INDETERMINACIONES

Tipos de indeterminaciones.-

Al estudiar los limites en R (R ampliada) había casos en los que no era posible saber cual era el limite de la suma, producto, cociente, etc.

Estos casos son:* - ,

* 0 * * 0 / 0* / * 1 , 00, 0 (Las dos ultimas se estudiaran en cursos superiores mediante la regla de L`Hopital).

Estas formas se llaman indeterminaciones.

* Forma 0/0: Si el teorema del resto

nos asegura que por anularse para x=a, ambos polinomios son divisibles por (x-a). Simplificando desaparece la indeterminación. Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a la resolución es trivial.

* Forma / :

(Nota . Es ya sabido que el limite de las funciones de la forma (k/xn) es 0).

La indeterminación de la forma / procede del cociente de dos polinomios cuando x tiende a .

"La indeterminación se elimina dividiendo numerador y denominador por la mayor potencia de x que aparezca en el numerador o en el denominador."

REGLA PRACTICA

Nota: La misma regla sirve para exponente fraccionario, es decir, para el caso de tener raíces.

Si esta indeterminación aparece cuando x tiende a un numero real “a” la resolución es trivial.

LIMITE DE FUNCIONES IRRACIONALES

* Forma 0/0: Suele desaparecer la indeterminación, multiplicando numerador y denominador por el conjugado del que tenga la raíz.

* Forma / : Para resolver la indeterminación basta observar los grados “reales” de las expresiones polinomicas y no polinomicas del numerador y el denominador. Una vez observado aplicar el mismo resultado de la forma / .* Forma -

La forma indeterminada - procede del limite de una suma de funciones en las que una de ellas tiene por limite + y otra - . El caso es trivial a menos que una de ellas sea irracional.

"La indeterminación se elimina multiplicando y dividiendo el binomio por el binomio conjugado de la diferencia dada."

* Forma 0 Estos limites se transforman en 0/0 ó / mediante operaciones sencillas, al menos en los casos que estudiaremos en el presente curso.

* El numero "e". Forma 1

Como ya se vio en el álgebra de limites el limite . Sin embargo hay ocasiones en

que esta potencia no tiene ningún sentido: 1 , 00, 0. Se trata, pues, de casos de indeterminación, que se resuelven con ayuda del llamado “numero e”.

El numero irracional "e" aparece en matemáticas cuando se calcula el limite cuando x tiende a de la

función

Utilidad - Permite resolver la indeterminación del tipo 1.

- Como base de un sistema de logaritmos (ya estudiado).

Calculo aproximado e = = 2,71828182845……..

x 1 2 3 4 1000 10.000 100.000 1.000.000

2 2,25 2.3703370

2.441406 2.716924 2.718146 2.718255 2.7182805

Otras expresiones del numero "e"

1.- lim (1+1/x)x+p = e p=cte2.- lim (1+1/x)xp = ep p=cte 3.- lim (1+p/x)x = ep p=cte

Limites del tipo "e"

Teorema 1: Sea f una función tal que = con aR o a=, entonces se tiene que

= e.

Teorema 2: Sean f y g dos funciones tales que =1 y = (a cualquiera) entonces