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HORMIGON ARMADO IIHORMIGON ARMADO II
LOSAS APOYADAS EN LOS LOSAS APOYADAS EN LOS BORDESBORDES
LOSASLOSAS
1.0 INTRODUCCIÓN1.0 INTRODUCCIÓN
Las losas son subsistemas horizontales cuya función Las losas son subsistemas horizontales cuya función principal es resistir cargas verticales directas y distribuir principal es resistir cargas verticales directas y distribuir estas cargas en subsistemas verticales.estas cargas en subsistemas verticales.
En chile se estudian las losas como subsistemas horizontales independientes, En chile se estudian las losas como subsistemas horizontales independientes, apoyadas generalmente en todos sus bordes con elementos de gran rigidez apoyadas generalmente en todos sus bordes con elementos de gran rigidez flexuralflexural
Las losas de concreto reforzado de los tipos expuestos en las figuras Las losas de concreto reforzado de los tipos expuestos en las figuras se diseñan casi se diseñan casi siempresiempre para cargas que se suponen distribuidas de manera uniformepara cargas que se suponen distribuidas de manera uniforme sobre la totalidad de sobre la totalidad de uno de los paneles de la losa, limitadas por las vigas de apoyo o por los ejes entre centros uno de los paneles de la losa, limitadas por las vigas de apoyo o por los ejes entre centros de columnas. de columnas.
Las pequeñas cargas concentradasLas pequeñas cargas concentradas pueden absorberse mediante la acción en dos pueden absorberse mediante la acción en dos direccionesdirecciones
Por lo general, Por lo general, las grandes cargas concentradaslas grandes cargas concentradas requieren vigas de apoyo. requieren vigas de apoyo.
PLACASPLACAS• Estructura limitada por 2 planos paralelos de separación h, dondeEstructura limitada por 2 planos paralelos de separación h, dondeh << b , ah << b , a
• Generalmente están diseñadas para recibir cargas perpendiculares a su plano Generalmente están diseñadas para recibir cargas perpendiculares a su plano medio.medio.• Los esfuerzos generados en las placas son generalmente de flexión.Los esfuerzos generados en las placas son generalmente de flexión. Si h/a < 1/5 => placas delgadas (esfuerzos de flexión)Si h/a < 1/5 => placas delgadas (esfuerzos de flexión)Si h/a > 1/5 => placas gruesas (estado triaxial de Tensiones, no las estudiaremos)Si h/a > 1/5 => placas gruesas (estado triaxial de Tensiones, no las estudiaremos)
Donde “a” es la dimensión menor de la placaDonde “a” es la dimensión menor de la placaEs importante controlar sus deformaciones, para que no se produzcan tensiones de Es importante controlar sus deformaciones, para que no se produzcan tensiones de
membrana (cáscaras) que se superponen a las flexionesmembrana (cáscaras) que se superponen a las flexiones
δδ/h < 1/5/h < 1/5
aa
bb
hh
δδ
CLASIFICACION DE PLACASCLASIFICACION DE PLACAS
Según su forma:Según su forma: cuadradas, circulares, poligonales. cuadradas, circulares, poligonales.
Según disposición de apoyos:Según disposición de apoyos: apoyadas en los bordes, apoyadas en los bordes, apoyadas sobre columnas, en voladizo, continuas, etc.apoyadas sobre columnas, en voladizo, continuas, etc.
Según coacción en apoyos:Según coacción en apoyos: simples, empotrados, simples, empotrados, elástico, borde libre.elástico, borde libre.
Además cada placa puede estar sometida a distintos Además cada placa puede estar sometida a distintos tipos de cargas: puntuales, uniformes distribuidas, tipos de cargas: puntuales, uniformes distribuidas, triangulares, trapezoidales.triangulares, trapezoidales.
TIPOS DE LOSASTIPOS DE LOSAS
Apoyadas sobre columnas:Apoyadas sobre columnas:
Como Chile es un país altamente sísmico, generalmente esta disposición no Como Chile es un país altamente sísmico, generalmente esta disposición no se utiliza, ya que el sistema losa-columna tiene poca rigidez lateral.se utiliza, ya que el sistema losa-columna tiene poca rigidez lateral.
Cuando las luces son grandes hay poca rigidez flexural, lo que implica Cuando las luces son grandes hay poca rigidez flexural, lo que implica grandes deformaciones => aumentar espesor de placa => aumentar carga grandes deformaciones => aumentar espesor de placa => aumentar carga muerta => aumentar creep.muerta => aumentar creep.Para evitar efectos de punzonamiento se colocan ábacos o capiteles.Para evitar efectos de punzonamiento se colocan ábacos o capiteles.
Losas nervadas:Losas nervadas:Se generan espacios vacíos entre nervios, que disminuyen el peso propio, Se generan espacios vacíos entre nervios, que disminuyen el peso propio, pero el costo de construcción es alto.pero el costo de construcción es alto.Se utilizan mucho cuando las luces son grandes.Se utilizan mucho cuando las luces son grandes.
