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81ENSEANZA DE LAS CIENCIAS, 2005, 23(1), 8196

SOBRE LA COMPRENSIN EN ESTUDIANTESDE MATEMTICAS DEL CONCEPTO DE INTEGRAL IMPROPIA. ALGUNAS DIFICULTADES, OBSTCULOS Y ERRORES

Gonzlez-Martn, Alejandro S. y Camacho Machn, MatasDepartamento de Anlisis Matemtico. Universidad de La [email protected]@ull.es

INVESTIGACIN DIDCTICA

Resumen. En el presente trabajo mostramos algunas de las difi cultades, obstculos y errores que los alumnos universitarios encuentran al aprender los conceptos relativos a la integracin impropia; algunos de ellos parecen inherentes al propio concepto de integral impropia y otros vienen relacionados con ausencia de signifi cado o con otros conceptos del clculo.Con el objetivo de analizar estas difi cultades, obstculos y errores construimos un marco terico basado, principalmente, en la teora de Duval sobre los registros semiticos de representacin y construimos un modelo de competencia para evaluar la comprensin de nuestros alumnos.Palabras clave. Integral impropia, registro de representacin semitica, modelo de competencia, integral defi nida.

Summary. In this paper we present some diffi culties, obstacles and errors university students face when learning the concepts relative to improper integration. Some of them seem to be inherent to the improper integral concept itself and some others are related to lack of meaning or to other concepts of calculus.With the aim of analysing these diffi culties, obstacles and errors we built up a theoretical framework based, fundamentally, on Duvals theory of semiotic registers of representation and we designed a competence model to assess our students comprehension. Keywords. Improper integral, semiotic registrer of representation, competence model, defi nitive integral.

1. INTRODUCCIN Y ANTECEDENTESPresentamos en este artculo algunos de los resultados de un trabajo realizado con el objetivo principal de localizar difi cultades, obstculos y errores que apa-recen en los alumnos de primer ao de licenciatura1 al aprender los conceptos de la integracin impropia. Este trabajo representa un primer acercamiento al anlisis cognitivo que se realizar para disear una ingeniera didctica sobre el concepto de integral impropia, en cuyo desarrollo nos encontramos actual-mente inmersos.

Es sabido que para defi nir la integral de Riemann2 se im-ponen dos condiciones: intervalo de integracin acotado y funcin integrando acotada en este intervalo. Estas condiciones, adems, aunque son necesarias para defi nir

esta integral no son sufi cientes por s solas para asegurar la integrabilidad de una funcin3.

Cuando no se cumple una de las dos condiciones anterio-res puede, sin embargo, extenderse la defi nicin anterior, dando as lugar a las integrales impropias o integrales ge-neralizadas. Uno de los problemas principales de estas in-tegrales reside en el estudio de su convergencia. En la en-seanza universitaria tradicional se centra la atencin en la memorizacin de criterios y en la resolucin de mltiples ejercicios; sin embargo, casi no se interpretan los resulta-dos obtenidos (y las paradojas que pueden aparecer) ni se buscan contraejemplos patolgicos (en Gonzlez-Martn, 2002, se realiza un anlisis ms detallado de los conteni-dos habituales en un tema de integracin impropia).


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El concepto de integral impropia resulta de gran impor-tancia para los alumnos de las titulaciones de matemticas e ingenieras por la gran cantidad de aplicaciones que tiene, ya sea para el clculo de probabilidades, para de-fi nir normas funcionales, en el clculo de transformadas de Fourier y Laplace y muchos clculos fsicos (como el trabajo, la energa... en determinadas circunstancias).A pesar de esto, nuestra experiencia nos indica que los alum-nos no llegan a comprender adecuadamente este concepto ni a relacionarlo con algunos conocimientos previamente estudiados (como sucesiones, series e integrales defi nidas) en su primer ao en la universidad, en el que toman contacto por primera vez con l. Hemos observado que muchos de los alumnos aprenden las herramientas y conceptos referentes a la integracin impropia descontextualizados y desvincula-dos de los contenidos anteriores; se limitan a memorizar un conjunto de criterios y tcnicas que, de estar contextualiza-dos, tendran mucho ms signifi cado para ellos.

Una de las principales difi cultades que encontramos al planifi car este estudio es la ausencia de trabajos publi-cados centrados en el concepto de integral impropia y su enseanza-aprendizaje. Aunque ste aparece implci-tamente en varios trabajos, se desarrolla generalmente en el marco de la integral defi nida.

Orton (1983) detecta que la introduccin de los alumnos a la integracin se ve oscurecida por la manipulacin al-gebraica. En su investigacin se pide calcular la integral de la funcin 1/x2 en el intervalo [-1, 2] y se adjunta la grfi ca. Esta pregunta ofreci especiales difi cultades a los alumnos participantes, aunque debemos aclarar que stos slo tenan conocimientos elementales sobre la in-tegracin. Calvo (1997) destaca el hecho de que, al ilus-trar la defi nicin de integral defi nida, se suele presentar una curva sin patologas, un intervalo positivo, se usa un nmero razonable de rectngulos... pero no se insiste en cules de estos elementos son esenciales y cules no. Relacionado con este hecho, nosotros encontramos que nuestros alumnos no saben cules son las condiciones necesarias para defi nir la integral de Riemann.

Adems, el hecho de identifi car la integral como un rea puede dar lugar a falsas adscripciones de signifi cado, de forma que los alumnos no diferencian el signifi cado de la integral cuando la funcin es positiva y cuando la fun-cin es negativa. Por otro lado, Schneider (1991) identi-fi ca varios errores cometidos por estudiantes en clculos de reas y volmenes, que muestran la presencia de con-cepciones errneas. En su trabajo identifi ca el obstculo de heterogeneidad de las dimensiones, al que haremos referencia ms adelante, el cual induce a mezclar canti-dades de dimensiones distintas (volmenes con reas y reas con lneas). Las evidencias mostradas indican que este obstculo tiene corte epistemolgico.

Rasslan y Tall (2002) disearon un cuestionario para ex-plorar los esquemas cognitivos que evocan los alumnos para el concepto de integral defi nida, para lo cual analiza-ron si los estudiantes saban defi nir este concepto4. Afi rman que slo 7 estudiantes de los 41 participantes dieron una defi nicin del concepto5. En su cuestionario tambin intro-

ducen dos integrales impropias, pero los alumnos no las identifi can al no conocer los aspectos tericos.

Finalmente, mencionamos el estudio de Camacho y Agui-rre (2001), que plantean algunas integrales impropias a un grupo de alumnos y profesores; comprueban que tienen grandes difi cultades para calcular sus valores y muchos se pierden en los clculos algebraicos. Se observa tambin que tanto profesores como alumnos tienden a sustituir los valores extremos de la integral y no calculan las integrales utilizando procesos lmite, sino generalizando la regla de Barrow y sustituyendo directamente los extremos de la integral en la variable, aun cuando uno de los extremos sea infi nito.

Motivados por esta situacin nos interesamos en esta aproximacin cognitiva por estudiar cmo aprenden los alumnos de primer curso de la titulacin de Matemticas los conceptos relacionados con la integracin impropia, adems de determinar algunas difi cultades, obstculos y errores que surgen en su aprendizaje. Con este fi n se deci-di utilizar problemas no rutinarios6 y de tipo no algortmi-co para averiguar su nivel de comprensin, entendiendo la comprensin de un concepto matemtico bajo la ptica de los sistemas de representacin semitica. Uno de nuestros objetivos es analizar el sistema de representacin en el que los alumnos trabajan, adems de observar si hacen alguna interpretacin grfi ca de los resultados que obtienen.

Tambin nos propusimos analizar, entre otras, las siguien-tes cuestiones: Utilizan los alumnos elementos intuitivos? Articulan diferentes sistemas de representacin en situa-ciones relativas a integrales impropias? Realizan procesos de transferencia de otros conceptos previos a los nuevos?

Razones de tiempo, espacio y planifi cacin nos llevan a acotar nuestro campo de investigacin inicial y a decantar-nos solamente por el uso de los registros de representacin grfi co y algebraico en un primer acercamiento al anlisis de la comprensin de los alumnos de algunos conceptos bsicos de la integracin impropia, bajo la hiptesis de que los alum-nos slo estn acostumbrados al trabajo en uno de ellos (el algebraico). Esta delimitacin nos permiti reducir el campo de estudio, simplifi cando la cantidad de hechos a observar.

