03-X-Com20

3-X

-Com

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3

Álgebra

Desigualdades e InecuacionesX

Desigualdades e Inecuaciones

Define una desigualdad y una inecuación. Diferencias. Anticipa:

- Argumentos lógicos en una desigualdad.- Resolución de problemas sobre funciones F:IR IR- Procedimientos de demostración en una desigualdad.

Analiza / interpreta:- Datos y condiciones disponibles en una desigualdad e inecuación.- Resultados representados geométricamente.- La discriminante en la inecuación de 2° grado.

Resuelve problemas sobre desigualdades e inecuaciones.

DESIGUALDADES

ABSOLUTA

- Propiedades- Teoremas

INTERVALOS

- Clases- Recta real- Operaciones conjuntos:

AB;AB; A-B;AB;AC.

POLINOMIOS

1. Lineal:ax + b > 0 ; a 0

2. Cuadrática:ax2 + bx + c > 0 ; a 02.1. Método de puntos

criticos2.2. Análisis de la discri-

minante2.3. Trinomio positivo

FRACCIÓN

- Forma:

0)x(Q)x(P

- C.V.A.: Q(X) - Método puntos críticos

CONDICIONAL O INECUACIÓN

INECUACIÓN RACIONAL

4

Álgebra

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LOS NÚMEROS Y SUS CURIOSIDADES

Algunos números tienen laparticularidad de que al ser multiplicadospor otros dan resultados que sonconstantes. Consttituyen series numéricasque si bien no tienen importancia desde elpunto de vista matemático, soninteresantes.

Observe las que presentamos acontinuación:

(El número 37 multiplicado por losmúltiplos de 3, da las series de númerosiguales que aquí ven)

3 . 37 = 1116 . 37 = 2229 . 37 = 33312. 37 = 44415 . 37 = 555

También se puede hacer subiendo los númerosde 33 en 33 y multiplicando por 3367.

33 . 3367 = 11111166 . 3367 = 22222299 . 3367 = 333333

Observe estas otras:

1 . 9 + 2 = 11 12. 9 + 3 = 111 123 . 9 + 4 = 11111234 . 9 + 5 = 11111

El mundo de la Matemática Tom. 2. Grupo Editorial Océano pág. 140

DESIGUALDADES

1. Definición: Son aquellas relaciones de orden enlos números reales denotadas mediante lossímbolos ">";"<" que se leen "mayor que" y"menor que" respectivamente.

Ejemplo:

5 > 2: cinco es mayor que dos

3 < 6: tres es menor que seis

* La relación "mayor o igual que" () se definecomo: a b a > b a = b

* La relación "menor o igual que" () se definecomo: a b a 1 2 = 1 (*)

3 3 3 < 3 3 = 3 (*)

(*) Es suficiente que se verifique una de lasrelaciones de orden.

Definiciones:1. "a" es positivo a > 0

2. "a" es negativo a < 0

3. "a" es no negativo a 0

4. "a" es no positivo a 0

2. CLASIFICACIÓN DE LAS DESIGUALDADES:

a) Absoluta.- Cuando el sentido de la desigualdadno se altera para cualquier sistema de valoresque se asignen a sus variables.

Ejemplo: x2 + 2 > 0; (x – 5)2 > - 3

b) Condicional o inecuación.- Cuando elsentido de la desigualdad se mantiene sólopara un rango de valores de sus variables.

Ejemplo: 3x – 1 < 0, se verifica si x < 1/3

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Álgebra

3. PROPIEDADES:

a) Ley de tricotomíaSi: a IR solamente una de las siguientesrelaciones de orden es válida:

a > 0 a < 0 a = 0

b) Ley Aditiva

Si: a < b a + c d

a + c b c < d

5) Si: a bc (sentido cambia)

6) Si:

Si:

7) Si:

solamente si a b tienen el mismo signo.

8) Si: a > b, entonces: a2n+1 > b2n+1

9) Si: a > b

i) a, b IR+, entonces a2n > b2n

ii) a, b IR- , entonces a2n < b2n

OBSERVACIÓN:

|a| : se lee valor absoluto de "a".

M.A. = Media aritméticaM.G. = Media GeométricaM.H. = Media armónica

TEOREMAS:

I) a IR : a2 0

Si: a 0 a2 > 0

II) |a|a:IRa 2

III) Solamente para números positivos se cumple:

M.A M.G M.H

IV) 2a1a0a:Si

2a1a0a:Si

V) Si:

a2 < x2 < b2 a, b IR+

a < x x2 > b2 a, b IR– (sentido cambia)

0 x2 < max = {a2;b2} aIR–bIR+

4) INTERVALOS:Un intervalo es un subconjunto de los númerosreales.

Clases:

I. Intervalo abierto.- Es aquel conjunto devalores comprendidos entre dos extremos sintomar los extremos.

Notación: ]a; b[ = <a, b> = {x IR/ a < x < b},gráfica:

II. Intervalo cerrado: Es aquel conjunto devalores comprendidos entre dos extremosincluyendo los extremos.

a b ; a,b,c,d IRc d

0a10a

0a10a

)cambiasentido(b1

a1ba

a bx

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IRA

5-4

Notación: [a; b] = {x IR/a x b}, gráfica:

III.Intervalo semiabierto (semicerrado): Esaquel conjunto de valores comprendidos entredos extremos donde uno de los extremos noestá incluido.Notación: ]a; b] = <a; b] = {x IR/a < x b};gráfica:

[a; b[ = [a; b> = {x IR/ a x < b}, gráfica:

IV.Intervalos infinitos:

Si: ]a; [ = <a; > = {x IR/a < x}, gráfica:

Si: [a; [ = [a; {x IR/ a x}, gráfica:

Si: ]-; a[ = <-; a> = {x IR/ x < a}, gráfica:

Si: ]-; a] = <-; a] = {x IR/ x a}, gráfica:

En el caso del conjunto completo de losnúmeros reales se tiene:

IR = ]-; [ = <-; >

OPERACIONES CON INTERVALOS

Sea: A = [-4; 5> ; B = [2; 9>

UNIÓN ():

A B = [-4; 9>

INTERSECCIÓN ():

A B = [2; 5>

DIFERENCIA:

A – B = [-4; 2>

DIFERENCIA SIMÉTRICA ():

AB=(A–B)(B – A) (AB)–(AB)=[-4;2>[5;9>

COMPLEMENTO (Ac):

AC A’ IR – A = <-; -4> [5; +>

INECUACIONES

Son aquellas desigualdades relativas en las que hayuna o más cantidades desconocidas llamadasincógnitas, los valores de las incógnitas que verificanla desigualdad forman el conjunto solución (C.S.) yse les representa mediante intervalos.

Ejemplo:

x22x

01x

1xx3 2

23x

Inecuación de primer Grado.- Es una desigualdadcondicional que presenta la forma:

ax + b 0 ax + b 0

Donde, "x" es la incógnita, a y b son coeficientes.

Resolver una inecuación.- Es el procedimiento porel cual se obtiene el intervalo al que pertenece laincógnita para que se verifique la desigualdadpropuesta. Cuando la inecuación es de primer gradose requiere únicamente despejar la incógnitaaplicando los principios fundamentales de lasdesigualdades.

Inecuación Cuadrática.- Es aquella inecuación quetiene una de las formas generales siguientes:

a

a

a

a

IRA

B

952-4

IRA B

952-4

IRA

B

952-4

cambia el intervalo

IRA

B

952-4

a bx

a bx

a bx

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Álgebra

ax2 + bx + c > 0 ax2 + bx + c < 0; a 0

Teorema del Trinomio Positivo:Dado el polinomio:

P(x) = ax2 + bx + c; a 0

ax2 + bx + c > 0, x R a > 0 b2 – 4ac < 0

ax2 + bx + c 0, x R a > 0 b2 – 4ac 0

01. Resolver: b4baxba4

baxa 22

siendo: a > b > 0

Solución:a + b > 0 a2x + 4a2 + 4ab > b2 x + 4ab + 4b2

(a2 - b2)x + 4(a2 - b2) > 0 (x + 4) (a2 - b2) > 0 ; a2 > b2

+ x + 4 > 0 x > -4 C.S. = -4; +

02. Sea: A = {x IR / -x2 - 2x + 15 > 0} B = {b IR / b2 - b - 6 0}Halle: A B

Solución:A: -x2 - 2x + 15 > 0 B: b2 - b - 6 0 x2 + 2x - 15 < 0 (x + 5)(x - 3) < 0P.C. x = - 5 x = 3

A = -5; 3

04. Resolver: 16xx

4x2

2

. Señale el mayor valor

entero que verifica.