Losas apoyadas sobre vigas:Losas apoyadas sobre vigas:Se generan un sistema en que el marco soporta el peso de la placa. Este Se generan un sistema en que el marco soporta el peso de la placa. Este sistema es el más utilizado en el código ACI “marco equivalente”sistema es el más utilizado en el código ACI “marco equivalente”
LOSASLOSAS
IIII ESFUERZOS INTERNOS EN LOSASESFUERZOS INTERNOS EN LOSAS
Este es uno de los puntos mas complicados, ya que Este es uno de los puntos mas complicados, ya que la distribución de esfuerzos internos en losas depende de:la distribución de esfuerzos internos en losas depende de:
1.1. las cargas solicitantes, las cargas solicitantes, 2.2.condiciones de borde y condiciones de borde y 3.3.geometría en planta de la losa.geometría en planta de la losa.
Supongamos que tenemos una losa rectangular empotrada en Supongamos que tenemos una losa rectangular empotrada en sus 4 bordes. Estudiemos el comportamiento de algunas franjas sus 4 bordes. Estudiemos el comportamiento de algunas franjas representativas (strip) de la losa:representativas (strip) de la losa:
Recordemos además una relación fundamental de la teoría Recordemos además una relación fundamental de la teoría de flexión: “el momento flector es proporcional a la de flexión: “el momento flector es proporcional a la curvatura”.curvatura”.
ESFUERZOS INTERNOS EN LOSASESFUERZOS INTERNOS EN LOSAS
Las deflexiones y momentos flectores son variables para cada franja de la losa.Las deflexiones y momentos flectores son variables para cada franja de la losa.La franja C que esta en la dirección mas larga de la losa, posee momentos flectores mas pequeños, La franja C que esta en la dirección mas larga de la losa, posee momentos flectores mas pequeños, debido a la escasa curvatura que presenta.debido a la escasa curvatura que presenta.Los momentos flectores en la dirección mas larga de la losa tienden a ser despreciables, cuando la Los momentos flectores en la dirección mas larga de la losa tienden a ser despreciables, cuando la razón (lado largo) / (lado corto) >2. En este caso la losa trabaja fundamentalmente en su dirección razón (lado largo) / (lado corto) >2. En este caso la losa trabaja fundamentalmente en su dirección corta y se denomina “corta y se denomina “losa en 1 direcciónlosa en 1 dirección”. ”. Cuando (lado largo) / (lado corto) <2 se denomina “Cuando (lado largo) / (lado corto) <2 se denomina “losa en 2 direccioneslosa en 2 direcciones””
En la actualidad existen una serie de métodos para determinar los esfuerzos y En la actualidad existen una serie de métodos para determinar los esfuerzos y deformaciones internas en las losas:deformaciones internas en las losas:
ANALISIS ESTRUCTURAL DE LOSASANALISIS ESTRUCTURAL DE LOSAS
METODOS RANGO METODOS RANGO ELASTICOELASTICO
METODOS ROTURA NO LINEALES
SOPORTES CONTINUOS
SOPORTES AISLADOS
EC. DIF. LAGRANGE
DIFERENCIAS FINITAS
ANCHO EFICAZ
MARCUS
EMPARRILLADO
ELEMENTOS FINITOS
DISEÑO DIRECTO
MARCO EQUIVALENTE
LIMITE INFERIOR (franjas)
LIMITE SUPERIOR (líneas de fluencia)
En este curso solo estudiaremos losas con soportes continuos (vigas o muros) en todos sus bordes.
En esta asignatura determinaremos los esfuerzos internos en las losas, a través de En esta asignatura determinaremos los esfuerzos internos en las losas, a través de un método en el rango elástico, que soluciona la ecuación diferencial de Lagrange a un método en el rango elástico, que soluciona la ecuación diferencial de Lagrange a través de series dobles de Fourier.través de series dobles de Fourier.
Para profundizar en los otros métodos se recomienda el libro “Losas de concreto reforzado” (R. Park, W.L. Para profundizar en los otros métodos se recomienda el libro “Losas de concreto reforzado” (R. Park, W.L. Gamble)Gamble)
En las teorías elásticas clásicas se cumplen las siguientes condiciones:En las teorías elásticas clásicas se cumplen las siguientes condiciones:
Equilibrio:Equilibrio: Se satisfacen las condiciones de equilibrio en cada punto de la placa, Se satisfacen las condiciones de equilibrio en cada punto de la placa, entre cargas y esfuerzos y entre esfuerzos y tensiones.entre cargas y esfuerzos y entre esfuerzos y tensiones.
Compatibilidad:Compatibilidad: Se satisfacen las condiciones de apoyo Se satisfacen las condiciones de apoyo
Linealidad:Linealidad: Las tensiones son proporcionales a las deformaciones y por lo tanto los Las tensiones son proporcionales a las deformaciones y por lo tanto los momento flectores son proporcionales a las curvaturas.momento flectores son proporcionales a las curvaturas.
La ecuación diferencial de la placa, conocida también como La ecuación diferencial de la placa, conocida también como Ecuación de Ecuación de LagrangeLagrange, se , se deduce a partir de ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad deduce a partir de ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad de deformacionesde deformaciones. .
