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Estructuras Algebraicas
Trabajo Práctico Nº 4 Estructuras Algebraicas
1. Determinar en cada caso si el par ( G, * ) es grupoa) G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario.b) G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adiciónc) G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario
2. Sea A = { x R / x = a + b ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.
2
3. Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
* 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
Probar que estas operaciones definen
sobre K una estructura de cuerpo.
4) Completar los siguientes enunciados para que resulten proposiciones verdaderas : En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) (c, d) En R2 = C se define la adición y la multiplicación mediante (a, b) + (c, d) = . . . . . . . . (a, b) * (c, d) = . . . . . . . .
21 zz 21 zz
ii) (C, +) tiene estructura de . . . . . . . (C, *) tiene estructura de . . . . . . . (C, +, *) tiene estructura de . . . . .
iii) Un complejo es real . . . . . . . .un complejo es imaginario . . . .
iv) En C es : i0 = i1 = i2 = i3 = i4q+r=
v) Si z = (a, b) = . . .; - z = . . . . ; z -1 = . . . . = . . . . . = . . .
z
5) Resolver las ecuaciones siguientes indicando a qué campo numérico pertenecen las soluciones :
a) x2 – 1 = 0 b) x2 – 3 = 0 c) x2 + 1 = 0 d) x2 + 3x + 3=0
6) Dados los números complejos :
i223
z2 )3,5(z1 i42z3 )2,2(z4
a) Representarlos gráficamente c) Expresar z2 y z3 en forma de pares ordenados
b) Expresar z1 y z4 en forma binómica d) Hallar y representar gráficamente z4 e) Calcular y representar
gráficamente 21 zz)i )zz(2z)ii 122 1323 zzzz)iii
f) Calcular :
21 zz)i 14
3
zz
)ii 2
13
zzz
)iii
9) Determinar z tal que : a) 3 z +z = 3 + 5 i b) i z - 2z = - 6 i c) z + iz = 3 + 5 i
10) Resolver las siguientes ecuaciones en el campo complejo. En todos los casos z es un número complejo ; despejarlo y calcular su valor :
i73z)i25()i )5,3()4,3(
z)ii i36
i2i3z2
zz
)iii
11) Determinar x para que el producto (3 - 6 i) (4 + x i) sea : a) un número real b) un número imaginario puro
12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor ; Analizar si (B, *, ) resulta un modelo de Algebra de Boole, donde los neutros son respectivamente 1 y 6.
13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes :
i) a b´ = 0 ii) a * b = b iii) a´ * b = 1 iv) a b = a
14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
15) Probar que a, b B : a) (a * b) (a * b´) = a b) (a b) * (a b´) = a
16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
Estructuras AlgebraicasFrecuentemente la primera dificultad que encuentra el alumno en el
estudio de las Estructuras Algebraicas es asimilar la existencia de operadores como * que expresan operaciones que no tienen porqué ser las clásicas conocidas de adición, diferencia, producto, cociente,
etc. Sino que pueden expresar otras formas de composición (operaciones definidas por una ley de variación que puede o no expresarse
en fórmulas)
* a b
a a b
b b a
* 0 1
0 0 1
1 1 0
Tabla 1
Tabla 2
Según la tabla 2, el operador * genera los siguientes resultados:
0 * 0 = 0 Si G = { 0, 1 }Notemos que todos los resultados de
operar algún elemento de G con otro elemento del mismo conjunto (incluso
consigo mismo) . . .Son elementos del mismo conjunto G ( 0 ó 1 )entonces
* Es una Ley de Composición interna en G* Es una Ley de Composición interna en G
1 * 0 = 1
0 * 1 = 11 * 1 = 0
* se lee “asterisco”
Si una operación * respecto de los elementos de un conjunto G
que se escribe: (G, *), verifica que:
1) G2 G * es una Ley de composición interna en G
2) a, b, c : a, b, c G (a * b) * c = a * (b * c) Asociativa
Definida una operación * si el resultado de operar dos elementos cualesquiera de G con * es otro elemento de G, hay L.C.I.
Definida una operación * si con tres elementos cualesquiera de G la operación * responde a la propiedad asociativa
(G, *) tiene estructura de semi-grupo si además
3) e G / a : a G a * e = e * a = a Existe Elemento Neutro
Definida una operación * si en el conjunto G existe al menos un elemento “e”, que al operarlo con cualquier otro elemento “a” de G, resulta el mismo elemento “a”
4) a : a G, a´ G / a * a´ = a´ * a = e Existe Elemento Inverso
Definida una operación * si para cada elemento de G existe al menos un elemento a´ que al operar con a dá como resultado el neutro e
(G, *) tiene estructura de grupo
1a1a 1b1b 1c1c
Si además de cumplirse las cuatro condiciones anteriores - lo que hace a (G,*) Grupo -
5) a, b : a, b G a * b = b * a Conmutativa
(G, *) tiene estructura de grupo abeliano ó grupo conmutativo
Sea una estructura algebraica definida en un conjunto G con dos leyes de composición * y
(G, * ) es Anillosi . . .