Solución:

(x 2(x 2) 1 0 ; x 2(x 3(x 2)

x 2 x 3 0x 3

1 0x 3

1 0x 3

x 3

x -;-3 Mayor entero = -4

05. Resuelva:

5 2 3 2

63x 7x 6 (x 6x 9x) 0

(x 1) (x 2)

Solución:Se puede descartar la raíz quinta por ser impar:

2 2

6

2

(3x 7x 6).x(x 6x 9) 0 ; x 1(x 1) (x 2)

(x 3)(3x 2)x(x 3) 0 ; x 3x 2

(x 3)(3x 2)x 0x 2

3;20;32.S.C

(b - 3)(b + 2) 0P.C. b = 3 b = -2

B = [-2; 3]

A B = [-2;3

03. Halle el conjunto de valores de "m" para que lasiguiente ecuación no tenga soluciones reales.

(m + 5)x2 + 3mx - 4(m - 5) = 0

Solución:Debe cumplir: B2 -4AC < 0 (3m)2 - 4(m+5)[-4(m-5)] < 0 9m2 + 16(m2 - 25) < 0 9m2 + 16m2 - 16 . 25 < 0 m2 - 16 < 0 (m + 4)(m - 4) < 0 P.C. m = - 4 m = 4

+ +3-2

+ +3-5

+ +4-4

+ + +0 3-2/3 2

m -4;4

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Valor AbsolutoXI

Valor Absoluto

Utiliza correctamente las propiedades de las desigualdades e inecuaciones en la resolución deproblemas con valor absoluto.

Desarrolla las aptitudes para solucionar ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto.

Aprende a diferenciar los distintos métodos de solución con valor absoluto.

LAS PROFESIONES DE LAS MATEMÁTICAS

Hasta hace poco tiempo, ser matemático no era una profesión, y aunque antaño algunosmatemáticos fueron mantenidos por poderosos mecenas que les permitieron consagrarse por enteroa la investigación, la mayoría se ganaba la vida como profesores. Hoy en día, todavía sigue siendoasí, excepto por el hecho de que el mecenazgo, bien sea estatal o privado, ha adquirido mucho másimportancia. Los gobiernos que se han dado cuenta del interés de hacer progresar la ciencia en supaís ofrecen, de diversas formas, la posibilidad de que los investigadores de alto nivel se consagrena las matemáticas. Además por razones debidas a la necesidad creciente que la industria tiene de

DEFINICIÓNINTERPRETACION

GEOMET.TEOREMAS ECUACIONES CON

VALOR ABSOLUTO

VALOR ABSOLUTOIxI; x IR

INECUACIONES CONVALOR ABSOLUTO

1) x bb 0 (x b x b)

2) x yx y x y

x ; si x 0x

x ; si x 0

1) x aa 0 ( a x a)

2) x aa 0 ( a x a)

3) x ax a x a

4) x ax a x a

5) x y (x y)(x y) 0

6) x y (x y)(x y) 0

22 2

2

1) x 0 ; x IR

2) x x ; x IR

3) xy x y ; x IR

xx4) ; y IR y 0y y

5) x x x ; x IR

6) x x x ; x IR

7) x x ; x IR

8) x y x y x;y IR

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Álgebra

las matemáticas, aparece, aunque todavía débilmente, la posibilidad de hacer carrera en la industriacomo matemático. Finalmente, y más que todo, la revolución informática es una fuente de empleoen matemática cuyo caudal no deja de aumentar. El resultado es que el númeo de matemáticos delmundo ha aumentado considerablemente. ¿Qué es lo que necesitan los matemáticos?. Muchasveces se caricaturizan las necesidades de los matemáticos con la célebre frase de: "papel y lápiz,eso es todo". Pero si bien es cierto que pueden trabajar sin necesidad de costosas máquinas, nopor ello son nula sus necesidades. Ya que los matemáticos deben, ante todo, comunicarse parahacer saber e informarse acerca de lo que acaba de descubrirse. Por ello existen ricas bibliotecasque reciben miles de artículos cada año, y la posibilidad de conocer y recibir a colegas extranjerosson imperativos vitales sin los cuales no tardaría en sobrevenir la decadencia.

Profesor: Se enseñan matemáticas en todos lo niveles, desde párvulos hasta la universidad. Nose espera de los profesores de bachillerato que descubran nada nuevo, pero eso si forma parte, almenos en teoría, del trabajo de los universitarios. Enseñar resulta indispensable para gran cantidadde matemáticos. Por desgracia, trabajar en una universidad es también, consagrar, los esfuerzos altrabajo esterilizante del burócrata. Se ve con frecuencia a mucho catedrático y auxiliares que esperancon impaciencia la llegada de las vacaciones para poder por fin dedicarse a estudiar el asunto queles ocupa la mente sin que todavía hayan tenido tiempo que dedicarle. La posibilidad de tomar unaño de vacaciones (el año sabático), costumbre que no parece estar generalizada excepto en E.EU.U.,sería tal vez un remedio a este grave inconveniente.

Investigador y Escritor Científico: En España, el Instituto "Jorge Juan", de matemátias, delConsejo Superior de Investigaciones Científicas, ofrece la posibilidad a algunos matemáticos deconsagrar todo su tiempo a la investigación. El otro gran foco de investigación lo constituyen, enteoría, las cátedras universitarias, que, como ocurre con las demás disciplinas, difícilmente puedenrealizar una labor distinta a la docente. Una de las razones por las cuales el gran público lo ignoracasi todo acerca de las matemáticas, es, sin duda, la carencia de obras de divulgación lo cual, esindispensable para el futuro.

Definición: El valor absoluto de un número real "x"denotado por x se define como:

0xsi;x

0xsi;00xsi;x

|x|

de donde se entiende que el valor absoluto de unnúmero real es no negativo.

Ejemplo:3 = 3 puesto que 3>0–4 = –(–4) = 4 puesto que -4<0

Observación: También se define usualmente como:

0xsi;x0xsi;x|x|

Interpretación Geométrica del Valor Absoluto

El valor absoluto de "x" es la distancia del punto "x"de la recta real al origen es decir al punto cero,asimismo la distancia entre dos puntos cualesquieraa y b viene a ser el valor absoluto: a-b o también b-a.

