04_PD_MT_PRO2

8/12/2019 04_PD_MT_PRO2

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PROGRAMA DESARROLLADOProbabilidad II

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías

Probabilidad II

Programa de la asignatura

Clave

50920415

Octubre de 2011

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Índice

Ficha de identificación ........................................................................................................................ 3

Descripción ............................................................................................................................................ 3

Propósitos .............................................................................................................................................. 4

Competencia general ........................................................................................................................... 4

Temario ................................................................................................................................................... 4

Metodología de trabajo ....................................................................................................................... 6

Evaluación .............................................................................................................................................. 6

Fuentes de consulta ............................................................................................................................ 7

Unidad 1. Arreglos Aleatorios ..................................................................................................... 8

UNIDAD 2 Momentos ................................................................................................................... 26

Unidad 3 Convergencia de variables aleatorias ................................................................... 51

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Información general de la asignatura

Ficha de identificación

División Ciencias Exactas, Ingenierías y

Tecnología

Nombre de la licenciatura Licenciatura en Matemáticas

Nombre la asignatura Probabilidad II

Clave de asignatura 50920415

Seriación Probabilidad I

Cuatrimestre Cuarto

Horas contempladas 72

Descripción

La asignatura de probabilidad II es la continuación de la asignatura de Probabilidad I. Cabeseñalar que las competencias que se pretende desarrollar en esta disciplina te permitirán

resolver modelos matemáticos probabilísticos de tucontexto social.

El azar está muy presente en la vida cotidiana (lacomparación de edades con estaturas, el tiempo deestancia de una persona dentro de un restaurante,el tiempo de vida de un foco etc.). Pese a esto,nuestros razonamientos, en general, siguen más lavertiente determinista que la aleatoria, sin tener encuenta que una no excluye a la otra. Tenemos unpasado en donde la vertiente del razonamiento

aleatorio se ocultaba bajo toda clase desupersticiones.

La teoría de probabilidades trabaja con experimentos aleatorios, es decir, con experimentoscuyo resultado no podemos prever de antemano (experimento: modo de obtener observaciones;para Toranzos “los acontecimientos aleatorios se caracterizan porque admiten dos o más

resultados posibles, y no tenemos elementos de juicios suficientes para predecir cuál de ellos

ocurrirá en una determinada realización”).

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Puntualmente deben cumplirse tres condiciones: no se puede predecir el resultado; se conocentodos los resultados posibles; el experimento se puede repetir sin cambiar esencialmente lascondiciones. Las condiciones anteriores, o lo que se llama experimento aleatorio, son comunes

a todos los juegos de azar, los cuales dieron origen a la Teoría de la Probabilidad.

En la unidad 1 se hace mención de los diferentes tipos de arreglos, sus definiciones básicas yejemplos para reforzar el conocimiento, también se abordan las diferentes distribucionesconjuntas, marginales.

En la unidad 2 se mencionan los momentos, como la varianza, esperanza de un resultado y lacovarianza y coeficiente de relación. También se mencionan las funciones generadoras demomentos que te permitirán medir el cúmulo de resultados de una población dada. Paracondicionar un resultado, tendrás la posibilidad de manipularlo mediante la esperanzacondicional, la cual le permite anticiparse a resultados.

Por último, en la unidad 3 se establecen las diferentes leyes que permiten lograr unaconvergencia de variables aleatorias, mediante el lema de Borrel-Cantelli, ley débil de losgrandes números y la ley fuerte de los grandes números.

Propósitos

El propósito de esta asignatura es formar profesionales capaces de aplicar sus conocimientosen probabilidad partiendo de los siguientes puntos:

Identificar las definiciones básicas para comprender los arreglos aleatorios. Analizar y resolver problemas por medio de la teoría de las probabilidades y las técnicas

de estadística. Analizar y resolver problemas por medio de la teoría de las probabilidades, las técnicas

de estadística y la convergencia de variables aleatorias.

Competencia general

Interpretar datos de diversas áreas de estudio para emitir juicios que incluyan una reflexiónsobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

Temario

Unidad 1. Arreglos aleatorios

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1.1 Definiciones básicas1.1.1. Sigmas algebras1.1.2. Ejemplos

1.2. Distribuciones1.2.1. Distribución conjunta1.2.2. Distribuciones marginales1.2.3. Vectores aleatorios discretos1.2.4. Densidades y densidades marginales1.2.5. Distribuciones condicionales

1.3. Independencia1.3.1. Convolución1.3.2. Aplicaciones de convolución

Unidad 2. Momentos

2.1. Conceptos Básicos2.1.1. Esperanza2.1.2. Varianza2.1.3. Covarianza y coeficiente de correlación

2.2. Funciones generadores de momentos2.2.1. Función generadora de momentos factoriales

2.2.2. Momentos Factoriales para generar una función

2.3. Esperanza condicional2.3.1. Caso discreto2.3.2. Caso continuo2.3.3. Caso mixto

Unidad 3. Convergencia de variables aleatorias

3.1. Convergencia de variables aleatorias3.1.1. Lema de Borel Cantelli

3.1.2. Ley débil de los grandes números3.1.3. Ley fuerte de los grandes números

3.2. Convergencia en distribución3.2.1. Definición y propiedades3.2.2. Función característica

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3.3. Función Característica3.3.1. Teorema del límite central3.3.2. Simulación

Metodología de trabajo

En esta asignatura se trabaja mediante la metodología de enseñanza y evaluación: el Aprendizaje basado en la resolución de ejercicios y problemas matemáticos y el Aprendizajebasado en la resolución de casos prácticos. La primera de estas se aplica en la unidad 1,denominada Arreglos aleatorios.

Entre las actividades se proponen existen diversos foros, y tareas colaborativas donde elestudiante buscara las técnicas que le auxilien a la resolución de ejercicios y problemas por elcual se basa la enseñanza de esta asignatura. Además intercambiar información, a base deejemplos podrás advertir la aplicación y utilidad de los temas revisados en cada unidad.

Evaluación

En el marco del Programa de la ESAD, la evaluación se conceptualiza como un procesoparticipativo, sistemático y ordenado que inicia desde el momento en que ingresas al aulavirtual. Por lo que se le considera desde un enfoque integral y continuo.

Por lo anterior, para aprobar la asignatura, se espera tu participación responsable y activa, asícomo que establezcas una comunicación estrecha con tu facilitador para que este puedaevaluar objetivamente tu desempeño. Para lo cual es necesaria la recolección de evidenciasque permitan apreciar el proceso de aprendizaje de contenidos: declarativos, procedimentalesy actitudinales.

En este contexto la evaluación es parte del proceso de aprendizaje, en el que laretroalimentación permanente es fundamental para promover el aprendizaje significativo yreconocer el esfuerzo. Es requisito indispensable la entrega oportuna de cada una de lastareas, actividades y evidencias así como la participación en foros y demás actividadesprogramadas en cada una de las unidades, y conforme a las indicaciones dadas. La calificación

se asignará de acuerdo con la rúbrica establecida para cada actividad, por lo que es importanteque las revises antes realizarlas.

A continuación presentamos el esquema general de evaluación:

ESQUEMA DE EVALUACIÓN Evaluacióncontinua

Interacciones individuales ycolaborativas

10%

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Tareas 30%

E-portafolio. 50% Evidencias 40%

Autorreflexiones 10%Examen 10%

CALIFICACIÓNFINAL 100%

Cabe señalar que para aprobar la asignatura, se debe de obtener la calificación mínimaindicada por la ESAD.

De manera particular, las actividades se encuentran dispuestas de la siguiente manera:La unidad 1 se evalúa con tres actividades que contemplan la resolución de ejercicios yproblemas.

En la unidad 2, además de la resolución de ejercicios y problemas matemáticos, el estudiantecreará una base de datos de las técnicas de estadística descriptiva que le servirá no sólo parael desarrollo del resto de las actividades de la asignatura, sino como un apoyo para el curso deasignaturas posteriores.

Finalmente, en la unidad 3 el alumno deberá resolver ejercicios de reforzamiento.

Fuentes de consulta

Milton J y Arnold J. (2004). Probabilidad y estadística con aplicaciones para ingeniería y

ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill.Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad . México: Departamento de matemáticas,Facultad de Ciencias, UNAM.Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.

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Unidad 1. Arreglos Aleatorios

Presentación de la unidad

Cuando se analizan situaciones aleatorias del entorno, generalmente no se interesa en unespacio muestral (conjunto) sino en un evento (subconjunto), cuyos miembros tienen unacaracterística común, se debe analizar las probabilidades de ocurrencia y no ocurrencia de talevento. Para esto, es necesario que aprendas a hacer análisis cualitativo y cuantitativo desituaciones que se le presentan, para su interpretación es necesario emplear estrategias quesurgen de la probabilidad.