En su planteamiento, se supone que los puntos normales al plano medio En su planteamiento, se supone que los puntos normales al plano medio antes de la deformación se mantienen normales después de la deformación antes de la deformación se mantienen normales después de la deformación (ley de deformación plana de Kirchhoff)(ley de deformación plana de Kirchhoff)
Según este método, la deformación de una placa delgada sometida a Según este método, la deformación de una placa delgada sometida a cargas perpendiculares a su plano queda definida por la función w (x,y), que cargas perpendiculares a su plano queda definida por la función w (x,y), que determina los desplazamientos verticales de los puntos (x,y) del plano medio determina los desplazamientos verticales de los puntos (x,y) del plano medio de la placa (ley de deformación plana de Kirchhoff).de la placa (ley de deformación plana de Kirchhoff).
De esta forma, se pueden expresar las tensiones y los esfuerzos que De esta forma, se pueden expresar las tensiones y los esfuerzos que aparecen en la placa en función de w. aparecen en la placa en función de w.
Los esfuerzos por unidad de ancho de placa valenLos esfuerzos por unidad de ancho de placa valen
2.0 ESFUERZOS INTERNOS EN LOSAS2.0 ESFUERZOS INTERNOS EN LOSAS
D= E h3 /12(1-ν2)
xx
w (x,y)w (x,y)yy
E = Modulo de Elasticidad
ν = Módulo de Poisson
Si se expresa la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales de un elemento de placa, sometido a Si se expresa la ecuación de equilibrio de fuerzas verticales de un elemento de placa, sometido a
cortantes cortantes ,x yV V y a la carga q ( x, y ), se tiene:y a la carga q ( x, y ), se tiene:
δδVVxx + + δδVVy y + q (x,y) = 0 + q (x,y) = 0
δδxx δδyy
Resultado la ecuación de Lagrange o de las placas:Resultado la ecuación de Lagrange o de las placas:
4 4 4
4 2 2 42
w w w qw
x y y D
Las condiciones de borde de esta ecuación diferencial vienen impuestas por vínculos existentes en los apoyos de la Las condiciones de borde de esta ecuación diferencial vienen impuestas por vínculos existentes en los apoyos de la placa. (Empotramiento, apoyo simple, borde libre)placa. (Empotramiento, apoyo simple, borde libre)
Una vez obtenida la función w se pueden calcular todos los esfuerzos.Una vez obtenida la función w se pueden calcular todos los esfuerzos.
En general no es posible encontrar una función w(x,y) que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones de contorno En general no es posible encontrar una función w(x,y) que satisfaga la ecuación diferencial y las condiciones de contorno para una placa de forma, apoyos y carga q(x,y) predeterminados. Por lo tanto, se recurre a soluciones aproximadas que para una placa de forma, apoyos y carga q(x,y) predeterminados. Por lo tanto, se recurre a soluciones aproximadas que obtienen a w como la suma de funciones elementales que satisfacen las condiciones de contorno.obtienen a w como la suma de funciones elementales que satisfacen las condiciones de contorno.
La primera solución a la ecuación fue propuesta por Navier en 1820, para placas rectangulares simplemente apoyadas, La primera solución a la ecuación fue propuesta por Navier en 1820, para placas rectangulares simplemente apoyadas, mediante series dobles de Fourier. Su forma general es:mediante series dobles de Fourier. Su forma general es:
1 1m n
m x n yw qC Am sen sen
a b
nn
Donde a y b son las dimensiones principales Donde a y b son las dimensiones principales de la placa, C es una constante. A es una de la placa, C es una constante. A es una variable que depende del término de la serie, variable que depende del término de la serie, definido por los enteros m y n, y de la relación definido por los enteros m y n, y de la relación de lados a/b.de lados a/b.
La limitación de este método es que la integración de la ecuación diferencial por La limitación de este método es que la integración de la ecuación diferencial por series es solamente aplicable a un número reducido de formas de placas y series es solamente aplicable a un número reducido de formas de placas y condiciones de contorno.condiciones de contorno.
Una excelente solución para placas de hormigón apoyadas en sus bordes y Una excelente solución para placas de hormigón apoyadas en sus bordes y sometidas a cargas distribuidas se encuentra en el libro “Hormigón Armado” de P. sometidas a cargas distribuidas se encuentra en el libro “Hormigón Armado” de P. Jiménez Montoya.Jiménez Montoya.
Es importante destacar, que en ese libro se determinan los esfuerzos por Es importante destacar, que en ese libro se determinan los esfuerzos por losa individual. Esta aproximación presenta algunos problemas cuando existen losa individual. Esta aproximación presenta algunos problemas cuando existen campos de losas continuas, debido a que se obtienen distintos momentos negativos campos de losas continuas, debido a que se obtienen distintos momentos negativos para losas que comparten un lado común, y por lo tanto deben satisfacer la para losas que comparten un lado común, y por lo tanto deben satisfacer la continuidad de momentos flectores.continuidad de momentos flectores.
¿Cuándo se considera empotrado un apoyo de una losa?. ¿Cuándo se considera empotrado un apoyo de una losa?. En general existen 2 posibilidades de apoyos en los bordes de las losas: vigas o muros.En general existen 2 posibilidades de apoyos en los bordes de las losas: vigas o muros.Una viga o muro tiende a empotrar a una losa cuando su rigidez al giro es mucho mayor a la Una viga o muro tiende a empotrar a una losa cuando su rigidez al giro es mucho mayor a la rigidez al giro de la losa.rigidez al giro de la losa.
