Deben trazarse dos, tal como se muestra a continuación:

654

3

2

1

Situaciones Diversas

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Los griegos fueron los inventoresde la ciencia, sobre la base de losconocimientos heredados de Egiptoy Oriente.E l l o s c o n s i g u i e r o n q u e e lpensamiento humano obtuvierael primer grado de abstracciónmatemática. Los pueblos antiguoscalcularon áreas de triángulos

pero los griegos generalizaronesos cálculos para cualquiertriángulo. Se ocuparon de definirentes geométricos con conceptospuramente abstractos y de usarexclusivamente la lógica paraobtener las conclusiones.

11; 12 15 ; 16 19;20 99;100 121;122 137;138 139;140

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19

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3El hijo de la hermana de mi padre es mi: ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona que sumadre fue la única hija de mi madre?

¿Quién es la suegra de la mujer de mi hermano? ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto de

mi padre si soy hijo único?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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20

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6¿Quién es el hombre que es el padre de la hija de la

esposa del único vástago de mi madre?

Resolución:

La hermana del hijo de la hermana del hijo del

hermano de mi padre es mi:

7. ¿Qué parentesco tiene conmigo María si se sabeque su madre fue la única hija de mi madre?

8. Juan es el abuelo del hijo de mi hijo. ¿Quién es elhijo de Juan?

9. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposadel único vástago de mi hija?

10. ¿Qué parentesco tengo con la madre del nieto demi padre si soy hijo único?

11. Si el hijo de Hugo es el padre de mi hijo, ¿quéparentesco tengo yo con Hugo?

12. Pepe le dice a su papá que la hermana de su tío no essu tía, su papá le responde: «Tienes razón». ¿Quiénes entonces la hermana de su tío que no es su tía?

Resolución:

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21

Raz. Matemático

1. La tía del padre de la hermana de mi madre es mi:

a) Madre b) Tía c) Abuelad) Bisabuela e) Tiabisabuela

2. El abuelo del hijo de mi hermano es mi:

a) Sobrino b) Tío c) Padred) Hijo e) Hermano

3. ¿Qué parentesco tiene conmigo una persona quesu madre fue la única hija de mi madre?

a) Mi hermana b) Mi tíac) Mi madred) Mi cuñada e) Mi sobrina

4. La única hija del abuelo de mi padre es mi:

a) Prima b) Abuela c) Tíad) Madre e) Tía abuela

5. ¿Qué representa para Miguel el único nieto delabuelo del padre de Miguel?

a) Él mismo b) El nieto c) Su hijo

d) Su papá e) Su abuelo

6. ¿Qué parentesco tiene conmigo el hijo de la esposadel único vástago de mi abuela?

a) Mi hijob) Mi hermanoc) Yo mismod) Mi padree) Puede ser b o c

7. ¿Qué parentesco tiene conmigo la hija de la esposadel único vástago de mi madre?

a) Hermana b) Prima c) Sobrinad) Hija e) Nieta

8. ¿Qué parentesco me une a Pedro si mi papá escuñado de su papá?

a) Es mi sobrinob) Soy su tíoc) Somos hermanosd) Somos primose) No somos parientes

9. ¿Qué parentesco tiene Juan con la hija de la esposadel único vástago de su madre?

a) Tío b) Sobrino c) Esposod) Hijo e) Cuñado

10. El hermano de la hija del tío de mi padre es mi:

a) Padre b) Abuelo c) Tíod) Tío abuelo e) Bisabuelo

11. ¿Qué parentesco tiene conmigo un joven que es el

hijo de la esposa del único vástago de mi abuela?

a) Padre b) Hermano c) Tíod) Hijo e) Primo

12. ¿Qué parentesco tiene conmigo una mujer que esla hija de la esposa del único vástago de mi madre?

a) Madre b) Hija c) Suegrad) Sobrina e) Nieta

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22

1ro Secundaria

3 Habilidad Operativa

Iniciaremos el curso mediante el estudio de métodos quenos permiten ahorrar tiempo en los cálculos. Presentaremosalgunos casos sobre el desarrollo abreviado de ciertasoperaciones básicas.

El dominio de los métodos o mecanismos que planteamossólo requieren de práctica y habilidad.

Deduzcamos el procedimiento.

1) 213 x 5 = ?

21302

213 x 102

= = 1065

2) 325 x 5 = ?

325 x 102

= 3250

2 = 1625

1. 832 x 5 = ........................

2. 4 783 x 5 = .......................

3. 92 432 x 5 = .......................

Para multiplicar por 5 se le agrega al número un cero ala derecha y el resultado se divide entre 2.

Regla Práctica

MULTIPLICACIÓN ABREVIADA

1. MULTIPLICACIÓN POR 5

Ejemplos:


+

Veamos el procedimiento:

0 2 7↓ ↓ ↓

2 9 7

+

1) 27 x 11 = ?

27 x

11

27

27

297

∴ 27 x 11 = 297

2) 3874 x 11 = ?

∴ 3874 x 11 = 42614

0 3 8 7 4↓ ↓ ↓ ↓ ↓

4 2 6 14

+ + + +

3 874

x 11

3 874

3 874

42 614

Regla PrácticaPara multiplicar por 11, la última cifra se repite, lassiguientes cifras del resultado se obtienen sumando dederecha a izquierda sucesivamente, hasta llegar a laprimera cifra, que también se debe sumar con la cifra cero.

1. 87 x 11 = ............................

2. 456 x 11 = ............................

3. 37591 x 11 = ............................

Ejemplos:

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23

Raz. Matemático


1) 24 x 15 = ?

24 x 15 = (24+12) x 10 = 360

2) 43 x 15 = ? 43 x 15 = (43+21,5) x 10=645

Regla PrácticaPara multiplicar por 15, sólo se le agrega su mitad y aeste resultado se le multiplica por diez.

1. 82 x 15 = ... .........................

2. 341 x 15 = .... ........................

3. 924 x 15 = .... ........................

Deduzcamos el procedimiento:

1) 42 x 25 = ?

Regla PrácticaPara multiplicar por 25, al número se le agrega dos cerosa su derecha y el resultado se divide entre 4.

1. 429 x 25 = ............................2. 926 x 25 = ............................

3. 2562 x 25 = ............................


1) 3265 x 999 = ?Se agregan 3 ceros (son 3 nueves)

3265000 – 32653261735

2) 84053 x 99999 = ? Se agregan 5 ceros (son 5 nueves)

8405300000 – 84053

8405215947

Regla PrácticaPara multiplicar por cifras 9, se coloca a la derechadel número tantos ceros como “nueves” tenga el otronúmero y en seguida al número obtenido se le restael número original.

1. 27 x 9999 = ............................

2. 563 x 999 = ............................

3. 1258 x 999999 = ....................

42 x100

4=

42004

= 1050

2) 174 x 25 = ?

174 x = 17400

4= 4350

1004



Ejemplos:

5. MULTIPLICACIÓN POR 9, 99, 999, 9999, ...

Ejemplos:

54

36

1 9 4 430 + 12 + 2 = 4 4

1) 31 x 12 = ?

6 131

12

372

6+1

x x

2) 54 x 36 = ?

30 1215 =x x = 2 4

15 + 4 = 19

ab x cd ab

cdx

3° 2° 1°

x

Regla Práctica


6. MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2CIFRAS CADA UNO

1° Producto de las cifras de las unidades (b x d).2° Suma de los productos en aspa.

(a x d) + (c x b)3° Producto de las cifras de las decenas (a x c).

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24

1ro Secundaria

1. 25 x 48 = ............................

2. 57 x 34 = ............................

3. 87 x 65 = ............................

Ejemplos:


1) (14)2 = ?(14)2 = (14 + 4) (14 – 4) + 42

(14)2 = (18) (10) + 16 (14)2 = 196

2) (56)2 = ?(56)2 = (56 + 6) (56 – 6) + 62

(56)2 = (62) (50) + 36 (56)2 = 3136

CÁLCULO DE NÚMEROS AL CUADRADO

1. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

1. (52)2 = ............................

2. (93)2 = ............................

3. (35)2 = ............................

(ab)2 = (ab + b) (ab - b) + b2

Regla Práctica

Ejemplos:

1. (85)2 = ............................

2. (235)2 = ............................

3. (545)2 = ............................

1) (15)2 = 225

x 2

2) (185)2 = 34225

x 19

(N5)2 = .............25

x(N + 1)

Regla Práctica

2. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINAEN 5


Ejemplos:

I. NúmeroImpar( ) Número

Par( )+ =Número

Impar( )

II. NúmeroImpar( ) Número

Impar( )+ = NúmeroPar( )

Ejemplo: 5 + 2 = 7

Ejemplo: 3 + 7 = 10

III. NúmeroImpar( ) Número

Par( )x = NúmeroPar( )

IV. NúmeroImpar( ) Número

Impar( )x = NúmeroImpar( )

Ejemplo: 3 x 4 = 12

Ejemplo: 7 x 9 = 63

Recuerda

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25

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Resuelve: N = 652

+ 57 x 11 Halla con rapidez el valor de «a +b + c», si:4 321 x 11 = 4abc1

Hallar a + b si:

29 x 49 = ab2a

Hallar a + b si:

(57)2 = 3ab9

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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26

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Halla «A x B», si:

11 x A = 231

11 x B = 165

Resolución:

Halla «a + b + c», si:

132 x 99 = a30bc

7. Si MESA x 9999 = ... 2568 Halla «M + E + S + A».

8. Determina «a + b», si: 23 x 11 = 2ba

9. ¿Cuál es el resultado de la expresión «C»? C = (x–a)(x – b)(x – c) ... (x – z)

10. Si 111 x 11 = abba, halla «b/a».

11. Halla «a + b», sabiendo que:(3a)2 = 11b6

12. Halla «a + b», sabiendo que:(5a)2 = b025

Resolución:

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27

Raz. Matemático

1. Resuelve: R = 352 + 38 x 11 + 21 x 34

a) 2 350 b) 2 357 c) 2 380d) 4 250 e) 3 251

2. Determina «a + b»11 x 37 = a0b

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

3. Hallar a + b:(57)2 = 3ab9

a) 2 b) 3 c) 5d) 6 e) 9

4. Hallar a + b:(3a)2 = 13b9

a) 8 b) 10 c) 12d) 11 e) 13

5. Halla «a + b + c», si:43 x 11 = abc

a) 14 b) 15 c) 16d) 17 e) 18

6. Halla la suma de cifras de «N», luego de efectuar: N = 172 x 999

a) 23 b) 25 c) 27d) 29 e) 30

7. Determina «a + b», si:(3a)2 = 12b6 .

a) 10 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

8. Determina «a + b», si:(25)2 = ab5

a) 8 b) 9 c) 10d) 7 e) 5

9. En qué cifra termina el resultado de: E = 2 x 4 x 6 x .... ; (n ≥ 5)

«n» factores

a) 2 b) 3 c) 4d) 0 e) Faltandatos

10. Halla «a + b», sabiendo que:17 x 11 = ab7

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

11. Halla «a + b», sabiendo que:(7a)2 = 53b9

a) 3 b) 5 c) 7d) 8 e) 9

12. Calcula el valor de «a2» si (1 x 3 x 5 x 7 x ...) = ...a

a) 1 b) 4 c) 9d) 25 e) 16

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28

1ro Secundaria

4 Resolución de Ecuaciones

•

3 x + 5 = 11→

solución: x = 2

incógnita

igualdad

• x 2 = 4 → soluciones:

incógnita

igualdad

ECUACIÓN

2. CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONESSEGÚN SUS SOLUCIONES

Es una relación de igualdad que se establece entre dosexpresiones matemáticas que tienen como mínimo unavariable. A las variables que intervienen en una ecuaciónse les denomina incógnitas y a los valores que satisfacen laigualdad se les llama soluciones de la ecuación.

Ejemplo:

Pueden ser compatibles o incompatibles:

Ecuación compatible

Es aquella que tiene al menos una solución posible. Sesubdivide en:

DeterminadaSi tiene un número finito de soluciones.

1. DEFINICIÓN

• 3x + 2 = 14 → Tiene unasolución: 4

x = 2x = -2

Ecuación incompatible Es aquella que no tiene solución posible.

• x + 3 = x - 3

• 0 . x = 3

* 4(x + 3) + 2 = 3(x + 2) - 5 + x 4x + 12 + 2 = 3x + 6 - 5 + x 4x - 4x = 1 - 14 0 = -13

Conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes sebusca obtener en caso que existan.

x + y = 5x - y = 3

(Sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.)

•

x2

= 16→

Tiene dos soluciones:4 y -4

* 3x + 5 = 2x + 11 ⇒ x = 6

IndeterminadaSi tiene infinitas soluciones.

Ejemplos:

• x - 5 = x - 3 - 2• xº - 1 ; x ≠ 0

* 5(x + 3) + 7 = 4(x + 3) + x + 10 ⇒ 5x+ 15 + 7 = 4x + 12 + x + 10 5x - 5x = 22 - 22 0 = 0

Ejemplos:

3. SISTEMA DE ECUACIONES

Ejemplo:

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29

Raz. Matemático

x = 4y = 1Solución:

ya que satisfaceambas ecuaciones

Hay diversas formas de resolver un sistema deecuaciones, nosotros nos centraremos en resolver utilizando

los siguientes métodos:- Método de reducción o eliminación.- Método de sustitución.- Método de igualación.

POR REDUCCIÓN O ELIMINACIÓN

Multiplicamos la ecuación (II) por 3 y luego sumamos,con lo cual eliminaremos la incógnita “y” y obtendremosel valor de “x”.

2x + 3y = 139x - 3y = 9

11x = 22

→ ∴ x = 2

Conocido el valor “x” se reemplaza en (I) o (II) paradeterminar el valor de “y”.

Reemplazamos en (I):2(2) + 3y = 13

∴ y = 3

x = 2y = 3

Solución:

Ejemplo:

Resuelve el sistema siguiente:

2x + 3y = 13 ... (I)3x - y = 3 ... (II)

u t i l i z a n d o l o s t r e s m é t o d o smencionados.

Resolución:

Por sustituciónDe (II) despejamos la variable “y” para luego reemplazarloen (I).

3x - y = 3 → 3x - 3 = y .... A

2x + 3 y = 132x + 3(3x - 3) = 132x + 9x - 9 = 13 → ∴ x = 2

Con “x” conocido, reemplazamos enA y hallamos “y”.

y = 3

POR IGUALACIÓNDe(I) y (II) despejamos “x” o “y”, en este caso vamos adespejar “y”.

De I: 2x + 3y = 13 → 3y = 13 - 2x

→ y =

De II: 3x - y = 3 → 3x - 3 = y ... B

Igualando A y B :

13 - 2x3

... A

13 - 2x3

= 3x - 3 → 13 - 2x = 9x - 9 22 = 11x ∴ x = 2

Reemplazando en A o Bobtenemos:y = 3

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Resuelve: 3(x - 7) + 5 = 2x + 4

Primero desaparecemos losparéntesis, multiplicando 3 por

(x - 7).

Transponiendo términos:3x - 2x = 4 - 5 + 21 x = 20

3x - 21 + 5 = 2x + 4

Resolución:

Nicolás Oresme (1323 - 1382) fueprobablemente el primero en usar el signo+ para la suma en su libro Algorismusproportionum, escrito supuestamenteentre 1356 y 1361. Anteriormente “+”se escribía “et” del latín “y”. Despuéstambién se uso p (plus).

+

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30

1ro Secundaria

2. Resuelve: (x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Primero desaparecemos losparéntesis, aplicando productosnotables.

(x + 3)2 + 7 = (x + 6) (x + 4)

Se tiene:

x2 + 6x + 9 + 7= x2 + 10x + 24

Transponiendo y agrupandotérminos:9 + 7 - 24 = x2 - x2 - 6x + 10x

Reduciendo: -8 = 4xLuego: -2 = x

Observación: Nota que se procuratener a la incógnita con coeficientepositivo.

3. Resuelve:

10x + 2x + 3(x + 8) - 30 = 0

Efectuando el paréntesis:

10x + 2x + 3x + 24 - 30 = 0

15 x - 6 = 0

Resolución:

Resolución:

Despejando “x”: 15x = 6

→ x =6

15

4. Resuelve:

2 4 9 12 21 2 9 6 21 1 9 3 31 1 3 1 31 1 1 1

3x2

+14 =

13x9 +

512

MCM = 2 x 2 x 3 x 3MCM = 36

18 (3x) + 9(1) = 4(13x) + 3(5)

54x + 9 = 52x + 15 54x - 52x = 15 - 9 2x = 6 x = 3

5. Resuelve:

x = 4x2 - 5x + 50 - x

x + x = 4x2 - 5x + 50

2x = 4x2 - 5x + 50

Elevando al cuadrado:

(2x)2 = 4x2 - 5x + 50 4x2 = 4x2 - 5x + 50 0 = -5x + 50

x = 505

x = 10

Resolución:

Resolución:

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31

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla "x":3x + 18 = 39

Halla "x":2x + 3 = x + 5

Halla "x":

3(x - 2) = 27

Halla "x":

3(2x + 14) + 20 = 6(3x - 5)- 28

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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32

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Halla "x":

5(x - 1) + 3(x + 2) = 7(x + 1)

Resolución:

Halla "x":

7. Hallar "x":

8. Resuelve: 5(x - 2) + 3x = 2(3x + 4)

9. Resuelve:

10. Calcula a + b si: 3a - 8 = -b a = b + 4

11. Halla “x” en la ecuación:

4(x + 1) = 20

12. Resuelve:3(x + 1) + 4(x - 2) = 16

Resolución:

2x + 64

=3x - 7

5

4(x - 2)5 =

2(5 - x)2

x3

-13

x4

+14

=x5

-15

+16

x6

- -

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33

Raz. Matemático

1. Hallar "x": 7x - 12 = 9

a) 1 b) 2 c) 4d) 5 e) 3

2. Hallar "x": 3x + 1 = x + 13

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

3. Hallar "x":2x/3 = 4

a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10

4. Hallar "x":

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

5. Hallar "x":3x - 5 + 2x = 7x + 2

a) 5 b) 3/2 c) - 7/2d) 2/7 e) - 2/3

6. Hallar "x":

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

2x - 13

= 3

7. Resuelva la siguiente ecuación:

a) 10 b) 13 c) 12d) 5 e) -6

8. Halla “x” en la ecuación: 3(x - 1) - 4(5 - x)= 2(6 + x)

a) 3 b) 4 c) 7d) -4 e) 6

9. Calcula el valor de "x" en:

a) a b) b c) a+bd) ab e) a - b

10. Hallar "x": 3x - 1 = x + 9

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9

11. Resuelva la siguiente ecuación:-3x - 9 + 5x + 10 = 4x + 8 - x

a) -7 b) 7 c) 6d) -6 e) 5

12. Indica el valor que verifica: 3(x - 1) + 4(x + 2) = 26

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

x2

-x3

= 1

x + 52x - 2

=34

x +1x - 1

a + b + 1a + b -1

=

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34

1ro Secundaria

5 Planteo de Ecuaciones

OBJETIVOS:

Al finalizar el presente capítulo, el estudiante estará en capacidad de:1. Desarrollar la capacidad de comprensión de textos (enunciados de problemas) de diversa índole, para su posterior

representación simbólica.2. Desarrollar la capacidad de abstracción cuantitativa, es decir, capacidad para representar simbólicamente las cantidades

y las relaciones existentes entre ellas.3. Enfrentar de manera adecuada las diferentes formas de plantear y resolver una ecuación.4. Relacionar los diversos problemas con situaciones de la vida cotidiana.