De acuerdo con este planteamiento, la presente unidad proporciona elementos teóricos sobrearreglos aleatorios, distribuciones e independencia para estimar las posibilidades de ocurrencia

y no ocurrencia de resultados, incluido en las lecturas y ejercicios, que permitirán el logro delaprendizaje a través de la práctica.

Propósitos

Al finalizar la unidad:

Clasificarás elementos dentro de un conjunto para formar subconjuntos. Determinarás una función de densidad conjunta mediante la distribución de dos

variables. Utilizarás variables aleatorias condicionadas para obtener una distribución condicional.

Competencia específica

Generar un sentido teórico y práctico para estimar las posibilidades de ocurrencia de resultadosen las diversas situaciones que así lo requieran en problemas de su profesión.

1.1. Definiciones básicas

Dentro de la ciencia de las matemáticas, la teoría de la probabilidad esresponsable del estudio de los experimentos aleatorios. Un experimentoaleatorio es aquel que al repetirse bajo las mismas condiciones iniciales, noproduce el mismo resultado.

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1.1.2. Ejemplos

Ejemplo 1.

Se tiene S= {1, 2, 3, 4}Evaluar si S={Ǿ, {1, 2, 3, 4}} es -álgebraPara resolver este planteamiento, Tendríamos que consultar las tres condiciones que nospermiten verificar su pertenece a un -álgebra o no.

Solución:

La condición 1 se cumple, si A= {Ǿ} entonces su complemento Ac = {{ 1, 2, 3, 4}}, y de estamanera también se cumple la condición 2.

Verificando la condición 3 si A1 = Ǿ, A2 = {1, 2, 3, 4} entones la condición de ambos conjuntostambién pertenece al -álgebra An € S

Ejemplo 2.

Sea el conjunto S = {1, 2, 3, 4,}

2. Evaluar si el conjunto S es -álgebra: S = {Ǿ, {1}, {2}, {2, 3, 4}, {1, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}}

Como se puede apreciar que las dos primeras condiciones se cumplen fácilmente. Para el casode la segunda condición A={2}, su complemento Ac está en el conjunto S y todo esto se da

para todo conjunto potencial A.

Actividad 1. Sigma álgebra

Al finalizar la actividad serás capaz de:

Identificar un sigma álgebra. Clasificar elementos en conjuntos y subconjuntos.

De acuerdo a lo descrito en el tema 1.1 Definiciones básicas. Realiza lo siguiente:

1. Descarga el documento sigma álgebra. Ubicado en la pestaña de la unidad 1.

2. Observa la imagen y clasifica los elementos que pueden ser un conjunto y unasigma álgebra.

3. Entra al foro sigma álgebra y presenta tu propuesta en el foro.

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4. Entra al foro, lee con atención las propuestas de tus compañeros y comenta unade las propuestas de tus compañeros. No olvides que debes realizar tuscomentarios con claridad, precisión y respeto.

5. Concluye la actividad del foro mencionando un ejemplo de conjuntos con loselementos que lo componen.

6. Consulta la Rúbrica de participación del foro en la sección Material de apoyo.

1.2. Distribuciones

Por medio de las distribuciones podemos explicar y resolver algunos problemas de probabilidad,en donde está implícito el azar y donde podemos tener diversas variables para dar solución oenfoque a los resultados solicitados.

Entre las principales distribuciones para Variables Aleatorias discretas tenemos:

Distribución Uniforme

Distribución de Bernoulli

Distribución Binomial

Distribución Poisson

Distribución Hipergeométrica

Distribución Multinomial

Distribución Gamma

Distribución Exponencial 0xa1)x(Fae)x(f axax

Distribución Beta

b,axab

1)x(f

)b,a(xab

ax)x(F

)1,0(xP1)x(F)x1)(P1(Px)x(f

r nr )P1(P

r

n)r S(P)r (f

!ke)kX(P

k λ λ

kx x

k

x

1

k1

kk11 PPxx

!n)xX,,xX(P

0x,dueu)a(

1)x(Fex

)a(b

1)x(f

b/x

0

u1ab

x

1a

a

Γ Γ

)1,0(x)x1(x)b,a(

1)x(f 1b1a

β

)!nN!*(n

!N

)!knN)!*(kn(

!N

)!kN!*(k

!N

n

N

kn

N

k

N

)xX(p 2

2

1

121

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Distribución de Weibull

Distribución de Gumbel

Distribución Logística

Distribución de Pareto

Distribución de Laplace

Distribución de Cauchy

Distribución Geométrica

Distribución Erlang f x x x x( ; , )( )

exp( / ),

101

1.2.1. Distribución conjunta

Si X y Y son dos variables aleatorias sobre un espacio de probabilidad común (£. A, P ). Se lesllama función de distribución conjunta o simplemente distribución conjunta de X y Y, a lafunción.F(x, y) = P (X ≤ x , Y ≤ y )

0x0)X(F

0xe1)X(F

0x0)x(f

0xxea2)x(f

22

22

xa

xa2

xb

xaexpexp)X(F

xb

xaexp

b

xaexp

a

1)x(f

x

b

axexp1

1)x(F

x

b

axexp1b

b

axexp

)x(f

bx0)x(f

bxxab)x(f 1aa

bxaexp

211)x(Fy

baxexp

21)x(F

xb

axexp

b2

1)x(f

x

b

axarctan

1

2

1)x(F

b)ax(

b)x(f

22π π

r )P1(P)r (f

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Para representarlos podemos utilizar dos formas FX,Y (x, y) o en su caso F(x,y). Estas dosformas indican que es una distribución conjunta de X e Y.

Para representarlo gráficamente y poder darle una definición, se pude mencionar que la F(x,y)

es la probabilidad de que el punto (x,y) se localice dentro del cuadrante que queda abajo y a laizquierda del punto ( x,y), incluyendo el borde.

Si analizamos las dos figuras podemos obtener de esta manera:

F(x,y) = P({w: X(w) ≤ x} ∩ {w: Y(w) ≤ y})

Si unimos la formula anterior con los elementos de la formula obtenemos.

P(a < X ≤ b, c<Y ≤ d) = P(X ≤ b, Y ≤ d) – P(X ≤ b, Y ≤ c)

- P ( X≤ a, Y ≤ d) + P(X ≤ a, Y ≤ c)

= F (b, d) – F(b, c) – F(a, d) + F(a, c)

Propiedades

Si manejamos una distribución conjunta de dos variables debemos de tomar en cuenta lassiguientes propiedades:

F( x, y) es creciente en cualquiera de las dos variables. Un ejemplo, si x<x´ entonces:{w: X(w) ≤ x} {w: X(w) ≤ x }

Por lo tanto

F(x; y) = P ({w: X(w ) ≤ x} ∩ {w: Y (w) ≤ y })≤ P ({w: X(w ) ≤ x } ∩ {w: Y (w) ≤ y })

= F (x´, y)

= ; Como la función F es creciente en ambas variables se referencia para cualquiera x, y,

0 ≤ F(x,y) ≤ 1

y (x,y)

x

a

d(x,y)

b

b

c

a

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La función F(x, y) es continua por la derecha en cualquiera de sus variables.

Ejemplo: Restaurant de comida rápida cuenta con ventanilla de atención a clientes en auto o

caminando sea X=el tiempo de atención a clientes en auto y Y= el tiempo que se destina a losclientes que acceden caminando. De tal forma el conjunto de valores posibles (X,Y) es elrectángulo D={(x,y): 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1. Supongamos que la función de densidad deprobabilidad conjunta de (X,Y) está dada por

Para comprobar que ésta es una función de densidad de probabilidad legitima, se observa que

1.2.2. Distribuciones marginales

Las funciones de probabilidad marginal de X y de Y son representadas por y Se denotan por

∑ ∑

De tal forma que para poder obtener la función de probabilidad marginal de X ∑ , con un valor por ejemplo de 100, la distribución de ∑ se

suman a los valores posibles de y para de esta formar obtener la función de probabilidadmarginal de X, sin hacer ninguna referencia a Y. De esta manera es posible calcular lasprobabilidades de eventos en los que interviene de manera excluyen X o Y.

Ejemplo:

En un experimento se obtuvieron los siguientes resultados que muestra la tabla de frecuenciasabsolutas y que corresponde a 180 observaciones de una variable bidimensional. Calcular lasdistribuciones marginales de X y de Y,

X \ Y 10 15 20 25 30 35

8 8 10 10 6 0 10

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10 10 20 0 14 10 012 24 10 10 6 20 10

Respuesta:

La última fila contiene la distribución marginal de la variable Y, y la última columna contiene ladistribución marginal de la variable X.

