04-MODULO EJERCICIOS - UNIDAD 6.pdf

8/17/2019 04-MODULO EJERCICIOS - UNIDAD 6.pdf

1/141

UNIDAD 6

CIRCUNFERENCIA

1.

En una C(O; r) se trazan un diámetro y un radio perpendicular a ; se prolonga

a cada lado y en el exterior de la circunferencia en longitudes iguales AE=BD; se trazan y

que cortan a la circunferencia en F y G. Probar que: OFC=OGC.

GRAFICA 65

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

7

8

9 =

10

11 =

12

13

14

AB OC AB AB

CE

CD


2/142

2. Desde el vértice A de un ABC equilátero, se traza el arco menor de la circunferencia que pasa

por B y C; se toma sobre este arco el punto D y se trazan y . Demostrar que la recta

que une el punto medio del radio con el punto medio de es perpendicular a la recta que

une el punto medio con el punto medio de .

GRAFICA 66

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

DB DC

AB DC

AC DB


3/143

3. Considerar una C(O; r) y una C(O'; r') tangentes en un punto A; se trazan en la C(O; r) una

cuerda y en la C(O';r') la cuerda . Probar que .

GRAFICA 67

AFIRMACION RAZON

1 1.

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

+2 13

14

15

16

AM AN AM OM O'N


4/144

4.

Por el punto medio O de un segmento se traza una recta cualquiera ; se toma B'

simétrico de B con respecto a y se traza con el punto N sobre . Probar

que es tangente a la circunferencia de diámetro .

GRAFICA 68

⃡ , ̅ ̅

̅ ̅

̅

AFIRMACION RAZON

1 ̅ ̅ ̅

2 ̅ ̅ ⃡

3

4

5 ̅ ̅

6

7 ̅ ̅

8

9

10 ̅ ̅

11 ̅

5.

Se traza una cuerda que corta a dos circunferencias concéntricas, a la menor en A y B y a la

mayor en C y D. Demostrar que = y = .

AB XY

XY B'N OB' XY

NB AB

AC BD AD BC


5/145

GRAFICA 69

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 6

7

8

9

10

11

12

6.

En una C(O; r) se trazan dos radios y y una cuerda perpendicular a la bisectriz

del AOB; corta a en F y a en G. Demostrar que: MF=NG y FA=GB.

GRAFICA 70

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ̅ ̅

OA OB MN

MN OA OB


6/146

4

5 ̅ ̅

6

7 ̅ ̅ ̅

8 ̅ ̅

9

10 ̅ ̅ ̅

11 ̅ ̅

7.

Dos circunferencias C(O; r) y C(O'; r') se cortan en A; se une A con el punto medio M de

y se traza la perpendicular a en A que corta a la C(O; r) en B y a la C(O'; r') en C.

Demostrar que AB=AC.

GRAFICA 71

Determina la hipótesis y la tesis

AFIRMACION RAZON

1 ̅

2

3 ̅

4

5

6 ̅

7 ̅

8

8. Probar que la cuerda más pequeña que pasa por un punto interior a una circunferencia es

perpendicular al diámetro que pasa por dicho punto.

OO'

AM


7/147

GRAFICA 72


Tracemos pasando por P, ya que por P pasa una única cuerda perpendicular en dichopunto, Tracemos cualquier otra cuerda que pase por P en este caso . Desde O podemostrazar donde se estara formando el ∆ rectángulo ∆ OMP donde es decirque la cuerda esta mas cerca al centro que a la cuerda por lo tanto por corolario

sabemos que la mayor de dos cuerdas desiguales es la más próxima al centro yrecíprocamente. Por lo tanto

Ahora realízalo utilizando afirmación - razón.

9. En una C(O; r) se trazan dos radios perpendiculares y y en el mismo sentido con

respecto a los radios se trazan dos cuerdas iguales AM=BN. Demostrar que ellas son

perpendiculares.