ASPECTOS ELEMENTALES

Es una igualdad conformada por números e incógnitasen la que nuestra finalidad será hallar el valor de lavariable.

1. ¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

2. ¿PARA QUÉ ESTUDIAMOSESTE TEMA?

Para desarrollar y utilizar en forma adecuada lanotación y el vocablo, para poder representar accionesy resultados relacionados con el mundo real y la vidadiaria con sus situaciones problemáticas.

La comunicación es una actividad muy importantepara la vida y desarrollo de todo ser, pues así se

pueden transmitir situaciones de peligro, de hambre,de malestar, etc. Por ejemplo, los animales, parapoder comunicarse, han logrado diferentes tipos delenguaje, algunos tan sorprendentes y sofisticadoscomo en el caso de los delfines o los murciélagos(que inclusive llevaron al hombre a inventar elradar). Estos animalitos emiten señales sonorasde alta frecuencia, imperceptibles al oído humano.

Existen otros lenguajes, quizás, más “sencillos” decomprender como es el caso del perro. Es sabido queal llegar a casa, él te recibirá “saludándote” moviendo

la colita. Ésta es un señal de afecto. O también cuandoen algún momento al acercanos nos gruñe; ésta es unaseñal de incomodidad.

El ser humano, lógicamente, no escapa a esta característica;sin embargo él ha logrado desarrollar diferentes tiposde lenguaje, como por ejemplo: el lenguaje simbólico,el lenguaje cromático, el lenguaje gestual, el lenguaje

matemático, el lenguaje textual, etc.

Observa los siguientes gráficos:

Indica peligro Indica procesocorrecto

Indica primerosauxilios

Indica servicioshigiénicosmasculinos

Estos corresponden al lenguaje simbólico.

Cuando caminas por la calle y el semáforo está en rojo, parati indica que puedes cruzar la pista. Cuando vas a la playay ves una bandera de color rojo, nos indica que el mar está

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35

Raz. Matemático

demasiado agitado y por lo tanto no debes nadar. Estos sonejemplos del lenguaje cromático.

Indica que algoestá correcto

Indicasilencio

Indica que algoestá incorrecto

En el lenguaje matemático hacemos uso de los “números”(que en realidad son los numerales) y de algunas operacionesconocidas (suma: +; resta: - ; multiplicación: x; etc.)

Observa los ejemplos:

8 + 2 x 34 ; 6 -498

2

En el lenguaje textual hacemos uso de las “letras” (que en

realidad son grafemas) y las reglas gramaticales. Un ejemplode este lenguaje es todo lo que has leído anteriormente.

Todos estos ejemplos han sido vistos, porque en el temade hoy relacionaremos dos lenguajes: el matemático yel textual, interpre-tándolos de manera adecuada para lasolución de problemas.

En este tema no hay una teoría nueva. Todas lasherramientas que necesitas para solucionar problemas, tú

ya las conoces.Quizás lo más dificultoso que puede haber es interpretaradecuadamente el lenguaje textual y traducirlo al lenguajematemático. No hay una regla específica para esta“traducción”, sin embargo, aquí tienes unos ejemplos quede seguro te ayudarán.

LenguajeTextual

LenguajeMatemático

• La suma de dosnúmeros.

• La suma de loscuadrados de dosnúmeros.

• El cuadrado de lasuma de dos números.

• La suma de dosnúmeros consecutivos.

• El cuádruple de lo quetengo, aumentado en20.

• El cuádruple, de lo quetengo aumentado en20.

x + y

a2 + b2

(a + b)2

x + (x + 1)

4x + 20;tengo “x”

4(x + 20);tengo “x”

PARTE TEÓRICA

El asterico, para representar la multiplicación provienede Johann Rahn (1622 - 1676), quien en 1659 lo usóen su libro Teutsche Álgebra.

1. Lee cuidadosamente el problema y estudialo hasta quequede perfectamente clara la situación que se plantea.

2. Identifica las cantidades compren-didas en el problema,tanto las conocidas como las desconocidas.

3. Planteo del problema: Se elige la incógnita por una letra,“x” por ejemplo y se efectúa con ella y con los datos, lasoperaciones que indique el enunciado.

1. MÉTODO PARA LA RESOLUCIÓN DE UN PRO-BLEMA

Dicha ecuación se resuelve según las reglas que seenunciaron.

* Observación: Para el planteo de una ecuación esimportante tener en cuenta “la coma”, veamos.

Resolución de la ecuación

Ejemplo:

El triple de un número, aumentado en 8

3x + 8

El triple, de un número aumentado en 8

3(x + 8)

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36

1ro Secundaria


1. Halla un número, tal que al agregarle 432 obtendremossu triple disminuido en 8.

El número es: n

n + 432 = 3n - 8 440 = 2n n = 220

* Si la expresión hubiera sido: “El triple de ladiferencia del número con 8”, se simbolizaría así:

3(n - 8)

El número es 220.

2. Una habitación rectangular tiene de largo tres vecessu anchura y su perímetro mide 24 m. Halla lasdimensiones del rectángulo.

3 x

x

Dato del problema:3x + 3x + x + x = perímetro

8x = 24x = 3

Luego, las dimensiones son:largo = 9

ancho = 3

3. En una reunión hay 64 personas, siendo el número deniños el triple de los adultos. ¿Cuántos son niños yadultos?

Si “x” es el número de adultos, el de niños será 3x.

Sea el rectángulo de ancho "x"

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Según el enunciado: x + 3x = 64 4x = 64 x = 16

Luego; los reunidos son: adultos = 16 niños = 3x16 = 48

4. Halla tres números pares consecutivos que sumadosden 216.

Si llamamos “x” al primero, entonces “x + 2” y “x +4” serán los otros dos.

Según el enunciado:

x + (x + 2) + (x + 4) = 216x + x + x + 6 = 216

3x + 6 = 2163x = 210

x = 70

∴ Los números son 70; 72 ; 74

5. Halla dos números que sumados den 300 y restados 200.

Llamemos “x” al mayor de ambos, el menor valdrá300 - x, la diferencia de ambos números es 200 que seformulará por la ecuación:

x - (300 - x) = 200

Eliminando el paréntesis:

x - 300 + x = 2002x = 500x = 250

∴ El mayor: 250 El menor: 50

Resolución:

Resolución:

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37

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3La cuarta parte de un número es 20. El triple dedicho número es:

La suma de dos números pares consecutivos es 110.Halla el menor de los números.

La suma de un número con su doble, su triple y su

cuádruplo es 110. ¿Cuál es el número?

La diferencia de dos números es 36. Si al mayor se

le disminuye en 12 se tiene el cuádruple del menor.

Halla el producto de los números dados.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

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38

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6El exceso del triple de un número sobre 55 equivale

al exceso de 233 sobre el número. Halla el número.

Resolución:

Si al doble de un número natural, aumentado en 3

se eleva al cuadrado, resulta mayor en 10 que 111.

El cuádruple del número es:

7. El perímetro de un rectángulo es de 84 m. Si ellargo excede en 8 m al ancho, ¿cuál es el área delrectángulo?

8. El número de hombres es cinco veces el número demujeres. Si en total hay 42 personas entre hombres

y mujeres, ¿cuántas mujeres hay?

9. Si los tres lados de un triángulo miden 2x + 3,3x - 1 y 4x + 3 centímetros y el perímetro de lafigura es de 23 cm, indica el mayor de estos lados.

10. ¿Cuántos buzos tiene Diego si sabemos que aloctuplicarlos y restarle ocho, obtenemos siete vecesdicha cantidad aumentada en tres?

11. En una fiesta el número de hombres es cinco vecesmás que el número de mujeres. Si en total hay

42 personas entre hombres y mujeres, ¿cuántoshombres hay?

12. Una casaca cuesta igual que cierto reloj, pero elcosto de una camisa es la tercera parte del costo dedicho reloj. Si la casaca y la camisa juntas cuesta80 soles, ¿cuánto cuesta la camisa?

Resolución:

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39

Raz. Matemático

1. La suma de dos números consecutivos es 91. Halla

el número mayor.

a) 46 b) 71 c) 81d) 91 e) 45

2. La suma de dos números impares consecutivos es112. Halla el mayor de los números.

a) 53 b) 55 c) 57d) 59 e) 61

3. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A”sobre 2. ¿Cuánto vale “A”?

a) 7 b) 9 c) 8d) 6 e) 5

4. Halla un número, tal que al agregarle 504obtenemos su triple disminuido en 8.

a) 262 b) 260 c) 256d) 200 e) 250

5. ¿Cuál es el número cuyo óctuplo aumentado en24 es tanto como su quíntuplo más 60?

a) 13 b) 12 c) 14d) 16 e) 17

6. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17equivale a la diferencia entre los 3/5 del número yla sexta parte del mismo?

a) 17 b) 34 c) 15d) 30 e) 60

7. David y Sonia tienen juntos S/. 480 pero Sonia

tiene S/. 60 más que David. ¿Cuánto tiene David?

a) S/. 270 b) S/. 240 c) S/. 210d) S/. 180 e) S/. 220

8. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45.¿Cuánto tengo?

a) 45 b) 15 c) 30d) 5 e) 60

9. Halla dos números consecutivos, tales que elcuádruple del mayor disminuido en el triple delmenor nos da 23.

a) 17 y 18 b) 18 y 19 d) 20 y 21c) 19 y 20 e) 21 y 22

10. La cola de un lagarto mide 8 cm y el cuerpo mideel triple de su cabeza. Si el lagarto tiene 32 cm delargo, ¿qué longitud tiene la cabeza?

a) 5 cm b) 6 cm c) 7 cmd) 8 cm e) 12 cm

11. Un padre compra para su hijo una corbata y una camisapor 300 soles. Si el precio de la camisa es el cuádruplo

que el de la corbata, ¿cuánto vale la corbata?

a) S/. 60 b) S/. 70 c) S/. 80d) S/. 90 e) S/. 65

12. La mitad de un número es 29, ¿cuál es el número?

a) 56 b) 58 c) 60d) 38 e) 68

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40

1ro Secundaria

6 Edades

OBJETIVOS:

1. Ejercitar la capacidad de resolver los diferentes tipos de ejercicios sobre edades.

2. Utilizar de manera adecuada, las tablas de doble entrada para la resolución de ejercicios sobre edades que involucrena dos o más sujetos.

3. Aplicar métodos prácticos para el planteo y resolución de los ejercicios de manera rápida y sencilla.4. Consolidar lo aprendido en el tema “Planteo de Ecuaciones”, mediante la resolución de ejercicios que constituyen una

continuación de dicho tema ya estudiado.

1. INTRODUCCIÓN

En todo problema sobre edades se pueden distinguirprincipalmente tres elementos: sujetos, tiempos y edades.Sobre ellos trataremos a continuación.

Debido a que estos problemas sobre edades tienen untexto que debemos interpretar y traducir, cabe plantearla siguiente interrogante: ¿Por qué no se estudiaron estetipo de problemas en el capítulo anterior sobre planteo deecuaciones?

Lo que sucede es que esta clase de ejercicios pueden serresueltos empleando formas particulares y prácticas muyinteresantes y efectivas (incluso sin ecuaciones), y es porello que ameritan ser tratados en un capítulo aparte en elcual se propondrán otras técnicas de planteo y resoluciónde problemas.

La importancia del tema aquí desarrollado, queda en evidenciapor cuanto contribuye a enriquecer nuestro conocimientode otras técnicas de planteo y resolución de ecuaciones, y

consolida las ya estudiadas en el capítulo anterior.

2. OBSERVACIÓN

3. NOCIONES PREVIAS

3.1. Sujetos

Son los protagonistas del problema, a quienes correspondenlas edades y que intervienen en el problema.

Ejemplo: Gisela es cinco años menor que Jorge pero tresaños mayor que Janeth.

3.2. Tiempos

Es uno de los elementos más importantes, ya que lascondiciones del problema ocurren en tiempos diferentes(pasado, presente o futuro) y todo depende de su correctainterpretación. Es decir:

PresenteEn un problemaexiste un solopresente. Se leidentifica porlas siguientesexpresiones:

Tengo...Tenemos...Tienes... Hoy laedad... La sumade nuestrasedades es..., etc.

Pasado

En un problemapueden darseuno o máspasados. Se leidentifica porlas siguientesexpresiones:

Hace...

Teníamos...tuvimos ...Tenía, tuve, ...Tenías, tuviste,... La suma denuestras edadesfue..., etc.

Tiempos Expresiones

FuturoEn un problemapueden darseuno o másfuturos. Se leidentifica por

las siguientesexpresiones:

Dentro de...Tendré...Tendremos,Tuviésemos,Tendrás, ...La suma de

nuestras edadesserá..., etc.

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41

Raz. Matemático

La edad representa el tiempo de vida de un sujeto. Entrelas edades se establecen determinadas relaciones, llamadascondiciones, las cuales se cumplen en un mismo tiempo o

entre tiempos diferentes.

Hoy tengo 26 años, pero dentro de cuatro años tendré eldoble de la edad que tenía hace 11 años.

Tiempo Edad

Hace 11 años 15

Hoy 26

Dentro de 4 años 30

Para facilitar su resolución, clasificaremos los problemasen dos tipos.

3.3. Edad

Ejemplo:

* Con un solo sujeto

Cuando interviene la edad de un solo sujeto.

Dentro de 20 años tendré tres veces la edad que teníahace 10 años. ¿Qué edad tuve hace tres años?

Por condición del problema:

x + 20 = 3(x - 10)

x + 20 = 3x - 3020 + 30 = 3x - x 50 = 2xx = 25 ⇒ Edad actual es 25 años.∴ Hace tres años tuve 22 años.

Asumiendo la edad actual “x” años:

Cuando intervienen las edades de dos o más sujetos.

La edad de Sara es el triple de Ángel y dentro

de 5 años ambas edades sumarán 46 años. En laactualidad Ángel tiene:

Ejemplo:

Resolución:

x - 10 x

pasado presente futuro

hace10 años

dentro de20 años

x+20

* Con varios sujetos

Ejemplo:

Resolución:

Sara

Ángel

3x

x

3x+5

Desarrollemos el cuadro:

Presente Pasado

x+5

dentro de 5

dentro de 5

Por condición del problema:3x + 5 + x + 5 = 46 4x = 36x = 9 (Edad de Ángel)

Respuesta: 9 años

1. Hoy tengo 20 años, ¿podrías decir qué edad tenía haceseis años y cuántos años cumpliré dentro de ocho años?

20 años

TiempoPresente

hoy tengo

hace6 años

dentrode 8 años

Resolución:

2. Cuatro veces la edad que tendré dentro de 10 años,menos tres veces la edad que tenía hace cinco años,resulta el doble de mi edad actual. ¿Cuánto me faltapara cumplir 60 años?

Por condición del problema:

4(x + 10) - 3(x - 5) = 2x

x + 55 = 2x

x = 55 (edad actual)

∴ Para cumplir 60 años me

faltan: 60 - 55 = 5 años

Resolución:

x - 5 x

pasado presente futuro

hace5 años

dentro de10 años

x+10


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42

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Dado el siguiente esquema, halla 2x. En el siguiente cuadro de edades:

calcula la edad de Iris hace 7 años.

En el siguiente esquema, halla "x+y" Dentro de 34 años Lizet tendrá 63 años. ¿Qué edad

tiene actualmente?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Pasado Presente

Lili

Malú

3 x

26

38

5 x

Lolo

Coco

Pasado

12

x

Presente

18

20

Futuro

y

30

Presente Futuro

Iris

Diana

n

14

36

4n

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43

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Yo tengo 9 años y mi mamá, cuatro veces mi edad.

¿Cuántos años tiene mi mamá?

Resolución:

Una madre tenía 22 años cuando nació su hija.

¿Cuál será la edad de la madre cuando su hija

cumpla 17 años?

Resolución:

7. Si a la edad actual de Sergio se le suma 19, tendríala misma edad de Carla, que tiene 57 años. ¿Cuáles la edad actual de Sergio?

8. Si a la edad actual de Pedro le aumentas 16 y le

disminuyes 9 te da 24. ¿Cuántos años tiene Pedro?

9. Patricio este año cumple 19 años. ¿En qué añonació Patricio?

10. Si tengo 28 años, ¿dentro de cuántos años tendréel triple de la edad que tenía hace 18 años?

11. Dentro de 10 años mi edad será el doble de la edadque tuve hace 10 años. ¿Cuántos años tengo?

12. ¿Qué edad tengo si la edad que tenía hace 10 añoses a la edad que tendré dentro de 50 años como 1es a 4?

