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Mecanica de Solidos Usach
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MECÁNICA DE SÓLIDOS
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
Dpto. de Ingeniería en Obras Civiles
Construcción Civil
Unidad 4:
Torsión de barras de sección circular
TORSIÓN
La torsión se manifiesta cuando un elemento es
solicitado por un momento torsor (giro), que actúa en
torno al eje longitudinal. El efecto principal que provoca
este momento es de corte puro sobre la sección
transversal del elemento.
Algunos ejemplos de trabajo de barras en torsión son:
barras de transmisión en los vehículos,
taladros, destornillador,
hélices, etc.
TORSIÓN PURA
En el caso de Torsión simple, como solo tienecomponente axial, el momento flector es nulo, ademásde anularse los esfuerzos normal y cortante. Si elmomento torsor es constante diremos que el prismaestá sometido a torsión pura.
Conversión de signos
Torsión en barras de sección circular
HIPÓTESIS
• Como todas las secciones de la barra son idénticas y cadauna está sometida al mismo momento torsor (MT), la barraestá en torsión pura.
• Por condiciones de simetría, las secciones transversales dela barra no cambian de forma al girar en torno al ejelongitudinal, todas las secciones permanecen planas ycirculares, además, los radios permanecen rectos.
• Como el ángulo de rotación es pequeño, no cambia ni lalongitud ni el radio de la barra ( tan 𝛼 = 𝛼).
La barra de la figura está fija en el extremoizquierdo, solicitada por el momento torsor MT. Elextremo derecho gira en un pequeño ángulo Φ,denominado ángulo de torsión.
Torsión en barras de sección circular
Torsión en barras de sección circular
Debido a la rotación, la recta pq se transforma en una línea helicoidal
pq’, donde q’ es la posición del punto q después que la sección
transversal del extremo ha girado Φ.
El ángulo de torsión cambia a lo largo del eje de la barra y en
secciones intermedias de la barra tendrá un valor Φ(x), que
variará linealmente 0< Φ(x)<Φ, debido a que r es constante.
MT
Para el análisis, se considerará una porción de la barra de
longitud dx.
Torsión en barras de sección circular
En el manto se resalta un pequeño elemento abcd, con
lados ab y cd, inicialmente paralelos al eje longitudinal.
Las longitudes de los lados del elemento abc’d’ no cambian, sin
embargo, los ángulos en las esquinas ya no son iguales a 90º. El
elemento está en corte puro y la deformación unitaria de corte γmáx
(gamma máx), es igual al decremento del ángulo en el punto a.
Torsión en barras de sección circular
La torsión se caracteriza por el ángulo dΦ, de manera que los
puntos b y c se mueven hacia b´y c’.
MT
De acuerdo con la figura,ab
bb'max
Torsión en barras de sección circular
Donde γmax se mide en radianes, bb’ es la distancia que se
desplaza b y ab es la longitud del elemento (igual a dx).
Si r es el radio de la barra, la distancia bb’ se
puede escribir como r·dΦ, donde dΦ se mide en
radianes. La ecuación toma la forma:
dx
d·rmax
Esta ecuación relaciona la deformación unitaria
de corte en la superficie exterior, con el ángulo de
torsión.
Torsión en barras de sección circular
La expresión dΦ/dx es la razón de cambio del ángulo detorsión Φ respecto de la distancia x, conocida como θ.
·rdx
d·rmax
Torsión en barras de sección circular
Entonces:
Donde θ es el ángulo de torsión por unidad delongitud.
Torsión en barras de sección circular
En general, Φ y θ varían con la distancia x a lo largo del eje de
la barra.
Pero, cuando hay torsión pura, θ es constante e igual al
ángulo de torsión Φ dividido por la longitud L de la barra.
Esto es:
Lrr
max
γmax en torsión pura
𝜃 =𝜙
𝐿Donde:
La expresión que define los esfuerzos de corte en la
sección, queda determinada por la condición de
proporcionalidad entre el esfuerzo de corte y el radio r:
Tensiones en una sección circular
𝝉 = 𝒌 ∙ 𝒓
donde k es una constante
de proporcionalidad
cualquiera.
Es decir:
Tensiones en una sección circular
Dado que τ es proporcional a r, la integral queda:
Al efectuar el equilibrio
de momentos torsores:
A
·dAr·
·dA, df
·0
T
T
A
T
M
Si
MdfrM
A
T
A
MdArkdArkr ··)···( 2
Tensiones en una sección circular
Se define Inercia Polar a
la expresión:
Remplazando,
determinamos k:
A
P dArI ·2
A
TMdArk 2·
P
TTP
I
MkMIk
Luego, la expresión para
determinar el esfuerzo
de corte es:
rI
M
P
T
Para:
Es el momento de inercia respecto al eje perpendicular al
plano de la sección transversal, que intersecta con el
origen del sistema de coordenadas.
