02 Persamaan Diferensial Orde I

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

Persamaan Diferensial Orde I

04/17/23 [MA 1124]KALKULUS II

2

Persamaan DiferensialPersamaan Diferensial

Definisi Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang

memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.

Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial Biasa (PDB).

Sedangkan jika peubah bebasnya lebih dari satu dinamakan Persamaan Diferensial Parsial.


3

Persamaan Diferensial (2)Persamaan Diferensial (2) Persamaan diferensial biasa dikatakan linear, apabila

persamaan diferensial tersebut mempunyai peubah tak bebas maupun turunannya bersifat linear.

Bentuk umum PDBL orde-n adalah sebagai berikutan(x) yn + an-1(x) yn-1 + … + a0(x) y = f(x)

dengan an(x) 0 dan an(x), an-1(x), … , a0(x) adalah koefisien PD.

Bila f(x) = 0 disebut PDBL Homogen, sebaliknya jika tidak disebut PDBL tak homogen.

Orde PDB adalah turunan tertinggi yang terlibat dalam PDB


4

ContohContoh

dtdN(1)

(2) y ’ + 2 cos 2x = 0

(3) y” + ex y’ + sin xy = ex sin x , orde 2

x3 y”+ cos 2x (y’)3= x2 y2 , orde 2

= kN , N = N(t)

(4)

, orde 1 dimana N peubah tak bebas t peubah bebasnya

, orde 1 dimana y peubah tak bebas x peubah bebasnya


5

SolusiSolusi Misal ada suatu persamaan diferensial dimana y

sebagai peubah tak bebas yang bergantung pada peubah bebas x atau suatu fungsi y = f (x) disebut solusi PDB jika fungsi y = f (x) disubtitusikan ke PDB diperoleh persamaan identitas.

Solusi umum dan solusi khususJika fungsi y = f (x) memuat konstanta sembarang maka solusi disebut solusi umum, sebaliknya disebut solusi khusus.


6

ContohContoh

(1) y = cos x + c solusi umumPersamaan Diferensial y’ + sin x = 0Karena (cos x + c)’ + sin x = -sin x + sin x = 0

(2) y = cos x + 6 solusi khusus Persamaan Diferensial y’ + sin x = 0 Karena(cos x + 6)’ + sin x = -sin x + sin x = 0


7

PDB Orde 1PDB Orde 1

PDB terpisah PDB dengan koefisien fungsi homogen PDB Linier


8

PDB terpisahPDB terpisah

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : g(y) dy = f(x) dx disebut PDB terpisah.

Penyelesaian : integralkan kedua ruasContoh : tentukan solusi umum PD

(x ln x) y' = y , (y’= dxdy

)

1y yex 3 = , y(2) = 0

1.

2.


9

ContohContoh

1. Jawab:

(x ln x) y' = y

ydx

dyxx ln

xx

dx

y

dy

ln

xx

dx

y

dy

ln

cxy lnlnlnln

xcy lnlnln

xcy ln

Jadi solusi umum PD tersebut

adalah

xcy ln


10

ContohContoh

2. Jawab:

y' = x3 e-y

yexdx

dy 3

dxxe

dyy

3

dxxdye y 3

cxe y 4

4

1

cxy 4

4

1ln

c4)2(

4

1ln0

Jadi solusi khusus PD tersebut

adalah

3

4

1ln 2xy

Diketahui y(2) = 0, sehingga

341 cc


11

LatihanLatihan

2

2

1 yx

dxdy

)1(2243 2

y

xxdxdy

)1(' 3

2

xyx

y

221' xyyxy

1)0(,21

cos2

y

yxy

dxdy

0)0(),1)(1(2' 2 yyxy

)21)(21(' 32 xxyy

1)0(,0)1( yyedxdy

e xx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini


12

Fungsi homogenFungsi homogen

Fungsi A(x,y) disebut fungsi homogen dengan derajat n, jika

A(kx,ky) = knA(x,y), k konstan sembarang

Contoh : Periksa apakah fungsi berikut homogen atau tidak !