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44

1ro Secundaria

1. ¿Cuántos años transcurrieron desde 1943 hasta elaño 2004?

a) 51 b) 54 c) 61d) 71 e) 82

2. Un niño tiene 8 años y 6 meses. ¿A cuántos mesesequivale su edad?

a) 98 b) 100 c) 102d) 104 e) 110

3. Sally tiene 8 años y María 15 años. ¿Cuál será lasuma de sus edades dentro de tres años?

a) 26 años b) 27 años c) 29 añosd) 32 años e) 30 años

4. Betty tiene la mitad de la edad de Melanie, Melanieel triple de la edad de Lizet. Si Lizet tiene 8 años,¿cuál es la suma de las 3 edades?


5. Julia nació en 1986. ¿En qué año cumplirá 32 años?

a) 2018 b) 2019 c) 2017 d) 2015 e) 2020

6. Kiko tiene 14 años menos que Adrián y ambasedades suman 56 años. Se deduce que:

I. Kiko tiene 21 años. II. Kiko tiene 35 años. III. Adrián tiene 18 años.

a) Sólo I b) Sólo II c) I y IId) Sólo III e) Ninguna

7. Si tengo 32 años, ¿dentro de cuántos años tendréel doble de la edad que tenía hace 12 años?

a) 10 b) 12 c) 6d) 4 e) 8

8. Si tengo 24 años, ¿hace cuántos años tenía la mitadde la edad que tendré dentro de 16 años?

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

9. Dentro de dos años tendré el doble de la edad quetenía hace ocho años. ¿Cuál es mi edad actual?


10. Mirtha dice: “Dentro de 16 años mi edad será tres

veces la edad que tenía hace dos años”. ¿Qué edadtengo?


11. Halla la edad de Vanessa si al duplicar su edadpara luego aumentarla en 28 años obtenemos elcuádruple de la de ella disminuida en 16 años.


12. Un padre tiene 28 años y su hijo un año. ¿Dentrode cuántos años la edad del padre será el cuádruplode la de su hijo?

a) 6 b) 8 c) 10d) 4 e) 3

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9

Raz. Matemático

7 Ordenamiento Lineal,Vertical y Horizontal

OBJETIVOS:

a Capacitar al alumno a diferenciar su ubicación vertical y horizontal.

a

Potenciar su imaginación y creatividad.

En este capítulo nos encontraremos con diversos tipos deproblemas en cuya resolución debemos tener en cuenta losiguiente:

La información que nos da el ejercicio necesita serordenada.

Se comienza el ordenamiento utilizando la informaciónprecisa o la más relacionada.

Debemos verificar que la respuesta final que hallamoscumpla con las condiciones del problema.

Para su mejor estudio, han sido agrupados según lamanera de ordenar la información en:

A. Ordenamiento Lineal

Ricardo, Daniel, Mauricio y Sebastián conversanacerca de su estatura.Ricardo: «Soy más alto que Mauricio pero más bajoque Sebastián».Daniel: «No soy el más bajo».

Indica verdadero (V) o falso (F), según corresponda:

a) Mauricio puede ser el más bajo. ( )b) Sebastián es el más alto. ( )c) Daniel es más alto que Ricardo. ( )

Mirtha es 3 cm más alta que Camila.

Angela es 2 cm más baja que Camila.

Kiara es 5 cm más baja que Mirtha.

Nataly es 3 cm más baja que Camila.

Indica verdadero (V) o falso(F), según corresponda:

a) Kiara y Angela son de la

misma talla. ( )

b) Nataly es la más baja. ( )

c) Camila es la más alta . ( )d) Mirtha es la más alta. ( )

En este caso se procede a ordenar la información,ubicando los datos en forma horizontal o vertical, según

sea el caso.1. CRECIENTE O DECRECIENTE

Ejemplo 1:

Resolución:

Sebastián

Talla

Ricardo

Mauricio

Daniel

Entonces: a) (F) b) (F) c) (F)

Ejemplo 2:

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10

1ro Secundaria

Resolución:

Graficando tenemos:

Mirtha

Camila

Angela – Kiara

Nataly

3 cm

2 cm

1 cm

En conclusión : a) (V) b) (V) c) (F) d) (V)

Ubicando según los datos:Casas de:

Renzo Jorge Johnny Oscar

Rpta: A la izquierda vive Renzo.

El volcán Alex está ubicado al este de Max. El volcán Jamal oeste de Max. El Denix a su vez está ubicado al oeste deJam. ¿Cuál está ubicado más al oeste?

Considera:

Denix Jam

Jam Max

Max Alex

Cuatro hermanos viven en un edificio de 4 pisos. Si Jorgevive en el primer piso, Juan Carlos vive más abajo queÁngel y Hugo vive en el piso inmediatamente superioral de Juan Carlos, ¿en qué piso vive Hugo?

Rpta : Hugo vive en el segundo piso.

En una carrera entre cinco compañeros, María llegó enel primer lugar y Lucía en último lugar. Si Juana le siguea Leticia e Irene está mejor ubicada que Juana, ¿quiénocupa el segundo lugar?

Resolución:

Ejemplo 4:

Resolución:

Izquierdade «M»

Derechade «M»

Oestede «M»

Estede «M»

M

Ejemplo 5:

Resolución:

Ejemplo 6:

2. LATERAL

B. ORDENAMIENTO POR POSICIÓN DE DATOS

Cuatro amigos viven en la misma calle, además:

Renzo vive a la izquierda de Johnny. La casa de Johnny queda junto y a la derecha de la de Jorge. Jorge vive a la izquierda de Oscar.

¿Quién vive a la izquierda de los demás?

Izquierda Derecha

Oeste Este Occidente Oriente

Juntando los datos:

Rpta : El volcán Alex es el que está más al este delos demás.

Denix Jam Max Alex

Ejemplo 3:

Los datos del problema se ubican de forma vertical enun cuadro o lista, de forma que entre ellos exista unarelación que el enunciado nos indicará.

Jorge

Juan Carlos

Hugo

1.er piso

2.º piso

3.er piso

4.º piso Ángel

Los datos los colocamos en un cuadro horizontal segúnel puesto que llegaron.

1.er

puesto2.º

puesto3.er

puesto4.º

puesto5.º

puesto

María Irene Leticia Juana Lucía

Rpta : Irene llegó en segundo lugar.

Resolución:

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11

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Se tiene un edificio con cuatro pisos y en cada pisovive una familia. La familia «Melena» vive un piso más

arriba que la familia «Guata». La familia «Duende»

vive más arriba que la familia «Pirulín» y la familia

«Melena» más bajo que la familia «Pirulín». ¿En qué

piso viven los «Melena»?

Si Pablo vive en el piso inmediato superior al piso

donde vive Erick, ¿cuál de los siguientes enuncia-

dos debe ser verdadero?

I. Carlos vive en el tercer piso.

II. Javier y Erick viven en el primer piso.

III. Erick vive en el tercer piso.

Del ENUNCIADO 1:

¿Quién obtuvo la calificación más baja?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

ENUNCIADO 1:Julio, Fernando, Jorge, Wilkins y Ricardo con-

versan sobre sus notas obtenidas en el último

examen de RM. Julio obtuvo tres puntos más

que Jorge pero dos puntos menos que Wilkins;

Jorge obtuvo dos puntos más que Fernando y

este último obtuvo tres puntos más que Ricardo.

¿Quién obtuvo la calificación más alta?

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12

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Del ENUNCIADO 1:

Si Fernando hubiera obtenido 12, ¿cuál sería la

nota de Wilkins?

Resolución:

ENUNCIADO 2:

Si se sabe que:

Julio es más alto que Perico pero más bajo que

Luciano. Luciano es más alto que Calixto peromás bajo que Renato.

Podrían tener la misma estatura ...

a) Renato y Calixto

b) Luciano y Perico

c) Julio y Perico

d) Calixto y Julio

e) Calixto y Luciano

Resolución:

* ENUNCIADO 3: Cinco amigos viven en casas contiguas, además: Alberto vive a la derecha de Pedro. Sergio vive entre Pedro y Martín. Fabio vive a uno de los extremos justo al lado

de Alberto.

Martín vive a la izquierda de Pedro.

7. Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive a la derecha de las otras cuatro

personas?

8. Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive a la izquierda de las otras cuatro

personas?

9. Del ENUNCIADO 3: ¿Quién vive al centro?

10. Julio es más veloz que Arturo y Tony es tan rápidocomo Julio. ¿Quién es el más lento?

11. Si Sara es mayor que Maruja y Maruja es mayorque Ricardo, ¿quién es el menor?

12. En cierta prueba, Rosa obtuvo menos puntos queMaría; Laura menos puntos que Lucía; Noemí elmismo puntaje que Sara; Rosa más puntaje queSofía; Laura el mismo que María y Noemí más queLucía. ¿Quién obtuvo el menor puntaje?

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13

Raz. Matemático

1. Si Percy es más bajo que Eduardo y Percy es másalto que Iván, ¿quién es el más bajo?

a) Iván b) Marioc) Percyd) Eduardo e) No se puede saber

2. Si Rubén es más alto que Rafael y Rafael es másalto que Freddy, ¿quién es el más bajo?

a) Rubén b) Freddy y Rafaelc) Freddyd) Rafael e) No se puede saber

3. Juan es más alto que Raúl y Pedro es más alto que

Juan. ¿Quién es el de menor estatura?

a) Raúl b) Juanc) Pedrod) a y b e) No se puede precisar

4. Gina nació antes que Lina; Maricielo es mayor queLina pero no que Gina. Por lo tanto:

a) Lina es la mayor.

b) Gina no es la mayor.c) Maricielo es la mayor.d) Gina es la mayor.e) Ninguna es correcta.

5. En un edificio de cuatro pisos viven cuatroprofesores, Shirley, Angélica, Kenyo y Úrsula. Sise sabe que:– Angélica no vive junto a Shirley ni a Kenyo.– Kenyo vive más arriba que Shirley y más abajo

que Angélica. ¿Entre quiénes vive Úrsula?

a) Angélica y Kenyo b) Angélica y Shirleyc) Kenyo y Shirleyd) Vive sola e) N. A.

6. Cinco hermanas viven cada una en un pisodiferente de un edificio de cinco pisos.

– Yolanda vive en el quinto piso. – Claudia vive en el segundo piso. – Karen vive dos pisos abajo de Yolanda. – Claudia vive un piso arriba de Ángela. ¿En qué piso vive Gianina?

a) Primero b) Cuarto c) Segundod) Quinto e) Tercero

* ENUNCIADO 1: Si se sabe que:• Julio es más alto que Perico pero más bajo que

Luciano.• Luciano es más alto que Calixto pero más bajo

que Renato.

7. Del ENUNCIADO 1: El más alto es:

a) Julio b) Renato c) Pericod) Calixto e) Luciano

8. Del ENUNCIADO 1: El más bajo podría ser:

a) Perico b) Luciano c) Renatod) Manuel e) Julio

9. Del ENUNCIADO 1: Es cierto que:

a) Renato es más bajo que Calixto.b) Luciano es más alto que Renato.c) Julio es el más bajo.d) Perico es más bajo que Calixto.e) Perico es más bajo que Renato.

10. Un libro de Lenguaje es más barato que unode Razonamiento Matemático, un libro deMatemática es más caro que uno de RazonamientoMatemático, pero no más que uno de Historia.¿Cuál libro es el más barato y cuál el más caro?

a) Matemática y Lenguajeb) Lenguaje y Raz. Matemáticoc) Lenguaje e Historia.d) Matemática y Raz. Matemáticoe) Matemática e Historia.

11. Miguel y Enrique nacieron el mismo día. Luis es

menor que Enrique. William es menor que Luis, peroCarlos es mayor que Miguel. Por lo tanto, el menorde todos es:

a) Miguel b) Carlos c) Enriqued) Luis e) William

12. La ciudad X tiene más habitantes que la ciudad W.La ciudad W tiene menos habitantes que la ciudadY pero más que la ciudad Z. Si X tiene menos ha-bitantes que Y, ¿qué ciudad tiene más habitantes?

a) X b) Z c) Yd) W e) Ninguna

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14

1ro Secundaria

8 Ordenamiento Circular y Test de Decisiones

OBJETIVOS:

a Potenciar el razonamiento innovador.

a

Que el alumno tenga creatividad e ingenio.

«Q no se sienta junto a N».

«R no se sienta junto a P»; esto descarta la posibilidad (II)y tendríamos:

P

M

N

P

M

N

Q

R

P

M

N

Q (I)

Q (II)

Ordenamiento Circular En estos casos se presenta la información indicándoseque se ubican los datos alrededor de un objeto, formandoasí una línea cerrada (circunferencia).

Los ejercicios de este tema son un tanto complicados yse necesita mayor atención y un minucioso análisis.

Seis amigos M, N, P, Q, R y T se sientan alrededor de unamesa circular con seis asientos distribuidos simétricamente.

Si se sabe que:

M se sienta junto y a la derecha de N y frente a P.

Q no se sienta junto a N.

R no se sienta junto a P.

¿Entre quiénes se sienta T?

Ejemplo 1:

Resolución:

«M se sienta junto y a la derecha de N, pero frente a P».Luego, terminando de completar:

∴ Rpta.: T está entre N y P.

P

M

N

Q

R

T

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15

Raz. Matemático

«A», «B», «C», «D», «E», «F», «G» y «H» se sientanalrededor de un mesa circular con ocho asientos, distribuidossimétricamente.

Responde :a) ¿Quién se sienta frente a «F»?

_________________________

b) ¿Quién(es) está(n) a la derecha de «C»? _________________________c) ¿Quién está a la izquierda de «A» y junto a «D»? _________________________d) ¿Quién está al frente del que está tres asientos frente a la

izquierda de «G»? _________________________

E H

D

C

A

F G

B

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Seis amigos se ubican alrededor de una fogata. Talía no estásentada al lado de Nelly ni de Paúl. Fausto no está sentadoal lado de Rosa ni de Paúl. Nelly no está al lado de Rosa nide Fausto. Denis está junto y a su derecha de Nelly.¿Quién está sentado a la izquierda de Fausto?

Rpta.: A la izquierda deFausto está sentada Talía.

En algunos casos, la existencia de una diversidad dedatos hace necesaria la construcción de una tabla o cuadro,en el cual se relacionan los datos proporcionados marcando

las relaciones existentes y descartando las que no cumplenlas condiciones del problema.

A una cita pactada por internet asistieron tres amigos:Manuel, Heinz y César; y tres damas: Paola, Nancy y Sonia.Terminada la cita, cada uno de ellos se fue acompañado poruna dama. Heinz salió con la amiga de Nancy, Paola que nosimpatiza con Nancy, salió antes que Manuel.

a) ¿Quién acompañó a Sonia?

b) ¿Con quién salió Manuel?

Nelly

DenisPaúl

Rosa

Talía

Fausto

Tomando en cuenta los datos, la ubicación ocupada por losamigos será la siguiente:

Test de Decisiones

Resolución:

Ejemplo 4:

Resolución:

Resolveremos de una forma sencilla, analizando los datosy colocándolos en una tabla.

«Heinz salió con la amiga de Nancy».

«Paola no simpatiza con Nancy».

«Paola salió antes que Manuel».

Nancy Paola Sonia

Manuel

HeinzCésar

X X

X

X

X

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

César

X

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

César

X X

X

X

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16

1ro Secundaria

Finalmente, Nancy salió con Manuel.

Luego:

a) Heinz acompañó a Sonia.

b) Manuel salió con Nancy.

Nancy Paola Sonia

Manuel

Heinz

César

X X

X

X

X

X

Mónica, Lesly e Isabel viven en tres ciudades diferentes:Loreto, Arequipa y Tumbes; y estudian una carreradistinta: ingeniería, arquitectura y contabilidad, aunqueno necesariamente en ese orden.

Se sabe que:

I. Mónica no vive en Arequipa.II. Lesly no vive en Tumbes.III. La que vive en Arequipa no estudia arquitectura.IV. Quien vive en Tumbes estudió contabilidad.V. Lesly no estudia ingeniería.

a) ¿Dónde vive Lesly?b) ¿Qué estudia Isabel?c) ¿Quién vive en Tumbes?

De I, II, III y V:

En conclusión : a) Lesly vive en Loreto. b) Isabel estudia contabilidad.

c) En Tumbes vive Mónica.

Observamos que Lesly no estudia contabilidad, porque no vive en Tumbes, por lo tanto, estudia arquitectura.

Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura ContabilidadMónica

Lesly

Isabel

X

X X X

XX

XX

X

X

X X

Loreto Arequipa Tumbes Ingeniería Arquitectura Contabilidad

Mónica

Lesly

Isabel

X

X X X

Sí NoSí Sí

Ejemplo 5:

Resolución:

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17

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3En una mesa cuadrada se sientan cuatro personas:Pedro, Pablo, Wilma y Betty, una en cada

esquina. Se sabe que:

– Frente a Pedro está Betty.

– Pablo no está a la izquierda de Betty.

¿Quién está a la izquierda de Wilma?

Cuatro amigos se sientan alrededor de una

mesa redonda con cuatro sillas distribuidas

simétricamente. Si se sabe que:

– Pilar no se sienta junto a Julia.

– Pamela se sienta junto y a la derecha de Julia.

¿Dónde se sienta Jorge?

En una fiesta se encuentran tres amigos: Darío,

Armando y Gerardo. Ellos a su vez son: profesor,

marinero y contador, aunque no necesariamente

en ese orden. El profesor, que es vecino de Gerar-

do, siempre va de compras con Darío. Si Gerardo

fue compañero de estudios del marinero, ¿qué

ocupación tiene Darío?

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Cuatro hermanas: Nancy, Rosa, Graciela y Nildase sientan alrededor de una mesa circular que

tiene cinco asientos.