Para una sección
circular, el momento
de inercia polar se
define como: 2
4rIP
Tensiones en una sección circular
Momento de Inercia Polar
TORSIÓN EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Ángulo de Torsión
La deformación unitaria máxima de corte debida a la torsión es:
Por lo cual, el ángulo unitario de torsión es:
rmax
γmax en torsión pura
rmax
De la ley de Hooke, se tiene
que el esfuerzo de corte es
proporcional al ángulo γmax
GG /maxmax
Así, la relación del ángulo unitario de torsión es:
GI
M
rGr P
T
max
TORSIÓN EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Ángulo de Torsión
Es decir, el ángulo total de torsión será
la integral a lo largo del eje longitudinal
de la barra del ángulo unitario de
torsión, esto es:
Si el módulo de corte G, el momento
torsor MT y la inercia polar IP son
constantes a lo largo de una longitud L,
el ángulo de giro total de la sección
será:∅𝑻 = 𝜃 × 𝐿
TORSIÓN EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Forma de rotura
• Una vez verificado el estado tensional de la barra, se puede
deducir la forma de rotura que se presenta, si el material no
resiste por igual a tracción y a compresión.
• Las tensiones cortantes de dos planos perpendiculares entre si
son iguales en valor absoluto.
• Por tanto las tensiones tangenciales de las secciones
transversal y longitudinal se ven así:
TORSIÓN EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Forma de rotura
Consideremos un elemento de una superficie cilíndrica.
Sobre los lados de esta superficie elemental actúan solo
Tensiones tangenciales.
El circulo de Mohr correspondiente a este caso indica:
• Las dos direcciones principales son las bisectrices
de los ejes de la superficie.
• Las tensiones son de tracción y otra de compresión.
TORSIÓN EN BARRAS DE SECCIÓN CIRCULAR
Forma de rotura
Si el material es menos resistente a la tracción que a la
compresión, y el momento torsor es lo suficientemente
grande para que la tensión cortante máxima supere el
valor de la tensión de rotura a la tracción, se producirángrietas normales a la dirección de la tracción σ₁
Las grietas se
formarán a 45°
respecto del eje
de la barra.
1°_ El momento torsor genera tensiones tangenciales
El momento torsor máximo aplicado a la barra
es cuando la tensión de corte máxima es igual a
la tensión de corte admisible.
Donde:
2
4RIo
Reemplazando:
2°_ Para calcular Ø(x) se utiliza las expresiones:
Gdx
dmax
rI
M
o
T y
Reemplazando y despejando: dxIG
Md
o
T
Graficando:
𝜙 𝑥 = 0
𝑥 𝑀𝑇𝐺𝐼𝑜
𝑑𝑥 =𝑀𝑇𝑚𝑎𝑥𝐺𝐼𝑜
𝑥
𝜙 𝑥 =157 × 103 × 2
80 × 109 × 𝜋 × 0,14𝑥 𝑟𝑎𝑑 = 12,49 × 10−3 𝑥 𝑟𝑎𝑑
En las aplicaciones prácticas de la ingeniería es muy común
encontrarnos piezas sometidas a torsión.
Una de las mas usuales es la de los árboles de transmisión de potencia.
Por ejemplo el eje que transmite potencia desde una turbina a un
generador o el eje que transmite la potencia del motor de un vehículo a su
eje de transmisión.
TRANSMISION DE POTENCIA
Si consideramos un árbol de sección circular pero no constante a lo largo deleje, que está sometido aun sistema de pares cuyos Momentos tienen ladirección de la línea media del prisma. Entonces la pieza trabaja a torsiónsimple.
El Momento Torsor a lo largo del eje depende de x. por tanto:
En el prisma indicado las leyes de momentos torsores serán:
Para este tipo de problemas, la potencia N que se transmite y las revoluciones ω(velocidad angular), es un dato. La Potencia y el Par aplicado al eje estánrelacionados por la ecuación:
N [kp ∙ m] y ω [rad/seg]
Como la potencia N suele estar en CV y la velocidad de rotación en revoluciones por minuto, la expresión queda:
Despejando, el Momento torsor sería:
𝑀𝑇 =60 × 75
2𝜋𝑛𝑁 𝑘𝑝 ∙ 𝑚 =
225000 ∙ 𝑁
𝜋𝑛(𝑘𝑝 ∙ 𝑐𝑚)
N [CV] y n [rev/min]
DIAGRAMA DE MOMENTOS TORSORES