1. A(x,y) = x + y A(kx,ky) = kx + ky = k (x + y) = k A(x,y)

A(x,y) = x + y , fungsi homogen dengan derajat 12. A(x,y) = x2 + xy A(kx,ky) = k2x2 + kx ky = k2 (x2+xy) = k2 A(x,y) A(x,y) = x2 + xy , fungsi homogen dengan derajat 2


13

PD dengan koefisien fungsi homogen PD dengan koefisien fungsi homogen

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk ),(),(

'yxByxA

y

dengan A,B fungsi homogen dengan derajat yang sama disebut PDB dengan koefisien fungsi homogen.

Penyelesaian : gunakan subtitusi y = ux, u = u(x)

uxuy ''

dx

dy

dx

du

= x + u

dy = x du + u dx

dengan


14

ContohContoh

Selesaikan solusi persamaan diferensial berikut

x

yxy

11.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx x

yx

dx

dy

x

y

dx

dy1 u

dx

dxudux

1 dxudxudux 1

dxdux x

dxdu

x

dxdu cxu ln

cxx

yln xcxxy ln

Jadi solusi umum dari PD di atas adalah xcxxy ln


15

ContohContoh

2.

Jawab:

Misalkan y = ux, sehingga dy = x du + u dx

2

2 2

x

xyy

dx

dy

x

y

x

y

dx

dy2

2

uudx

dxudux22

dxuudxudux 22

dxuudux 2 x

dx

uu

du

2 x

dx

uu

du2

cxuu

dulnln

)1(

cxduuu

ln1

11

cxuu ln1lnln

0xy2ydx

dyx 22 , y(1)=1


16

Contoh (no.2 lanjutan)Contoh (no.2 lanjutan)

cxu

uln

1ln

cx

xyxy

ln1

ln

cxxy

ylnln

cx

xy

y

2)1( cxcxy

cx

cxy

1

2


c

c

11

2

1c

Jadi solusi khusus PD di atas adalahx

xy

2

2


17

LatihanLatihan

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Tentukan solusi Persamaan diferensial dibawah ini

xyyx

dxdy

23 22

2

2 2x

xyydxdy

yxyx

dxdy

3

2

22

xyxyx

dxdy

yxyx

dxdy

2

34

yxxy

dxdy

2

34

2y dx – x dy = 0


18

PDB LinierPDB Linier

PDB yang dapat dituliskan dalam bentuk : 1y + P(x) y = r(x)

disebut PDB linier.

Penyelesaian : kalikan kedua ruas dengan faktor integral

dxxPe

)(

dxxPe

)(1y dxxPe

)( dxxPe

)(

1)()( dxxP

ye dxxPe

)(

+ P(x)yr

(x)

= r(x)

Kemudian, kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:

Integralkan kedua ruas

= dx + c dx)x(Pye dxxP

e)(

r(x) Solusi Umum PDB

=


19

ContohContoh

1. xy’ – 2y = x3 ex

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:xexy

xy 22' (bagi kedua ruas dengan x)

Sehingga diperoleh faktor integrasi:

2lnln22

2

xeee xxdxx

kalikan kedua ruas dengan x-2, yaitu:

xeyx

yx

32

2'

1 xey

x

1

2

1 ceyx

x 2

1

22 xcexy x Jadi solusi umumnya adalah 22 xcexy x


20

ContohContoh

2. y’ + y = (x + 1)2, y(0) = 3

Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini

Jawab:

Faktor integrasi dari PD di atas adalah:xdxee 1

kalikan kedua ruas dengan ex, yaitu:

21' xeyeye xxx )1()'( 2 xeye xx dxxeye xx 2)1( dxexexye xxx )1(21 2

xcexxy 2121 2

ceexexye xxxx 2)1(21 2

sehingga xcexy 12


21

Contoh (no. 2 Lanjutan)Contoh (no. 2 Lanjutan)


c13 2c

Jadi solusi khusus PD di atas adalah xexy 212


22

LatihanLatihan

Selesaikan persamaan diferensial di bawah ini:

211

2'.4

x

xy

y

xxyy sectan'.3

xeyy 2'.1

1')1(.2 2 xyyx

0)1(,1.6 1 yeyxxy x

22'.5 xyy

26

,2sincos2'sin.7

yxxyyx


23

Trayektori OrtogonalTrayektori Ortogonal

Masalah dalam TO ini adalah bagaimana mendapatkan keluarga kurva yang ortogonal atau tegak lurus terhadap keluarga kurva lain.