– Entre Rosa y Graciela hay un asiento vacío.

– Nilda no se sienta junto a Rosa.

¿Quiénes se sientan junto a Nancy?

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18

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Patty, Claudia y Rosemary son tres tutoras de

primer, segundo y tercer año, aunque no necesa-

riamente en ese orden. Si:

–Claudia es tutora de primer año.

– Rosemay no es tutora de segundo año.

¿Quién es la tutora del salón de tercer año?

Resolución:

Tres amigos: Gílder, José y Beto comentan acerca

del equipo del cual son hinchas: «U», Cristal y

Cienciano.

– Gilder dice: «No soy hincha de Cienciano nide Cristal».

– José dice: «Me gustaría que mi equivo tuviera

una camiseta como la del Cienciano».

– Beto dice: «Me encanta el uniforme rojo de

mi equipo».

Si el más inteligente es hincha de la «U», ¿quién

es éste?

Resolución:

7. Tres personas: Antonio, Fernando y Jorge tienendiferentes aficiones: fútbol, básquet y tenis, ygustan de colores diferentes: azul, rojo y blanco.Si se sabe que:– Fernando no practica tenis.– El basquetbolista no gusta del rojo.– Antonio no practica básquet.– Quien practica tenis gusta del blanco.– Fernando no gusta del azul.

¿Qué afición tiene Antonio? ¿Cuál es el color

favorito de Jorge?

8. Almorzaban juntos tres políticos: el señor Blanco,el señor Rojo y el señor Negro. Uno de ellosllevaba corbata blanca, otro roja y el otro, negra,pero no en el mismo orden.

En un corto diálogo, se escucha que:– El señor de la corbata roja dice: «Es curioso, a

pesar de que nuestros apellidos son los mismosque los colores de nuestras corbatas, ningunolleva su correspondiente».

– El señor Blanco responde: «Tiene usted razón». ¿De qué color es la corbata del señor Blanco?

9. Tres amigos: Ana, Beto y Carlos, tienen distintasprofesiones: profesor, médico y electricista, nonecesariamente en ese orden. Si:– Ana es médico.– Beto no es el electricista.

¿Cuál es la profesión de Carlos?

10. Seis amigos juegan al póquer alrededor de unamesa redonda.

Además se sabe que:– Luis no está sentado al lado de Enrique ni de

José.– Fernando no está al lado de Gustavo ni de José.– Enrique no está al lado de Gustavo ni de

Fernando.– Pedro está a la derecha de Enrique.

¿Quién está sentado junto y a la izquierda deFernando?

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19

Raz. Matemático

11. Seis amigos A, B, C, D, E y F se sientan alrededorde una mesa circular con seis asientos distribuidossimétricamente.

Además:

– D no se sienta junto a B.– A se sienta junto y a la derecha de B y frentea C.

– E no se sienta junto a C. ¿Entre quiénes se sienta F?

12. Seis amigos: Ángel, Daniel, Mario, Raúl, Sergio yTomás se reúnen para cenar en una mesa redonda.Si se sabe que: – Raúl no se sentó al lado de Tomás ni de Ángel.

–

Mario no se ubicó al lado de Ángel ni de Raúl. – Sergio no se sentó al lado de Tomás ni de Mario. ¿Quién se sentó junto y a la izquierda de Ángel?

1. En una mesa circular se encuentran distribuidos

simétricamente tres niños: Gabriel, César y Freddy.

Si Freddy está junto y a la izquierda de César, ¿cuál

es el orden en que se sientan los niños empezando

por Gabriel y siguiendo el sentido antihorario?

a) GFCb) CGF

c) FCG

d) CFG

e) GCF

2. Cuatro amigos se sientan alrededor de una mesa

redonda en la que hay cuatro sillas distribuidas

simétricamente.

Sabemos que:

• Juan se sienta junto y a la derecha de Luis.

• Pedro no se sienta junto a Luis.

• José está entretenido viendo cómo los otros

tres discuten.

Según esto podemos afirmar:

a) José y Juan se sientan juntos.

b) Luis y José no se sientan juntos.

c) No es cierto que José y Juan no se sientan

juntos.

d) Pedro se sienta junto y a la derecha de José.e) Pedro se sienta junto y a la derecha de Juan.

3. Cinco personas A, B, C, D y E se sientan alrededorde una mesa circular que tiene cinco asientos.

• A se sienta entre B y C.• E se sienta al lado de B.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? I. C se sienta junto a D.

II. A se sienta junto a E. III. D se sienta junto a E.

a) I y II

b) I y IIIc) II y IIId) Ningunoe) Falta información

4. En una mesa circular seis super héroes (Batman,Robin, Superman, Acuaman, Flash y la Mujer

Maravilla) se ubican simétricamente. Si se sabeque:• Superman está a la izquierda de la Mujer

Maravilla y frente a Acuaman.

• Robin está frente a Batman y no está al ladode Acuaman.

¿Quién está a la izquierda de Flash?

a) Robinb) Mujer Maravillac) Superman

d) Batmane) Acuaman

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20

1ro Secundaria

5. En una mesa circular, cuatro peleadores (Bruce,Riu, Ken, Chun–Lee) se ubican simétricamente.

Si se sabe que:•

Ken se sienta frente a Riu.• Bruce se sienta frente a Chun–Lee.

¿Quién está a la derecha de Ken?

a) Chun – Leeb) Riuc) Bruced) Chun – Lee o Riue) Bruce o Chun – Lee

6. En la biblioteca de una universidad, 8 alumnosse sientan en una mesa circular, guardando

iguales distancias. Todos son alumnos de diversasfacultades. El de Ingeniería está frente al deEducación y entre los de Economía y Farmacia, elde Periodismo está a la izquierda del de Educacióny frente al de Economía, frente al de Farmaciaestá el de Derecho; éste a su vez está a la siniestradel de Arquitectura. ¿Cuál de ellos está entre losestudiantes de Biología y Educación?

a) El de Periodismob) El de Economíac) El de Biología

d) El de Arquitecturae) El de Educación

7. Seis personas juegan al póquer alrededor de unamesa redonda, Lito no está sentado al lado deElena ni de Juana. Félix no está al lado de Ginoni de Juana, Pablo está junto y a su derecha deElena. ¿Quién está sentado a la derecha de Pablo?

a) Pablo b) Juana c) Félixd) Gino e) Elena

8. A una reunión asistieron tres amigos: Marcos,Hugo y Carlos; y tres damas: Pilar, Nora y Sara.Terminada la actividad, cada uno de ellos salióacompañado por una dama. Hugo salió con laamiga de Nora, Pilar, que no simpatiza con Nora,salió antes que Marcos. ¿Quién acompañó a Saray con quién salió Marcos?

a) Hugo y Pilarb) Hugo y Norac) Carlos y Pilard) Carlos y Norae) N. A.

9. Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto vivenen cuatro distritos diferentes. Además se sabe que:• Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive

en Pueblo Libre.• Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro.• A Ian le gustaría vivir en San Isidro.

¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja?

a) Jesús María e Ianb) San Isidro y Mauroc) San Isidro y Robertod) Pueblo Libre y Robertoe) Pueblo Libre e Ian

10. Cuatro amigos: Ángel, Ian, Mauro y Roberto vivenen cuatro distritos diferentes. Además se sabe que:• Ian no vive en Jesús María, pero Roberto vive

en Pueblo Libre.• Ángel va a Jesús María a visitar a Mauro.• A Ian le gustaría vivir en San Isidro.

¿Dónde vive Ángel?¿Quién vive en San Borja?

a) Jesús María e Ianb) San Isidro y Mauroc) San Isidro y Robertod) Pueblo Libre y Robertoe) Pueblo Libre e Ian

11. Albino, Beto y César viven en distritos diferentes,

y se movilizan usando transportes distintos. Losdistritos son: La Victoria, Lima, Pueblo Libre y losmedios son: bicicleta, moto y automóvil.• Cuando Beto tenga dinero se comprará una

moto y se mudará a Pueblo Libre.• Desde que César vive en Lima ya no tiene

bicicleta.• El que vive en La Victoria usa 2 automóviles

por la distancia. ¿Qué medio usa el que vive en Pueblo Libre?

a) Faltan datosb) Bicicleta

c) Automóvild) Motoe) N. A.

12. «A», «B» y «C» tienen una mascota cada uno:

perro, gato y mono. Si «B» le dice a la que tiene elgato, que la otra tiene un perro y «C» le dice a laque tiene el perro, que debería vacunarlo contrala rabia; entonces:

a) «A» tiene el mono.b) «C» tiene el gato.c) «B» tiene el perro.

d) Faltan datose) N. A.

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21

Raz. Matemático

9 Inducción Matemática

Consiste en analizar casos particulares para conseguir ciertosresultados que al analizarlos nos permiten llegar a unaconclusión, que llamaremos Caso General.

Al sumar números impares consecutivos en forma ordenada,tenemos:

Vemos que el resultado de sumar números imparesconsecutivos es de la forma n2 donde n es la cantidad denúmeros impares que se suman.

Sn = 1 + 3 + 5 + 7 +...

(n sumandos) = n2

1) Halla la suma de cifras de:

E = (1111...111)2

9 cifras

CasosParticulares

InducciónCaso

General

Ejemplo:

S1 = 1 = 1 = 12

S2 = 1 + 3 = 4 = 22

S3

= 1 + 3 + 5 = 9 = 32

S4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

S10

=1+3+5+7+...+19=100 = 102

Inducción con númerosEjemplo 1:

Resolución:

Se concluye que la suma de cifras del resultado de efectuarE sería:

∑ cifras = (1+1+...+1+1)2 = (9)2

9 veces

∑ cifras = 81

Calcula la suma de términos de laFila (28).

Fila (1) 1Fila (2) 3 5Fila (3) 7 9 11

Fila (4) 13 15 17 19

Por Inducción:

Para 2 cifras : (11)2 = 121

→ ∑cifras = 4 = (1 + 1)2

2 veces

3 veces

4 veces

Ejemplo 2:

Para 3 cifras : (111)2

= 12321 → ∑cifras = 9 = (1+1+1)2

Para 4 cifras: (1111)2 = 1234321 → ∑cifras = 16 =(1+1+1+1)2

Por Inducción:Sumando cada fila:Fila (1) = 1 = 13

Fila (2) = 8 = 23

Fila (3) = 27 = 33

Fila (4) = 64 = 43

entonces:Fila (28) = 283 = 21952

Resolución:

. . .

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22

1ro Secundaria

Calcula el resultado al operar:

k = 47 x 48 x 49 x 50 +1

Empezamos evaluando valores pequeños guardando la formaoriginal. Nota que son 4 números consecutivos.

1 . 2 . 3. 4 + 1 = 1 x 4 + 1 = 5

2 . 3. 4. 5 +1 = 2 x 5 + 1 = 11

3 .4 . 5 . 6 + 1 = 3 x 6 + 1 = 19

. . .

Se concluye que también cumplirá para:

47 . 48. 49 . 50 + 1

= 47 x 50 + 1= 2351

x +

x +

x +

+x

¿De cuántas maneras distintas se puede leer la palabraKARMINZ?

K A A R R R M M M M I I I I I N N N N N N Z Z Z Z Z Z Z

Observamos que Karminz contiene 7 letras.

Ejemplo 3:

Resolución:

Ejemplo 4:

Para: 3 letras

K

A A

R R R

1 2 1 N.° de formas de leer: KAR = 1 + 2 + 1 = 4 = 23–1

Para: 4 letras

K

A A

R R R M M M M

1 3 3 1

N.° de formas de leer:

KAR = 1 + 3 + 3 + 1= 8 = 24–1

Luego de analizar los casos particulares concluimos:N.° de formas de leer:KARMINZ = 27–1 = 26

= 64

7 letras

Para: 2 letras

K

A A

1 1 N.° de formas de leer: KA = 1 + 1 = 2 = 22–1

Calcula la suma de todos los elementos de la matriz.

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

Para 1:

[1] → ∑ = 1 = 13

Para 2:

1 2 2 3

Para 3:

1 2 3

2 3 4 3 4 5 . . .Luego de analizar los casos particulares llegamos a laconclusión que:Para 20:

1 2 3 4 ... 20 2 3 4 5 ... 21 3 4 5 6 ... 22 4 5 6 7 ... 23 . . . . . . . . . . . . . . . 20 21 22 23 ... 29

→ ∑ = 8 = 23

→ ∑ = 27 = 33

→ ∑ = 203 = 8000

Ejemplo 5:

Resolución:

Resolución:

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23

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Vamos a calcular: E = 50 x 51 x 52 x 53 + 1

usando inducción.

Si:

1 = 5 2 = 10

3 = 17 4 = 26

Halla: 7

Calcula la suma de cifras del resultado de:

B = (999...995)2

101 cifras

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Calcula la suma de cifras del resultado en E si:

E = (333...33)2

49 cifras

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24

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Halla la suma de cifras de:

E = 37 x 222 ... 222

222 cifras

Resolución:

Halla la suma de cifras de P:

P =(99999999998) . (9999999992)

Resolución:

7. Calcula:

8. ¿De cuántas maneras diferentes se puede leer lapalabra INGENIO en el siguiente arreglo?

I I N I I N G N I I N G E G N I I N G E N E G N I I N G E N I N E G N I I N G E N I O I N E G N I

9. Halla a + b + c.

4 + 4 4 4 4 4 4 4 4 4 . . . . . .

4 4 ..... 4 4 4 4 a b c

10. Calcula la suma de cifras del resultado de efectuar:

P = (1234567)2 – (1234556)2

(3 x 5 x 17 x 257...) + 1

2004 factores

22004

60sumandos

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25

Raz. Matemático

11. Calcula f(100) si:

F(1) = 1 + 1/2 F(2) = 1 + 1/3

F(3) = 1 + 1/4

12. Calcula la suma de cifras de:

(11111111)2

1. Si

x =257

Halla «x».

a) 11 b) 15 c) 13

d) 16 e) 14

2. Calcula la suma de las cifras del resultado de efec-

tuar.

M = 997 x 998 x 999 x 1000 + 1

a) 26 b) 25 c) 27

d) 24 e) 28

3. En un campeonato de ajedrez hay 15 participantes.

Si juegan todos contra todos, ¿cuántas partidas se

realizarán?

a) 120 b) 105 c) 108

d) 210 e) 180

4. Halla la suma de todos los elementos de la siguien-

te matriz:

1 2 3 4 ... 9 10

2 3 4 5 ... 10 11

3 4 5 6 ... 11 12

4 5 6 7 ... 12 13

. . . . . . . . . .

. . . . .

9 10 11 12 ... 17 18

10 11 12 13 ... 18 19

a) 100 b) 1001 c) 500

d) 3000 e) 1000

5. En qué cifra termina:

M = 4 + (10700+1399) ... (103+5) (102+3)(10+1)

a) 1 b) 5 c) 4

d) 9 e) 8

6. Efectúa:

1–2+3–4+5–6+ ... (2003 términos)

a) 998 b) 2003 c) 1005

d) 1002 e) 2120

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26

1ro Secundaria

7. Calcula la suma de cifras de F(10) si:

F(1) = 32

F(2) = (33)2

F(3) = (333)2

F(4) = (3333)2

a) 80 b) 92 c) 90

d) 99 e) 91

8. Si se observa que:

1 = 22 – 3 x 1

2 = 32 – 4 x 2

3 = 42 – 5 x 3

4 = 52

– 6 x 4 Halla: 15

a) 255 b) 256 c) 511

d) 25 e) 1

9. ¿De cuántas formas consecutivas diferentes se

puede formar la palabra RAZONA, uniendo las

letras en forma consecutiva?

R R A R

R A Z A R

R A Z O Z A R

R A Z O N O Z A R

R A Z O N A N O Z A R

a) 64 b) 31 c) 63

d) 128 e) 127

10. Halla las 2 últimas cifras del resultado de sumar:

4 + 54 + 454 + 5454 + .....

100 términos

a) 40 b) 54 c) 50d) 55 e) 45

11. Calcula la suma de cifras del resultado:

A = 555 ... 555 x 999 ... 999

100 cifras 100 cifras

a) 1 b) 90 c) 10d) 900 e) 100

12. Halla el total de palitos que forman la pirámide.

1 2 3 4 ... 48 49 50

a) 2 500 b) 2 499 c) 5 500d) 2 4 98 e) 2 050

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27

Raz. Matemático

10 Fracciones I

OBJETIVOS:

a Desarrollar la capacidad de abstracción, en el uso de fracciones.

a Familiarizar al estudiante en el manejo adecuado de las fracciones, vía operaciones matemáticas y sus múltiples

aplicaciones.

La noción acerca de la fracción es muy antigua y su remotoorigen, se pierde en la bruma de los tiempos.Fracción deriva del latín «fractum», que significa «roto»o «quebrado». En el transcurso de la lucha por lasupervivencia, constantemente surgía el problema derepartir la presa capturada entre una determinada cantidadde individuos, dividir los productos agrícolas recogidos de

forma mancomunada, etc. Así que, he aquí el surgimientode las fracciones, acto que nace por necesidad.

Se denomina así a todos aquellos números racionales que norepresentan a números enteros. De acuerdo a la definición,si de notamos por «f» al número fraccionario, tendremos:

f =ab

; donde: a ≠ b ∀ a ∈ Z

b ≠ 0 ∀ b ∈ Z

Son números fraccionarios:

Al número fraccionario que presente sus dos términospositivos vamos a denominarlo fracción.

Según la noción dada anteriormente, indica cuál de lossiguientes números son fracciones y cuáles no lo son:

; ; ; ; ; ; ; ; ;7

–311e

86

23

45

7213

111113395

–59

π

4e3

12

6

No son fracciones: ; ; ; 1, 101001000100001...

Si son fracciones: ; ; ; ; ; ; ;86

23

45

7213

111113395

126

7–3

–59

«El ser humano es como una fracción: el numerador es

lo que él realmente es, y el denominador lo que él creeque es. Mientras más grande sea el denominador, máspequeña será la fracción».

