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Análisis Matemático II
Tema:•Integración de funciones trigonométricas
Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui
Tema:•Integración de funciones trigonométricas
Ing. Ms. David Uscamayta Verástegui
Propósitos: Aplica las reglas de integraciónadecuadamente para funcionestrigonométricas.
Resuelve ejercicios de cálculointegral que contiene funcionestrigonométricas.
Aplica las reglas de integraciónadecuadamente para funcionestrigonométricas.
Resuelve ejercicios de cálculointegral que contiene funcionestrigonométricas.
Integración de funciones trigonométricas: fórmulas
Fórm ulas trigonom étricas fundam entales
sen 2px + cos2px = 1Fórm ula fundam ental de la
trigonom etría.
sen 2px = 2 sen px . cos pxcos 2px = cos2px – sen 2px
Seno y coseno del ángulodoble.
cos2px =1 + cos 2px
2
sen 2px =1 – cos 2px
2
Fórm ulas de reducción degrado.
sen a . cos b =12 sen (a + b) +
12 sen (a – b)
cos a . cos b =12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
sen a . sen b = –12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
Fórm ulas de conversión deproductos de senos y
cosenos en sum a.
sen (– px) = – sen pxcos (– px) = cos px
Seno y coseno del ánguloopuesto.
1 + tg 2 px = sec2 px;1 + ctg 2 px = csc2 px
1
2
3
Fórm ulas trigonom étricas fundam entales
sen 2px + cos2px = 1Fórm ula fundam ental de la
trigonom etría.
sen 2px = 2 sen px . cos pxcos 2px = cos2px – sen 2px
Seno y coseno del ángulodoble.
cos2px =1 + cos 2px
2
sen 2px =1 – cos 2px
2
Fórm ulas de reducción degrado.
sen a . cos b =12 sen (a + b) +
12 sen (a – b)
cos a . cos b =12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
sen a . sen b = –12 cos (a + b) +
12 cos (a – b)
Fórm ulas de conversión deproductos de senos y
cosenos en sum a.
sen (– px) = – sen pxcos (– px) = cos px
Seno y coseno del ánguloopuesto.
1 + tg 2 px = sec2 px;1 + ctg 2 px = csc2 px
4
5
6
Integración de funciones trigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método
n parReducir el grado del integrando por medio delas fórmulas de reducción de grado (3), segúnconvenga.(I) ⌡
⌠ senn px dx
⌡⌠ cosn px dx
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potenciasustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienenintegrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando lasfórmulas 3.
(II)⌡⌠ senn px . cosn px dx
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca unfactor, sustituyendo en el resto de la potencia larelación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
⌡⌠ senn px . cosn px dx =
12n ⌡
⌠ senn 2px dx
que es del tipo (I).
Forma Condiciones Método
n parReducir el grado del integrando por medio delas fórmulas de reducción de grado (3), segúnconvenga.(I) ⌡
⌠ senn px dx
⌡⌠ cosn px dx
n impar
Sacar un factor (seno o coseno) de la potenciasustituyendo en el resto de la potencia la rela-ción 1. Al desarrollar la potencia se obtienenintegrales inmediatas tipo potencial.
m y n pares Reducir el grado del integrando aplicando lasfórmulas 3.
(II)⌡⌠ senn px . cosn px dx
m ó n impares
De la potencia de exponente impar se saca unfactor, sustituyendo en el resto de la potencia larelación 1. Al desarrollar la potencia se obtie-nen integrales inmediatas tipo potencial.
Caso particular Si m = n Aplicar la relación (2a) para obtener:
⌡⌠ senn px . cosn px dx =
12n ⌡
⌠ senn 2px dx
que es del tipo (I).
Forma Condiciones Método(III)
⌡⌠ sen px.cos qx.dx
⌡⌠ sen px.sen qx.dx
⌡⌠ cos px.cos qx..dx
p y q númerosreales cuales-
quiera
Convertir los productos en sumas mediante larelaciones 4 según convenga.
Integración de funcionestrigonométricas: métodos
Forma Condiciones Método(III)
⌡⌠ sen px.cos qx.dx
⌡⌠ sen px.sen qx.dx
⌡⌠ cos px.cos qx..dx
p y q númerosreales cuales-
quiera
Convertir los productos en sumas mediante larelaciones 4 según convenga.