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G, ) es semi Grupo
3) es distributivo a izquierda y derecha respecto de *
a, b, c G : a (b * c) = (a b) * (a c)
(b * c) a = (b a) * (c a)
Si la segunda ley de composición es conmutativa,
(G, * ) es AnilloConmutativo
Si (G * ) es Anillo
Y además posee elemento neutro respecto de (G * ) es Anillo con
Unidad
Un Anillo con unidad cuyos elementos no nulos son inversibles se llama Anillo Anillo con divisióncon división
Si un Anillo con división es conmutativo, se llama CuerpoCuerpo
1) (G, *) es Grupo abeliano
2) (G , ) es Grupo abeliano, salvo que el 0 no es inversible
3) es distributivo respecto de *
Ejemplo: (Z, * (Z, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario
No es cuerpoNo es cuerpo, pues los únicos elementos no nulos que admiten inverso multiplicativo son 1 y - 1
(R, * (R, * )) donde * es la adición (suma) y es el producto ordinario
Es CuerpoEs Cuerpo
1) a) Si G1 = { x / x = 2k, k Z } ; * es el producto ordinario
Sean k, t Z
2k · 2t = 2(k + t) Si k, t Z (k + t) Z Luego 2(k + t)
G1
2k · (2t · 2s) = 2k · 2(t + s) = 2k + ( t + s) = 2( k + t ) + s = 2( k + t ) · 2s = (2 k · 2 t ) ·
2s
Asociatividad
2 k · e = 2 k · 2 t = 2 ( k + t ) = 2 k
Existencia de Elemento Neutro Para cada 2k debe existir 2t = e con t Z
Entonces 2t = 2 0 es un elemento del conjunto G1
Existencia de Elemento InversoSi e = 20 (ya demostrado)
2k · x = 20 = 1 2k 2t = 20 k + t = 0
Entonces t = -k lo que es claro que t Z y 2t G1
Conmutativa
2k 2t = 2 (k + t) = 2 ( t + k) = 2 t 2 k
valiéndonos de la conmutatividad de la suma
en Z
(G, * ) es Grupo Abeliano(G, * ) es Grupo Abeliano
k + t = k entonces t = 0 0 Z
1 c1 c1 b1 b
Entonces * es L.C.I. En G1
1) b) Si G2 = { x / x = 3 k , k N } ; * es la adición (+)
G2 es un conjunto conformado por todos los naturales múltiplos de 3 ;
. . . entre otros : si k = 1 , x = 3 ; si k = 2 , x = 6 ; k = 3 , x = 9 . . . .
Para k, t N
3k + 3t = 3 (k + t)
Pero (k + t) N LCI ok
Asociatividad Debe verificarse que 3 k + ( 3 t + 3 s ) = ( 3 k + 3 t) + 3 s
3 k + ( 3 t + 3 s ) = 3 k + 3 (t + s) = 3 [k + (t + s)] =
3 [(k + t) + s)] = 3 (k + t) + 3 s = (3 k + 3 t) + 3 s
Se acepta la asociatividad de la adición para los números
naturales
Existencia de Elemento Neutro en G para *
Si existe e (neutro) en G, tendrá la forma e = 2t donde t N
3 k + 3 t = 3 k si 3 t = e
Entonces 3 k + 3 t = 3 (k + t) = 3 k
Luego ( k+ t ) = k t = 0
Pero 0 N entonces . . .
NO Existe Elemento Neutro en G para *
( G( G22, * ) No es Grupo, * ) No es Grupo1 c1 c
1) c) Si G3 = { 1; -1 } ; * es el producto ordinario
Por tratarse de un conjunto finito y con pocos elementos, algunas condiciones pueden ser analizadas para cada situación . . . 1 · 1 = 1 G3
-1 · 1 = -1 G3
-1 · -1 = 1 G3
1 · -1 = -1 G3Se verifica que * es L.C.I. en G3
Podemos admitir que la Asociatividad “se hereda” de la asociatividad del producto entre elementos del conjunto de los
números enterosSabemos que para el producto existe neutro en Z, pero debemos verificar que ese neutro G3
-1 · e = -1 e = 1
1 · e = 1 e = 1
1 G3
Existe neutro
Analizamos si cada elemento de G3 admite inverso en G3
1 · x = e = 1 x = 1
-1 · x = e = 1 x = -1
Los elementos de G3 admiten
inversoPodemos admitir que la Conmutatividad “se hereda” de la
conmutatividad del producto entre elementos del conjunto de los números enteros
( G( G33, * ) es Grupo Abeliano, * ) es Grupo Abeliano
2) Sea A = { x R / ; a Z b Z }. Comprobar que A es un anillo conmutativo y con unidad con la suma y el producto ordinario de números reales.