Ponemos nfasis en el hecho de que, a pesar de encon-trarnos elaborando una ingeniera didctica sobre el concepto de integral impropia, los datos aqu presen-tados abordan una problemtica de aprendizaje y no de enseanza. En este aspecto, el diseo de un modelo de competencia cognitivo para caracterizar el nivel de comprensin de los alumnos de los procesos bajo estudio facilita enormemente el estudio cualitativo que se pre-tende desarrollar.

Lo explicitado anteriormente se concreta en los siguien-tes objetivos: Analizar el trabajo que desarrollan los alumnos de pri-mer curso de la licenciatura en Matemticas de nuestra universidad cuando se ponen en juego dos registros de representacin semitica (el algebraico y el grfi co) en tareas relativas a la integracin impropia.


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Elaborar un instrumento que, a partir del empleo de dos registros de representacin semitica, nos permita inda-gar en los conocimientos que tienen los alumnos sobre el concepto de integral impropia despus de recibir una instruccin tradicional.

Caracterizar los distintos niveles de comprensin del concepto de integral impropia mediante un modelo de competencia.

Identifi car difi cultades, obstculos y errores que surgen en los alumnos cuando aprenden los elementos de la in-tegracin impropia.

Evaluar el modelo de competencia utilizado.

Para tratar de ofrecer alguna respuesta a estas preguntas se elabor un marco terico para evaluar los niveles de comprensin de los alumnos cuando entran en juego los sistemas de representacin algebraico y grfi co. Con ayuda de este marco terico construimos un modelo de competencia con el que poder clasifi car los niveles de comprensin cuando slo entran en juego dos sistemas semiticos de representacin.

2. MARCO TERICO DE LA INVESTIGACIN

2.1. Bases del marco terico

Como se seala en el apartado anterior, en el plantea-miento de este anlisis cognitivo estamos ms intere-sados en los fenmenos ligados al aprendizaje de la integral impropia que en un problema de enseanza. Adems, nos centramos especfi camente en las activida-des que realizan los alumnos para conjugar dos sistemas de representacin, el grfi co y el algebraico, ligados al concepto de integral impropia. Por tanto, se ha elegido una aproximacin semitica a esta problemtica, entre todas las posibles. Por otro lado, al no abordar sino el uso de dos registros, no se pretende modelizar completamen-te la comprensin de la integral impropia.

Tal y como seala Duval (1993, 1995), consideramos que la distincin entre un objeto matemtico y su re-presentacin es fundamental para la comprensin de las matemticas. El uso de las diferentes representaciones semiticas de un objeto matemtico es, desde esta pers-pectiva, imprescindible para conseguir este propsito.

Bajo este enfoque, estamos interesados en localizar difi cultades, obstculos y errores que surgen de forma natural al realizar la conversin entre dos registros o al realizar manipulaciones dentro de uno de ellos.

Al considerar fenmenos ligados al aprendizaje de las matemticas, es necesario apoyarnos en una teora del aprendizaje para explicar estos fenmenos. En lo que sigue, se expondr de forma resumida los supuestos tericos bajo los cuales se ha realizado este anlisis cog-

nitivo (desarrollado extensamente en Gonzlez-Martn, 2002); se trata de determinar un modelo de competencia cognitivo, para lo que se adapt la propuesta que presen-ta Socas (2001) en relacin con el lenguaje algebraico, organizada en torno a los siguientes componentes:

a) estadios de desarrollo cognitivo de los sistemas de representacin;

b) la teora de Duval sobre los registros de representacin semitica y el funcionamiento cognitivo del pensamiento;

c) difi cultades, obstculos y errores en el aprendizaje.Estadios de desarrollo cognitivo

En el proceso en que se aprende a manejar correctamente un sistema de representacin semitico formal, se pue-den distinguir varios estadios de desarrollo cognitivo. Nosotros optaremos por la siguiente organizacin de estos estadios como sigue: estadio semitico, estadio estructural y estadio autnomo (Socas, 2001). Como ya se ha dicho, al slo interesarnos por las conver-siones entre los sistemas algebraico (formal) y grfi co, no pretendemos modelizar completamente la comprensin de las integrales impropias. Ms bien, los niveles de nues-tro modelo de competencia se referirn a los procesos de conversin de estos dos registros y a los procesos de trans-ferencia asociados. Esto quedar explcito ms adelante.

Teora de Duval sobre los registros de representacin semitica

Una defi nicin de lo que entendemos por las representa-ciones semiticas nos la da Duval (1993):Las representaciones mentales cubren al conjunto de imgenes y, globalmente, a las concepciones que un in-dividuo puede tener sobre un objeto, sobre una situacin y sobre lo que les est asociado.

Las representaciones semiticas son producciones constituidas por el empleo de signos que pertenecen a un sistema de representacin, el cual tiene sus propias restricciones de signifi cado y de funcionamiento.

Una fi gura geomtrica, un enunciado en lengua natural, una frmula algebraica, una grfi ca, son representaciones semi-ticas que pertenecen a sistemas semiticos diferentes.

Duval contina profundizando sobre esta idea hasta llegar a caracterizar un registro de representacin de la forma que sigue:

Un sistema semitico puede ser un registro de represen-tacin si permite tres actividades cognitivas relacionadas con la semiosis7:

1) La formacin de una representacin identifi cable como una representacin de un registro dado.

2) El tratamiento de una representacin, que es la



transformacin de la representacin dentro del mismo registro donde ha sido formada. El tratamiento es una transformacin interna a un registro.

3) La conversin de una representacin, que es la trans-formacin de la representacin en otra representacin de otro registro en la que se conserva la totalidad o parte del signifi cado de la representacin inicial. La conversin es una transformacin externa al registro de partida.

Duval enuncia que, al ser cada representacin parcial con respecto a lo que representa, se debe considerar como absolutamente necesario la interaccin entre diferentes representaciones para la formacin del concepto. Se pue-de decir, entonces, que un concepto se va construyendo mediante tareas que impliquen la utilizacin de diferentes sistemas de representacin y promuevan la articulacin coherente entre representaciones. Desde esta orientacin terica, el conocimiento de un individuo sobre un concep-to es estable si es capaz de articular diferentes representa-ciones del concepto libre de contradicciones.

Diversos autores, como Hitt (2000a), consideran que no slo son importantes las tareas de transformacin dentro de un registro de representacin y las de conversin entre registros, sino que tambin aparece como importante la confrontacin entre ejemplos y contraejemplos. Por otro lado, el trabajo de Duval no menciona los aspectos re-lativos al papel de las representaciones en la resolucin de problemas. Bajo estos aspectos tericos, cobra gran importancia la nocin de transferencia, que se muestra esencial en el terreno de la resolucin de problemas.

Para evaluar los procesos de transferencia ideamos algunas preguntas donde se utilizan expresamente conocimientos anteriores, pero en un contexto nuevo. Intentamos con esto estudiar cmo realizan los alumnos las transferencias necesarias para solucionar las nuevas cuestiones (en caso de abordarlas).Difi cultades, obstculos y errores

Socas (1997) distingue cuatro elementos bsicos como productores de difi cultades en el currculo de matem-ticas: las habilidades necesarias para desarrollar capa-cidades matemticas que defi nen la competencia de un alumno en matemticas, la necesidad de contenidos an-teriores, el nivel de abstraccin requerido y la naturaleza lgica de las matemticas escolares. De forma detallada, stas pueden ser organizadas de la siguiente forma:

Difi cultades asociadas a la complejidad de los objetos de las matemticas.

Difi cultades asociadas a los procesos de pensamiento matemtico.

Difi cultades asociadas a los procesos de enseanza de-sarrollados para el aprendizaje de las matemticas. Difi cultades asociadas a los procesos de desarrollo cog-nitivo de los alumnos. Difi cultades asociadas a actitudes afectivas y emocio-nales hacia las matemticas.

Las dos primeras se relacionan con la propia disciplina, la tercera con los procesos de enseanza, la cuarta con los procesos cognitivos de los alumnos y la quinta con el terreno afectivo.

Estas difi cultades se relacionan y forman redes en las que se refuerzan, concretndose en la prctica en forma de obstcu-los y manifestndose en forma de errores. Socas (1997) pro-porciona tambin algunas caractersticas de los obstculos:

Un obstculo es un conocimiento adquirido, no una falta de conocimiento.

Tiene un dominio de efi cacia y se utiliza para producir respuestas adaptadas a un cierto contexto.