34
3m m m m m
mm m
E I E b eK
h h 34
3l l l l l
ll l
E I E b eK
L L
33
4l l l l l
ll l
E I E b eK
L L
3
3
m m m m l
l l l l m
K E b e L
K E b e h
3
3
4
3m m m m l
l l l l m
K E b e L
K E b e h
Rigidez al giro muro:Rigidez al giro muro: Rigidez al giro losa:Rigidez al giro losa: Razón de rigideces al giro:Razón de rigideces al giro:
Rigidez torsional viga:Rigidez torsional viga:
43
4 30.4 1/ 3 0.21 1
12 0.4l
t
b bE h b l hG J E h bK
L L L
IIIIII MODOS DE FALLA EN LOSASMODOS DE FALLA EN LOSASConsideremos una losa rectangular, apoyada continuamente en sus bordes, con una carga Consideremos una losa rectangular, apoyada continuamente en sus bordes, con una carga uniforme incremental.uniforme incremental.
Carga aplicadaCarga aplicada
Rango elásticoRango elástico
Deformación en el centroDeformación en el centro
CrakingCraking
AA
BB
CC
Inicialmente para cargas bajas se desarrolla un comportamiento elástico lineal.Inicialmente para cargas bajas se desarrolla un comportamiento elástico lineal.
Toda la teoría de placas coincide hasta el punto cracking, donde se forma la 1ª fisura con su Toda la teoría de placas coincide hasta el punto cracking, donde se forma la 1ª fisura con su correspondiente perdida de rigidez y comportamiento no lineal.correspondiente perdida de rigidez y comportamiento no lineal.
Carga aplicadaCarga aplicada
Rango Rango elásticoelástico
Deformación en el Deformación en el centrocentro
CrakingCraking
AA
BBCC
Punto A Punto A Si gradualmente se aumenta la carga, en los lados mas largos Si gradualmente se aumenta la carga, en los lados mas largos se generan momentos mayores negativos, comienzan a fluir las se generan momentos mayores negativos, comienzan a fluir las armaduras y aparecen grietas que se van distribuyendo a lo armaduras y aparecen grietas que se van distribuyendo a lo largo de los apoyoslargo de los apoyos
Punto B Punto B Comienzan a girar las secciones, en se incrementan las Comienzan a girar las secciones, en se incrementan las deformaciones, se redistribuyen los esfuerzos, cambian las deformaciones, se redistribuyen los esfuerzos, cambian las condiciones de apoyo, aparecen las primeras grietas de condiciones de apoyo, aparecen las primeras grietas de momento positivomomento positivo
Punto C Punto C Se plastifican sucesivamente las secciones situadas en unas líneas Se plastifican sucesivamente las secciones situadas en unas líneas que progresan, se unen y cruzan la placa reduciéndola a un que progresan, se unen y cruzan la placa reduciéndola a un mecanismo libremente deformable. Estas líneas se llaman LINEAS mecanismo libremente deformable. Estas líneas se llaman LINEAS DE ROTURADE ROTURA
3.0 MODOS DE FALLA EN LOSAS3.0 MODOS DE FALLA EN LOSAS
Losa uniformemente cargada y Losa uniformemente cargada y empotrada en sus cuatro bordesempotrada en sus cuatro bordes
Previo a la fallaPrevio a la falla
Después de la fallaDespués de la falla
Losa uniformemente cargada , Losa uniformemente cargada , apoyada en tres bordes y apoyada en tres bordes y empotramiento en un lado largoempotramiento en un lado largo
Losa uniformemente cargada , Losa uniformemente cargada , apoyada en bordes cortos y apoyada en bordes cortos y empotramiento en lados largosempotramiento en lados largos
Losa uniformemente cargada , Losa uniformemente cargada , apoyada en sus cuatro bordesapoyada en sus cuatro bordes
Losa uniformemente cargada , Losa uniformemente cargada , apoyada en tres bordes y un apoyada en tres bordes y un borde largo libreborde largo libre
Losa uniformemente cargada , empotrada en sus cuatro bordesLosa uniformemente cargada , empotrada en sus cuatro bordes
Agrietamiento inferiorAgrietamiento inferior Agrietamiento superiorAgrietamiento superior
Campo de 9 losas apoyadas enCampo de 9 losas apoyadas entodos sus bordes con vigastodos sus bordes con vigas
Agrietamiento inferiorAgrietamiento inferiorAgrietamiento superiorAgrietamiento superior
De acuerdo a las evidencias experimentales de los modos de falla de losas, De acuerdo a las evidencias experimentales de los modos de falla de losas, se pueden proponer las siguientes forma de descarga de la losa en sus se pueden proponer las siguientes forma de descarga de la losa en sus bordes soportantes.bordes soportantes.
454500
454500
454500
454500
454500
454500606000
606000 606000 606000
min (1/ 5)A Aprincipal8@ 20cm
IVIV LOSAS ARMADAS EN 1 DIRECCION (lado largo/lado LOSAS ARMADAS EN 1 DIRECCION (lado largo/lado corto > 2.0)
A medida que una dimensión aumenta c/r a la otra, el momento en la dirección corta se incrementa c/r a la dirección larga.
Lado largo / lado corto > 5 los momentos en la dirección larga tienden a cero.
La losa puede diseñarse como una serie de vigas simplemente armadas de ancho unitario, de luz igual a la luz corta de la losa.
