04 - Cambio de Soporte

8/12/2019 04 - Cambio de Soporte

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Leccin 4:El cambio de soporte


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El efecto de soporte


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El concepto de soporte (1)

El soporte es el volumen sobre el cual se mide o se considerala variable en estudio:

testigo de sondaje

pozo de tronadura

compsito

unidad de seleccin minera (bloque)


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El valor de la variable en el soporte de bloque se define comoel promedio aritmtico de los valores puntuales dentro de este

bloque:

La variable z(v) lleva el nombre de variable regularizada sobre el soporte v. El paso de la variable puntual a la variablede bloques se llama cambio de soporte o regularizacin.

donde v representa el bloque y |v| su volumen.

vd)(z

|v|1)v(z xx


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Ejemplo: compositacin

Los datos con los cuales unotrabaja pueden tener soportesdistintos:

el muestreo y los anlisisqumicos son operacionescaras

mientras se perfora unsondaje, se atraviesan zonasconsiderables de lastre: nointeresa analizar leyes nulas

as, se genera la siguientesituacin:


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Para que la regularizacin tenga un sentido fsico, se requiereque la variable en estudio sea aditiva .

Ejemplos: acumulacin en un elemento de inters

razn de solubilidad : no es una variable aditiva

potencia de un estrato

ley?


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El efecto de soporte (2)

Banco de una faena conocido completamente, con altura 12m.La variable considerada es la ley de cobre.


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Efecto del soporte en el variograma (1)

El paso de un soporte pequeo a un soporte mayor es unaoperacin reguladora ( suavizamiento de los mapas ).


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Expresin matemtica del variograma de la variable regularizadagv en funcin del variograma de la variable puntual g:

con:

vh: bloque v trasladado del vector h

)v,v()()v,v()v,v()(v ggggg hh h

gg v v2 dd)(|v|1

)v,v(h

yxyxh

gg v v2 dd)(|v|1

)v,v( yxyx

constante


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Ilustracin


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Efecto del soporte en el histograma (1)


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El histograma regularizado tiene:

la misma media que el histograma puntual

una varianza menor

una forma distinta (simetrizacin)

Existen restricciones en el cambio de forma del histograma,regidas por la relacin de Cartier .

un rango menor


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La nube de puntos determinalos histogramas para cadasoporte

curva de regresin= diagonal


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La evaluacin global derecursos recuperables


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Objetivos

En el contexto minero, se desea prever la distribucin deleyes en el soporte de la unidad de seleccin (bloque), a

partir de la distribucin conocida de los datos de soporte casi-

puntual. Etapas:1) estimar el valor promedio

2) calcular la varianza de las leyes de bloques

3) determinar la forma del histograma de leyes de bloques

4) deducir la cantidad de recursos recuperables para el

soporte de bloques (tonelaje, ley media, metal)


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Ley media (1)

Se estima la ley media con un promedio ponderado de los datosdisponibles {z( xa ), a 1... n}:

Se determina los ponderadores { wa , a 1... n} con algoritmosgeomtricos, para corregir los efectos de las irregularidades de

la malla de muestreo, atribuyendo un mayor ponderador a losdatos ms aislados: operacin de desagrupamiento .

Los ponderadores { wa , a 1... n} deben ser positivos y sumar 1.

a aaw

n

1

*

)(zm x


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Mtodo de las reas / polgonos de influencia

El ponderador asignado a un dato es proporcional a su rea deinfluencia en la zona de estudio

dificultad en la definicin de los bordes de la zona.

Ley media (2)


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Mtodo de las celdas

Se divide la zona en celdas rectangulares con igual ponderacin.Esta ponderacin se reparte entre los datos que pertenecen a esta

celda.

Ley media (3)


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El resultado depende de varios parmetros:

el origen de la red de celdas (elegido al azar)

la orientacin de las celdas (en general, segn los ejes decoordenadas)

el tamao de las celdas

Ley media (4)


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Para un muestreo preferencial en las altas leyes, se puedetomar el tamao de celda que minimiza el valor de la mediadesagrupada.

Para un muestreo cualquiera, se puede escoger un tamaoconvencional, e.g. la separacin promedio entre datos.

Ley media (5)


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La precisin de la estimacin de la media se mide por la varianzadel error cometido, la cual se puede expresar por medio delvariograma de la variable regionalizada. La expresin sesimplifica cuando los datos tienen ponderadores iguales y elmuestreo es aleatorio puro, aleatorio estratificado o regular.