TEOREMAS:

1. |x| 0 ; x R2. |-x| = |x| ; x R3. |xy| = |x| |y| ; x;y IR

0yIRy;x;yx

yx

4. |x2| = |x|2 = x2 ; x IR (importante)5. -|x| x |x| ; x IR

Corolario: |x| x ; |x| -x

6. Rx;|x|x2

7. RIx;xx2

8. Desigualdad triangular|x + y| |x| + |y| ; x ; y IR

0 4-4

|-4|=4 |4|=4

2 4-3

|-1 -4|=|4-(-1)|=5

-2 -1 0 1 3

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Observaciones:

Si: |x| + |y| = |x + y| xy 0

Si: |x| + |y| = |x - y| xy 0

Si: |x| + |y| > |x + y| xy < 0

Ejemplo:

Si: – x = 4 , reducir:

168)4(E 27 7 ; en función de "x"

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Teoremas:Si: |x| = b b 0 (x = b x = -b)Si: |x| = |y| x = y x = -y

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

TEOREMAS:

I. Si: |x| a {a 0 (-a x a)}

II. Si: |x| a {a 0 -a x a}

III. Si: |x| a {x a x < -a}

IV. Si: |x| a {x a x -a}

V. Si: |x| |y| x2 y2 (x-y) (x+y) 0

VI. Si: |x| |y| x2 y2 (x+y) (x-y) 0

01. Hallar el valor de "k", si:I. x [-6;-4]

II.8 x 94 3 x 94

Kx

Solución:

Condición: -6 x -4 ...... ()

"" por "8" mam: -48 8x -32 +94 +94 +94 46 8x+94 62 IR+

|8x + 94| = 8x + 94

"" por "-3" mam: 12 -3x 18 +94 +94 +94 106 -3x+94 112 IR+

|-3x + 94| = -3x + 94

Reemplazando lo obtenido en "K":

x)94x3(94x8K

K = 11

02. Resolver: |5x - 1| = 2 - x

Solución:

2 - x 0 (5x - 1 = 2 - x 5x - 1 = -2 + x)x 2 (6x = 3 4x = -1)

x 2 (x = 21 x = 4

1 )

Observamos que:

x = 21 verifica x 2

x = 41

verifica x 2

CS =

21;

41

03. Resolver: |x - 1|2 - 5|x - 1| - 14 0Factorizando por aspa simple:

(|x - 1| + 2)(|x - 1| - 7) 0

Pero: |x - 1| 0 |x - 1| + 2 2 |x - 1| + 2 espositivo x IR se anula.

|x - 1| - 7 0|x - 1| 7 por teorema

-7 x - 1 7 sumando 1-6 x 8

C.S. = [-6; 8]

04. Resolver: 3x + 1 < 2x - 1

Solución:

3x + 1 < 2x - 2[(3x + 1) + (2x - 2)] [(3x + 1) - (2x - 2)] < 0(5x - 1) (x + 3) < 0

x 13;5

05. Resolver: 0|x|1

|x||1x|

Si multiplicamos por una cantidad positiva:

| x 1| | x | 01 | x |

; a ambos miembros, sabemos

que la desigualdad no varía.

+ +1/5-3

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1-1 12

Además: |x|2 = x2 ; finalmente obtenemos:

0x1

x)1x(2

22

0)x1)(x1(

1x2

0)1x)(1x(

)1x2(

1;1;

21.C.P

1C.S. 1 ; 1;2

06. Si: – x = 4 , reducir:

168)4(E 27 7 ; en función de "x"

Solución:27 7 )4()4(E

E = – 4 – | – 4|

* – 4 < 0 ( 3,14 ...) | – 4| = - + 4

E = – 4 – (- + 4)

E = 2( – 4)

E = 2x

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Funciones IXII

Funciones I

Define intuitiva y formalmente una función. Interpreta geométricamente los polinomios en IR. Aplica correctamente las teorías de las ecuaciones e inecuaciones, como elementos previos

al análisis. Interpreta correctamente los conceptos de Dominio y Rango en una función real de variable

real.

FUNCIONES I

DEFINICIÓN: f: A B x A; ! y B/ (x;y) f

Condición de existenciaSi (x;y) f (x;z) f

y = z

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

RANGO DE UNA FUNCIÓN

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Dom f = {x A/ ! y B / (x;y) f

Ran f = {y B / x A (x; y) f

Dada: f: A Bf = {x, y) A x B / y = f(x)

FUNCIONES ELEMENTALES1) Función Constante: f(x) = c2) Funición Identidad: f(x) = x3) Función Valor Absoluto: f(x)= x4) Obs.: y = f(x) f(x) = y* Dado (a,b) f(a) = b

1) Función lineal: y = ax + b2) Función cuadrática: y = ax + bx + c; a 03) Función Raiz Cuadrada y = x

2

DIOFANTO DE ALEJANDRÍA

Parece que Diofanto de Alejandría vivió en el año 275 D.C. Escribió 13 libros de Aritmética, de loscuales solo se conocen 6. Estos libros comenzaron a atraer la atención de los matemáticos europeos,1200 años después de haber sido escritos. La obra de Diofanto tiene gran importancia, porqueperfeccionó la notación matemática al mismo tiempo que dio amplia perspectiva al desarrollo de lamatemática simbólica y su aportes se evidenciaron con la creación de la primera escuela francesaen los siglos XV y XVI. Fue Diofanto quien per primera vez introdujo letras y signos para los cálculos,de alli que su Álgebra se la ha llamado "Álgebra sincopada", que antecede al Álgebra simbólicaactual. Introdujo la letra griega:"" para indicar la incógnita, halló representaciones para sus potenciasy usó el símbolo "" para indicar la igualdad. Por ejemplo, con la notación de Diofanto, la ecuación3x = 12 sería: y i. Ya Diofanto usó, de modo explícito, la propiedad que dice que al sumar o restaruna misma cantidad a los dos miembros de una igualdad, esta no varía. Los conocimientos transmitidospor Diofanto permiten entender por qué se le puede considerar el verdadero algebrista de losmatemáticos de la escuela greco alejandrina. Desgraciadamente su obra no tuvo seguidores, si

}

}

}

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13

Álgebra

exceptuamos el interés demostrado hacía ella por Hipatía, noble mujer, a la que se le recuerda tantopor sus estudios de matemáticas como por su trágico fin en el 415 D.C., a manos de una muchedumbrede fanáticos cristianos.

Su Aporte: Poco se sabe de la vida de Diofanto, aparte de una tradición antigua que ha quedadoregistrada en una colección de problemas que data de los siglos V o VI y que se conoce con elnombre de "Antología griega". Hemos visto ya, dicho acertijo, página atrás y, si es correctohistóricamente, Diofanto vivió 84 años aunque la inseguridad en que nos encontramos respecto a lavida de Diofanto es tan grande que ni siquiera sabemos con exactitud en qué siglo vivió.

A Diofanto se le puede llamar el padre del Álgrebra, aunque esto no hay que tomarlo literalmentedado que su obra no contiene nada del material que constituye la base del Álgebra elemental moderna,ni tampoco se parece en absoluto al Álgebra geométrica que utilizó Euclides. La obra más importanteque conocemos de Diofanto es: Aritmética, tratado que consta 13 libros de los que solo han sobrevividolos seis primeros. No olvidemos que en Grecia la palabra: "Aritmética" significaba realmente, teoríade números y no teoría del cálculo; por este motivo la Aritmética griega tenía más en común con laFilosofía que con lo que podemos llamar Matemática y no es extraño que esta materia haya sidoimportante en el pensamiento neoplatónico durante la época alejandrina tardía. La Aritmética deDiofanto está caracterizada por un alto grado de habilidad matemática y de ingenio puesto en juego.Esta obra está dedicada a la resolución exacta de ecuaciones determinadas e indeterminadas ydebido al profundo estudio de estos temas es llamado análisis diofántico.

Trató ecuaciones como: x2 = 1 + 30y2 o bien x2 = 1 + 26y2 que son casos particulares de la"Ecuación de Pell": x2 = 1 + py2, aunque Diofanto da una única solución, resolvió ecuaciones del tipo:

20yx208yx 22

y también

370yx

10yx33 aunque de modo muy original y práctico Diofanto ejerció una

influencia enorme sobre la teoría de números moderna, en particular, Fermat se vio conducido a sucélebre teorema cuando intentó generalizar el problema de Diofanto: "Dividir un cuadrado dado en lasuma de otros dos números cuadrados".

FUNCIONES

Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamaremos funciónde A en B al conjunto de pares ordenados (x; y) tales quea cada x A, le corresponde un único y B.* Es decir toda relación entre dos conjuntos no

vacíos A y B, que verifique:

I) Todo elemento de A está relacionado con algunodel conjunto B.

II) Cada elemento de A está relacionado con un únicoelemento de B.

Se llama función de A en B. formalmente:

f A x B/ es una función de A en B, sí y sólo si:

x A, ! y B (x; y) f

Ejemplos:(1)

f = (1;p), (2;q), (3;r)……"es una función"

(2)

"h" no es función pues no cumplecon la condición de la definición.