X \ Y 10 15 20 25 30 35 nI

8 8 10 10 6 0 10 44

10 12 20 0 14 10 0 5612 24 10 10 6 20 10 80n j 44 40 20 26 30 20 180

Ejercicios

Sea ( x, y) un vector aleatorio discreto con las siguientes distribuciones de probabilidad.

x/y 0 1 2 31 0 3/5 2/5 1/52 1/5 0 0 1/5

Calcular las distribuciones marginales de X e Y.

1.2.3. Vectores aleatorios discretos

Un vector aleatorio discreto es un modelo de probabilidad conjunta y se caracteriza por unafunción de probabilidad conjunta, que es el resultado de cada uno de sus posibles valores.

Entonces, un vector aleatorio (X, Y) es discreto cuando sólo puede tomar un número finito onumerable de valores, podemos apreciar lo anterior mediante una tabla de doble entrada

X\Y y1 y2 y… yn

x1

x2

x… P( X=xn,; Y=yn )xn

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1.2.4. Densidades y densidades marginales

Las funciones de densidad de probabilidad marginal de X y Y, denotadas por y

vienen dadas por

1.2.5. Distribuciones condicionales

Sean X,Y dos variables aleatorias continuas con función de densidad de probabilidad conjunta

y la función de densidad de probabilidad marginal , se tiene que para cualquiervalor de x de X para el que , la función de densidad de probabilidad condicional de Ydado que X=x es

*Notese que la formula es muy proxima a la probabilidad condicional de que

Es decir la probabilidad de que ocurra B dado que ya ocurrio AYa sabemos que si P(A) > 0

Si X y Y son variables aleatorias discretas y tenemos los eventos (A:X =x), (B: Y = y), entonces(a) se convierte en

Donde f(x,y) = P(X=x, Y=y) es la función de probabilidad conjunta y f 1 (x) es la función deprobabilidad marginal para X. Definimos

Y la llamamos función de probabilidad condicional de Y dado X. de igual manera, la función deprobabilidad condicional de X, dado Y, es

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Definición. (Función de distribución condicional). Sea (X, Y) un vector aleatorio absolutamentecontinuo con función de densidad f X,Y (x, y ), y sea y tal que fY (y) ≠ 0 . A la función

Se le conoce como la función de distribución condicional de X dado que Y toma el valor y.

Actividad 2. Identificación de variables

Propósitos

Al finalizar la actividad serás capaz de resolver un ejercicio en el cual tienes que

identificar la función de distribución de dos variables.

1. Resuelve los siguientes ejercicios en un documento de Word.

Ejercicio. Revisa las siguientes variables y asigna la letra que corresponda:( ) Variableindependiente

a)

( ) Variable continua b)

( ) Variable aleatoriadiscreta

c)

( ) Variable aleatoria d)

2. Envía tu documento con la nomenclatura:PRO2_U1_A2_XXYZ. Sustituye las XXpor las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y laZ por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4MB.

3. Espera la retroalimentación de tu facilitador(a).

Actividad 3. Agencia automotriz

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Se puede mencionar que dos eventos son independientes cuando uno de ellos no afecta elresultado del otro, para representar esta definición podemos ejemplificarlo de la siguiente

manera:

Ejemplo 1: Eventos independientes.

Lanzamiento de moneda (Primer evento)

El resultado puede ser cara o cruz

Lanzamiento de moneda (2° evento)

El resultado puede ser cara o cruz y nodepende del resultado del primer evento

Estos dos eventos son independientes

Ejemplo 2: Eventos no independientes

¿Cuál es la probabilidad de lanzar dos dados. La suma de los resultados sea 7?

Son eventos no independientes o dependientes

Ejemplo:

Un equipo de ventas tiene una probabilidad de ganar en un negocio de 0.6 una probabilidad deno ganar, ni perder de 0.3 y una probabilidad de perder el dinero invertido de 0.1, si este equipo

El resultado del tirodel Primer dado

El resultado del tiro

del segundo dado

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de ventas participa en dos negocios con las mismas características determine la probabilidadde que:

a) Obtenga ganancias en el segundo negocio

b) Obtenga ganancias en ambos negociosc) Obtenga ganancias en uno de los dos negociosd) Obtenga ganancias en el primer negocio y pierda en el segundo negocio

Si representamos gráficamente el problema tendríamos lo siguientes:

Si identificamos el espacio muestral nos quedaría de la siguiente forma:(GG, GE, GP, EG, EE, EP, PG, PE, PP)

Solución:

a) p (Ganancias en el Segundo Negocio)= p (GG, GE, GP)

= (0.6) (0.6) + (0.6) (0.3)+ (0.6) (0.1)

= 0.18+ 0.06 + 0.18+ 0.06= 0.48

b) p (Gane en ambos negocios)

p (G, G)= (0.6) (0.6)

= 0.18

0.6gane

• 0.6

• 0.3

• 0.1

0.3 nigane , nipierda

• 0.6

• 0.3

• 0.1

0.1pierda

• 0.6

• 0.3

• 0.1

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c) p (Gane en uno de los negocios)= p (GE, GP, EG, PG)

= (0.6)(0.3)+(0.6)(0.1)+(0.3)(0.6)+(0.1)(0.6)= 0.18 + 0.06 + 0.18 +0.06

=0.48

d) p (Gane en el primer negocio y ni gane, ni pierda en el segundo negocio)= p (GE)

= (0.6)(0.3)= 0.18

Ejercicio:

Resuelve el ejercicio siguiente para medir el avance de tu conocimiento.

En los juegos panamericanos del 2011, un boxeador mexicano gana 5 de 8 peleas en las quecompite, si este boxeador participara en tres peleas en categorías diferentes, en los próximos 5meses, determina la probabilidad de que:

a) Gane dos de las peleasb) Si ganara dos peleas, ¿Cuál es la probabilidad sea que sea la primera y la tercera?c) Qué gane la segunda pelea

1.3.1. Convolución

La convolución se puede mencionar que es un operador matemático por el cual dos funcionesde transforman f y g en una tercera función, la cual se estudia, para ver la magnitud en la quese superponen f y una versión trasladada e invertida de g.

La convolucion de f y g se denota como f * g, se determina como la integral del producto deambas funciones después de desplazar una de ellas una distancia Ƭ, es decir:

( f * g ) ( t ) = ∫

El intervalo de integración dependerá del dominio sobre el que estén definidas las funciones, enel caso de un rango de integración finito, f y g se consideran a menudo como extendidas.

Tomemos el siguiente ejemplo, sean dos funciones:

f ( t ) = e t y g ( t ) = Sen ( t )

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Encontremos la convolucion de f y g, para esto emplearemos de la integración por partes:

e t * Sen (t) =

∫

=

Cabe mencionar que las leyes conmutativa, asociativa y distributiva se pueden aplicar, como seaprecia a continuación:

Ley Conmutativa: f * g = g * f

Ley Asociativa ( f * g ) * h = f * ( g * h )Ley Distributiva f * ( g + h ) = f * g + f * h

La convolucion la podemos encontrar en muchas aplicaciones de ingeniería y matemáticas,como veremos a continuación.

1.3.2. Aplicaciones de la Convolución

Algunas de las aplicaciones de convolución, las enlistamos a continuación:

Cuando se manejan la suma de dos variables independientes se puede mencionar quees la convolución de cada una de sus distribuciones de probabilidad

En estadística, un promedio móvil ponderado es una convolución.

En óptica muchos tipos de manchas se describen con convoluciones. Por ejemplo lasombra que proyecta un cuerpo entre una fuente de luz y un fondo es la convolución dela forma de la fuente de luz que crea la sombra y del cuerpo que se está proyectando

En el campo de la acústica se representa una convolución cuando el sonido originalestán en función con los objetos que la reflejan.

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Evidencia de aprendizaje. Caso de estudio distribución condicional

Al finalizar la actividad serás capaz de resolver ejercicios que implican el desglose dedistribución condicional.

1. Descarga el documento llamado “Estudio distribución condicional”.ubicada en la

pestaña de la unidad 1.

2. Resuelve el problema que en el documento se plantea.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U1_EA_XXYZ.

4. Recuerda sustituir las XX por las dos primeras de tu primer nombre, la Y por lainicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía el documento a tu facilitador (a) mediante la herramienta de Portafolio deEvidencias.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejercicio

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correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda quetambién se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad.

Durante esta unidad, revisamos los arreglos aleatorios, partiendo desde una sigma álgebra,donde tomamos un subconjunto del espacio muestral, a la vez determinamos como evaluarun subconjunto de datos mediante un sigma álgebra.

En la segunda unidad podremos generar momentos para esos arreglos aleatorios mediantetécnicas de probabilidad. Te recomiendo que sigas estudiando los temas que se presentarondurante esta unidad, ya que serán parte fundamental para la adquisición del conocimiento de lasegunda unidad.

