04 Marcela Rubio

Sede Bogota Simposio de Topologa Carlos Javier Ruiz Salguero

Una adjuncion asociada con los anillos seudo

regulares.

Ibeth Marcela Rubio Perilla

Trabajo conjunto con: Lorenzo Acosta.

Enero 24 de 2013

Una adjuncion asociada con los anillos seudo regulares. Universidad Nacional de Colombia

Ibeth Marcela Rubio Perilla Simposio de Topologa Carlos Javier Ruiz Salguero

Adjoint functors arise everywhere.

S. Mac Lane



Presentacion general.

1 Nocion de adjuncion en conjuntos parcialmente ordenados.





2 Ejemplo de un par no adjunto.






3 Isomorfismo obtenido mediante una restriccion del ejemploanterior.







4 Algunas adjunciones obtenidas al hacer restriccionesconvenientes.








5 Conclusiones.








5 Conclusiones.

6 Bibliografa.



Adjuncion.



Adjuncion.

Consideremos X , Y dos conjuntos parcialmente ordenados,



Adjuncion.


f : X Y , g : Y X funciones que respetan el orden.



Adjuncion.



f es adjunta a izquierda de g



Adjuncion.




si y solo si

f (g(y)) y



Adjuncion.




si y solo si

f (g(y)) y y x g(f (x)), para todo y Y y todo x X .



Consideremos un anillo R.




(Todos los anillos los consideramos conmutativos y nonecesariamente unitarios).





Notaremos

I (R) : conjunto de los ideales del anillo R .





Notaremos

I (R) : conjunto de los ideales del anillo R .Spec (R) : conjunto de sus ideales primos.





Notaremos

I (R) : conjunto de los ideales del anillo R .Spec (R) : conjunto de sus ideales primos.

Estas colecciones de ideales se encuentran ordenadas por larelacion de inclusion.



Sea S un ideal de R.




En este caso diremos que R es una Iextension de S .





Definimos:

I (R)





Definimos:

I (R) I (S)R





Definimos:

I (R) I (S)R

J





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.

R respeta intersecciones.





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.


I (S)





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.


I (S) I (R)R





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.


I (S) I (R)R

R (I ) = {a R : aS I}





Definimos:

I (R) I (S)R

J J S

R respeta el orden.


I (S) I (R)R

R (I ) = {a R : aS I}

R respeta el orden.



Son R y R funciones adjuntas?

I (S) I (R)R

R




I (S) I (R)R

R

Se tiene que:

I ( (I )), para cada I I (S).




I (S) I (R)R

R

Se tiene que:


J ( (J)), para cada J I (R).





En general, esta inclusion es estricta.






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z.






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z. ( (4Z))






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z. ( (4Z)) = ({z Z : z2Z 4Z})






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z. ( (4Z)) = ({z Z : z2Z 4Z}) = (2Z)






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z. ( (4Z)) = ({z Z : z2Z 4Z}) = (2Z) = 2Z.






Ejemplo 1.

R = Z, S = 2Z e I = 4Z. ( (4Z)) = ({z Z : z2Z 4Z}) = (2Z) = 2Z.4Z $ ( (4Z)).





En general, esta inclusion tambien es estricta.






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z.






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z))






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z)






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z) = (4Z)






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z) = (4Z) = {z Z : z4Z 4Z}






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z) = (4Z) = {z Z : z4Z 4Z} = Z.






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z) = (4Z) = {z Z : z4Z 4Z} = Z.2Z $ ( (2Z)) .






Ejemplo 2.

R = Z, S = 4Z y J = 2Z. ( (2Z)) = (2Z4Z) = (4Z) = {z Z : z4Z 4Z} = Z.2Z $ ( (2Z)) .

Proposicion.

Si J es un ideal propio de R que contiene a S entoncesJ 6= ( (J)) .



Conclusion.

Sea R una Iextension de S .



Conclusion.


En general, las funciones R y R as definidas, no son adjuntasentre s.



Observacion.




Observacion.


Proposicion.

Si J es un ideal primo de R que no contiene a S ,



Observacion.


Proposicion.

Si J es un ideal primo de R que no contiene a S , entonces

1 (J) es un ideal primo de S .



Observacion.


Proposicion.



2 ( (J)) = J.



Observacion.


Proposicion.



2 ( (J)) = J.

Proposicion.

Si I es un ideal primo de S ,



Observacion.


Proposicion.