"… le asocia en único elemento …"(8 se asocia con 2 y con 3)

(3)

"p" no es una función pues no cumplecon la condición de la definición:

"… a todo elemento del conjunto A …"("a" no se asocia con algún elemento de B)

A B

A B

7

8

9

1234

h

A B

a

b

c

pqrs

P

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NOTA:Toda función es una relación, pero no todarelación es una función.

NOTACIÓN:

La función f de A en B se denota por:

f: A B ó A B

Se lee f es una función de A en B.

CONDICIÓN DE EXISTENCIA Y UNICIDAD

Sea: f: A B una función, luego se debe cumplir:I) Para cada x A, ! y B / (x, y) f

II) Si: (x; y) f (x; z) f, entonces y = z

Ejemplo1:

(A)

* Cumple la condición I y II

f = (1;p), (2;n), (3;m) es función

(B)

* No cumple II, pues (9;-2) y (9;-5) g.

g = (9;-2),(9;-5),(10,-5),(11;-7) es una relaciónpero no es función.

(C)

* No cumple I pues el elemento c A no estárelacionado con ningún elemento de B.

Observación:

Una función f: A B consta de tres partesun conjunto A llamado dominio de la función(o conjunto de partida), un conjunto B dondeestá incluida el rango de la función (o conjuntode llegada) y una regla que permite asociarde manera bien determinada a cada x A

con un único elemento f(x) B, llamado laimagen de x. No se debe confundir f con f(x)ya que f es la función, mientras f(x) es laimagen de un punto x de su dominio.Definamos correctamente cada una de laspartes de una función:

DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Sea: f: A B una función de A en B llamaremosdominio de la función f al conjunto de todas susprimeras componentes de los pares ordenados de lafunción, al cual denotaremos por Dom f, es decir:

Domf = x A ! y B (x, y) f

RANGO DE UNA FUNCIÓNSea: f: A B una función de A en B llamaremosrango de la función f al conjunto de todas sussegundas componentes de los pares ordenados quepertenecen a la función, y se denota por Ranf, esdecir:

Ranf = y B x A (x; y) f

Observaciones:

* El dominio de una función es llamado tambiénconjunto de partida o conjunto de preimágenes.

* El rango de una función es llamado tambiénconjunto de llegada o conjunto de las imágenes.

* Una función queda definida si se tiene su dominioy su regla de correspondencia.

REGLA DE CORRESPONDENCIA

Dada la función f: A B, f se puede escribir en laforma:

f = (x; y) A x B y = f (x)

Donde la ecuación y = f(x) es llamada regla decorrespondencia, y nos permite calcular la imagende un elemento del dominio.Donde podemos decir que:

"x" es la variable independiente"y" es la variable dependiente

CRITERIO PARA EL CÁLCULO DEL DOMINIOY RANGO DE UNA FUNCIÓN REAL DE

VARIABLES REAL

El dominio de una función f se determina analizandotodos los valores posibles que pueda tomar "x", detal manera que f(x) sea real, salvo el caso en que eldominio sea especificado. El rango se determinapartiendo de la condición dada para los x en el

f

A B

1

2

3

m

n

p

f

A B

9

10

11

-2

-5

-7

g

A B

a

b

c

2

4

6

h

3-X

-Com

20

10

.pm

d

15

Álgebra

dominio y se construye las cotas o valoresadecuados para y = f(x).

Pero teniendo varias formas de hallar el rango,presentaremos las más conocidas:* Cuando tenemos una función donde su dominio no

presenta rango, se despeja "x" en función de "y".* Cuando tenemos un intervalo como dominio

usamos desigualdades.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una función real de variable real es un conjunto depares ordenados de números reales y, por tanto puedeconsiderarse como un conjunto de puntos del planocartesiano, los cuales constituyen la representacióngráfica de la función. Así logramos ilustrar de maneramás efectiva, el comportamiento de la función,mostrando como cambian los valores de f(x) cuandox varía dentro de su dominio.

DEFINICIÓN:Si g es una función real de variable real la gráfica deg es la representación geométrica de todos los paresordenados que pertenecen a g.

Graf g = (x,y) R2 / y = g(x); x Domg

PROPIEDAD GEOMÉTRICA

Si cada línea paralela al eje Y corta a la curva en unsolo punto, o bien no la corta, la curva es la gráficade una función. Si por el contrario, alguna línea verticalcorta a la curva en más de un punto, dicha curva noes la gráfica de una función.

FUNCIONES ELEMENTALES

Debido a su importancia, en esta secciónestudiaremos algunas funciones reales de variablereal, que aparecen con frecuencia en aplicacionesde la matemática y a la vez sirven para ilustrar algunaspropiedades particulares de funciones. Cada una seidentifica con un nombre especial e incluso algunastienen símbolos ya establecidos para representarlas,por ejemplo las barras son el símbolo de laFUNCIÓN VALOR ABSOLUTO.

1. FUNCIÓN CONSTANTELa función constante asigna a todos los valoresreales un mismo número, se representa por:f(x) = c, en donde c es un número real "Sugráfica es una línea recta horizontal que pasapor (0; c)".

2. FUNCIÓN IDENTIDADEs la función denotada por I, cuyo dominio es IRy regla de correspondencia.

I(x) = x

Su rango es IR y su Gráfica es:

* O también está expresada por la ecuación y = x,es decir, en todos los pares de la relación losvalores de las variables son iguales. Se expresaF: (x;y) / y = x

* Regla de correspondencia: f(x) = x

Df = IR Rf = IR

* Significa que: f =…(1;1),(2;2),(3;3)…

3. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTOLa función valor absoluto es aquella que asignaun valor positivo a todo valor de su dominio.Se define como F = (x,y) / y = x

* Es decir su dominio es IR y regla decorrespondencia:

0x;x0x;x

|x|)x(f

* Su rango es IR0+ = 0; + j y su gráfica es:

Tabla de Valoresx …. -2 -1 0 1 2 ….. y …. 2 1 0 1 2 …..

x

y

y=g(x)

Ran

go

Dominio

c

(0; c)y

y = c

x

I

x

y

45º

16

Álgebra

3-X

-Com

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10

.pm

d

El gráfico de la función valor absoluto de x estáformado por dos semirectas cuyo origen es elpunto 0, y que coinciden con las bisectrices delprimer y segundo cuadrante.

Gráfica por desplazamientos:

f(x) = a x-h+ k

Donde: Vértice = (h; k) desplazamiento vertical desplazamiento horizontal

Observaciones:

1º) Si a > 0 La gráfica se abre hacia arriba.

2º) Si a < 0 La gráfica se abre hacia abajo.

FUNCIONES POLINOMIALES

1. FUNCIÓN LINEAL:Una función lineal es aquella que tiene por reglade correspondencia:

f(x) = ax ; a 0

2. FUNCIÓN AFÍN LINEAL:Función polinomial de primer grado.

f = (x, y) / y = ax + b; a 0

* Gráficamente, representa una línea recta quecorta al eje Y en b y al eje X en –b/a.

* La función afín lineal puede verse como unatraslación de la función lineal, su regla decorrespondencia es:f(x) = ax + b, donde a y b son números reales,a 0

Domf = IRRanf = IR

3. FUNCIÓN CUADRÁTICAEs la función cuyo dominio es IR y regla decorrespondencia.

f(x) = ax2 + bx + c; a 0; {a, b, c} IR

* Su gráfica es una parábola simétricarespecto a una recta vertical (llamada eje desimetría) abierta hacia arriba si a > 0 y haciaabajo si a < 0 .

* Su gráfica es una parábola con vértice en:

V(-b / 2a; f(-b / 2a))

* Su regla de correspondencia:y = ax2 + bx + c; a 0, es posible llevarlo a laforma: y = a (x-h)2 + kDonde: V = (h;k) es el vértice de la parábola.

4. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADAEs la función determinada por la siguiente reglade correspondencia:

xf )x(

Su gráfica es:

Dominio: x [0;Rango: y [0;

Gráfica por desplazamientos:

khxaf )x(

y=|x|

x

y

45º45º

f(x)

x

y

v(h,k)

Dom: x IRRan: y [k;

v(h;k)

x

yDom: x IRRan: y <- ;k]

x

y

0f(x)=ax

x

y

(0;b)

(-b/a; 0) a es la pendiente

f(x) = x

3-X

-Com

20

10

.pm

d

17

Álgebra

Vértice = (h;k) desplazamiento vertical desplazamiento horizontal

Si a > 0 la gráfica se abre hacia arriba.

Dom [h;Ran [k;

Si a < 0 la gráfica se abre hacia abajo.

Dom [h;Ran -;k]

01. Determina los valores de a y b de modo que elconjunto:

F = {(2;5), (-1;4) , (2; 2a2-b), (-1;b-a2)}sea una función.

Solución:2a2 - b = 5 a2 = 9b - a2 = 4 a = 3 a = -3

como: b - a2 = 4 b = a2 + 4b = 13

a = 3 a = -3 b = 13

02. Determine la suma de todos los valores queasume "m" de modo que la relación de A en Bsea una aplicación.

Solución:F es una aplicación si y solo si: DF = A, enconsecuencia debemos plantear lo siguiente:

{5;3} = {5;m-2;3}

m - 2 = 5 m - 2= 3 m = 7 m = 5

valores de "m" = 12

03. Determinar el rango de la función F, la cual vienedada por:F; IR IR/ y = F(x) = 2x-3; x 5;10]

Solución:Obs: El rango se puede encontrar a partir deldominio, pues con x 5,10], bastará determinarla extensión de y = 2x - 3.Luego:

5 < x 1010 < 2x 20

7 < 2x - 3 17y

Finalmente: RF = 7;17]

04. Determine el dominio de la función F, donde

F: IR IR / y = F(x) = 2xx2

Solución:Condición de existencia:

2 + x - x2 0 x2 - x - 2 0(x - 2) (x + 1) 0

DF = [-1;2]

5. Esbozar la fráfica de la función F, donde:

F : IR IR / y = F(x) = x x

Solución:Redefiniendo la función tenemos:

y =

0x;00x;x2)x(F

Finalmente, la gráfica será:

v (h;k)

v (h;k)

A B

5

m-2

3

1

2

3

F

+ +2-1

y = x2

y = 0

y

x

18

Álgebra

3-X

-Com

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10

.pm

d

06. Para la función definida por:g(x) = 2x2 + 3x + 2; x IR

Determine el rango.

Solución:

* Primero hacemos.

y = 2x2 + 3x +2 2x2 + 3x + (2 - y) = 0

* Despejamos "x", así:

)2(2)y2)(2(493

x

* Si "x" IR; "y" también IR

* Pero: 0; 9 – 8 (2-y) 0 y 7/8Rg = 7/8;

07. Para la función definida por:

h(x) = x2 - 4x + 7; x 2; 3Determine el rango.

Solución:y = x2 -4x + 7 y = (x-2)2 + 3

* Como: 2 x 3 0 x-2 1

0 (x-2)2 1

* Más tres: 3 (x-2)2 + 3 4Rh = 3;4

3-X

-Com

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.pm

d

19

Álgebra

Funciones IIXIII

Identifica analíticamente y geométricamente las nociones de cada una de las funciones propuestas. Calcula con precisión funciones "Inversas", identificando su dominio y rango. Interpreta correctamente la gráfica de una función inversa.

CARL FRIEDRICH GAUSSEn el siglo XIX, en el que distintas ramas de la matemática habían alcanzado un alto

nivel de desarrollo, destaca la figura del alemán Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), aquien puede considerarse como el último matemático capaz de abarcar todas las ramasde esta ciencia.

Nació en Brunswick, en el seno de una familia humilde y sería conocido como"príncipe de las matemáticas". Pudo realizar sus primeros estudios gracias al apoyo dela familia materna frente a la intransigencia del padre, que se negaba a dejarlo estudiar.Pero quien más contribuyó a la educación del joven Gauss fue el duque de Brunswick

Funciones II

FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVA FUNCIÓN BIYECTIVA

FUNCIONES II

FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE

La función F es inyectiva (función uno a uno), cuando para cada imagen “y” le corresponde una y solo una preimagen “x”.

i) Si f(x ) = f(x )

ii) Si x

1 2

1

x = x ; x ; x Dm fx

f(x ) f(x )

1 2 1 22

1 2

“Se dice que una función es s o b r e y e c t i v a , c u a n d o TODOS los elementos del conjunto de llegada (B) son imagen de algún elemento del conjunto de partida (A)”.

Rango (f) = By B; x A / f(x) = y

“Una función es biyectiva c u a n d o e s i n y e c t i v a y sobreyectiva a la vez”.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

a.

b.

c.

.x

.y

.z.w.u

.x

.y

.x

.y

.z

A A AB B B

“Todo B está conectado

f f f

20

Álgebra

3-X

-Com

20

10

.pm

d

FUNCIÓN INYECTIVA O UNIVALENTE

La función F es inyectiva (univalente o uno a uno)cuando para cada imagen "y" le corresponde unay sólo una pre imagen "x".

* Simbólicamente:

Si: f(x1) = f(x2) x1 = x2 ; x1 , x2 Domf oequivalentemente:

Si: x1 x2 f(x1) f(x2) x1 , x2 Domf

Esto nos indica que ninguna de las imágenesestá relacionada con más de una pre imagen. sise analiza los pares ordenados de una funcióninyectiva, se observa que ninguna segundacomponente aparece más de una vez.

Regla Práctica:Si f es una función inyectiva, una paralela al eje xdebe intersecar a la gráfica de la función a lo más enun punto es decir cualquier recta horizontal que cortea la gráfica, lo hará en un solo punto.

Ejemplo 1:

* La gráfica de la figura define la aplicación f: A B.

* Esto es: f = {(1,6), (2,7),(3,8)}

Es una función inyectiva, porque a los elementosdiferentes 1, 2 y 3 del dominio le correspondenlas imágenes 6, 7 y 8 que también son diferentes.

Ejemplo 2:

* Al existir dos elementos en el dominio con lamisma imagen bastará para afirmar que "f" noserá inyectiva.

quien le pagó los estudios en la Universidad de Gotinga y le protegió hasta que alcanzó la fama como granmatemático. Cuando tenía 18 años, descubrió la posibilidad de construir con regla y compás el polígono regular de17 lados y, con ella, la relación entre la construcción de polígonos regulares y los números primos Fermat. Laadmiración que le produjo este descubrimiento que vincula dos aspectos tan distintos de la matemática, le hizodecidirse por esta última. El mismo año, 1796, Gaus inicia un diario científico en el que irá apuntando resultadosy cálculos interesantes por él, aunque éstos solo están enunciados sin ningún tipo de demostración o comentario.El último apunte está fechado en 1814. Durante estos años, Gauss llegaría a escribir 146 resultados, muchos deellos completamente nuevos, pero, sin embargo, el autor nunca estuvo interesado en su publicación, pues, alparecer, la creación científica era para él una satisfacción personal, sin importarle demasiado la transmisión desus conocimientos al mundo científico de su época. El diario fue descubierto y publicado en 1898, es decir,cuarenta y tres años después de la muerte de su autor. Gauss se dedicó exclusivamente a la matemática purahasta innicios del siglo XIX, consiguiendo importantes resultados en Álgebra, como la demostración del TeoremaFundamental y la representación gráfica de los complejos. En 1801 publicó una obra dedicada principalmente a lateoría de números, "Disquisitiones aritbmeticae", con la cual eleva a la aritmética al rango de disciplina plenamentedesarrollada de la matemática. Trabajó también en geometría llegando a importantes conclusiones sobre elquinto postulado de Euclides y siendo uno de los precursores de las geometrías no euclídeas.

