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25
PÁGINA 103
1. La altura del árbol es de 864,65 cm.
2. BC––= 42 m
3. CA––= 1470 m
4. a) x = b) y =
PÁGINA 104
1. tg a = 0,42
Con calculadora:
sß 0,39 =t={≠…¢“«∞«|£‘≠‘°}2. cos a = 0,62
Con calculadora:
st 1,28=©={≠…\‘∞\¢¢≠¢‘£|}
PÁGINA 105
1. cos a = –0,78 tg a = –0,79
2. sen a = –0,56 tg a = 0,67
3. sen a = –0,68 cos a = 0,74
4.
PÁGINA 106
1. a) 2 397° = 6 í 360° + 237°
b) 2 397° = 7 í 360° – 123°
sen 2397° = –0,84
cos 2397° = –0,54
tg 2397° = 1,54
2. a) 396° = 396° – 360° = 36°
b) 492° = 492° – 360° = 132°
c) 645° = 645° – 360° = 285° =
= 285° – 360° = –75°
d) 3 895° = 3895° – 10 í 360° = 295° =
= 295° – 360° = –65°
e) 7 612° = 7612° – 21 í 360° = 52°
f) 1 980° = 1980° – 5 í 360° = 180°
PÁGINA 107
1. a) –sen 30° = –1/2 b) cos 120° = –1/2
c) –tg 135° = 1 d) cos 45° =
2. Es un ángulo que difiere de 90° una cantidadtan pequeña que, a pesar de las muchas cifrasque la calculadora maneja, al redondearlo da90°.
PÁGINA 109
1.
2. • sen 358° = –sen 2° = –0,0349
cos 358° = cos 2° = 0,9994
tg 358° = –tg 2° = –0,03492
• sen 156° = sen 24° = 0,4067
cos 156° = –cos 24° = –0,9135
tg 156° = –tg 24° = –0,4452
sen cos tg55º 90º – 35º 0,82 0,57 1,43125º 90º + 35º 0,82 –0,57 –1,43145º 180º – 35º 0,57 –0,82 –0,70215º 180º + 35º –0,57 –0,82 0,70235º 270º – 35º –0,82 –0,57 1,43305º 270º + 35º –0,82 0,57 –1,43325° 360° – 35° –0,57 0,82 –0,70
√22
270° 300° 315° 330° 360°
sen –1 –√—3/2 –√
—2/2 –1/2 0
cos 0 1/2 √—2/2 √
—3/2 1
tg — –√—3 –1 –√
—3/3 0
135° 150° 180° 210° 225° 240°
sen √—2/2 1/2 0 –1/2 –√
—2/2 –√
—3/2
cos –√—2/2 –√
—3/2 –1 –√
—3/2 –√
—2/2 –1/2
tg –1 –√—3/3 0 √
—3/3 1 √
—3
0° 30° 45° 60° 90° 120°
sen 0 1/2 √—2/2 √
—3/2 1 √
—3/2
cos 1 √—3/2 √
—2/2 1/2 0 –1/2
tg 0 √—3/3 1 √
—3 — –√
—3
√32
√22
4. RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
26
• sen 342° = –sen 18° = –0,3090
cos 342° = cos 18° = 0,9511
tg 342° = –tg 18° = –0,3249
3. a) cos a ≈ –0,86; tg a ≈ 0,58
b) sen a ≈ –0,66; tg a ≈ –0,88
c) sen b ≈ 0,7; cos b ≈ –0,7
d) sen a ≈ –0,9; cos a ≈ –0,45
PÁGINA 111
1. a) a = 17,43 cm b) b = 26,84 cm
c) c = 396,69 m; A^
= 39° 3' 57"
d) b = 56,01 cm e) c = 66,05 cm
2. El poste mide 5,87 m.
3. Área = 14122,80 m2
PÁGINA 113
1. c = 154,18 m
2. MP—
= 60,49 m
3. b = 26,35 cm
4. Altura del edificio = 125,97 m
Distancia al edificio = 139,9 + 40 = 179,90 m
PÁGINA 114
1. sen^
A = ò h = b sen^
A
sen^
B = sen (180° –^
B ) = ò h = a sen^
B
b sen^
A = a sen^
B ò =
2.
sen^
A = ò h = c sen^
A
sen^
C = ò h = a sen^
C
c sen^
A = a sen^
C 8 =
PÁGINA 115
3. • b = 1,5 cm. No tiene solución.
• b = 2 cm;^
A = 90º
• b = 3 cm;^
A1 = 41° 48' 37,1"^
A2 = 138° 11' 22,9"
• b = 4 cm;^
A1 = 30º. La solución^
A2 = 150°no es válida.
PÁGINA 117
4. a) A^
= 48° 30' 33"
B^
= 92° 51' 57,5"
C^
= 38° 37' 29,5"
b) c = 17,24 cm
A^
1 = 15° 7' 44,3"
A^
2 = 164° 52' 15,7" 8 No es válida.
B^
= 124° 52' 15,7"
c) A^
= 92° 51' 57,5"
B^
= 48° 30' 33"
C^
= 38° 37' 29,5"
d) a = 5,59 cm
B^
1 = 43° 43' 25,3"
B^
2 = 136° 16' 34,7" 8 No es válida.
C^
= 31° 16' 34,7"
e) A^
= 75° b = 2,93 m c = 3,59 m
f) B^
= 110° a = 3,05 m c = 3,05 m
5. a) El otro lado mide 11,872 cm.