Sin embargo, debe disponerse una armadura mínima en el sentido transversal, para evitar efectos de retracción y fraguado.Según ACI 318-99 la armadura mínima de retracción es:P=0.0018 para acero A63-42HP=0.0020 para acero A44-28HSegún NCh 430 la armadura mínima de retracción es:
o
, la mayor.
bb
aa
b > 5ab > 5a
11
En sistemas de En sistemas de losas continuaslosas continuas, los momentos flectores se calcularán , los momentos flectores se calcularán aplicando la teoría de la viga continuaaplicando la teoría de la viga continua que que supone apoyos articulados. supone apoyos articulados. Además la sobrecarga se debe considerar en sus posiciones más desfavorablesAdemás la sobrecarga se debe considerar en sus posiciones más desfavorables ..
Momentos positivos: cargar en forma alternada los vanos con la SCMomentos positivos: cargar en forma alternada los vanos con la SCMomentos negativos: cargar en forma continua los vanos con la SCMomentos negativos: cargar en forma continua los vanos con la SC
Momento Positivo
Momento Negativo
DLDL
DLDL
DLDL
LLLL LLLL
LLLL LLLL
LLLL
La Norma ACI (ACI 8.3.3) permite determinar estos momentos mediante la aplicación de un método La Norma ACI (ACI 8.3.3) permite determinar estos momentos mediante la aplicación de un método aproximado, siempre que se cumplan los siguientes requisitos:aproximado, siempre que se cumplan los siguientes requisitos:-Haya dos o más vanosHaya dos o más vanos-Los vanos sean aproximadamente iguales; luces de vanos adyacentes no deben diferir en más de un 20%Los vanos sean aproximadamente iguales; luces de vanos adyacentes no deben diferir en más de un 20%-Cargas uniformemente distribuidasCargas uniformemente distribuidas-SC SC 3PP 3PP-Elementos prismáticosElementos prismáticos
Donde: Donde: , , son los coeficientes para momento y corte respectivamente son los coeficientes para momento y corte respectivamente wu = carga última actuantewu = carga última actuante Para Mto. Positivo LPara Mto. Positivo Lcc = L = Lcc vano considerado vano considerado
Para Mto. Negativo LPara Mto. Negativo Lcc = (L = (Lcci + Li + Lccd)/2d)/2
M = wu Lc2
V = wu Lc
MM-- MM++ MM--
1/24(apoyo viga de borde, construida monolíticamente)1/16 (apoyo es una columna construida monolíticamente))
1/11 (extremo no está restringido)1/14 (extremo es monolítico con el apoyo)
1/24(apoyo viga de borde, construida monolíticamente)1/16 (apoyo es una columna construida monolíticamente))
AACCII
0.5 0.5
MM-- MM++ MM-- MM-- MM++ MM--
1/24(apoyo 1/24(apoyo viga de borde, viga de borde, construida construida monolíticamemonolíticamente)nte)1/16 (apoyo es 1/16 (apoyo es una columna una columna construida construida monolíticamemonolíticamente)nte)
1/11 (extremo 1/11 (extremo no está no está restringido) restringido) 1/14 (extremo 1/14 (extremo es monolítico es monolítico con el apoyo)con el apoyo)
1/9(dos 1/9(dos vanos)vanos)1/10 (más de 1/10 (más de dos vanosdos vanos1/12 (losas 1/12 (losas con luces < con luces < 3m y apoyos 3m y apoyos muy rigidos)muy rigidos)
1/111/111/12 (losas 1/12 (losas con luces < con luces < 3m y 3m y apoyos apoyos muy muy rígidos)rígidos)
1/161/16 1/111/111/12 1/12 (losas con (losas con luces < 3m luces < 3m y apoyos y apoyos muy muy rígidos)rígidos)
1/111/111/12 1/12 (losas con (losas con luces < 3m luces < 3m y apoyos y apoyos muy muy rígidos)rígidos)
0.50.5 1.15/21.15/2 0.50.5 0.50.5 0.50.5
Reacción en los apoyosReacción en los apoyosEn las losas armadas en una dirección, por el comportamiento de ellas, solamente deseamos definir la reacción En las losas armadas en una dirección, por el comportamiento de ellas, solamente deseamos definir la reacción correspondiente a los apoyos perpendiculares a la luz menorcorrespondiente a los apoyos perpendiculares a la luz menorReacción por unidad de longitud:Reacción por unidad de longitud: p.e. V=w p.e. V=w uuL/2 (losas simplemente apoyadas con carga uniforme) (t/m; Kg/m)L/2 (losas simplemente apoyadas con carga uniforme) (t/m; Kg/m)
La altura útil mínima en losas de 1 dirección está dada por:La altura útil mínima en losas de 1 dirección está dada por:
Según ACI 318-99 Tabla 9.5ª (analizada en el capítulo de flexión en vigas)Según ACI 318-99 Tabla 9.5ª (analizada en el capítulo de flexión en vigas)
Según NCh 430: Según NCh 430: • L/35 L/35 (losas simplemente apoyadas)• L/40 L/40 (losas empotradas o continuas)
Los espesores normales de losas varían entre 10-15 cm.Los espesores normales de losas varían entre 10-15 cm.