A partir de 1800, Gauss, empezó a dedicarse a la ciencia aplicada más directamente. Son importantes susestudios sobre astronomía, física y electromagnetismo. Al igual que Arquímedes y Newton, fabricó algunos de losinstrumentos necesarios para sus investigaciones. Contribuyó con Weber a la construcción del primer telégrafoelectromagnético. Uno de los instrumentos matemáticos, que lleva su nombre, nació de sus estudios sobre loserrores de medición, que le llevaron, al hacer la representación gráfica de las frecuencias, a la curva en forma decampana, la llamada campana de Gauss, de gran importancia en la estadística.

A partir de su nombramiento como director del observatorio astronómico de Gotinga, en 1807, y delreconocimiento por parte de sus contemporáneos como el matemático más grande de su tiempo, su vida discurriótranquila y sin preocupaciones económicas. Combinó las investigaciones científicas con los momentos de ocio,que dedicaba a la lectura de la literatura europea de su tiempo y de los clásicos. Tubo un gran interés por el estudiode las lenguas, que según decía servía para mantener la agilidad mental.

Matemática Visión Histórica - Arnorldo Mondadori

123

5678

A Bf

abc

1

2

3

A Bg

3-X

-Com

20

10

.pm

d

21

Álgebra

Ejemplo 3:¿Es inyectiva f(x) = -3x + 2 ?

Solución:

* Partimos de dos imágenes que sean igualesf(x1) = f(x2). Si logramos establecer que x1= x2, habremos demostrado que es inyectiva.

Entonces:

-3x1+2 = -3x2+2 -3x1=-3x2 y de aquí x1=x2

* Por lo tanto, la función es inyectiva. La gráfica deesta función corresponde a una recta inclinada,lo cual implica que cualquier paralela al eje X laintersecará en un solo punto, como era deesperarse.

Ejemplo 4:

* La recta horizontal corta en dos puntos al gráficode la función f(x) = x2, entonces la función no esunivalente o inyectiva.

* La recta horizontal corta en un solo punto al gráficode la función g(x) = x3, entonces la función esunivalente o inyectiva.

* Para averiguar si una función es inyectivacualquier recta horizontal debe cortar a la gráficade la función a lo más en un punto.

Ejemplo 5:La función F(x) = 4 – x2; x -2, 2 al ser graficada, será:

* No es inyectiva dado que existen rectashorizontales, que cortan al gráfico en dos puntos.

* Pero si restringimos, el dominio a -2; 0 resultaría:

En este caso si sería inyectiva.

Ejemplo 6:

Mostrar f: <- ; -1> R con:

inyectivaes5x4x11)x(f 2

Solución:

* Sean x1 , x2 Domf, luego: f(x1) = f(x2)

5x4x115x4x11 22

212

1

5x4x5x4x 22

212

1

9)2x(9)2x( 22

21

|2x||2x|)2x()2x( 212

22

1

2x2x 21 (ya que x1 ; x2 <- ;-1> x1 = x2)

Domfx,x;xx)x(f)x(f 212121 f es inyectiva.

Ejemplo 7:Sea la función: f(x) = -x2 – 4x – 3 , si: x -2 determinarsi f es univalente.

Solución:* Hagamos f(x1) = f(x2) . Si la única solución de

esta ecuación es x1 = x2 entonces f seráunivalente. Así:

Si f(x1) = f(x2) -x12 - 4x1 - 3 = -x2

2 - 4x2 - 3

x22 - x1

2 + 4x2 - 4x1 = 0

(x2 - x1)(x2 + x1 + 4) = 0

x2 - x1 = 0 ó x1 + x2 + 4 = 0

Si: x2 - x1 = 0 x1 = x2 .......... (1)

* Veamos si se verifica x1 + x2 + 4 = 0 comox1 2 y x2 2 x1 x2 4

x1 + x2 + 4 0

* Así parece que puede ser que x1 + x2 + 4 = 0.Pero esto se obtiene sólo si ambos x1 y x2 soniguales a – 2. Entonces x1 = x2 = -2, verifica (I)por lo que f es univalente; ya que en cualquierotro caso : x1 + x2 + 4 > 0

Teorema:Si f es una función creciente (o decreciente),entonces f es inyectiva.

1 2

yf

1

x

y g

-2 x20

y

4

-2

4y

0 x

22

Álgebra

3-X

-Com

20

10

.pm

d

Demostración:

* Sea f una función creciente y sean x1, x2 Domf tal que: x1 x2

Luego: x1 < x2 x2 < x1

Entonces:

a) Si: x1 < x2 f(x1) < f(x2)

b) Si: x2 < x1 f(x2) < f(x1)

Es decir: f(x1) f(x2)

Por tanto, f es una función inyectiva. Análogamentese prueba cuando la función f es decreciente.

FUNCION SOBREYECTIVA O SURYECTIVA

Se dice que una función es sobreyectiva cuandotodos los elementos del conjunto de llegada (B)son imagen de algún elemento del conjunto departida (A).

f es sobreyectiva y B, x A / f(x) = y

* Esto equivale afirmar que es sobreyectiva lafunción cuyo rango es igual al conjunto dellegada.

* Cuando una función sobreyectiva se expresa enforma de pares ordenados, se observa que todoslos elementos del conjunto de llegada aparecen,al menos una vez, como segunda componentede algún par.

f es suryectiva Ranf = Y

Existe sobreyección, si todos los elementos de Ytienen su preimagen en el conjunto de partida X, conla alternativa de que un elemento de Y puede serimagen de varios elementos de X.

Ejemplo 1:

La función f = (3,6),(4,6), definida de A en B segúnla figura es sobreyectiva, porque el rango de "f" estáformado por el conjunto 6, que es todo el conjuntode llegada.

Ejemplo 2:

La función: g = {(1,3),(2,5),(3,3)}, definida según lafigura de C en D, no es sobreyectiva, porque el rangode g está formado por los elementos 3 y 5, que noson todo el conjunto de llegada.

Ejemplo 3:

f es sobreyectiva g no es suryectiva

Sea la función numérica f definida por:f(x) = 3x – 4, ésta es sobreyectiva; porque, cualquieraque sea el número real y, la ecuación 3x – 4 = yadmite la solución: x = (y + 4)/ 3, donde y R.

Ejemplo 4:¿Es sobreyectiva la función h: R R / h(x) = x2?

Solución:Se coloca la imagen en función de la preimagen yobtenemos: x = y

* Como la raíz es de índice par, notamos confacilidad que los únicos valores de y que puedenaparecer como imagen, son los nulos o lospositivos, y así el conjunto de llegada no seráigual al rango y tendremos que la función no essobreyectiva.

Conclusión:Por lo anterior se concluye que para ver si una funciónes sobreyectiva , bastará hallar su rango y compararlocon el conjunto de llegada.

Interpretación Gráfica:

f es sobreyectiva g no es sobreyectiva

3

46

fA B

1

3

4gC D

2 35

1

3

afA B

2

4

bcd

1

3

a

gA B

2

4

bcd

X

x

Yf

Ranf

X

x

Yg

Rang

3-X

-Com

20

10

.pm

d

23

Álgebra

NOTA:

* Si: f : A B suryectiva con A y Bconjuntos finitos, entonces:n(A) n(B)

* En aquellas funciones donde no seindica el conjunto de llegada, se lesconsidera suryectiva.

Ejercicio 1:Sea la función f: IR IR definida por f(x) = x2 - 1Averigue si f es sobreyectiva

Solución:

* Para que f sea sobreyectiva debe cumplirse queRanf = IR

* Hallemos el Rango de f, como x IR x2 0 x2 - 1 -1 f(x) -1 Ranf = [-1; +>

* Luego Ranf IR

* Por tanto, f no es sobreyectiva

Ejercicio 2:Averiguar si:f : <0; 5] [-4; 5] es sobreyectiva con:f(x) = x2 - 4x

Solución:

0 x 5 -2 < x - 2 3 0 0 (x - 2)2 9 -4 (x - 2)2 - 4 5 -4 f(x) 5 Rang(f) = [-4; 5] Rang(f) = [-4; 5] luego f es suryectiva.