Supongamos dos elementos cualquiera que pertenecen al conjunto A; ellos son :
2ba
2dc
2bax
Analizamos (A, *); en este caso * es la suma, analizamos entonces (A, +)
)dc()ba( 22 2)db()ca( conZca
Zdb
* es L.C.I. * es L.C.I. en Aen A
La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R
Supongamos que existe nulo y es 2dc entonces + = es nulo
)ba()dc()ba( 222 esto es posible para c = 0 y d = 0
c c Z Z d d Z Z A ALo que prueba la existencia de Lo que prueba la existencia de
neutro en A para la sumaneutro en A para la suma
Si existe elemento inverso para cada elemento de A
+ = 0 es inverso de
),()dc()ba( 20022 ),()db()ca( 20022
),()db()ca( 2002 Debe ser a + c = 0
c = - a Z
b + d = 0
d = - b Z
A)ba()dc( 22Prueba la existencia de Prueba la existencia de inversoinverso
La ConmutatividadConmutatividad se “hereda” de la conmutatividad de la suma para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d son números enteros; R R
(A, *) es Grupo Abeliano(A, *) es Grupo AbelianoAnalizamos ahora ( A, )
donde es el producto ordinario
)dc()ba( 22 2222 )(bdbcadacaplicando distributiva
22 )bcad()bdac( A
es LCI en A es LCI en A
porque . . .
ac + 2bd Z ad + bc Z
La AsociatividadAsociatividad se “hereda” de la asociatividad del producto para los números reales, porque es evidente que si a, b, c y d
son números enteros; R R (de la misma manera se verifica también la conmutativaconmutativa
(A, (A, ) es Semi Grupo ) es Semi Grupo
es doblemente distributivo respecto de es doblemente distributivo respecto de * *
, , A : ( * ) = ( ) * ( )
( * ) = ( ) * ( )
, , son números reales y sabemos que en el conjunto de los números reales el producto es distributivo respecto de la
suma
( A, *, ( A, *, ) Es Anillo ) Es Anillo ConmutativoConmutativo
3) Sea K = { 0, 1 } y la suma y el producto definidos en K, según las siguientes tablas :
* 0 1
0 0 1
1 1 0
0 1
0 0 0
1 0 1
Probar que estas operaciones definen
sobre K una estructura de cuerpo.
Analizamos ( K, * )
De observar la tabla del operador * resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K0 * 0 = 0 0 * 1 = 1 1 * 0 = 1 1 * 1 = 0
* Es L.C.I. en K
Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo
( 0 * 1 ) * 0 = 1 * 0 = 1 0 * ( 1 * 0 ) = 0 * 1 = 1
El 0 es neutro; 0 * 0 = 0 y 0 * 1 = 1
0 * 0 = 0 El inverso para 0 es 0 1 * 1 = 0 El inverso para 1 es 1
De analizar la tabla, comprobará también que * es conmutativo
( K, * ) Es Grupo Abeliano( K, * ) Es Grupo Abeliano
sabiendo que * y son asociativasy es doblemente distributiva respecto de *
Analizamos ( K – {0}, ) 0 1
0 0 0
1 0 1
De observar la tabla del operador resulta que todos los resultados posibles son elementos del conjunto K
Asociativa ; verificamos . . . por ejemplo
( 0 1 ) 0 = 0 0 = 0 0 ( 1 0 ) = 0 0 = 0
Existe neutro en K para pues 1 0 = 0 y 1 1 = 1 el neutro es el 1El inverso para 1 es 1 1 1 = 1
( K, ( K, ) Es Grupo Abeliano, ) Es Grupo Abeliano, salvo que el 0 no es inversiblesalvo que el 0 no es inversible
0 0 = 0 0 1 = 0 1 0 = 0 1 1 = 1 L.C.I. de en K
De analizar la tabla, comprobará también que es conmutativo
y sabemos que es doblemente distributivo respecto de *
por ejemplo . . .