Cuando este conocimiento se utiliza fuera de su contex-to, genera respuestas inadecuadas, incluso incorrectas.

Es resistente y resultar ms resistente cuanto mejor adquirido est o cuanto ms haya demostrado su efi cacia y su potencia en el anterior dominio de validez.

Despus de haber notado su inexactitud, contina ma-nifestndose espordicamente.

Con frecuencia los errores se manifi estan durante la mani-pulacin de una representacin dentro de un mismo sistema de representacin, que generalmente es el algebraico. Otro tipo de error se puede presentar cuando hay una eleccin inadecuada de un sistema semitico al resolver un pro-blema matemtico. Tambin, como seala Duval (1993), muchas de las difi cultades encontradas por los estudiantes en diferentes niveles del currculo pueden ser descritas y explicadas como una falta de coordinacin de registros de representacin. Adems, la construccin inadecuada de un concepto se puede deber a una carencia de articulacin en-tre diferentes registros semiticos de representacin.

La complejidad de las difi cultades del aprendizaje de las matemticas se traduce en errores que cometen los alumnos, que se producen por causas muy diversas. Es necesario, desde los modelos de competencia, tener ele-mentos de anlisis de estos errores; pero este anlisis no se puede hacer en forma aislada, sino mediante activida-des que intenten esclarecer las posibles conexiones (arti-culaciones) realizadas por ellos durante la construccin de algn concepto dado.

2.2. Modelo de competencia

Desde nuestro enfoque terico, y con los instrumentos diseados, defi nimos la competencia como la articula-cin coherente de diferentes registros semiticos; ser competente signifi cara articular coherentemente las diferentes representaciones de la integral impropia al en-frentarse a la resolucin de problemas no rutinarios.

Como ya hemos comentado, hemos extendido los dife-rentes estadios de desarrollo que se dan en los sistemas de representacin cognitivos en el caso del lenguaje algebraico (Socas, 2001) a la coordinacin entre dos



registros en nuestro caso particular. De esta forma, ya no hablaremos de niveles dentro de un mismo registro, sino de niveles en la coordinacin entre dos registros8. En cada estadio distinguiremos dos categoras de com-portamiento, obteniendo las siguientes categoras, que hacen referencia a las posibles articulaciones entre dos registros en cuestiones sobre integracin impropia:

Nosotros solamente consideramos los registros de re-presentacin grfi co y algebraico, a los que se aade necesariamente el de la lengua natural, en las cuestiones utilizadas en las entrevistas, que son los siguientes:

Representaciones en lenguaje habitual (H)Representaciones en lenguaje formal (algebraico) (F)9Representaciones en lenguaje visual grfi co (G)Por tanto, las acciones que distinguiremos sern:

Esta notacin es utilizada para describir las tareas espera-das en los alumnos entrevistados en las cuestiones que se les plantearon y tratar de ubicarlos en alguna de las seis categoras de comportamiento descritas anteriormente; la valoracin sobre el conocimiento de los estudiantes se analiza sobre actividades que intenten esclarecer las posibles conexiones (articulaciones) realizadas.

3. METODOLOGA

3.1. La poblacin

Participan en la experiencia 31 estudiantes, de los que 13 son hombres y 18, mujeres. Los alumnos cursan asignaturas de primer ao de la titulacin en Matemti-cas y todos estn matriculados en la asignatura Anlisis Matemtico II, que es la asignatura donde se tratan los contenidos propios a la integracin en una variable y, en particular, los relacionados con la integracin impropia. Se distribuyen en dos grupos, tal como se muestra en la siguiente tabla.

Tambin sabemos que para la mayora de los alumnos es el segundo ao que cursan esta asignatura.

3.2. Instrumentos de recogida de la informacin

Conscientes del inters y la riqueza que aporta el anli-sis cualitativo en una investigacin como sta, desde el principio se plante el uso de cuestionarios y entrevistas para realizar nuestro estudio. Esto se convirti en una ne-cesidad an mayor despus de realizar la prueba escrita y analizar las respuestas obtenidas. La informacin que se pudo obtener de las entrevistas grabadas a partir de los datos del cuestionario result mucho ms rica que la que obtuvimos de la correccin de las respuestas escritas en el papel.

Por tanto, se utilizaron dos instrumentos para recoger la informacin: un cuestionario de conocimientos y entre-vistas semiestructuradas. El cuestionario consta de nue-ve preguntas, incluyendo no slo tareas de clculo direc-to de integrales impropias y estudio de convergencia de integrales impropias, sino tambin cuestiones intuitivas y algunos resultados paradjicos. En particular, se pide interpretar la mayora de los resultados a los que se llega (Gonzlez-Martn y Camacho, 2002a, 2004; Gonzlez-Martn, 2002). Posteriormente se seleccionaron algunos alumnos para ser entrevistados y obtener informacin sobre los procesos y razonamientos que haban seguido

Categora 1AEl alumno tiene ideas imprecisas sobre la integral impropia y mezcla de forma incoherente diferentes representaciones semiticas.

Categora 1BEl alumno reconoce los elementos de un sistema de representacin semitico en relacin con la integral impropia.

Categora 2AEl alumno conoce un sistema de representacin semitico y realiza transformaciones en el interior del sistema de representacin.

Categora 2B

El alumno realiza correctamente actividades de conversin de un sistema de representacin se-mitico a otro; en estas actividades de conversin hay un sistema que el alumno controla, y facilita la conversin al otro.

Categora 3A

El alumno articula dos sistemas de representacin semiticos. Puede tomar cualquiera de ellos para signifi car correctamente al objeto integral impropia independientemente del otro. El alumno maneja autno-mamente los dos sistemas de representacin semiticos.

Categora 3B

El alumno articula coherentemente diferentes sis-temas de representacin semiticos, ejerce un con-trol de las representaciones semiticas que utiliza. Tiene conocimiento de la integral impropia como estructura y puede controlar aspectos coherentes e incoherentes del mismo.

Reconocimiento de los elementos de un sistema de representacin semitico

RH , RF , RG

Transformaciones internas en un registro de representacin semitico

TH , TF , TG

Conversiones (transformaciones externas) entre sistemas de representacin semiticos

CHF , CHGCFG , CGF

Coordinacin entre diferentes sistemas de representacin semiticos

CFG , CGFCHFCHG

Produccin de representaciones semiticas en la resolucin de una tarea

PSF , PSG

SEXOHombre Mujer

GRU

PO 1-A 9 9 18

1-B 4 9 1313 18 31



en sus respuestas y las concepciones que tienen del obje-to integral impropia.

En este sentido, la necesidad de estudiar cuestiones rela-tivas a las respuestas obtenidas inicialmente nos condujo a utilizar, como protocolo de las entrevistas, las pregun-tas planteadas en el cuestionario. En el apartado 6 se explica detalladamente qu preguntas se seleccionaron y con qu objetivos.La tcnica usada fue la de entrevista basada en un cues-tionario10, en la que el entrevistado no slo interacta con el entrevistador, sino tambin con el conjunto de tareas que se le encomiendan (preguntas, problemas o actividades). En nuestro caso, las entrevistas no slo fueron audiograbadas, sino tambin videograbadas, ya que estbamos interesados en recoger gran cantidad de informacin11.

3.3. Seleccin de los entrevistados

La seleccin de los alumnos se hizo segn sus respuestas al cuestionario. Bsicamente, nos apoyamos en la com-binacin de los dos criterios siguientes: el desempeo total en la prueba o algunas representaciones o formas de proceder muy signifi cativas. En total se entrevist a 6 alumnos, lo que supone un 19,35% del total, casi la quinta parte. Los alumnos seleccionados cumplen las siguientes caractersticas:

Las entrevistas tuvieron una duracin variable, segn las respuestas de los alumnos. Estimamos que la ms corta (MA5) dur alrededor de treinta y cinco minutos y que la ms larga (MA1) dur una hora y veinte minutos.De las nueve preguntas de que consta el cuestionario se seleccionaron cinco preguntas para la entrevista y se aadi una ms. Para cada entrevista se llev la prueba de conocimientos del alumno entrevistado para hacerle preguntas particulares sobre lo que haba escrito y, si realizaba algn cambio, averiguar las razones. Adems, tambin serva para ayudar a algn alumno si se quedaba bloqueado.