Ejercicio3:

Si: f : <- ; 1] [2;> es una función decreciente(estrictamente decreciente) y suryectiva tal que:

abHallar.a)0(fy1x;2

bax)x(f

Solución:

* Como f es suryectiva Rf = B = [2; > como f esdecreciente: f(1) = 2 ¿por qué?.

* Resolvemos:

4ba22

ba2)1(f

a2ba2ba)0(f

a = 4 b = 8

* Piden: b - a = 8 - (-4) = 12

Ejercicio 4:

La función f: [-1; 3] B con f(x) = |2x| - x + 1 essobreyectiva (suryectiva), entonces se pide hallar B.

Solución:

x + 1 ; 0 x 3f(x) = ¿por qué?

-3x + 1 ; -1 x < 0

* Como f es suryectiva Rf = Rf1 Rf2

Si : 0 x 3 1 x + 1 4 Rf1 = [1; 4]

Si : -1 x < 0 3 -3x > 0 4 -3x + 1 > 1

Rf2 = <1; 4]Rf = [1; 4] <1; 4] = [1; 4]

NOTA:Toda funciónf es sobreyectiva sobre su rango.

FUNCIÓN BIYECTIVA

Una función es biyectiva cuando es inyectiva ysobreyectiva a la vez,. Se le conoce porque sugráfica es cortada por cualquier recta paralela aleje X y, además este corte se produce en un solopunto.

f es biyectiva f es inyectiva y sobreyectiva

Interpretación Gráfica:

Observamos que el rango coincide con el conjuntode llegada y cada elemento de éste es imagen de unsolo elemento del dominio, es decir, es sobreyectivae inyectiva a la vez.

f

y

xpartida

llega

da

función biyectiva

24

Álgebra

3-X

-Com

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10

.pm

d

Ejemplo 1:

* Sea la función f: {(2; b), (6; a), (7; c)}, definida deA en B mediante el gráfico de la figura.

* Podemos afirmar que:

I) A elementos diferentes del dominio lecorresponden imágenes diferentes.

II) El rango de "f" está formado por los elementosa, b, c que forman todo el conjunto de llegada B.

* De (I) y (II) concluímos que la aplicación "f esbiyectiva de A en B".

Ejemplo 2:

* Dada la función h: {(3; a) ; (4; b)}, definida de Cen D según el gráfico de la figura, podemos afirmarque:• El rango de la aplicación "h" está formado por

los elementos "a" y "b" , que no son todos loselementos del conjunto D.

• Luego, la aplicación "h", de C en D no esbiyectiva.

FUNCIÓN INVERSA

Sea f una función biyectiva, entonces f posee inversadenotada por f-1 o f*, y se define de la siguientemanera:

f * = {(y; x) / y f(x) ; x Domf}

* La inversa de f es la función que se obtiene alintercambiar la primera y segunda componenteen cada par ordenado de f.

* El dominio de f* es el rango de f y el rango de f*es el dominio de f.

Domf = Rangf* = x

Rangf = Domf* = y

CÁLCULO DE LA FUNCIÓN INVERSA

Si f es una función: y = f(x) biyectiva

I) Se despeja x, x = g(x)

II) Se reemplaza y por x y a la función y se llamainversa de f y se denota por f*.

x = f*(x)

Calcular el Ran (f) que será exactamente el dominiode f* y así se obtiene f*.

Ejemplo 1:¿Cuáles de las siguientes funciones tienen inversa?

I) f = {(1; 2) , (2; 3), (3; 4)}II) f = {(2; 1), (3; 2), (4; 1), (5; 3)}

Solución:I) Es inyectiva: A cada imagen y le corresponde

una pre - imagen x, por lo tanto, existe f-1 (x).II) No es inyectiva, pues a la imagen y = 1 le

corresponde dos pre imágenes. No existe f-1 (x).

Nota:* Si g es la inversa de f, entonces también f es la

inversa de g, es decir: (f-1)-1 = f

* La notación empleada para la función inversano debe confundirse con la ley de lapotenciación, aquí el símbolo superior -1 noes un exponente, en general:

)x(f1)x(f 1

Ejemplo 2:Para hallar f-1(x), dado f(x) = x + 3, que es inyectiva,de y = x + 3 despejamos x y obtenemos:x = (y - 3)2, luego intercambiamos x con y:y = (x - 3)2, entonces f-1(x) = (x - 3)2

Además:

Df = [0; [ ; Rf = [3 ; [ ; Df-1 = [3; [ ; Rf-1 = [0; [

GRÁFICA DE LA FUNCIÓN INVERSA

* Para que "f" tenga inversa a la gráfica de la relaciónf* toda recta vertical debe cortarla a lo más en unpunto o que es lo mismo: que a la gráfica de ftoda recta horizontal la corte a lo más en un punto(en otras palabras f debe ser inyectiva).

* Para obetener la gráfica de f* se refleja la gráficade f en la recta L: y = x (eje de simetría)

2.

6.

7.

A.a

B

.b

.c

f

3.

4.

C.a

D

.b

.c

h

3-X

-Com

20

10

.pm

d

25

Álgebra

* P es punto medio de AB

y

xA

B

P

xf(x)

f(x)

xf =f*-1

(f(x);x) y=x

(x;f(x))

01. Si f es una funcion tal que:f : [2 ; 5] [1 ; 4]es lineal, biyectiva y estrictamente decreciente,entonces el valor de f*(3) es:

Solución:f(x) = mx + b ;como es decreciente f(2) = 4 f(5) = 1

1bm54bm2

6b1m

3)3(*f3a6a3)a(f3a)3(*f

6x)x(f

02. Si la función:f: [5 ; b] [a ; 72] f(x) = x2-8x+7es biyectiva, entonces el valor de: M = a + b, es:

Solución:[5 ; 13] [-8 ;72]

* f(5) = a (5 - 4)2-9 = a a = -8* f(b) = 72 (b - 4)2 -9 = 72 b = 13

M = a+b=5

72

13

7

-8-9

4 5

03. Si f es una función definida por:

1x;1xxxf 2)x(

entonces la regla de correspondencia de la f* (siexiste), es:

Solución:

Sean: g(x) = x 1xxh 2)x( son funciones

crecientes 1x . f(x) es biyectiva (inyectiva)

1x;1xxxy 2

1xxxy 2

1xxxxy2y 222

xxy21y2

x1y21y2

Cambios de variable

1x21x*fy

2

)x(

04. Sean: f(x) = x3 + 2

3x2xg )x(

Si: 34))x(f(g **

Hallar: "x"

Solución:

Si: )34(g*f

34)*f(*g )x()x(

6)2(fx))34(g(fx

05. Si f(x) = 2x - 3

)3x(21g )x(

Entonces evaluar: )1(*)fog(

Solución:

Si 23xf3x2f )x(*)x(

Si 3x2)x(g)3x(21g *

)x(

)1*)(fo*g())1(*)fog(

))1(*f(*g

)2(*g

= 1

(fog)* (1) = 1 94Xf 2

)X(

26

Álgebra

3-X

-Com

20

10

.pm

d

LogaritmosXIV

Conoce la dependencia que existe entre variables Conoce la relación entre variables a través de representaciones visuales. Interpreta correctamente las gráficas de una función logarítmica Aplica las propiedades en la solución de problemas referentes a este tema.

EL NÚMERO "e"Casi siempre nos es presentada la noción de logaritmo, por primera vez, del

siguiente modo: "el logaritmo de un número y en base a es el exponente "x" talque ax = y". Sigue la observación: "Los números usados más frecuentementecomo base de un sistema de logaritmos son el 10, que es la base de nuestrosistema de numeración, y el número e = 2,71828182 ...". Esto nos deja intrigados.