Área = 84,93 cm2
6. 36,4 km y 40,4 km
7. GA–– = 25,2 m; GB–– = 26,9 m; Altura = 24,3 m
PÁGINA 122
1. a) cos a = 1/2 tg a = √—3
b) sen a = √—2/2 tg a = 1
c) sen a = √—21/7 cos a = 2√
—7/7
d) cos a = √—55/8 tg a = 3√
—55/55
e) sen a = 0,69 tg a = 0,96
f) sen a = 3√—10/10 cos a = √
—10/10
2.sen a 0,92 0,6 0,99 0,6 0,5 0,96
cos a –0,39 –0,8 – 0,12 – 0,8 –0,87 –0,24
tg a –2,36 –0,75 –8,25 –0,75 –0,57 –4c
sen^
Ca
sen^
A
ha
hc
b
c
a
B
C
H
h
A
b
sen^
B
a
sen^
A
ha
hb
27
3. a) cos a = – 3/5; tg a = 4/3
b) sen a = – /3; tg a = – /2
c) cos a = – /10; sen a = 3 /10
4. a) sen 150º = sen 30º b) cos 135º = –cos 45º
c) tg 210º = tg 30º d) cos 255º = –sen 15º
e) sen 315º = –sen 45º
f) tg 120º = –tg 60º
También tg 120º = –
g) tg 340º = –tg 20º
h) cos 200º = –cos 20º
i) sen 290º = –cos 20º
También sen 290º = –sen 70º
5. a) 0,35 b) 0,94 c) –0,35
d) –0,35 e) 0,94 f) 0,35
6. a) 2 /13 b) 3 /13
c) 3/2 d) 2 /13
e) –3 /13 f) –2/3
7. a) 228º 35' 25'' b) 248º 17' 3,7''
c) 234º 4' 17,4'' d) 283º 17' 49,6''
8. a) c = 13 cm
A^
= 22º 37' 11,5º; B^
= 67º 22' 48,5º
b) B^
= 90º – 37º = 53ºc = 71,45 m; b = 57,06 m
c) A^
= 32º; c = 13,2 m; b = 11,2 m
d) B^
= 19º; a = 5,48 m; b = 1,89 m
9. A^
= 36° 52' 11,6''
10. Llega a una altura de 1,53 m.
Está separada 1,29 m de la pared.
11. d = 5,2 cm; D = 15,2 cm
12. a) A'B'—
= 4,64 cm
b) A'B'—
= 9,64 cm
c) A'B'—
= 14,49 cm
d) A'B'—
= 0 cm
13. a) h = 7,98 cm
h = 13,25 cm
h = 8,18 cm
b) A = 87,78 cm2
A = 99,38 cm2
A = 114,52 cm2
14. A^
= 112° 43' 35''
B^
= 41° 48' 37''
C^
= 25° 27' 48''
15. Distancia = 27,47 cm
PÁGINA 123
16. a = 12,33 m b = 9,68 m
17. C^
= 36° 50' 6'' b = 29,98 m
18. a) B^
= 103° a = 10 m c = 11,67 m
b) A^
= 35° 25' 9'' C^
= 39° 34' 51''
c = 19,79 m
19. Distancia de A a la iglesia 8 411,14 m
Distancia de B a la iglesia 8 322,62 m
20. a = 20,42 m
21. A^
= 15° 34' 41''
B^
= 43° 7' 28''
C^
= 121° 17' 51''
22. a) c = 21,9 cm
A^
= 29º 56' 8''; B^
= 110º 3' 52''
b) b = 79,87 cm
C^
= 40° 18' 5''; A^
= 74° 41' 55''
c) A^
= 30° 10' 29''
B^
= 17° 48' 56''
C^
= 133° 0' 35''
23. La distancia es de 77,44 m.
24. a) A^
= 70°; b = 77,83 m; c = 94,82 m
III
II
I
III
II
I
√13√13√13√13
1tg 30°
√10√10√5√5
28
b) B^
= 75°; a = 16,54 m; c = 10,09 m
c) c = 75,3 m
A^
= 62° 43' 49,4''; B^
= 44° 16' 10,6''
d) b = 281,6 m
A^
= 22° 1' 54,45''; C^
= 37° 58' 55,5''
e) A^
= 38° 37' 29,4''; B^
= 48° 30' 33''
C^
= 92° 51' 57,6''
f) A^
= 32° 39' 34,4''; B^
= 93° 17' 46,7''
C^
= 54° 2' 38,9''
g) B^
= 27° 21' 46,8''; C^
= 22° 38' 13,2''
c = 7,54 m
h) B^
= 38° 58' 35,7''; A^
= 84° 1' 24,3''
a = 9,5 m
25. 0,58 m
26. 27,8 km
27. Octógono inscrito: l = 3,82 cm
Octógono circunscrito: l' = 4,14 cm
28.^
B = 99° 3' 1" b = 9 cm
C^
= 30° 56' 59" c = 4,7 cm
29. 120°
30.—EA = 9,38 km
—EB = 6,65 km
31. 60°
PÁGINA 124
32.—
AB =—CD = 6,6 m;
—
BC =—AD = 14,7 m
—BD = 13,9 m; Área = 91 m2
33. A las 3 de la tarde los barcos distarán más de168350 m. No podrán ponerse en contacto.
34. 5,6 cm
35. 79,82 m
36. 74,97 m
37. 1) Verdadera 2) Verdadera 3) Falsa
4) Falsa 5) Verdadera 6) Verdadera
7) Verdadera 8) Verdadera 9) Falsa
10) Verdadera 11) Falsa 12) Verdadera
38. En 8 = =
En 8 =
—
BC = a;^
A' =^
A;—A'C = 2R; = 90°
La igualdad queda:
= 8 = = 2R
Sustituyendo en la primera expresión:
2R = = =
39. • a2 = b2 + c2 – 2bc cos^
A
1,52 = ( )2 + c2 – 2 c cos 60°
c2 – c + 0,75 = 0
c = = m
La ecuación de segundo grado solo tieneuna raíz. Solo hay una solución.
• Podemos resolverlo con el teorema del se-no:
^
B = 90°.
Pero:^
C +^
B = 135° + 90° > 180° ¡Imposible!No hay ningún triángulo con esos datos.
PÁGINA 125
40. 2,18 m
41. 156,96 m
42. 301,04 cm2
43. 45° 14' 23"
√32
√—3 ± √—3 – 32
√3
√3√3
c
sen^
C
b
sen^
B
a
sen^
A
2R1
a
sen^
A
2Rsen 90°
a
sen^
A
ìA'BC
—A'C
senìA'BC
—BC
sen^
A'
�A'BC
c
sen^
C
b
sen^
B
a
sen^
A
�ABC
29
AUTOEVALUACIÓN
1. C^
= 35° 41' 7''
B^
= 54° 18' 53''
2. • sen 154° = sen 26°
cos 154° = –cos 26°
tg 154° = – tg 26°
• sen 207° = –sen 27°
cos 207° = –cos 27°
tg 207° = tg 27°
• sen 318° = –sen 42°
cos 318° = cos 42°
tg 318° = –tg 42°
• sen 2456° = –sen 64°
cos 2456° = cos 64°
tg 2456° = –tg 64°
3. a) cos a = –3/5
b) tg a = –4/3
c) sen (180° + a) = –4/5
d) cos (90° + a) = –4/5
e) tg (180° – a) = 4/3
f) sen (90° + a) = –3/5
4. a = st 3,5 ±= {–|¢…≠∞¢\≠¢}Hay dos soluciones:
a1 = 285° 56' 43'' a2 = 105° 56' 43''
sen a1 = –0,96 sen a2 = 0,96
cos a1 = 0,27 cos a2 = –0,27
30
PÁGINA 128
1. a) 2π; b) 57° 17' 44,8"; c) 90°; d) 3π/2
PÁGINA 129
2. a) rad ≈ 0,52 rad b) rad ≈ 1,26 rad
c) rad ≈ 1,57 rad d) rad ≈ 2,22 rad
e) rad ≈ 3,49 rad f) rad ≈ 5,24 rad
3. a) 114° 35' 29,6" b) 47° 33' 19,8" c) 36°
d) 150° e) 200° 32' 6,8" f) 180°
4. La tabla completa está en el siguiente apartado(página 130) del libro de texto. Tan solo faltala última columna, que es igual que la primera.