( K, *, ( K, *, ) Es Cuerpo ) Es Cuerpo
( 0 * 1 ) 0 = 1 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 1 0 ) = 0 * 0 = 00 ( 0 * 1 ) = 0 0 = 0 ( 0 0 ) * ( 0 1 ) = 0 * 0 = 0
Números Complejos
Sabemos que la solución de la raíz cuadrada de un número real negativo no tiene solución en reales
i 1 donde i es un número que llamamos imaginario
y no tiene ubicación en la recta de los números
reales
Recuerde siempre que si
11 2 ii
Con un binomio formado por una parte real y una parte imaginaria, formamos un número complejo
z = a + bi
Parte real
Parte imaginaria
Lo representamos gráficamente en un par de ejes cartesianos
Llevando en el eje de las abscisas la parte realY en el eje de las ordenadas la parte imaginaria El punto de intersección de la parte
real con la imaginaria es un punto en el “plano de los complejos”
Por otro lado, a cada complejo le está asociado un vector con inicio en el
origen de coordenadas y extremo en el punto determinado por el par ordenado
(a, b)
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
Definido el complejo z = a + bi
Expresado en forma de binomio
Podemos pasarlo a la forma de par ordenado, donde la primera componente es la parte real del complejo
z = a + bi z = a + bi = =
( a,( a,Y la segunda componente es la parte imaginaria (se coloca solo
el valor de b –sin i-)b )b )
Si z = a + bi cuya representación gráfica es
definimos el conjugado de z
biaz
como un número complejo con la misma parte real que zy su componente imaginaria es la opuesta de
la componente imaginaria de z
también podemos definir el opuesto de z
biaz como un número complejo cuya componente real es el número opuesto de
la componente real de z
y su componente imaginaria es el número opuesto de la componente imaginaria de z
z = a + z = a + bibi
z = a - z = a - bibi
-z = -a - bi-z = -a - bi55 99
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
Operaciones con números complejos
Si dos números complejos se presentan en forma de binomio, se los puede sumar como cualquier binomio
biaz 1 dicz 2 )dic()bia(zz 21
las partes reales entre sí y las partes imaginarias entre sí
)dibi()ca(zz 21
sacamos el imaginario i como un
factor común i)db()ca(
Si los complejos se presentan en forma de par ordenado
)b,a(z 1 )d,c(z 2
Se opera de la misma manera, las partes reales entre sí y las partes imaginarias
entre sí
)d,c()b,a(zz 21
)db,ca(zz 21
Si se trata de una diferencia )dic()bia(zz 21
dicbiazz 21 i)db()ca(
)d,c()b,a(zz 21 )db,ca(
55 77 9-109-10
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
GráficamenteSean biaz 1 dicz 2
Para sumar gráficamente los complejos
1) Una vez representados gráficamente los complejos z1 y z2 como ya hemos visto
A los efectos de limpiar el gráfico borramos las
líneas auxiliares2) Por el extremo de z2 trazo una recta paralela a z1
3) Y por el extremo de z1 trazo una recta paralela a z24) Donde se intersectan ambas paralelas se encuentra el extremo de un nuevo vector que tiene inicio en el origen de coordenadasy representa z1 + z2
5) El valor de abscisa que le corresponde al vector resultante es la parte real del resultado de la suma de números complejos
6) El valor de la ordenada que le corresponde al vector resultante es la parte imaginaria del resultado de la suma de números complejos
Obviamente, los resultados por métodos analíticos y gráficos deben coincidir
siempre55 77 9-109-10
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
Producto biaz 1 dicz 2
)dic()bia(zz 21Sean
Se aplica propiedad distributiva como si se tratara de dos binomios cualquiera cazz 21 dia cbi dibi
aczz 21 adi bci 2bdi )(bdi)bcad(ac 1
i)bcad()bdac(zz 21
El producto (bidi) se resuelve multiplicando bdi i que resulta bdi2
Sacamos como factor común el imaginario i Recuerde que i2 = - 1
)d,c()b,a(zz 21
En forma de par ordenado . . .
)bcad;bdac(
55 77 9-109-10
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
Cocientebiaz 1 dicz 2Sean
Para resolver el cociente
)dic()bia(
zz
2
1
Siempre se multiplica y se divide la expresión por el conjugado del denominador
)dic()dic(
)dic()bia(
zz
2
1
Luego se procede como en cualquier producto entre números
complejos, multiplicando los numeradores entre sí y los
denominadores entre sí
222
2
idcdicdicbdibciadiac
Observe que tenemos ahora una diferencia de cuadrados en el
denominadorA esta situación siempre llegamos porque, precisamente para eso es que hemos multiplicado
y dividido la expresión por el conjugado del denominadorDe esa manera,
en el denominador
siempre habrá un número real
22 dc
i)bcad(bdac
Obteniendo así como resultado del cociente entre complejos, otro número complejo
idc
)bcad(
dc
)bdac(zz 222221
55 77 9-109-10
55
9 a9 a
7 a-d7 a-d
7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
7 e iii7 e iii 7 f i/ii7 f i/ii 7 f iii7 f iii
9 b9 b 9 c9 c
10 i10 i 10 i / ii10 i / ii
en forma de binomio z = a +
b i bia)b;a(z bia)b;a(z
5) Completar los siguientes enunciados para que
resulten proposiciones verdaderas :
i) En R2 = C se define la relación de equivalencia : (a, b) = (c, d)
a = c b =
dEn R2 = C se define la adición y la multiplicación
mediante (a, b) + (c, d) =
(a + c; b + d) (a, b) * (c, d) = (ac - bd; ad +
bc)ii) (C, +) tiene estructura de
Grupo Abeliano
(C, *) tiene estructura de“cuasi” Grupo Abeliano; puesto que (0,0) no es
inversible (&)(C, +, *) tiene estructura de
Cuerpo
iii) Un complejo es real su parte imaginaria es 0
un complejo es imaginario
su parte real es 0
iv) En C es : i0 =
1 i2 =- 1 i3 =
- i i4q+r = i r
v) Si z = (a, b)
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
productoproducto
cocientecociente
suma-restasuma-resta
operac. operac. gráf.gráf.