Los factores que influyen en la varianza de estimacin son:

la continuidad espacial de la variable regionalizada

el nmero de datos

su disposicin geomtrica : la estratificacin del muestreoreduce la varianza de estimacin

Ley media (6)


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Ejemplo 1: muestreo aleatorio puro

La varianza de estimacin de la ley media de un dominio D seexpresa como:

n),( DDg

donde n es el nmero total de datos

Ley media (7)

gg D DDDD yxyx dd)(||1

),( 2


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Ejemplo 2: muestreo regular

La varianza de estimacin de la ley media aproxima por:

n2E

donde n es el nmero total de datos

2E es la varianza del error cometido al estimar la leyde una celda de la malla de muestreo por el valor de undato ubicado en el centro de esta malla

Ley media (8)


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Varianza de leyesde bloques (1)

1) A parti r de un modelo de variograma (varianzas tericas)

se modela el variograma g de los datos puntuales

se deduce el variograma gv de los valores regularizados

la varianza buscada es la meseta de este variograma:

)v,v()()(v ggg

Para evaluar la varianza de las leyes de bloques, existen dosalternativas:


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2) A parti r de varianzas experimentales

las varianzas experimentales dependen del soporte de lasmediciones y del dominio muestreado

la frmula de Krige o relacin de aditividad plantea losiguiente:

varianza de la ley de un bloque en un dominio

varianza de los datos en el dominio varianza de los datos dentro del bloque

necesita una malla de muestreo relativamente densa para

poder evaluar el ltimo trmino

Varianza de leyesde bloques (2)


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Modelamiento de la forma (1)

Los anlisis anteriores permiten calcular la media y la varianzade la variable regularizada (leyes de los bloques de seleccinminera).

Para poder seguir adelante, se requiere un modelo para conocer laforma del histograma regularizado.

El punto de partida es el histograma de los datos, al cual se aplica

una transformacin para obtener un modelo de histogramaregularizado.


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Ejemplo (datos de cobre) :

distribuciones puntuales y regularizadas a 25m 25m


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Modelo de correccin afn

Este modelo mantiene la forma del histograma puntual. No tomaen cuenta la simetrizacin que acompaa el cambio de soporte.

histograma de [z( x) m] / x histograma de [z(v) m] / v


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Modelo de correccin lognormal

histograma puntual lognormal de media m y varianza x2

histograma regularizado lognormal de media m y varianza v2


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Modelo de correccin lognormal

La transformacin matemtica es:

con b [ln(1 + v2 / m 2) / ln(1 + x2 / m 2)]1/2

a m1 b [1 + v2 / m 2] 1/2 [1 + x2 / m 2]b/2

histograma de z(v) histograma de a [z( x)]b


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Modelo de correccin lognormal indirecta

Se aplica la correccin lognormal, luego se ajusta el parmetroa de modo que la transformacin no altera la media:

con b [ln(1 + v2 / m 2) / ln(1 + x2 / m 2)]1/2 a calculado de manera que z( x) y z(v) tengan igual media

histograma de z(v) histograma de a [z( x)]b

El mtodo de correccin lognormal indirecta slo debeaplicarse a datos de histograma cercano a una lognormal.


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Ejemplo con los datos de cobreComparacin de la distribucin de leyes reales de los bloques de25m 25m, con las distribuciones obtenidas por los modelos decorreccin afn y correccin lognormal.



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Otros modelos

Existen modelos ms complejos para especificar la forma delhistograma de los bloques:

modelo Gaussiano discreto : generaliza la correccin lognormal

modelos isofactoriales discretos , basados en distribuciones de probabilidad distintas a la distribucin Gaussiana.

Tambin se puede usar las tcnicas de simulacin condicional :se simula las leyes puntuales en una malla fina, luego serebloquea la simulacin al soporte de bloque y se calcula elhistograma de las leyes simuladas en este soporte.


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Modelo Gaussiano discreto (1)

Se transforma los datos de leyes en valores con histogramaGaussiano de media 0 y varianza 1:

)](y[)(z xx


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Las leyes de bloques tambin pueden transformarse en valoresGaussianos de media 0 y varianza 1:

)]v(y[)v(z v

v


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Para cada sitio x ubicado en un bloque v, se supone que el parde valores {y( x),y(v)} sigue una distribucin bivariableGaussiana (binormal) de coeficiente de correlacin r.