Introducción

Número Fraccionario

Ejemplo:

FRACCIÓN

Ejemplo:

Resolución:

11e

π

4

e3

23

39

1214

–37

10119

7–4

; ; ; ; ; ; ...; etc.

; 1,101001000100001...;

Algunos conceptos teóricos1. FRACCIONES HOMOGÉNEAS

(Igual denominador)

73

53

; ;23

2. FRACCIONES HETEROGÉNEAS(Diferente denominador)

37

52

35

; ;

Fracción impropia <>Número mixto

Observación

1 + = 1 =12

12

32

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28

1ro Secundaria

3. FRACCIÓN PROPIA (numerador < denominador)

38

1122

; (menores que 1)

4. FRACCIÓN IMPROPIA

(numerador > denominador)

72

54

; (mayores que 1)

5. FRACCIÓN EQUIVALENTE

donde «K» esnatural.( )<>

37

37

3 x 57 x 5

=

1535

=

ND

NK DK

6. FRACCIÓN IRREDUCTIBLE(el numerador y denominador son primos entre sí)

37

49

1317

; ;

Las componentes no tienen divisores en común.

7. FRACCIÓN DECIMAL

(denominador = 10n, donde«n» es natural)

;310

71000

8. FRACCIÓN ORDINARIA

(denominador ≠ 10n)

;723

111237

Fracción de Fracción

Se denomina así a las partes que se consideran de unafracción que se ha dividido en partes iguales, así 5/7 de 4/9indica que la fracción 4/9 se ha dividido en 7 partes iguales,de las que se han tomado 5.

Ejemplos:

I. Calcula los de .23

713

x =23

713

1439

Resolución:

Resolución:

II. Calcula los de los de los de 63.34

57

29

34

57

29

x x x 63

=

= =

3 x 5 x 2 x 634 x 7 x 9

3 x 5 x 2 x 634 x 63

152

Nota

Recordemos siempre que las palabras, de, del, de

los; significan productos.

Simplificación de Fracciones

Simplificar una fracción es hallar otra equivalente a ella,pero de términos menores.

Ejemplo:

3624

96

1812

;volvemos a sacar la

mitad a cada término <>96

; sacamos la tercia acada término <> 3

2

;sacamos la mitad a

cada término <>1812

∴3624

<>32

Número Mixto

Es aquel que tiene parte entera y parte fraccionaria.

3 ; 6 ; 1547

25

14

Ejemplos:

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29

Raz. Matemático

Para realizar la conversión, se multiplica el entero por eldenominador, al producto se le añade el numerador y se

mantiene el mismo denominador.

375 <> <>

7 x 5 + 37

387

+

x

913

4 <> <>13 x 4 + 9

136113

+

x

CONVERSIÓN DE UN NÚMERO MIXTO A RACCIONARIO

Ejemplos:

• Resuelve los siguientes ejercicios. Suma y resta.


35

125

85

75

2

3

1

5

2 x 5 + 3 x 1

3 x 5

13

15

3x5 – 7x27 x 5

135

13

2x3 + 13

37

25

1. + – =

2. + = =

3. – = =

4. 1 – + = – +

MCM (3; 7; 21) = 21

= = = 1

5. 2 + = = = 2

• Multiplica

6. x = =

73

13

35

27

3 x 25 x 7

635

23

37

221

53

37

221

35 – 9 + 221

2821

721

7. x x = 11

8. 2 + x –

= + x –

= + –

= 2 + =

• Divide

9. ÷ = x = = 2

10. ÷ = =

= = 2

713

2611

12114

1

1

21

1

11

2

1

13

35

12

13

73

310

13

310 2310

75

23

75

32

2110

110

75

23

75 7 x 3

5 x 2

2110

110

73

35

12

13

2

3

Platón«Que no entre nadie que no sepa geometría»Esta frase estaba a la vista en la entrada de laAcademia de Platón y muestra el valor que estehombre asignaba a la matemática a pesar de serfundamentalmente un estudioso de la filosofía.El acontecimiento espiritual más importante enla vida de Platón fue su encuentro con Sócrates.De todos modos queda claro que no perteneciónunca al círculo de sus amigos más íntimos, ni seconsideraba un verdadero discípulo de Sócratesya que se refería a él como su amigo y no como

su hermano.

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30

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla:

Halla: Halla:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Halla:12

13

+ –25

37

23

+ +13

15

57

142

x x =

2 ÷ =95

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31

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Halla:

Resolución:

Halla:

Resolución:

7. Halla:

8. Halla:

9. Halla:

10. Halla:

48( )1

53 ( )5

16 ( ) ( )13

1 + 2 +3 (7)13

13

14

1 –

1

( )73

+12

÷146

12

+13

–14

( )12 13

14( ) ( )

( )23

÷12

13

–16

2 1/2

( )

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32

1ro Secundaria

11. Si:

Halla:

12. Si:

Halla:

1. Halla:

a) 11/20 b) 4/5 c) 5/20d) 3/20 e) 13/20

2. Halla:

a) 2/4 b) 3/4 c) 1/4

d) 5/4 e) 7/4

3. Halla:

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

4. Halla:

a) 1/5 b) 3/5 c) 2/5d) 2/6 e) 6/5

5. Halla:

a) 8/17 b) 3/14 c) 2/15

d) 2/17 e) 5/36

6. Halla:

a) 4/5 b) 2/5 c) 1/4

d) 3/5 e) 3/4

14

12

a = ; b = y c = 1

b + ca + b

35

25

75

a = ; b = y c =

a + b + c(a – b) c

14

25

+ =

14

2 – =

92

515

2 x x =

24

56

=

( ) 12

+13

12

–13 ( )

13

1 +

1

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33

Raz. Matemático

7. Halla:

a) 1/5 b) 3/5 c) 1/4

d) 5/6 e) 6/5

8. Si:

Halla:

a) 1/5 b) 3/4 c) 2/5

d) 2/6 e) 1/4

9. Halla:(b – c) (a – c)

Si:

a = c

a) 3 b) 2 c) 1

d) 4 e) 0

10. Calcula:

a) 15/20 b) 2/3 c) 1/3

d) 5/3 e) 20/3

11. Efectúa:

a) 17/5 b) 27/4 c) 30/9

d) 27/10 e) 24/5

12. Efectúa:

a) 1/20 b) 1/40 c) 3/20

d) 1/10 e) 5/8

11 + 41 +

1

14

12

a = ; b = y c = 1

abc – b

1

1/5

–1 3/2

121 +

14 + 12 ÷13

–16

53

13

–15

÷4

23

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34

1ro Secundaria

11Fracciones II

Representación gráfica de fraccionesPodemos usar gráficos para representar fracciones.

Partimos una unidad cualquiera (podría ser una manzana, un

chocolate, un pan, etc.) en cinco partes iguales y tomamostres partes.Empleando un rectángulo que represente a dicha unidad,tendremos:

El todo < > 5 partes iguales:

Con respecto al total, lo sombreado representará los tres

quintos y escribimos

15

15

15

15

15

tomamos 3 partes

35

La cuadra de un establo tiene siete cubículos y se ha limpiado

cuatro de ellos. Podemos decir que están aseados los dela cuadra, así:

47

17

17

17

17

17

17

17

7 partes iguales < > 1

4 partes iguales

7

7

4

7

Recordemos...

Relación entre una parte de un total y el respectivo total(todo), donde:

Todo: Número de partes en quese divide la unidad (total).

Parte: Número de partes que seconsideran.

En general:

Fracción =N

D

numerador

denominador

Fracción =Parte

Todo

es, son, ...

de, del, ...

o

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:Fracción

Ejemplo 3:

Una pizza se ha partido en ocho partes y se ha echado salsade tomate sobre cinco porciones.

Según los datos, la pizza quedará expresada así:

18

18

58

8 partes iguales < > 188

18

181

8

18 1

818

Ejemplo 4:

A un bloque cúbico de madera se le hace 6 cortes rectos,resultando así 27 cubos más pequeños. Después, José haseleccionado cuatro de ellos para un trabajo manual.

Gráficamente sería:

27 partes iguales

427

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35

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla en el gráfico, qué parte del total está som-breado:

Halla en el gráfico, qué parte del total está

sombreado:

Halla y señala la opción correcta:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Halla en el gráfico, qué parte del total estásombreado:

a) b) c)

d) e)

14

16

18

116

19

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36

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Completa el gráfico para que represente la

fracción indicada.

Resolución:

¿Cuánto le falta a 1/2 para ser igual a 3?

Resolución:

7. ¿Cuánto le falta a la talla de Jhon que es 120 3/4cm para ser igual a la de Rony que es 158 1/3 cm?

8. ¿Cuánto le sobra a 5/7 respecto a 3/7?

9. Halla los 4/3 de 2/3 de 27.

10. ¿Qué parte de 20 es 10?

516

<>

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38

1ro Secundaria

7. ¿Cuánto le sobra a 15/2 respecto a la suma de 1/2

y 1/5?

a) 7/5 b) 33/5 c) 2/5

d) 2/5 e) 34/5

8. Si tenía $6000 y perdí $2000, ¿qué parte de lo que

tenía perdí?

a) 2/3 b) 4/3 c) 3/2

d) 5/3 e) 1/3

9. De $1000 pierdo 1/5, luego me roban $150. ¿Cuán-

to me queda?

a) 400 b) 200 c) 350d) 450 e) 650

10. ¿Cuánto le falta a 60 para ser igual a los 2/5 de

400?

a) 90 b) 300 c) 200

d) 80 e) 100

11. Si tengo 1/4 de 3/2 de 8/6 de S/.360, ¿cuánto me

falta para tener S/.630?

a) 200 b) 350 c) 250

d) 550 e) 450

12. ¿Qué parte de 3600 es los 2/3 de 600?

a) 4/9 b) 5/9 c) 2/7d) 1/7 e) 1/9

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39

Raz. Matemático

12Tanto por Ciento

El "Astro del día" parece encontrarse, a primera vista, ala misma distancia que la Luna; en realidad, está unas 400veces más lejos, a 150 millones de km de nosotros. El disco del Sol y el de la Luna tienen una dimensiónaparente muy parecida. Sin embargo, esta gigantesca esferagaseosa es mucho mayor: tiene un diámetro de 1 400 000km (109 veces el de la Tierra; 1 300 000 veces su volumen).Si el Sol fuese un balón de fútbol, la Tierra sería un granitode arena, girando a su alrededor a 25 m de distancia.En su mayor parte (98%), es una mezcla de hidrógeno(75%) y de helio (23%). El 2% restante está formado por

elementos que abundan en la Tierra: carbono, nitrógeno,oxígeno, etc.Como notarás, la utilización del porcentaje se da muchoen la vida cotidiana y nos muestra resultados claramenteentendibles por todas las personas.

¿Qué es el tanto por ciento?

El número de partes que se toma, de cien partes en que sedivide una cantidad.Es decir, el círculo representa una cantidad, la cual se dividió

en 100 partes.

"a" partes

El "a" por ciento está representado como se muestra; de 100

partes tomamos "a" partes.

Notación: a por ciento = a%Entonces, ¿cómo calculamos el a% de N? de 100 tomamos aLuego, de N tomamos x

Por regla de tres:

x = x Na

100

Ejemplos:

1. El 24% de 120 es:

x 120 = 28,824100

2. El 32% de 180 es:

x 180 = 57,632100

3. El 18,4% de 52,5 es:

x 52,5 = 9,6618,4100

"Si quieres calcular un porcentajeu s a n d o C A L C U L A D O R Aprocede de la siguiente manera:

Ejemplo:

el 22,7% de 16,85.

2 2 . 7 X 1 6 . 8 5 %el resultado será: 3,82495".

NUESTRA ESTRELLA: EL SOL

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40

1ro Secundaria

OPERACIONES

1. Suma o resta:

a% de N±b% de N= (a±b)% de N

Ejemplos:

1. 20% de N + 35% de N = 55%de N.

2. 42% de X + 64% de X = 106%de X.

3. 72% de P - 18% de P = 54% de

P.

4. X + 37%X = 137%X

5. X - 39% X = 61%X

2. Multiplicación:

Ejemplos:

1. 32%x18%=

32

100

x18

100

8

25

9

50

72

1250

=

32x18100

%=5,76%

VARIACIONES PORCENTUALES

Se refieren a las variaciones o cambios en forma deporcentaje que experimentan algunas magnitudes. Veamosalgunos ejercicios que expliquen mejor la idea.

a% x b% =

a

100

x b

100

a x b100

%

o

2. 45%x16%=

45100

x16

100

9

20

4

25

36500

=

45x16100

%=7,2%

Demostración

1. Si "x" aumenta en 15%, ¿en qué porcentaje aumenta"x2"?

Resolución:

Si x aumenta 15% de su valor, entonces será:x + 15% x = 115%x

⇒ a x2 le corresponde un aumento de (115%x)2

= 115% x 115%x2

= %x2115x115100

= 132,25% x2

∴ el aumento será:132,25 - 100 = 32,25%

En todo análisis de datos, es muy importante quedistingamos los valores absolutos (frecuenciasabsolutas) de los valores porcentuales (frecuenciarelativa). Veamos un ejemplo. Compararemosel número de enfermos de SIDA entre el paísX (10 000 casos) y el país Y (20 000 casos).¿Es más la influencia epidemio–lógica en X oen Y? A la vista parece que el país Y tiene laenfermedad más desarrollada. Pero este datopuede ser engañoso, porque si sabemos que elpaís X tiene 100 000 habitantes y el país Y tiene2 000 000 habitantes, ¿en qué país crees que laenfermedad es más preocupante? Ciertamente enel país X porque hay 10 000 enfermos entre 100000 habitantes, lo que significa que el 10% de lapoblación está enferma. En cambio en el país Ysólo el 1% de la población está enferma. Ahora

sí podemos comparar los datos.

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41

Raz. Matemático

2. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su alturaen 50%, ¿en qué porcentaje aumenta el área?

Resolución:

Método Práctico

Área detriángulo

BASExALTURA2

=

Anulamos el dos que divide porque es constante y nointerviene en el análisis de la variación porcentual,luego:

ÁREA = BASE x ALTURA

Ahora:

Base = 100%

después Base = 130%

Altura = 100%

después Altura = 150%

Área = 100%

después Área = 130%x150%

= 195%130x150

100=

∴ el aumento es:195 - 100 = 95%

Porcentajes

DEFINICIÓN

Es el resultado de la aplicación del tanto por ciento a unacantidad determinada.Así por ejemplo, si calculamos el 20% de 50, hacemos:

(20%)(50) = . 50 = 1020

100

Luego, en general:

P = (a%) de N = x Na100

Algunas consideraciones especiales:* El A% más de N = (100+A)% de N.

el 20% más es:

(100+20)% = 120%

* El A% menos de N = (100 - A)% deN.

el 37% menos es:(100 - 37)% = 63%

* Aumentos sucesivos % final - % inicial.

100%

Aumenta sucesivamente 20% y 30%.(100+20)% . (100+30)% - 100%

= (120%) (130%) - 100%

=

* Descuentos sucesivos: %inicial - %final

Descuenta sucesivamente20% y 30%.

100% - (100-20)% . (100 - 30)%= 100% - (80%) (70%)

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

120100

. 130100

-100100

=156x100

100

=56

100= 56%

100%

Ejemplo:

100100

- 80100

. 70100

=100-56

100

= 44%

=

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42

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Halla el 28% de 3000.

¿Qué porcentaje es 8 de 32? Si el 20% de un número es igual al 8% del 40%

de 150, halla el número.

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Resolución:

Halla el 3% del 30% del 90% de 900 000.

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43

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Si tuviera 20% más de la edad que tengo tendría

42 años, ¿cuál es mi edad?

Resolución:

Dos descuentos sucesivos del 60% y 40%. ¿A qué

único descuento equivale?

Resolución:

7. Si el peso de Lucho aumenta en 30%, entonces seráigual al peso de Giancarlo. ¿Qué porcentaje del pesode Giancarlo es lo que aumentó Lucho?

8. ¿Cuánto de agua debo añadir a 10 litros de alcohol que

es 95% puro, para obtener una solución que sea 50%puro?

9. En una reunión, el 30% del número de hombres es igualal 40% del número de mujeres. ¿Qué porcentaje deltotal son hombres?

10. Un comerciante compró 11,3 metros de tela a S/. 33cada metro. Si luego decide venderla con una gananciadel 20% de lo invertido, ¿cuál es el precio de venta detoda la tela?

11. El peso bruto de un tarro con leche es 480 gramos.

Si el peso del tarro vacío es el 13,75% del peso bruto,¿cuántos gramos pesa la leche?

12. Marisol invierte S/. 1240 en un negocio duranteun mes en el cual ganará el 23,5% de su inversión.¿Cuánto tendrá al término de dicho mes?

