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01 – Repaso de análisis estructural matricial

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Contenido

● Solución al sistema de ecuaciones q=Ka-f● Conceptos básicos del análisis matricial de

estructuras de barras● Cerchas 2D y 3D● Marcos 2D y 3D● Apoyos inclinados● Etapas básicas del análisis de un sistema de

barras

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El método de los elementos finitos

Es una técnica numérica para la solución aproximada de ecuaciones diferenciales e integrales.

En el ámbito del análisis estructural (estructuras, geotecnia, pavimentos) es un poderoso método para la estimación de los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos de una estructura bajo la acción de un conjunto de cargas.

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Historia del método de los EFs● 1934-1938: Collar, Duncan: primer artículo sobre análisis matricial de

estructuras

● 1943: Richard Courant (New York University): primer artículo matemático

● 1954: Argyris: desarrolla el concepto de ensamblaje matricial

● 1956: Turner, Clough, Martin, Topp (Boeing): primer artículo en ingeniería

● 1959: Turner: presenta un artículo sobre el método matricial de la rigidez, tal y como lo conocemos hoy

● 1960: Clough (Boeing, Berkeley) define el término “elemento finito”.

● 1965: La NASA invierte 4E6 USD (30E6 USD de hoy) para el desarrollo del software NASTRAN

● 1965: Se empieza a aplicar a otros campos de la ingeniería

● 1967: Zienkiewicz (Swansea): primer libro sobre EFs

● 1970: Se empieza a desarrollar el software ANSYS

● 1973: Strang, Fix (M.I.T.): primer libro sobre EFs desde el punto de vista matemático

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Solución al sistema de ecuaciones

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Solución al sistema de ecuaciones

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Resolviendo

● Cholesky● Métodos que tienen en cuenta las matrices

ralas (matrices sparse). Muchos de estos métodos son iterativos:– PARDISO http://www.pardiso-project.org/

– Método del gradiente conjugado

– Comando linsolve de MATLAB

– Comando \ de MATLAB

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Ancho de

banda

La numeración de los nodos debe hacerse de modo tal que el ancho de banda sea tan pequeño como sea posible. Existen algoritmos especializados que hacen esta labor (como el algoritmo invertido de Cuthill-McKee). En algunos programas de elementos finitos se puede hacer click en un comando que renumera los nodos de modo que el ancho de banda se reduzca.

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Ensamblaje matricial

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Ejemplo 1.1 Oñate

Análisis de tres barras trabajando a tracción

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Coordenadas locales y globalesMatrices LaG y GaL

11 12 3 1 2

21 2 1 1 32 3 2 2 3

31 3 3 3 42 4

LaG LaG(e, nudo local)barra nudo local nudo global

nudo local

barra (e)

1 2 3 41 1 x 2 x2 x 1 2 x3 x x 1 2

GaL(e, nudo global)

nudo global

barra (e)

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Solución en MATLAB 1/2

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Solución en MATLAB 2/2

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Cerchas

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Ejemplo 11.3 Uribe Escamilla

Resuelva completamente la estructura mostrada.El material es acero: E = 2040 ton/cm2

Las áreas están entre paréntesis en cm2.

5 ton

20 ton

(30)

(40)

(100) (150)

(40)

4 m 4 m

3 m 1

121 2

3

4

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grados de libertad restringidos = 1, 2, 4

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Resultados

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Matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus extremos a carga axial,

flexión y cortante

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c1_deduccion_K_portico2D.m

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Matriz de transformación

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Algunas fuerzas nodales equivalentesTabla tomada de: Daryl L. Logan (2012) - A First Course in the Finite Element Method, 5 ed.

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Cálculo de fuerzas nodales equivalentes

Obteniendo:

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Cargas distribuídas inclinadas

http://www.learnaboutstructures.com/Determinate-Frame-Analysis

For members that are inclined on an angle, it is often most convenient to analyse them by first transforming all the loads on the member into the local member axis direction (perpendicular and parallel to the inclined member).

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http://www.learnaboutstructures.com/Determinate-Frame-Analysis

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Ejemplo 11.23 Uribe Escamilla

Mirar solución en la seccióncódigo de la WIKI

Dimensiones:Vigas: 30cm x 35cmColumnas: 30cm x 30cm

E = 190 ton/cm2

3 m 4 m 2 m

1.5 ton

2,8 ton/m

4 m

2 m1

21

2

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13

grados de libertad restringidos = 1, 2, 3, 10, 11, 12

12

3

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6

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9

1011

12

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idx

Ejemplo: idx para la barra 2:

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Rótulas interiores a un

pórticoRótula a la derecha del elemento:

Rótula a la izquierda del elemento:

Ver programa:

c1_K_elemento_empotrado_rodillo.m

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Ver: c1_ejemplo_rotula1.m

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EJEMPLO

Resuelva completamente la estructura mostrada.El material es acero: E = 2040 ton/cm2

Las áreas están entre paréntesis en cm2.El apoyo se encuentra inclinado 30 grados.

5 ton

20 ton

(30)

(40)

(100) (150)

(40)

4 m 4 m

3 m 1

121 2

3

4

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12 34

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78

grados de libertad restringidos = 1, 2, 4

30o

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a(e)

q

q

Elemento de barra 3D

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Elemento de barra 3D

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Matriz de transformación de coordenadas T(e)

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x,y,z = ejes locales X,Y,Z = ejes globales

Tomado de Liu&Quek, p118

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Fórmula de rotación de Rodrigues

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Etapas básicas del análisis de un sistema de barras

● Etapa de preproceso: – definición de geometría del problema

– definición de las propiedades del material

– definición de las condiciones de carga

– definición de la malla de elementos finitos (numeración local y global de los grados de libertad, de los nodos y de los elementos)

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Etapas básicas del análisis de un sistema de barras

● Etapa de cálculo

– Cálculo de las matrices de rigidez K(e) y los vectores de fuerza nodales f(e) de cada elemento del sistema

– Ensamblaje de la matriz de rigidez global K y vector de fuerzas global f

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Etapas básicas del análisis de un sistema de barras

● Etapa de cálculo– Solución del sistema de ecuaciones

– para calcular los desplazamientos en los nudo a (Cholesky, métodos especiales que manejan matrices ralas)

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Etapas básicas del análisis de un sistema de barras

● Etapa de cálculo– A partir de los valores de las incógnitas en los

nudos obtener información sobre los esfuerzos y deformaciones en las barras

● Etapa de postproceso– Presentación gráfica de la información