PÁGINA 133
1. cos (a – b) = cos (a + (–b)) =
= cos a cos (–b) – sen a sen (–b) =
= cos a cos b – sen a (–sen b) =
= cos a cos b + sen a sen b
2. tg (a – b) = tg (a + (–b)) =
=(*)= =
=
(*) Como ò tg (–a) = – tg a
3. tg (a – b) = =
=(*)=
= =
(*) Dividimos por cos a cos b el numerador yel denominador.
4. cos 12° = 0,98; tg 12° = 0,2
cos 37° = 0,8; tg 37° = 0,75
49° = 12° + 37°
sen 49° = 0,748; cos 49° = 0,664; tg 49° = 1,12
25° = 37° – 12°
sen 25° = 0,428; cos 25° = 0,904; tg 25° = 0,478
5. = =
= =
6. sen 2a = sen (a + a) =
= sen a cos a + cos a sen a = 2 sen a cos a
cos 2a = cos (a + a) =
= cos a cos a – sen a sen a = cos2 a – sen2 a
tg 2a = tg (a + a) = =
7. sen 60° = sen (2 · 30°) = /2
cos 60° = cos (2 · 30°) = 1/2
tg 60° = tg (2 · 30°) =
8. sen 90° = sen (2 · 45°) = 1
cos 90° = cos (2 · 45°) = 0
tg 90° = tg (2 · 45°) = 8 No existe.
9. = =
= =
PÁGINA 134
10. cos a = cos (2 · ) = cos2 – sen2
1 = cos2 + sen2
a) Sumando ambas igualdades:
1 + cos a = 2 cos2 ò cos = ±a2
a2 √1 + cos a
2
a2
a2
a2
a2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
2 · 11 – 1
√3
√3
2 tg a1 – tg2 a
tg a + tg a1 – tg a tg a
1tg a
cos asen a
2 cos a cos b2 sen a cos b
cos (a + b) + cos (a – b)sen (a + b) + sen (a – b)
tg a – tg b1 + tg a tg b
sena cosb cosa senb—————— – ——————cosa cosb cosa cosbcosa cosb sena senb—————— + ——————cosa cosb cosa cosb
sen a cos b – cos a sen bcos a cos b + sen a sen b
sen (a – b)cos (a – b)
sen (–a) = –sen acos (–a) = cos aØ∞±
tg a – tg b1 + tg a tg b
tg a + (– tg b)1 – tg a (– tg b)
tg a + tg (–b)1 – tg a tg (–b)
5π3
10π9
127π180
π2
2π5
π6
5. FUNCIONES Y FÓRMULASTRIGONOMÉTRICAS
31
b) Restando las igualdades (2-ª – 1-ª):
1 – cos a = 2 sen2 ò sen = ±
c) tg = =
11. sen 78° = 0,98; tg 78° = 4,9
sen 39° = 0,63; cos 39° = 0,77; tg 39° = 0,82
12. sen 30° = sen (60°/2) = 0,5
cos 30° = cos (60°/2) = 0,866
tg 30° = tg (60°/2) = 0,577
13. sen 45° = sen (90°/2) =
cos 45° = cos (90°/2) =
tg 45° = tg (90°/2) = 1
14. 2 tg a · sen2 + sen a =
= 2 tg a · + sen a =
= (1 – cos a) + sen a =
= sen a ( + 1) == sen a ( ) == sen a · = = tg a
15. = =
= = = tg2
PÁGINA 135
16. Sumando 8 cos (a + b) + cos (a – b) =
= 2 cos a cos b (1)
Restando 8 cos (a + b) – cos (a – b) == –2 sen a sen b (2)
Sustituyendo a = , b = en (1) y
(2), se obtiene:
(1) 8 cos A + cos B = 2 cos cos
(2)8 cos A – cos B = –2 sen sen
17. a) /2; b) /2; c) – /2
18. tg 3a
PÁGINA 137
1. a) x1 = 60°; x2 = 300°; x3 = 180°
b) x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = –45° = 315°; x4 = 225°
c) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 45°; x4 = 225°
d) x1 = 0°; x2 = 60°; x3 = –60° = 300°
2. a) x1 = 51° 19' 4,13"; x2 = –51° 19' 4,13";x3 = 180°
b) x1 = 90°; x2 = 270°; x3 = 210°; x4 = 330° = –30°
c) x1 = 90°; x2 = 180°
d) x1 = 0°; x2 = 180°; x3 = 30°; x4 = 150°;
x5 = 210°; x6 = 330°
3. x1 = 45°; x2 = 135°; x3 = 225°; x4 = 315°;
x5 = 0°; x6 = 180°
4. a) x1 = rad, x2 = rad
b) La ecuación no tiene solución.