(&) “cuasi” Grupo Abeliano es Semi-grupo conmuitativo con elemento
neutro
22221
bab
;ba
az i
ba
b
ba
a
ba
b
ba
az 22222222
1
21 zz resolvemos primero la suma
)db,ca()d,c()b,a(zz 21
Y luego hallamos el conjugado de la suma
)db,ca(zz 21
21 zz resolvemos primero el producto
)cbad,bdac()d,c()b,a(zz 21
Y luego hallamos el conjugado del producto
)cbad,bdac(zz 21
En forma de binomio
i)db()ca()dic()bia(zz 21
el conjugado de la suma
i)db()ca(zz 21
En forma de binomio
i)adbc()bdac()dic()bia(zz 21
el conjugado del producto
i)adbc()bdac(zz 21
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
Nº Nº complejocomplejo
z ; - z; 1/zz ; - z; 1/z suma-restasuma-resta
6 a) Para resolver x2 – 1 = 0
despejamos x
012 xPasamos –1 al 2º miembro
12 xY la
potencia como raíz
1x
entonces xx1 1 = 1 = 1 xx2 2 = - 1= - 1
con xcon x1,1,, x, x22 ZZ b) Para resolver x2 – 3 =
0despejamos x
032 xPasamos –3 al 2º miembro
32 xY la
potencia como raíz
3x
entonces xx1 1 = = xx2 2 = =
con xcon x1,1,, x, x22 I I (irracionales)(irracionales)
3 3
c) Para resolver x2 + 1 = 0
despejamos x
012 xPasamos 1 al 2º miembro
12 xY la
potencia como raíz
1x
entonces xx1 1 = i = i xx2 2 = - i= - i
con xcon x1,1,, x, x22 C C
la raíz cuadrada de un número
negativo resulta siempre un imaginario
6 d6 d
d) Para resolver x2 + 3x + 3= 0
aplicamos la fórmula que resuelve la
ecuación de segundo gradoUna ecuación completa de 2º
grado tiene la forma
02 cbxax
y la solución
aacbb
x2
42
21
En la ecuación x2 + 3x + 3= 0
a = 1
b = 3 c = 3
12
31433 2
21x
21293
233
21xix
23
23
1
ix23
23
2
con xcon x1,1,, x, x22 C C
7 a) Dados los números complejos :
i223
z2 )3,5(z1 i42z3 )2,2(z4
Por el valor real de z1 trazamos una paralela al eje de los imaginariosPor el valor imaginario de z1 trazamos una paralela al eje de los reales Donde se intersectan ambas paralelas,
tenemos el extremo del vector que representa z1 y tiene inicio en el origen de
coordenadasz2 y z3 se representan con idéntico procedimientoPara representar gráficamente z4 tomamos los valores aproximados
de tanto en la parte real como imaginaria
usamos el mismo valor real que para z4pero a la parte imaginaria le cambiamos el signo
7 d) Para representar
4z
iz 224
2
7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii7 e iii7 e iii7 b-c-e i/ii7 b-c-e i/ii
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
iz 223
2
)3,5(z1
iz 423
)2,2(z4
en forma de binomio es iz 351
en forma de par ordenado es
),(z 223
2
en forma de par ordenado es
),(z 423
en forma de binomio es iz 224
)zz()ii 122
7 e) Para calcular
21 zz)i pasamos z1 a la forma de binomio y hallamos
iz 223
2
)i()i(zz 223
3521 ii 223
35 agrupando reales por un lado e imaginarios por
otro i)()( 2323
5 i527
)]i()i[( 35223
2
resuelvo primero la diferencia de números complejos
]ii[ 35223
2 )i( 5213
2para multiplicar un
entero por un complejo, aplicamos distributiva
del entero en el complejoi)i()( 101352
213
2
7 b) c)
7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii7 e iii7 e iii
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
132 zzzz)iii )i()i()i( 3542223
iii 3542223
procedemos de igual manera que si hubiera sido la suma de dos complejos, eliminamos los paréntesis
aplicando la regla de los signos
)iii()( 3425223
i9211
para sumar gráficamente
)i()i(zz 223
3521 con z1 y z2 representados
buscamos iz 223
2
por el extremo de z1 trazo una paralela a por el extremo delas paralelas se intersectan en el extremo del vector suma y su inicio está en el origen de
coordenadasbuscamos conocer la
componente real del vector resultante, y la componente
imaginaria
23
21 zz i5
luego
2z
trazo una paralela a z12z
7 f iii7 f iii7 f i/ii7 f i/ii
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
Para resolver gráficamente )zz( 122 con z1 y z2
representados
buscamos –z1 prolongando z1 en sentido opuesto
y trasladando con el compás el extremo de z1 sobre la línea prolongada, con centro en el origen de coordenadasencontramos –
z1sumamos z2 + (-z1) como hemos vistoprolongamos la recta de acción
de z2 -z1 y borramos la semicircunferencia auxiliar
y trasladamos con el compás el extremo de z2 - z1 sobre la línea
prolongada, con centro en el origen de coordenadas (por
cambio de signo)con el compás trasladamos una vez más sobre la recta la
distancia z2 - z1 ; obteniendo –2(z2 - z1 )buscamos la componente
real del vector resultante,
y la componente imaginaria 132 12 )zz( i10
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente operac. operac. gráf.gráf.