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El coeficiente de correlacin r (tambin llamado coeficiente decambio de soporte ) est relacionado con la disminucin devarianza al pasar del soporte puntual al soporte de bloques:

bloque muy pequeo: r 1

bloque muy grande: r 0


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La relacin de Cartier permite caracterizar la funcin detransformacin de los bloques v a partir de aquella de losdatos :

de donde se deduce la distribucin de las leyes de bloques

Generaliza la correccin lognormal (si es una funcinexponencial, tambin lo es v)

El histograma se simetriza al pasar de un soporte pequeoa uno ms grande

duu

ur ry yv )2exp()1(2

1)(

22


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Las curvas de selectividadpara describir los efectosde soporte e informacin


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Definicin

Las curvas de selectividad son alternativas al histograma para visualizar la distribucin de leyes. Entre ellas, las msimportantes son:

ley promedio - ley de corte : indica la media de los valoresque superan una ley de corte

tonelaje - ley de corte : indica la proporcin de valores(fraccin del tonelaje total) que supera una ley de corte

ley promedio - tonelaje

cantidad de metal - ley de corte : la cantidad de metal sedefine como el producto del tonelaje por la ley promedio

cantidad de metal - tonelaje


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Curvas de selectividad y soporte (1)

La jerarqua de estas curvasen funcin del soporteequivale a la relacin deCartier.


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El efecto de soporte se traduce en una jerarqua de las curvascantidad de metal - tonelaje en funcin del soporte


prdida de selectividad al cambiar de soporte.


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La correccin afn asume que la curva metal - tonelaje de los bloques es un promedio ponderado entre la curva puntual y larecta lmite.



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Efecto de informacin (1)

Las curvas de selectividad representan los recursos recuperablesen un yacimiento (tonelaje, cantidad de metal, etc.). Dependende cuatro factores:

el efecto de soporte : mientras ms voluminoso el soporte,menos selectividad

el efecto de informacin : algunos bloques de mineral sonsubestimados y enviados equivocadamente a botadero; otros

bloques estriles son sobreestimados y enviados a planta

las restricciones geomtricas : algunos bloques de alta ley pueden ser abandonados si los costos para alcanzarlos sondemasiado altos.

la dilucin operativa


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La decisin de enviar un bloque a planta o botadero se efectaen base a la ley estimada del bloque en lugar de la ley verdadera(desconocida).


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Con respecto al efecto de soporte, el efecto de informacin provoca una prdida adicional de selectividad.

Ilustracin : efecto de informacin producido al estimar la leyde cada bloque por la ley de su pozo de tronadura central


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Varios enfoques han sido desarrollados para cuantificar el efectode informacin, entre ellos el modelo Gaussiano discreto y la

simulacin condicional .

Un resultado importante es el siguiente: si el mtodo utilizado para estimar las leyes de bloques no tiene sesgo condicional , lascurvas de selectividad de las leyes estimadas usadas para laseleccin mineral/estril corresponden a las curvas de

selectividad efectivas (incluyendo ambos efectos de soporte einformacin).


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La regresin de Krige (2)

Para corregir los sesgos, Krige aplic la siguiente regresin:

mi: ley promedio de las muestras al interior del panel

m: ley promedio de todas las muestras

a: coeficiente inferior a 1

mama )1( paneldelestimadaley i con

Propuesta de D. Krige


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En la regresin de D. Krige, todas las muestras dentro del paneltienen el mismo peso; asimismo las muestras fuera del panel

tambin tienen un peso igual entre s, se siten o no prximos al.

La regresin de Krige (3)

G. Matheron mejor la ponderacin al atribuir a cada dato el ponderador que se merece realmente, segn su alejamiento alcentro del panel y la continuidad espacial de los valores; asformaliz el mtodo llamado kriging (1963). El kriging sueletener poco sesgo condicional, a diferencia de otros estimadorestales como el inverso de la distancia o los polgonos de

influencia.

Propuesta de G. Matheron


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Ejercicios

Comparar los mapas, variogramas e histogramas de las leyes decobre y oro en los distintos soportes (1m 1m, 5m 5m, 25m 25m)

Realizar la correccin afn de las leyes de cobre y oro a partir delas muestras de exploracin, luego a partir de los pozos de lagrilla 25m 25m. Comparar las curvas tonelaje-ley obtenidas

declus , histplt, gammabar , affine , gtcurve , plotem

pixelplt , gam , vargplt , histplt , gtcurve , qpplt

Comparar las curvas ley promedio - tonelaje de los bloques 25m 25m, asociadas al efecto de soporte y al efecto de informacininducido al estimar cada bloque por su pozo central

gtcurve , condbias


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Archivos de parmetrosde los programas GSLib