Para saber más

Puedes revisar la siguiente página:http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm

La información mencionada en la página de Gestiopolis.com te permitirá obtener un panoramamás amplio de distribución de probabilidad, variable aleatoria y valor esperado. Podrás obtenerun ejemplo específico y determinar procesos de mejora para resolver los ejercicios planteados

en el programa desarrollado.

Otra página que te recomendamos consultar es:http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html

Fuentes de consulta


ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill.

Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad . México: Departamento de matemáticas,Facultad de Ciencias, UNAM.Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.

http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm

http://www.uaq.mx/matematicas/estadisticas/xu4-5.html



http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/45/probabeco.htm

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UNIDAD 2 Momentos


En esta unidad se revisaran algunos momentos de orden y las funciones generadoras de losmismos, entre ellos la esperanza, la varianza, la covarianza y el coeficiente de correlación.

De igual forma se revisaran contenidos y ejercicios prácticos que permitan que el alumnogenere funciones de casos discretos, continuos y mixtos dependiendo del orden de las variablesque se le presenten.

Propósitos

Al concluir esta unidad el alumno será capaz de: Identificar algunos momentos de orden como la esperanza, varianza y covarianza

revisar y comentar las distintas características de los mismos. Calcular casos discretos, continuos y mixtos en algunas situaciones reales.

Competencia específicaUtilizar la teoría de las probabilidades y las técnicas de la estadística descriptiva comoherramientas en el estudio de otras asignaturas y en la solución de problemas reales de lasmismas en la vida profesional.

2. Momentos

Los momentos se definen como ∫ y caracterizan la función de distribución.

Denotamos al momento de orden 1, como la media y denotamos al momento de orden 2 comola varianza, ambos los estudiaremos más adelante

2.1 Conceptos básicos

Una forma de generalizar toda la teoría relativa a los parámetros estadísticos y la relación queguardan con una buena parte de ello son los momentos, más adelante veremos la aplicaciónque tienen dentro de la probabilidad. Una definición general del momento es la siguiente:

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El momento de orden r (r pertenece al conjunto de los naturales): µr nos podrá auxiliar paracalcular la esperanza matemática y la varianza por lo que hay que partir de otras medidas:

De la misma manera se denomina momento central de orden r , mr , como se muestra:

Continuaf(x)dxE(X)x

DiscretaX)f(xE(X)x

)(r

i

x

r

ir

r X E X E m

Se pueden calcular los momentos a partir de un conjunto de variables, por ejemploCalcular los primeros cuatro momentos del conjunto A= {2, 3, 7, 8, 10}

∑

∑

∑

∑

De igual forma se pueden calcular los momentos con respecto a la media, como se muestra enel siguiente ejemplo

( ) ∑

( ) ∑

( ) ∑

x

r r X E

DiscretaXf(x)x

ContinuaXf(x)x)(

r

r

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( ) ∑

2.1.1 Esperanza

La esperanza matemática (o simplemente esperanza) es el momento que aparece en primerorden y la varianza es el momento central de segundo orden

2

2

1

1 mV(X)σμ)E(Xμ

Denotamos el momento por medio de µ y a la varianza como 2 respectivamente De una

manera más coloquial podemos decir que si p es la probabilidad de que una persona recibauna cantidad X de dinero, podemos definir la esperanza como p(X).

Entonces tenemos que si X denota una variable aleatoria discreta que tiene valor X1+ X2 +X3+… +Xn y probabilidades p1+ p2 +p2+ … + pn y la sumatoria de estas es igual a 1 o el 100%, laesperanza se define de la siguiente manera:

Ejemplo 1.

La probabilidad de que una señora gane un premio de $1,000.00 es de 1/8 la esperanza se

obtiene de la siguiente manera:

($1,000.00) (1/8)= $125.00

Ejemplo 2.

Se va a realizar una rifa que ofrecerá dos premios, uno de $10,000.00 y otro de $5,000.00 y quetienen probabilidades de ocurrencia de 0.001 y 0.003 respectivamente ¿Cuál sería el precio

justo por a pagar por cada boleto?

La esperanza sería igual a

( $ 10,000.00)(0.001) + ($5,000.00)(0.003)= $10.00 + $ 15.00

= $25.00

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Se puede utilizar la esperanza conjuntamente con otras distribuciones de probabilidad. Porejemplo si realizamos un muestreo de 10 artículos realizados al día, los cuales deseamossaber cuál es el número de artículos que salen defectuosos.

Si denotamos a p como la probabilidad de encontrar un artículo defectuoso, tomando a “Y”como una distribución binomial y sabiendo que “ p” varia diariamente, tomamos el intervalo (0,¼) para calcular el valor esperado de “Y”.

Sabemos que E (Y)= E [E(Y|p)] donde E(Y|p) = np

Entonces

E (Y|p)= n (¼-0/2) = n/8

Sustituyendo n=10 tenemos E (Y) = 10/8 =1.25

podemos decir que se promediaran 1.25 defectos día

En la mayoría de las veces puede ser complicado calcular directamente los momentos dealgunas variables aleatorias, por lo cual debemos utilizar otras técnicas más favorables.Posteriormente utilizaremos la función generadora de momentos de una variable aleatoria X, lacual está definida por

Mx(t)=E(etX)=ΣetX*f(x)

2.1.2. Varianza

El momento de segundo orden es conocido como varianza, la cual esta denotada por 2 yrepresenta el cuadrado de las desviaciones (esperanza) anteriormente vista, la formula máscomún para definir la varianza viene dada por

Para variables discretas o continuas la varianza se calcula deguiente manera:

ContinuaX.f(x)dxE(X)x

DiscretaX).f(xE(X)x

E(X)XEV(X)2

x

i

2

i2

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Ejemplo 1.

Sea X la variable aleatoria del número de equipos de computo que se utilizan como en unaempresa. Mostrar que la distribución de probabilidad de la compañía B es mayor que en la

compañía A. Compañía AX 1 2 3f(x) 0.3 0.4 0.3

Compañía BX 0 1 2 3 4F(x) 0.2 0.1 0.3 0.3 0.1

Solución. Obtenemos la media y la varianza para la compañía A

µ= E(X) = (1)(0.3) + (2)(0.4) +(3)(0.3) =2

En el caso de la compañía B

µ= E(X) = (0)(0.2) + (1) (0.1) + (2)(0.3) +(3)(0.3)+(4(0.4) =2

Así vemos que la compañía B utiliza más el equipo de cómputo que la compañía A

2.1.3. Covarianza y coeficiente de correlación

La covarianza definida por X y Y denotada por Cov (X, Y ), es el numero

.

Y en términos de la función de densidad de probabilidad conjunta , tenemos

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De igual forma es posible hacer observaciones para dos variables discretas. Para este tipo decasos las formulas anteriores son reemplazadas por

En donde las sumatorias toman todos los valores discretos de X y Y

Teoremas para covarianza:

Cuando X y Y son variables independientes Var (X±Y)=Var(X) + Var (Y) ±2Cov(X,Y) o

Estas son algunas proposiciones con respecto a X y Y y sea c una constante.Tenemos

PROPOSICI N DEMOSTRACI N a) Cov(X, Y ) = E [(X − E(X))(Y − E(Y ))]

= E [XY − Y E(X) − XE(Y ) +E(X)E(Y )]

= E(XY ) − E(X)E(Y ).b) Por definiciónc) Por definiciónd) Por definicióne) Por definición y linealidad de la esperanzaf) Por definición y linealidad de la esperanza

g) E(XY ) =E(X)E(Y ) cuando X y Y sonindependientes.

h) En general,

independientes. Sea (X, Y ) un vector aleatorio discreto confunción de densidad

El coeficiente de correlación

El coeficiente de correlación de dos variables aleatorias es un número real con el que se mide elgrado o estado de dependencia lineal que existe entre ellas. Su definición es la siguiente.

Por definición el coeficiente de correlación de las variables aleatorias X y Y, denotado porρ(X,Y), es el numero

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En esta definición se necesita tomar en cuenta que las varianzas son únicamente positivas yfinitas.

Vista como función de dos variables aleatorias, el coeficiente de correlación es una funciónsimétrica pero no es lineal pues no separa sumas ni multiplicaciones por constantes.

De igual forma podemos entender la variación total como∑ es decir la suma de loscuadrados de las desviaciones de los valores de Y menos la media de Y. Se denota al valorde Y para los valores dados X

Al primer término de la ecuación anterior se le denomina variación total o variación explicada,mientras que al segundo término se le llama variación inexplicada.