2 ( (J)) = J.

Proposicion.

Si I es un ideal primo de S , entonces

1 (I ) es un ideal primo de R que no contiene a S .



Observacion.


Proposicion.



2 ( (J)) = J.

Proposicion.

Si I es un ideal primo de S , entonces

1 (I ) es un ideal primo de R que no contiene a S .

2 ( (I )) = I .



Un isomorfismo.



Un isomorfismo.

Notamos:

SpecS (R) = {J Spec (R) : S * J}



Un isomorfismo.

Notamos:


Teorema.

Si R es una I-extension de S , entonces : SpecS (R) Spec (S)



Un isomorfismo.

Notamos:


Teorema.

Si R es una I-extension de S , entonces : SpecS (R) Spec (S)es un isomorfismo de conjuntos ordenados con inverso .



Anillos seudo regulares.




Definicion.

Un anillo S es seudo regular si para cada b S , se tiene queb bS .




Definicion.


Ejemplo.

Son anillos seudo-regulares:




Definicion.


Ejemplo.


1 Los anillos con unidad puesto que si b S entoncesb = b1 bS .




Definicion.


Ejemplo.



2 Los anillos de Boole: Si b S entonces b = bb bS .




Definicion.


Ejemplo.



2 Los anillos de Boole: Si b S entonces b = bb bS .

3 Los anillos regulares de Von Neumann (conmutativos): Sib S entonces existe c S tal que b = b2c = b (bc) bS .




Ejemplo.

2Z no es un anillo seudo regular puesto que 2 6= 2x , para todox 2Z.




Ejemplo.


De la coleccion de anillos seudo regulares puede decirse que:




Ejemplo.



Es estable para productos y cocientes.




Ejemplo.



Es estable para productos y cocientes.

No es estable para sub-anillos.




Teorema.

Para cada I-extension R de S , las siguientes afirmaciones sonequivalentes:




Teorema.


1 El anillo S es seudo-regular.




Teorema.



2 R (R (I )) = I , para todo I ideal de S .




Teorema.



2 R (R (I )) = I , para todo I ideal de S .

3 R es adjunta a izquierda de R .




Corolario.

Si R es una Iextension del anillo seudo regular S entonces




Corolario.


1 respeta extremos superiores y respeta extremos inferiores.




Corolario.



2 :Im Im es un isomofismo de conjuntos ordenados,




Corolario.



2 :Im Im es un isomofismo de conjuntos ordenados,donde Im = I (S) : el conjunto de puntos fijos de .




Corolario.




3 ({0}) es el mnimo de Im.




Corolario.





4 Si J es un ideal propio de R que contiene a S , entoncesJ /Im.




Corolario.






5 SpecS (R) {R} Im




Corolario.






5 SpecS (R) {R} Im = {J I (R) | J = ( (J))} .



Restriccion de la coleccion de ideales.

1. Los ideales semi-primos.





Definicion.

Un ideal I del anillo S se dice semi-primo si todo elemento de Scon alguna potencia en I , es tambien elemento de I .





Definicion.


Los ideales primos de S son semi-primos.





Definicion.



{0, 6} es un ideal semi-primo de Z12 que no es primo.





Definicion.




0 es un ideal semi-primo de Z6 que no es primo.





Definicion.




0 es un ideal semi-primo de Z6 que no es primo.

Los ideales de un anillo de Boole son semi-primos.



Los ideales semi-primos.


Si I es un ideal semi-primo de S , entonces (I ) es un idealsemi-primo de R .






Si J es un ideal semi-primo de R entonces (J) es un idealsemi-primo de S .






Si J es un ideal semi-primo de R entonces (J) es un idealsemi-primo de S .

Sm (S) Sm (R)R

R



Ideales semi-primos.

Sabemos que: I ( (I )) y J ( (J)).





Proposicion.

Si I es un ideal semi-primo de S entonces





Proposicion.


( (I )) = I .





Proposicion.


( (I )) = I .

Corolario.

: Sm (R) Sm (S) es adjunto a izquierda de : Sm (S) Sm (R) .



Restriccion de la coleccion de ideales.2. Los ideales seudo-primos.




Definicion.

Un ideal I del anillo S es seudo-primo si I es propio y para cadaa S , aS I a I .




Definicion.


Todos los ideales propios de un anillo unitario sonseudo-primos.




Definicion.



La coleccion de los ideales seudo-primos de S es estable paraintersecciones.