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Mapa de datos en grilla (1)

Parameters for PIXELPLT***********************

START OF PARAMETERS:Grilla_25x25.dat -file with gridded data4 - column number for variable-1.0 1.0e21 - data trimming limits

pixel_pozos25_Cu.ps -file with PostScript output1 -realization number16 12.5 25.0 -nx,xmn,xsiz24 12.5 25.0 -ny,ymn,ysiz11 11.0 12.0 -nz,zmn,zsiz1 -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ10 -slice numberLeyes de cobre - pozos centrales -TitleEste -X label

Norte -Y label0 -0=arithmetic, 1=log scaling1 -0=gray scale, 1=color scale0 -0=continuous, 1=categorical0.0 3.0 0.5 -continuous: min, max, increm.2 -categorical: number of categories1 3 Code_One -category(), code(), name()2 1 Code_Two

Color Codes for Categorical Variable Plotting:1=red, 2=orange, 3=yellow, 4=light green, 5=green, 6=light blue,

7=dark blue, 8=violet, 9=white, 10=black, 11=purple, 12=brown,13=pink, 14=intermediate green, 15=gray


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Parameters for PIXELPLT***********************

START OF PARAMETERS:Grilla_5x5.dat -file with gridded data5 - column number for variable-1.0 1.0e21 - data trimming limits

pixelplt_Cu_5m.ps -file with PostScript output1 -realization number80 2.5 5.0 -nx,xmn,xsiz120 2.5 5.0 -ny,ymn,ysiz11 11.0 12.0 -nz,zmn,zsiz1 -slice orientation: 1=XY, 2=XZ, 3=YZ10 -slice numberSoporte 5m x 5m -TitleEste [m] -X label

Norte [m] -Y label0 -0=arithmetic, 1=log scaling1 -0=gray scale, 1=color scale0 -0=continuous, 1=categorical0.0 3.0 0.5 -continuous: min, max, increm.2 -categorical: number of categories1 3 Code_One -category(), code(), name()2 1 Code_Two

Color Codes for Categorical Variable Plotting:1=red, 2=orange, 3=yellow, 4=light green, 5=green, 6=light blue,

7=dark blue, 8=violet, 9=white, 10=black, 11=purple, 12=brown,13=pink, 14=intermediate green, 15=gray

Mapa de datos en grilla (2)


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Parameters for GAM******************

START OF PARAMETERS:Grilla_5x5.dat -file with data3 4 5 6 - number of variables, column numbers-1.0 1.0e21 - trimming limitsgam_Cu_grilla5x5.out -file for variogram output1 -grid or realization number80 2.5 5.0 -nx, xmn, xsiz120 2.5 5.0 -ny, ymn, ysiz

11 11.0 12.0 -nz, zmn, zsiz1 40 -number of directions, number of lags1 0 0 -ixd(1),iyd(1),izd(1)

0 -standardize sill? (0=no, 1=yes)3 -number of variograms1 1 1 -tail variable, head variable, variogram type2 2 1 -tail variable, head variable, variogram type3 3 1 -tail variable, head variable, variogram type

type 1 = traditional semivariogram2 = traditional cross semivariogram3 = covariance4 = correlogram5 = general relative semivariogram6 = pairwise relative semivariogram7 = semivariogram of logarithms8 = semimadogram

9 = indicator semivariogram - continuous10= indicator semivariogram - categorical

Variograma de datos en grilla (1)


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Parameters for VARGPLT**********************

START OF PARAMETERS:gam_Cu_grilla5x5.ps -file for PostScript output3 -number of variograms to plot0.0 201.0 -distance limits (from data if max


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Parameters for DECLUS*********************

START OF PARAMETERS: muestras.dat -file with data

1 2 3 4 - columns for X, Y, Z, and variable-1.0 1.0e21 - trimming limitsdeclus.sum -file for summary outputdeclus.out -file for output with data & weights

1.0 0.25 -Y and Z cell anisotropy (Ysize=size*Yanis)0 -0=look for minimum declustered mean (1=max)1 48.0 48.0 -number of cell sizes, min size, max size10 -number of origin offsets

Desagrupamiento (1)


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Parameters for HISTPLT**********************

START OF PARAMETERS:declus.out -file with data4 7 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limitshisplt_Cu_declus.ps -file for PostScript output

0.0 3.0 -attribute minimum and maximum0.17 -frequency maximum (


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Parameters for GAMMABAR***********************