5. a) x = 120° + k · 180° = + k π rad,
k éZ
b) x = + k π rad, k éZ
c) x = + k π rad, k éZ
d) x = k π rad, k éZ
PÁGINA 142
1. a) 30° b) 120° c) 240°
d) 225° e) 210° f) 810°
2. a) 85° 56' 37" b) 183° 20' 47"
c) 286° 28' 44" d) 157° 33' 48"
π2
π4
2π3
7π6
11π6
√2 √6 √6
A + B2
A – B2
A + B2
A – B2
A – B2
A + B2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
sen acos a
1cos a
1 – cos a + cos acos a
1 – cos acos a
sen acos a
1 – cos a2
a2
√22
√22
√1 – cos a1 + cos a
sen a/2cos a/2
a2
√1 – cos a2
a2
a2
32
3. a) 2π/9 ≈ 0,7 rad b) 3π/5 ≈ 1,88 rad
c) 3π/4 ≈ 2,36 rad d) 4π/3 ≈ 4,19 rad
e) 3π/2 ≈ 4,71 rad f) 7π/10 ≈ 2,2 rad
4. a) –2 b) –1 c) 3
5. a) 4 · + · + (–1) = 2 + 1 – 1 = 2
b) 2 · + 4 · – 2 · 1 = 3 + 2 – 2 = 3
6. a) b) –2 c)
7. a) – b) + c) –2
8. a) a1 = 0,33 a2 = 2,82
b) a1 = 0,95 a2 = 5,33c) a1 = –0,98 a2 = 2,16d) a1 = –0,68 a2 = 3,82
9. a) 2.º cuadranteb) 3.er cuadrantec) 4.º cuadrante
10. sen 75° = ( + )/4; cos 75° = ( – )/4
tg 75° = 2 +
11. a) –24/25 b) 3 c) (3 – 4)/10
d) (3 – 4)/10 e) /10 f ) 1/7
PÁGINA 143
12. sen 15° = 0,258819; cos 15° = 0,965926;
tg 15° = 0,267949
13. a) 4 /9 b) c) (3 + 5)/15
14. a) –3/5 b) – /5
15. a) – /4 b) 3/4 c) 1/8
d) e) –3/4 f) /8
16. sen 41° = 0,664; cos 41° = 0,748; tg 41° = 0,8877
17. tg 2b = –84/13
18. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
19. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ7π6
π6
11π6
7π6
π2
7π4
5π4
3π4
π4
3π2
π2
11π6
π6
3π2
π2
π2
3π2
π2
√8√7√7
√5
√15√9 – 4√—5√5
√10√3
√3
√3
√2√6√6√2
2√33
12
√22
5√33
√2 + 22
12
√32
√3
√22
√212
33
20. a) x1 = + 2k π = 60° + k · 360°, k éZ
x2 = + 2k π = 300° + k · 360°, k éZ
b) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = + 2k π = 45° + k · 360°, k éZ
x2 = + 2k π = 225° + k · 360°, k éZ
21. a) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 45° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 315° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x5 = 135° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x6 = 225° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 36° 52' 11,6" + k · 360° ≈
≈ (π/5) + 2k π, k éZx2 = 216° 52' 11,6" + k · 360° ≈
≈ (6π/5) + 2k π, k éZx3 = 135° + k · 360° = (3π/5) + 2k π, k éZx4 = 315° + k · 360° = (7π/5) + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZ
d) x = k · 360° = 2k π, k éZ
e) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 270° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 60° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 300° + k · 360° = + 2k π, k éZ
22. = =
= =
23. 2 tg x cos2 – sen x =
= 2 · – sen x =
= =
= = = tg x
24. cos (x + ) – cos (x + ) == [cos x cos – sen x sen ] –– [cos x cos – sen x sen ] == [(cos x) – (sen x) ] –– [(cos x) (– ) – (sen x) ] = cos x –
– sen x + cos x + sen x = cos x
25. cos a cos (a – b) + sen a sen (a – b) =
= cos a (cos a cos b + sen a sen b) +
+ sen a (sen a cos b – cos a sen b) =
= cos2 a cos b + cos a sen a sen b +
+ sen2 a cos b – sen a cos a sen b =
= cos2 a cos b + sen2 a cos b =
= cos b (cos2 a + sen2 a) = cos b · 1 = cos b
√32
12
√32
12
√32
12
12
√32
2π3
2π3
π3
π3
π3
2π3
sen x [1 + cos x – cos x]cos x
sen xcos x
sen x (1 + cos x) – sen x cos xcos x
sen xcos x
1 + cos x2
x2
sen a cos b cos a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bsen a cos b cos a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
tg a + tg btg a – tg b
sen (a + b)sen (a – b)
sen a cos b + cos a sen bsen a cos b – cos a sen b
5π3
π3
3π2
π2
7π4
3π4
5π4
π4
5π4
π4
5π6
π6
5π4
π4
3π2
π2
5π3
π3
34
PÁGINA 144
26. 1,25 rad = 71° 37' 11"
27. R = 4,8 cm
28. 3π/4
29. = =
= =
=
30. =
Si a = ò = 2
31. = =
= = = tg2
32. 1
33. a) x1 = 90° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 210° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 90° + k · 360° = (π/2) + 2k π, k éZx2 = 270° + k · 360° = (3π/2) + 2k π, k éZx3 = 68° 31' 51,1" + k · 360° ≈ 0,38π + 2k π,
k éZx4 = 291° 28' 8,9" + k · 360° ≈ 1,62π + 2k π,
k éZ
d) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZ
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ
e) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 120° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 240° + k · 360° = + 2k π, k éZ
f) x1 = k · 180° = k π, k éZ
x2 = 30° + k · 90° = + k · , k éZ
g) x1 = k · 360° = 2k π, k éZ
x2 = 180° + k · 360° = π + 2k π, k éZx3 = 71° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (2π/5) + 2k π,
k éZx4 = 251° 33' 54,2" + k · 360° ≈ (7π/5) + 2k π,
k éZ
34. a) x1 = 30° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
b) x1 = 15° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 75° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x3 = 195° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x4 = 255° + k · 360° = + 2k π, k éZ
c) x1 = 150° + k · 360° = + 2k π, k éZ
x2 = 330° + k · 360° = + 2k π, k éZ
d) x1 = 157,5° + k · 360°, k éZ
x2 = 67,5° + k · 360°, k éZ
x3 = 337,5° + k · 360°, k éZ
x4 = 247,5° + k · 360°, k éZ
11π6
5π6
17π12
13π12
5π12
π12
5π6
π6
π6
π2
4π3
2π3
2π3
4π3
11π6
5π6
7π6
π6
5π6
π6
π2
a2
1 – cos a1 + cos a
2 sen a (1 – cos a)2 sen a (1 + cos a)
2 sen a – 2 sen a cos a2 sen a + 2 sen a cos a
2 sen a – sen 2a2 sen a + sen 2a
sen 2a1 – cos2 a
π4
2 cos asen a
sen 2a1 – cos2 a
1 + tg a tg b1 – tg a tg b
cos a cos b sen a sen b——––––—— + —–—–––——cos a cos b cos a cos bcos a cos b sen a sen b——––––—— – —–—–––——cos a cos b cos a cos b
cos a cos b + sen a sen bcos a cos b – sen a sen b
cos (a – b)cos (a + b)
35
35. a) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).
b) x1 = k · 180° = k π, k éZ
x2 = 30° + k · 180° = (π/6) + k π, k éZ
x3 = 150° + k · 180° = (5π/6) + k π, k éZ
36. a) cos (a + b) cos (a – b) = (cos a cos b –
– sen a sen b) (cos a cos b + sen a sen b) =
= cos2 a cos2 b – sen2 a sen2 b =
= cos2 a (1 – sen2 b) – (1 – cos2 a) ·
· sen2 b = cos2 a – cos2 a sen2 b – sen2 b +
+ cos2 a sen2 b = cos2 a – sen2 b
b) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácti-cos).
c) Se demuestra (ver CD de Recursos Didácticos).