Cara untuk mendapatkan trayektori ortogonal dari suatu kurva adalah sebagai berikut:

Turunkan secara implisit f(x,y) = c terhadap x, nyatakan parameter c dalam x dan y.

Karena tegak lurus maka trayeksi Ortogonal (TO) harus memenuhi:

),(11

yxDfy

Trayektori Ortogonal dari f(x,y) = c, didapatkan dengan mencari solusi dari

),(11

yxDfy


24

ContohContoh

2cxy Tentukan trayektori ortogonal dari keluarga kurva

Jawab:

Langkah-langkah menentukan TO :

1. Tuliskan 2cxy dalam bentuk 2x

yc

Kemudian turunkan yaitu:2cxy

2. TO akan memenuhi PD

cxy 2'

22'

x

yxy

x

yy 2'

y2

x

x/y2

1y1


25

Contoh (lanjutan)Contoh (lanjutan)

3. TO dari adalah solusi dari PD berikut:

)(2

22

ellipscyx

y

xy

21

y

x

dx

dy

2

xdxydy2 cx

y 2

22

2cxy

Jadi keluarga yang tegak lurus terhadap parabola2cxy

adalah )(2

22

ellipscyx

x

y


26

LatihanLatihan

Tentukan solusi trayektori ortogonal dari keluarga kurva berikut :

222 cyx cxy 222 cyx 4 x2 + y2 = c

4.

2.

1.

5.

y = cx 3.

Program Perkuliahan Dasar UmumSekolah Tinggi Teknologi Telkom

Penggunaan PD Orde IPenggunaan PD Orde I


28

Penerapan dalam Rangkaian ListrikPenerapan dalam Rangkaian Listrik

Sesuai dengan Hukum Kirchhoff,

rangkaian listrik sederhana (gambar

samping) yang mengandung sebuah

tahanan sebesar R ohm dan sebuah

kumparan sebesar L Henry dalam

rangkaian seri dengan sumber gaya

elektromotif (sebuah baterai atau

generator) yang menyediakan suatu

voltase E(t) volt pada saat t memenuhi

tEtIRtIL 'Dengan I adalah arus listrik dalam ampere.

R L

S

E(t)


29

ContohContoh

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu

rangkaian RL dengan R = 6 ohm, L = 2 henry dan sebuah

baterai yang menyediakan voltase sebesar E = 12 Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).

JawabPersamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi 126'2 II

63' II

1.


30

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi te3

ttt eCCeeI 333 22

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan C = –2

Kita peroleh

Sehingga,

teI 322


31

ContohContoh

Dari contoh sebelumnya baterai diganti dengan generator

arus bolak – balik dengan E = 12 sin 9t Volt dan

diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I = 0 pada saat

t = 0, jika saklar S ditutup).JawabPersamaan diferensialnya adalah

Atau bisa disederhanakan menjadi

tII 9sin126'2

tII 9sin63' Kemudian kedua ruas kalikan dengan faktor integrasi

te3

dtteeI tt 9sin6 33Kita peroleh

2.


32

Contoh (Lanjutan)Contoh (Lanjutan)

CtCostSin

eeI

tt 9993

8196 3

3

teCttI 39cos53

9sin51

C53

053

C

tettI 3

53

9cos53

9sin51

Dengan integral parsial, didapat hasil integralnya adalah

Jadi,

Syarat awal, I = 0 pada saat t = 0, memberikan

Sehingga,


33

LatihanLatihan


rangkaian RL dengan R = 106 ohm, L = 1 henry dan sebuah

sumber gaya elektromotif yang menyediakan voltase

sebesar E = 1 Volt dan diasumsikan saat awal arusnya

adalah nol (I = 0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

1.


rangkaian RL dengan L = 3,5 Henry dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t)

= 120 sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya


2.


34

LatihanLatihan


rangkaian RL dengan R = 1000 ohm dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t)

= 120 sin 377 t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya


3.

Tentukan arus I sebagai fungsi dari waktu t dari suatu rangkaian

RL dengan R = 1000 ohm, L = 3,5 henry dan sebuah sumber

gaya elektromotif yang menyediakan voltase sebesar E(t) = 120

sin 377t Volt dan diasumsikan saat awal arusnya adalah nol (I =

0 pada saat t = 0, jika saklar S ditutup).

4.

Documents

02 Persamaan Diferensial Orde I