4. ANLISIS DE LOS RESULTADOS A continuacin mostramos las seis cuestiones del proto-colo de las entrevistas junto con los objetivos propuestos con cada cuestin, comentando brevemente algunos de los resultados obtenidos en el cuestionario; formulamos las acciones esperadas segn nuestro modelo de compe-tencia, para fi nalmente analizar y discutir algunos datos obtenidos en la entrevista13.

Con esta pregunta se quiere saber si los alumnos tienen claro, o bien asimilado, el concepto del que se supone que se va a partir para construir el de integral impropia.

En el anlisis de los cuestionarios se haba obtenido que casi todos los alumnos la defi nen como un rea (29 de los 31 alumnos). Sabiendo que el registro de representacin grfi co va a estar muy presente en el resto de preguntas que se va a plantear, nos interesamos por saber si son coherentes con los registros que usan para defi nir la inte-gral y para operar con ella.

Tambin se observ en la prueba escrita que tan slo 4 alumnos aluden a que la integral defi nida es un rea slo si la funcin es positiva en el intervalo de integracin, y otros 4 se refi eren a que el intervalo de integracin sea fi nito. Con esta cuestin se pretende averiguar si no se ha puntualizado este detalle por mero olvido o si realmente los alumnos conciben que siempre debe ser un rea.

Por ltimo, pensamos que los alumnos se sentiran ms cmodos comenzando la entrevista con una pregunta que ellos consideraran, de antemano, fcil.

Las acciones que consideramos a priori, segn nuestro modelo de competencia, son las siguientes:

Pregunta 1

RH , RFCHF , CFGCFG , CGF

PSG

Anlisis y discusin

Un primer obstculo que observamos consiste en pensar que la integral es siempre un rea, independientemente del tipo de funcin; este tipo de obstculos ya ha sido detectado en el trabajo de Calvo (1997), entre otros. La alumna MA1 explica:

A: [...] Pues que es el rea comprendida... de la curva f(x)... [...] y el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b.

[...]

E: Es cierto? Para toda funcin? Es siempre el rea? Para toda funcin?A: ... S...

Alumno Grupo Sexo Resultado del cuestionario12

MA1

1-AMujer

Medio

MA2 Bajo

MA3

Hombre

Muy alto

MA41-B

Alto

MA5 Muy alto

MA6 1-A Alto

Pregunta 1

Cmo le explicaras a un compaero el signifi cado de ? b

af(x).dx



Adems, esta alumna defi ne ms adelante la integral como una aproximacin al rea. Esto puede estar unido al obstculo citado por Tall (1992b), en el que los alumnos ven el lmite como algo inalcanzable; pensamos que tambin puede estar relacionado con el uso del infi -nito potencial (Hitt, 2000b; Garbin, 1998).El estudiante MA3 da una defi nicin muy formal, pero concibe tambin la integral siempre como un rea14. Este alumno aborda todas las preguntas de forma claramente algebraica; no parece realizar correctamente las coordi-naciones entre los registros algebraico y grfi co (CFG y CGF). Resolvi todas las preguntas del cuestionario alge-braicamente, apenas recurriendo a lo grfi co, por lo que fue seleccionado para saber si simplemente prefi ere el registro algebraico o si tiene difi cultades con el registro grfi co.

En el caso de la alumna MA2, su defi nicin es opera-cional:

A: Bueno, pues la integral es eso, un modo de calcular... una forma de clculo... de... de... de un... un rea...

Pensamos que su conversin al sistema formal (CHF) es incompleta, pues su misma defi nicin de integral est a nivel de proceso. Pensamos que ve la integral como una herramienta para calcular el rea (un procedimiento, quiz una operacin), pero no como el rea misma. Esto ya se convierte en un obstculo para ella al abordar preguntas de corte no algortmico. Este tipo de comportamientos ha sido presentado por varios autores (Tall, 1994), relaciona-do con el uso generalizado de los smbolos matemticos de forma compresiva; muchos procesos matemticos se simbolizan y posteriormente este smbolo se trata como un concepto matemtico, pudiendo ser manipulado como un objeto mental15. Dada la gran cantidad de smbolos que representan tanto el proceso como el concepto, Tall intro-duce la defi nicin de procepto elemental como la amalga-ma de un proceso, un concepto relativo producido por tal proceso y un smbolo que los representa a ambos.

Evidentemente, la nocin de procepto conlleva una ambi-gedad, pues un smbolo puede ser interpretado como un proceso o como un objeto, que lleva a la fl exibilidad del pensamiento: se puede usar el proceso para hacer matem-ticas y obtener respuestas o utilizar el concepto para pensar en matemticas. Sin embargo, los alumnos que no han de-sarrollado esta fl exibilidad son incapaces de ver el smbolo como un concepto, sino solamente como un proceso.

sta es la nica cuestin nueva introducida en la entre-vista, con la fi nalidad de analizar los razonamientos de los alumnos en una situacin, en principio, desconocida para ellos. Tiene como objetivo averiguar qu tipo de transferencias hacen los alumnos de sus conocimientos de sucesiones y series a los de integracin impropia. Igualmente, aunque la pregunta est propuesta en un lenguaje verbal y algebraico, se pretende observar si uti-lizan el registro grfi co para abordarla, dado que es ms intuitivo caracterizar las funciones por su forma.

Las acciones esperadas en esta pregunta quedan refl eja-das as:

Pregunta 2

RH , RFTF

CHG , CFG , CGFCFG , CGF

PSG

Anlisis y discusin

Durante la entrevista con la alumna MA1 emergieron diversos obstculos y difi cultades que tiene esta alumna en relacin con el concepto de lmite y la diferencia entre serie y sucesin. En un primer momento, observamos que no realiza transferencia de los conceptos de sucesio-nes y comprobamos ms adelante que sus concepciones relativas a las nociones de lmite, sucesin y serie son inadecuadas; por ejemplo, la misma nocin de conver-gencia le ofrece serias difi cultades:

A: Pero no entiendo converger, porque no es... no es que sea... Ay, Dios! [...] ... pues lo de converger est fastidiao. Pero no es como... como una suma. No es una suma, no?

E: No, o sea... lo que tienes es... bueno, lo que tienes es primero la integral de uno a diez, que te da un nmero. Despus la integral de uno a veinte, que sera el segundo trmino de la sucesin.

A: Y qu es lo que tengo que ver para que converja?

Ms adelante, escribe en la pizarra una integral genrica y trata de clasifi carla o aplicarle algn criterio (aparentemente, sabe algunos enunciados de memoria) sabiendo las condiciones que cumple. Por tanto, parece darle gran importancia al trabajo en el registro formal.

La alumna MA2 tiene tambin en esta pregunta diversas difi cultades. Pensamos que, principalmente, se deben a la ausencia de signifi cado de los trminos relativos a se-ries y sucesiones. Por ejemplo, si se le pregunta cundo es convergente una sucesin, responde que cuando tiene lmite. Sin embargo, si se le pregunta qu quiere decir tener lmite, no sabe responder. Por tanto, las tareas de transferencia quedan interrumpidas por esta defi ciencia, y las acciones TF no puede llevarlas a cabo correcta-mente.

La forma de enfrentarse a esta pregunta del alumno MA3 fue totalmente formal y muestra que las transferencias

101f (x)dx

Pregunta 2

Sabemos que f(x) es una funcin continua y estrictamente positiva.Supn que hemos calculado y que nos da una cantidadfi nita. Ahora calculamos y tambin nos da una cantidadfi nita, mayor que la anterior.Si seguimos calculando:

qu crees que suceder?Podr alguna vez converger esta sucesin? Qu tipo de funciones f(x) pueden dar lugar a una sucesin convergente?

201f(x)dx

301 f (x) dx,

501 f (x) dx,

401 f (x) dx,

1 f (x) dx

10-n1 f (x) dx



dentro del registro algebraico no le resultan muy difci-les. Sin embargo, cuando se le pide explcitamente que cambie al registro grfi co, este alumno no es capaz de coordinar los resultados e intuiciones que tena formal-mente:

E: Y se te ocurre algo sobre la forma que tienen que tener las funcio-nes? Se te ocurre algo?A: Buffff...E: No la ecuacin, sino la forma, o qu forma... si hay alguna forma que s, o alguna forma que... que no.[...]A: No estoy en condiciones para... Pero... No s, cuando son polino-mios o... yo me atrevera a decir que... si un polinomio, eh... O no un polinomio, sino la inversa de un polinomio. [Seala a la familia 1/xn que ya tena escrita.]