TABLA 9.5(A) – ALTURAS O ESPESORES MINIMOS DE LOSAS REFORZADAS TABLA 9.5(A) – ALTURAS O ESPESORES MINIMOS DE LOSAS REFORZADAS EN UNA DIRECCION A MENOS QUE SE CALCULEN LAS DEFLEXIONESEN UNA DIRECCION A MENOS QUE SE CALCULEN LAS DEFLEXIONES
Espesor Mínimo hEspesor Mínimo h
Simplemente Simplemente apoyadaapoyada
Con un extremo Con un extremo continuocontinuo
Ambos Ambos extremos extremos continuoscontinuos
En voladizoEn voladizo
Elementos que no soporten o están ligados a divisiones u otro tipo de Elementos que no soporten o están ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandeselementos susceptibles de dañarse debido a deflexiones grandes..
Losas Losas macizas en macizas en una una direccióndirección
L/20L/20 L/24L/24 L/28L/28 L/10L/10
Notas: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal wNotas: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de peso normal wcc = 2400 Kg./m = 2400 Kg./m33
y refuerzo de fy refuerzo de fyy = 420 Mpa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue: = 420 Mpa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse como sigue:
(a) para concreto liviano estructural de peso unitario w(a) para concreto liviano estructural de peso unitario wcc dentro del rango de 1500 a 2000 Kg./m dentro del rango de 1500 a 2000 Kg./m33 los valores de la tabla deben los valores de la tabla deben
multiplicarse por (1,65 – 0,0003 wmultiplicarse por (1,65 – 0,0003 wcc) pero no menor que 1,09) pero no menor que 1,09
(b) Para f(b) Para fyy distinto a 420 Mpa. los valores de la tabla deben multiplicarse por (0,4 + f distinto a 420 Mpa. los valores de la tabla deben multiplicarse por (0,4 + fyy /700) /700)
LOSAS ARMADAS EN 2 DIRECCIONES (0,5 < lado largo/lado corto < 2.0)LOSAS ARMADAS EN 2 DIRECCIONES (0,5 < lado largo/lado corto < 2.0)
Al cargar estas losas, la curvatura es del mismo orden Al cargar estas losas, la curvatura es del mismo orden en ambas direcciones.en ambas direcciones.Como el momento es proporcional a la curvatura se Como el momento es proporcional a la curvatura se deduce que los momentos internos son del mismo orden deduce que los momentos internos son del mismo orden de magnitud.de magnitud.
Los momentos flectores se determinan a través de la Los momentos flectores se determinan a través de la teoría de placas (Método Clásico exacto o Clásico teoría de placas (Método Clásico exacto o Clásico aproximado)aproximado)
Se debe proveer armadura en las dos direcciones para Se debe proveer armadura en las dos direcciones para resistir los momentos solicitantes. El diseño de la resistir los momentos solicitantes. El diseño de la armadura se determina como vigas simplemente armadas armadura se determina como vigas simplemente armadas de ancho unitario.de ancho unitario.
La armadura mínima es la de retracción o fraguado. El La armadura mínima es la de retracción o fraguado. El espaciamiento máximo es dos veces el espesor de la losa.espaciamiento máximo es dos veces el espesor de la losa...
En las En las esquinas exterioresesquinas exteriores de sistemas de de sistemas de losas en dos direcciones debe proporcionarse losas en dos direcciones debe proporcionarse refuerzo especial superior e inferior a lo largo de refuerzo especial superior e inferior a lo largo de una distancia del 20% de la luz mas larga de la una distancia del 20% de la luz mas larga de la losa de esquina. El área de acero especial debe losa de esquina. El área de acero especial debe ser igual al área proporcionada para máximo ser igual al área proporcionada para máximo momento positivo en el interior de la losa.momento positivo en el interior de la losa.
En los En los bordes libresbordes libres de las placas se debe de las placas se debe concentrar mayor armadura (viga plana) para concentrar mayor armadura (viga plana) para hacer frente a posibles cargas en el borde y hacer frente a posibles cargas en el borde y tensiones de retracción. Además la armadura tensiones de retracción. Además la armadura inferior que llega perpendicularmente al borde inferior que llega perpendicularmente al borde debe doblarse y continuarse superiormente en debe doblarse y continuarse superiormente en una distancia mínima de 2h.una distancia mínima de 2h.
Cuando la losa Cuando la losa tiene aberturastiene aberturas se producen se producen importantes concentraciones de esfuerzos, importantes concentraciones de esfuerzos, dependiendo de la forma, dimensiones y dependiendo de la forma, dimensiones y ubicación de la abertura. Por lo tanto en los ubicación de la abertura. Por lo tanto en los bordes se debe colocar al menos una cantidad de bordes se debe colocar al menos una cantidad de armadura tal que sea igual a la capacidad de las armadura tal que sea igual a la capacidad de las armadura interrumpidasarmadura interrumpidas
a = 0,2Ba = 0,2B
B > AB > Aaa
AA
AA
AAss
hh
2h2h
Corte A- ACorte A- A
AA
AAss
AAss min. = 2 min. = 2ΦΦ16mm. o A16mm. o Ass/2/2
BBBB
Corte B- BCorte B- B
llnn
a
EsbeltezEsbeltez
Espesores mínimos:Método aproximado: perímetro losa / 180 pero no menor que 9 cm.