Del mismo modo el coeficiente que existe entre la variación explicada y la variación total ladenotamos como el coeficiente de determinación. Si la variación explicada es cero, entoncestoda la variación es inexplicada, del mismo modo si la variación inexplicada es cero, toda lavariación es explicada, en cualquier otro caso variación siempre estará entre el intervalo de[0,1], y al no ser negativo denotamos ese cociente como r, llamada coeficiente de correlación de

acuerdo a

∑ ∑

Si lo que se busca es una relación lineal entre dos variables, podemos utilizar la siguienteformula

∑ ∑ ∑

Actividad 1. Foro: Identificación de momentos

Al finalizar la actividad serás capaz de Identificar los tipos de variables aleatorias alreconocer las aplicaciones de los distintos momentos de orden.

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De acuerdo a lo descrito en el tema 2.1 Conceptos básicos. Realiza lo siguiente:

1. Investiga 3 aplicaciones de momentos.

2. Analiza y responde las respuestas para las siguientes preguntas

¿Cómo identificas un momento para las variables discretas?

¿Cómo identificas un momento para las variables continuas?

3. Ingresa al foro, comparte tus respuestas con tres de tus compañerossosteniendo la postura de tus respuestas.

Actividad 2. Base de datos Relación de variables

Al finalizar la actividad serás capaz de Identificar la relación entre dos variablesmediante el coeficiente de relación.

De acuerdo a lo descrito en el tema 2.1.3 Covarianza y coeficiente de correlación.Realiza lo siguiente:

1. Determina el coeficiente de correlación de variables del siguiente ejemplo,

tomando las variables que se mencionan en la tabla.

Tenemos la variable edad (X) y la variable peso (Y) determina el coeficiente decorrelación, para la muestra de tres personas.

Utilizamos la formula ∑ ∑ ∑ y encontramos las sumatorias de (xy),

(x2) y de (y2) y son 6174, 3817 y 10845 respectivamente, sustituimos en laformula dando por resultado

R= 0.9596

X 24 35 28 47 12 44 56

Y 2 4 6 4 7 2 8

2. Sube tu documento a la plataforma que indica la base de datos y espera los

X Y

15 48

26 54

54 75

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comentarios de tus compañeros.

3. Recuerda que debes seguir la siguiente nomenclatura PRO2_U2_A2_XXYZ, parasubir tu archivo.

2. 2. Funciones generadores de momentos

En este apartado trabajaremos con las aplicaciones de las funciones generadoras demomentos. El propósito de la función generadora de momentos es la determinación de losmomentos de las distribuciones. Sin embargo lo más importante es el establecer distribucionesde funciones de variables aleatorias.

Si g(X)= Xr donde r= 0,1,2,3,… y la siguiente definición

{

Nos da un valor esperado que es denominado el r-ésimo momento alrededor del origen y quedenotamos por

Algunas de las distribuciones mencionadas en la unidad anterior y que son las principalesfunciones generadoras de momentos son:

0

0

)1(

0

,)(:

!)(:

)1()1()(:

0,)(

)(:

parametrodxeet M l Exponencia

eeek

eet M Poisson

p pe p pk

net M Binomial

t t ab

eedx

ab

et M Uniforme

xtx

x

k

eek

tk

x

n

k

nt k nk tk

x

b

a

at bt tx

x

t t

2.2.1. Función generadora de momentos factoriales

Teorema. Si X1,X2,…,Xn son variables aleatorias independientes y Y=X1+…+Xn, entonces,

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n

1i

XY )t(M)t(Mi

Donde Mxi(t) es el valor de la función de generación de momentos de xi en t

Ejemplo1

Obtenga la distribución de probabilidades de la suma de n variables aleatorias independientesX1,…,Xn que tengan distribución Poisson con parámetros ʎ1,…, ʎ n, respectivamente.

Solución, Sabemos que )1e(

X

ti

ie(t)M

Y por tanto, siendo y=x1+…,xn, se tiene

)1e)(n

1i

)1e(

Y

ti1

ti ee)t(M

La función generadora de momento de X se limita como

Esto es, infiriendo que existe convergencia

Teoremas sobre funciones generadoras de momento

Primer teorema.- Si es la función generadora de momento de una variable aleatoria X ya y b (b≠0) son constantes, entonces la función generadora de momento de (X + a) / b es:

Segundo teorema.- Si X y Y son variables aleatorias independientes con funciones

generadoras de momento de y respectivamente, entonces la función generadorade momento de la suma de variables aleatorias independientes es:

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El área R2 se calcula como

Por otra parte el siguiente suceso se representa por medio de la región

R2 ={(x,y) ϵ [0.60] |0 <x-y< 15}

Esta región se representa el espacio entre la diagonal y la recta

Y= x-15

El área de la R2 se calcula de la siguiente manera.

Finalmente, sumando ambas áreas y dividiendo por el área total obtenemos la probabilidad deencontrarse.

P=

Esto quiere decir que existe un 37% de probabilidad

b) En el caso de que A llegue antes que B. si existe el encuentro (Y-X<10)

Entonces:

A estará en la tienda hasta que B compre dentro de sus 15 minutos.

Es decirT A =15+Y-X, si 0 <Y-X< 10

Si suponemos que B llega antes que A, y A llega 5 minutos después de B.

Entonces se tiene:

T A =15-(X-Y) si 0 <X-Y< 5

Si A permanece 10 minutos en la tienda podemos resumir la siguiente expresión, donde seutilizan los siguientes indicadores.

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T A =10(1{Y-XP10}+1{X-YP5 )+(15+Y-X)1{0<Y-X<0}+(15-(X-Y))1{0<X-Y<5}

Si notamos que T A es una función de X, Y el valor esperado lo calculamos integrando respectoa la densidad conjunta y recordando que la esperanza de un indicador es la probabilidad.

E(T )=10(P(Y-XP 10)+P(X-Y P5))+ f R2 (15+y-x)dxdy/3600+ f R3(15+y-x)dxdy3600

En donde:

R3 = {(xy)ϵ [0.60]2 | 0 <x- y< 5}.

La probabilidad de que ambas se calculen de manera sencilla ya que ambas son dostriángulos.

La integral sobre R1 se escribe como

* +

Donde (y-10)+ es la parte positiva de y - 10, que vale 0 si y< 10 y vale y - 10

Cuando yP 10.

La última integral podemos escribirla como

Que es igual a

Calculando las primitivas obtenemos

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Así, la integral sobre R la calculamos como

* +

Entonces (5+y)60 es el mínimo dado entre 5 + y y 60.Entonces la integral se transforma en

* +

* +

Por ultimo tenemos que:

Ahora el cálculo de E(TB ), en donde el razonamiento es totalmente semejante

Si A llega primero (0 <Y-X), entonces: TB =15,no importa saber si se encuentran o no.

Así mismo,

Si B llega primero y A llega antes de 5 minutos (0 <X- Y< 5), también se tiene T B =15.

Por ultimo si A llega más de 5 minutos después de B y se encuentran (5 <X-Y< 15)

Entonces

TB =10+X-Y. Usando la notación de los indicadores tenemosTB =15(1{X-YO5} +1{X-YP15} )+(10+X-Y)1{5<X-Y<15}

Como antes, debemos evaluar las probabilidades de los sucesos que producen el valor 15.

P(X-YO 5)+P(X-Y P15)=1-P(5 <X-Y< 15)

De esta forma la integral correspondiente al segundo término es

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Por ultimo obtenemos que:

c) Nombremos a G A como el gasto que realiza A por un minuto y a GB como el gasto querealiza B.

Entonces, Tenemos que ver el gasto G en función de los tiempos de estancia en el súpercomprando.

Definimos una nueva variable aleatoria T AB como el tiempo en las dos juntas en la tienda. Y larepresentamos de la siguiente manera:

G = G A T A +GBTB +(G A +GB )T AB

De tal forma calculamos E(T AB ) mediante la siguiente suposición:

A llega primero y que se encuentran y B llega antes de 10 minutos (0 <Y- X< 10); entonces eltiempo que ambas amigas están juntas será:

T AB =15

Si B llega primero y A llega antes de 5 minutos (0 <X-Y< 5), entonces T AB =15-(X-Y).

Si B llega primero y A llega después de 5 minutos y se encuentran (5 <XY< 15), entonces T AB =10.Por último, si no se encuentran T AB = 0, en la notación de indicadores tenemos:

Calculando el valor esperado encontramos en primer término,

Hacemos uso de una integral ya calculada

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Para obtener,

Así que tenemos que

Sustituyendo los valores calculados obtendremos

Que seria la suma del gasto que realizan Ana y Bety estando de compras juntas

2.2. Momentos Factoriales para generar una función

Si existe una función generadora de momentos de una variable aleatoria X, se puede utilizarpara generar todos los momentos de dicha variable. El método puede ser descrito a través delsiguiente teorema.