37. sen a · cos 2a – cos a · sen 2a = –sen a
38. a) (90°, 30°); b) (0°, 0°); c) (30°, 60°)
39. Se justifica (ver CD de Recursos Didácticos).
40. sen 4a = 4 (sen a cos3 a – sen3 a cos a)
cos 4a = cos4 a + sen4 a – 6 sen2 a cos2 a
PÁGINA 145
41. sen = sen ; cos = –cos ;
tg = – tg
42. a) ò tg (π – a) = – tg a
b) ò tg (π + a) = tg a
c) ò
ò tg (2π – a) = – tg a
43. a) A (x) = –2 sen x b) A (x) = 0
c) A (x) = –sen x + cos x
44.
45.
46. a) (60°, 60°); b) (30°, 45°); c) (45°, 15°)
47. a), b) y c) Se demuestran (ver CD de RecursosDidácticos).
AUTOEVALUACIÓN
1. rad = 135°
rad = 450°
2 rad = 144° 35' 30''
2. a) 60° = rad = 1,05 rad
b) 225° = rad = 3,93 rad
c) 330° = rad = 5,76 rad
3. l = 24 cm
4. La gráfica corresponde a b) y = cos 2x.
Su periodo es π.
11π6
5π4
π3
5π2
3π4
–—
a) 1
0
–1
π–π π2—π
2–— π
4—π
4–— —3π
4–—3π
4
b) 1
0
–1
π–π π2—π
2π4—π
4–— —3π
4–—3π
4
d) 1
0
–1
π–π π2—π
2π4—π
4–— —3π
4–—3π
4
c) 1
0
–1
π–π
π2—π
2–— π
4—π
4–— —3π
4–—3π
4
1
0
–1
ππ2—π
4— —3π
2—7π4
—5π4
—3π4
sen (2π – a) = –sen acos (2π – a) = cos aØ
∞±
sen (π + a) = –sen acos (π + a) = –cos aØ
∞±
sen (π – a) = sen acos (π – a) = –cos aØ
∞±
4π5
π5
4π5
π5
4π5
π5
36
( , ), ( , – ), (– , 0)5. a) sen 2a = –
b) cos (π + a) =
c) tg =
d) sen ( – a) =
6. a) y b) Se demuestran (ver CD de Recursos Di-dácticos).
7. a) x1 = 360° · k, k éZ
x2 = 180° + 360° · k, k éZ
x3 = 30° + 360° · k, k éZ
x4 = 150° + 360° · k, k éZ
b) x1 = 45° + 360° · k, k éZ
x2 = 225° + 360° · k, k éZ
8. a) 1 b) 2
–1 – 3√58
π6
√5/3a2
14
√158
π4
12
4π3
12
5π6
37
PÁGINA 147
Extraer fuera de la raíz
� a) 4 b) 10
Potencias de
� a) – b) 1 c)
¿Cómo se maneja k · ?
� a) 0 b) 0 c)
Expresiones del tipo a + b ·
� a) –1 – 5 b) –3 –
� a) –18 – 54 b) 28 – 16
Multiplicaciones
� a) 3 + 4 b) –16 + 40
c) 41 – d) 29
Ecuaciones de segundo grado
� a) x1 = –5 + 2√—–1, x2 = –5 – 2√
—–1
b) x1 = 3√—–1, x2 = –3√
—–1
PÁGINA 149
1. • Reales: 7, 0 y –7
Imaginarios: 5 – 3i, + i, –5i, i,
–1 – i, 4i
Imaginarios puros: –5i, i, 4i
2. a) z1 = 2i, z2 = –2i
b) z1 = –3 – i, z2 = –3 + i
c) z1 = –3i, z2 = 3i
d) z1 = –3, z2 = 3
3. a) Opuesto: –3 + 5i
Conjugado: 3 + 5i
–3 + 5i 3 + 5i
3 – 5i
–3 3
3i
–3i
–3 + i
–3 – i
2i
–2i
i— + — i12
54
5 – 3i
4i
–5i
7–7–1 – i
√—3i
1
√3
√354
12
√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1√–1
√–1
√–1385
√–1
√–1√–1
√–1
√–1√–1
6. NÚMEROS COMPLEJOS
38
b) Opuesto: –5 – 2i
Conjugado: 5 – 2i
c) Opuesto: 1 + 2i
Conjugado: –1 + 2i
d) Opuesto: 2 – 3i
Conjugado: –2 – 3i
e) Opuesto: –5
Conjugado: 5
f) Opuesto: 0
Conjugado: 0
g) Opuesto: –2i
Conjugado: –2i
h) Opuesto: 5i
Conjugado: 5i
4. i3 = –i i4 = 1 i5 = i i6 = –1
i20 = 1 i21 = i i22 = –1 i23 = –i
CRITERIO: Dividimos el exponente entre 4 y loescribimos como sigue:
in = i4c + r = i4c · i r = (i4)c · i r =
= 1c · i r = 1 · i r = i r
Por tanto, in = i r, donde r es el resto de di-vidir n entre 4.