Finalmente, se escabulle del registro grfi co para pasar al algebraico. Aunque es capaz de sealar funciones que no, no sabe decir por qu, ni aporta alguna interpretacin grfi ca para que esto suceda.

El alumno MA6 abord esta pregunta directamente en el registro grfi co, pero afi rma:

E:[...] Se te ocurre alguna caracterizacin de las funciones, alguna condicin que tengan que cumplir?...crees que no se puede imponer nada...? [...] A: Una funcin tal que el lmite cuando x tiende a infi nito de f(x) sea igual cero. [Mientras lo escribe.] 16. No s... [Se encoge de hombros].E: Por qu?A: Mm... hombre, estoy diciendo que se acerque mucho al cero. [Sea-la la asntota de su curva.]E: Aj.A: ...pero no slo por eso. Yo qu s, tambin una funcin que el lmite sea cero no tiene por qu... por qu converger. Entonces sera una condicin que sera... [Seala el lmite que escribi.] interesante para el asunto.

Probablemente el hecho de pensar que es necesario que la funcin tienda a cero para que su integral converja venga provocado por el poco uso del registro grfi co y de contraejemplos adecuados durante el proceso de aprendizaje.

En esta pregunta los objetivos son los mismos que en la prueba escrita, es decir, ver cmo se enfrentan los es-tudiantes al clculo de integrales impropias sencillas y enfrentarlos a un resultado paradjico, pero de forma encubierta, para analizar cuntos se dan cuenta de ste.

Las acciones esperadas son las siguientes:

Pregunta 3

RFTF

CFG

Anlisis y discusin

La alumna MA1, al abordar la segunda integral, dice: Esto es el volumen, no? y dice que lo sabe porque es la frmula. Sin embargo, luego no sabe exactamente con respecto a qu eje gira la funcin y concluye que da igual hacerla girar respecto de un eje que del otro, porque es simtrica: de donde se observa una nueva carencia de signifi cacin de los conceptos previos y en el uso del registro grfi co.

El entrevistador decide averiguar el alcance de su intui-cin o si ha dotado de signifi cado a los ejemplos que se han resuelto en clase:

E: Recuerdas lo que te dio la integral de antes?A: Infi nito...E: Infi nito. Y qu representa sta?A: El volumen...E: Y, entonces, me puedes decir algo del resultado sin haberla hecho? O... no me puedes decir nada?A: Ah, que el volumen es infi nito [... ] El volumen de una cosa infi nita es infi nito. Si t tienes una cosa muy grande, muy grande, muy grande, y la haces girar, girar, girar... pues se ir expandiendo, por todos los lados... no?

Observamos aqu el obstculo que denominamos de liga-cin a la compacidad, ya que parece que la alumna slo concibe un volumen como fi nito si la fi gura es cerrada y acotada. Tambin creemos que nos encontramos con el obstculo de homogeneizar dimensiones, consistente en creer que las propiedades de una fi gura en un nmero de dimensiones se mantienen al aumentar o disminuir este nmero; as, una fi gura de rea infi nita debera engendrar un volumen infi nito (Gonzlez-Martn, 2002).La alumna MA2, para calcular, divide la integral:

y se queda slo con la primera de ellas, despreciando la segunda, pues es la primera integral la que indica el carcter y, si calculamos la primera integral, tenemos el problema resuelto. Esta forma de proceder es fruto de un error de interpretacin de un criterio de convergencia17 y revela errores algebraicos y falta de coordinacin entre los registros algebraico y grfi co, pues no se da cuenta de que est afi rmando que el rea en [2, ) equivale al rea en [2, 3). Cuando se le pide que explique un poco ms su proce-dimiento para resolver la integral, explica que se usa para determinar su carcter; que se toma un valor cualquiera en el intervalo de integracin [2, ) y se separan las inte-grales, siendo la primera la que se toma. En sus palabras: [] tom 3, pero poda haber tomado 35.El alumno MA4 es de los diez alumnos que, en el cues-tionario, enuncia que una integral representa el rea y la

Limx

f(x) = 0

Pregunta 3

Calcula las siguientes integrales:

Interpreta geomtricamente los resultados. Hay alguna relacin entre ambas integrales?

=2 x-1dx 3 +2 x-1

dx 3 x-1dx

dx2 x-11 dx2 (x-1)

1. 2



otra, el volumen de la misma funcin; y es de los tres alumnos que enuncian claramente que el rea puede ser infi nita y el volumen, fi nito. Adems, realiza correcta-mente la coordinacin entre los registros formal y grfi -co para interpretar geomtricamente el resultado, aunque afi rma que, aunque contradice la intuicin, se fa de lo que le dicen las herramientas algebraicas:

A: He intentado ver lo que signifi ... por qu eso es as, pero... Matem-ticamente est correcto [Seala los clculos.], pero... A la hora de verlo as, en la grfi ca... Un poco raro... Raro es.

El obstculo en el registro grfi co puede deberse a la tendencia a transferir las propiedades del rea a las del volumen generado (que denominamos homogeneizar dimensiones).

A esta cuestin, en el nivel acadmico de nuestros estu-diantes, se le puede dar respuestas correctas razonando, al menos, de dos formas diferentes. En el registro alge-braico, se ha calculado como una integral de Riemann, una funcin que presenta una discontinuidad esencial en el intervalo. Grfi camente tambin resulta obvio que el resultado es errneo, ya que la funcin es estrictamente positiva y, sin embargo, se obtiene un resultado negativo para su integral.

Nuevamente, estamos interesados en ver qu registro es el elegido por los alumnos para enfrentarse a esta situa-cin, a pesar de que la mayora defi ne la integral como un rea.

Las acciones que se espera que los alumnos desarrollen son:

Pregunta 4

RFTF

CFG , CG FPSG

Anlisis y discusin

La alumna MA1 utiliza un criterio de convergencia con el fi n de calcular el valor de la integral, al igual que la alumna MA2 en la pregunta anterior. Ella dice que se puede proceder, en general, del siguiente modo:

porque hay un teorema que deca algo as18.

En este caso, los errores cometidos se deben a una mala

interpretacin de las herramientas formales, usndolas en situaciones que no les corresponde.

Esta pregunta ofrece directamente un resultado para-djico a los alumnos. Sin embargo, en la prueba escrita pareci que algunos lo abordaban con total naturalidad (32,25 %). Se trata de un enunciado que, restringido al registro algebraico, puede no resultar tan paradjico; sin embargo, cuando se interpreta grfi camente, se muestra con toda su confl ictividad.

Las acciones a desarrollar son las que aparecen en el siguiente cuadro:

Pregunta 5

RH , RG , RFTF

CHG , CHF , CFG , CGFCFG , CGF

PSF

Anlisis y discusin

La alumna MA2 es un buen ejemplo de los confl ictos cognitivos que genera esta cuestin; al interpretar el re-sultado, afl oran los problemas.

A: Pero es que yo lo que no entiendo es eso. Cmo... cmo podemos decir... que...? O sea, cmo podemos darle un nmero a algo que es infi nito... se supone... Eso es lo que nunca he entendido yo [...] Esta funcin es infi nita, se supone, no est acotada, es infi nita...E: Aj.A: ...y me dicen que eso tiene un volumen de un nmero... [Mira al en-trevistador y se encoge de hombros.] No lo entiendo por qu me puedes asegurar eso, sabes?... Que no...

Observamos nuevamente la presencia del obstculo que denominamos ligacin a la compacidad. La alumna no puede siquiera concebir el procedimiento de calcular un rea o un volumen de una fi gura de forma infi nita. Pensa-mos que esto se relaciona con su incapacidad de concebir una integral con uno de los lmites de integracin varia-

b0 f (x) dx =

b1 f (x) dx =

10 f (x) dx+

b1 f (x) dx

despreciable

Pregunta 5

La siguiente fi gura muestra el resultado de hacer girar la curva y = ex alrededor del eje OX.Si siguiramos prolongando la fi gura hacia la izquierda,qu volumen crees que encerrara?

Para comprobar tu intuicin, lo calcularemos. Cada seccin circular tiene un radio de ex. Por tanto, el rea de cada seccin es:

A(x) = .(radio)2 = . (ex)2 = . e2x.Si sumamos ahora todas las reas, obtendremos:

Qu sucede? Interpreta el resultado.

Pregunta 4

Por qu el siguiente clculo es obviamente errneo?

1 =-1 x2

dx 1 =-1 x

-2dx-1x-1 1

-1 x

-1 1

-1=

1-1

=

-1-1

- = -2

1-A(x)dx = 1be2xdx.