Sea X una variable aleatoria con función generadora de momentos Entonces:

.Aplic ación de la función generadora de momentos en una variable aleatoria

Ejemplo 1.- Encuentre la función generadora de momentos de una variable aleatoria binomial Xy después utilícela para verificar que y .

Solución:

De la definición de la función generadora de momentos tenemos:

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Si reconocemos a la última suma como la expansión binomial de , obtenemos:

Ahora bien.

y

[ ] Al hacer , obtenemos:

y .Por tanto,

y

.

Que está de acuerdo con lo que se obtiene por medio de las distribuciones de probabilidaddiscreta

Ejemplo 2.- Exprese que la función generadora de momentos de la variable aleatoria X quetiene una distribución de probabilidad normal con media y varianza está dada por:

Solución:

Aplicando la definición de la función generadora de momentos de la variable aleatoria normal Xtenemos:

√ , -

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√ [ ]

Al completar los cuadrados en el exponente, se puede exponer lo siguiente:

Por lo tanto,

√ }

√

⁄ }

Sea ⁄ ; entonces con lo cual tenemos

∫ √ ⁄ ,

Ya que la última integral representa el área bajo una curva de densidad normal estándar y porello es igual a 1.

Ejemplo 3.- Demuestre que la función generadora de momentos de la variable aleatoria X que

tiene una distribución ji cuadrada con

grados de libertad es

.

Solución:

La distribución ji cuadrada se obtuvo como un caso especial de la distribución gamma al hacer y . Al sustituir por de la definición de la función generadora de momentos

de una variable aleatoria X, se obtiene lo siguiente:

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

⁄ ⁄ ⁄ ⁄

Al escribir ⁄ y ⁄ , se obtiene:

⁄ ⁄ ⁄

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⁄ ⁄ ∫ ⁄ ⁄ ,

Debido a que la última integral es igual a ⁄ .2.3. Esperanza condicional

Sea x una variable aleatoria continua o discreta y f(x|y) es el valor de la distribución deprobabilidad condicional de x dada y, la esperanza condicional, de u(x) es la siguiente:

dx)y/x(f )x(uy/)x(uE

)y/x(f )x(uy/)x(uE

x

Ejemplo, la densidad conjunta de dos variables aleatorias x y y esta denotada por

1y0y1x0valores para)y2x(3

2)x(f

Compruebe que la media y la varianza condicionales de x dada y=1/2 es la siguiente:

18

7)1(

3

2)2/1/(

9

5)1(

3

2)2/1/(

)1(3

2

2

1/

)41(3/1

)2(3/2

)(

),()/(

)41(31)2(

32),()(

1

0

22

1

0

1

0

dx x x x E

dx x x x E

x x f

y

y x

yh

y x f y x f

ydx y xdx y x f yh

2.3.1. Caso discreto

Cuando el número de valores posibles de X es finito, es decir que se pueden anotar los valores

de X como, x xn1,...,

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b

a1dx)x(f 0)x(f

Además verifica que dado a<b, se tiene que

como se muestra en la grafica

Debido a que f es una función integrable, la probabilidad de un punto es nula,

a

a0f(x)dxa)XP(aa)P(X

2.3.3 Caso mixto

Debido a que una variable aleatoria puede ser indistintamente discreta y continua, es decirpuede asumir valores puntuales con una probabilidad distinta de cero, o valores por intervalos.

Ejemplo. Sea el experimento de conocer la vida útil de equipos de computo, donde X es eltiempo que funcionara el equipo, pero existe una probabilidad de que el artículo no funcione deltodo, falla en el tiempo X = 0;

Ejemplo. También cuando Y es la variable aleatoria que representa la demora de un repartidorde pizza al hacerlo detenerse de manera obligatoria, existe una probabilidad de que no hayatráfico y el repartidor no tenga demora X = 0, sí tiene que esperar, lo debe hacer por un tiempocontinuo.

b

a

curvala bajoâreaf(x)dx b)XP(a

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Como se aprecia en la grafica superior, para encontrar la probabilidad de que una ciertavariable x tenga un desempeño entre a y b, a < b, se escribe como sigue:

Cuando Y es una variable aleatoria mixta, su función de distribución es:

FY(y) = P1 F1(Y) + P2 F2(Y): DondeF1 = Función de distribución escalonada (parte discreta)F2 = Función de distribución continuaP1 = Probabilidad acumulada de los puntos discretosP2 = Probabilidad acumulada de los puntos continuos

Actividad 3 Ejercicio “Clasificación de familias”

Al finalizar la actividad serás capaz de Utilizar los tipos de variables aleatorias en unasituación de la vida diaria.

De acuerdo a lo descrito en el tema 2.2.1 y 2.2.2 caso discreto y caso continúorespectivamente, realiza lo siguiente:

1. Descarga el archivo llamado Clasificación de familias. Ubicado en la pestaña dela unidad 2

2. Resuelve el ejercicio que se presenta en el documento

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U2_A3_XXYZ yespera la retroalimentación de tu Facilitador(a).

Autoevaluación

Para verificar tus conocimientos adquiridos en la unidad, deberás ingresar a laautoevaluación y responder las preguntas que ahí se te plantean. La calificaciónobtenida quedará registrada en el portafolio de evidencias.

Instrucciones: A partir de las gráficas anteriores, realiza las gráficas de manerasimétrica y anota los datos asignados a cada variable para que comprendas la diferenciaentre variables continuas y variables discretas

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Por ejemplo

Representación de una gráfica de variables discretas (Caso discreto)

Representación una gráfica de variables continuas (Caso continuo)

Representación una gráfica de variables continuas (Caso continuo)

Para ingresar a la autoevaluación: En la ruta (parte superior izquierda del aula) da clicen Probabilidad II. Se enlistarán las actividades, da clic en Autoevaluación

0

2

4

6

8

10

12

1er trim.

0

2

4

6

8

10

12

1er trim.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

7.00

Simetría

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Evidencia de aprendizaje. Resolución de problemas “Un caso de laindustria”

Al finalizar la actividad el estudiante será capaz Identificar y utilizar los tipos devariables aleatorias para determinar si existe correlación entre ellas.

1. Descarga el documento llamado “Un caso de la industria”. Que se encuentra enla pestaña de la unidad 2

2. Resuelve el problema que en el documento se plantea.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura PRO2_U1_EA_XXYZ.

4. Recuerda sustituir las XX por las dos primeras de tu primer nombre, la Y por lainicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

5. Envía el documento a tu facilitador (a) mediante la herramienta de Portafolio deEvidencias.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejerciciocorrespondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda quetambién se toman en cuenta para la calificación final.


En esta unidad aprendiste cómo se desarrolla una esperanza matemática, un covarianza y sucoeficiente de correlación, determinaste variables aleatorias discretas y continuas y la forma enque están cambian dependiendo la situación en la que estén.

Identificaste como una variable aleatoria discreta o continua, puede generar un momento quepermite establecer parámetros de solución dentro de una problemática.

Te invitamos a que sigas estudiando en este mundo de la probabilidad, donde se puedenrepresentar muchos casos que nos ayudan a pronosticar eventos de la vida cotidiana, y encierta forma predecir resultados anticipadamente.

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Referencias bibliográficas

Probabilidad y Estadística, 2001, ediciones Instituto de Investigación Tecnológica Educativa dela Universidad Tecnológica de México S.C., México

Milton J. Susan , 2003, Probabilidad y Estadística con aplicaciones para Ingeniería y CienciasComputacionales, Mc Graw Hill, México

Spiegel MurrayR. 2002, Probabilidad y Estadística, Mc Graw Hill 3° edición, México

Seymour, 2001, Probabilidad, Mc Graw Hill, 2° edición , Colombia

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Unidad 3 Convergencia de variables aleatorias


En esta unidad veremos las propiedades asintóticas que se ocupan en las sucesiones devariables aleatorias para la aplicación en inferencia estadística. Revisaremos la convergenciade variables aleatorias y la convergencia en distribución, proponiendo ejemplos y ejerciciosprácticos para contribuir con tu aprendizaje.

Es importante mencionar que te brindamos información teórica y práctica, sin embargo esindispensable que revises temas previos y, de ser necesario revises nuevamente algunos temaspara que alcances los propósitos establecidos para ésta unidad. En cada tema se te sugierenalgunos temas que te recomendamos revisar para la apropiación de éstos contenidos.

Propósitos

Al finalizar la unidad:

Identificarás una función que contiene valores complejos para clasificarla como unafunción característica mediante la aplicación de métodos analíticos.

Utilizarás la ley de los grandes números para aproximarse al resultado exacto mediantela repetición de sucesos.

Determinarás mediante la campana de Gauss y la tabla Z, el límite central a través desucesos repetitivos.

Competencia específica

Utilizar las distribuciones especiales cuando sea necesario y podrá manejar eficientementegrupos de observaciones a fin de obtener información útil de ellos.