132 zzzz Para resolver gráficamentecon z1 ; z2 y z3 representados
comenzamos buscando el opuesto de z2 , es decir - z2luego buscamos
1z y con este resultado buscamos 1z
ahora tenemos los complejos –z2 ; z3 y 1z
representados por sus respectivos vectores
solo nos queda efectuar la suma de todos ellos
)z(z)z( 132
lo que hacemos trasladando z3 a continuación de –z2 a continuación del z3 que sigue a -
z2
1z
uniendo el extremo de la acumulación de segmentos con el origen de coordenadas tenemos el
resultado que buscamos
132 zzz211
i9
Nº Nº complejocomplejo
z ; - z; 1/zz ; - z; 1/z suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente operac. operac. gráf.gráf.
Para calcular z1 z2 lo realizamos como si se tratara del producto de dos binomios; con la única salvedad que debemos considerar el
producto de números imaginarios
)i()i(zz 223
3521
)i(i)i()i()(zz 2323
32523
521 26
29
10215
iii
i)()(29
106215 i
229
23
14
3z
z)ii podemos pensar
como
4
3
1z
z
que resolvemos como cociente de fracciones, efectuando el producto de los extremos sobre
el producto de los medios
4
3
11
z
z
11
43 zz )i()i( 2242 224242222 iii
i)z(
z26221
4
3
(- 1)
7 f iii7 f iii
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente operac. operac. gráf.gráf.
2
13
zzz
)iii
)i(
)i()i(
223
3542
)i(
)ii
223
3542
)i(
i
223
77
i
i
i
i
223
223
223
77
22
2
223
14221
14221
)i(
iii
2449
14221
14221
i
ii
425
27
249
449
27
249
ii
42527
425249
ii
25247
252449
2 2
2
13
zzz
operamos en el numerador
efectuamos el cociente, multiplicando y dividiendo por el conjugado del
denominadoroperamos en el numerador y en el denominador
recuerde que i2 = - 1
fracción de fracción: es igual al producto de los extremos sobre el producto de los
medios
i2514
2598
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
8) Si 1x2x)x(f 2
xx)x(g 2 )i1(g)i2(f
)i()i()i()i(
111222
2
2entonces
(2+i) toma el lugar de x en f(x)
)i1(g)i2(f
)1()21(1)24()44(
2
2
iiiiii
iiiiii
12112444
2
2
iii
1121112
para calcular
f(x) = (2+i)2 -
2 (2 + i)+ 1
(1+i) toma el lugar de x en
g(x)
g(x) = (1+i)2 +
(1 + i)
operando resulta . . .
recuerde i2 = - 1
recuerde ( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
ii
i51
53
312
9) a) Para hallar z tal que : izz 533
Si biaz biaz entonces . . .
izz 533 puede escribirse i)bia()bia( 533
resolvemos ibiabia 5333 Agrupamos reales e imaginarios en el 1º
miembroii)bb()aa( 5333
ibia 5324 Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las
partes reales e imaginarias del primero y segundo miembro
5234 ba25
43
ba
iz25
43
tengamos presente que no podremos resolver esta ecuación despejando z
que resulta ser . . .
entonces . . .
9 c9 c9 b9 b
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
9 b) Para hallar z tal que :
izzi 62
Si biaz biaz entonces . . .
puede escribirse i)bia()bia(i 62
resolvemos ibiabiai 6222 Agrupamos reales e imaginarios en el 1º
miembroibia)(bai 6221
ii)ba()ba( 622
6202 baba
Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del
primero y segundo miembro
izzi 62
teniendo presente que
12 i
Podemos componer un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas
62
02
ba
ba
que resolvemos por sustitución
(1)(2)
de (1) ab 2 reemplazando (1) en (2)
622 )a(a
63 a entonces36
a 2a reemplazando a = 2 en (1)
022 b entonces 4b
9 c9 c
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
9 c) Para hallar z tal que : iziz 53
Si biaz biaz entonces . . .
puede escribirse i)bia(i)bia( 53
resolvemos ibiaibia 532 agrupamos reales e imaginarios en el 1º
miembro
ii)ba()ba( 53
53 baba
iziz 53
tenga presente que
12 i
Podemos componer un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas
5
3
ba
ba
Para que se verifique la igualdad, deben ser idénticas las partes reales e imaginarias del
primero y segundo miembro
i)(baibia 531
ibaibia 53
intuimos que este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas no tiene solución, porque la suma de
dos números cualesquiera, no pueden tener resultados diferentes
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
10 i) la ecuación iz)i( 7325 puede resolverse despejando z
así :ii
z2573
resolvemos como
cociente de números complejos
multiplicamos y dividimos la expresión
ii
z2573
aplicando propiedad distributiva en el numerador y diferencia de cuadrados en el
denominador
22
2
251435615
)i(iii
también podría haberse aplicado distributiva en el denominador y
hubiéramos tenido el mismo resultado
2425
11435615i
)(ii
operamos sabiendo que i2 = -1i
i2941
291
29411
)i
)(i()i)(i(29411
252941
291
25
298222055 2iii
29203
2987
2920387 ii
i73
3 7
verificamos . . .