Definicion.




Todo ideal semi-primo es seudo-primo.




Definicion.




Todo ideal semi-primo es seudo-primo.x2es un ideal seudo-primo del anillo unitario R[x ],




Definicion.




Todo ideal semi-primo es seudo-primo.x2es un ideal seudo-primo del anillo unitario R[x ], pero no

es semi-primo.




Definicion.




Todo ideal semi-primo es seudo-primo.x2es un ideal seudo-primo del anillo unitario R[x ], pero no

es semi-primo.

8Z es un ideal de 2Z que no es seudo-primo.



Ideales seudo-primos.

Notamos:

ISP (S) la coleccion de los ideales seudo-primos de S .




Notamos:






Notamos:



I = ( (I )) , para cada I ISP (S) .




Notamos:




Si I ISP (S)




Notamos:




Si I ISP (S) entonces (I ) ISP (R) y (I ) no contienea S .



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z,



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z, pero (4Z)



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z, pero (4Z) = 4Z 2Z = 4Z



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z, pero (4Z) = 4Z 2Z = 4Z no es un ideal seudo-primo de 2Z.



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z, pero (4Z) = 4Z 2Z = 4Z no es un ideal seudo-primo de 2Z.2 es un elemento de 2Z tal que 2.2Z 4Z y 2 / 4Z.



Ejemplo.

Consideremos R = Z y S = 2Z.J = 4Z es un ideal seudo-primo de Z que no contiene a 2Z, pero (4Z) = 4Z 2Z = 4Z no es un ideal seudo-primo de 2Z.2 es un elemento de 2Z tal que 2.2Z 4Z y 2 / 4Z.

As, no se restringe apropiadamente a la coleccion de los idealesseudo-primos de R que no contienen a S .




Sean R una Iextension de S y J un ideal seudo-primo de R queno contiene a S .





Si J es tal que (J) es un ideal seudo-primo de S ,





Si J es tal que (J) es un ideal seudo-primo de S , entonces

para cada a S tal que aS (J S) se tiene que a J S .







Definicion.

Un ideal J del anillo R es seudo-primo con respecto a S







Definicion.

Un ideal J del anillo R es seudo-primo con respecto a S si

para cada a S tal que aS J se tiene que a J.




ISPS (R):




ISPS (R): coleccion de los ideales de R que son seudo-primos conrespecto a S .





Se tiene que (ISP (S)) ISPS (R)





Se tiene que (ISP (S)) ISPS (R)y ISPS (R) es un subconjunto, en general propio,





Se tiene que (ISP (S)) ISPS (R)y ISPS (R) es un subconjunto, en general propio, de la coleccionde ideales seudo-primos de R que no contienen a S .






Proposicion.

Sea R una I-extension del anillo S .






Proposicion.

Sea R una I-extension del anillo S . : ISPS (R) ISP (S) es adjunta a izquierda de : ISP (S) ISPS (R).



Conclusiones.

Sea R una Iextension del anillo S .

I (S) I (R)R

R



Conclusiones.


I (S) I (R)R

REn general, no son adjuntas.



Conclusiones.


I (S) I (R)R

REn general, no son adjuntas.

Adjuncion:

Anillos seudo primos



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

R



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

RIsomorfismo.



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

RIsomorfismo.

Adjuncion.Sm (S) Sm (R)



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

RIsomorfismo.


ISP (S) ISPS (R) Adjuncion.



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

RIsomorfismo.



Todos los ideales de un anillo seudo regular



Conclusiones.

Spec (S) SpecS (R)R

RIsomorfismo.



Todos los ideales de un anillo seudo regular son seudo-primos.



Referencias.

D. D. Anderson and E. Smith. Weakly prime ideals. Houston Journal of

Mathematics, Vol. 23, No. 2 (2003), 831-840.

R. Gilmer. Eleven nonequivalent conditions on a commutative ring.

Nagoya Math. J. 26 (1966), 183-194.

J. Von Neumann. On regular rings. Proc. Nat. Acad. Sci. USA 22 (1936),

707-713.

Atiyah, M. F. and MacDonald, I. G. Introduction to Commutative

Algebra. 1969.

S. Mac Lane. Categories for the working mathematician. 1971.

C. Mutafian. Le defi algebrique. 1976.

M. Rubio. El funtor espectro y su relacion con el proceso de adjuncion de

unidad. 2012.



Gracias por su atencion.


Par adjunto

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