PÁGINA 151
1. a) 18 – 18i b) –9i c) 16 + 2i
d) 28 + 3i e) 16 – 2i f ) i
g) – i h) – i i) + i
j) + i k) –2 – 4i l) –9 + i
m) + i274
94
65
1125
2325
35
–115
1617
417
1310
–110
5i
–5i
2i
–2i
0
5–5
–2 + 3i
–2 – 3i 2 – 3i
–1 – 2i
–1 + 2i 1 + 2i
–5 – 2i
5 + 2i
5 – 2i
39
2. a) x2 – 4x + 7
b) x2 + 9
c) x2 + (–4 + 2i )x + (11 + 2i )
3. Hay dos soluciones: x1 = –25, x2 = 25
4. z1 + z2 = 5 + 7i
PÁGINA 153
1. a) 1 + i = 260° b) + i = 230°
c) –1 + i = 135° d) 5 – 12i = 13292° 37'
e) 3i = 390° f) –5 = 5180º
2. a) + i b) – + i
c) – + i d) – – i
e) –5 f) 4i
3. Opuesto: –z = r180° + a
Conjugado: –z = r360° – a
4. z = 830° = 4 + 4i
5. a) z1 = 2 + 2 i; z2 = – – i
b) z1 · z2 = –12i = 12270°
= = ( )150°c) z1 · z2 = 12270°
= = ( )150°
PÁGINA 155
1. a) 5180° = –5
b) 230° = + i
c) 6120° = –3 + 3 i
d) 560° = + i
e) 3260° = 16 + 16 i
f) 4i = 490º
2. a) (230º)3 = 890º = (2150º)3 = (2270º)3
b) (260º)4 = 16240º = (2150º)4 = (2330º)4
(2270º)4 = 161080º = 160º
3. a) 1060° b) ( )15° c) ( )300° d) 10
4. cos 3a = cos3 a – 3 cos a sen2 a
sen 3a = 3 cos2 a sen a – sen3 a
PÁGINA 157
1. Las seis raíces son:
10° = 1 160° = + i
1120° = – + i 1180° = –1
1240° = – – i 1300° = – i
2. z1 = 360° = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3240° = – – i32
3√32
32
3√32
1
12
√32
12
√32
12
√32
12
√32
54
12532
√3
52
5√32
√3
√3
34
3210°460°
z2z1
34
–6√—3 + 6i16
z2z1
32
3√32
√3
√3
3√32
32
√2√2
√2√252
5√32
√2
√3√3
7i
i
5i
z1 + z2
z1
z2
1 2 3 4 5
40
3. a) Las tres raíces son: 190° = i,
1210° = – – i, 1330° = + i
b) Las cuatro raíces son:
230° = + i, 2120° = –1 + i,
2210° = –1 – i, 2300° = – i
c) Las dos raíces son: 590° = 5i ; 5270° = –5i
d) Las tres raíces son: 25°; 145°; 265°
4. a) Las cuatro raíces son:
145° = + i ; 1135° = – + i ;
1225° = – – i ; 1315° = – i
b) Las seis raíces son:
230° = 2 ( + i ) = + 1
290° = 2i
2150° = 2 (– + i ) = – + i
2210° = 2 (– – i ) = – – i
2270° = –2i
2330° = 2 ( – i ) = – i
5. z y w raíces sextas de 1 8 z6 = 1, w6 = 1
(z · w )6 = z6 · w6 = 1
( )6 = = = 1
z2 = (z2)6 = z12 = (z4)3 = 13 = 1
z3 = (z3)6 = (z4)4 · z2 = 14 · 12 = 1
6. 536° 52' + 90° = 5126° 52' = –3 + 4i
536° 52' + 180° = 5216° 52' = –4 – 3i
536° 52' + 270° = 5306° 52' = 3 – 4i
7. a) Las dos raíces son: 390° = 3i ; 3270° = –3i
b) Las tres raíces son:
z1 = 360° = + i
z2 = 3180° = –3
z3 = 3300° = – i
c) Las tres raíces son:
z1 = 105° = –0,37 + 1,37i
z2 = 225° = –1 – i
z3 = 345° = 1,37 – 0,37i
z1
z2
i
–i
z3
–1
1
√2
√2
√2
z1
z2
z3
–3
32
3√32
32
3√32
–3i
3i
11
z6
w6zw
√312
√32
√312
√32
√312
√32
√312
√32
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
√22
6√26√26√2
√3√3√3√3
12
√32
12
√32
z1
z2
z3
–3
41
d) Las tres raíces son:
190° = i
1210° = – – i
1330° = – i
e) Las cinco raíces son:
z1 = 218° = 1,9 + 0,6i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2162° = –1,9 + 0,6i
z4 = 2234° = –1,2 – 1,6i
z5 = 2306° = 1,2 – 1,6i
f) Las tres raíces son:
z1 = 230º
z2 = 2150º
z3 = 2270º
PÁGINA 158
1. a) Re z = 3
b) –1 Ì Im z < 3
c) |z| = 3
d) |z| > 2
e) Arg z = 90°
2. a)
b)
c)
d)
z1z2
z3
z1
z2
z3
z4 z5
1210° 1330°
i
12
√32
12
√32
42
e)
PÁGINA 162
1. a) 9 + 6i b) –4 + 2i
c) –5 – 22i d) 18 + 24i
2. a) 3 + 6i b) – i
c) + i d) = + i
3. a) 22 – 6i b) –13 – 19i
c) – + i d) – – i
e) 1 + i f) –10 + i
4. a) i b) –1 c) i d) 1 e) 1
5. a) z2 = – – i; 1 + z + z2 = 0
b) = – – i = z2
6. m = –7; n = 5
7. k = 3
8. Hay dos soluciones:
a1 = –2, b1 = –1; a2 = 2, b2 = 1
9. Hay dos soluciones:
a1 = 2/3, b1 = –3; a2 = –2, b2 = 1
10. a = 11/5; b = –108/5
11. a) b = –2 b) b = 8
12. a1 = –2, a2 = 2
13. x1 = –1, x2 = 2
14. a) 1 – i = 315°
Opuesto: –1 + i = 135°
Conjugado: 1 + i = 45°
b) –1 + i = 135°
Opuesto: 1 – i = 315°
Conjugado: –1 – i = 225°
c) + i = 230°
Opuesto: – – i = 2210°
Conjugado: – i = 2330°
d) – – i = 2210°
Opuesto: + i = 230°
Conjugado: – + i = 2150°
e) –4 = 4180°
Opuesto: 4 = 40°
Conjugado: –4 = 4180°
4–4
√—3 + i
√—3 – i–
√—3 + i–
√3
√3
√3
√—3 + i
√—3 – i√
—3 – i–
√3
√3
√3
–1 – i
–1 + i
1 – i
√2
√2
√2
1 – i
–1 + i 1 + i
√2
√2
√2
√32
12
1z
√32
12
373
413
613