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44

1ro Secundaria

1. Si al comprar una casaca me hacen un descuento del22% y sólo pague S/. 195. ¿Cuál era el precio de la

casaca sin descuento?

a) 140 b) 130 c) 240

d) 190 e) 250

2. Una lavadora cuesta $175 y se le hacen dos descuentos

sucesivos del 20% y 15% por campaña. ¿Cuál es su

nuevo precio?

a) 130 b) 118 c) 119d) 140 e) 120

3. El precio de un artículo aumenta en 30% y las ventas

disminuyen en 10%. ¿Cuál es la variación los ingresos?

a) 30 % b) 19 % c) 18 %

d) 40 % e) 17 %

4. Un fabriante reduce en 4% el precio de venta de cadaartículo que fabrica. Para que aumente en 8% el total

de sus ingresos, ¿en cuánto tendrá que aumentar sus

ventas?

a) 14 % b) 13 % c) 12,5 %

d) 15 % e) 12 %

5. Una tela al lavarse se encoge el 10% en el ancho y el

20% en el largo. Si se sabe que la tela tiene 2 m de

ancho, ¿qué longitud debe comprarse si se necesitan36 m2 de tela después de lavado?

a) 50 b) 40 c) 20

d) 15 e) 25

6. Un estudiante ahorra S/. 3,2 cada día durante

una semana. Si luego gastó el 25% de lo ahorrado,

¿cuánto le queda?

a) S/. 18,60 b) S/. 15,4 c) S/. 19,8d) S/. 16,80 e) S/. 20

7. Una persona alquila una habitación por S/. 175, elprimer mes. Si el precio del alquiler se incrementa

10% respecto al precio del mes anterior, ¿cuánto

pagó por el tercer mes?

a) S/. 211,75 b) S/. 221,75 c) S/. 270,15

d) S/. 212,25 e) S/. 1643,8

8. Tenía S/. 510 pero gasté el 20% en un artículo.

Luego gasté el 15% de lo que me quedaba en otro

artículo. ¿Cuánto gasté en total?

a) S/. 163,20 b) S/. 283,20 c) S/. 144,50

d) S/. 196,32 e) S/. 236,10

9. Alberto tenía S/. 144 y perdió el 13,5% de su

dinero. ¿Cuánto tiene ahora?

a) S/. 124,56 b) S/. 142,56 c) S/. 130,80

d) S/. 105,60 e) S/. 102,66

10. Roberto tenía S/. 14,3 y gastó el 30% de lo que no

gastó. ¿Cuánto tiene ahora?

a) S/. 11 b) S/. 11,4 c) S/. 9,6

d) S/. 10,5 e) S/. 12,3

11. Una obra puede ser terminada en 12 días. Si se haavanzado 3 días, ¿qué porcentaje representa los

días que faltan para terminar la obra?

a) 75% b) 80% c) 25%

d) 20% e) 40%

12. ¿Qué tanto por ciento de 7,2 es 1,2?

a) 50/3% b) 10% c) 20/3%

d) 10/5% e) N. A.

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9

Raz. Matemático

13Operaciones Matemáticas I

OBJETIVOS:

a Comprender el concepto de Operación Matemática, desde un punto de vista prácticoa Aprender a operar de diversas formas en el conjunto de los números reales.

a Conocer las formas prácticas y artificios de resolución de situaciones que impliquen operaciones matemáticas diversas.

OPERACIÓN O LEY DE COMPOSICIÓN INTERNA

Consideremos el conjunto de los números naturales:

N={0, 1, 2, 3, 4, 5.....}

Vamos a construir el producto cartesiano N x N

NN

0

1

2

3

Establecemos una aplicación:

N x Nf (+ )

N

Hacemos corresponder a cada elemento de N x N, que esun par, el elemento de N que sea la suma de los compo-nentes del par:

N x Nf (+)

N

(0, 1)

(1, 0)

(1, 1)

(1, 2)

(2, 1)

(1, 3)

(3, 1)

(4, 4)

1

2

3

4

8

En general, en un conjunto cualquiera A;

A x Af

A

(a, b) c A∈

Se dice que c es el compuesto de a y b.

A toda aplicación A x A A se le llama Opera-ción o Ley de Composición Interna

- Los elementos del conjunto inicial son pares de núme-ros naturales obtenidos en el producto cartesiano.

- Los elementos del conjunto final son números naturales.- Todo elemento de N x N tiene una imagen y sólo una

en N (aplicación).- La suma de números naturales es una operación o Ley

de Composición Interna en N

OPERACIÓN O LEY DE COMPOSICIÓN EXTERNA

Al mulitplicar un segmento por un número natural se ob-tiene otro segmento.

a x 3 = a a a

3a

Vamos a considerar los conjuntos.

a b c, , , ...S=

N={0, 1, 2, 3, 4, 5, .....................}

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10

1ro Secundaria

Establezcamos una aplicación de:

SS x N

(a, 1)

(b, 2)

(c, 3)

(c, 1)

1a

2b

3b

1c

En general, se tiene;

A x Bf

B

A toda aplicación A x B B se le llama Operacióno Ley de Composición Externa

- La multiplicación de un segmento por un númeronatural es una operación o Ley de composición externa.

Diferencias entre Operación Interna y Externa

Una operación es una aplicación del producto cartesianode dos conjuntos en otro.

OperaciónInterna

- Conjunto inicial A A

- Conjunto final A

- Conjunto inicial S A

- Conjunto final S

Operación

Externa

Observa:- En la operación interna se componen entre sí elemen-

tos de un conjunto A.- En la operación externa se componen elementos de

un conjunto A con elementos de otro conjunto B.- Cuando hablamos simplemente de operaciones, nos

referimos a las internas.

Representación de Operaciones

Cada operación tiene un signo que representa su cualidad.Veamos algunos:

Adición: (+) Tomando el conjunto de los números naturales, hace-mos corresponder a cada par del producto cartesiano N xN un número natural

(2, 3) 2+3=5

El símbolo o signo de la operación adición es el (+) quese lee «más».

Multiplicación: (× )

Tomando el conjunto de los números naturales, hace-mos corresponder a cada par del producto cartesiano N xN un número natural.

(3, 4) 34=12

El símbolo de la operación multiplicación es ( × ), que selee «por».

En general el símbolo o signo que representa una operación,se le llama Operador.

Formas de expresar una operación:

* Mediante fórmula

a b = 3a+ 2b

1 x 2 = 3(1)+ 2(2)= 7

Fórmula*

* Mediante Tabla de Doble Entrada

a

b

c

d

aa

b

c

d

bb

c

d

a

cc

d

a

b

dd

a

b

c

*

Columna de

Entrada

Fila de Entrada

a*b=b; b*d=a; d*b=a.etc

Reto al ingenio

Si: (b*a)2=a *b>0

Halle: 54 *2

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11

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Si:

2x x= +x ; x 0∀ ≥

Hallar: 16

Resolución:

Si:

A 2

A 4

+=

− A ; A 4∀ ≠

Hallar: 7

Resolución:

Si:x+ 5 = x -1

3

Hallar: 8

Resolución:

Si:

x-2x(x 1)(x 2)

(x 3)

+ +

=

+; x 3∀ ≠ −

Hallar: 1

Resolución:

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12

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Si:

a+ 2 =a +22

Calcular: 3 + 4 - 5

Resolución:

Si:

b-5 = 2b-5

Calcular: 1 + -3 - -6

Resolución:

7. Se define en Z+:

a =a(a+ 1)

Resolver: x = 930

8. Se define en Z+:

n =n(n+1)

Resolver:

y =1806

9. Se define:

a * b = a4 + a + b3

Hallar: 2 * 4

10. Se define:

a b= a -(a-b)b 3

Hallar: 4 3

11. Definimos la operación:

A 2

2

+= , si A es par A

A 3

2

+

= , si A es impar A

Calcular: 2 + 7

12. Se define:

AB C

2 2 A C

B

+= ; B 0∀ ≠

Hallar:

6

20 2

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13

Raz. Matemático

1. Se define: xy z = (x+ y) – z2

Calcular:2

3 44

3 1+

a) 60 b) 65 c) 68

d) 69 e) 70

2. Si: y = y + 2y+ 34

Hallar: 3

a) 85 b) 88 c) 90d) 92 e) 94

3. Si: x-2 = x + x-22

Hallar: 1 + 2

a) 20 b) 24 c) 28

d) 32 e) 36

4. Si: x -1 = x -42 3

Hallar: 3 + 15

a) 60 b) 64 c) 66

d) 68 e) 72

5. Se define:

2

x 1x

x 1

−=

+

Calcular: 2

a)1

5 b)

1

6 c)

1

7

d)1

8 e)

3

4

6. Se define en Z+:

n = n(n+ 1)

Resolver: n = 420

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

7. Si: B A A B A B∆ = − Calcular: 5 (3 2)∆ ∆

a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10

8. Si: x x 1 x= + +

Hallar: 24

a) 52 b) 29 c) 7

2

d) 8

2

e) 10

2

9. Se define: xy z = (x + y)2 – z

Calcular: 23 4

34 1+

a) 65 b) 64 c) 63

d) 68 e) 69

10. Si:

x + 2 = x2

+ x – 2

Hallar:

1 + 2

a) 5 b) 4 c) 1/3

d) 1/4 e) 1/5

11. Si:

2a

a* b= + bb

Hallar: (8 * 2) * (2 * 1)

a) 8 b) 6 c) 4

d) 7 e) 9

12. Si:

x + 3 = x2 – 1

Hallar: 7

a) 13 b) 14 c) 15

d) 16 e) 17

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14

1ro Secundaria

14Operaciones Matemáticas II

MEDIANTE UNA TABLA DE DOBLE ENTRADA:

Para este caso, tenemos:

cbadd

badcc

adcbb

dcbaa

dcba*

Columna

de entrada

Fila de entrada

b * c = ............................ , d * b = ............................

Ejemplo: En el conjunto: A = {1 ; 2 ; 3 ; 4} se define:

Calcular:

43214

32143

21432

14321

4321*

PRINCIPALES PROPIEDADES DE UNA OPERACIÓNMATEMÁTICA Se define en el conjunto "A" una operación representada

mediante el operador *.

I. CLAUSURA

Aba Ab,a ∈∗⇒∈∀

Se toma un par de elementos del conjunto A y se realizacon ellos la operación definida. Si el resultado de dichaoperación pertenece al conjunto A, entonces se dice quela operación cumple la propiedad de clausura o tambiénque la operación es cerrada en el conjunto A.

Ejemplos:1. Se define en N: ba2ba2

+=∗

Análisis: a y b son N

Entonces:

N)N(2NN 2 +=∗

NNNN +=∗

NNN =∗

Se observa que, para todo número natural, elresultado es un número natural.Por lo tanto, la operación )(∗ es cerrada en N.¿Cumple con la propiedad de clausura?

2. Se define en el conjunto: A = {a , b , c , d}

cbaed

badcc

edcbb

dcbaa

dcba*

¿Cumple con la propiedad de clausura?

II. CONMUTATIVA

a b ba Ab,a ∗=∗⇒∈∀

El orden de los elementos en la operación no altera el

resultado.

Ejemplos:

1. En N se define la adición : 5 + 8 = 8 + 5 ⇒ la adición es conmutativa en N.

2. En N se define la sustracción: 6996 −≠−

⇒ la sustracción no es conmutativa en N.

EN TABLAS3. ¿La siguiente operación en la tabla es conmutativa?

cbadd

badcc

adcbb

dcbaa

dcba*

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15

Raz. Matemático

CRITERIOS DE LA DIAGONAL

1. Se ordena la fila y la columna de entrada. En el mismoorden y a partir del vértice del operador.

2. Se traza la diagonal principal (desde el vértice del

operador).3. Se verifica que a ambos lados de la diagonal y en forma

simétrica queden elementos iguales.

4. Si en todos los casos los elementos son iguales, laoperación es conmutativa.

5. Si al menos en un caso uno de los elementos es diferente,la operación no es conmutativa.

¿La siguiente operación en la tabla es conmutativa?

32143

14321

43214

21432

4321*

III. ELEMENTO NEUTRO (e):

aaeeaa/ Ae =∗=∗⇒∀∈∃

e : elemento neutro

i) En la adición, el elemento neutro es el cero (0)

ii) En la multiplicación el elemento neutro es el uno (1)

aa a1a ==×

Ejemplos:

1. Se define en el conjunto de los+

Z el operador " ∗ "

3baba ++=∗

Calcular: el elemento neutro.

EN TABLAS

2. En la siguiente tabla, hallar el elemento neutro.

14324

43213

32142

21431

4321*

=⇒ e

CRITERIO1. Se verifica que la operación sea conmutativa.2. En el cuerpo de la tabla se buscan: una fila igual a la

fila de entrada y una columna igual a la columna deentrada. Donde se intersecten, se encontrará el ele-mento neutro "e".

IV. ELEMENTO INVERSO

a , Aa1

∃∈ −

eaaa1

=∗=∗ −1−/ a

Ejemplos:

Se define en R: 2baba −+=∗

Calcular: 1116 ; 4 ; 3

−−−

Obs: a–1 elemento inverso de "a"

OBSERVACIÓN IMPORTANTE

1. Se verifica que la operación sea conmutativa.

2. Se busca el elemento neutro "e".

3. Aplicamos la teoría del elemento inverso.

Resolución:

Verificando si es conmutativa.

Calculando "e": aea =∗

Calculando "1

a−

":eea

1=∗ −

EN TABLAS

1. En la siguiente tabla:

75317

53175

31753

17531

7531*

Hallar:1111

7)71()53(E −−−− ∗

∗∗∗=

Obs: =−1

a elemento inverso de "a"

7/18/2019 01-RAZ MAT (1 -21).pdf


16

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Se define { } A 0,1,2,3 ;= en la operación:

012

3

012

3

123

0

230

1

301

2

0* 1 2 3

Calcular: E =(1*2)*3

Resolución:

Se define en { } A 0,1,2,3 ;= la operación:

Calcular:( ) ( )

( )

1 3 0 2D

1 2 0

∗ ∗ ∗=

∗ ∗

Resolución:

De la tabla anterior:Hallar “x” en:

(3 * x)*(2 * 0) = (3 * 3) * 0

Resolución:

De la tabla anterior:

Hallar “x” en: (1 * 2)* x = (2 * 4)* 3

Resolución:* 1 2 3 4

2 3 4 1 1

1 2 3 4 1

4 1 2 3 4

3 4 1 2 3

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17

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Se define en { } A 0,1,2,3 ;= a operación:

Calcular: ( ) ( )1*0

2* 4 * 3

Resolución:

Del problema anterior:

La operación representada por “ ∗ ”; ¿es con-

mutativa?

Resolución:* 1 2 3 4

1 1 2 3 4

3 3 4 1 2

2 2 3 4 1

4 4 1 2 3

7. Se define la operación, en el conjunto:

{ } A a,b,c,d=

ab

cd

ab

cd

bc

da

cd

ab

da

bc

a# b c d

Calcular: { } ( )F a# b # c# d=

8. Las siguientes operaciones; ¿son conmutativas?

• a b a b 20= + − ........................

•y

y 103

×× = + ........................

9. Hallar el elemento neutro en cada caso:

a

b

c

a

b

c

b

c

a

c

a

b

a* b c

1

2

34

1

2

34

2

3

41

3

4

12

4

1

23

1∆ 2 3 4

10. Hallar el elemento neutro en cada caso:

• a b a b 4∗ = + −

• a b a b 5= + −

•MN

M N2

=

11. Se define:

a

bc

d

a

bc

d

b

cd

a

c

da

b

d

ab

c

a b c d

Calcular: 1 1 1 1a ,b ,c ,d− − − −

12. En el conjunto { } A 1,2,3,4= se define la opera-ción representada por “∇”, mediante la tabla:

1

23

4

3

41

2

4

12

3

1

23

4

2

34

1

1 2 3 4

Calcular: ( ) ( )1 11 1 1 1x 1 2 3 4− −− − − −= ∇ ∇ ∇

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18

1ro Secundaria

• Se define en { } A 2,4,6,8=

; la operación

2

468

6

824

8

642

2

486

4

268

2 4 6 8*

1. De la tabla anterior; calcular:

( ) ( )= ∗ ∗ ∗ ∗ E 4 6 8 2 4

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

2. De la tabla anterior; Calcular:

( ) ( )

( )

2 8 4 6D

4 2 8

∗ ∗ ∗=

∗ ∗

a) 1/2 b) 2/3 c) 3/4d) 1/3 e) 2/5

3. De la tabla anterior; hallar “x” en:(6*2)* x = 6*4

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

4. De la tabla anterior; calcular:[(2*4)*8] * [(4*6)*4]

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

• Se define en { } A 1,2,3,4= ; la operación:

123

4

234

1

341

2

412

3

123

4

1 2 3 4#


( )1 1 1K 1 # 2 # 4− − −=

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4


( )1

1 1 1E 2 # 3 # 4−

− − − =

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4

7. De la tabla anterior, ¿la operación es conmutiva?

a) Si b) No c) Tal vez

d) Quizas e) N.A.

8. Si a b a b 10= + −

• Hallar el elemento neutro _______________

• La operación; ¿es conmutativa? __________

• Se define en { } A 1,2,3,4= ; la operación:

# 1 2 3 4

1 1 2 3 4

3 3 4 1 2

2 2 3 4 1

4 4 1 2 3


E = (1 # 2)#4

a) 5 b) 4 c) 1

d) 2 e) 3


( ) ( )( )

2# 4 # 1# 3D=

1# 2 # 3

a) 3/4 b) 2/4 c) 1/5

d) 2/5 e) 5/6

11. De la tabla anterior; hallar "x"

(2#x)#3 = (4#1)

a) 5 b) 4 c) 3

d) 2 e) 1

12. De la tabla anterior; hallar "x"

(1#3)#2 = (4#1)#x.

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

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19

Raz. Matemático

15Sucesiones Numéricas I

OBJETIVOS:

• Desarrollar habilidades analíticas; inductivo – deductivas utilizando secuencias ordenadas de números.

• Establecer leyes de formación para poder predecir cualquier elemento.

• Tener un conocimiento básico de las principales sucesiones númericas, así como entender algunos conceptos aplicablesa la solución de situaciones que impliquen conjuntos bien ordenados.

DEFINICIÓNUna sucesión numérica es una lista de números que tienenun primer número, un segundo número, un tercer número,y así sucesivamente, llamados términos de la sucesión.Cada término tiene un orden asignado, es decir, que acada uno le corresponde un número ordinal (n).

Sea t1, t2, t3,...... Los términos de una sucesión, entoncesa cada uno le corresponde un valor “n”, según su posición.

Así:( )1t n 1 primero→ =

( )2t n 2 segundo→ =

( )3t n 3 tercero→ =

En matemática superior se define la sucesión de números(reales) como una función analítica cuyo dominio es losnúmeros naturales y su rango los números reales. En

notación matemática.

f; →

LEY DE FORMACIÓNEs una expresión matemática, que relaciona la posición o

lugar de cada término y el término en sí, de una sucesión,

con la cual se puede obtener cualquiera de los términos

de la sucesión. La posición se expresa mediante el número

ordinal n.