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos
=⌡⌠
sen3x.dx +⌡⌠
cos43x sen 3x.dx –2⌡⌠
cos23x sen 3x.dx =
= –13 cos 3x -
29 cos3 3x +
115cos5 3x+C
Tipo I. Exponente impar
Tipo I. Exponente par
•⌡⌠
sen5 3x.dx =⌡⌠
(sen23x)2 sen 3x.dx =⌡⌠ (1–cos23x)2 sen 3x.dx =
=14 x +
14⌡
⌠ 1 + cos
4x3
2 dx –34sen
2x3 =
3x8 –
34 sen
2x3 +
332 sen
4x3 + C
Tipo I. Exponente par
•⌡⌠
sen4x3 dx = 1
4 ⌡⌠
1 + cos22x3 – 2 cos
2x3 dx =⌡
⌠
sen2 x3
2dx =⌡
⌠
1 – cos
2x3
2
2
dx =
=14 ⌡
⌠
1.dx +14 ⌡
⌠
cos2 2x3 dx – 2
14 ⌡
⌠
cos2x3 dx =
Integración de funciones trigonométricas: ejercicios
∫∫
=
−=
ax
dxI
dxxI
4
2
sec.2
)32(cos.1
∫∫
=
−=
ax
dxI
dxxI
4
2
sec.2
)32(cos.1
∫∫
=
−=
ax
dxI
dxxI
4
2
sec.2
)32(cos.1
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos
Tipo II. Al menos un exponente impar
•⌡⌠ cos4 5x.sen3 5xdx =
⌡⌠ cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =
⌡⌠ cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =•
⌡⌠ cos4 5x.sen3 5xdx =
⌡⌠ cos4 5x . sen25x .sen 5x . dx =
⌡⌠ cos4 5x . (1 – cos25x).sen 5x.dx =
=⌡⌠ cos45x.sen 5x.dx –
⌡⌠ cos65x.sen 5x.dx=
= – 125 cos5 5x +
135 cos7 5x + C
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos
Tipo II. Todos los exponentes pares
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos2 6x)
=18 ⌡
⌠1 – cos 12x
2 dx –148
sen36x3 =
=18 ⌡
⌠ sen26x dx –18 ⌡
⌠ sen26x .cos 6x.dx =
=x16 –
1144 sen3 6x –
1192 sen 12x + C
•⌡⌠ sen43x .cos2 3x.dx =
⌡⌠ (sen23x)2 .cos2 3x.dx = ⌡
⌠
1 – cos 6x
2
2 1 + cos 6x2 dx =
=18 ⌡
⌠ (1 – cos 6x)(1 – cos26x) dx =
( 1 – cos 6x) ( 1 – cos 6x) ( 1 + cos 6x)
sen2 6x
Integración de funciones trigonométricas: ejercicios
∫∫
∫
−=
=
=
dxxxsenI
dxxxsenI
dxxxsenI
2
53
2
22
)2cos2(.3
3cos.3.2
3cos.3.1
∫∫
=
−=
ax
dxI
dxxI
4
2
sec.2
)32(cos.1
∫∫
∫
−=
=
=
dxxxsenI
dxxxsenI
dxxxsenI
2
53
2
22
)2cos2(.3
3cos.3.2
3cos.3.1
Integración de funciones trigonométricas: ejemplos
Tipo III: Producto de funciones con distinto argumento
•⌡⌠ sen 3x.cos 5x.dx = 1
2 ⌡⌠ sen 8x .dx +
12 ⌡
⌠ sen( – 2x) .dx =
Para resolverlas hay que utilizar las fórmulas de trasformación de sumas enproductos
•⌡⌠ sen 3x.cos 5x.dx = 1
2 ⌡⌠ sen 8x .dx +
12 ⌡
⌠ sen( – 2x) .dx =
= –116 cos 8x +
14 cos( – 2x) + C == –
116 cos 8x +
14 cos 2x + C
Integración de funciones trigonométricas: ejercicios
∫ −+= dxxxsenI )32cos().32(.1
∫∫
=
−=
ax
dxI
dxxI
4
2
sec.2
)32(cos.1
∫ −+= dxxxsenI )32cos().32(.1