Planteamos una pregunta ingenua: ¿Persiste la regularidad en la secuenciade las cifras decimales de este número? No. Apenas una coincidencia al comienzo.Un valor más preciso sería:

e = 2,718281828459No se trata de una fracción decimal periódica. El número "e" es irracional,

esto es, no puede ser obtenido como cociente e = p/q de dos números enteros.Más aún: es un irracional trascendente. Esto significa que no existe un polinomio

Logaritmos

LOGARITMOS

DEFINICIÓN: IDENTIDAD FUNDAMENTAL PROPIEDADES GENERALES

blog.nmblog)10

alogalogalog)9

alog1blog)8

dlogdlog.clog.blog)7BlogAlog)B/A(log)6

BlogAlog)AB(log)5alogn]a[log)4

nblog)31blog)201log)1

am

na

nn b

nnbb

ba

acba

bbb

bbb

bn

b

nb

b

b

IR)(xlogaritmox1)b0(bbaseb

0)(NnúmeroNNbxNlog x

b

Nb Nblog

1b0b*0N*

NNlogloganti*bxlogAnti

TMOANTILOGARI)N/1(logNlogNlogCo

OCOLOGARITM

bb

xb

bbb

21

2b1b

21

2b1b

xx01b0xlogxlog)ii

0xx1bxlogxogli)

ASLOGARITMICDESDESIGUALDA

Algunos caracoles desarrollansu concha en una espiral conti-nua a medida que crecen, origi-nando una espiral logarítmicanatural.

3-X

-Com

20

10

.pm

d

27

Álgebra

P(x) con coeficientes enteros, que se anule para x = e.¿Por qué entonces escoger un número tan extraño como base de logaritmos? Aún después de aprender que:

n

n11lime

xn

la indagación persiste: ¿Qué hace tan importante a ese número?Tal vez la respuesta más concisa sea que el número "e" es importante porque es inevitable, pues surge

espontáneamente en varias cuestiones básicas.Una de las razones por las cuales la matemática es útil a las ciencias en general está en el cálculo

(diferencial e integral), que estudia la variación de las magnitudes. Y un tipo de variación de los más simplesy comunes es aquel en el cual el crecimiento (o decrecimiento ) de una magnitud en un instante es proporcionalal valor de la magnitud en aquel instante. Este tipo de variación ocurre, por ejemplo, en cuestiones de interés,crecimiento de poblaciones (de personas o bacterias), desintegración radiactiva, etc.

En todos los fenómenos de esta naturaleza, el número "e" aparece de modo natural e insustituible. Loslogaritmos que tienen base "e" son, a veces, impropiamente llamados "logaritmos neperianos". En real idadlos logaritmos originales introducidos por Napier tenían por base el número a = (1-10-7)7.

Para ser más exactos, el verdadero "logaritmo neperiano" del número "x" era igual a:

7a

7

10xlog.10

Es más apropiado llamar logaritmos naturales a los logaritmos de base e; Euler los llamaba logaritmoshiperbólicos.

LOGARITMOS

DEFINICIÓNEl logaritmo de un número positivo en una basepositiva y diferente de uno será igual al exponente alcual hay que elevar la base para obtener dichonúmero.

NOTACIÓN:

RIx;0N,1b0bNbxNLog x

b

Ejm: Calcular:x32Log16

5x4

x

22

3216

5x4 45x

IDENTIDADES

1. Nb NbLog 0N,1b0b

2. xbLog xb RIx1b0b

Ejemplos:

93)7()7(49 2237Log37Log237Log

52Log32Log 522

OBSERVACIÓN1b0b

I. Logb1 = 0II. Logbb = 1

TEOREMAS:Sean los números ;0B0A además

1b0b

1. BLogALog)AB(Log bbb

2. BLogALogBALog bbb

3. AnLogALog bn

b

Ejemplo:Si:

b3Loga2Log 55 calcular:E = Log5360

28

Álgebra

3-X

-Com

20

10

.pm

d

Solución:

5Log3Log2Log)5.3.2(LogE 52

53

523

5

13Log.22Log.3E 55 , reemplazando:

1b2a3E

4. 0k;ALogALog bk

kb

5. 0n;ALog.nmALog b

mnb

OBSERVACIÓN:k A

k bb LogALog

nmbLog m

nb

Ejemplo:

5Log.85Log)5(Log25Log 68

642

44 64 6

5Log.535Log125Log 2

35232

6. Regla de la Cadena.

aLogdLog.cLog.bLog.aLog eedcb

Se deduce:

aLogbLog

11bLog.aLog ba

ab

Ejemplo:Calcular el valor de:

1)ab(Log1

1)ba(Log1E 2

a2

b

Solución:

aLog)ab(Log1

bLog)ba(Log1E

a2

ab2

b

)ba(Log1

)ba(Log1E 22

a22

b

)ab(LogaLogbLogE 2)ab(2b2a2b2a

21E

OBSERVACIÓN:Como:1 = Logaa = Logbb

7. Cambio de base

bLogALogALog

c

cb

OBSERVACIÓN:

aLogCLogCLog

ba

b

Ejemplo:

3Log7Log7Log

2

23

(de la base 3 a la base 2)

5Log12Log5Log

1233

8. RIc,aCaab

L o gcbL o g

Ejemplo:

822343E 3377

Log27

Log

LOGARITMO DECIMAL, VULGAR O DE BRIGGS

0N;NLogLogN 10

Ejemplos:Log12 = Log(22 . 3) = 2Log2 + Log3Log1000 = Log103 = 3

LOGARITMO NATURAL O NEPERIANO

0N;NLogNLn e

e = 2,718281828459 ......Ejemplo:Ln108 = Ln(22 . 33) = 2Ln2 + 3Ln3Lne15 = Logee15 = 15

COLOGARITMO

0n1b0b;N1LogNlogCo bb

También:

NLogNlogCo bb

Ejemplo:

72Log128logCo 722

343Log81Log

811logCo 4

332727

3-X

-Com

20

10

.pm

d

29

Álgebra

ANTILOGARITMO

NbNxlogAnti xb

RIx1b0b Ejemplo:

225logAnti;913)2(logAnti

51010 2

23

Propiedades:;1b0b

I. Antilogb LogbN = N ; N > 0II. Logb Antilogbx = x; x RI

LOGARITMO DE NÚMEROS NEGATIVOS

Todo número complejo puede ser expresado en formaexponencial cumpliéndose la siguiente relación:

a + bi = ei

donde: 22 ba

abarctg

Si b = 0 a = -N (un número negativo)

NN0)N( 22

= arctg(-0) = + 2k

es decir: -N = Ne(+2k)i

Tomando logaritmo natural:L(-N) = LN + ( + 2k)i

Valor principal: L(-N) = LN + 3,1416iTransformándolo a base decimal:

Log(-N) = 0,4343L(-N)

Log(-N) = 0,4343[LN + 3,1416i]

Log(-N) = LogN + 1,36439i

01. Calcular el logaritmo de 3 16 en base 4 2

Solución: x16log 324

3

16x

34

24x

2

316x4 2

02. Resolver: 1 + 2logx – log(7x + 12) = 0

Solución:log10 + logx2 = log(7x + 12) log10x2 = log(7x + 12) 10x2 = 7x + 12

Resolviendo: )cumpleno(34x1

23x2

23CS

03. Calcular "x" en:antilogxantilogx5 = 5

Solución:antilogxx5 = 5

5555x

5x

55x

5x

comparando:

5 5x

04. Halle el menor valor que asume "x" en:

2511log)21x72x(11log 35

Solución:

311log2)21x72x(11log 55

x2 – 7x + 21 = 9x1= 4 x2 = 3

El menor valor de "x" es 3.

05. Resolver: log2(3x + 2) – log2(1 – 2x) > 2Solución:

3x + 2 > 0 1 – 2x > 0

)(..........21x)(........

32x

Además:

01x22x11

4x212x3

2x212x3log2

21;

112x

-23

211

12

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03-X-Com20