ii
ii
2525
2573
por el conjugado del denominador
10 ii/iii10 ii/iii
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
),(),(
z)ii 53
43 puede resolverse
despejando z, porque en ella no aparecez
así : ),(),(z 4353
))();((z 3512209 ),( 329
iiiz
zz
362
32
iii) resolver
no debe ser muy diferente de lo realizado
hasta ahora
iiiz
362
321
1362
32
iiizPasamos –1
al 2º miembro
y resolvemos el segundo miembro
antes de pasar multiplicando el denominador del primer término
iiiz
372
32
)i)(i(iz 23732
resolvemos nuevamente el 2º miembro 23671432 iiiiz
y ahora despejamos ziiz 313112
iz 10112 iz 5211
i1311
iiz 131132
Nº Nº complejocomplejoz ; - z; 1/zz ; - z; 1/z
suma-restasuma-resta
productoproducto
cocientecociente
operac. operac. gráf.gráf.
11) a) Si el producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un número real
La parte imaginaria del resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser igual a 0
)xiixi()xi()i( 2624312463
))(xixi( 1624312 así, agrupando reales por un lado e imaginarios por otro, tendremos . . .
)ixi()x( 243612 i)x()x( 243612 se distingue en la expresión claramente
una parte real
y una parte imaginariaSi la parte imaginaria debe ser 0, tendremos . . .
0243 x entonces . . .3
24x 8
8
Si el resultado del producto (3 - 6 i) (4 + x i) debe ser un imaginario puro
la parte real debe ser 0, tendremos . . .
0612 )x(
612
x 2entonces . . .
2
Algebra de BooleDecimos ( B, * ) es Algebra de Boole si
para un conjunto B y dos operaciones * y
1) * y son dos leyes de composición interna en B
2) * y son operaciones conmutativas
3) * y son operaciones asociativas en B
4) * y son operaciones distributivas cada una respecto de la otra
5) Existen elementos neutros en B respecto de * y que se denotan como 0 y 16) Todo elemento a B admite un complementario a´, tal que :
a * a´ = 1 y a a´ = 0
Tenga “muy presente” que 0 y 1 en Algebra de Boole son simples denominaciones del neutro respecto de * (0) y respecto de (1) ( no guardan ninguna relación con los valores que
representan normalmente)
1212 1313
1212 1313
12) Si B = { 1, 2, 3, 6 } con las operaciones * y donde * denota mínimo común múltiplo y denota máximo común divisor
confeccionamos las tablas respectivas para cada una de las operaciones
* 1 2 3 6
1
2
3
6
m.c.m.
1 2 3 62 2 6 6
3 6 3 66 6 6 6
1 2 3 6
1
2
3
6
1 1 1 11 2 1 21 1 3 31 2 3 6
m.c.d.
Todos los resultados de cualquiera de las dos tabla son elementos del conjunto B
Entonces * y son leyes de composición interna en B
* y son conmutativas porque definen relaciones conmutativasm.c.m. de a y b = m.c.m. de b y a m.c.d. de a y b = m.c.d. de b y a
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
m.c.m.
m.c.d.
Ejemplos donde se verifica la asociatividad de * y de
( 2 * 3 ) * 6 = 6 * 6 = 6
( 6 2 ) 1 = 2 1 = 1
2 * ( 3 * 6 ) = 2 * 6 = 6
6 ( 2 1 ) = 6 1 = 1
Ejemplos donde se verifica la distributividad de respecto de * y viceversa( 2 * 3 ) 1 = 6 1 = 1 se verifica
con( 2 1 ) * ( 3 1 ) = 1 * 1 = 1
( 2 3 ) * 1 = 1 * 1 = 1 se verifica con
( 2 * 1 ) ( 3 * 1 ) = 2 * 3 = 1
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
m.c.m.
m.c.d.
Analizamos la existencia de neutro en B para los operadores * y Si existe neutro en B para el operador * será un elemento e tal quex * e = x para cualquier x B esto se verifica para e =
1Decimos entonces que el “cero” para la operación * es el elemento 1 del conjunto BSi existe neutro en B para el operador será un elemento e tal quex e = x para cualquier x B esto se verifica para e =
6Decimos entonces que el “uno” para la operación es el elemento 6
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
m.c.m.
m.c.d.
Nos queda analizar la existencia de complementario para * y
Si existe complementario para * debe verificarse que a B, a´ B : a * a´= 1
el 1 de es el elemento 6 del conjunto B, verificamos
1 * 6 = 6 6 B ok2 * 3 = 6 6 B ok3 * 2 = 6 6 B ok6 * 1 = 6 6 B ok
respecto de * el complemento de
a = 1 es a´ = 6a = 2 es a´ = 3a = 3 es a´ = 2a = 6 es a´ = 1
Para todo elemento a
que pertenece al conjunto B
existe un elemento a´
que también pertenece al conjunto B
que verificala condición a * a´= 1
donde 1 es el neutro de
* 1 2 3 6
1 1 2 3 6
2 2 2 6 6
3 3 6 3 6
6 6 6 6 6
1 2 3 6
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 3
6 1 2 3 6
m.c.m.
m.c.d.