1-.e2xdx = .lim

b-V(x) =



ble; incluso puede que sea el propio concepto de lmite el que est en juego. Opinamos que esto se puede deber a sus limitaciones tambin para asimilar procesos infi -nitos. Probablemente su concepcin del infi nito, incluso en los clculos de lmites, sea de un infi nito potencial, al que nunca se puede llegar.

El alumno MA3 afi rma con seguridad que se trata de una funcin con rea infi nita y volumen fi nito; no sabemos a qu se debe que considere que el rea es infi nita, pues afi rma intuitivamente que, por ser una exponencial, el volumen ser fi nito. El camino de lo grfi co a lo formal lo realiza con ausencia de algunos signifi cados.

Esta pregunta slo es respondida de la forma esperada en la prueba escrita, esto es, estableciendo la relacin explcitamente entre las integrales, las series y utilizando la grfi ca adjunta, por un alumno de los 31 que rellena-ron el cuestionario (el alumno MA5). ste fue uno de los motivos para incluirla en la entrevista, ya que queramos averiguar las razones por las que algunos alumnos no la haban abordado (incluso algunos con un rendimiento alto en el conjunto de la prueba). Tambin nos pregunta-mos si, con alguna pista, los alumnos podran establecer las relaciones precisadas.

En esta pregunta se aborda de forma explcita una rela-cin entre series e integrales; nuevamente, es necesaria la combinacin de los registros grfi co y algebraico para obtener toda la riqueza de esta relacin.

Aparentemente, la grfi ca haba sido desechada por la gran mayora de los alumnos participantes. Nos pregun-tamos tambin por qu se prefi ere trabajar exclusiva-mente en el registro algebraico en una pregunta en que se pide de forma explcita que se use una grfi ca; una de las dudas que se nos planteaba era si esto se debe a la no-transferencia del conocimiento sobre las series o a la no-adecuada transferencia del conocimiento sobre integracin al registro grfi co.

Las acciones esperadas quedan resumidas como si-gue:

Pregunta 6

RG , RFTF , TG

CFG , CGFCFG , CGF

PSF , PSG

Anlisis y discusin

La alumna MA1 no ve ninguna relacin entre los sumato-rios y las integrales a primera vista y luego piensa si tendr que ver con la particin19. Ms adelante comenta que la grfi ca le dice que esto sigue pall (hacia ms infi nito). Por tanto, en un primer momento no reconoce la infor-macin proporcionada en el registro grfi co, y tampoco realiza transferencia ninguna de series a integrales.

Un poco despus dice:

A: Pero las integrales se asocian con los lmites, no con los sumatorios sos...

De donde podemos inferir que su concepcin de integral no est desarrollada del todo, adems de que no realiza transferencias adecuadas.

Ms adelante, vuelve a presentarse el obstculo de ho-mogeneizar dimensiones, consistente en suponer que las propiedades que tiene un rea se heredan al volumen que sta genera; en este caso, la infi nitud. Pensamos que, en esta situacin, el obstculo va ligado directamente al que denominamos de ligacin a la compacidad, pues es el hecho de que la fi gura tenga una forma infi nita lo que hace que la alumna reaccione como lo hace:

A: No s por qu... [Pausa, mirando las preguntas.] No s por qu... sale esto... El rea es infi nita y el volumen es fi nito20 [Para ella.] Pero el vo-lumen no se supone que es ms grande?... Son muchas reas sumadas... [Pausa] No s... Pues ya est [Sigue mirando ambas preguntas.]... Pero es que es eso, lo que te dije... Por qu a veces se desprecia y a veces no?... No lo s, no s. [Mira al entrevistador.]

El comportamiento del alumno MA3 es signifi cativo, pues rechaza expresamente la informacin dada por la grfi ca; l mismo reconoce que no la utiliza en su desa-rrollo.

El alumno MA4 relaciona rpidamente las integrales con las sumas:

A: A ver, las integrales tienen que ver con el sumatorio... en que... la in-tegral lo que hace es sumar. Sumar rectngulos. Infi nitos rectngulos.E: Aj.A: Pues... Y por eso coinciden. Porque coinciden, no? [Dice para s; se queda leyendo el papel.]

Sin embargo, como observamos, el proceso de transfe-rencia que realiza de su conocimiento sobre series a esta nueva situacin no es del todo correcto, pues cree que el resultado de las sumas coincidir con el valor de las integrales21.

En un primer momento, no es capaz de interpretar el signifi cado de los rectngulos que aparecen en la grfi ca. Por tanto, opinamos que, en este punto, el alumno no est coordinando la representacin grfi ca con la informacin algebraica de que dispone. Tras recibir alguna pista, tra-baja de forma adecuada.Esta pregunta es la nica que el estudiante MA6 deja en

Pregunta 6

Sabemos que

En vista de estos resultados,

qu puedes decir del valor de ?

Aydate de la grfi ca adjunta.

n=1

1n =

n=1

1n2

=

2

6y

dx y 1 x1 dx1 x2

1



blanco en el cuestionario. Ya durante la entrevista nos aclar que se vio falto de tiempo y por eso no intent nada en esta pregunta.

El estudiante reconoce que, en un primer momento, piensa que las integrales deben coincidir con el valor de las sumas, lo cual puede deberse a un proceso errneo de transferencia. Tambin comenta que se le ocurre abordar la pregunta algebraicamente, aunque prefi ere buscar otro enfoque. Sin embargo, al enfrentarse a la segunda inte-gral, realiza incorrectamente la transferencia del primer ejemplo al segundo. Intenta abordar la segunda integral como un volumen, por lo que necesita hacer girar tam-bin los rectngulos; no se da cuenta de que en ste con-viene abordar ambas integrales en el plano. Ante la duda, prefi ere volver al formalismo; tras alguna pista, hace un desarrollo similar al del primer caso.

5. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

5.1. En relacin con las preguntas de investigacin

Del anlisis de los cuestionarios escritos se desprenden ciertas evidencias de que los alumnos, para trabajar, pre-fi eren enunciados claros y directos, en el registro alge-braico, a pesar de las defi ciencias que muchos ofrecen en este registro. Las preguntas de razonamiento y aqullas en las que se peda una interpretacin de los resultados no fueron abordadas satisfactoriamente en general. Los alumnos prefi eren realizar clculos algebraicos a inter-pretar resultados.

Se observa que los estudiantes se quedan desconcertados cuando se les pide que defi nan el concepto de integral defi nida. Y no slo eso, sino que este hecho parece con-fundir a algunos. Muchas veces recurren expresamente a su memoria, y la frase no me acuerdo se repite a lo lar-go de las entrevistas. Los alumnos prefi eren enunciados de tipo algortmico y con instrucciones claras de lo que se les pide. Adems, cuando las cuestiones no algortmi-cas presentan otro registro de representacin (en nuestro caso, el grfi co) producen grandes difi cultades en los alumnos, que no estn acostumbrados a trabajar en este registro (Calvo, 1997). De esta manera, preguntas que requieren trabajar explcitamente en un registro distinto del algebraico son abandonadas por un gran nmero de estudiantes.

Las entrevistas evidencian que el empleo de grfi cas para ayudarse en sus razonamientos no es una herramienta demasiado habitual. Adems, en algunas ocasiones los estudiantes se resisten a explicitar las representaciones grfi cas.

El estudio, aunque de naturaleza distinta, confi rma los resultados de Orton (1983) con respecto a la preponde-rancia del pensamiento algebraico en los alumnos. Aun-que el registro algebraico ocasione grandes difi cultades a veces, es en el que estn acostumbrados a trabajar. Esto se desprende por su tendencia a usarlo incluso en cues-

tiones de ms fcil respuesta en el registro grfi co o en cuestiones de respuesta meramente verbal.

Algunos estudiantes ni siquiera reconocen el registro grfi co como un registro de trabajo matemtico, lo que provoca en algunos casos su incapacidad para trabajar en l. Sin embargo, el uso de este registro de forma ms activa durante la instruccin y en los ejercicios y problemas propuestos a los alumnos podra paliar este tipo de carencias. Aunque los alumnos a veces hagan interpretaciones de sus resultados, no estn acostumbra-dos a explicitarlas, por lo que este tipo de cuestiones les ofrece inseguridad. Por otro lado, tal como se ha visto, muchas veces no tienen claro el paso de lo algebraico a lo grfi co, lo que impide establecer conexiones entre el resultado obtenido y la interpretacin grfi ca.