La relación ln /h para este tipo de losas está gobernado por lo dispuesto en ACI 9.5.3, donde se dan expresiones de esta relación en función de m (razón entre rigidez de la viga que soporta la losa y la
rigidez de la losa) y m (razón entre lado largo (ln) y lado corto de la losa).
Debe tenerse cuidado para razones m 2.0 o mayores que esta expresión puede dar valores de h
menores que los dispuestos para losas armadas en una dirección, por lo cual debe tomarse el espesor mayor.
llnn > a > a
f f = (E= (Ecb cb IIbb)/ (E)/ (Ecs cs IIss))
fm fm = promedio de los = promedio de los f f para todas las vigas que apoyan la losapara todas las vigas que apoyan la losa
f f ≥ 0,8 o ≥ 0,8 o
aumentar aumentar espesor espesor losa en un losa en un 10%10%
LL11 L2L2
LL11/2/2 (L(L1 1 + L+ L2 2 )/2)/2
EEcb cb IIbb
EEcs cs IIss
Ln/h
30
32
34
36
38
40
42
44
46
48
50
0 1 2 3 4
Alfa m
Ln
/h
1
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2
β 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2
α
0,2 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33 33
0,3 33 33 33 33 33 33 33 34 34 34 34
0,4 34 34 34 34 34 34 34 34 34 34 35
0,5 34 34 34 35 35 35 35 35 35 35 35
0,6 35 35 35 35 35 35 36 36 36 36 36
0,7 35 35 35 36 36 36 36 37 37 37 37
0,8 35 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38
0,9 36 36 37 37 37 38 38 38 38 39 39
1 36 37 37 37 38 38 39 39 39 40 40
1,1 37 37 38 38 38 39 39 40 40 41 41
1,2 37 38 38 39 39 40 40 40 41 41 42
1,3 38 38 39 39 40 40 41 41 42 42 43
1,4 38 39 39 40 40 41 41 42 43 43 44
1,5 39 39 40 40 41 42 42 43 43 44 45
1,6 39 40 40 41 42 42 43 44 44 45 45
1,7 40 40 41 42 42 43 44 44 45 46 46
1,8 40 41 41 42 43 44 44 45 46 47 47
1,9 40 41 42 43 44 44 45 46 47 47 48
2 41 42 43 43 44 45 46 47 47 48 49
Valores de LValores de Lnn/h para losas /h para losas
apoyadas en vigas de apoyadas en vigas de acuerdo a ACI 9.5.3.3acuerdo a ACI 9.5.3.3
f f = (E= (Ecb cb IIbb)/ (E)/ (Ecs cs IIss))
ββ = 1= 1
ββ = 2= 2
CAMPOS DE LOSAS CONTINUASCAMPOS DE LOSAS CONTINUAS
AA
Calculo para la losa ACalculo para la losa A
ww DLDL
ww LLLL
ww DLDL + + ww LLLL
0,5w0,5w LLLL 0,5w0,5w LLLL
0,5w0,5w LLLL
ww DLDL + + 0,5 w0,5 w LLLL
MOMENTO NEGATIVOMOMENTO NEGATIVO
MOMENTO POSITIVOMOMENTO POSITIVO
En campos de losas continuas es posible calcular los esfuerzos En campos de losas continuas es posible calcular los esfuerzos considerando considerando cada losa en forma independientecada losa en forma independiente, siempre que la diferencia , siempre que la diferencia entre cada dos luces contiguas no supere al 25% de la mayor de ellas.entre cada dos luces contiguas no supere al 25% de la mayor de ellas.
Para el Para el cálculo de los momentos negativoscálculo de los momentos negativos en los apoyos puede suponerse en los apoyos puede suponerse que todos los apoyos internos son empotramientos perfectos, respetándose que todos los apoyos internos son empotramientos perfectos, respetándose las condiciones de borde externas.las condiciones de borde externas.
Para el cálculo de los Para el cálculo de los momentos positivosmomentos positivos puede descomponerse la carga. puede descomponerse la carga.
´ ´́ ´ 0.5 ´́ 0.5q q q con q pp sc q sc
Además se supone que los apoyos internos Además se supone que los apoyos internos
son son empotramientos perfectosempotramientos perfectos para q´ para q´
apoyos simplesapoyos simples para q´´. para q´´.
Es importante destacar que LAS TABLAS DE LOSAS se determinan los esfuerzos Es importante destacar que LAS TABLAS DE LOSAS se determinan los esfuerzos por losa individual. Esta aproximación presenta algunos por losa individual. Esta aproximación presenta algunos problemas cuando existen campos de que comparten un lado problemas cuando existen campos de que comparten un lado común, y por lo tanto deben común, y por lo tanto deben satisfacer la continuidad de satisfacer la continuidad de momentos flectores.momentos flectores.
Si en dos losas vecinas Si en dos losas vecinas no existen diferencias mayores a un 20%no existen diferencias mayores a un 20% entre las luces entre las luces que llegan a un borde común, se asume que que llegan a un borde común, se asume que una buena una buena aproximación para compensar los momentos negativos es aproximación para compensar los momentos negativos es promediarlospromediarlos. .
Sin embargo, es necesario considerar el efecto que Sin embargo, es necesario considerar el efecto que provoca este promedio en los momentos provoca este promedio en los momentos positivos de los vanospositivos de los vanos..