95
75
1310
–710
2313
1513
720
920
43
f ) 2i = 290°
Opuesto: –2i = 2270°
Conjugado: –2i = 2270°
g) – i = ( )270°Opuesto: i = ( )90°Conjugado: i = ( )90°
h) 2 + 2 i = 60°
Opuesto: –2 – 2 i = 240°
Conjugado: 2 – 2 i = 300°
15. a) + i b) + i c) –
d) 17 e) i f ) –5i
g) – + i h) –0,69 + 3,94i
16. a) 830º b) 1275º c) 6225º
d) 1,545º e) 2210º f) 1,5105º
g) 4180º h) 640º i) 81180º
17. a) (–1 – i )5 = ( 225°)5 = 4 + 4ib) =
Las cuatro raíces son:
75°, 165°, 255°, 345°
c) =
Las cuatro raíces son: 2 0° = 2 ,
2 90° = 2 i, 2 180° = –2 ,
2 270° = –2 i
d) =
Las tres raíces son:
230° = + i, 2150° = – + i, 2270° = –2i
e) (–2 + 2i )6 = 4 096180° = –4 096f) (3 – 4i )3 = 125200° 36'
18. a) + i
b) Las tres raíces son:
6
23° 51'= 0,785 + 0,347i
6
143° 51'= –0,693 + 0,56i
6
263° 51'= –0,092 – 0,853i
1
i
√ 25
√ 25
√ 25
–1
–— + —i14
14
–14
14
√3
√3 √3
3√8i 3√890°
√2 √2
√2 √2 √2 √2
√2 √2
4√64 4√640°
4√2 4√2 4√2 4√2
4√1 – √—3 i
4√2300°
√2
12
√32
√232
3√32
√2√2
2 + 2 3i√—
–2 – 2 3i√—
2 – 2 3i√—
√14√3
√14√3
√14√3
3i/4
–3i/4
34
34
34
34
34
34
2i
–2i
44
19. a)Las tres raíces son:
2100° = –0,35 + 1,97i
2220° = –1,53 – 1,26i
2340° = 1,88 – 0,68i
b) Las cuatro raíces son:
245° = + i
2135° = – + i
2225° = – – i
2315° = – i
c) Las tres raíces son:
230° = + i
2150° = – + i
2270° = –2i
PÁGINA 163
20. a) (1 + i )5 =16 – 16 i
b) (–1 – i )6 ( – i ) = 128330° =64 – 64i
c) =
Las cuatro raíces son:
30° = + i
120° = – + i
210° = – – i
300° = – i
d) = 225° = –1 – i
e) =
Las seis raíces son:
230° = + i 290° = 2i 2150° = – + i
2210° = – – i 2270° = –2 2330° = – i
f ) =
Las dos raíces son:
112° 30' = –0,46 + 1,1i
292° 30' = 0,46 – 1,1i
g) =
Las tres raíces son: 190° = i
1210° = – – i 1330° = – i
h) = ( )180°Las dos raíces son:
( )90°= i
( )270°
= – i
21. a) z = 2300°; –z = 2120°;–z = 260°
b) z = 2 225°; –z = 2 45°;–z = 2 135°
c) z = 4150°; –z = 4330°;–z = 4210°
22. a) Las cinco raíces son:
118°, 190°, 1162°, 1234°, 1306°
b) Las seis raíces son: 130°, 190° , 1150° , 1210°,1270° , 1330°
1
1
√2√2√2
√ 23√ 2
3
√ 23√ 2
3
23√ 2 – 2i
–3 + 3i
12
√32
12
√32
3√1270°3√–i
4√2
4√2
√√—2225°√–1 – i
√3√3
√3√3
6√64180°6√–64
√28(1 – i )5
√62
√22
√2
√22
√62
√2
√62
√22
√2
√22
√62
√2
4√4120°4√–2 + 2√—3 i
√3√3√3
√3√3
2 2
2√3
√3
2 2
2 2√2√2
√2√2
√2√2
√2√2
2
2 2
45
c) Las cuatro raíces son:
7° 30, 97° 30, 187° 30, 277° 30'
23. a) z1 = –2i; z2 = 2i
b) z1 = – – i; z2 = – + i
c) z1 = – – i; z2 = – + i
d) z1 = – i; z2 = + i
24. a) Las cinco raíces son:
236°; 2108°; 2180°; 2252°; 2324°
b) Las tres raíces son: 390°; 3210°; 3330°
c) Las tres raíces son:
290° = 2i; 2210° = – – i; 2330° = – i
d) Las cuatro raíces son:
22° 30' = 1,3 + 0,5i
112° 30' = –0,5 + 1,3i
202° 30' = –1,3 – 0,5i
292° 30' = 0,5 – 1,3i
25. a) z1 = 2135°; z2 = 2315°
b) z1 = 1 – 2i; z2 = 1 + 2i
c) z1 = – i; z2 = i
d) z1 = 2i = 290º; z2 = –2i = 2270º;
z3 = 3i = 390º; z4 = –3i = 3270º
26. a) Las cuatro raíces son:
10° = 1; 190° = i; 1180° = –1; 1270° = –i
b) Las cuatro raíces son: 245° = + i;
2135° = – + i; 2225° = – – i;
2315° = – i
c) Las cuatro raíces son:
0; 20° = 2; 2120° = –1 + i; 2240° = –1 – i
27. a) z = –2 + 3i; w = 1 – i
b) z = 2 – 5i; w = 3i
28. Hay dos soluciones: m = –4 y m = 4
29. Los números son: 6π/6 y 2π/6
30. Hay cuatro soluciones:
z1 = 122° 30; w1 = 267° 30'
z2 = 1112° 30; w2 = 2337° 30'
z3 = 1202° 30; w3 = 2247° 30'
z4 = 1292° 30; w4 = 2157° 30'
31. Hay tres soluciones:
w1 = 260°; z1 = 4120°
w2 = 2180°; z2 = 4
w3 = 2300°; z3 = 4240°
32. Los números son: 123π/12 y 211π /12; o bien111π/12 y 223π /12
33. cos 75° = sen 75° =
34. cos 15° = sen 15° =
35. x1 = 2; x2 = –2
36. |z| = = 1
37. x = 14
PÁGINA 164
38. Hay dos soluciones:
z1 = 4 + 3i 8 –z1 = 4 – 3i
z2 = 4 – 3i 8 –z2 = 4 + 3i
39. Los números son: z = 2 + 2i ; w = 1 – i
40. Las tres raíces son:
z1 = 75°; z2 = 195°; z3 = 315°√2√2√2
√1 + x2
√1 + x2
√—6 – √
—2
4√—6 + √
—2
4
√—6 + √
—2
4√—6 – √
—2
4
√3√3
√2√2
√2√2√2√2
√2√2
√5√5
√2√2√2√2
√3√3
√32
12
√32
12
√192
32
√192
32
√152
12
√152
12
√—2
√2√2√2√2
46
La longitud del lado del triángulo es l = .