La ley de formación también es llamada; fórmula de

recurrencia, término general o término enésimo, y serepresenta como tn.

Ejemplo: Si tn=n2

+1

Entonces:

2

1n 1 t 1 1 2= → = + =

2

3

n 3 t 3 1 10= → = + =

2

2n 2 t 2 1 5= → = + =

2

4n 4 t 4 1 17= → = + =

La sucesión será: 2,5,10,17,...

Observación:

El término serie, en matemática, se refiere a la suma

indicada de los términos de una sucesión numérica.

ALGUNAS SUCESIONES NÚMERICAS IMPOR- TANTES

• Sucesión Aritmética o Polinomial:

Es aquella sucesión ordenada en la que cada término a

partir del segundo es igual al anterior aumentado en una

variable o constante denominada razón. Si la razón es

constante se llama progresión.Toda sucesión aritmética

o polinomial tiene por ley de formación un polinomio,pudiendo ser lineal, cuadrática, cúbico, etc.

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20

1ro Secundaria

Sea la Sucesión polinomial:

t

r

k

m

“P” términos

a a a

r

k

m

k

m m

k k

r r r r

t t t t t t, , , , , , ,...

...

...

1

1

1

1

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

6

2 3 4 5 6 7

n 1 n 1 n 1 n 1

n 1 0 1 1 1 2 p 1t t C r C k C ... aC− − − −

−= + + + +

Sabiendo que:

( )

a

b

a!C

a b !b!=

−

• Sucesión Geométrica

Es una sucesión ordenada en la cual el primer términoy la razón son diferentes de cero, y cada término apartir del segundo se obtiene multiplicando al anterior

por una razón variable o constante. Si la razón esconstante se denomina progresión geométrica.

Sea la sucesión geométrica.

t

q q q

t t t, , ,1

1 2 3...

2 3 4.....

Si 1 2 3q q q .... q= = = = (Cte. Razón Geométrica)

( )n 1

n 1 qt t −=

• Sucesión de Fibonacci

Es aquella en la que cada término a partir del terceroes la suma de los dos anteriores.

1, 1, 2, 3, 5, 8,..........

n n

n

1 1 5 1 5t

2 25

+ − = −

• Sucesión de Lucas

Es la sucesión en la forma más general de la sucesiónde fibonacci.

n n

n

1 5 1 5t

2 2

+ −= +

• Sucesión de Tribonacci o Ferenberg

Es aquella en la que cada término a partir del cuartoes la suma de los tres anteriores.

1, 1, 2, 4, 7, 13, ....

• Sucesión Armónica

Es quella cuyos recíprocos (inversos) de sus términosforman una progresión aritmética.

Ejemplo:

2 2 2 2; ; ; ;...

3 7 11 15∗

1 1 1 1; ; ; ;...

3 5 7 9∗

• Sucesión de Números Primos

Formada por los números naturales que poseensolo 2 divisores.

2, 3, 5, 7, 11; 13; 17;.........

Reto al Ingénio

¿Cuál es el término que continua, en la sucesión?

8; 27; 125; 343; 1331; ....

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21

Raz. Matemático

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Hallar el término que continua:

• 2, 5, 8, 11, .......

• –2, –7, –12, –17,.....

Resolución:

Hallar x:

14, 22, 32, 44, x, ...

Resolución:

Hallar el número que sigue:

2, 4, 12, 48, ...

Resolución:

Hallar x:

3, 6, 12, 21, 33, x, ...

Resolución:

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22

1ro Secundaria

Rpta:

5

Rpta:

6Hallar x+y

1, 0, 0, 1, 3, x, y, ...

Resolución:

Calcular el siguiente término:

2, 1, 1, 2, 8,....

Resolución:

7. ¿Qué término continua?

3, 5, 8, 13, 21, 34,...

8. Hallar el sexto número triangular

9. Hallar el noveno número cuadrado.

10. Hallar el término que sigue:

3, 8, 15, 24, 35,...

11. Calcular el número que sigue:

0; 1; 1; 2; 4; 7; 13; 24; ...

12. Hallar el término que sigue:

4 8 4 16, , , ,...

7 11 5 19

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23

Raz. Matemático

1. Hallar los dos siguientes números, en:

2, 8, 5, 20, 17, 68, 65, ...

a) 260 ; 257

b) 257 ; 262

c) 250 ; 512

d) 130 ; 256

e) 420 ; 210

2. Hallar x:

1, 2, 8, 8, 64, 32, x

a) 540 b) 512 c) 530

d) 620 e) 650


–21, –16, –9, 0, ...

a) 8 b) 9 c) 10

d) 11 e) 12

4. Hallar x+y

91, 82, 73, 64, x, y, ....

a) 99 b) 100 c) 101

d) 102 e) 103

5. Hallar el número triangular de posición 8.

a) 20 b) 25 c) 30

d) 32 e) 36


171, 120, 78, 45, 21,....

a) 2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10


20, 35, 58, 91, 136, ....

a) 110 b) 130 c) 150

d) 180 e) 195

8. Hallar x:

27, 9, 18, 6, 12, 4, x, ...

a) 2 b) 4 c) 8

d) 16 e) 32

9. Hallar "x".

1, 2, 8, 8, 64, 32, x

a) 510 b) 412 c) 700

d) 600 e) 512

10. Hallar el número triangular de posición 9.

a) 32 b) 34 c) 33

d) 45 e) 36


4; 3; 1; –2; ...

a) –6 b) –4 c) –5

d) –7 e) –8


1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; ...

a) 20 b) 21 c) 22

d) 23 e) 24

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24

1ro Secundaria

16Sucesiones Numéricas II

DEFINICIÓNUna sucesión es un conjunto ordenado de elementos(pueden ser números, letras, figuras o una combinaciónde los casos anteriores), de modo que cada uno ocupe unlugar establecido, tal que se pueda distinguir el primero, elsegundo, el tercero y así sucesivamente; acorde a una leyde formación o fórmula de recurrencia.

SUCESIONES NUMÉRICASUna sucesión de números reales es una función RN:f →

definida en el conjunto N = {1 , 2 , 3 , ...} de númerosnaturales y que va tomando valores en el conjunto R de

los números reales. Un valor )n(f Nn ∈ , será representadopor

nt llamado término enésimo o término general de la

sucesión.

n

3

2

1

tn

t3

t2

t1f

N R

Deducimos que hay una correspondencia de "uno a uno"entre los números naturales a partir de 1 y los términos dela sucesión. Indicamos que una sucesión se puede consi-derar como el rango de una función cuyo dominio es elconjunto N.

Ejemplo:La sucesión para la cual tiene como términos : 6 ; 11 ; 16;21 ; ....

para n: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ........ (números ordinales)

Se tiene: ........;21;16;11;6:tn

(términos de la sucesión)

En los siguientes ejercicios encontrar el número que sigue :

1) 2 ; 3 ; 7 ; 15 ; 28 ; ............

2) 7 ; 9 ; 12 ; 17 ; 25 ; ............

3) 0 ; 5 ; 18 ; 47 ; 100 ; ..............

4) 2 ; 1 ; 1 ; 2 ; 8 ; ...............

5) 1 ; 2 ; 4 ; 4 ; 7 ; 8 ; 10 ; 16 ; ..............

SUCESIONES LITERALESSe toma como base 27 letras del alfabeto; no se consideranlas letras dígrafas "CH" y "LL".

En los siguientes ejercicios hallar la letra que sigue:

1) A ; C ; F ; J ; ............

2) A ; D ; I ; O ; ............

3) C ; F ; H ; K ; M ; ..............

4) Hallar el par de letras que sigue :CE ; GI ; KL ; ÑN ; ...........

SUCESIONES ALFANUMÉRICASHallar el término que sigue en cada caso :

1) 1B ; 1B ; 2C ; 3D ; 5F ; 8I ; ............

SUCESIONES GRÁFICAS¿Qué figura sigue en cada caso?

1); ; ; ; .......

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25

Raz. Matemático

2) 16 36 64

; ; ; ........

3); ; ; ......

ANALOGÍAS Y DISTRIBUCIONESEn cada uno de los ejercicios mostrados, encontrar el nú-mero que falta :

1)

4(...)6

1)8(3

3)7(4

2)

25(...)5

1)50(7

5)9(2

3)

5 2

2

9

6 1

3

125

3 − 4

2

4)

7 2

3

12

8 6

2

16

4 5

− 2

5)3

2 7

6

11

651

6)7 2 4

638

1

CÁLCULO DEL TÉRMINO ENÉSIMO

A. SUCESIÓN DE PRIMER ORDEN:

1. Encontrar el término que ocupa la posición 20.

5 ; 8 ; 1 1 ; 14 ; .......

2. Encontrar el término que ocupa la posición 100

2 ; 9 ; 16 ; 23 ; ........

B. SUCESIÓN DE SEGUNDO ORDEN:

3. Encontrar el término que ocupa el lugar 20.

4 ; 7 ; 12 ; 19 ; 28 ; ......

TRIÁNGULO DE PASCAL

11 = 10

11 =111

11 = 1212

11 = 13313

11 = 146414

1=1= 20

1+1= 2= 21

1+2+ 1= 4= 22

1+2+ 3+ 1= 8=23

1+4+ 6+ 4+ 1=16= 24

Sucesión de Fibonacci

1

2

3

58

13

21

1

172135352171

1615201561

15101051

14641

1331

121

11

1

NÚMEROS TRIANGULARES

Fig (1) Fig. (2) Fig. (3) Fig. (4)

Número de puntos:

......;2

54;

2

43;

2

32;

2

21

......;4321;321;21;1

......;10;6;3;1

××××

++++++

C U R I O S I D A D A C E R C A D E L A S U C E S I Ó N D EFIBONACCI

Piensa en dos números cualesquiera y construye, empezan-do con esos números, una sucesión como lade Fibonacci, es decir en la que cada término sea la sumade los dos anteriores.

La suma de los diez primeros términos de tu sucesión seráonce veces el séptimo término.

Esto sucede en la sucesión de Fibonacci y en cualquier otraque se construya de la misma manera.

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26

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Hallar el término enésimo, de:

3, 5, 7, 9, ...

Resolución:

Hallar la ley de formación, de:

3, 2, 1, 0, –1, ...

Resolución:

Encontrar el término general, de:

–2, 2, 6, 10, 14, ...

Resolución:

Hallar la ley de recurrencia, de:

–1, 1, 3, 5, ...

Resolución:

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27

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Encontrar la ley de formación, de:

2, 6, 12, 20, ...

Resolución:

Hallar la ley de formación, de:

3, 6, 12, 21, 33, ...

Resolución:

7. Encontrar el término enésimo, de:

11, 15, 22, 32, 45, 61,..

8. Hallar la ley de formación, de:

2, 3, 10, 23, 42, 67,..

9. Encontrar el término general de los númerostriángulares.


1, 4, 9, 16, 25,


• 2, 4, 8, 16, ...

• 1, 2, 4, 8 ....


• 8, 27, 64, 125, ...

• 1, 8, 27, 64, ...

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28

1ro Secundaria


5, 8, 11, 14, ...

a) 3n + 2 b) 2n + 3 c) n +2

d) 4n + 1 e) 3n +4

2. Hallar la ley de recurencia, de:

–1, 3, 7, 11, 15, ...

a) 4n – 3 b) 3n – 4 c) 4n + 5

d) 4n – 5 e) 2n + 1


7, 4, 1, – 2, – 5, ...

a) 9 – 2n b) 2n + 3 c) 3n +4

d) 10 – 3n e) 12 – 5n

4. Hallar el término general, de:

2, 7, 12, 17, 22, ...

a) 5n – 3 b) 3n – 5 c) 4n + 2

d) 7n – 5 e) 2n

5. Hallar la ley de recurrencia de:

6, 15, 28, 45, ...

a) 3n2 – n+1 b) 2n2 + 3n+1 c) 2n2 – 3n+4

d) 4n2+2 e) 2n2–5

6. Hallar el término enésimo, de:

1, 0, – 3, –8, – 15, ...

a) 2n – n2 b) 3n – 2n2 c) n – n2

d) 4n – 2n2 e) –n2

7. Encontrar la ley de formación de:

2, 16, 54, 128, ...

a) 2 - n2 b) 3n2 c) 2n3

d) 4n4 e) 5n2

8. Hallar el término general, de:

2, 7, 14, 23, ...

a) 2n2 – n+1 b) n2 – 2n+1

c) 2n2 – n – 1

d) n2+2n – 1 e) n2 – 3n+2

9. Hallar el término enésimo de:

3; 5; 7; 9; ...

a) 2n + 3 b) 2n c) 2n – 1

d) 2n + 1 e) 2n + 4

10. Encontrar el término general, de:

–2, 2, 6, 10, 14, ...

a) 4n – 2 b) 4n – 4 c) 4n – 6

d) 4n e) 2n

11. Encontrar la ley de formación de:

2, 6, 12, 20, ...

a) n(n + 3) b) 2n c) n(n+ 2)

d) n(n + 1) e) 4n


1, 4, 9, 16, 25,

a) n2 b) (n + 1)2 c) 2n2

d) 3n2 e) 5n

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29

Raz. Matemático

17Series

OBJETIVOS:

a Entender el concepto matemático de serie y algunos métodos razonados para calcular su valor.

a Conocer algunas series importantes, y su aplicación en la resolución de problemas tipo.

DEFINICIÓNEs la suma indicada de los términos de una sucesión numérica.• Considerando: t

1, t

2, t

3, ... tn; una sucesión finita de

numeros reales, entonces la suma indicada: t

1+t

2+t

3+t

4+......+t

n; se llama serie numérica finita

y al resultado se le llama valor o suma de la serie.• Considerando: t

1, t

2, t

3, .... t

n, ... ; una sucesión infinita

de números, la serie infinita será:

t1+t2+t3+t4+...+tn+..; y su valor se puede calcularsólo si es convergente.

ALGUNAS SERIES IMPORTANTES

Series cuyos términos se generan con polinomiosSon aquellas series que expresan la suma indicada de los términosde una sucesión polinomial. Estas sucesiones alcanzan en algúnmomento una fila de diferencias que es constante. Cuando en laprimera fila de difirencias se obtiene valores constantes toma elnombre de progresión aritmética.En general se tiene:

Sn= t + t + t + t + t + ... + t

a a a a a

...

...

....

.....

......

...

....

.

.

.

1

1

b1

c

d

cte.cte.

d

c c1

1 2

2 3

b2 b3 b4

2 3 4 5

2 3 4 5 n

n n n n

n 1 1 1 112 3 4

S a C b C C C d C ...= + + + +

Sabiendo que:( )

a

ba!C

a b !b!=

−

Serie GeométricaSea la serie: t

1+t

2+t

3+t

4+...+t

n; siendo Sn el valor de la

suma de los “n” primeros términos, entonces, dado queproviene de una sucesión geométrica, de la forma:

, , , ....,1

1 2 3q q q

2 3 n

con 1 2 3q q q ... q= = = =

Se cumple que:n

n 1

q 1S t

q 1

−=

−

Donde: t1: Primer término de la serie

n: Número de términos que se deseasumar q: Razón geométrica (cte.)

Principales Series Notables• De los primeros números naturales.

1+2+3+4+5+...+n=

• De los primeros números pares.

2+4+6+8+10+...+2n= n(n+1) ( )n n 1

2

+

• De los primeros números impares:

1+3+5+7+9+...+ (2n – 1) = n2

• De los cuadrados de los primeros números naturales:

( ) ( )2 2 2 2 2 n n 1 2n 11 2 3 4 .... n

6

+ +

+ + + + + =

• De los cubos de los primeros números naturales:

( )2

3 3 3 3 n n 11 2 4 ... n

2

+ + + + + =

Reto al ingenio¿Cuántas pelotas de tenis se necesitan, para fomar con ellas,

una pirámide de base cuadrada en la que cada lado de labase tiene 100 pelotas?

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30

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Hallar la suma total.

S 1 2 3 4 ... 81= + + + + +

Resolución:

Hallar el valor de la serie:

S 2 4 6 8 ... 302= + + + + +

Resolución:

Calcular la suma total.

80 Términos

S 1 3 5 7 ...= + + + +

Resolución:

80 términos

Calcular el valor de la serie:

40 Términos

S 8 12 16 20 21...= + + + +

Resolución:

40 términos

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31

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6

7. Calcular el valor de la serie:

80 Términos

S 3 9 27 81 ...= + + + +

8. Calcular la suma de los 50 primeros númerospares.

9. Hallar el valor de la serie:

3 3 2 3 3S 1 2 3 4 ... 40= + + + + +

10. Hallar la suma total:

50 Términos

S 2 6 12 20 30 ...= + + + + +

11. Encontrar el valor de “S”:

80 TérminosS 1 6 15 28 45 ...= + + + + +

12. Calcular la suma de los 50 primeros númerostriángulares

64 términos

80 términos

50 términos80 términos

Calcular la suma total:

60 Términos

S 3 7 11 15 ...= + + + +

Resolución:

64 términos

Hallar el valor de la serie:

60 Términos

S 3 7 11 15 ...= + + + +

Resolución:

60 términos

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32

1ro Secundaria

1. Hallar el valor de la serie:S 1 2 3 4 ... 600= + + + + +

a) 180 000 b) 181 000 c) 180 200

d) 180 300 e) 1 800

2. Calcular el valor de la serie:

S 2 4 6 8 ... 500= + + + + +

a) 61 750 b) 62 750 c) 63 750

d) 64 250 e) 63 150

3. Calcular la suma total:

50 Términos

S 1 3 5 7 ...= + + + +

a) 2 000 b) 2100 c) 2 400d) 2 600 e) 2 500


1 + 2 + 4 + 6 + . . . + 225

a) 1 365 b) 1 356 c) 1 635

d) 10 101 e) 2 000

5. Calcular “S”:S = 1 + 3 + 5 + 7 + . . . + 225

a) 9 450 b) 9 455 c) 9 555

d) 12 769 e) 9 050

6. Hallar “S”:

S = 12 + 22 + 32 + . . . + 102

a) 380 b) 350 c) 355

d) 385 e) 390


S = 13 + 23 + 33 + ... + 803

a) 10 497 600 b) 11 567 800

c) 10 537 800

d) 11 428 700 e) 12 425 700

8. Encontrar el valor de “S”:

a) 3 000 b) 3 050 c) 3 080

d) 3 060 e) 3 090

9. Calcular la suma total:

80 términos

s= 1+ 3+ 5+ 7+ ...

a) 6 400 b) 900 c) 6 300

d) 2 400 e) 3 400

10. Hallar la suma:

S= 1 + 2 + 3 + ... + 91

a) 4 186 b) 4 024 c) 2 054

d) 5 034 e) 2 412

11. Calcular "S":

S = 1 + 4 + 7 + 10 + ... + 61

a) 634 b) 240 c) 630

d) 600 e) 631

12. Hallar "S":

20 términos

s= 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ ...

a) 220–1 b) 220 + 1 c) 220

d) 219 + 1 e) 220 – 2

20 términos

80 términos50 términos

20 términos

S = 2 + 6 + 12 + 12 + 30 + . . .1444442444443

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9

Raz. Matemático

18 Conteo de Figuras

CONTEO DE FIGURAS

CONCEPTO

Consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, que se encuentran presentes en una figura dada.