La aproximación anterior deja de ser válida cuando existen diferencias mayores a La aproximación anterior deja de ser válida cuando existen diferencias mayores a un 20% entre luces que llegan a un lado común. En estos casos es un 20% entre luces que llegan a un lado común. En estos casos es necesario generar nuevos criterios de compensación de necesario generar nuevos criterios de compensación de momentos, tales como:momentos, tales como:
(2 / 3) (1/ 3) menormayorM M
Ponderación a través de los factores para momentos Ponderación a través de los factores para momentos negativos de las tablas de Jiménez-Montoya.negativos de las tablas de Jiménez-Montoya.
• PonderaciónPonderación
DISPOSICION DE ENFIERRADURASDISPOSICION DE ENFIERRADURASEl diseño de losas a flexión se trabaja como El diseño de losas a flexión se trabaja como vigas de ancho unitariovigas de ancho unitario, con armadura , con armadura uniformemente repartida, según los requisitos para uniformemente repartida, según los requisitos para vigas que tienen sólo armadura a vigas que tienen sólo armadura a traccióntracción..
Como no se conocen con exactitud la distribución de momentos en las losas, no es posible Como no se conocen con exactitud la distribución de momentos en las losas, no es posible determinar con exactitud el punto en el cual ya no es necesario colocar armadura para resistir determinar con exactitud el punto en el cual ya no es necesario colocar armadura para resistir tracción. Es por ello que el detallamiento de la armadura en losas es un proceso fuertemente tracción. Es por ello que el detallamiento de la armadura en losas es un proceso fuertemente influenciado por el criterio ingenieril. A continuación se presentan algunos de estos criteriosinfluenciado por el criterio ingenieril. A continuación se presentan algunos de estos criterios
ARMADURA PARA RESISTIR MOMENTOS NEGATIVOS (ARMADURA SUPERIOR)ARMADURA PARA RESISTIR MOMENTOS NEGATIVOS (ARMADURA SUPERIOR)
En general, si las luces de dos losas adyacentes no difieren entre ellas en más de En general, si las luces de dos losas adyacentes no difieren entre ellas en más de un 20%, se puede considerar extender como mínimo las armaduras desde el apoyo continuo, un 20%, se puede considerar extender como mínimo las armaduras desde el apoyo continuo, en las cantidades que indica la figura.en las cantidades que indica la figura.
LLEX EX = 0,25 L1 + Long. Anclaje barra= 0,25 L1 + Long. Anclaje barra
TRAMO EXTERNOTRAMO EXTERNO TRAMO INTERNOTRAMO INTERNO
L1L1 L2L2
LLEXEX LLININ
LLIN IN = 0,25 L2 + Long. Anclaje barra= 0,25 L2 + Long. Anclaje barra
Nota: Es conveniente destacar que la armadura superior generalmente Nota: Es conveniente destacar que la armadura superior generalmente debe debe terminarse en un gancho estándarterminarse en un gancho estándar, para mejorar la capacidad de anclaje de la barra , para mejorar la capacidad de anclaje de la barra y asegurar que pueda desarrollar completamente la resistencia requerida en el y asegurar que pueda desarrollar completamente la resistencia requerida en el apoyoapoyo
ARMADURA PARA RESISTIR MOMENTOS POSITIVOS (ARMADURA INFERIOR)ARMADURA PARA RESISTIR MOMENTOS POSITIVOS (ARMADURA INFERIOR)
En general, la En general, la armadura inferior debe prolongarse hasta los apoyosarmadura inferior debe prolongarse hasta los apoyos, teniendo cuidado de satisfacer , teniendo cuidado de satisfacer los siguientes requerimientos:los siguientes requerimientos:
Cuando sea necesario cortar las barras al llegar a los apoyos, es necesario proveer una longitud Cuando sea necesario cortar las barras al llegar a los apoyos, es necesario proveer una longitud de traslapo mínima para empalmar a la barra siguiente. Esta longitud esta debidamente estipulada de traslapo mínima para empalmar a la barra siguiente. Esta longitud esta debidamente estipulada en el código ACI.en el código ACI.
Cuando las barras lleguen a los apoyos perimetrales de la estructura, es necesario Cuando las barras lleguen a los apoyos perimetrales de la estructura, es necesario doblarlas doblarlas hacia arriba y continuarlas como armadura superior, en una longitud no menor al 25% de la luz hacia arriba y continuarlas como armadura superior, en una longitud no menor al 25% de la luz mayor de la losa que se está armandomayor de la losa que se está armando. Esta recomendación es necesaria para anclar . Esta recomendación es necesaria para anclar adecuadamente las losas en los perímetros, para resistir eventuales momentos negativos adecuadamente las losas en los perímetros, para resistir eventuales momentos negativos generados por la interacción monolítica con los apoyos, y para resistir momentos torsores que generados por la interacción monolítica con los apoyos, y para resistir momentos torsores que actúan en las esquinas de las placas perimetrales.actúan en las esquinas de las placas perimetrales.
L1L1
0,25 L0,25 L11L L traslapotraslapo
TRAMO EXTERNOTRAMO EXTERNO
DISPOSICION DE ENFIERRADURASDISPOSICION DE ENFIERRADURAS