3.1. Convergencia de variables aleatorias

Se considera una sucesión de variables aleatorias al conjunto {Xn}= {X1, X2, X3,… Xn} dondecada X corresponde a una variable aleatoria y puede tener una convergencia con unadistribución de probabilidad.

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De tal forma que si se tienen todas las variables aleatorias comprendidas en una sucesión,estas podrán converger hacia una variable aleatoria X de distintas formas, entre las quetenemos:

Convergencia en probabilidad Convergencia casi segura Convergencia en media cuadrática Convergencia en distribución o en ley (que se estudiara más adelante)

Convergencia puntual

Si manejamos X1, X2…. Una sucesión infinita de variables aleatorias, si evaluamos cada unade las variables en un elemento , se determina la siguiente sucesión numérica X1(),X2(

),……. Si esta sucesión converge a un cierto número real representado por X(

). Se puede

mencionar que la condición se cumple para todos los elementos de

, entonces la sucesión de

variables aleatorias converge y su límite se representa por medio de la siguiente función.

La siguiente representación queda definida mediante la siguiente representación:

Luis Rincón (2007) menciona un claro ejemplo de este tipo de convergencia. A continuación sehace referencia a ella.

Consideramos el espacio medible ( [0,1],

[0,1]). Defina la sucesión de variables aleatorias

continuas X n () = .

Si graficamos el subconjunto de números reales, quedaría representado de la siguiente manera.

Grafica de la variable aleatoria X n() =.

Para cada ∈, la sucesión numérica X n() converge a 0, mientras que para =1, y para

cualquier valor de n, X n()= 1, por esto la sucesión converge puntualmente a la variable aleatoria. ∈

1

1

X n()

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Convergencia casi segura

En algunas ocasiones se necesita la convergencia de la sucesión evaluada en todos y cadauno de los elementos del espacio muestral, por lo cual la convergencia puntual resulta ser una

condición demasiado fuerte, por ejemplo, se puede mencionar que se verifique en todo elespacio .

La sucesión de las variables aleatorias Converge casi seguramente a la variable X, si.

∈ }

Si tomamos el ejemplo anterior tomando como espacio de probabilidad ([0,1] [0,1], P ),tomando a P como la medida de probabilidad de un intervalo es su longitud. Esto se representa,mediante la siguiente gráfica.

Grafica de la variable aleatoria * +

Si analizamos la variable X n tiene una distribución de Bernoulli con parámetro , y converge

a la variable aleatoria constante cero, para esto se necesita corroborar que:

.

Esta igualdad es evidente a partir del hecho que el conjunto

{

∈

} El cual tiene probabilidad 1

El punto es el único punto muestral para cual no converge a cero, esto demuestraque:

→

1

*

+

1/n 1

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Convergencia en probabilidad

Cuando una variable aleatoria X n converge en probabilidad a una constante c si:

Para cualquier

Esto nos quiere decir que cada vez que X n tome valores distintos a c, a medida que n, eltamaño de la muestra aumente.

Ejemplo 1:

Se tiene una variable aleatoria X n cuya distribución de probabilidad es la siguiente:

En este caso

Describiendo lo anterior, podemos decir que X n converge en probabilidad 0. Por qué a medidaque n aumenta, X n toma el valor de n con una probabilidad cada vez menor (1/n converge acero a medida que

).

En caso general, podemos mencionar que si X n converge a c, representamos:

0

Convergencia en media cuadrática

Cuando se usa el concepto de esperanza, aplicado al segundo momento se tiene laconvergencia en media cuadrática, que está ligada a la a la convergencia media que no esmotivo de estudio en estos momentos.

Este tipo de convergencia se puede denotar de la siguiente manera:

Una sucesión de variables aleatorias X 1, X 2 ,…….converge en media cuadrática a X, si.

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este tipo de convergencia establece que tanto los elementos de la sucesión como el limite sonvariables aleatorias con un segundo momento finito, el cual se le denomina convergencia en L2 y se representa por medio de la siguiente expresión.

→

en conclusión podemos mencionar que la convergencia de L2, para cada número enterok≥1,cumple con la condición

Por lo que mientras mayor es el valor de k , más restrictiva es la condición de la convergencia.

3.1.1. Lema de Borel Cantelli

Sea P una medida de probabilidad en (2x) donde 2x es una σ-algebra.Luego P es continua en todo X ∈ 2x. y sea P una medida de probabilidad aditiva en (S,2x) donde2x en un σ algebra que es continua en φ. Luego P es una medida de probabilidad σ -aditiva.

Para entender el lema de Borel-Cantelli. Es necesario definir lo que se conoce como límitesuperior e inferior de una sucesión de eventos.

Si Consideramos un espacio de probabilidad (S, 2x, P). Sea {Xn} una sucesión de eventos.Definimos el límite superior de esta sucesión como

De igual forma definimos el límite inferior como

Así también escribiremos ∈ } donde i.o. significa con frecuenciainfinita.

Entonces podemos partir de que la razón por la que tales límites se conocen así proviene de laobservación

y

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De acuerdo a lo anterior podemos entender el Lema de Borel-Cantelli como: Sea {Xn} unasucesión de eventos en un espacio de probabilidad (S,2x, P). Luego si

∑ , entonces P (Xn i,o) = 0

Por ejemplo podemos considerar el experimento que consiste en tirar una moneda n veces.Dicho experimento lo diseñaremos en base a (S,2x, P) teniendo como espacio S= {0, 1}n, con laσ-álgebra y la medida de probabilidad P que tiene probabilidad de ½ (sol o águila) a cada valor0 o 1 independientemente de otros resultados

3.1.2. Ley débil de los grandes números

Para estudiar la ley débil y fuerte de los grandes números, veremos primeramente la relaciónexistente que existe entre ellos.

CONVERGENCIA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSEN PROBABILIDAD LEY DÉBIL

CASI SEGURA LEY FUERTEDISTRIBUCIÓN TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

Una vez comprendido lo anterior, tenemos que una sucesión de variables aleatorias {X n}pertenece a ley débil de los grandes números, si de acuerdo a una sucesión de constantes {Cn}

la variable en donde µn es el promedio o el valor medio de las n variables dela sucesión y se comprueba que

Cumple con

Interpretándose que para un valor alto de n no deben existir diferencias entre ambos ( .

Para adentrarte más en estos temas te presento los teoremas fundamentales dentro de la leydébil de los grandes números.

Teoremas de Chebyshev

Cuando al desviación estándar σ de una variable aleatorio X mide la dispersión de dichosvalores alrededor de la media μ de X. si los valores de σ son bajos, entonces X estaría máscerca de su media μ. Este tipo de esperanza se puede precisar por medio del teorema deChebyshev. Presentado por el matemático ruso P.L. Chebyshev (1921-1994), el cual se puededefinir de la siguiente manera.

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c) buscando la solución para k , sería.

Así pues el intervalo deseado sería:

Teorema de Khintchine

Se basa en condiciones que el teorema de Chebyshev, incidiendo en que la variables queforman la sucesión debe ser independientes y todos con una misma y común distribución deprobabilidad, si eso es la ocurrencia la sucesión sería:

Siendo μ la media común de las variables que forman la sucesión.

Teorema de Bernouilli

Es tipo de teorema es un caso especial de la ley de los grandes números donde se representala aproximación frecuencial de un suceso en la cual la probabilidad P ocurra a medida que se

repite el experimento.

El teorema lo podemos representar de la siguiente manera.

Dados un suceso A, su probabilidad p de ocurrencia, y n pruebas independientes paradeterminar la ocurrencia o no ocurrencia de A.

Sea f el número de veces que se presenta A en los n ensayos y £ en un número positivocualquiera, la probabilidad de que la frecuencia relativa discrepe de p en más de £ (en valorabsoluto) tiende a cero al tender a n a infinito. Es decir

| |

3.1.3. Ley fuerte de los grandes números

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Ahora tenemos que una sucesión de variables aleatorias {Xn}pertenece a ley fuerte de los

grandes números, si teniendo dos sucesiones de constantes {an} y {bn} se crea una nuevavariable denotada por

y se combina con las sucesiones de constantes

→

en donde

es la suma de constantes, así que entonces tenemos a

Por consecuencia tenemos que si

y entonces por lo tanto

→ De la misma manera que existen teoremas para la ley débil se recomienda para adentrarse másen estas leyes, estudiar lo siguiente:

Teorema de Kolmogorov Teorema de Glivenko-Cantelli

Actividad 1. Métodos análiticos

Propósito

Al finalizar la actividad serás capaz de Identificar la relación entre la ley débil y fuerte delos grandes números.