GRAFICA 73


Observemos que al prolongar los segmentos se cortan en un punto P por lo tanto es un ángulo exterior cuya medida es la semidiferencia entre los arcos y ,sabemos que radios y además luego tenemos dos triánguloscongruentes por el teorema LLL, . Continuando tenemos que lo que implica que con donde ̂

OA OB


8/148

⋀ ̂ por ser ángulos centrales; por lo tanto:

̂ ̂ ̂ ̂ por resta de arcos

Operaciones entre reales

Propiedad asociativa

Por lo tanto

10.

Probar que todo trapecio inscrito en una circunferencia es isósceles.

GRAFICA 74

AFIRMACION RAZON1

2 ̅ ̅

3

4 ̅

5

6

11.

En una C(O;r) se tienen dos cuerdas y perpendiculares a un diámetro ; se trazan y . Probar que la recta que une los puntos medios de y es perpendicular al

diámetro .

CC' DD' AB

CD C'D' CD C'D'

AB


9/149

GRAFICA 75

AFIRMACION RAZON

1 CC'

2 CC'D'D es trapecio

3

base media

4

5

6

7

8

12. En un ABC acutángulo se traza las alturas y . Probar que la circunferencia de

diámetro pasa por los pies D y E de las alturas. Si el BAC=64°, calcular el ADE.

GRAFICA 76

determina la tesis

Si tomamos como diámetro entonces la circunferencia de diámetro es todos lospuntos que forman un ángulo de 90° tomando como extremos A y B por arco capaz; por lotanto E a dicha circunferencia y por lo tanto D a dicha circunferencia yaque .

AD BE

AB


10/1410

Realiza la segunda parte

13. Hallar el lugar geométrico del centro de un rombo si uno de sus lados está fijo en algunaposición.

GRAFICA 77

determina la hipótesis y la tesis

Si dejamos como lado fijo el segmento podemos trazar la semi-circunferencia condiámetro que pasara por I. si desplazamos I hasta el puntoI′ sobre la circunferenciaAIB=90 por lo tanto si prolongamos AI′ y BI′ hasta C′ y D′ respectivamente tal queAI′=C′I y BI′=I′D′ se forma siempre un rombo de lados iguales . De acuerdo a lo anteriorel lugar geométrico estará siempre en la semicircunferencia de radio AB

14.

Dos circunferencias son tangentes exteriores en un punto A. Se trazan las secantes y

. Probar que .

GRAFICA 78

AFIRMACION RAZON

1

2

BAC

B'AC' BB' CC'


11/1411

3

4

5 ̅

6

7

8 9

10

11

12

13

14

15. Sea I el centro de la circunferencia inscrita en un ABC, rectángulo en A. Probar que es

el lado del cuadrado que se puede inscribir en la circunferencia que pasa por los tres puntos B,

I y C.

GRAFICA 79

1. Determina la hipótesis y la tesis2. Argumenta las afirmaciones

Si es el lado del cuadrado inscrito entonces el ángulo desde el centro de lacircunferencia () tendría que medir 90 CIB=180-( donde (2 ∆ABC

inscrito

BC


12/1412

16.

Por un extremo A de un diámetro de una C(O; r) se traza una cuerda ; y por el extremo

B se traza la tangente a la circunferencia. Se traza la bisectriz del CAB que corta a la

cuerda en F, a la circunferencia en H y a la tangente en D. Demostrar que BD=BF y

FH=HD.

GRAFICA 80

AFIRMACION RAZON

1

inscrito

2

3

4

5

6 7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

AB AC

BC


13/1413

21

22

23

17.

Encontrar los ángulos de un cuadrilátero inscriptible ABCD, si la diagonal hace con los

lados y ángulos de 45° y con la diagonal un ángulo de 70°.

GRAFICA 81

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

)

12

18.

Se tiene un cuadrilátero MNPR inscrito en una circunferencia, y el cuadrilátero circunscrito

ABCD, cuyos lados , , y , son tangentes a la circunferencia respectivamente en N, P, R y M. Demostrar que AD+BC=DC+AB.

AC

AB AD BD


14/14

GRAFICA 82


Sabemos que los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior son congruentes esdecir :

por suma de segmentos tenemos:

( ) ( )

si tenemos presente el primer paso y sustituimos obtenemos:

=

Si agrupamos.

+ ( ) )

Obtenemos

Documents

04-MODULO EJERCICIOS - UNIDAD 6.pdf