41. • Las tres raíces cúbicas de 8i son:
z1 = 230°; z2 = 2150°; z3 = 2270°
• Las tres raíces cúbicas de –8i son:
z1 = 290°; z2 = 2210°; z3 = 2330°
• Las tres raíces cúbicas de 8 son:
z1 = 20°; z2 = 2120°; z3 = 2240°
• Las tres raíces cúbicas de –8 son:
z1 = 260°; z2 = 2180°; z3 = 2300°
42. No. Si fueran las cuatro raíces cuartas de unnúmero complejo, formarían entre cada dos deellas un ángulo de 90°; y ni siquiera forman elmismo ángulo, como vemos en la representa-ción gráfica:
43. • 1.er hexágono:
z1 = 20° = 2
z2 = 260° = 1 + i
z3 = 2120° = –1 + i
z4 = 2180° = –2
z5 = 2240° = –1 – i
z6 = 2300° = 1 – i
• 2.° hexágono:
z1 = 230° = + i
z2 = 290° = 2i
z3 = 2150° = – + i
z4 = 2210° = – – i
z5 = 2270° = –2i
z6 = 2330° = – i
44. Sí son las raíces quintas de un número complejo.z = (228°)5 = 32140°
45. Los otros vértices son: 3112°; 3184°; 3256°; 3328°
El número es z = (340°)5 = 243.
46. 1 + i = 45°
Las otras raíces cúbicas son:
45° + 120° = 165°; 165° + 120° = 285°
z = –2 + 2i
47. x2 – 2x + 2 = 0
48. a) x2 + 25 = 0
b) x2 – 4x + 13 = 0
49. a) z = 0; w = –1 + 2i
b) z = 2 – i; w = –3 + 2i
√2√2√2√2
√2
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
√3
1
i
3√–83√8
z1
z2
z3
z1
z2
z3
3√–8i3√8i
z1z2
z3
z1
z2 z3
√6
√—2
120°
z1
l
z2
z3
47
50. a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
51.
52. a)
b)
c)2
–2
1 2–1–2
x = —32x = – —3
2
1–1x = 0
1–1–2
x = – —32
45°
3
3
–2 5
3
–1
3
0
1
2
48
53. a) Re z = –3 b) Im z = 2
c) –1 Ì Re z ≤ 1 d) 0 Ì Im z < 2
e) f) |z| = 3
PÁGINA 165
54. No, también son reales los números con argu-mento 180° (los negativos).
55. ra + 180° = –z (opuesto de z)
r360° – a =–z (conjugado de z)
56. z = a + bi = ra 8 –z = a – bi = r360° – a
w = c + di = r'b 8 –w = c – di = r'360° – b
a) –z + –w = (a + c) – (b + d ) i = —z + w
b) –z · –w = (r · r')360° – a + 360° – b =
= (r · r')360° – (a + b) =—z · w
c) k –z = ka – kbi =—kz
57. = = ( )–a = ( )360° – a8
8 | | = =
58. Sí. Por ejemplo:
z = i, w = i
z · w = i · i = i2 = –1 é Á
59. iz = 4i – 3i2 = 3 + 4i
60. Se diferencian en 180°.
61. Ha de tener módulo 1.
62. La longitud del lado es l = 2,6 unidades.
63. z = 245°, w = 4135°
64. a) = ( )5π/3
b) = ( )270°
c) = – – i
Si z = ra, entonces = ( )360° – a
65. a) Circunferencia con centro en (1, 1) y radio 5.
b) Circunferencia de centro en (5, 2) y radio 3.
66. |z – (1 + i )| = 3
1z
1r
–1 + i
1–1 + i———
1–1 + i
12
12
2i
–1/2i
12i
12
π/3
3π/3
(1/3–π/3) –π/3
13π/3
13
90°
4 – 3i
3 + 4i
1
|z|
1r
1z
1r
1r
10°ra
1z
–3 < Re z < 2–2 < Im z < 3
°¢£
49
AUTOEVALUACIÓN
1. – + i
2. z = 4240° = –2 – 2 i
3. b = –7, a = –4
4. z1 = 5 + 2i, z2 = 5 – 2i
5. Hay dos soluciones:
x1 = 2, x2 = –2
6. l = 2 u
7. a)
b)
c) a + bi + a – bi = –4 8
8 2a = –4 8 a = –2
8. Los números son 6120° y 3330° o bien 6300° y3150°.
9. z · z– = a2 + b2 = |z|2
10. cos 120° = – ; sen 120° =
11. z = + i
√3
3710
1910
2 + 3√32
2√3 – 32
√32
12
1–2
3
3
5
1
√3
50
PÁGINA 166
1. c = 4 cm
a = 2 cm
B^
= 56° 18' 36''
C^
= 33° 41' 24''
2. Perímetro = 33,3 cm
3. El mástil mide 7,32 m y el cable, 24,99 m.
4. sen a = ; cos a =
sen2 a + cos2 a ? 1.
Por tanto, no existe ningún ángulo que verifi-que las dos condiciones a la vez.
5. Perímetro = 61,48 cm
Área = 83,23 cm2
6. a) cos 297° = cos 63°
a) cos 297° = cos 63°
b) sen 1252° = sen 8°
c) tg (–100°) = tg 80°
d) sen = sen
7. a) cos 2a = –3/5
b) sen ( – a =
c) sen =
d) tg ( + a = –3
8. a) 8 IV
b) 8 III
c) 8 I
d) 8 II
9. cos4 x – sen4 x =
= (cos2 x + sen2 x)(cos2 x – sen2 x) =
= cos2 x – sen2 x =
= cos2 x – (1 – cos2 x) =
= 2cos2 x – 1
10. a) x1 = 0° + 360° k, k é Z 8 Vale
x2 = 126° 52' 12'' + 360° k, k é Z
x3 = 233° 7' 48'' 8 No vale
b) x1 = 30°, y1 = 30°
x2 = 50°, y2 = 90°
x3 = 130°, y3 = –270°
x4 = 150°, y4 = –210°
11. z– = 3300°
–z = 3240°
=300°
12. = i
13. x2 + 2x + 4 = 0
14. Los números son 5 + i y 5 – i.
15. A = 1 + i = 260°; B = 2150°;
C = 2240°; D = 2330°; l = 2 u√2
√3
√15√15
i10 – 2i7
2 + i33
)13(1z
)π4
5 – √—5√ 10
a2
√55)π
2
2π5
13π5
34
12
√13
BLOQUE II. TRIGONOMETRÍAY NÚMEROS COMPLEJOS