MÉTODOS DE CONTEO

• Conteo Directo

Consiste en contar las figuras que nos piden, utilizando la habilidad visual.

• Conteo de Schoenk Consiste en asignar números y/o letras a todas las figuras simples, posteriormente se procede al conteo creciente yordenado de las figuras formadas por 1 pieza, 2 piezas, 3 piezas, etc.

• Conteo por Inducción

Consiste en analizar casos particulares a la figura dada (figuras análogas) tratando de encontrar una ley de formacióncoherente, para luego poder generalizar.

Mediante este método se obtienen fórmulas para aplicar en cualquier caso particular análago.

Reto al Ingenio

Indique el máximo número de cuadrados en:

1

2

3

2396

2397

2398

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10

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Hallar el número total de triángulos

Resolución:

¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

Resolución:

¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo me-nos un asterisco hay, en total?

Resolución:

¿Cuántos segmentos hay en total?

1 2 3 4 n

Resolución:

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11

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Hallar el número total de triángulos

Resolución:

¿Cuántos cuadriláteros hay en total?

Resolución:

7. ¿Cuántos ángulos agudos hay en total?

8. ¿Cuántos sectores circulares hay en total?

9. ¿Cuántos hexágonos hay en total?

10. En la figura:

¿Cuántos octógonos hay en total?¿Cuantas letras “ ”puede encontrar como máximo?

11. ¿Cuántos triángulos hay en total?

12. En la figura:

1

2

3

4

5

6

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

¿Cuántos cuadriláteros hay en total?¿Cuántos cuadrados hay en total?

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12

1ro Secundaria

1. Hallar el número de triángulos en total

a) 20b) 21c) 22d) 23e) 24

2. Hallar el mínimo número de cuadriláteros

a) 8 b) 5 c) 4d) 11 e) 12

3. ¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menosun asterisco hay?

a) 22b) 23c) 24d) 25e) 26

4. Hallar el total de triángulos

a) 1 800

1 2 3 4 60

b) 1 820

c) 1 830

d) 1 850

e) 1 840

5. ¿Cuál es el número total de exágonos?

a) 20b) 21c) 22d) 23e) 24

6. ¿Cuántos segmentos hay en total?

1 2 3 4 90

a) 4 090 b) 4 095 c) 4 080d) 4 800 e) 4 900

7. Hallar la diferencia entre el número de cuadriláteros

y triángulos.

a) 100b) 106c) 112d) 108e) 110

8. Hallar la diferencia entre el número de cuadriláterosy cuadrados.

a) 540b) 100c) 430d) 410e) 440

9. Hallar el máximo número de cuadriláteros.

a) 10 b) 11 c) 12

d) 13 e) 14

10. ¿Cuántos cuadriláteros que tienen por lo menosun asterisco hay?

a) 25

* * *

b) 20c) 23d) 26e) N.A.

11. ¿Cuál es el número total de cuadriláteros?

a) 25b) 26c) 29d) 27e) N.A.

12. Hallar el total de triángulos

a) 30b) 40c) 31

d) 41e) 50

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13

Raz. Matemático

19 Sucesiones Literales

SUCESIONES LITERALES

En este tipo de sucesiones es necesario conocer el orden de las letras del abecedario; y considerar las letras CH yLL cuando por lo menos aparezca una de ellas como dato del problema.

• Orden de las letras sin considerar la CH ni LL.

A → 1 J → 10 R → 19

B → 2 k → 11 S → 20

C → 3 L → 12 T → 21

D → 4 M → 13 U → 22

E → 5 N → 14 V → 23

F → 6 Ñ → 15 W → 24

G → 7 O → 16 X → 25 H → 8 P → 17 Y → 26

I → 9 Q → 18 Z → 27

• Orden de las letras considerando la CH y LL

A → 1 J → 11 R → 21

B → 2 K → 12 S → 22

C → 3 L → 13 T → 23

CH → 4 LL → 14 U → 24

D → 5 M → 15 V → 25 E → 6 N → 16 W → 26

F → 7 Ñ → 17 X → 27

G → 8 O → 18 Y → 28

H → 9 P → 19 Z → 29

I → 10 Q → 20

Se observa que toda sucesión literal puede transformarse en una sucesión numérica por correspondencia ordinal.Generalmente se utiliza como patrón de orden el abecedario, pero puede utilizarse otros patrones, como porejemplo las iniciales de los días de la semana.

Reto al ingenio

¿Qué representa la siguiente sucesión literal?

O, S, S, S, S, S, O

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14

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3¿Qué letra sigue?I, H, G, M, L, K, P, O, Ñ,....

Resolución:

¿Qué letra continua?

C, E, H, J, M, ....

Resolución:

¿Qué letra sigue?C, P, E, R, G, T, I, ...

Resolución:

¿Qué letra continua?

A, F, J, M, ...

Resolución:

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15

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6¿Qué letra sigue?

D, G, J, ...

Resolución:

Hallar la letra que continua:

P, M, I, ...

Resolución:

7. ¿Qué letra sigue?Y; W; S; N; ......

8. ¿Qué letra sigue? • U, D, T, C, ...

• P, S, T, C, ....

9. ¿Qué letra sigue? E, H, K, ...

10. Hallar las dos letras que continuan:CJ; DG; FD; ...

11. Hallar la letra que sigue: C, B, CH, F, E, G, ...

12. Hallar el término literal que sigue:B; D; H; N; ...

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16

1ro Secundaria

1. Hallar la letra que continua:

C, G, K, Ñ, R,...

Rpta: _______________________________

2. ¿Qué letra continua?

G, E, F, D, E, C, D, .....

Rpta: _______________________________

3. Hallar la dos letras que continuan:

AL; BM; CM; DJ; ...

Rpta: _______________________________


C,E,I,Ñ,...

Rpta: _______________________________

5. Hallar la letra que continua:

G, F, E, D, CH, C, ...

Rpta: _______________________________

6. Hallar las tres letras que siguen:

D D D A B C; ; ;CH C B

Rpta: _______________________________


O, R, U, ...

Rpta: _______________________________

8. ¿Qué letra sigue?

E, H, L, P,...

Rpta: _______________________________

9. ¿Qué letra sigue?

Q, O, P, J, H, I, C, ...

Rpta: _______________________________


CH, D, F, I, LL, P,...

Rpta: _______________________________

11. Hallar el término literal que sigue:

A; C; F; J; ...

Rpta: _______________________________

12. Hallar el término literal que sigue:

A; B; D; H; ....

Rpta: _______________________________

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17

Raz. Matemático

20 Introducción a la Topología

TOPOLOGÍA

La figuras planas y espaciales estudiadas en el sistema Euclideano se distinguen cuidadosamente por sus diferencias detamaño, forma angularidad, etc. Para una figura dada tales propiedades son permanentes y por lo tanto, podemos hacerpreguntas razonables acerca de la congruencia y la semejanza. Suponga que estudiamos “figuras” que pudiesen estirarse,doblarse o deformarse, sin que se rompan. La topología, una geometría importante de siglo XX, hace justamente eso.

Las cuestiones de topología conciernen a la estructura básica de los objetos, en lugar de su tamaño o disposición. Por ejem-plo una pregunta topológica común tiene que ver con el número de agujeros en un objeto, una propiedad estructural queno cambia durante una deformación. Usted no puede deformar una pelota de goma, para obtener una banda de goma, sinromperla, es decir, sin perforarla. Así los dos objetos no son topológicamente equivalentes. Por otro parte, una rosca y unataza de café son topologicamente equivalentes, ya que una podría estirarse para formar la otra, sin cambiar las propiedadesestructurales básicas.

Dos ejemplos de superficies topológicas son las banda de Möbius y la botella de Kelin. La banda de Möbius es una superficiecon un solo lado, a la que se le dio ese nombre en honor de August Ferdinand Möbius, un discípulo de Gauss.Hay una rama de la química, conocida como topología química, que estudia las estructuras de las configuraciones químicas.Un avance reciente en esta área fue la síntesis de la primera banda de Möbius molecular, que se formó al unir los extremosde una tira doble de átomos de carbono y oxígeno.

La topología en la MedicinaEl tripanosoma es un parásito que causa la enfermedad del sueño en los seres humanos. El material genético de este parásitocontiene un gran número de círculos en lazados. Si se introduce el fármaco Bromuro de etilo en la células , estos círculos seentrelazan fuertemente y el parásito no puede reproducirse. Así, la topología se emplea para curar la enfermedad del sueño.

Reto al Ingenio

El matemático inglés Hamilton trasladó hace 100 años el siguiente problema de “una línea” a una tela de araña: “Una arañatejió una red artística, que se parecía mucho al dibujo que le presentamos.La red esta compuesta por 20 puntos de unión. La araña esta sentada en el punto 1 y comienza a caminar. Recorre su redy pasa una sola vez por cada uno. Habiendo recorrido 5 estaciones: 1 – 2 –3 – 9 –14, la pregunta es ¿Cómo continua? (Laaraña tiene que tocar todos los nudos, pero no necesariamente todos los hilos)

1

23

4

5

612

7

8

9

10

1113

14 15

16

17

18

19

20

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18

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3¿Cuál de las figuras asignadas con letras, estopológicamente igual a la mostrada?

Resolución:

¿Cuáles de las siguientes figuras se puede dibu-

jar del un solo trazo sin levantar la punta del

lápiz del papel?

(1) (2) (3)

Resolución:

¿Cuántas de las figuras mostradas son recorri-bles?

• Una figura se dice que es recorrible, si esposible dibujarla de un solo sin levantar lapunta del lápiz del papel.

Resolución:

¿Cuántos colores se necesitan como mínimo

para pintar esta figura, de modo que dos regio-

nes que comparten un lado común no estén

coloreadas del mismo tinte?

Resolución:

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19

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Isaac está a punto de ingresar por la puerta A,

a este centro histórico para recorrer todas sus

calles y salir por la puerta B. ¿Será posible que

recorra todas las calles de una sola vez?

A

B

Resolución:

Aqui mostramos los planos de ciertos departa-

mentos. ¿Cuál o cuáles de ellos se prestan para

pasar por todas las puertas de una sola vez, em-

pezando y terminando afuera?

(1) (2) (3)

Resolución:

7. ¿En cuáles de las siguientes figuras se puedendibujar una curva simple y abierta que pase exac-tamente una vez a cada uno de los segmentos derecta de las figuras? (Una curva es simple si nose cruza a si misma y los segmentos de recta sonlos que unen dos puntos sucesivos)

i ii iii

8. La figura muestra una curva simple cerrada y dospuntos A y B. Respecto a los puntos

9. Indicar cuál (es) de las siguientes figuras no sepuede dibujar de un solo trazo:

(I) (II) (III)

10. Respecto a la figura, podemos afirmar que sepodrá “trazar” si:

A

B

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20

1ro Secundaria

1. ¿Cuántas de las siguientes figuras requieren masde dos colores para ser pintadas de modo que 2regiones con un lado común no estén del mismocolor?

A B C D

Rpta: ________________________________

2. ¿En cuál de las habitaciones debemos empezar arecorrer los ambientes de esta residencia de unaplanta, para pasar por todas las puertas una solavez y terminar fuera?

12 3 4

56

7 8

9 10 11

Rpta: ________________________________

3. ¿Cuántos puntos hay fuera de la figura?

Rpta: ________________________________

4. Coquito había dibujado en la pizarra curva sim-ple y cerrada, Iván borró una parte de la figura ysólo quedó la parte central. Si el punto A estabadentro de la figura, entonces el punto B estaba

AB

Rpta: ________________________________

11. Las siguiente figura puede dibujarse en un trazocontinuo, sin cruzar las líneas y levantar el lápizdel papel.

(I) (II)

12. La siguiente figura podrá recorrerse de un sólotrazo siempre y cuando se empiece por el punto.

M P R

SQ

N

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21

Raz. Matemático

5. ¿Cuál de los puntos está dentro de la figura?

A

B

Rpta: ________________________________

6. ¿Cuántos puntos impares hay en cada una deestas figuras?

Rpta: ________________________________

7. ¿Cuál de las siguientes se puede dibujar con unsólo trazo?

(I) (II)

(III)

Rpta: ________________________________

8. Se podra dibujar de un solo trazo sin levantar ellápiz, ni repasar?

Rpta: ________________________________


Rpta: ________________________________


Rpta: ________________________________


Rpta: ________________________________


Rpta: ________________________________

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22

1ro Secundaria

21Área de Regiones Sombreadas

ÁREAS

REGIÓN

Geométricamente se considera región a la reunión de lospuntos que conforman una figura plana. Dependiendo deltipo de figura plana pueden ser poligonales, circulares, etc.

SuperficieLa superficie se refiere a la forma. Hay superficie rectangu-lares, cuadradas, circulares, etc.

ÁreaEs la medida de una superficie. El área se refiere al tamaño.

Medida de la SuperficiePara efectuar la medida de una superficie se toma como uni-dad un cuadrado que tenga por lado, la unidad de longitud.En la práctica, el cálculo del área de una figura se efectúaindirectamente.

S= b.h

2

h

b

S= ab2

a

b

S= b.h2

b

h

S= a.b senα2a

b

α

S= a 4

2

3

a

a a

S=

a+ b+ c

2P=

p(p-a)(p-b)(p-c)

b

c a

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23

Raz. Matemático

Áreas de Regiones Cuadriláteras

S=

a

a

a a2a

b

b

a a S= a.b

Romboide o Paralelogramo.

b

h S= b.h

Trapecio

b

h

a

S=

(a+ b)h

2

Rombo

a

b

S= ab2

Trapezoide

S= x.y senα2

x

y

α

Áreas de Regiones Circulares

S= RpR 2

Sector Circular

S= R α

R

R

α

2

360º

Segmento Circular

S= R ( -180ºsen )pα α

360º

R

α

R

2

Trapecio Circular

S= (R - r )αp

r

R

α

360º

2 2

Reto al IngenioTres hermanos han heredado un campo cuadrado que sedividen como indica la figura, pues en A existe un pozo quetodos quieren usar. ¿Dónde deben estar M y N para que lastres superficies; ABM, AMCN y AND tengan igual área?

B

M

A

DNC

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24

1ro Secundaria

Rpta:

2

Rpta:

4

Rpta:

1

Rpta:

3Hallar el área del cuadrado:

6

5

Resolución:

Calcular el área de toda la figura mostrada. Si

todos los cuadrados son iguales y además el área

“S” es igual a p.

S

Resolución:

Calcular el área de la región sombreada, en lafigura de centro “O”:

O

6 4

Resolución:

Calcular el área del siguiente triángulo:

661

Resolución:

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25

Raz. Matemático

Rpta:

5

Rpta:

6Si: AB=BC y DC=DE. Calcular el área de la

figura sombreada:

12B

D

EC A

Resolución:

En la figura el área del círculo es 9p. Calcular el

área de la región sombreada.

O

B C

D A

Resolución:

7. En la figura mostrada, calcular el área:

7m

8m

10m

8. En la figura, si AC=10m y h1 – h

2=7m.

Calcular el área.

h

A

B

D

C

9. Hallar el área de la región sombreada:

O

3

6

10. En la figura, ABCD es un cuadrado y los semicírculosson construidos en cada lado del cuadrado. Si AB es2. ¿cuál es el área de la figura entera?

A B

CD

11. Calcular el área de la región sombreada:

60°O2

4

12. En la figura el área del círculo es 4π.Calcular el área de la región sombreada.

O

B C

D A

7/18/2019 01-RAZ MAT (1 -21).pdf


1ro Secundaria

1. Hallar el área de la región sombreada, en la figura de

centro “O”.

5

30°O

7

Rpta: _______________________________

2. Si “O” es el centro del círculo, calcular el área de la figura.

a) 14π

O7

b) 49π c) 7πd) 14π2 e) 49π2

3. Calcular el área del sector circular.

a) 36π

60°

6

O

b) 12π c) 24πd) 36π2 e) 12π2

4. Hallar el área del triángulo ABC, si BC=15:

6

A

5 B

C

a) 30 b) 45 c) 75

7. Calcular el área de toda la figura mostrada. Si

todos los cuadrados son iguales y además el áreade la región sombreada es 16π.

a) 256b) 64c) 128d) 16e) 32

8. Hallar el área de la figura sombreada:

A

C3

5

B ABCD es un

cuadrado

D

Rpta: _______________________________

9. Hallar el área de la figura sombreada:

3 2

Rpta: _______________________________

10. Si MR=RS y TS=TU, calcular el área de laregión sombreada:

a) 20 20R

T

b) 40c) 400d) 60

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