Nuestros resultados tambin confi rman los expuestos por Eisenberg y Dreyfus (1991) en contextos diferentes, que tambin registran una clara reticencia de los alumnos a usar el registro grfi co, que requiere demandas cogniti-vas mayores.

En consecuencia, el hecho de que no suelan interpretar grfi camente los resultados que obtienen es un impedi-mento para que sean conscientes de algunos resultados paradjicos a los que se llega. En el cuestionario no queda claro si los alumnos son o no conscientes de estos resultados o si, simplemente, por resultarles desconcer-tantes prefi eren evitar comentarlos. Por el contrario, en las entrevistas vemos cmo estos resultados les ofrecen problemas que en algunos casos constituyen verdaderos obstculos. Algunos estudiantes se enfrentan a ellos apoyndose en el registro algebraico, en el que confan ciegamente. Se observa igualmente que los alumnos con menores difi cultades en las tareas de conversin parecen ser los que menos desconcierto muestran ante este tipo de cuestiones.

El uso de razonamientos intuitivos, tanto algebraicos como grfi cos, est relacionado con el nivel de compren-sin que se tiene de los conceptos que entran en juego, por lo que alumnos con grandes lagunas no suelen dispo-ner de estos razonamientos.

Las entrevistas ponen de nuevo de manifi esto que la grfi ca en el enunciado de la pregunta 6, en general, no aporta nada a los alumnos entrevistados. stos no saben cmo utilizar la informacin en ella mostrada, lo que revela nuevamente una ausencia de coordinacin entre el registro grfi co y el algebraico. Se pone de manifi esto que el paso de lo algebraico a lo grfi co ocasiona menos difi cultades que el proceso inverso.

Una correcta comprensin del concepto de integral im-propia necesita visualizar el clculo de reas como un proceso dinmico, ya que esta visin permite concebir la funcin integral y calcular su lmite. Tall (1992b) regis-tra que las diferentes representaciones de las funciones ocasionan difi cultades a los alumnos. Con ms motivo encontramos ausencia de coordinacin entre representa-ciones al abordar el concepto de integral impropia, que requiere del de funcin. Y coincidimos con Calvo (1997)



en que el hecho de visualizar e integrar diferentes re-presentaciones de un concepto no es algo que el alumno realice por s solo, sino que se debe aprender a hacer.

Las entrevistas muestran las defi ciencias de algunos alumnos en conceptos como el de lmite, que estn bien presentes en el tema de la integracin impropia. Esto confi rma resultados como los expuestos por Artigue (1995) y Tall (1992a, 1992b). Tambin el mismo concep-to de integral defi nida ofrece varias difi cultades, incluso en alumnos de nivel alto. El hecho de aprenderla como un rea genera un obstculo en algunos casos, pues se induce que siempre dar un valor positivo.

Tambin queda clara la falta de transferencia de unos conceptos a otros. Por ejemplo, nos encontramos con alumnos que no entienden por qu a veces se divide una integral impropia en dos y una de ellas se desprecia. Ade-ms de no tener claros los criterios y su uso, refl eja una ausencia de conexiones con la misma forma de proceder en el caso de las series numricas.

5.2. En relacin con las difi cultades, obstculos y errores

Una de las principales difi cultades que observamos proviene directamente de la ausencia de signifi cado de herramientas fundamentales para comprender este concepto, como el uso de lmites, la misma nocin de convergencia, la defi nicin de integral defi nida y algunas defi niciones bsicas de series y sucesiones (estudiantes MA1, MA2 y MA4). La nocin de convergencia y al-gunos conocimientos mnimos sobre sucesiones y series (cmo una suma infi nita puede dar fi nito, por ejemplo) emergen como conocimientos previos, sin los cuales difcilmente se podr adquirir adecuadamente una com-prensin del concepto de integral impropia.

Tambin la falta de coordinacin entre registros o el no-reconocimiento de uno de los registros, como en el alumno MA3, originan difi cultades a los estudiantes (MA4 y MA6) que aprenden los conceptos relacionados con la integracin impropia. Ya hemos comentado cmo algunas contradicciones les hacen dudar y cmo el uso del registro grfi co en el enunciado de las preguntas pro-duce un alto ndice de abandono.

Un obstculo que hemos registrado es el generado por la concepcin errnea de que la integral defi nida es siempre un rea y, por tanto, ha de dar un valor positivo (alum-nos MA1, MA2, MA3 y, en menor medida, MA6). Este obstculo ha sido detectado tambin por otros autores en otros contextos (Calvo, 1997; Turgano, 1998; Be-zuidenhout y Olivier, 2000). Adems, en algunos casos apreciamos una concepcin exclusivamente operativa de la integral defi nida.

Otro obstculo es el producido por el empleo de una con-cepcin esttica de los procesos lmite, adems del uso del infi nito potencial en lugar del actual (alumnos MA1 y MA2). En algunos casos, hemos detectado una concep-cin del lmite como una mera operacin algebraica, lo

que puede difi cultar la conceptualizacin del clculo del rea de una fi gura de aspecto infi nito.

Un obstculo que afl ora naturalmente en algunos resulta-dos contradictorios del clculo de integrales impropias es el que hemos denominado de ligacin a la compacidad (MA1 y MA2). Este obstculo parece estar determinado por la ausencia de coordinacin entre el registro grfi co y el algebraico, adems de por la falta de ejemplos y con-traejemplos en el campo de las series numricas.El obstculo ya mencionado de homogeneizar dimen-siones ( MA1) consiste en atribuir a un volumen las propiedades del rea que lo genera por revolucin. Pa-rece nuevamente que este obstculo se debe, entre otros factores, a la ausencia de coordinacin entre registros. Estos dos obstculos, relacionados entre s, parecen tambin relacionados con el obstculo de heteroge-neidad de las dimensiones (Schneider, 1991). Una de las manifestaciones de ste consiste en ver un volumen como una superposicin de superfi cies: Creo que es el mtodo ms intuitivo que se puede imaginar, pues siem-pre he imaginado un volumen como una superposicin de superfi cies. Por medio del estudio de las dos primeras dimensiones podemos encontrar la tercera, o un volumen es una superfi cie multiplicada por una altura. Una de sus consecuencias lleva a considerar que iguales perme-tros encierran reas iguales y que iguales reas llevan a igual volumen.

De este modo, si concebimos el volumen como com-puesto de distintas lminas y se sabe que el rea de la lmina generatriz (cuando se trata de un volumen de revolucin) es infi nita, se concluye que el volumen lo ser tambin.

Schneider relaciona tambin este obstculo con los pro-blemas que ocasiona el uso del infi nito actual. Nueva-mente, si el alumno concibe el volumen como un agrega-do de secciones planas, atribuir al resultado (el volumen sera el lmite del agregado de reas) las propiedades de los elementos (las secciones); nuevamente el volumen se concibe como forzosamente infi nito. Esto ltimo se describe en Tall (1992a, 1992b).En el caso de las integrales de funciones como 1/x y 1/x2, los alumnos las interpretan siempre como rea y volu-men de una misma funcin. Pero, cuando se trabaja en el plano, parecen incapaces de ver ambas integrales como reas (alumno MA6 en la pregunta 6). Se trata de un obs-tculo que parece nuevamente ligado a la coordinacin entre registros, pero, en este caso, a la no-fl exibilidad en la coordinacin.

Quiz sean necesarias actividades donde se trabajen con este tipo de situaciones y donde se conjugue el trabajo en dos y tres dimensiones.

Entre los errores analizados, destacamos tambin la caren-cia de signifi cado al malinterpretar los enunciados de algn teorema o criterio y utilizarlo en otro caso (MA1 y MA2). Este tipo de actuaciones puede llevar a resultados totalmen-te incoherentes. Por ejemplo, en el criterio de tomar slo la



cola de la integral para determinar su carcter, algunos estudiantes acaban pensando que es sta la que condensa el valor de la integral, por lo que acaban calculndola en un subintervalo de integracin pensando que obtendrn el valor de la integral total. Claramente, esta forma de actuar revela tambin una falta de coordinacin entre los registros grfi co y algebraico, adems de defi ciencias en la defi nicin de integral defi nida.

Otros errores tambin registrados son de problemas de sin-taxis puramente algebraicos. Algunos se deben a carencias de signifi cado de los alumnos en el uso de las propiedades de las operaciones aritmticas (alumna MA2) y otros los hemos considerado meramente casuales.