Finalmente analizamos la existencia de complementario para
Si existe complementario para debe verificarse que a B, a´ B : a a´= 0
si el 0 de * es el elemento 1del conjunto B, verificamos
1 6 = 1 6 B ok2 3 = 1 3 B ok
3 2 = 1 2 B ok6 1 = 1 1 B ok
respecto de el complemento de
a = 1 es a´ = 6a = 2 es a´ = 3a = 3 es a´ = 2a = 6 es a´ = 1
(B,*, (B,*, ) ) Es Algebra de BooleEs Algebra de Boole
13) Probar que en un Algebra de Boole las siguientes condiciones son equivalentes : 1) a b´ = 0 2) a * b = b 3) a´ * b = 1 4) a b = a
a * b = (a * b) 1
porque 1 es neutro para
b * b´= 1
(a * b) 1 = (a * b) (b * b´)
por propiedad distributiva extraemos b
(a * b) (b * b´) = b * (a b´)
suponiendo válida la primera condición a b´ = 0
b * (a b´) = b * 0 = b
por ser 0 el neutro de *
queda probado que a * b = a * b = bb
Si a´ * b = a´ * ( a * b)
dando por válido lo que acabamos de probara´ * ( a * b) = ( a´ * a ) * b por asociatividad, que debe cumplir un Algebra de
Boole( a´ * a ) * b = 1 * b
por complementario a * a´= 1
1 * b = ( 1 * b ) 1
por ser 1 neutro para
( 1 * b ) ( b * b´ ) = ( 1 b´ ) * b = b * b´ = 1
luego a´* b = a´* b = 11
probamos (2) a partir de (1) entonces:
Probamos ahora (3) a partir de (2) entonces:
Probamos ahora (4) a b = a a partir de (3) a´*b = 1 entonces:
porque 0 es neutro para *
a b = (a b) * 0
(a b) * 0 = (a b) * (a a´) porque a a´ = 0
por ser distrubutivo en * (a b) * (a a´) = a (b*a´) a (b * a´) = a 1 porque quedó probado (3) a´*b = 1 con *
conmutativoqueda probado que a a b b = a= a
Probamos ahora (1) a b´ a partir de (4) a b = a cerrando la cadena, entonces:a b´ = (a b) b´
por asociatividad
por ser 0 el neutro de *
suponiendo válido lo que acabamos de probar a b = a (a b) b´ = a ( b b´ )
por complementario b b´= 0
a ( b b´ ) = a 0
a 0 = ( a 0 ) * 0
( a 0 ) * 0 = ( a 0 ) * (a a´) = a (0 * a´)
0 * a´ = a´ por ser 0 neutro para *
a (0 * a´) = a a´ = 0
luego a a b´ = b´ = 00
a 1 = a porque 1 es neutro para
14) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Proposiciones
establecemos las siguientes equivalencias:
* equivale a equivale a
0 equivale a F1 equivale a V a´ equivale a p
1) a b´ = 0 será p q F
4) a b = a será p q p
2) a * b = b será p q q
3) a´ * b = 1 será p q V Le queda a Ud comprobar que cualquiera de ellas se cumple suponiendo
verdadera alguna otra, aplicando los contenidos del tema 1 (lógica de proposiciones)
15) a) Probamos que (a * b) (a * b´) = a
a * (b b´) =
Aplicando distributiva
b) Probamos que (a b) * (a b´) = a
a (b * b´) =
Aplicando distributiva
y sabiendo que 0 es neutro de *; por tanto b b´ = 0
a * 0 = a
y sabiendo que 1 es neutro de *; por tanto b * b´ = 1
a 1 = a
Observamos además que esto es válido por el principio de dualidad, dado que éste caso es el dual del
punto a)
16) Aplicar la propiedad anterior al Algebra de Conjuntos
establecemos las siguientes equivalencias:
* equivale a
equivale a
0 equivale a
1 equivale a U a´ equivale a A´=A
(a * b) (a * b´) = a
(a b) * (a b´) = a
equivale a (A B) (A B´) =
A ( B B´ ) = A = A
equivale a (A B) (A B´) =
A ( B B´ ) = A U = A
Es posible que algo haya quedado sin entenderse, te sugiero que vuelvas a repasar, que resuelvas los ejercicios complementarios y otros de los que
dispongaspero JAMAS TE DESANIMES, no dejes
que los fantasmas te persigan . . .
Las cosas que acabarán con la raza humana son: la
política sin principios, el progreso sin compasión, la
riqueza sin esfuerzo, la erudicción sin silencio, la
religión sin riesgo y el culto sin conciencia
(Anónimo)