START OF PARAMETERS:25.0 25.0 12.0 -X,Y,Z size of block

11 11 1 -X,Y,Z discretization2 0.05 -nst, nugget effect1 0.13 0.0 0.0 0.0 -it,cc,ang1,ang2,ang3

15.0 15.0 180.0 -a_hmax, a_hmin, a_vert

1 0.28 0.0 0.0 0.0 -it,cc,ang1,ang2,ang3100.0 100.0 180.0 -a_hmax, a_hmin, a_vert

Correccin afn (1)

El valor de salida es igual a la diferencia entre la varianzade los datos y la varianza de las leyes de bloques

)v,v(g

El factor de reduccin de varianza para la correccin afn vale:

)()v,v()(

ggg

f


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Parameters for AFFINE*********************

START OF PARAMETERS:declus.out -file with data4 7 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limits0.52 0.98 -reduction factor f and meanafin_Cu_declus.out -file for output

Correccin afn (2)


START OF PARAMETERS:afin_Cu_declus.out -file with data8 7 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limitsafin_Cu_declus.ps -file for PostScript output

0.0 3.0 -attribute minimum and maximum

0.17 -frequency maximum (


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Parameters for AFFINE*********************

START OF PARAMETERS:Grilla_25x25.dat -file with data4 0 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limits0.64 0.93 -reduction factor f and meanafin_Cu_pozos.out -file for output

Correccin afn (3)


START OF PARAMETERS:afin_Cu_pozos.out -file with data8 0 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limitsafin_Cu_pozos.ps -file for PostScript output

0.0 3.0 -attribute minimum and maximum

0.17 -frequency maximum (


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f ( )


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Parameters for GTCURVE**********************

START OF PARAMETERS:afin_Cu_pozos.out \file with data4 0 \ columns for grade and weight-1. 1.0e21 \ trimming limits100.0 \ clipping limit (upper limit)gtcurve_Cu_pozos.ps \file for Postscript output30 0.0 3.0 \Cutoff: num, min and max

0.0 1.0 \Tonnes: min and max0.0 5.0 \Grade: min and max

Curvas Tonelaje-Ley [pozos]

Correccin afn (5)


START OF PARAMETERS:afin_Cu_pozos.out \file with data8 0 \ columns for grade and weight-1. 1.0e21 \ trimming limits100.0 \ clipping limit (upper limit)gtcurve_afin_Cu_pozos.ps \file for Postscript output30 0.0 3.0 \Cutoff: num, min and max


Curvas Tonelaje-Ley [afin pozos]

C i f (6)


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Parameters for PLOTEM*********************

START OF PARAMETERS:gtcurves_Cu.ps -output file2 2 -number of plots in X and Ygtcurve_Cu_declus.ps -first plot filegtcurve_afin_Cu_declus.ps -second plot filegtcurve_Cu_pozos.ps -third plot filegtcurve_afin_Cu_pozos.ps -fourth plot file

Correccin afn (6)

Parameters for QPPLT********************

START OF PARAMETERS:afin_Cu_declus.out -file with first set of data (X axis)8 7 - columns for variable and weight

grilla_25x25.dat -file with second set of data (Y axis)5 0 - columns for variable and weight-1.0 1.0e21 - trimming limitsqpplt_afin_Cu_declus.ps -file for PostScript output0 -0=Q-Q plot, 1=P-P plot0 -number of points to plot (


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START OF PARAMETERS:Grilla_25x25.dat \file with data5 0 \ columns for grade and weight-1. 1.0e21 \ trimming limits100.0 \ clipping limit (upper limit)gtcurve_Cu25_reales.ps \file for Postscript output30 0.0 3.0 \Cutoff: num, min and max


Curvas Tonelaje-Ley [bloques]


Ef d i f i (2)


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START OF PARAMETERS:Grilla_25x25.dat \file with data4 0 \ columns for grade and weight-1. 1.0e21 \ trimming limits100.0 \ clipping limit (upper limit)gtcurve_Cu25_estimados.ps \file for Postscript output30 0.0 3.0 \Cutoff: num, min and max


Curvas Tonelaje-Ley [bloques estimados]


CONDBIAS: Conditional Statistics********************************

START OF PARAMETERS:Grilla_25x25.dat \Input data file4 5 \column for estimate, true-1.0 1.0e21 \tmin,tmaxcondb_Cu25_regresion.out \Output for conditional bias20 \number of classescondb_Cu25_leyesmedias.out \Output for mean above cutoff

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