5.3. En relacin con el modelo de competencia

Despus de analizar todas las entrevistas de los alumnos, se hizo un anlisis de las acciones realizadas y no realizadas en todas las preguntas de la entrevista, obteniendo un paisaje global de su desempeo, que permiti la clasifi cacin de stos en las categoras de nuestro modelo de competencia, atendiendo al nmero total de acciones realizadas:

Alumno MA1 MA2 MA3 MA4 MA5 MA6Categora 1B-2A 1A-1B 2A 2B 3A 2A-2B

El modelo de competencia diseado nos puede ayudar a analizar explcitamente las acciones que los alumnos realizan en relacin con las que se espera que lleven a cabo cuando entran en juego los registros de representa-cin grfi co y algebraico en el aprendizaje de los concep-tos referentes a la integracin impropia.

Es necesario, sin embargo, concretarlo an ms al caso de dos registros de representacin, pues ha sido adapta-do directamente de otro trabajo en lenguaje algebraico (Socas, 2001). Esto implica resaltar las especifi cidades de nuestro estudio particular.

A pesar de ello, opinamos que el modelo de competencia utilizado en este estudio nos ha resultado extremadamen-te til para realizar una primera aproximacin al anlisis de la comprensin de los alumnos de la integral impro-pia. Adems, nos ha permitido examinar e identifi car algunas difi cultades y obstculos que nuestros alumnos presentan.

Ser motivo de posteriores trabajos el refi namiento de las categoras diferenciadas en nuestro modelo, adems del diseo y seleccin de tareas que nos ayuden a evaluarlo.

6. ALGUNAS CUESTIONES ABIERTAS

Una de las principales cuestiones que nos queda por resolver es qu sucede cuando entra en juego el registro numrico en las tareas que se exponen. Aunque utiliza-mos este registro en una de las cuestiones propuestas en el cuestionario, pensamos que su formulacin produjo un tipo de respuestas muy simples que puede no resultar muy fi able.

En posteriores experiencias habr que plantearse qu actividades deben resolver los alumnos para que entre en juego este registro y tambin cmo nos pueden ayudar stas a caracterizar el nivel de comprensin de nuestros estudiantes. El estudio del desempeo de los alumnos cuando interactan estos tres registros de representacin (algebraico, grfi co y numrico) y el tipo de conversio-nes y coordinaciones que pueden realizar es, sin lugar a dudas, un trabajo de mucha ms envergadura que ste. Sin embargo, ser importante plantear preguntas de investigacin similares que utilicen por separado los distintos registros de representacin.

Otra cuestin que emerge del estudio realizado es la de profundizar en los obstculos y difi cultades aqu caracterizados y localizados. Nos parece signifi cativa la labor de identifi cacin ms sistemtica de errores, difi cultades y obstculos de nuestros alumnos en el aprendizaje de los conceptos especfi cos de la integra-cin impropia, tratando de relacionarlos con otras in-vestigaciones previas y relacionarlos con otros tpicos matemticos. Resultara interesante una comparacin, por ejemplo, entre los obstculos y difi cultades detec-tados alrededor de la nocin de lmite o de integral defi nida y los que se detecten relacionados con la integracin impropia.

Como hemos indicado en este trabajo, nos interesbamos ms por un problema de aprendizaje que de enseanza y es en este sentido en el que aparece otra cuestin que nos parece fundamental. Una vez detectados diversos obst-culos y difi cultades que los alumnos presentan al apren-der el concepto de integral impropia y presentado un primer anlisis del nivel de comprensin de este objeto como concepto y herramienta de clculo, nos parece que llega el momento de plantearse qu hacer en la prctica con su enseanza.

La labor de disear una secuencia de enseanza-aprendi-zaje donde se explicite el uso de los distintos registros y se trabaje con ejemplos y contraejemplos se presenta no slo interesante, sino tambin importante. Nos pregunta-mos, adems: Sera factible que esta secuencia estuviera basada en el uso de un CAS (Computer Algebra System), usado como mediador en el proceso de enseanza-apren-dizaje del objeto integral impropia? Es en esta labor en la que nos encontramos en la actualidad.

NOTAS

* Este trabajo ha sido parcialmente fi nanciado por la Beca AP2000-2106 y el proyecto DGI BXX2000-0069 del MCT.1 En particular, nuestra experiencia se centra en alumnos de la titula-

cin de Matemticas.2 Suele ser la integral que se estudia en los primeros niveles universita-

rios, en general, y la que se introduce normalmente en el bachillerato.3 Un contraejemplo clsico viene dado por la funcin de Dirichlet.

4 Esta pregunta coincide con nuestra primera pregunta, tanto del cues-

tionario como del protocolo de las entrevistas.5 Aunque, en nuestra opinin, sus respuestas son dudosamente correc-

tas. Cuatro alumnos la defi nen como el rea entre la grfi ca y el eje x entre x = a y x = b, que no tiene en cuenta los cambios de signo de la



funcin; y tres como , defi nicin operativa y que obvia varias condiciones.6 En el sentido dado al trmino en Monaghan y otros (1999) y Gonz-

lez-Martn y Camacho (2004).7 Defi nida sta como la aprehensin o la produccin de una represen-

tacin semitica.8 De esta forma, no se consideran evoluciones en el uso del registro

algebraico (1 el estudiante usa los signos nuevos con el signifi cado de los antiguos, 2 estructura el nuevo sistema con la organizacin del an-tiguo; y 3 los signos actan con signifi cados propios), sino evolucio-nes en el uso de dos registros (1 el estudiante usa un registro de forma incoherente, 2 se comienza el trabajo en un registro y las primeras coordinaciones con otro; 3 se articulan los dos registros). 9 En lo que sigue, nosotros usaremos el trmino algebraico, aunque

mantenemos el subndice F por continuidad con otros trabajos de otros autores donde se usa esta notacin.10

O task-based interview, trmino usado en la literatura anglosajona. Vase, por ejemplo, Goldin (2000).11

Nos parecen importantes no slo los comportamientos verbales, sino tambin los no verbales, para realizar inferencias sobre el pensamiento matemtico y el aprendizaje de los entrevistados.12

Esta categorizacin se basa en la puntuacin que se dio a cada prueba para que el profesor de la asignatura pudiera tener en cuenta los resul-tados de sta en la nota fi nal de la asignatura.13

Los fragmentos de entrevista escogidos lo han sido por considerarse que ilustran algunas de las difi cultades, obstculos y errores de nuestra

primera clasifi cacin. Para un anlisis y comparacin ms exhaustivos entre las respuestas obtenidas en las seis entrevistas, consultar Gonz-lez-Martn (2002).14

Incluso al fi nal de la entrevista se le propone una integral muy sencilla de una funcin lineal que cambia de signo en el intervalo de integracin, con resultado negativo. Cuando ve este resultado, decide separarla en dos y cambiarle el signo a la integral negativa, para obte-ner un rea positiva.15

El proceso cognitivo por el cual los procesos se conciben y se vuel-ven objetos manipulables se denomina encapsulacin.16

Sin embargo, esta condicin, aunque no es sufi ciente, ni siquiera resulta ser necesaria. Pero opinamos que, en este nivel, es la idea ms intuitiva para los alumnos.17

En particular, el criterio afi rma: Sea a > 0, f localmente integrable en [a, ) y f(x) 0, x [a, ). Sea . Entonces. si, ^k > 1 converge; si 0 k 1 , diverge. Para utilizar este criterio, si se tiene una integral que comienza en 0, se sepa-ra en dos y se aplica el criterio a la segunda de ellas.18

Vuelve a hacer referencia al criterio nombrado anteriormente.19

Observamos, en general, una tendencia de los alumnos a identifi car la serie asociada a una funcin (f(1) + f(2) + f(3) + ... = ) con sus sumas de Riemann y, por tanto, con su integral.20

Al comparar los valores de

21 Al igual que la estudiante MA1, identifi ca la serie asociada a una

funcin con sus sumas de Riemann y, por tanto, con su integral.

baf(x)dx = F(b) - F(a)

af(x)dx

af(x)dx

n=1

f(n)

dx y 1 x1 dx.1 x2

1

=lim xk.f(x)x-



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REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS

[Artculo recibido en noviembre de 2003 y aceptado en noviembre de 2004]

Documents

02124521v23n1p81 SOBRE LA COMPRENSIÓN EN ESTUDIANTES.pdf