1. De acuerdo a lo abordado en el tema 3.1 Convergencia de variables aleatorias,realiza lo siguiente.

2. Entra a tu Blog y agrega un comentario que incluya al menos un ejemplo respectoa la tabla que explica la relación de las leyes de los grandes números, la cual semuestra a continuación.

CONVERGENCIA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROSEN PROBABILIDAD LEY DÉBIL

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CASI SEGURA LEY FUERTEDISTRIBUCIÓN TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL

3. Revisa los comentarios de 3 tus compañeros, recuerda que no debes responder.

4. Entra nuevamente a tu blog y realiza una conclusión, retomando tu comentario yel de tus compañeros.

3.2. Convergencia en distribución

Antes de comenzar a definir la convergencia de distribución podemos relacionar y ver cómointeractúan los tipos de convergencia, mediante el siguiente esquema:

3.2.1. Definición y propiedades

Se dice que una sucesión de variables aleatorias {Xn} converge en distribución o en ley, a unavariable aleatoria X cuando se cumple

Para toda función se efectúa Para todo real Para todo par de puntos a y b siempre que b>a

CONVERGENCIA

DEPROBABILIDAD

CONVERGENCIAEN

DISTRIBUCIÓN

CONVERGENCIA ENMEDIA CUADRATICACONVERGENCIA

CASI SEGURA

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Para todo punto de X con podemos interpretar como

3.2.2. Función característica

Para encontrar la función característica es necesario remplazar , donde i es la unidad

imaginaria en la función y la media o valor esperado de una distribución. La denotamos por

Siendo para variables discretas ∑

Y para las variables continuas ∫ Sabiendo que | , las series y la integral siempre convergen de manera absoluta

Los siguientes son teoremas que aplican para la función característica

Teorema I Si () es la función característica de la variable X y a y b donde B0 sonconstantes, entonces la función característica de (X+a)/b es

θ _X (ω/b)

Teorema II Si X y Y son variables aleatorias independientes de función características y, entonces

De esta manera la suma de funciones es igual al producto de sus funciones características.Teorema III Si X y Y son variables aleatorias con funciones características y ,respectivamente. Podemos afirmar que y , tienen la misma distribución deprobabilidad si y solo si

=

.

Otra característica para la utilización de la función característica es que esta siempre existe,mientras que la función generadora de momentos puede no existir.

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3.3 Función Característica

Como vimos en el subtema anterior la función característica es una situación de variable realque permite tomar valores complejos y que permite la aplicación de métodos analíticos, como

podría ser el análisis funcional entre otros, en el estudio de la probabilidad.

Esto lo podemos ilustrar en el siguiente ejemplo

La variable aleatoria X puede tener los sig-1 y 1, cada una con probabilidad 1/2. Encuentre lafunción característica

La función característica viene dada por

(

)

(

)

Y utilizando la fórmula de Euler

Definimos .

3.3.1. Teorema del límite central

El teorema nos dice que si existe un grupo numeroso de variables, que siguen una mismatendencia o distribución, al sumarlas obtendremos una distribución gausiana o comúnmentellamada distribución normal.

Si el teorema se basa en la distribución normal, lógicamente utilizaremos la formula que nospermite obtener los valores estandarizados para este proceso.

Si es la media de una muestra aleatoria de tamaño n tomada de una población con media µ y

varianza finita 2, entonces la forma límite de la distribución queda

Conforme n→, es la distribución normal estándar n(z;0,1).

Por ejemplo: Se obtiene una muestra de alumnos que estudian en la ESAD y cuyo promedio decalificación es de 8.4 con una desviación estándar de 0.9, de una población cuyo promedio esde 8.6, determinar:

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

http://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_funcional

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_complejo

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a) El porcentaje de alumnos con promedio superior a 8.6b) Si la población actual de la ESAD es de 11,500 alumnos, encontrar el número de

alumnos con este promedio

Solución.

a) Si =8.4, µ=8.6 y =0.9 sustituimos en la formula y obtenemos =-0.22 encontramos el valor en tablas y obtenemos 0.0871 de 0 a Z y

restamos el valor 0.5 (media campana de Gauss) y obtenemos 0.4129 por cien, nos dael 41.29%

b) Multiplicamos 0.4129 por 11500 y obtenemos 4748.35 que serían los 4748 alumnos conpromedio superior a 8.6 en la ESAD

Actividad 2. Calificaciones.

Propósito

Al finalizar la actividad serás capaz de Utilizar el teorema del límite central en un casopráctico que representa actividades de la vida diaria.

1. Descarga el documento llamado “Calificaciones” ubicado en la pestaña de launidad 3.

2. Resuelve el planteamiento que ahí se te propone, respetando las instruccionesmencionadas dentro del archivo.

3. Envía tu documento con la nomenclatura: PRO2_U3_A2_XXYZ. Sustituye las XXpor las dos letras de tu primer nombre, la Y por la inicial de tu apellido paterno y laZ por la inicial de tu apellido materno. El peso del archivo no debe exceder los 4MB.


3.3.2. Simulación

En la actualidad los sistemas de simulación permiten realizar proyectos a un bajo costo y singenerar cambio alguno en el modelo original al que se aplica la simulación.Por ejemplo si queremos saber el número de cajeras que se requieren para la atención de undeterminado número de clientes en un supermercado, el sistema quedaría cerrado en cajeras-

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clientes, pero si incluyéramos las distintas áreas de outsourcing, el sistema se tendría quereestructurar.

Entonces podemos entender que el estado de un sistema estará definido por las variables que

se requieren para el propósito del estudio.

En el caso del supermercado podemos establecer como variables el numero de cajeras, elnúmero de clientes, el número de artículos comprados, la hora de la compra, etc.Podemos clasificar los sistemas de simulación por:

Discretos, en donde las variables cambian constantemente y generalmente provienen desituaciones condicionadas a que ocurra otro suceso y generalmente se resuelve siguiendo lasecuencia de los eventos o sucesos.

Continuos. En este tipo de casos las variables cambian de manera continua en el tiempo, por

ejemplo, la velocidad de las cajeras para pasar los artículos por el scanner.

En ambos casos es importante identificar las variables endógenas y exógenas, para poderdeterminar el sistema de simulación a realizar.

Autoevaluación

El objetivo de la carrera es ganarle a la ignorancia resolviendo lo siguiente,partiendo de los siguientes datos:

N = 25’000,000

De acuerdo a lo anterior, selecciona la letra asignada a la respuesta correcta.

Encuentra el número de elementos que son:a) b) c)

d)

Evidencia de aprendizaje. Uso en la mercadotecnia.Propósito

Al finalizar la actividad serás capaz de Aplicar sistemas de simulación para

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resolver problemáticas de la vida cotidiana.

En base a lo revisado en el tema 3.3.2 Simulación, realiza lo siguiente:1. Descarga el archivo llamado “ Análisis de caso”

2. Resuelve el planteamiento que ahí se presenta respetando lasinstrucciones que se mencionan.

3. Una vez que hayas terminado Envía tu documento con la nomenclatura:PRO2_U3_A3_XXYZ. Sustituye las XX por las dos letras de tu primer nombre, laY por la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno. Elpeso del archivo no debe exceder los 4 MB.


Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de autorreflexión para realizar el ejerciciocorrespondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones, recuerda que también setoman en cuenta para la calificación final.


Durante la unidad analizamos la forma en que una variable aleatoria puede cambiar de acuerdoal tipo de convergencia que se le aplique, además vimos como se establece n lasconvergencias y su relación entre ellas y lo importante que son los teoremas para la resoluciónde un problema.

Así pues te invito a que siguas estudiando y seguir con esta carrera, en el quinto cuatrimestrerevisaremos asignaturas que no se relacionan con la probabilidad pero de la mismaimportancia para tu desarrollo profesional.

Para saber más

Puedes revisar la siguiente página, donde encontraras información acerca de los Teoremas deChebyschev, Khintchine y Bernouilli además de algunos temas que ya revisaste a lo largo de laasignatura:

http://ocw.uv.es/ciencias-sociales-y-juridicas/estadistica/2t13a.pdf




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También se sugiero revisar el siguiente Link donde encontraras información acerca del teoremadel límite central y la ley de los grandes números además de algunos temas que ya revisaste alo largo de la asignatura:http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probab

ilidad.pdf

Fuentes de consulta


ciencias computacionales. México: Mc Graw Hill.

Rincon L. (2007). Curso intermedio de probabilidad . México: Departamento de matemáticas,Facultad de Ciencias, UNAM.

Spiegel M. (2006). Probabilidad y estadística. Madrid: Mc Graw Hill.

Cetina López Wendy.(2005) Teorema De Chebyshev . México

Lipschutz Seymour, Lipson Marc. (2001). Probabilidad. México Editorial Mac Graw-Hill

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/ezuazua/informweb/trabajosdehistoria/salinero_probabilidad.pdf





Documents

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